数II・B まとめテスト

2科目まとめての総復習・実戦テスト

問題プリント（書き込み用） 問題プリント（コンパクト） 解答つきPDF

この範囲の全体像

数II・Bで学ぶのは、数IIの6つの章（式と証明・複素数と方程式・図形と方程式・三角関数・指数関数と対数関数・微分法と積分法）と、数Bの2つの章（数列・統計的な推測）である。数IIの6章は、数Iで身につけた「式を正確に扱う力」を出発点に、整式の割り算という道具を手に入れ（式と証明）、それを使って複素数まで含めた方程式を解けるようにし（複素数と方程式）、座標平面という新しい舞台に移って図形を式で扱えるようにし（図形と方程式）、その舞台の中心にある単位円から三角関数を定義し直し（三角関数）、指数を実数全体に広げて新しいタイプの関数を作り（指数関数・対数関数）、最後に「変化の割合」という道具でグラフの増減や面積までも計算だけで求められるようにする（微分法と積分法）、という一本の物語になっている。

数Bの2章は、この物語とは別の角度から数を扱う。数列は「規則にしたがって並ぶ数をどう合計するか」を、等差・等比という基本パターンからΣ記号・漸化式・数学的帰納法へと広げながら学ぶ。統計的な推測は、数A「場合の数と確率」の続きとして、確率を「数値の集まり全体の性質」として捉え直し、期待値・分散、二項分布・正規分布を経て、手元のデータから母集団を推測する（推定・仮説検定）というゴールにたどり着く。

数IIと数Bは別の教科書に分かれているが、実際には道具を貸し借りしながら学ぶ場面がいくつもある。数列で身につけるΣの3公式（\(\sum k\)、\(\sum k^2\)、\(\sum c\)）は、統計的な推測の期待値・分散の計算にそのまま使われる。式と証明で学ぶ「差をとって0以上を示す」不等式の証明の型と二項定理は、数学的帰納法での不等式証明や、二項分布の確率の総和が1になることの説明にそのまま応用できる。円周上の点を\(\mathrm{P}(r\cos\theta,\ r\sin\theta)\)と表す考え方は三角関数の単位円の考え方そのものであり、微分法の接線・増減の考え方は指数関数・対数関数のグラフの単調性の理解の先にある。この総復習では、こうした章をまたぐつながりを実際の計算で確かめながら、高2の1年間で身につけた力を1つに束ねていこう。

章まとめへのリンク一覧

各章の詳しい要点整理・まとめテストは以下のページにある。この総復習で手が止まった単元があれば、まず該当する章まとめに戻って確認しよう。

  1. 数II 第1章　式と証明　―　3次式の公式・二項定理・整式の割り算・恒等式・等式と不等式の証明。
  2. 数II 第2章　複素数と方程式　―　複素数の計算・判別式と虚数解・剰余の定理と因数定理・高次方程式。
  3. 数II 第3章　図形と方程式　―　座標平面上の点・直線・円、そして軌跡と領域。
  4. 数II 第4章　三角関数　―　弧度法・単位円・加法定理・2倍角と合成・三角方程式と不等式。
  5. 数II 第5章　指数関数・対数関数　―　指数の拡張・指数関数のグラフ・対数の性質・常用対数。
  6. 数II 第6章　微分法と積分法　―　導関数・接線・増減と極値・最大最小・不定積分と定積分・面積。
  7. 数B 第1章　数列　―　等差数列・等比数列・Σと階差数列・漸化式・数学的帰納法。
  8. 数B 第2章　統計的な推測　―　確率変数と期待値・分散、二項分布・正規分布、推定と仮説検定。

科目全体の総復習は 数II まとめ・数B まとめ にもある。この学年まとめでは、その2科目を1つにつなげた視点で仕上げていく。

要点の総整理　最大値・最小値を求める3つの武器

数II・Bの範囲では「最大値・最小値を求めよ」という問題が、姿を変えながら何度も出てくる。式の形を見た瞬間に、どの武器を使うかを判断できるようになろう。

相加平均・相乗平均（式と証明）
式が「正の数どうしの和」で、掛けると定数になる形のとき使う。\(a>0,\ b>0\)なら\(a+b \ge 2\sqrt{ab}\)。等号条件（2つの項が等しい）を必ず確認する。
三角関数の合成（三角関数）
式が\(a\sin\theta+b\cos\theta\)の形をしているとき使う。\(\sqrt{a^2+b^2}\sin(\theta+\alpha)\)の1本のsinにまとめれば、最大値は\(\sqrt{a^2+b^2}\)と即わかる。
微分（微分法と積分法）
3次以上の整式や、区間つきの一般の関数のとき使う。\(f'(x)=0\)となる\(x\)を境目に増減表を作り、極値と区間の端点の値を比べる。
迷ったときの見分け方　2つの正の項の和で掛けると定数になる形が見えたら相加相乗、\(\sin\)と\(\cos\)が混ざっていたら合成、\(x^3\)以上の項があれば微分――まず式の見た目を確認する癖をつけよう。指数関数がからむ問題（\(2^x+2^{2-x}\)など）でも、\(t=2^x\)と置き換えれば相加相乗の形が現れることが多い。

要点の総整理　Σ記号が結ぶ数列と統計的な推測

数Bの2つの章、数列と統計的な推測は、教科書では別の単元として並んでいるが、Σ記号という共通言語でつながっている。ここでは数IIには出てこない、数B内部の重要なつながりを整理しておく。

数列で身につけるΣの3公式　―　\(\displaystyle\sum_{k=1}^n k=\dfrac{1}{2}n(n+1)\)、\(\displaystyle\sum_{k=1}^n k^2=\dfrac{1}{6}n(n+1)(2n+1)\)、\(\displaystyle\sum_{k=1}^n c=nc\)
↓
確率変数の期待値・分散の定義そのものがΣの計算　―　\(E(X)=\displaystyle\sum x_i p_i\)、\(V(X)=E(X^2)-\{E(X)\}^2\)
↓
「n個の確率変数の和」として二項分布をとらえる　―　\(X=X_1+X_2+\cdots+X_n\)（各\(X_i\)は0か1）とみると\(E(X)=np\)、\(V(X)=np(1-p)\)が導ける
つながりの正体　例えば、公正なさいころ1個を投げたときの目の2乗の期待値は、数列の章のΣ\(k^2\)の公式に\(n=6\)を代入するだけで\(E(X^2)=\dfrac{1}{6}\displaystyle\sum_{k=1}^{6}k^2=\dfrac{91}{6}\)と求まる。数列の章で身につけたΣの技術を先に固めておくほど、統計的な推測の章では計算で立ち止まらず「確率の意味」そのものに集中できる。

要点の総整理　「差をとって比べる」という証明の型

数II・Bで学ぶ証明の多くは、実は同じ1つの型でできている。それは「示したいものの左辺と右辺（あるいは前後の状態）の差をつくり、その差が0以上（または0以下）であることを、すでにわかっている事実から示す」という型である。

不等式の証明（式と証明）
\(A \ge B\)を示すには\(A-B\)を計算し、それが平方の和などで0以上になることを示す。\(A-B=(x+y)^2+2y^2 \ge 0\)のように、差を「いつも0以上とわかる形」に変形するのが核心。
数学的帰納法（数列）
\(n=k\)で成り立つと仮定したうえで議論を1段階進める。等式（Σ型）の証明なら、\(n=k\)の式に第\((k+1)\)項を加えた結果が目的の形に一致することを示す。不等式の証明なら、\(n=k\)で成り立つと仮定した式を\(n=k+1\)の式に代入し、それが目的の不等式を満たす形まで評価する。
統計的な推測での再登場　仮説検定でも似た論理が使われる。「示したいことの反対（変化がない、差がない）をいったん仮定して、実際のデータが起こる確率を計算し、それがあらかじめ決めた基準（有意水準）より小さいかどうかを比べる」という手順は、「仮定する→差（基準とのズレ）を計算する→比べて結論を出す」という骨組みにおいて、不等式の証明・数学的帰納法と同じ発想の延長線上にある。数式の中身はまったく違っても、論理の運び方は高2を通じて同じパターンが繰り返し使われていることに気づこう。
まとめテスト（標準）

数II全6章・数B全2章を横断する総合演習、全60問。目標時間は90分。答えを入力して「採点」を押すと○×が出るぞ。分数は「-1/2」のように入力。
わからないときは「解説を見る」で解き方を確認しよう。

基本（1〜25）
1
式と証明：3次式の展開

\((x-3)^3\) を展開せよ。

\(x^2\)の係数 　\(x\)の係数 　定数項
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公式\((a-b)^3=a^3-3a^2b+3ab^2-b^3\)を\(a=x,\ b=3\)で使う。 \(x^3-3\times x^2\times3+3\times x\times3^2-3^3 = x^3-9x^2+27x-27\) \((x-3)^3 = x^3-9x^2+27x-27\)
2
式と証明：整式の割り算

\(x^3+3x^2-2x+5\) を \(x+1\) で割ったときの商を \(ax^2+bx+c\)、余りを \(R\) とするとき、\(a,\,b,\,c,\,R\) を求めよ。

\(a=\) 　\(b=\) 　\(c=\) 　\(R=\)
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筆算で計算する。 \(x^3\div x=x^2\)、\(x^2(x+1)=x^3+x^2\)、引いて\(2x^2\)、\(-2x\)をおろして\(2x^2-2x\)。 \(2x^2\div x=2x\)、\(2x(x+1)=2x^2+2x\)、引いて\(-4x\)、\(5\)をおろして\(-4x+5\)。 \(-4x\div x=-4\)、\(-4(x+1)=-4x-4\)、引いて\(9\)。次数が0になったので終了。 検算：\((x+1)(x^2+2x-4)+9 = x^3+2x^2-4x+x^2+2x-4+9 = x^3+3x^2-2x+5\)。もとの式と一致する。 商 \(x^2+2x-4\)（\(a=1,b=2,c=-4\)）、余り \(R=9\)
3
複素数と方程式：複素数の乗法

\((2+3i)(4-i)\) を計算せよ。

実部 　虚部
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分配法則で展開し、\(i^2=-1\)を使う。 \((2+3i)(4-i) = 8-2i+12i-3i^2 = 8+10i+3 = 11+10i\) 実部\(11\)、虚部\(10\)（\(11+10i\)）
4
複素数と方程式：判別式と実数解の個数

\(3x^2-2x+5=0\) について、判別式\(D\)の値と実数解の個数を求めよ。

\(D=\) 　実数解の個数 個
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\(a=3,\ b=-2,\ c=5\) \(D=(-2)^2-4\times3\times5=4-60=-56\)　\(D<0\)なので実数解はない（虚数解が2つ）。 \(D=-56\)、実数解は\(0\)個
5
図形と方程式：2点間の距離

2点 \(\mathrm{A}(2,\ -1)\)、\(\mathrm{B}(7,\ 11)\) の間の距離を求めよ。

\(\mathrm{AB}=\)
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2点間の距離の公式（三平方の定理）を使う。 \(\mathrm{AB} = \sqrt{(7-2)^2+(11-(-1))^2} = \sqrt{25+144} = \sqrt{169} = 13\) \(\mathrm{AB}=13\)
6
図形と方程式：内分点

2点 \(\mathrm{A}(2,\ -3)\)、\(\mathrm{B}(11,\ 15)\) を結ぶ線分を \(2:1\) に内分する点の座標を求めよ。

\(x\)座標 　\(y\)座標
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\(m:n=2:1\)の内分点の公式\(\left(\dfrac{nx_1+mx_2}{m+n},\ \dfrac{ny_1+my_2}{m+n}\right)\)を使う。 \(x=\dfrac{1\times2+2\times11}{2+1}=\dfrac{2+22}{3}=8\) \(y=\dfrac{1\times(-3)+2\times15}{2+1}=\dfrac{-3+30}{3}=9\) \((8,\ 9)\)
7
図形と方程式：円の一般形→標準形

\(x^2+y^2-8x+2y+8=0\) を標準形に直し、中心の座標と半径を求めよ。

中心\(x\)座標 　中心\(y\)座標 　半径
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\(x,\ y\)それぞれ平方完成する。 \(x^2-8x=(x-4)^2-16\)、\(y^2+2y=(y+1)^2-1\) \((x-4)^2-16+(y+1)^2-1+8=0\) \((x-4)^2+(y+1)^2=9\) 中心\((4,\ -1)\)、半径\(3\)
8
三角関数：度→ラジアン

\(210^\circ\) をラジアンで表すと \(\dfrac{\square}{\square}\pi\) の形になる。\(\pi\)を除いた分子・分母をそれぞれ答えよ。

分子＝ 　分母＝
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\(180^\circ=\pi\)（ラジアン）なので、\(1^\circ=\dfrac{\pi}{180}\)。 \(210^\circ = 210\times\dfrac{\pi}{180} = \dfrac{210}{180}\pi = \dfrac{7}{6}\pi\) \(210^\circ = \dfrac{7}{6}\pi\)（ラジアン）
9
三角関数：単位円上の値（第3象限）

\(\theta=210^\circ\) のとき、\(\sin\theta\)、\(\cos\theta\) の値を求めよ。

\(\sin\theta=\) 　\(\cos\theta=\)
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\(210^\circ=180^\circ+30^\circ\)。単位円で第3象限の角なので、\(30^\circ\)の値をもとに符号だけ調整する。 \(\sin210^\circ=-\sin30^\circ=-\dfrac{1}{2}\)（第3象限で\(\sin\)は負） \(\cos210^\circ=-\cos30^\circ=-\dfrac{\sqrt3}{2}\)（第3象限で\(\cos\)は負） \(\sin\theta=-\dfrac{1}{2},\ \cos\theta=-\dfrac{\sqrt3}{2}\)
10
三角関数：加法定理・基本

加法定理を用いて \(\cos15^\circ\) の値を求めよ（\(15^\circ=45^\circ-30^\circ\)として計算せよ）。

\(\cos15^\circ=\)
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加法定理\(\cos(\alpha-\beta)=\cos\alpha\cos\beta+\sin\alpha\sin\beta\)を使う。 \(\cos15^\circ=\cos(45^\circ-30^\circ)=\cos45^\circ\cos30^\circ+\sin45^\circ\sin30^\circ\) \(=\dfrac{\sqrt2}{2}\times\dfrac{\sqrt3}{2}+\dfrac{\sqrt2}{2}\times\dfrac{1}{2}=\dfrac{\sqrt6}{4}+\dfrac{\sqrt2}{4}=\dfrac{\sqrt6+\sqrt2}{4}\) \(\cos15^\circ=\dfrac{\sqrt6+\sqrt2}{4}\)
11
指数関数：有理数指数

\(27^{\frac{2}{3}}\) の値を求めよ。

値
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\(27^{\frac{2}{3}}=\left(27^{\frac{1}{3}}\right)^2=\left(\sqrt[3]{27}\right)^2=3^2=9\) \(27^{\frac{2}{3}}=9\)
12
対数関数：対数の性質（差）

\(\log_3 45 - \log_3 5\) の値を求めよ。

値
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対数の商の性質\(\log_a M-\log_a N=\log_a\dfrac{M}{N}\)を使う。 \(\log_3 45-\log_3 5=\log_3\dfrac{45}{5}=\log_3 9=\log_3 3^2=2\) \(\log_3 45-\log_3 5=2\)
13
指数関数：指数方程式

\(5^{x+2}=125\) を満たす\(x\)の値を求めよ。

\(x=\)
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右辺を底\(5\)にそろえる。\(125=5^3\)なので \(5^{x+2}=5^3\) 底が等しく指数関数は単調なので、指数どうしを比較できる。 \(x+2=3\)　よって\(x=1\) \(x=1\)
14
微分法：導関数の公式

\(f(x)=3x^3-4x^2+5\) の導関数\(f'(x)\)を求めよ。

\(x^2\)の係数 　\(x\)の係数
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\((x^n)'=nx^{n-1}\)を各項に使う。 \(f'(x)=3\times3x^2-4\times2x+0=9x^2-8x\) \(f'(x)=9x^2-8x\)
15
微分法：接線の方程式

\(y=x^2-6x+3\) の \(x=4\) における接線の方程式を、傾きと\(y\)切片で答えよ。

傾き 　\(y\)切片
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\(y'=2x-6\)なので、\(x=4\)での傾きは\(2\times4-6=2\)。 接点の\(y\)座標は\(y(4)=16-24+3=-5\)。 接線：\(y-(-5)=2(x-4)\)　整理すると\(y=2x-8-5=2x-13\) 傾き\(2\)、\(y\)切片\(-13\)（接線\(y=2x-13\)）
16
微分法：増減表→極値

\(f(x)=x^3-6x^2+9x+2\) の極大値と極小値を求めよ。

極大値 （\(x=\) ）　極小値 （\(x=\) ）
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\(f'(x)=3x^2-12x+9=3(x^2-4x+3)=3(x-1)(x-3)\) \(f'(x)=0\)より\(x=1,\ 3\) 増減表を作ると、\(x=1\)の前後で\(f'\)は正から負に変わるので極大、\(x=3\)の前後で負から正に変わるので極小。 \(f(1)=1-6+9+2=6\) \(f(3)=27-54+27+2=2\) \(x=1\)で極大値\(6\)、\(x=3\)で極小値\(2\)
17
積分法：定積分の基本計算

\(\displaystyle\int_0^2 (3x^2-4x+1)\,dx\) の値を求めよ。

値
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不定積分は\(x^3-2x^2+x\)。 \(\Big[x^3-2x^2+x\Big]_0^2 = (8-8+2)-0 = 2\) \(2\)
18
数列：等差数列の一般項

初項\(5\)、公差\(3\)の等差数列\(\{a_n\}\)の第10項\(a_{10}\)を求めよ。

\(a_{10}=\)
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等差数列の一般項\(a_n=a_1+(n-1)d\)を使う。 \(a_{10}=5+(10-1)\times3=5+27=32\) \(a_{10}=32\)
19
数列：等比数列の和

初項\(3\)、公比\(2\)の等比数列\(\{a_n\}\)の初項から第6項までの和\(S_6\)を求めよ。

\(S_6=\)
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等比数列の和の公式\(S_n=\dfrac{a_1(r^n-1)}{r-1}\)（\(r\ne1\)）を使う。 \(S_6=\dfrac{3(2^6-1)}{2-1}=3\times63=189\) \(S_6=189\)
20
数列：Σの公式

\(\displaystyle\sum_{k=1}^{7} k^2\) の値を求めよ。

値
解説を見る
Σ公式\(\displaystyle\sum_{k=1}^{n}k^2=\dfrac{1}{6}n(n+1)(2n+1)\)に\(n=7\)を代入する。 \(\dfrac{1}{6}\times7\times8\times15=\dfrac{840}{6}=140\) \(140\)
21
数列：階差数列

数列\(\{a_n\}\)が\(a_1=1\)、\(a_{n+1}-a_n=2n+1\)を満たすとき、\(a_5\)の値を求めよ。

\(a_5=\)
解説を見る
階差の関係を使って、\(a_1\)から順に足していく。 \(a_2=a_1+(2\times1+1)=1+3=4\) \(a_3=a_2+(2\times2+1)=4+5=9\) \(a_4=a_3+(2\times3+1)=9+7=16\) \(a_5=a_4+(2\times4+1)=16+9=25\) （実はこの数列は\(a_n=n^2\)になっている。\(5^2=25\)で一致することからも検算できる。） \(a_5=25\)
22
統計的な推測：確率変数の期待値

確率変数\(X\)が\(1,\ 2,\ 3\)の値をとり、それぞれの確率が\(0.2,\ 0.5,\ 0.3\)であるとき、期待値\(E(X)\)を求めよ。

\(E(X)=\)
解説を見る
期待値の定義\(E(X)=\displaystyle\sum x_ip_i\)を使う。 \(E(X)=1\times0.2+2\times0.5+3\times0.3=0.2+1.0+0.9=2.1\) \(E(X)=2.1\)
23
統計的な推測：期待値と分散

確率変数\(X\)が\(1,\ 3,\ 5\)の値をとり、それぞれの確率が\(0.3,\ 0.4,\ 0.3\)であるとき、期待値\(E(X)\)と分散\(V(X)\)を求めよ。

\(E(X)=\) 　\(V(X)=\)
解説を見る
\(E(X)=1\times0.3+3\times0.4+5\times0.3=0.3+1.2+1.5=3\) \(V(X)=E(X^2)-\{E(X)\}^2\)を使う。 \(E(X^2)=1^2\times0.3+3^2\times0.4+5^2\times0.3=0.3+3.6+7.5=11.4\) \(V(X)=11.4-3^2=11.4-9=2.4\) \(E(X)=3,\ V(X)=2.4\)
24
統計的な推測：二項分布の期待値・分散

確率変数\(X\)が二項分布\(B(50,\ 0.2)\)に従うとき、期待値\(E(X)\)と分散\(V(X)\)を求めよ。

\(E(X)=\) 　\(V(X)=\)
解説を見る
二項分布\(B(n,p)\)の公式\(E(X)=np\)、\(V(X)=np(1-p)\)を使う。 \(E(X)=50\times0.2=10\) \(V(X)=50\times0.2\times0.8=8\) \(E(X)=10,\ V(X)=8\)
25
統計的な推測：正規分布の標準化

確率変数\(X\)が正規分布\(N(50,\ 10^2)\)に従うとき、\(X=65\)を標準化した値\(z=\dfrac{X-50}{10}\)を求めよ。

\(z=\)
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標準化の公式\(z=\dfrac{X-m}{\sigma}\)（\(m\)は平均、\(\sigma\)は標準偏差）に\(X=65,\ m=50,\ \sigma=10\)を代入する。 \(z=\dfrac{65-50}{10}=\dfrac{15}{10}=1.5\) \(z=1.5\)
標準（26〜50）
26
式と証明：相加相乗平均

\(a>0\) のとき、\(a+\dfrac{16}{a}\) の最小値を求めよ。

最小値 　そのとき \(a=\)
解説を見る
\(a>0\)より\(\dfrac{16}{a}>0\)なので、相加平均・相乗平均の関係が使える。 \(a+\dfrac{16}{a} \ge 2\sqrt{a\cdot\dfrac{16}{a}} = 2\sqrt{16} = 8\) 等号は\(a=\dfrac{16}{a}\)のとき。両辺に\(a\)をかけて\(a^2=16\)、\(a>0\)より\(a=4\)。 \(a=4\) のとき最小値 \(8\)
27
式と証明：恒等式の未知係数

等式 \(a(x-1)^2+b(x-1)+c = x^2+2\) が\(x\)についての恒等式となるように、定数\(a,\,b,\,c\)の値を求めよ。

\(a=\) 　\(b=\) 　\(c=\)
解説を見る
左辺を展開して\(x\)について整理する。 \(a(x-1)^2+b(x-1)+c = a(x^2-2x+1)+b(x-1)+c = ax^2+(-2a+b)x+(a-b+c)\) これが\(x^2+0\cdot x+2\)と恒等的に等しいので、両辺の係数を比較する。 \(x^2\)の係数：\(a=1\) \(x\)の係数：\(-2a+b=0\)　より　\(b=2a=2\) 定数項：\(a-b+c=2\)　より　\(1-2+c=2\)、\(c=3\) \(a=1,\ b=2,\ c=3\)
28
複素数と方程式：解と係数の関係

2次方程式 \(x^2-7x+11=0\) の2つの解を\(\alpha,\ \beta\)とする。解を求めずに、解と係数の関係を用いて\(\alpha^2+\beta^2\)の値を求めよ。

\(\alpha^2+\beta^2=\)
解説を見る
\(a=1,\ b=-7,\ c=11\)なので、解と係数の関係より \(\alpha+\beta=-\dfrac{-7}{1}=7\)、\(\alpha\beta=\dfrac{11}{1}=11\) \((\alpha+\beta)^2=\alpha^2+2\alpha\beta+\beta^2\)を変形すると \(\alpha^2+\beta^2=(\alpha+\beta)^2-2\alpha\beta=7^2-2\times11=49-22=27\) \(\alpha^2+\beta^2=27\)
29
複素数と方程式：剰余の定理（2次式で割った余り）

整式 \(P(x)=x^3+2x^2-x+4\) を \((x-1)(x+3)\) で割った余りを \(ax+b\) とするとき、\(a,\ b\) の値を求めよ。

\(a=\) 　\(b=\)
解説を見る
割り算の等式より\(P(x)=(x-1)(x+3)Q(x)+ax+b\)（\(Q(x)\)は商）。 \(x=1\)を代入すると\((x-1)(x+3)\)の部分が\(0\)になるので\(P(1)=a+b\)。 \(P(1)=1+2-1+4=6\)　よって\(a+b=6\)　…(1) \(x=-3\)を代入すると同様に\(P(-3)=-3a+b\)。 \(P(-3)=-27+18+3+4=-2\)　よって\(-3a+b=-2\)　…(2) (1)−(2)：\(4a=8\)　\(a=2\)。(1)に代入して\(b=4\)。 検算：\(a+b=2+4=6\)（一致）、\(-3a+b=-6+4=-2\)（一致）。 \(a=2,\ b=4\)
30
複素数と方程式：因数定理・高次方程式（虚数解を含む）

方程式 \(x^3-4x^2+6x-4=0\) を解け（虚数解はコンマ区切りで入力）。

実数解 \(x=\) 　虚数解 \(x=\)
解説を見る
\(P(x)=x^3-4x^2+6x-4\)とおく。定数項\(-4\)の約数の中から探すと \(P(2)=8-16+12-4=0\) なので、因数定理より\(P(x)\)は\(x-2\)を因数にもつ。 実際に割り算すると\(P(x)=(x-2)(x^2-2x+2)\)（筆算・検算で確認できる）。 \(x^2-2x+2=0\)を解の公式（\(b'\)の公式）で解く。 \(b'=-1\)、\(b'^2-ac=(-1)^2-1\times2=1-2=-1\) \(x=\dfrac{-b'\pm\sqrt{-1}}{a}=1\pm i\) \(x=2,\ 1+i,\ 1-i\)
31
図形と方程式：円の接線

円 \(x^2+y^2=25\) 上の点 \((3,\ -4)\) における接線の方程式を、傾きと\(y\)切片で答えよ。

傾き 　\(y\)切片
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円\(x^2+y^2=r^2\)上の点\((x_1,y_1)\)における接線の公式は\(x_1x+y_1y=r^2\)。 \(3x-4y=25\) 整理すると\(y=\dfrac{3}{4}x-\dfrac{25}{4}\)。 傾き\(\dfrac{3}{4}\)、\(y\)切片\(-\dfrac{25}{4}\)（接線\(3x-4y=25\)）
32
図形と方程式：軌跡と円

2点 \(\mathrm{A}(0,\ 0)\)、\(\mathrm{B}(9,\ 0)\) から、\(\mathrm{PA}:\mathrm{PB}=2:1\) となるように動く点\(\mathrm{P}(x,\ y)\)の軌跡を求めよ。円の中心の座標と半径を答えよ。

中心\(x\)座標 　中心\(y\)座標 　半径
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条件\(\mathrm{PA}:\mathrm{PB}=2:1\)より\(\mathrm{PA}=2\mathrm{PB}\)。両辺を2乗して\(\mathrm{PA}^2=4\mathrm{PB}^2\)とすれば根号が消える。 \(x^2+y^2=4\{(x-9)^2+y^2\}\) \(x^2+y^2=4x^2-72x+324+4y^2\) \(0=3x^2-72x+324+3y^2\) 両辺を3で割って\(x^2-24x+108+y^2=0\)、\(x\)について平方完成する。 \((x-12)^2-144+108+y^2=0\) \((x-12)^2+y^2=36\) 中心\((12,\ 0)\)、半径\(6\)の円
33
図形と方程式：点と直線の距離・垂直条件

直線 \(l:\ 3x+4y-12=0\) について、点 \((2,\ 5)\) から\(l\)までの距離と、原点を通り\(l\)に垂直な直線の傾きを求めよ。

距離 　垂直な直線の傾き
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点と直線の距離の公式\(\dfrac{|ax_1+by_1+c|}{\sqrt{a^2+b^2}}\)を、直線\(3x+4y-12=0\)（\(a=3,b=4,c=-12\)）と点\((2,5)\)に使う。 距離\(=\dfrac{|3\times2+4\times5-12|}{\sqrt{3^2+4^2}}=\dfrac{|6+20-12|}{5}=\dfrac{14}{5}\) 垂直な2直線の傾きの積は\(-1\)になる。\(l\)の傾きは\(-\dfrac{3}{4}\)なので、垂直な直線の傾きを\(m\)とすると \(-\dfrac{3}{4}\times m=-1\)　\(m=\dfrac{4}{3}\) 距離\(\dfrac{14}{5}\)、垂直な直線の傾きは\(\dfrac{4}{3}\)
34
三角関数：2倍角の公式

\(\sin\theta=\dfrac{5}{13}\)、\(0<\theta<\dfrac{\pi}{2}\)のとき、\(\sin2\theta\)、\(\cos2\theta\)の値を求めよ。

\(\sin2\theta=\) 　\(\cos2\theta=\)
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\(0<\theta<\dfrac{\pi}{2}\)なので\(\cos\theta>0\)。相互関係\(\sin^2\theta+\cos^2\theta=1\)より \(\cos\theta=\sqrt{1-\left(\dfrac{5}{13}\right)^2}=\sqrt{\dfrac{144}{169}}=\dfrac{12}{13}\) 2倍角の公式を使う。 \(\sin2\theta=2\sin\theta\cos\theta=2\times\dfrac{5}{13}\times\dfrac{12}{13}=\dfrac{120}{169}\) \(\cos2\theta=1-2\sin^2\theta=1-2\times\dfrac{25}{169}=1-\dfrac{50}{169}=\dfrac{119}{169}\) \(\sin2\theta=\dfrac{120}{169},\ \cos2\theta=\dfrac{119}{169}\)
35
三角関数：三角関数の合成

\(\sin\theta+\cos\theta\) を \(r\sin(\theta+\alpha)\) の形に合成せよ（\(0\le\alpha<2\pi\)）。

\(r=\) 　\(\alpha=\)
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\(r=\sqrt{1^2+1^2}=\sqrt2\) \(\cos\alpha=\dfrac{1}{\sqrt2}=\dfrac{\sqrt2}{2},\ \sin\alpha=\dfrac{1}{\sqrt2}=\dfrac{\sqrt2}{2}\)を満たす\(\alpha\)は\(\alpha=\dfrac{\pi}{4}\)。 \(\sin\theta+\cos\theta = \sqrt2\sin\left(\theta+\dfrac{\pi}{4}\right)\)
36
三角関数：三角方程式

\(0\le\theta<2\pi\)のとき、\(2\sin\theta-1=0\) を解け（答えが2つあるときはコンマ区切りで入力）。

\(\theta=\)
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\(2\sin\theta-1=0\)より\(\sin\theta=\dfrac{1}{2}\)。 単位円で\(y\)座標が\(\dfrac{1}{2}\)になる角を、\(0\le\theta<2\pi\)の範囲ですべて求める。第1象限と第2象限に1つずつある。 \(\theta=\dfrac{\pi}{6},\ \dfrac{5}{6}\pi\)
37
対数関数：対数不等式・真数条件

\(\log_3(x+1)+\log_3(x-1)<2\) を解け。

\(x\)の範囲は下端＝ 　上端＝
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真数条件：\(x+1>0\)かつ\(x-1>0\)より\(x>1\)　…(1) 左辺を1つの対数にまとめる。 \(\log_3(x+1)(x-1)<2=\log_3 9\) 底\(3\)は\(1\)より大きいので、対数は単調増加。真数どうしを比較できる。 \((x+1)(x-1)<9\) \(x^2-1<9\) \(x^2<10\) \(-\sqrt{10}<x<\sqrt{10}\)　…(2) (1)と(2)の共通範囲をとる。 \(1<x<\sqrt{10}\)
38
対数関数：常用対数・桁数

\(\log_{10}3=0.4771\)として、\(3^{50}\)は何桁の数か求めよ。

桁数 桁
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\(\log_{10}3^{50}=50\log_{10}3=50\times0.4771=23.855\) \(23 \le \log_{10}3^{50} < 24\)なので、\(10^{23} \le 3^{50} < 10^{24}\)。これは24桁の数であることを意味する（一般に\(\log_{10}N\)の整数部分に\(1\)を足した値が\(N\)の桁数）。 24桁
39
微分法：区間の最大最小（端点比較を含む）

\(f(x)=2x^3-3x^2-12x\)（\(-2\le x\le3\)）の最大値・最小値を求めよ。

最大値 （\(x=\) ）　最小値 （\(x=\) ）
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\(f'(x)=6x^2-6x-12=6(x^2-x-2)=6(x-2)(x+1)\)。区間\([-2,3]\)の中にある極値は\(x=-1\)（極大）、\(x=2\)（極小）。 候補点（両端点と極値の\(x\)）をすべて調べる。 \(f(-2)=2\times(-8)-3\times4-12\times(-2)=-16-12+24=-4\) \(f(-1)=2\times(-1)-3\times1-12\times(-1)=-2-3+12=7\) \(f(2)=2\times8-3\times4-12\times2=16-12-24=-20\) \(f(3)=2\times27-3\times9-12\times3=54-27-36=-9\) 比べると、最大は\(x=-1\)の\(7\)。最小は\(x=2\)の\(-20\)。 \(x=-1\)で最大値\(7\)、\(x=2\)で最小値\(-20\)
40
積分法：2曲線間の面積

放物線 \(y=x^2-2x\) と直線 \(y=x\) で囲まれた部分の面積を求めよ。

面積
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交点を求める。\(x^2-2x=x\)より\(x^2-3x=0\)、\(x(x-3)=0\)、\(x=0,\ 3\)。 \(0\le x\le3\)では\(x \ge x^2-2x\)（例えば\(x=1\)で\(1>1-2=-1\)）なので、上側の曲線は\(y=x\)。 面積\(=\displaystyle\int_0^3\{x-(x^2-2x)\}\,dx=\int_0^3(3x-x^2)\,dx=\Big[\dfrac{3}{2}x^2-\dfrac{x^3}{3}\Big]_0^3=\left(\dfrac{27}{2}-9\right)-0=\dfrac{9}{2}\) 面積\(=\dfrac{9}{2}\)
41
数列：漸化式（\(a_{n+1}=pa_n+q\) 型）

数列\(\{a_n\}\)が\(a_1=1\)、\(a_{n+1}=3a_n+4\)を満たすとき、\(a_4\)の値を求めよ。

\(a_4=\)
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\(\alpha=3\alpha+4\)を満たす\(\alpha\)を求めると\(\alpha=-2\)。両辺から\(-2\)を引く形に変形する。 \(a_{n+1}-(-2)=3\{a_n-(-2)\}\)　すなわち　\(a_{n+1}+2=3(a_n+2)\) 数列\(\{a_n+2\}\)は初項\(a_1+2=3\)、公比\(3\)の等比数列なので \(a_n+2=3\times3^{n-1}=3^n\)　よって\(a_n=3^n-2\) \(a_4=3^4-2=81-2=79\) \(a_4=79\)（一般項は\(a_n=3^n-2\)）
42
数列：Σ公式の組み合わせによる和の計算

\(\displaystyle\sum_{k=1}^{10} k(k+1)\) の値を求めよ。

値
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\(k(k+1)=k^2+k\)と展開してから、Σを分ける。 \(\displaystyle\sum_{k=1}^{10}k(k+1)=\sum_{k=1}^{10}k^2+\sum_{k=1}^{10}k\) \(\displaystyle\sum_{k=1}^{10}k^2=\dfrac{1}{6}\times10\times11\times21=385\) \(\displaystyle\sum_{k=1}^{10}k=\dfrac{1}{2}\times10\times11=55\) \(385+55=440\) （この等式\(\displaystyle\sum_{k=1}^n k(k+1)=\dfrac{n(n+1)(n+2)}{3}\)は数学的帰納法でも証明できる。\(n=10\)を代入すると\(\dfrac{10\times11\times12}{3}=440\)で一致する。） \(440\)
43
数列：いろいろな数列（部分分数分解して和をとる）

\(\displaystyle\sum_{k=1}^{5} \dfrac{1}{k(k+1)}\) の値を求めよ。

値
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部分分数分解\(\dfrac{1}{k(k+1)}=\dfrac{1}{k}-\dfrac{1}{k+1}\)を使うと、途中の項が打ち消し合う。 \(\displaystyle\sum_{k=1}^{5}\left(\dfrac{1}{k}-\dfrac{1}{k+1}\right)=\left(\dfrac{1}{1}-\dfrac{1}{2}\right)+\left(\dfrac{1}{2}-\dfrac{1}{3}\right)+\cdots+\left(\dfrac{1}{5}-\dfrac{1}{6}\right)=1-\dfrac{1}{6}=\dfrac{5}{6}\) \(\dfrac{5}{6}\)
44
統計的な推測：二項分布の確率計算

確率変数\(X\)が二項分布\(B\left(4,\ \dfrac{1}{3}\right)\)に従うとき、\(P(X=2)\)を求めよ。

\(P(X=2)=\)
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二項分布の確率\(P(X=k)={}_n\mathrm{C}_k\,p^k(1-p)^{n-k}\)を使う。 \(P(X=2)={}_4\mathrm{C}_2\left(\dfrac{1}{3}\right)^2\left(\dfrac{2}{3}\right)^2=6\times\dfrac{1}{9}\times\dfrac{4}{9}=\dfrac{24}{81}=\dfrac{8}{27}\) \(P(X=2)=\dfrac{8}{27}\)
45
統計的な推測：正規分布の確率

確率変数\(X\)が正規分布\(N(60,\ 8^2)\)に従うとき、\(P(60\le X\le68)\)を求めよ。正規分布表より\(P(0\le Z\le1)=0.3413\)とする。

\(P(60\le X\le68)=\)
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\(X\)を標準化する。\(X=68\)のとき \(z=\dfrac{68-60}{8}=1\) \(X=60\)は平均そのものなので\(z=0\)。よって \(P(60\le X\le68)=P(0\le Z\le1)=0.3413\) \(0.3413\)
46
統計的な推測：母比率の推定（信頼区間）

ある母集団から大きさ\(100\)の標本を無作為抽出したところ、標本比率が\(0.5\)であった。母比率\(p\)に対する信頼度95%の信頼区間を求めよ（\(1.96\sqrt{\dfrac{\hat{p}(1-\hat{p})}{n}}\)を計算せよ）。

下端＝ 　上端＝
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信頼区間の公式\(\hat{p}\pm1.96\sqrt{\dfrac{\hat{p}(1-\hat{p})}{n}}\)に\(\hat{p}=0.5,\ n=100\)を代入する。 \(\sqrt{\dfrac{0.5\times0.5}{100}}=\sqrt{0.0025}=0.05\) \(1.96\times0.05=0.098\) \(0.5-0.098=0.402\)、\(0.5+0.098=0.598\) \(0.402 \le p \le 0.598\)
47
総合：図形と方程式×三角関数（円上の点の座標と合成）

円 \(x^2+y^2=9\) 上の点を \(\mathrm{P}(3\cos\theta,\ 3\sin\theta)\)（\(0\le\theta<2\pi\)）とする。\(x+y\)（\(x,\ y\)は点\(\mathrm{P}\)の座標）の最大値と、そのときの\(\theta\)を求めよ。

最大値 　そのとき \(\theta=\)
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点\(\mathrm{P}\)の座標を代入すると \(x+y = 3\cos\theta+3\sin\theta\) これを三角関数の合成で1本のsinにまとめる。 \(r=\sqrt{3^2+3^2}=\sqrt{18}=3\sqrt2\) \(\cos\alpha=\dfrac{3}{3\sqrt2}=\dfrac{1}{\sqrt2},\ \sin\alpha=\dfrac{3}{3\sqrt2}=\dfrac{1}{\sqrt2}\)を満たす\(\alpha=\dfrac{\pi}{4}\)なので \(3\sin\theta+3\cos\theta=3\sqrt2\sin\left(\theta+\dfrac{\pi}{4}\right)\) \(\sin\)の最大値は\(1\)なので、最大値は\(3\sqrt2\)。等号は\(\theta+\dfrac{\pi}{4}=\dfrac{\pi}{2}\)、すなわち\(\theta=\dfrac{\pi}{4}\)のとき（これは\(0\le\theta<2\pi\)の範囲に入っている）。 \(\theta=\dfrac{\pi}{4}\)のとき最大値\(3\sqrt2\)
48
総合：式と証明×複素数と方程式（3次の対称式）

2次方程式 \(x^2-6x+13=0\) の解を\(\alpha,\ \beta\)とする。恒等式 \(\alpha^3+\beta^3=(\alpha+\beta)^3-3\alpha\beta(\alpha+\beta)\) を用いて、\(\alpha^3+\beta^3\)の値を求めよ。

\(\alpha^3+\beta^3=\)
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この方程式は判別式\(D=36-52=-16<0\)なので、\(\alpha,\ \beta\)は共役な虚数である。しかし解と係数の関係は実数解のときと同じ形のまま使える。 \(\alpha+\beta=-\dfrac{-6}{1}=6\)、\(\alpha\beta=\dfrac{13}{1}=13\) 恒等式\(\alpha^3+\beta^3=(\alpha+\beta)^3-3\alpha\beta(\alpha+\beta)\)に代入する（この恒等式は、式と証明の章で学んだ3次の乗法公式\((a+b)^3=a^3+3a^2b+3ab^2+b^3\)を変形して導いたものである）。 \(\alpha^3+\beta^3=6^3-3\times13\times6=216-234=-18\) \(\alpha^3+\beta^3=-18\)
49
総合：数列×統計的な推測（Σ公式を期待値の計算に使う）

1個のさいころを1回投げて出た目を\(X\)とする。数列の章のΣ公式を使って、\(E(X^2)\)の値を求めよ。

\(E(X^2)=\)
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さいころの目は\(1\)から\(6\)まで、それぞれ確率\(\dfrac{1}{6}\)で出る。期待値の定義より \(E(X^2)=\displaystyle\sum_{k=1}^{6}k^2\times\dfrac{1}{6}=\dfrac{1}{6}\sum_{k=1}^{6}k^2\) Σ公式\(\displaystyle\sum_{k=1}^{n}k^2=\dfrac{1}{6}n(n+1)(2n+1)\)に\(n=6\)を代入する。 \(\displaystyle\sum_{k=1}^{6}k^2=\dfrac{1}{6}\times6\times7\times13=91\) \(E(X^2)=\dfrac{91}{6}\) \(E(X^2)=\dfrac{91}{6}\)
50
総合：指数関数×式と証明（相加相乗平均の応用）

\(x\)がすべての実数を動くとき、\(3^x+3^{2-x}\)の最小値を、相加平均・相乗平均の関係を用いて求めよ。

最小値 　そのとき \(x=\)
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\(t=3^x\)とおく。指数関数の性質より、\(x\)がすべての実数を動くとき\(t\)はつねに正の実数を動く（\(t>0\)）。 \(3^{2-x}=\dfrac{3^2}{3^x}=\dfrac{9}{t}\)なので \(3^x+3^{2-x}=t+\dfrac{9}{t}\) \(t>0\)より\(\dfrac{9}{t}>0\)なので、相加平均・相乗平均の関係が使える。 \(t+\dfrac{9}{t} \ge 2\sqrt{t\cdot\dfrac{9}{t}} = 2\sqrt{9} = 6\) 等号は\(t=\dfrac{9}{t}\)のとき、すなわち\(t^2=9,\ t>0\)より\(t=3\)。このとき\(3^x=3\)なので\(x=1\)。 \(x=1\)のとき最小値\(6\)
発展（51〜60）
51
総合：微分法×複素数と方程式（単調性と虚数解）

3次方程式 \(x^3-3x^2+7x-5=0\) について、\(f(x)=x^3-3x^2+7x-5\)の導関数\(f'(x)\)がつねに正であることを示し、実数解がただ1つであることを説明せよ。そのうえで、実数解と残り2つの解（虚数解）をすべて求めよ（虚数解はコンマ区切りで入力）。

実数解 \(x=\) 　虚数解 \(x=\)
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まず\(f'(x)\)を計算する。 \(f'(x)=3x^2-6x+7\) この2次式の判別式は\(D=(-6)^2-4\times3\times7=36-84=-48<0\)。判別式が負で\(x^2\)の係数が正なので、この2次式はつねに正である。したがって\(f'(x)=3x^2-6x+7>0\)がすべての\(x\)で成り立ち、\(f(x)\)はつねに増加する関数である。増加し続ける関数のグラフは\(x\)軸とちょうど1回しか交わらないので、実数解はただ1つ。 その実数解を因数定理で探す。定数項\(-5\)の約数を試すと \(f(1)=1-3+7-5=0\) なので\(x=1\)が実数解。 割り算すると\(f(x)=(x-1)(x^2-2x+5)\)（筆算・検算で確認できる）。残りの解は\(x^2-2x+5=0\)を解く。 \(b'=-1\)、\(b'^2-ac=(-1)^2-1\times5=1-5=-4\) \(x=\dfrac{-b'\pm\sqrt{-4}}{a}=1\pm2i\) 実数解\(x=1\)、虚数解\(x=1+2i,\ 1-2i\)
52
三角関数：合成による最大値

\(f(\theta)=3\cos\theta+4\sin\theta\)（\(0\le\theta<2\pi\)）を合成して、最大値を求めよ。

最大値
解説を見る
\(f(\theta)=4\sin\theta+3\cos\theta\)と並べ替えて、\(a\sin\theta+b\cos\theta=r\sin(\theta+\alpha)\)の形の合成公式を使う（\(a=4,\ b=3\)）。 \(r=\sqrt{a^2+b^2}=\sqrt{4^2+3^2}=\sqrt{25}=5\) \(\cos\alpha=\dfrac{a}{r}=\dfrac{4}{5},\ \sin\alpha=\dfrac{b}{r}=\dfrac{3}{5}\)を満たす角を\(\alpha\)とすると \(f(\theta)=4\sin\theta+3\cos\theta=5\sin(\theta+\alpha)\) \(\sin\)の値は\(-1\)以上\(1\)以下なので、\(f(\theta)=5\sin(\theta+\alpha)\)の最大値は、\(\sin(\theta+\alpha)=1\)のときの\(5\)である（\(\theta+\alpha=\dfrac{\pi}{2}\)となる\(\theta\)は\(0\le\theta<2\pi\)の範囲に必ず存在する）。 （検算: \(\sin(\theta+\alpha)=1\)のとき、\(\sin\theta=\cos\alpha=\dfrac{4}{5},\ \cos\theta=\sin\alpha=\dfrac{3}{5}\)であることが加法定理からわかる。これを\(f(\theta)\)に代入すると\(f(\theta)=4\times\dfrac{4}{5}+3\times\dfrac{3}{5}=\dfrac{16}{5}+\dfrac{9}{5}=\dfrac{25}{5}=5\)となり、たしかに一致する。） 最大値\(5\)
53
総合：式と証明×数列（3次式の展開公式を用いた数学的帰納法）

すべての自然数\(n\)について、等式 \[ 1^3+2^3+3^3+\cdots+n^3=\left\{\dfrac{n(n+1)}{2}\right\}^2 \] が成り立つことを数学的帰納法で証明せよ（\(n=k\)から\(n=k+1\)に進む式変形では、式と証明の章で学んだ3次式の展開公式\((a+b)^3=a^3+3a^2b+3ab^2+b^3\)の考え方を使って、両辺がきちんと一致することを丁寧に示すこと）。

解説を見る
\([1]\) \(n=1\)のとき。左辺\(=1^3=1\)、右辺\(=\left\{\dfrac{1\times2}{2}\right\}^2=1^2=1\)。両辺が一致するので、\(n=1\)で成り立つ。 \([2]\) \(n=k\)のとき成り立つ、すなわち \(1^3+2^3+\cdots+k^3=\left\{\dfrac{k(k+1)}{2}\right\}^2\) が成り立つと仮定する。この仮定のもとで、\(n=k+1\)のときも成り立つことを示す。 \(n=k+1\)のときの左辺は、仮定した等式の両辺に\((k+1)^3\)を加えたものである。 \(1^3+2^3+\cdots+k^3+(k+1)^3=\left\{\dfrac{k(k+1)}{2}\right\}^2+(k+1)^3\) 右辺を目標の形\(\left\{\dfrac{(k+1)(k+2)}{2}\right\}^2\)と一致するように整理する。共通因数\((k+1)^2\)でくくり出す。 \(\left\{\dfrac{k(k+1)}{2}\right\}^2+(k+1)^3 = (k+1)^2\left\{\dfrac{k^2}{4}+(k+1)\right\} = (k+1)^2\times\dfrac{k^2+4k+4}{4} = (k+1)^2\times\dfrac{(k+2)^2}{4}\) （ここで\(k^2+4k+4\)が\((k+2)^2\)に等しいことは、3次式の展開で使う「差をとって整理する」発想と同じく、いったん式を丁寧に展開・整理して確かめる。実際\((k+2)^2=k^2+2\times k\times2+2^2=k^2+4k+4\)で一致する。） これは \(=\left\{\dfrac{(k+1)(k+2)}{2}\right\}^2\) と書き直せる。これは\(n=k+1\)のときに求める右辺の形とちょうど一致する。 \([1][2]\)より、数学的帰納法によって、すべての自然数\(n\)についてこの等式は成り立つ。 \(1^3+2^3+\cdots+n^3=\left\{\dfrac{n(n+1)}{2}\right\}^2\)がすべての自然数\(n\)で成り立つ（\(n=1\)で成立を確認し、\(n=k\)での成立を仮定して\(n=k+1\)での成立を、3次式の展開・整理によって示した）。
54
総合：統計的な推測×数列（二項分布の分散とΣの考え方）

確率変数\(X\)が二項分布\(B\left(8,\ \dfrac{1}{4}\right)\)に従うとき、分散\(V(X)\)と標準偏差\(\sigma(X)\)を求めよ。

\(V(X)=\) 　\(\sigma(X)=\)
解説を見る
二項分布\(B(n,p)\)に従う\(X\)は、1回ごとの試行結果を表す確率変数\(X_1,\ X_2,\ \ldots,\ X_n\)（それぞれ0か1の値をとる）の和\(X=X_1+X_2+\cdots+X_n\)とみなせる。数列の章で「同じものをn個足す」という和の構造をΣで扱った発想がここでも使われており、公式\(V(X)=np(1-p)\)はこの和の構造から導かれる。 \(n=8,\ p=\dfrac{1}{4}\)を代入する。 \(V(X)=8\times\dfrac{1}{4}\times\dfrac{3}{4}=\dfrac{8\times3}{16}=\dfrac{24}{16}=\dfrac{3}{2}\) 標準偏差は分散の正の平方根。 \(\sigma(X)=\sqrt{\dfrac{3}{2}}=\dfrac{\sqrt3}{\sqrt2}=\dfrac{\sqrt6}{2}\) \(V(X)=\dfrac{3}{2}\)、\(\sigma(X)=\dfrac{\sqrt6}{2}\)
55
総合：指数関数×数列（複利計算と等比数列）

元金\(10\)万円を年利\(5\%\)（\(1.05\)倍）の複利で運用するとき、\(n\)年後の元利合計は\(10\times1.05^n\)（万円）と表せる（等比数列の一般項と同じ形である）。\(\log_{10}1.05=0.0212\)、\(\log_{10}2=0.3010\)として、元利合計が初めて\(20\)万円を超えるのは何年後か求めよ。

初めて20万円を超えるのは 年後
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条件は\(10\times1.05^n>20\)、すなわち\(1.05^n>2\)。 両辺の常用対数をとる（底\(10\)は\(1\)より大きいので、対数は単調増加、不等号の向きは変わらない）。 \(n\log_{10}1.05>\log_{10}2\) \(0.0212\,n>0.3010\) \(n>\dfrac{0.3010}{0.0212}=14.198\ldots\) \(n\)は自然数なので、これを満たす最小の\(n\)は\(n=15\)。 15年後
56
総合：図形と方程式×微分法（接線と点の距離）

3次関数 \(y=2x^3-x\) の \(x=1\) における接線の方程式を求めよ。また、点 \((0,\ 9)\) からその接線までの距離を求めよ。

接線の傾き 　距離
解説を見る
\(y'=6x^2-1\)なので、\(x=1\)での傾きは\(6\times1-1=5\)。接点は\((1,\ 1)\)（\(y(1)=2-1=1\)）。 接線：\(y-1=5(x-1)\)　すなわち\(y=5x-5+1=5x-4\)、整理すると\(5x-y-4=0\)。 点と直線の距離の公式\(\dfrac{|ax_1+by_1+c|}{\sqrt{a^2+b^2}}\)を、直線\(5x-y-4=0\)（\(a=5,b=-1,c=-4\)）と点\((0,9)\)に使う。 距離\(=\dfrac{|5\times0-1\times9-4|}{\sqrt{5^2+(-1)^2}}=\dfrac{|-13|}{\sqrt{26}}=\dfrac{13}{\sqrt{26}}=\dfrac{13\sqrt{26}}{26}=\dfrac{\sqrt{26}}{2}\) 接線の傾き\(5\)（\(y=5x-4\)）、距離は\(\dfrac{\sqrt{26}}{2}\)
57
総合：式と証明×図形と方程式（相加相乗平均と面積）

\(x>0,\ y>0\)で\(3x+2y=12\)のとき、相加平均・相乗平均の関係を用いて\(xy\)の最大値を求めよ。さらに、直線\(3x+2y=12\)と\(x\)軸・\(y\)軸で囲まれる三角形の面積を求めよ。

\(xy\)の最大値 　三角形の面積
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\(3x>0,\ 2y>0\)なので、相加平均・相乗平均の関係が使える。 \(3x+2y \ge 2\sqrt{3x\cdot2y} = 2\sqrt{6xy}\) 条件\(3x+2y=12\)を代入すると\(12 \ge 2\sqrt{6xy}\)、よって\(\sqrt{6xy}\le6\)。両辺とも0以上なので2乗して\(6xy\le36\)、すなわち\(xy\le6\)。 等号は\(3x=2y\)のとき。これと\(3x+2y=12\)を合わせると\(2y+2y=12\)、\(y=3,\ x=2\)。実際\(xy=2\times3=6\)で最大値が実現している。 三角形について。直線\(3x+2y=12\)は\(x\)軸と\(y=0\)のとき\(x=4\)の点\((4,\ 0)\)で、\(y\)軸と\(x=0\)のとき\(y=6\)の点\((0,\ 6)\)で交わる。原点・\((4,0)\)・\((0,6)\)を頂点とする直角三角形の面積は \(\dfrac{1}{2}\times4\times6=12\) \(xy\)の最大値は\(6\)（\(x=2,y=3\)のとき）、三角形の面積は\(12\)
58
総合：式と証明×統計的な推測（二項定理と確率の総和）

確率変数\(X\)が二項分布\(B(n,\ p)\)に従うとき、確率の総和\(\displaystyle\sum_{k=0}^{n}P(X=k)={}_n\mathrm{C}_0p^0(1-p)^n+{}_n\mathrm{C}_1p^1(1-p)^{n-1}+\cdots+{}_n\mathrm{C}_np^n(1-p)^0\)が、つねに\(1\)になることを、式と証明の章で学んだ二項定理を用いて説明せよ。

解説を見る
二項定理は、\(a+b\)の\(n\)乗を展開する公式である。 \((a+b)^n = {}_n\mathrm{C}_0a^n+{}_n\mathrm{C}_1a^{n-1}b+{}_n\mathrm{C}_2a^{n-2}b^2+\cdots+{}_n\mathrm{C}_nb^n = \displaystyle\sum_{k=0}^{n}{}_n\mathrm{C}_k\,a^{n-k}b^k\) ここで\(a=(1-p)\)、\(b=p\)とおいて二項定理を適用すると \(\{(1-p)+p\}^n = \displaystyle\sum_{k=0}^{n}{}_n\mathrm{C}_k(1-p)^{n-k}p^k\) 右辺は、\(k=0\)から\(k=n\)までの\({}_n\mathrm{C}_k\,p^k(1-p)^{n-k}\)の和であり、これはちょうど二項分布の確率\(P(X=k)\)の総和\(\displaystyle\sum_{k=0}^{n}P(X=k)\)そのものである。 一方、左辺は\((1-p)+p=1\)なので\(1^n=1\)。 したがって \(\displaystyle\sum_{k=0}^{n}P(X=k) = \{(1-p)+p\}^n = 1^n = 1\) がつねに成り立つ。つまり、二項定理という式と証明の章の道具が、統計的な推測の章で「確率の総和は必ず1になる」という当然に思える性質を、計算によってきちんと裏付けている。 二項定理\((a+b)^n=\displaystyle\sum_{k=0}^n {}_n\mathrm{C}_k a^{n-k}b^k\)に\(a=1-p,\ b=p\)を代入すると\(\{(1-p)+p\}^n=1^n=1\)となり、これがそのまま確率の総和\(\displaystyle\sum_{k=0}^n P(X=k)\)に一致するので、総和は必ず\(1\)になる。
59
総合：三角関数×数列（sinの値の和）

\(\sin\dfrac{\pi}{6}+\sin\dfrac{2\pi}{6}+\sin\dfrac{3\pi}{6}+\sin\dfrac{4\pi}{6}+\sin\dfrac{5\pi}{6}+\sin\dfrac{6\pi}{6}\) の値を求めよ。

値
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数列の和のように、6個の項を単位円上の値として1つずつ求めて合計する。 \(\sin\dfrac{\pi}{6}=\dfrac{1}{2}\)、\(\sin\dfrac{2\pi}{6}=\sin\dfrac{\pi}{3}=\dfrac{\sqrt3}{2}\)、\(\sin\dfrac{3\pi}{6}=\sin\dfrac{\pi}{2}=1\) \(\sin\dfrac{4\pi}{6}=\sin\dfrac{2\pi}{3}=\dfrac{\sqrt3}{2}\)、\(\sin\dfrac{5\pi}{6}=\dfrac{1}{2}\)、\(\sin\dfrac{6\pi}{6}=\sin\pi=0\) すべて足し合わせる。 \(\dfrac{1}{2}+\dfrac{\sqrt3}{2}+1+\dfrac{\sqrt3}{2}+\dfrac{1}{2}+0 = \left(\dfrac{1}{2}+\dfrac{1}{2}\right)+\left(\dfrac{\sqrt3}{2}+\dfrac{\sqrt3}{2}\right)+1+0 = 1+\sqrt3+1 = 2+\sqrt3\) \(2+\sqrt3\)
60
総合：数列×図形と方程式×三角関数（学年の総仕上げ）

円\(C:\ x^2+y^2=25\)上を反時計回りに動く点\(\mathrm{P}_n\)について、原点\(\mathrm{O}\)と点\(\mathrm{P}_n\)を結ぶ動径\(\mathrm{OP}_n\)の表す角（ラジアン）を、時刻\(n\)（\(n=1,2,3,\ldots\)）ごとに数列\(\{\theta_n\}\)で表す。\(\{\theta_n\}\)は初項\(\theta_1=0\)、公差\(\dfrac{\pi}{6}\)の等差数列である。時刻\(n\)での点\(\mathrm{P}_n\)の座標は\(\mathrm{P}_n(5\cos\theta_n,\ 5\sin\theta_n)\)である。 (1) \(\theta_5\)の値を求めよ。 (2) \(\mathrm{P}_3\)の座標を求めよ。 (3) 直線\(\mathrm{OP}_3\)（\(\mathrm{O}\)は原点）の傾きを求めよ。

(1) \(\theta_5=\) (2) \(\mathrm{P}_3\)の\(x\)座標 　\(y\)座標 (3) 傾き
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(1) 等差数列の一般項\(\theta_n=\theta_1+(n-1)d\)を使う。\(\theta_1=0,\ d=\dfrac{\pi}{6}\)なので \(\theta_5=0+(5-1)\times\dfrac{\pi}{6}=\dfrac{4\pi}{6}=\dfrac{2\pi}{3}\) (2) 同様に\(\theta_3=0+(3-1)\times\dfrac{\pi}{6}=\dfrac{2\pi}{6}=\dfrac{\pi}{3}\)。単位円の値を使って \(\mathrm{P}_3=\left(5\cos\dfrac{\pi}{3},\ 5\sin\dfrac{\pi}{3}\right)=\left(5\times\dfrac{1}{2},\ 5\times\dfrac{\sqrt3}{2}\right)=\left(\dfrac{5}{2},\ \dfrac{5\sqrt3}{2}\right)\) (3) 原点\(\mathrm{O}(0,0)\)と\(\mathrm{P}_3\left(\dfrac{5}{2},\ \dfrac{5\sqrt3}{2}\right)\)を結ぶ直線の傾きは \(\dfrac{\frac{5\sqrt3}{2}-0}{\frac{5}{2}-0}=\dfrac{5\sqrt3}{2}\times\dfrac{2}{5}=\sqrt3\) （円上の点を、動径の表す角が等差数列になるように追いかけると、その座標は三角関数の単位円の値そのものになる。数列・図形と方程式・三角関数という3つの章の道具が、この1つの問題の中で自然につながっている。） (1) \(\theta_5=\dfrac{2\pi}{3}\)　(2) \(\mathrm{P}_3=\left(\dfrac{5}{2},\ \dfrac{5\sqrt3}{2}\right)\)　(3) 傾き\(\sqrt3\)
記述チャレンジ

答えだけでなく「なぜそうなるか」を文章と式で書く練習。模範解答と見比べて、書き方の型を身につけよう。

記1

「要点の総整理」で見た通り、最大値・最小値を求める武器は式の見た目で選び分ける。次の2つの関数について、(a)相加平均・相乗平均の関係、(b)三角関数の合成のどちらを使うのが適切かをそれぞれ判断し、その理由を説明したうえで、実際に最大値または最小値を求めよ。 (a) \(x>0\)のとき、\(f(x)=x+\dfrac{9}{x}\)の最小値 (b) \(0\le\theta<2\pi\)のとき、\(g(\theta)=3\sin\theta+4\cos\theta\)の最大値

模範解答を見る
(a) \(f(x)=x+\dfrac{9}{x}\)は、\(x>0\)より\(x\)と\(\dfrac{9}{x}\)がどちらも正の数で、掛けると\(x\times\dfrac{9}{x}=9\)という定数になっている。この「正の数どうしの和で、積が一定」という形は相加平均・相乗平均の関係を使う典型パターンなので、これを選ぶ。（三角関数の合成は\(\sin\)や\(\cos\)が入っていないので使えない。微分でも解けるが、この形なら相加相乗の方が速い。） 相加平均・相乗平均の関係より \(x+\dfrac{9}{x} \ge 2\sqrt{x\times\dfrac{9}{x}} = 2\sqrt{9} = 6\) 等号成立は\(x=\dfrac{9}{x}\)のとき、すなわち\(x^2=9\)。\(x>0\)より\(x=3\)。 よって\(f(x)\)の最小値は\(6\)（\(x=3\)のとき）。 (b) \(g(\theta)=3\sin\theta+4\cos\theta\)は、\(\sin\theta\)と\(\cos\theta\)が混ざった1次式の和になっている。この形は三角関数の合成を使う典型パターンなので、これを選ぶ。（\(\sin\theta,\ \cos\theta\)は正とは限らず、積も一定にならないので相加相乗は使えない。） 合成公式\(a\sin\theta+b\cos\theta=\sqrt{a^2+b^2}\sin(\theta+\alpha)\)（\(\cos\alpha=\dfrac{a}{\sqrt{a^2+b^2}},\ \sin\alpha=\dfrac{b}{\sqrt{a^2+b^2}}\)）を用いる。 \(a=3,\ b=4\)なので\(\sqrt{a^2+b^2}=\sqrt{9+16}=\sqrt{25}=5\) \(g(\theta)=5\sin(\theta+\alpha)\)（\(\cos\alpha=\dfrac{3}{5},\ \sin\alpha=\dfrac{4}{5}\)となる\(\alpha\)） \(\sin(\theta+\alpha)\)の最大値は\(1\)なので、\(g(\theta)\)の最大値は\(5\times1=5\)。（\(\alpha\)は\(\cos\alpha,\sin\alpha\)がともに正なので第1象限の角であり、\(\theta+\alpha=\dfrac{\pi}{2}\)を満たす\(\theta=\dfrac{\pi}{2}-\alpha\)が\(0\le\theta<2\pi\)の範囲に存在する。） このように、同じ「最大値・最小値を求めよ」という問いでも、式の形（正の項の積が一定か、\(\sin\)と\(\cos\)が混ざっているか）を見た瞬間にどちらの武器を使うかを判断できることが、高2の総復習で身につけたい力である。 (a) 最小値\(6\)（\(x=3\)のとき）。(b) 最大値\(5\)。(a)は正の項の積が一定なので相加相乗、(b)は\(\sin\)と\(\cos\)の1次式なので合成を使う。
記2

円 \(x^2+y^2=16\) 上の点を \(\mathrm{P}(4\cos\theta,\ 4\sin\theta)\)（\(0\le\theta<2\pi\)）とし、円周上の定点を\(\mathrm{Q}(4,\ 0)\)とする。三角形\(\mathrm{OPQ}\)（\(\mathrm{O}\)は原点）の面積を\(\theta\)の式で表し、面積が最大になる\(\theta\)の値とそのときの面積を求めよ。さらに、円の半径が一般の\(r\)であるときの面積の最大値を、\(r\)を用いた式で表せ。

模範解答を見る
三角形\(\mathrm{OPQ}\)の面積を求める。\(\mathrm{O}(0,0)\)、\(\mathrm{Q}(4,0)\)はどちらも\(y=0\)上にあるので、線分\(\mathrm{OQ}\)を底辺とみることができる。底辺の長さは\(\mathrm{OQ}=4\)。 高さは、点\(\mathrm{P}(4\cos\theta,\ 4\sin\theta)\)から底辺（\(x\)軸）までの距離、すなわち\(\mathrm{P}\)の\(y\)座標の絶対値である。 高さ\(=|4\sin\theta|\) したがって、三角形の面積\(S(\theta)\)は \(S(\theta)=\dfrac{1}{2}\times4\times|4\sin\theta|=8|\sin\theta|\) \(|\sin\theta|\)の最大値は\(1\)なので、\(S(\theta)\)が最大になるのは\(|\sin\theta|=1\)のとき、すなわち\(\theta=\dfrac{\pi}{2}\)または\(\theta=\dfrac{3\pi}{2}\)のとき。このとき点\(\mathrm{P}\)は円の一番上または一番下にあり、直感的にも三角形が一番大きくなる位置だとわかる。 最大値は\(S=8\times1=8\)。 次に、円の半径を一般の\(r\)にして考える。同じ議論を繰り返すと、\(\mathrm{O}(0,0)\)、\(\mathrm{Q}(r,0)\)、\(\mathrm{P}(r\cos\theta,\ r\sin\theta)\)なので 底辺\(\mathrm{OQ}=r\)、高さ\(=|r\sin\theta|\) \(S(\theta)=\dfrac{1}{2}\times r\times|r\sin\theta|=\dfrac{1}{2}r^2|\sin\theta|\) 最大値は\(|\sin\theta|=1\)のときの\(\dfrac{1}{2}r^2\)。実際に\(r=4\)を代入すると\(\dfrac{1}{2}\times4^2=\dfrac{1}{2}\times16=8\)となり、さきほど求めた値と一致する。 この問題では、三角関数の章で学んだ単位円の考え方から円周上の点を\(\mathrm{P}(r\cos\theta,\ r\sin\theta)\)と表すことと、同じく三角関数の章で学んだ\(|\sin\theta|\)の最大値が\(1\)であるという性質を組み合わせることで、三角形の面積という図形の問題を、\(\theta\)の関数の最大値を求めるという1変数の問題に置きかえて解いている。半径\(r\)を文字のままにして最後まで計算することで、答えが「半径\(4\)のときにたまたま\(8\)になった」のではなく、「どんな半径でも面積の最大値は\(\dfrac{1}{2}r^2\)になる」という、より一般的な性質であることまで確かめられる。 \(S(\theta)=8|\sin\theta|\)、\(\theta=\dfrac{\pi}{2},\ \dfrac{3\pi}{2}\)のとき最大値\(8\)。一般の半径\(r\)では最大値は\(\dfrac{1}{2}r^2\)。
共通テスト形式チャレンジ

大問1　目標時間 14分／配点 20点

太郎さんと花子さんは、遊園地の観覧車の高さの変化について話している。この観覧車は半径\(10\)m、中心の高さは地上\(12\)m、1周するのにちょうど\(12\)分かかる。乗った位置が最も低い時刻を\(t=0\)（分）とすると、時刻\(t\)分での地上からの高さ\(h(t)\)（m）は \[ h(t) = 12-10\cos\dfrac{\pi}{6}t \] と表せる。

花子「\(t=0\)を代入すると、\(\cos0=1\)だから\(h(0)=2\)。たしかに一番低い位置の高さになるね。」
太郎「じゃあ、他の時刻でも高さを計算してみよう。」
(1)

\(t=3\)のときの高さ\(h(3)\)を求めると、\(h(3)=\boxed{\text{アイ}}\)mである。

アイ
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\(t=3\)を代入する。 \(h(3)=12-10\cos\dfrac{\pi}{6}\times3=12-10\cos\dfrac{\pi}{2}=12-10\times0=12\) \(h(3)=12\)m
(2)

花子「(1)で求めた \(h(3)=12\) はまだ\(17\)mに届いていないね。高さが\(17\)mを超えるのはいつからいつまでか調べてみよう。」高さが初めて\(17\)mになる時刻は\(t=\boxed{\text{ウ}}\)（分）である。

ウ
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(1)で求めた\(h(3)=12\)はまだ\(17\)mに届いていない。\(h(t)=17\)とおく。 \(12-10\cos\dfrac{\pi}{6}t=17\) \(-10\cos\dfrac{\pi}{6}t=5\) \(\cos\dfrac{\pi}{6}t=-\dfrac{1}{2}\) \(0\le t<12\)の範囲で\(\dfrac{\pi}{6}t\)は\(0\)以上\(2\pi\)未満を動く。\(\cos\)の値が\(-\dfrac{1}{2}\)になるのは\(\dfrac{\pi}{6}t=\dfrac{2\pi}{3}\)または\(\dfrac{4\pi}{3}\)のとき。 \(\dfrac{\pi}{6}t=\dfrac{2\pi}{3}\)より\(t=4\)、\(\dfrac{\pi}{6}t=\dfrac{4\pi}{3}\)より\(t=8\) 初めて\(17\)mになるのは早い方の\(t=4\)。これは(1)の\(t=3\)より後の時刻であり、\(h(3)=12\)からさらに高さが上がっていく途中で\(17\)mに達したことと矛盾しない。 \(t=4\)（分）
(3)

太郎「今度は、高さが\(17\)m以上になっている時間帯そのものを求めてみよう。」\(h(t)\ge17\)となる\(t\)の範囲を求めると、高さが\(17\)m以上である時間は\(\boxed{\text{エ}}\)分間である。

エ
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(2)より\(\cos\dfrac{\pi}{6}t\le-\dfrac{1}{2}\)となる\(t\)の範囲は\(\dfrac{2\pi}{3}\le\dfrac{\pi}{6}t\le\dfrac{4\pi}{3}\)、すなわち\(4\le t\le8\)。 この時間の長さは\(8-4=4\)（分）。 4分間

大問2　目標時間 14分／配点 20点

1辺の長さが\(12\)cmの正方形の厚紙がある。この四隅から1辺\(x\)cmの正方形を切り取り、残りを折り曲げてふたのない直方体の容器を作る（\(0<x<6\)）。容器の底面は1辺\(12-2x\)cmの正方形、高さは\(x\)cmになる。
(1)

容器の体積を\(V(x)=x(12-2x)^2\)とする。これを展開して整理すると\(V(x)=4x^3-48x^2+144x\)となる。\(V'(x)\)を求めて因数分解すると \[ V'(x)=12(x-\boxed{\text{ア}})(x-\boxed{\text{イ}}) \] となる（ア\(<\)イとする）。ア、イの値を求めよ。

ア イ
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\(V(x)=4x^3-48x^2+144x\)を\(x\)で微分する。 \(V'(x)=12x^2-96x+144\) 共通因数\(12\)でくくると \(V'(x)=12(x^2-8x+12)\) \(x^2-8x+12\)を因数分解する。積が\(12\)・和が\(-8\)になる2数は\(-2\)と\(-6\)なので \(x^2-8x+12=(x-2)(x-6)\) \(V'(x)=12(x-2)(x-6)\)
(2)

\(0<x<6\)の範囲で\(V(x)\)の増減を調べると、体積が最大になるのは\(x=\boxed{\text{ウ}}\)のときで、そのときの体積は\(V(x)=\boxed{\text{エオカ}}\ \mathrm{cm^3}\)である。

ウ エオカ
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(1)より\(V'(x)=12(x-2)(x-6)\)。\(0<x<6\)の範囲にある\(V'(x)=0\)の解は\(x=2\)のみ（\(x=6\)は範囲の端で対象外）。 増減を調べる。\(x<2\)（例えば\(x=1\)）で\(V'(1)=12\times(-1)\times(-5)=60>0\)（増加）、\(2<x<6\)（例えば\(x=3\)）で\(V'(3)=12\times1\times(-3)=-36<0\)（減少）。よって\(x=2\)で極大かつ最大。 \(V(2)=4\times2^3-48\times2^2+144\times2=32-192+288=128\) \(x=2\)のとき最大値\(128\ \mathrm{cm^3}\)
(3)

実際に切り取る大きさを、(2)で体積が最大になるとわかった\(x=2\)cmに決めたとき、使用する厚紙の面積（底面積＋4つの側面積の合計。切り取って捨てる4隅の正方形は含まない）を求めよ。使用面積は\(\boxed{\text{キクケ}}\ \mathrm{cm^2}\)である。

キクケ
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底面積は\((12-2x)^2\)、側面積は4枚分で\(4\times x\times(12-2x)\)。 (2)で求めた、体積が最大になる\(x=2\)を代入する。 底面積\(=(12-4)^2=8^2=64\) 側面積\(=4\times2\times8=64\) 使用面積\(=64+64=128\) \(128\ \mathrm{cm^2}\)

大問3　目標時間 14分／配点 20点

太郎さんは、元金\(100\)万円を年利\(10\%\)（\(1.1\)倍）の複利で運用する計画を立てている。\(n\)年後の元利合計を\(a_n\)（万円）とすると、\(a_n=100\times1.1^n\)である。

花子「これって、公比\(1.1\)の等比数列と同じ形だね。」
太郎「そうだね。まずは最初の数年でどう増えるか計算してみよう。」
(1)

\(a_1\)、\(a_2\)の値をそれぞれ求めよ。\(a_1=\boxed{\text{アイウ}}\)万円、\(a_2=\boxed{\text{エオカ}}\)万円である。

アイウ エオカ
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\(a_n=100\times1.1^n\)に\(n=1,2\)を代入する。 \(a_1=100\times1.1=110\) \(a_2=100\times1.1^2=100\times1.21=121\) （\(a_2=a_1\times1.1=110\times1.1=121\)としても求められ、公比\(1.1\)の等比数列であることが確かめられる。） \(a_1=110\)万円、\(a_2=121\)万円
(2)

花子「(1)で求めた \(a_1=110\)、\(a_2=121\) を見ると、たしかに毎年\(1.1\)倍になっているね。」太郎「じゃあこの先も\(a_n=100\times1.1^n\)という式でずっと計算できそうだ。元利合計が\(200\)万円を超えるのは何年後だろう。」\(\log_{10}1.1=0.0414\)、\(\log_{10}2=0.3010\)として、元利合計が初めて\(200\)万円を超えるのは\(\boxed{\text{キ}}\)年後である。

キ
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(1)で求めた\(a_1=110,\ a_2=121\)は、たしかに\(a_n=100\times1.1^n\)に\(n=1,2\)を代入した値と一致している（\(100\times1.1=110\)、\(100\times1.1^2=121\)）。この式がすべての\(n\)で成り立つとして、条件を考える。 条件は\(100\times1.1^n>200\)、すなわち\(1.1^n>2\)。 両辺の常用対数をとる。 \(n\log_{10}1.1>\log_{10}2\) \(0.0414\,n>0.3010\) \(n>\dfrac{0.3010}{0.0414}=7.27\ldots\) \(n\)は自然数なので、これを満たす最小の\(n\)は\(n=8\)。 8年後
(3)

(2)より\(8\)年後に初めて\(200\)万円を超えることがわかった。では、その1年前の\(7\)年後の元利合計\(a_7\)はまだ\(200\)万円に届いていないことを実際に計算して確かめよう。(1)で求めた\(a_1=110\)、\(a_2=121\)から公比\(1.1\)倍を繰り返して、\(a_7\)の値を、小数第1位を四捨五入した整数で求めよ。\(a_7=\boxed{\text{クケコ}}\)万円である。

クケコ
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(1)で求めた\(a_1=110\)、\(a_2=121\)から、公比\(1.1\)倍を繰り返して\(a_7\)まで計算する。 \(a_3=a_2\times1.1=121\times1.1=133.1\) \(a_4=a_3\times1.1=133.1\times1.1=146.41\) \(a_5=a_4\times1.1=146.41\times1.1=161.051\) \(a_6=a_5\times1.1=161.051\times1.1=177.1561\) \(a_7=a_6\times1.1=177.1561\times1.1=194.87171\) 小数第1位を四捨五入すると\(a_7\approx195\)（万円）。たしかに\(200\)未満であり、(2)で求めた「8年後に初めて\(200\)万円を超える」という結果と矛盾しない。 \(a_7\approx195\)万円

大問4　目標時間 14分／配点 20点

ある高校で、生徒\(196\)人を無作為に選んでアンケートをとったところ、\(98\)人が「朝食を毎日食べる」と回答した。

花子「この学校全体では、朝食を毎日食べる生徒の割合はどれくらいだろう。」
太郎「標本から母集団の比率を推定してみよう。」
(1)

標本比率\(\hat{p}\)を、これ以上約分できない分数\(\dfrac{\boxed{\text{ア}}}{\boxed{\text{イ}}}\)の形で求めよ。

ア イ
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標本比率\(\hat{p}=\dfrac{\text{朝食を毎日食べると回答した人数}}{\text{標本の大きさ}}\)を使う。 \(\hat{p}=\dfrac{98}{196}=\dfrac{1}{2}\) \(\hat{p}=\dfrac{1}{2}\)
(2)

母比率\(p\)に対する信頼度\(95\%\)の信頼区間を、公式\(\hat{p}\pm1.96\sqrt{\dfrac{\hat{p}(1-\hat{p})}{n}}\)を用いて求めよ。\(0.\boxed{\text{ウエ}} \le p \le 0.\boxed{\text{オカ}}\)の形で答えよ。

ウエ オカ
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\(\hat{p}=0.5,\ n=196\)を代入する。 \(\sqrt{\dfrac{0.5\times0.5}{196}}=\sqrt{\dfrac{0.25}{196}}=\dfrac{0.5}{14}=\dfrac{1}{28}\) \(1.96\times\dfrac{1}{28}=\dfrac{1.96}{28}=0.07\) \(0.5-0.07=0.43\)、\(0.5+0.07=0.57\) \(0.43 \le p \le 0.57\)
(3)

花子「(2)で求めた信頼区間の幅は\(0.57-0.43=0.14\)だった。もっと精度を上げて、この幅を\(0.1\)以下にしたい。」太郎「標本比率は(1)と同じ\(\hat{p}=\dfrac{1}{2}\)のままだとして、必要な標本の大きさ\(n\)を計算してみよう。」信頼区間の幅\(2\times1.96\sqrt{\dfrac{\hat{p}(1-\hat{p})}{n}}\)が\(0.1\)以下になるために必要な\(n\)の最小値は\(n=\boxed{\text{キクケ}}\)である。

キクケ
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(1)の\(\hat{p}=\dfrac{1}{2}\)を使う。信頼区間の幅は\(2\times1.96\sqrt{\dfrac{\hat{p}(1-\hat{p})}{n}}\)なので、条件は \(2\times1.96\sqrt{\dfrac{\frac12\times\frac12}{n}}\le0.1\) \(\hat p(1-\hat p)=\dfrac14\)を代入し、係数を整理する。 \(3.92\sqrt{\dfrac{0.25}{n}}\le0.1\) \(\sqrt{\dfrac{0.25}{n}}\le\dfrac{0.1}{3.92}=\dfrac{1}{39.2}\) 両辺を2乗する。 \(\dfrac{0.25}{n}\le\dfrac{1}{1536.64}\) \(n\ge0.25\times1536.64=384.16\) \(n\)は自然数（標本の大きさ）なので、これを満たす最小の\(n\)は\(n=385\)。(2)より小さい標本（\(n=196\)）では幅が\(0.14\)だったのに対し、幅を\(0.1\)以下にするには標本をおよそ2倍にする必要があることがわかる。 \(n=385\)

大問5　目標時間 14分／配点 20点

花子さんと太郎さんは、高次方程式と図形を組み合わせた問題に取り組んでいる。3次方程式 \(x^3-2x^2-5x+6=0\) について考える。

太郎「まずは因数定理で、代入して\(0\)になる値を探そう。」
花子「定数項\(6\)の約数を順番に試してみよう。」
(1)

この3次方程式をすべて解くと、\(x=\boxed{\text{ア}},\ \boxed{\text{イ}},\ \boxed{\text{ウ}}\)（ア\(<\)イ\(<\)ウとする。アは符号もつけて入力）である。

ア イ ウ
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\(P(x)=x^3-2x^2-5x+6\)とおく。定数項\(6\)の約数を試すと \(P(1)=1-2-5+6=0\) なので\(x=1\)が解。因数定理より\(P(x)\)は\(x-1\)を因数にもつ。 割り算すると\(P(x)=(x-1)(x^2-x-6)=(x-1)(x-3)(x+2)\)（筆算・検算で確認できる）。 \(x=-2,\ 1,\ 3\)
(2)

(1)で求めた解のうち、最大のものを\(\alpha\)、最小のものを\(\beta\)とする（\(\alpha=3,\ \beta=-2\)）。2点\(\mathrm{A}(\alpha,\ 0)\)、\(\mathrm{B}(0,\ \beta)\)を通る直線の傾きは\(\dfrac{\boxed{\text{エ}}}{\boxed{\text{オ}}}\)、\(y\)切片は\(\boxed{\text{カ}}\)である（カは符号もつけて入力）。

エ オ カ
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\(\mathrm{A}(3,\ 0)\)、\(\mathrm{B}(0,\ -2)\)を通る直線の傾きは \(\dfrac{-2-0}{0-3}=\dfrac{-2}{-3}=\dfrac{2}{3}\) \(y\)切片は、\(x=0\)のときの\(y\)座標そのものなので\(-2\)（点\(\mathrm{B}\)がそのまま\(y\)切片）。 傾き\(\dfrac{2}{3}\)、\(y\)切片\(-2\)（直線\(y=\dfrac{2}{3}x-2\)、すなわち\(2x-3y-6=0\)）
(3)

原点\(\mathrm{O}\)から、(2)で求めた直線までの距離を求めよ。距離は\(\dfrac{\boxed{\text{キ}}\sqrt{\boxed{\text{クケ}}}}{\boxed{\text{コサ}}}\)である。

キ クケ コサ
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(2)の直線を\(2x-3y-6=0\)の形にしておく。点と直線の距離の公式\(\dfrac{|ax_1+by_1+c|}{\sqrt{a^2+b^2}}\)を、この直線（\(a=2,b=-3,c=-6\)）と点\(\mathrm{O}(0,0)\)に使う。 距離\(=\dfrac{|2\times0-3\times0-6|}{\sqrt{2^2+(-3)^2}}=\dfrac{6}{\sqrt{13}}=\dfrac{6\sqrt{13}}{13}\) 距離は\(\dfrac{6\sqrt{13}}{13}\)

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