この範囲の全体像
数Bは「数列」「統計的な推測」という、見た目にはまったく違う2つの章からなる科目である。前者は規則にしたがって並ぶ数をどう式にするかを学び、後者は確率をデータ全体の性質として扱う視点へと発展させる。しかしこの2章は独立した単元の寄せ集めではなく、片方が身につけた技術をもう片方がそのまま使うという、強い依存関係でつながっている。
最大のつながりはΣ（シグマ）記号である。数列の章でΣ\(k\)、Σ\(k^2\)、Σ\(c\)という3つの基本公式を身につけるのは、単に数列の和を求めるためだけではない。統計的な推測の章で確率変数の期待値を定義する式\(E(X)=\sum x_ip_i\)は、それ自体がΣの計算そのものである。たとえばさいころの目の2乗の期待値を求める場面では、Σ\(k^2=\dfrac{1}{6}n(n+1)(2n+1)\)という数列の公式に\(n=6\)を代入するだけで答えが出る。数列の章でΣの技術を先に固めておくからこそ、統計的な推測の章では「確率の意味」そのものに集中でき、計算で立ち止まらずに済む。
2つ目のつながりは「n個の独立な試行の和」という構造である。統計的な推測の章で学ぶ二項分布の期待値の公式\(E(X)=np\)は、天下り的な公式として覚えるものではない。1回ごとの試行結果を表す確率変数\(X_1,\ X_2,\ \ldots,\ X_n\)（それぞれ0か1の値をとる）を用意し、\(X=X_1+X_2+\cdots+X_n\)という「n個の確率変数の和」として捉え直すと、これは数列の章で学んだ「同じ値\(c\)をn個足す」というΣ\(c=nc\)の公式とまったく同じ発想の応用であることが見えてくる。規則的に並んだものをn個まとめて扱う、という数列の章の基本姿勢が、形を変えて統計的な推測の章の土台に流れ込んでいる。
3つ目のつながりは、一見遠く見える論証の型にある。数列の章の最後に学ぶ数学的帰納法は「\(n=k\)で成り立つと仮定して、\(n=k+1\)でも成り立つことを示す」という手順で無限個の場合を証明する。統計的な推測の章の最後に学ぶ仮説検定は「帰無仮説（正しいかどうかを検証する対象として立てる仮説）\(H_0\)が正しいと仮定して、実際のデータがその仮定と矛盾するかどうかを確かめる」という手順で結論を出す。数式の中身はまったく異なるが、「まず仮定する→その仮定のもとで何が起きるかを調べる→矛盾や一致を確認して結論を出す」という論理の骨組みは、驚くほど似た形をしている。
この総復習では、章をまたいだ融合問題（まとめテストの26・27・32・35・39・40番）を通して、これらのつながりを実際の計算で確認していこう。
章まとめへのリンク一覧
まず各章の要点整理・まとめテストで、章ごとの土台を仕上げておこう。下のリンクから各章のまとめページに移動できる。
- 数列 まとめ ― 等差数列・等比数列の一般項と和、Σの計算と階差数列、漸化式の解法選び、数学的帰納法の型までの全5ページを総復習する。
- 統計的な推測 まとめ ― 確率変数の期待値・分散、二項分布と正規分布の使い分け、推定と仮説検定の型までの全3ページを総復習する。
要点整理 「Σ記号」は数列と統計をつなぐ共通言語
数列の章でくり返し使ったΣの基本公式は、丸暗記の道具ではなく、この範囲全体で通用する「量をまとめて数える」ための言語である。統計的な推測の章に入っても、この言語はそのまま通じる。
\(\displaystyle\sum_{k=1}^{n} k = \dfrac{1}{2}n(n+1)\)、 \(\displaystyle\sum_{k=1}^{n} k^2 = \dfrac{1}{6}n(n+1)(2n+1)\)、 \(\displaystyle\sum_{k=1}^{n} c = nc\)
等差数列の和、いろいろな数列の和、階差数列から一般項を求める場面で、上の3公式を組み合わせて計算する。
期待値の定義式\(E(X)=\sum x_ip_i\)、分散の定義式\(V(X)=\sum(x_i-m)^2p_i\)は、どちらも「値×確率」をΣでまとめて足す計算そのもの。確率分布表がある時点で、実はΣの計算問題に変わっている。
要点整理 「n個の独立な試行の和」という構造
統計的な推測の章でいちばん最初に驚かされる公式が、二項分布の期待値\(E(X)=np\)である。この公式がなぜ成り立つのかを数列の発想でたどり直すと、天下り的な暗記から抜け出せる。
各項が公差\(d\)ずつ同じ量だけ増えていく数列を、逆順に並べて足すことで\(n\)組ぶんまとめて計算する。項は変化するが「\(n\)個をまとめて処理する」発想が核。
\(n\)個の確率変数\(X_1,\ldots,X_n\)は、値そのものは0か1に変動するが、期待値はどれも同じ\(p\)で変化しないので、\(E(X)=\sum E(X_i)\)がΣ\(c=nc\)の最も単純な形になる。「\(n\)個をまとめて処理する」発想は同じでも、足す中身が（変数ではなく）一定の期待値である分だけ計算はさらに単純になる。
要点整理 「仮定してから確かめる」論理 — 数学的帰納法と仮説検定
数列の章の最後と、統計的な推測の章の最後は、扱う内容はまったく別物だが、論証の「型」が驚くほどよく似ている。どちらも、まず仮定を立ててから、その仮定のもとで何が起きるかを調べる、という2段構えで結論を出す。
(i) \(n=1\)のとき成り立つことを示す
(ii) \(n=k\)で成り立つと仮定して、\(n=k+1\)でも成り立つことを示す
→ (i)と(ii)がともに示せたので、すべての自然数で成り立つと結論できる。
(i) 帰無仮説\(H_0\)（例：\(\mu=\mu_0\)）を立てる
(ii) \(H_0\)が正しいと仮定して、実際に観測されたデータがどれくらい起こりにくいかを標準化した値\(z\)で調べる
→ 棄却域に入れば、\(H_0\)は誤りだったと結論できる（棄却域に入らなければ、誤りとは言えないだけで「正しい」とまでは結論しない）。
要点整理 この範囲の考え方の使い分け早見表
問題文を読んだとき、まずどちらの章の技術を使うべきかを見極めることが、融合問題を解く第一歩になる。
数列の章を疑う。等差・等比・Σ・階差・漸化式・数学的帰納法のどれに当てはまるかを判断する。
統計的な推測の章を疑う。確率変数の基本公式・二項分布と正規分布・推定と仮説検定のどれに当てはまるかを判断する。
この範囲全体を横断する総合演習、全40問。目標時間は60分。答えを入力して「採点」を押すと○×が出るぞ。分数は「3/4」、根号は「√5」または「sqrt5」のように入力。検定の結論は「棄却できる」または「棄却できない」で入力しよう。
わからないときは「解説を見る」で解き方を確認しよう。
| \(z\) | 1.0 | 2.0 | 3.0 |
|---|---|---|---|
| \(p(z)\) | 0.3413 | 0.4772 | 0.4987 |
このテストの正規分布の問題は、すべてこの3つの\(z\)の値（またはその負の側）だけで解ける。
数列 \(5,\ 12,\ 19,\ 26,\ \ldots\) は等差数列である。公差 \(d\) と、一般項を \(a_n=pn+q\) の形で表したときの \(p,\ q\) を求めよ。
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初項10、公差\(-4\)の等差数列の第12項を求めよ。
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初項5、公差6の等差数列について、初項から第20項までの和 \(S_{20}\) を求めよ。
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初項3、公比2の等比数列の第6項を求めよ。
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初項4、公比\(-3\)の等比数列について、初項から第4項までの和 \(S_4\) を求めよ。
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\(\displaystyle\sum_{k=1}^{7} k\) の値を求めよ。
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\(\displaystyle\sum_{k=1}^{6} k^2\) の値を求めよ。
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\(\displaystyle\sum_{k=1}^{5} (2k+3)\) の値を求めよ。
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数列 \(\{a_n\}\) は \(a_1=3\)、階差数列 \(b_n=2n+1\)（\(b_n=a_{n+1}-a_n\)）を満たす。\(a_5\) を求めよ。
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\(a_1=6,\ a_{n+1}=a_n+5\) の一般項を \(a_n=pn+q\) の形で表すとき、\(p,\ q\) を求めよ。
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1個のさいころを1回投げ、出た目が偶数なら10点、奇数なら0点を得るとする。得点を \(X\) とするとき、期待値 \(E(X)\) を求めよ。
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問11の \(X\) について、分散 \(V(X)\) を求めよ。
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確率変数 \(X\) が \(E(X)=8\)、\(V(X)=5\) を満たすとき、\(Y=3X-2\) の期待値 \(E(Y)\) と分散 \(V(Y)\) を求めよ。
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独立な確率変数 \(X,\ Y\) が \(E(X)=6\)、\(E(Y)=9\)、\(V(X)=4\)、\(V(Y)=7\) を満たすとき、\(S=X+Y\) の期待値 \(E(S)\) と分散 \(V(S)\) を求めよ。
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成功確率 \(\dfrac{1}{4}\) の試行を独立に48回くり返す。成功した回数を \(X\) とするとき、期待値 \(E(X)\) を求めよ。
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問15の \(X\)（\(B\!\left(48,\dfrac{1}{4}\right)\)）について、分散 \(V(X)\) と標準偏差 \(\sigma(X)\) を求めよ。
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\(X \sim N(70, 6^2)\) のとき、\(X=82\) を標準化した値 \(Z\) を求めよ。
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問17の \(X \sim N(70, 6^2)\) について、\(P(70 \le X \le 82)\) を求めよ。
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\(X \sim N(70, 6^2)\) のとき、\(P(58 \le X \le 82)\) を求めよ。
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母標準偏差20の母集団から、大きさ100の標本を抽出したところ、標本平均が150であった。母平均の95%信頼区間を求めよ。
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ある等差数列で、第3項が17、第8項が\(-3\)であるとき、初項から第 \(n\) 項までの和が最大になるときの \(n\) と、その最大値を求めよ。
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数列 \(\{a_n\}\) の初項から第 \(n\) 項までの和が \(S_n=2n^2+3n+4\) で表されるとき、\(a_1\) を求めよ。また \(n\ge2\) のときの一般項を \(a_n=pn+q\) の形で表し、\(p,\ q\) を求めよ（この式が \(n=1\) でも成り立つかどうかも確かめること）。
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\(a_1=5,\ a_{n+1}=4a_n-9\) について、特性方程式の解 \(\alpha\) と \(a_4\) を求めよ。
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等式 \(\displaystyle\sum_{k=1}^{n} k(k+1)=\dfrac{n(n+1)(n+2)}{3}\) を数学的帰納法で証明する。\(n=1\) のとき左辺・右辺の値、また \(n=5\) のときの右辺の値を求めよ。
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\(\dfrac{1}{(2k-1)(2k+1)}=\dfrac{1}{2}\left(\dfrac{1}{2k-1}-\dfrac{1}{2k+1}\right)\) を用いて \(\displaystyle\sum_{k=1}^{n} \dfrac{1}{(2k-1)(2k+1)}\) を計算すると \(\dfrac{n}{2n+\text{ア}}\) の形になる。アの値と、\(n=6\) のときの値を求めよ。
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確率変数 \(X\) は \(1,\ 2,\ 3,\ 4,\ 5\) の値をとり、確率は \(P(X=k)=ck\)（\(k=1,2,3,4,5\)、\(c\)は定数）で与えられる。確率の総和が1であることを使って定数 \(c\) を求めよ。また期待値 \(E(X)\) を求めよ。
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硬貨を8回投げるとき、表の出る回数を \(X\) とする。\(i\) 回目の試行が表なら1、裏なら0となる確率変数を \(X_i\) とし、\(X=X_1+X_2+\cdots+X_8\) と表す。\(E(X_i)\) の値と、Σの考え方（すべて同じ値をn個足す）を用いて \(E(X)\) を求めよ。
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\(X \sim N(60, 8^2)\) のとき、\(P(52 \le X \le 84)\) を求めよ。
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成功確率0.5の試行を独立に256回くり返す。成功した回数を \(X\) とする。\(X\) を正規分布で近似して、\(P(104 \le X \le 120)\) を求めよ。
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400人にアンケートを行ったところ、200人がある提案に賛成と回答した。賛成率（母比率）の95%信頼区間を求めよ。
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母標準偏差15の母集団について、帰無仮説 \(H_0: \mu = 80\) を有意水準5%で両側検定する。大きさ225の標本の標本平均が83であったとき、\(z\) の値と結論を求めよ。
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1個のさいころを1回投げ、出た目を \(X\) とする。\(Y=X^2\) とするとき、期待値 \(E(Y)\) をΣの公式を用いて求めよ。
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母標準偏差が20と分かっている母集団について、信頼度95%の信頼区間の誤差（\(1.96\sigma/\sqrt{n}\)）を2以下にしたい。必要な標本の大きさの最小値を求めよ（小数点以下切り上げ）。
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\(a_1=2,\ a_{n+1}=3a_n-2\) で定められる数列 \(\{a_n\}\) について、一般項を \(a_n=A\cdot3^{\,n-1}+C\) の形に推測したとき、\(A,\ C\) の値を求めよ。また \(a_6\) の値を求めよ。
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1個のさいころを \(n\) 回投げ、出た目の合計を \(S_n\) とする。1回分の出た目を確率変数 \(X\) とすると \(E(X)=\dfrac{7}{2}\)、\(V(X)=\dfrac{35}{12}\) であることが知られている。和の期待値の公式 \(E(X+Y)=E(X)+E(Y)\) と、各回が独立であることを用いて、\(E(S_n)\)、\(V(S_n)\) を \(n\) の式で表せ。また \(n=90\) のときのそれぞれの値を求めよ。
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\(a_1=4,\ a_{n+1}=2a_n+3\cdot2^{\,n}\) で定められる数列 \(\{a_n\}\) について、\(a_3\) と \(a_5\) を求めよ。
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ある工場の1日の生産個数について、大きさ16の標本をとったところ、標本平均が505、不偏分散 \(u^2=400\) であった。この \(u\) を母標準偏差の代わりに用いて、標本平均の標準偏差 \(\dfrac{u}{\sqrt{n}}\) の値と母平均の95%信頼区間を求めよ。さらに、帰無仮説 \(H_0:\mu=500\) を有意水準5%で両側検定し、\(z\) の値と結論を求めよ。
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数列 \(\{a_n\}\) は \(a_1=1\)、\(a_{n+1}=a_n+(2n-1)\cdot3^{\,n-1}\) を満たす。\(a_4\) を求めよ。また一般項が \(a_n=2+(n-2)\cdot3^{\,n-1}\) と表せることを用いて \(a_6\) を求めよ。
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2種類の独立なゲームがある。ゲームAの獲得ポイントは期待値6・分散8、ゲームBの獲得ポイントは期待値9・分散5（AとBは互いに独立）。両方のゲームに1回ずつ挑戦したときの合計ポイントを \(T\) とするとき \(E(T),\ V(T)\) を求めよ。またゲームAだけに独立に3回挑戦したときの合計ポイントを \(U\) とするとき \(E(U),\ V(U)\) を求めよ。
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確率変数 \(X\) は \(1\) から \(n\) までの整数値を、それぞれ確率 \(\dfrac{1}{n}\) で等しくとる。Σkの公式・Σk²の公式を用いて \(E(X)\)、\(V(X)\) を \(n\) の式で表せ。また \(n=20\) のときのそれぞれの値を求めよ。
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答えだけでなく「なぜそうなるか」を文章と式で書く練習。模範解答と見比べて、書き方の型を身につけよう。
まとめテストの問26では、確率変数 \(X\)（\(1,2,3,4,5\) の値をとる）が \(P(X=k)=ck\) という、確率が一様ではない分布に従っていた。この問題で定数\(c\)や期待値\(E(X)\)を求めるのに使ったΣkの公式・Σk²の公式が、さいころのように確率が全部同じ場合だけでなく、確率が\(k\)に比例するような一様でない場合にもそのまま使えるのはなぜか、問26の実際の数値を使って説明せよ。
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まとめテストの問34（漸化式\(a_{n+1}=3a_n-2\)を数学的帰納法で証明する問題）と問31（帰無仮説\(H_0:\mu=80\)を検定する問題）は、扱う内容はまったく異なるが、論証の「型」に共通点がある。それぞれで実際に何を仮定し、何を計算し、どんな基準で結論を出しているかを、2問の実際の数値を挙げながら対比して説明せよ。
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先生「この式を漸化式とみて、特性方程式を使うと一般項が求められるよ。」
太郎「特性方程式は\(\alpha=\dfrac{1}{2}\alpha+20\)を解けばいいんですね。」
特性方程式 \(\alpha=\dfrac{1}{2}\alpha+20\) を解くと、\(\alpha=\boxed{\text{アイ}}\) である。これは、年数が十分に経ったときにこの新入部員数が近づいていく値を表している。
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もとの漸化式と(1)の特性方程式を辺々引くことで、一般項は \(a_n=\boxed{\text{ウエ}}-\boxed{\text{オカ}}\left(\dfrac{1}{2}\right)^{n-1}\) と表せる。ウエ、オカの値を求めよ。
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(2)の結果を用いて \(n=4\) と \(n=5\) のときの \(a_n\) をそれぞれ計算することで、新入部員数がはじめて39人を超えるのは \(\boxed{\text{キ}}\) 年目であることがわかる。
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先生「150回のうち、命中した回数をXとしよう。それぞれの回は独立で、命中する確率はいつも0.4とみなせるね。」
花子「じゃあXは二項分布に従いますね。まず平均と分散を求めてみます。」
\(X\sim B(150,\ 0.4)\) であるとして、期待値 \(E(X)=\boxed{\text{アイ}}\)、分散 \(V(X)=\boxed{\text{ウエ}}\) を求めよ。
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先生「Xを正規分布で近似して、命中回数が48回から72回までにおさまる確率を調べてみよう。」
(1)の結果より\(\sigma=\sqrt{V(X)}=6\)である。正規近似を用いてこの確率をパーセントで求めると \(\boxed{\text{オカ.キク}}\)%である。
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先生「実際に150回試したお客さんの記録を見たら、命中回数がちょうど(1)の期待値と同じ60回だったよ。(2)で求めた95.44%は、平均\(\pm2\sigma\)の範囲に入る確率だったね。今度は同じ考え方を\(\pm1.96\sigma\)の範囲にあてはめて、命中率の母比率\(p\)の95%信頼区間を求めてみよう。」
標本比率 \(\hat p=\dfrac{60}{150}=0.4\) を用いると、標本比率の標準偏差は \(\dfrac{\boxed{\text{ケ}}}{\boxed{\text{コサ}}}\)（既約分数で答えよ）であり、母比率の95%信頼区間は \(0.\boxed{\text{シスセソ}} \le p \le 0.\boxed{\text{タチツテ}}\) である。
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先生「まずは、くじの総本数から求めてみよう。」
太郎「1等1本、2等2本、…と足していけばいいので、Σkの公式が使えますね。」
くじの総本数を、Σkの公式を用いて求めよ。総本数は \(\boxed{\text{アイ}}\) 本である。
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花子「くじを1本引いたときの賞金を確率変数\(X\)とすると、\(k\)等が当たる確率は\(\dfrac{k}{15}\)ですね。期待値を求めるには\(\displaystyle\sum_{k=1}^{5}k(6-k)\)の値が必要になりそうです。」
\(\displaystyle\sum_{k=1}^{5}k(6-k)=6\sum_{k=1}^{5}k-\sum_{k=1}^{5}k^2\) と変形できる。\(6\displaystyle\sum_{k=1}^{5}k=\boxed{\text{ウエ}}\)、\(\displaystyle\sum_{k=1}^{5}k^2=\boxed{\text{オカ}}\) より、\(\displaystyle\sum_{k=1}^{5}k(6-k)=\boxed{\text{キク}}\) である。
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(1)(2)の結果を用いて、賞金 \(X\) の期待値 \(E(X)\) を円単位で求めよ（既約分数で答えよ）。\(E(X)=\dfrac{\boxed{\text{ケコサ}}}{\boxed{\text{シ}}}\) 円である。