この章で学ぶこと
三角関数は、数I「図形と計量」で学んだ三角比――\(0^\circ\)から\(180^\circ\)までの角に限定された、直角三角形や三角形の辺の比としてのsin・cos・tan――を、単位円を使って角の範囲を実数全体（一般角）に広げ直す章である。まず弧度法という新しい角の測り方を身につけたうえで、単位円によるsin・cos・tanの定義し直しと、そのグラフの周期・振幅を確認する。続いて2つの角の和・差を扱う加法定理へと進み、これが本章のかなめになる。加法定理からは2倍角・半角の公式、そして\(a\sin\theta+b\cos\theta\)を1本のsinにまとめる「三角関数の合成」が芋づる式に導かれ、最後にそれらすべてを使って三角方程式・不等式を解けるようになる。前の章「図形と方程式」で学んだ座標平面上の円の考え方が本章の単位円の土台になっており、ここで身につけた加法定理・合成の技術は、数学IIIの微分法・積分法や物理の波動・振動の分野で欠かせない基礎になる。
学習の順路
下から順番に読み進めよう。1〜2で「角の測り方とグラフ」を身につけ、3で本章のかなめ「加法定理」を学び、4でそこから公式を芋づる式に増やし、5ですべてを使って方程式・不等式を解く、という流れになっている。
- 1. 一般角と弧度法 ― 角の範囲を実数全体に広げ、弧度法（ラジアン）と単位円によるsin・cos・tanの定義し直しを学ぶ。
- 2. 三角関数のグラフ ― sin・cos・tanのグラフの形、周期・振幅・平行移動を学ぶ。
- 3. 加法定理 ― 2つの角の和・差の三角比を求める公式と、その証明・応用を学ぶ。
- 4. 2倍角・半角・三角関数の合成 ― 加法定理から2倍角・半角の公式を導き、\(a\sin\theta+b\cos\theta\)を1本のsinにまとめる合成を学ぶ。
- 5. 三角方程式・不等式 ― 単位円・2倍角のおきかえ・合成を使い分けて、三角方程式・不等式を解く。
要点整理 弧度法・単位円・象限の符号
テスト直前にまずここを見直そう。弧度法の変換、単位円上でsin・cos・tanがどう決まるか、象限ごとの符号――この3つがこの先すべての計算の土台になる。
度とラジアンの変換 \(180^\circ=\pi\)
度からラジアン: \(\theta[\text{ラジアン}]=\theta[\text{度}]\times\dfrac{\pi}{180}\) ラジアンから度: \(\theta[\text{度}]=\theta[\text{ラジアン}]\times\dfrac{180}{\pi}\)
よく使う角: \(30^\circ=\dfrac{\pi}{6}\) \(45^\circ=\dfrac{\pi}{4}\) \(60^\circ=\dfrac{\pi}{3}\) \(90^\circ=\dfrac{\pi}{2}\) \(120^\circ=\dfrac{2\pi}{3}\) \(150^\circ=\dfrac{5\pi}{6}\) \(180^\circ=\pi\)
度からラジアン: \(\theta[\text{ラジアン}]=\theta[\text{度}]\times\dfrac{\pi}{180}\) ラジアンから度: \(\theta[\text{度}]=\theta[\text{ラジアン}]\times\dfrac{180}{\pi}\)
よく使う角: \(30^\circ=\dfrac{\pi}{6}\) \(45^\circ=\dfrac{\pi}{4}\) \(60^\circ=\dfrac{\pi}{3}\) \(90^\circ=\dfrac{\pi}{2}\) \(120^\circ=\dfrac{2\pi}{3}\) \(150^\circ=\dfrac{5\pi}{6}\) \(180^\circ=\pi\)
扇形の弧の長さ・面積（半径\(r\)、中心角\(\theta\)ラジアン） \(l=r\theta\) \(S=\dfrac{1}{2}r^2\theta=\dfrac{1}{2}rl\)
第1象限（\(0^\circ\)〜\(90^\circ\)）
\(\sin,\ \cos,\ \tan\) すべて正
\(\sin,\ \cos,\ \tan\) すべて正
第2象限（\(90^\circ\)〜\(180^\circ\)）
\(\sin\)のみ正
\(\sin\)のみ正
第3象限（\(180^\circ\)〜\(270^\circ\)）
\(\tan\)のみ正
\(\tan\)のみ正
第4象限（\(270^\circ\)〜\(360^\circ\)）
\(\cos\)のみ正
\(\cos\)のみ正
符号を覚えなくていい理由 単位円上で「\(x\)座標＝\(\cos\theta\)、\(y\)座標＝\(\sin\theta\)」を思い出せば、符号は象限ごとの\(x\)座標・\(y\)座標の符号そのもの。\(\tan\theta=\dfrac{\sin\theta}{\cos\theta}\)なので、2つの符号が同じ象限（第1・第3）でtanは正になる。
要点整理 グラフの周期・振幅・平行移動
\(y=a\sin(b(x-c))+d\)（cos・tanも同様の形）に整理できれば、周期・振幅・平行移動がすべて公式で読み取れる。\(b\)はかっこの外にくくり出してから\(c\)を読むのが鉄則。
sin・cosの周期
\(\dfrac{2\pi}{|b|}\)
\(\dfrac{2\pi}{|b|}\)
tanの周期
\(\dfrac{\pi}{|b|}\)（sin・cosの半分）
\(\dfrac{\pi}{|b|}\)（sin・cosの半分）
振幅・最大最小（sin・cos）
振幅\(=|a|\) 最大値\(=|a|+d\) 最小値\(=-|a|+d\)
振幅\(=|a|\) 最大値\(=|a|+d\) 最小値\(=-|a|+d\)
tanの性質（sin・cosと違う点） 値域はすべての実数（最大値・最小値は存在しない）。定義域は\(x\neq\dfrac{\pi}{2}+n\pi\)（\(n\)は整数）。
くくり出し忘れの罠 \(y=\sin\left(2x-\dfrac{\pi}{3}\right)\)を見て「\(\dfrac{\pi}{3}\)だけ平行移動」と即答するのは誤り。\(2x-\dfrac{\pi}{3}=2\left(x-\dfrac{\pi}{6}\right)\)と\(b\)をくくり出してから、正しい平行移動量\(\dfrac{\pi}{6}\)を読み取る。
要点整理 加法定理から2倍角・半角・合成まで（芋づる式のつながり）
この章で覚える公式は多く見えるが、実はすべて加法定理1つから芋づる式に導ける。丸暗記に頼らず、このつながりを覚えておけば忘れても導き直せる。
加法定理（出発点）
\(\sin(\alpha+\beta)=\sin\alpha\cos\beta+\cos\alpha\sin\beta\)
\(\cos(\alpha+\beta)=\cos\alpha\cos\beta-\sin\alpha\sin\beta\)
\(\tan(\alpha+\beta)=\dfrac{\tan\alpha+\tan\beta}{1-\tan\alpha\tan\beta}\) （\(\alpha-\beta\)は符号を変えるだけ）
\(\sin(\alpha+\beta)=\sin\alpha\cos\beta+\cos\alpha\sin\beta\)
\(\cos(\alpha+\beta)=\cos\alpha\cos\beta-\sin\alpha\sin\beta\)
\(\tan(\alpha+\beta)=\dfrac{\tan\alpha+\tan\beta}{1-\tan\alpha\tan\beta}\) （\(\alpha-\beta\)は符号を変えるだけ）
手順1 加法定理の\(\beta\)に同じ\(\theta\)を代入する → 2倍角の公式\(\sin2\theta=2\sin\theta\cos\theta\)、\(\cos2\theta=\cos^2\theta-\sin^2\theta=2\cos^2\theta-1=1-2\sin^2\theta\)、\(\tan2\theta=\dfrac{2\tan\theta}{1-\tan^2\theta}\)
↓
手順2 2倍角の公式の\(\theta\)を\(\dfrac{\theta}{2}\)に置きかえる → 半角の公式\(\sin^2\dfrac{\theta}{2}=\dfrac{1-\cos\theta}{2}\)、\(\cos^2\dfrac{\theta}{2}=\dfrac{1+\cos\theta}{2}\)
↓
手順3 加法定理を逆向きに使う（\(\sin\theta\cos\alpha+\cos\theta\sin\alpha\)の形に合わせる）→ 三角関数の合成\(a\sin\theta+b\cos\theta=r\sin(\theta+\alpha)\)（\(r=\sqrt{a^2+b^2}\)、\(\cos\alpha=\dfrac{a}{r}\)、\(\sin\alpha=\dfrac{b}{r}\)）
符号決定の違いに注意 与えられた値から\(\sin\theta\)・\(\cos\theta\)を求めるときの符号は\(\theta\)の象限で決める。半角の符号は\(\dfrac{\theta}{2}\)の象限（\(\theta\)の範囲を2で割った範囲）で決める。\(\theta\)の象限と\(\dfrac{\theta}{2}\)の象限は一致するとは限らないので、必ず範囲を2で割ってから象限を確認すること。なお2倍角の公式そのものには符号の選択肢はなく、\(\theta\)の値を代入すれば\(\sin2\theta\)・\(\cos2\theta\)の符号は自動的に決まる（符号は\(\theta\)ではなく\(2\theta\)の象限で決まる）。
要点整理 三角方程式・不等式の解き方の見分け方
式の形を見て、次の3パターンのどれに当てはまるかをまず判断しよう。判断さえつけば、あとは単位円か2次方程式かのどちらかの機械的な作業になる。
パターン1 \(\sin\theta=k\)、\(\cos\theta=k\)、\(\tan\theta=k\)の単純な形 → 単位円上で直接その点を探す（sinはy座標、cosはx座標、tanは原点を通る直線\(y=kx\)との交点）
↓
パターン2 \(\cos2\theta\)と\(\sin\theta\)（または\(\cos\theta\)）が混ざる → 2倍角の公式で\(\cos2\theta\)を消し、\(t=\sin\theta\)（または\(\cos\theta\)）とおいて2次方程式に。\(t\)が\(-1\le t\le1\)に収まるか必ず確認し、収まらなければ解として捨てる
↓
パターン3 \(\sin\theta\)と\(\cos\theta\)がどちらも1次で混ざる → 合成して\(r\sin(\theta+\alpha)\)の1本にし、\(\varphi=\theta+\alpha\)とおいて単位円で解く。最後に\(\theta=\varphi-\alpha\)で戻すのを忘れない
不等式の仕上げ方 まず「＝」に直して境界の角をすべて求め、単位円を弧に分ける。弧の中から代表の1点（\(\theta=0\)や\(\theta=\pi\)など計算しやすい角）を選んでもとの不等式に代入し、満たすかどうかで解の弧を確定させる。等号の有無（境界を含むか）を最後に必ず確認すること。
まとめテスト（標準）
この章全体を横断する総合演習、全25問。目標時間は30分。答えを入力して「採点」を押すと○×が出るぞ。\(\pi\)を含む答えは「π/6」のように入力（「pi/6」でもOK）。根号は「√3」でも「sqrt3」でもOK。分数は「-1/2」のように入力。
わからないときは「解説を見る」で解き方を確認しよう。
基本（1〜15）
1
度→ラジアン
\(150^\circ\)をラジアンで表せ。
\(\theta=\)
解説を見る
\(150\times\dfrac{\pi}{180}=\dfrac{5\pi}{6}\)
\(\dfrac{5\pi}{6}\)
2
ラジアン→度
\(\dfrac{7}{6}\pi\)を度で表せ。
\(\theta=\) 度
解説を見る
\(\dfrac{7}{6}\pi\times\dfrac{180}{\pi}=\dfrac{7}{6}\times180=210^\circ\)
\(210^\circ\)
3
弧の長さ
半径\(8\)、中心角\(\dfrac{3}{4}\pi\)の扇形の弧の長さを求めよ。
弧の長さ
解説を見る
\(l=r\theta=8\times\dfrac{3}{4}\pi=6\pi\)
\(6\pi\)
4
扇形の面積
半径\(4\)、中心角\(\dfrac{\pi}{3}\)の扇形の面積を求めよ。
面積
解説を見る
\(S=\dfrac{1}{2}r^2\theta=\dfrac{1}{2}\times16\times\dfrac{\pi}{3}=\dfrac{8\pi}{3}\)
\(\dfrac{8\pi}{3}\)
5
象限判定
\(\theta=250^\circ\)の動径はどの象限にあるか。
第象限
解説を見る
\(180^\circ<250^\circ<270^\circ\)なので第3象限。
第3象限
6
単位円上の値（第2象限）
\(\theta=120^\circ\)のとき、\(\sin\theta,\ \cos\theta,\ \tan\theta\)を求めよ。
\(\sin\theta=\) \(\cos\theta=\) \(\tan\theta=\)
解説を見る
\(120^\circ=180^\circ-60^\circ\)。単位円で第2象限（\(x<0,\ y>0\)）の位置にあり、基準角は\(60^\circ\)。
\(\sin120^\circ=\sin60^\circ=\dfrac{\sqrt3}{2}\)
\(\cos120^\circ=-\cos60^\circ=-\dfrac{1}{2}\)
\(\tan120^\circ=\dfrac{\sin120^\circ}{\cos120^\circ}=\dfrac{\sqrt3/2}{-1/2}=-\sqrt3\)
\(\sin120^\circ=\dfrac{\sqrt3}{2}\)、\(\cos120^\circ=-\dfrac{1}{2}\)、\(\tan120^\circ=-\sqrt3\)
7
相互関係と象限（第3象限）
\(\cos\theta=-\dfrac{5}{13}\)（\(180^\circ<\theta<270^\circ\)）のとき、\(\sin\theta,\ \tan\theta\)を求めよ。
\(\sin\theta=\) \(\tan\theta=\)
解説を見る
\(\sin^2\theta+\cos^2\theta=1\)より\(\sin^2\theta=1-\left(-\dfrac{5}{13}\right)^2=1-\dfrac{25}{169}=\dfrac{144}{169}\)、よって\(\sin\theta=\pm\dfrac{12}{13}\)。
第3象限では\(\sin\theta<0\)なので\(\sin\theta=-\dfrac{12}{13}\)。
\(\tan\theta=\dfrac{\sin\theta}{\cos\theta}=\dfrac{-12/13}{-5/13}=\dfrac{12}{5}\)
\(\sin\theta=-\dfrac{12}{13}\)、\(\tan\theta=\dfrac{12}{5}\)
8
グラフの振幅・周期
\(y=4\sin x\)の振幅と周期を求めよ。
振幅 周期
解説を見る
振幅は\(|a|\)。\(a=4\)なので振幅は\(4\)。\(b=1\)なので周期は\(\dfrac{2\pi}{1}=2\pi\)。
振幅\(4\)、周期\(2\pi\)
9
tanのグラフの周期
\(y=\tan\dfrac{x}{2}\)の周期を求めよ。
周期
解説を見る
\(y=\tan bx\)の周期は\(\dfrac{\pi}{|b|}\)。\(b=\dfrac12\)なので周期は\(\pi\div\dfrac12=2\pi\)。
周期\(2\pi\)
10
グラフの最大値・最小値
\(y=2\cos3x\)の最大値・最小値を求めよ。
最大値 最小値
解説を見る
\(\cos3x\)は\(-1\)以上\(1\)以下なので、\(2\cos3x\)は\(-2\)以上\(2\)以下。
最大値\(2\)、最小値\(-2\)
11
加法定理・180°−θ型
\(\tan165^\circ\)の値を求めよ（\(165^\circ=180^\circ-15^\circ\)とみる）。
\(\tan165^\circ=\)
解説を見る
\(165^\circ=180^\circ-15^\circ\)なので\(\tan165^\circ=\tan(180^\circ-15^\circ)=-\tan15^\circ\)。
\(\tan15^\circ=\tan(45^\circ-30^\circ)=\dfrac{\tan45^\circ-\tan30^\circ}{1+\tan45^\circ\tan30^\circ}=\dfrac{1-\frac{1}{\sqrt3}}{1+\frac{1}{\sqrt3}}=\dfrac{\sqrt3-1}{\sqrt3+1}=\dfrac{(\sqrt3-1)^2}{(\sqrt3+1)(\sqrt3-1)}=\dfrac{4-2\sqrt3}{2}=2-\sqrt3\)
よって\(\tan165^\circ=-(2-\sqrt3)=\sqrt3-2\)
\(\tan165^\circ=\sqrt3-2\)
12
加法定理（両方第1象限）
\(\sin\alpha=\dfrac{5}{13}\)（\(0^\circ<\alpha<90^\circ\)）、\(\cos\beta=\dfrac{3}{5}\)（\(0^\circ<\beta<90^\circ\)）のとき、\(\sin(\alpha+\beta)\)、\(\cos(\alpha+\beta)\)を求めよ。
\(\sin(\alpha+\beta)=\) \(\cos(\alpha+\beta)=\)
解説を見る
\(\alpha,\ \beta\)はどちらも第1象限なので\(\cos\alpha,\ \sin\beta\)はともに正。
\(\cos\alpha=\sqrt{1-\dfrac{25}{169}}=\dfrac{12}{13}\)、\(\sin\beta=\sqrt{1-\dfrac{9}{25}}=\dfrac{4}{5}\)
\(\sin(\alpha+\beta)=\sin\alpha\cos\beta+\cos\alpha\sin\beta=\dfrac{5}{13}\cdot\dfrac{3}{5}+\dfrac{12}{13}\cdot\dfrac{4}{5}=\dfrac{15}{65}+\dfrac{48}{65}=\dfrac{63}{65}\)
\(\cos(\alpha+\beta)=\cos\alpha\cos\beta-\sin\alpha\sin\beta=\dfrac{12}{13}\cdot\dfrac{3}{5}-\dfrac{5}{13}\cdot\dfrac{4}{5}=\dfrac{36}{65}-\dfrac{20}{65}=\dfrac{16}{65}\)
\(\sin(\alpha+\beta)=\dfrac{63}{65}\)、\(\cos(\alpha+\beta)=\dfrac{16}{65}\)
13
2倍角（tanθから出発）
\(\tan\theta=\dfrac{1}{3}\)（\(0^\circ<\theta<90^\circ\)）のとき、\(\sin2\theta,\ \cos2\theta,\ \tan2\theta\)を求めよ。
\(\sin2\theta=\) \(\cos2\theta=\) \(\tan2\theta=\)
解説を見る
\(\tan\theta=\dfrac13\)より直角三角形の対辺\(1\)・隣辺\(3\)・斜辺\(\sqrt{10}\)と考えて\(\sin\theta=\dfrac{1}{\sqrt{10}}\)、\(\cos\theta=\dfrac{3}{\sqrt{10}}\)。
\(\sin2\theta=2\sin\theta\cos\theta=2\cdot\dfrac{1}{\sqrt{10}}\cdot\dfrac{3}{\sqrt{10}}=\dfrac{6}{10}=\dfrac35\)
\(\cos2\theta=1-2\sin^2\theta=1-2\cdot\dfrac{1}{10}=\dfrac45\)
\(\tan2\theta=\dfrac{2\tan\theta}{1-\tan^2\theta}=\dfrac{2\cdot\frac13}{1-\frac19}=\dfrac{\frac23}{\frac89}=\dfrac23\cdot\dfrac98=\dfrac34\)
\(\sin2\theta=\dfrac35\)、\(\cos2\theta=\dfrac45\)、\(\tan2\theta=\dfrac34\)
14
半角（θ/2の象限に注意）
\(\cos\theta=-\dfrac{1}{3}\)（\(90^\circ<\theta<180^\circ\)）のとき、\(\sin\dfrac{\theta}{2},\ \cos\dfrac{\theta}{2}\)を求めよ。
\(\sin\dfrac{\theta}{2}=\) \(\cos\dfrac{\theta}{2}=\)
解説を見る
\(90^\circ<\theta<180^\circ\)より\(45^\circ<\dfrac{\theta}{2}<90^\circ\)（第1象限）なので、\(\sin\dfrac{\theta}{2}\)、\(\cos\dfrac{\theta}{2}\)はどちらも正（\(\theta\)自身は第2象限だが、\(\dfrac{\theta}{2}\)は第1象限になる点に注意）。
\(\sin^2\dfrac{\theta}{2}=\dfrac{1-\cos\theta}{2}=\dfrac{1-\left(-\frac13\right)}{2}=\dfrac{\frac43}{2}=\dfrac23\) よって\(\sin\dfrac{\theta}{2}=\sqrt{\dfrac23}=\dfrac{\sqrt6}{3}\)
\(\cos^2\dfrac{\theta}{2}=\dfrac{1+\cos\theta}{2}=\dfrac{1+\left(-\frac13\right)}{2}=\dfrac{\frac23}{2}=\dfrac13\) よって\(\cos\dfrac{\theta}{2}=\sqrt{\dfrac13}=\dfrac{\sqrt3}{3}\)
\(\sin\dfrac{\theta}{2}=\dfrac{\sqrt6}{3}\)、\(\cos\dfrac{\theta}{2}=\dfrac{\sqrt3}{3}\)
15
三角関数の合成（基本）
\(3\sin\theta-3\sqrt3\cos\theta\)を\(r\sin(\theta+\alpha)\)の形に変形せよ（\(0\le\alpha<2\pi\)）。
\(r=\) \(\alpha=\)
解説を見る
\(a=3\)、\(b=-3\sqrt3\)より\(r=\sqrt{9+27}=\sqrt{36}=6\)
\(\cos\alpha=\dfrac{a}{r}=\dfrac{3}{6}=\dfrac12\)、\(\sin\alpha=\dfrac{b}{r}=\dfrac{-3\sqrt3}{6}=-\dfrac{\sqrt3}{2}\)（第4象限）を満たす角は\(\alpha=\dfrac{5\pi}{3}\)
\(3\sin\theta-3\sqrt3\cos\theta=6\sin\left(\theta+\dfrac{5\pi}{3}\right)\)
発展（16〜25）
16
2倍角の逆算
\(\cos2\theta=\dfrac{1}{9}\)、\(0<\theta<\dfrac{\pi}{2}\)のとき、\(\cos\theta,\ \sin\theta\)を求めよ。
\(\cos\theta=\) \(\sin\theta=\)
解説を見る
\(\cos2\theta=2\cos^2\theta-1\)より\(\cos^2\theta=\dfrac{1+\cos2\theta}{2}=\dfrac{1+\frac19}{2}=\dfrac{\frac{10}{9}}{2}=\dfrac{5}{9}\)
\(0<\theta<\dfrac{\pi}{2}\)より\(\cos\theta>0\)なので\(\cos\theta=\dfrac{\sqrt5}{3}\)
\(\sin\theta=\sqrt{1-\dfrac59}=\sqrt{\dfrac49}=\dfrac23\)（\(\theta\)は第1象限で正）
検算：\(\cos2\theta=1-2\sin^2\theta=1-2\cdot\dfrac49=1-\dfrac89=\dfrac19\)（一致）
\(\cos\theta=\dfrac{\sqrt5}{3}\)、\(\sin\theta=\dfrac23\)
17
相互関係のおきかえ（cos基準・解が3つ）
\(2\sin^2\theta+3\cos\theta-3=0\)（\(0\le\theta<2\pi\)）を満たす\(\theta\)をすべて求めよ。小さい順にコンマ区切りで入力せよ。
\(\theta=\)
解説を見る
\(\sin^2\theta=1-\cos^2\theta\)を代入して\(\cos\theta\)だけの式にする。
\(2(1-\cos^2\theta)+3\cos\theta-3=0\)
\(2-2\cos^2\theta+3\cos\theta-3=0\)
\(-2\cos^2\theta+3\cos\theta-1=0\)
両辺に\(-1\)をかけて\(2\cos^2\theta-3\cos\theta+1=0\)
\((2\cos\theta-1)(\cos\theta-1)=0\)
\(\cos\theta=\dfrac12\)または\(\cos\theta=1\)（どちらも\(-1\le t\le1\)に収まるので有効）
\(\cos\theta=\dfrac12\)（\(0\le\theta<2\pi\)）を満たすのは\(\theta=\dfrac{\pi}{3},\ \dfrac{5\pi}{3}\)
\(\cos\theta=1\)を満たすのは\(\theta=0\)
\(\theta=0,\ \dfrac{\pi}{3},\ \dfrac{5\pi}{3}\)
18
合成を使う不等式
\(\sin\theta-\sqrt3\cos\theta\ge1\)（\(0\le\theta<2\pi\)）を満たす\(\theta\)の範囲を求めよ。
\(\le\theta\le\)
解説を見る
\(a=1\)、\(b=-\sqrt3\)より\(r=\sqrt{1+3}=2\)、\(\cos\alpha=\dfrac12\)、\(\sin\alpha=-\dfrac{\sqrt3}{2}\)より\(\alpha=-\dfrac{\pi}{3}\)。
\(2\sin\left(\theta-\dfrac{\pi}{3}\right)\ge1\) より \(\sin\left(\theta-\dfrac{\pi}{3}\right)\ge\dfrac12\)
\(\varphi=\theta-\dfrac{\pi}{3}\)とおく。\(0\le\theta<2\pi\)より\(-\dfrac{\pi}{3}\le\varphi<\dfrac{5\pi}{3}\)
この範囲で\(\sin\varphi\ge\dfrac12\)となるのは\(\dfrac{\pi}{6}\le\varphi\le\dfrac{5\pi}{6}\)（\(\varphi<\dfrac{\pi}{6}\)側は範囲の左端\(-\dfrac{\pi}{3}\)から\(\dfrac{\pi}{6}\)まで\(\sin\varphi<\dfrac12\)なので含まない）
\(\theta=\varphi+\dfrac{\pi}{3}\)で戻すと、\(\varphi=\dfrac{\pi}{6}\)のとき\(\theta=\dfrac{\pi}{2}\)、\(\varphi=\dfrac{5\pi}{6}\)のとき\(\theta=\dfrac{7\pi}{6}\)
検算：\(\theta=\pi\)（範囲内）を代入すると\(\sin\pi-\sqrt3\cos\pi=0+\sqrt3=\sqrt3\ge1\)で成り立つ。
\(\dfrac{\pi}{2}\le\theta\le\dfrac{7\pi}{6}\)
19
加法定理（象限混在）
\(\sin\alpha=\dfrac{8}{17}\)（\(0^\circ<\alpha<90^\circ\)）、\(\cos\beta=-\dfrac{3}{5}\)（\(90^\circ<\beta<180^\circ\)）のとき、\(\cos(\alpha-\beta)\)を求めよ。
\(\cos(\alpha-\beta)=\)
解説を見る
\(\alpha\)は第1象限なので\(\cos\alpha>0\)：\(\cos\alpha=\sqrt{1-\dfrac{64}{289}}=\sqrt{\dfrac{225}{289}}=\dfrac{15}{17}\)
\(\beta\)は第2象限なので\(\sin\beta>0\)：\(\sin\beta=\sqrt{1-\dfrac{9}{25}}=\sqrt{\dfrac{16}{25}}=\dfrac45\)
\(\cos(\alpha-\beta)=\cos\alpha\cos\beta+\sin\alpha\sin\beta=\dfrac{15}{17}\cdot\left(-\dfrac35\right)+\dfrac{8}{17}\cdot\dfrac45=-\dfrac{45}{85}+\dfrac{32}{85}=-\dfrac{13}{85}\)
\(\cos(\alpha-\beta)=-\dfrac{13}{85}\)
20
2直線のなす角
2直線\(y=5x-1\)、\(y=\dfrac23x+4\)のなす角\(\theta\)（\(0^\circ<\theta<90^\circ\)）を求めよ。
\(\theta=\) °
解説を見る
傾きはそれぞれ\(m_1=5,\ m_2=\dfrac23\)。2直線のなす角の公式より
\(\tan\theta=\left|\dfrac{m_1-m_2}{1+m_1m_2}\right|=\left|\dfrac{5-\frac23}{1+5\cdot\frac23}\right|=\left|\dfrac{\frac{13}{3}}{\frac{13}{3}}\right|=1\)
\(\tan\theta=1\)で\(0^\circ<\theta<90^\circ\)だから\(\theta=45^\circ\)。
\(\theta=45^\circ\)
21
文章題：周期的な気温変化
ある地点の気温\(y\)（\(^\circ\)C）が、時刻\(x\)（時間、\(x\ge0\)）に対して\(y=5\sin\dfrac{\pi}{12}x+20\)で近似できるとする。気温の周期・最大値・最小値をそれぞれ求めよ。また、最初に気温が最大になるのは\(x\)が何時間後か求めよ。
周期 時間 最大値 °C 最小値 °C
最初に最大になる時刻 \(x=\)
解説を見る
周期：\(b=\dfrac{\pi}{12}\)なので\(\dfrac{2\pi}{|b|}=2\pi\div\dfrac{\pi}{12}=2\pi\times\dfrac{12}{\pi}=24\)（時間）。
最大最小：\(\sin\dfrac{\pi}{12}x\)は\(-1\)以上\(1\)以下なので、\(5\sin\dfrac{\pi}{12}x\)は\(-5\)以上\(5\)以下、\(5\sin\dfrac{\pi}{12}x+20\)は\(-5+20=15\)以上\(5+20=25\)以下。
最初に最大になるのは\(\sin\dfrac{\pi}{12}x=1\)となる最初の\(x\)。これは\(\dfrac{\pi}{12}x=\dfrac{\pi}{2}\)のときなので、\(x=\dfrac{\pi}{2}\div\dfrac{\pi}{12}=\dfrac{\pi}{2}\times\dfrac{12}{\pi}=6\)。
周期\(24\)時間、最大値\(25\)°C、最小値\(15\)°C、最初に最大になるのは\(x=6\)（時間後）
22
合成の最大最小（範囲制限あり）
\(y=\sin\theta-\cos\theta\)（\(0\le\theta\le\pi\)）の最大値・最小値と、そのときの\(\theta\)を求めよ。
最大値 （\(\theta=\) ） 最小値 （\(\theta=\) ）
解説を見る
\(a=1\)、\(b=-1\)より\(r=\sqrt2\)、\(\cos\alpha=\dfrac{1}{\sqrt2}\)、\(\sin\alpha=-\dfrac{1}{\sqrt2}\)より\(\alpha=-\dfrac{\pi}{4}\)。
\(y=\sqrt2\sin\left(\theta-\dfrac{\pi}{4}\right)\)。\(0\le\theta\le\pi\)のとき\(-\dfrac{\pi}{4}\le\theta-\dfrac{\pi}{4}\le\dfrac{3\pi}{4}\)
この範囲に\(\dfrac{\pi}{2}\)（sinの頂点）が含まれる（\(-\dfrac{\pi}{4}\le\dfrac{\pi}{2}\le\dfrac{3\pi}{4}\)）ので、そこが最大：\(\theta-\dfrac{\pi}{4}=\dfrac{\pi}{2}\)より\(\theta=\dfrac{3\pi}{4}\)、\(y=\sqrt2\sin\dfrac{\pi}{2}=\sqrt2\)
両端を比べる：\(\sin\left(-\dfrac{\pi}{4}\right)=-\dfrac{\sqrt2}{2}\)、\(\sin\dfrac{3\pi}{4}=\dfrac{\sqrt2}{2}\)。小さいのは左端\(-\dfrac{\pi}{4}\)（\(\theta=0\)）の方なので、そこが最小：\(y=\sqrt2\sin\left(-\dfrac{\pi}{4}\right)=\sqrt2\times\left(-\dfrac{\sqrt2}{2}\right)=-1\)
\(\theta=\dfrac{3\pi}{4}\)で最大値\(\sqrt2\)、\(\theta=0\)で最小値\(-1\)
23
加法定理の逆利用
\(\sin110^\circ\cos20^\circ-\cos110^\circ\sin20^\circ\)の値を求めよ。
値
解説を見る
式の形が\(\sin A\cos B-\cos A\sin B=\sin(A-B)\)（加法定理の右辺）と一致していることに気づくのがポイント。\(A=110^\circ,\ B=20^\circ\)として逆向きに使う。
\(\sin110^\circ\cos20^\circ-\cos110^\circ\sin20^\circ=\sin(110^\circ-20^\circ)=\sin90^\circ=1\)
\(1\)
24
2倍角のおきかえ（不適解の除外）
\(\cos2\theta-3\sin\theta+1=0\)（\(0\le\theta<2\pi\)）を満たす\(\theta\)をすべて求めよ。小さい順にコンマ区切りで入力せよ。
\(\theta=\)
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\(\cos2\theta=1-2\sin^2\theta\)を代入する。
\(1-2\sin^2\theta-3\sin\theta+1=0\)
\(-2\sin^2\theta-3\sin\theta+2=0\)
両辺に\(-1\)をかけて\(2\sin^2\theta+3\sin\theta-2=0\)
\((2\sin\theta-1)(\sin\theta+2)=0\)
\(\sin\theta=\dfrac12\)または\(\sin\theta=-2\)
\(\sin\theta=-2\)は\(-1\le\sin\theta\le1\)の範囲から外れるので解として不適（捨てる）。
\(\sin\theta=\dfrac12\)（\(0\le\theta<2\pi\)）を満たすのは\(\theta=\dfrac{\pi}{6},\ \dfrac{5\pi}{6}\)
\(\theta=\dfrac{\pi}{6},\ \dfrac{5\pi}{6}\)（\(\sin\theta=-2\)は解なしとして除外する）
25
2倍角と加法定理の複合（章の総仕上げ）
\(\sin\theta=\dfrac{3}{5}\)（\(0<\theta<\dfrac{\pi}{2}\)）のとき、\(\cos2\theta\)の値と、\(\sin\left(\theta+\dfrac{\pi}{6}\right)\)の値をそれぞれ求めよ。
\(\cos2\theta=\) \(\sin\left(\theta+\dfrac{\pi}{6}\right)=\)
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\(0<\theta<\dfrac{\pi}{2}\)（第1象限）なので\(\cos\theta>0\)。
\(\cos\theta=\sqrt{1-\dfrac{9}{25}}=\sqrt{\dfrac{16}{25}}=\dfrac45\)
2倍角の公式より
\(\cos2\theta=1-2\sin^2\theta=1-2\cdot\dfrac{9}{25}=1-\dfrac{18}{25}=\dfrac{7}{25}\)
加法定理より
\(\sin\left(\theta+\dfrac{\pi}{6}\right)=\sin\theta\cos\dfrac{\pi}{6}+\cos\theta\sin\dfrac{\pi}{6}=\dfrac35\cdot\dfrac{\sqrt3}{2}+\dfrac45\cdot\dfrac12=\dfrac{3\sqrt3}{10}+\dfrac{4}{10}=\dfrac{3\sqrt3+4}{10}\)
\(\cos2\theta=\dfrac{7}{25}\)、\(\sin\left(\theta+\dfrac{\pi}{6}\right)=\dfrac{3\sqrt3+4}{10}\)
記述チャレンジ
答えだけでなく「なぜそうなるか」を文章と式で書く練習。模範解答と見比べて、書き方の型を身につけよう。
記1
三角関数の学習は、単位円によるsin・cos・tanの定義（一般角）を出発点に、グラフ、加法定理、2倍角・半角・合成、方程式・不等式までが、すべて「単位円」という1つの土台の上でつながっている。加法定理が単位円上の2点間の距離を2通りに測ることで証明されることも踏まえ、なぜ単位円がこの章全体の基礎になっているのかを説明せよ。
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まず出発点となる定義そのものが単位円に立脚している。始線から角\(\theta\)だけ回転させた動径と単位円の交点\(P\)の座標を\((\cos\theta,\ \sin\theta)\)と定めるのが本章の定義であり、\(\tan\theta\)もその比\(\dfrac{\sin\theta}{\cos\theta}\)として決まる。この定義があるからこそ、\(90^\circ\)を超える角や負の角でもsin・cos・tanが矛盾なく決まる。
グラフも同じ定義の延長線上にある。\(\theta\)を増やしながら単位円上の点\(P\)を反時計回りにたどり、その\(y\)座標（または\(x\)座標）の変化をそのまま横に伸ばしたものが\(y=\sin\theta\)（または\(y=\cos\theta\)）のグラフであり、1周（\(2\pi\)）で同じ形が繰り返されることも、単位円を1周したら同じ点に戻ることからそのまま説明できる。
加法定理は、単位円上の2点\(P(\cos\alpha,\ \sin\alpha)\)、\(Q(\cos\beta,\ \sin\beta)\)の間の距離\(PQ\)を、座標の距離公式と、二等辺三角形OPQ（OP=OQ=1、\(\angle POQ=\alpha-\beta\)）に余弦定理を使う方法の2通りで計算し、それらが等しいと置くことで導かれる。つまり加法定理そのものが「単位円上の2点の位置関係」を式にしたものである。
2倍角の公式は加法定理に\(\beta=\alpha\)を代入しただけ、半角の公式はさらにその\(\theta\)を\(\dfrac{\theta}{2}\)に置きかえただけであり、どちらも新しい図形的な仕組みを必要とせず、加法定理――ひいては単位円――の中にすでに含まれている。三角関数の合成も、\(\left(\dfrac{a}{r},\ \dfrac{b}{r}\right)\)という単位円上の点が表す角を\(\alpha\)と定めることで加法定理を逆向きに使う技術であり、やはり単位円上の点として\(\alpha\)を決めている。
最後に方程式・不等式についても、\(\sin\theta=k\)や\(\cos\theta=k\)を解くとは、単位円上で\(y\)座標（または\(x\)座標）が\(k\)になる点を探す作業そのものであり、不等式はその点によって単位円が分けられる弧のどちら側かを判定する作業にすぎない。
このように、本章で学んだ定義・グラフ・加法定理・2倍角・半角・合成・方程式のすべてが、共通して「単位円上の点の座標」という同じ土俵の上で説明できる。だからこそ単位円は、公式を個別に丸暗記するのではなく、忘れても自分で導き直すための共通の出発点として、この章全体の基礎になっている。
sin・cos・tanの定義そのものが単位円上の点の座標であり、グラフ・加法定理（単位円上の2点間の距離の計算）・2倍角/半角（加法定理の言い換え）・合成（単位円上の点で決まる角α）・方程式（単位円上で座標がkになる点を探す作業）のすべてが、共通してこの同じ単位円の上で説明できるため、単位円が章全体の基礎になっている。
記2
\(y=2\sin\theta\cos\theta+\cos^2\theta-\sin^2\theta\)（\(0\le\theta<2\pi\)）について、この式を2倍角の公式で書きかえたうえで合成し、\(y\)の最大値・最小値を求めよ。どの公式をどの順番で使ったかが分かるように記述せよ。
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まず、2倍角の公式でこの式を書きかえる。\(2\sin\theta\cos\theta=\sin2\theta\)、\(\cos^2\theta-\sin^2\theta=\cos2\theta\)（どちらも加法定理に\(\beta=\alpha=\theta\)を代入して得られる2倍角の公式そのもの）なので
\(y=\sin2\theta+\cos2\theta\)
と書きかえられる。
次に、この式を三角関数の合成で1本のsinにまとめる。\(2\theta\)をひとかたまりの角とみなすと、\(a=1\)（\(\sin2\theta\)の係数）、\(b=1\)（\(\cos2\theta\)の係数）なので\(r=\sqrt{1^2+1^2}=\sqrt2\)。\(\cos\alpha=\dfrac{1}{\sqrt2}\)、\(\sin\alpha=\dfrac{1}{\sqrt2}\)を満たす角は\(\alpha=\dfrac{\pi}{4}\)。よって
\(y=\sqrt2\sin\left(2\theta+\dfrac{\pi}{4}\right)\)
最後に、\(\theta\)の範囲から\(2\theta+\dfrac{\pi}{4}\)の範囲を求める。\(0\le\theta<2\pi\)より\(2\theta\)は\(0\le2\theta<4\pi\)、つまり\(\dfrac{\pi}{4}\le2\theta+\dfrac{\pi}{4}<4\pi+\dfrac{\pi}{4}\)となる。この範囲は幅がちょうど\(4\pi\)、すなわちsinの周期\(2\pi\)のちょうど2周期分にあたるので、\(\sin\left(2\theta+\dfrac{\pi}{4}\right)\)は範囲の途中で必ず最大値\(1\)と最小値\(-1\)の両方をとる（1周期分だけでもすでに山と谷を1回ずつ通過するので、2周期あれば確実に両方通る）。
したがって\(y\)の最大値は\(\sqrt2\times1=\sqrt2\)、最小値は\(\sqrt2\times(-1)=-\sqrt2\)。
（参考：最初に最大になるのは\(2\theta+\dfrac{\pi}{4}=\dfrac{\pi}{2}\)より\(\theta=\dfrac{\pi}{8}\)のとき、最初に最小になるのは\(2\theta+\dfrac{\pi}{4}=\dfrac{3\pi}{2}\)より\(\theta=\dfrac{5\pi}{8}\)のとき。）
2倍角の公式で\(y=\sin2\theta+\cos2\theta\)に書きかえ、\(2\theta\)を1つの角とみて合成すると\(y=\sqrt2\sin\left(2\theta+\dfrac{\pi}{4}\right)\)。\(\theta\)の範囲がsinの2周期分に相当するため最大値・最小値は必ず両方とも現れ、最大値\(\sqrt2\)、最小値\(-\sqrt2\)。
共通テスト形式チャレンジ
花子さんと太郎さんは、遊園地の観覧車のゴンドラの高さについて話している。ゴンドラが動き始めてから\(\theta\)ラジアン回転したときの、ゴンドラの地上からの高さ\(y\)（m）は、\(y=6\sin\theta+6\sqrt3\cos\theta+16\)（\(0\le\theta<2\pi\)）で近似できるとする。次の会話を読んで、あとの問いに答えよ。
太郎「\(\sin\theta\)と\(\cos\theta\)が両方入っているから、まず合成して1本のsinにまとめよう。」
花子「\(a\sin\theta+b\cos\theta=r\sin(\theta+\alpha)\)の形だね。」
太郎「\(\sin\theta\)と\(\cos\theta\)が両方入っているから、まず合成して1本のsinにまとめよう。」
花子「\(a\sin\theta+b\cos\theta=r\sin(\theta+\alpha)\)の形だね。」
(1)
\(6\sin\theta+6\sqrt3\cos\theta\)を\(r\sin(\theta+\alpha)\)の形に変形すると、\(r=\boxed{\text{アイ}}\)、\(\alpha=\dfrac{\boxed{\text{ウ}}}{\boxed{\text{エ}}}\pi\)（\(0\le\alpha<2\pi\)）となる。アイ、ウ、エの値を求めよ。
アイ
ウ
エ
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\(a=6\)、\(b=6\sqrt3\)より\(r=\sqrt{6^2+(6\sqrt3)^2}=\sqrt{36+108}=\sqrt{144}=12\)
\(\cos\alpha=\dfrac{a}{r}=\dfrac{6}{12}=\dfrac12\)、\(\sin\alpha=\dfrac{b}{r}=\dfrac{6\sqrt3}{12}=\dfrac{\sqrt3}{2}\)を満たす角は\(\alpha=\dfrac{\pi}{3}\)
よって\(y=12\sin\left(\theta+\dfrac{\pi}{3}\right)+16\)
\(r=12\)、\(\alpha=\dfrac{\pi}{3}\)
(2)
このとき、\(y\)の最大値・最小値と、それぞれのときの\(\theta\)を求めよ。最大値は\(\boxed{\text{オカ}}\)m（\(\theta=\dfrac{\boxed{\text{キ}}}{\boxed{\text{ク}}}\pi\)）、最小値は\(\boxed{\text{ケ}}\)m（\(\theta=\dfrac{\boxed{\text{コ}}}{\boxed{\text{サ}}}\pi\)）である。
最大値 オカ＝
キ／ク＝ /
最小値 ケ＝
コ／サ＝ /
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(1)より\(y=12\sin\left(\theta+\dfrac{\pi}{3}\right)+16\)。\(\theta\)に範囲の制限がない（\(0\le\theta<2\pi\)は角の1周分なので\(\sin\)は全範囲の値をとる）ので、\(\sin\left(\theta+\dfrac{\pi}{3}\right)\)は\(-1\)から\(1\)まですべての値をとる。
最大値は\(12\times1+16=28\)、最小値は\(12\times(-1)+16=4\)。
最大になるのは\(\theta+\dfrac{\pi}{3}=\dfrac{\pi}{2}\)のとき：\(\theta=\dfrac{\pi}{2}-\dfrac{\pi}{3}=\dfrac{3\pi}{6}-\dfrac{2\pi}{6}=\dfrac{\pi}{6}\)
最小になるのは\(\theta+\dfrac{\pi}{3}=\dfrac{3\pi}{2}\)のとき：\(\theta=\dfrac{3\pi}{2}-\dfrac{\pi}{3}=\dfrac{9\pi}{6}-\dfrac{2\pi}{6}=\dfrac{7\pi}{6}\)
\(\theta=\dfrac{\pi}{6}\)のとき最大値\(28\)m、\(\theta=\dfrac{7\pi}{6}\)のとき最小値\(4\)m
(3)
花子「観覧車が半周する間（\(0\le\theta\le\pi\)）で考えてみよう。」
ゴンドラの高さが22m以上になるのは、\(0\le\theta\le\pi\)の範囲で\(\theta\)がどのような範囲にあるときか求めると、\(0\le\theta\le\dfrac{\boxed{\text{シ}}}{\boxed{\text{ス}}}\pi\)である。
シ
ス
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\(y\ge22\)を(1)の結果で考える。
\(12\sin\left(\theta+\dfrac{\pi}{3}\right)+16\ge22\)
\(12\sin\left(\theta+\dfrac{\pi}{3}\right)\ge6\)
\(\sin\left(\theta+\dfrac{\pi}{3}\right)\ge\dfrac12\)
\(\varphi=\theta+\dfrac{\pi}{3}\)とおく。\(0\le\theta\le\pi\)より\(\dfrac{\pi}{3}\le\varphi\le\dfrac{4\pi}{3}\)
\(\sin\varphi\ge\dfrac12\)となるのは一般に\(\dfrac{\pi}{6}\le\varphi\le\dfrac{5\pi}{6}\)。これと\(\dfrac{\pi}{3}\le\varphi\le\dfrac{4\pi}{3}\)の共通範囲をとると、下端は\(\dfrac{\pi}{3}\)（\(\dfrac{\pi}{3}>\dfrac{\pi}{6}\)なので）、上端は\(\dfrac{5\pi}{6}\)（\(\dfrac{5\pi}{6}<\dfrac{4\pi}{3}\)なので）となり、\(\dfrac{\pi}{3}\le\varphi\le\dfrac{5\pi}{6}\)。
\(\theta=\varphi-\dfrac{\pi}{3}\)で戻すと、\(0\le\theta\le\dfrac{5\pi}{6}-\dfrac{\pi}{3}=\dfrac{5\pi}{6}-\dfrac{2\pi}{6}=\dfrac{\pi}{2}\)
\(0\le\theta\le\dfrac{\pi}{2}\)
太郎さんは、加法定理と2倍角の公式を組み合わせて値を求める練習をしている。\(\theta\)の動径が第2象限にあり、\(\sin\theta=\dfrac{4}{5}\)であるとする。次の問いに答えよ。
(1)
\(\cos\theta\)の値を求めよ。\(\cos\theta=\dfrac{\boxed{\text{ア}}}{\boxed{\text{イ}}}\)（アに符号もつけて入力せよ）。
ア
イ
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\(\sin^2\theta+\cos^2\theta=1\)より\(\cos^2\theta=1-\dfrac{16}{25}=\dfrac{9}{25}\)、よって\(\cos\theta=\pm\dfrac35\)。
\(\theta\)の動径は第2象限にあるので\(\cos\theta<0\)、したがって\(\cos\theta=-\dfrac35\)。
\(\cos\theta=-\dfrac35\)
(2)
2倍角の公式を用いて、\(\sin2\theta,\ \cos2\theta\)の値を求めよ。\(\sin2\theta=\dfrac{\boxed{\text{ウエ}}}{\boxed{\text{オカ}}}\)、\(\cos2\theta=\dfrac{\boxed{\text{キ}}}{\boxed{\text{クケ}}}\)（ウエ、キは符号もつけて入力せよ）。
ウエ／オカ＝ /
キ／クケ＝ /
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(1)の結果\(\sin\theta=\dfrac45\)、\(\cos\theta=-\dfrac35\)を2倍角の公式に代入する。
\(\sin2\theta=2\sin\theta\cos\theta=2\cdot\dfrac45\cdot\left(-\dfrac35\right)=-\dfrac{24}{25}\)
\(\cos2\theta=1-2\sin^2\theta=1-2\cdot\dfrac{16}{25}=1-\dfrac{32}{25}=-\dfrac{7}{25}\)
（検算：\(\cos2\theta=2\cos^2\theta-1=2\cdot\dfrac{9}{25}-1=\dfrac{18}{25}-1=-\dfrac{7}{25}\)で一致）
\(\sin2\theta=-\dfrac{24}{25}\)、\(\cos2\theta=-\dfrac{7}{25}\)
(3)
(1)(2)の結果を利用して、\(\cos\left(2\theta+\dfrac{\pi}{3}\right)\)の値を求めよ。
値
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加法定理\(\cos(2\theta+\alpha)=\cos2\theta\cos\alpha-\sin2\theta\sin\alpha\)に\(\alpha=\dfrac{\pi}{3}\)、そして(2)で求めた\(\sin2\theta=-\dfrac{24}{25}\)、\(\cos2\theta=-\dfrac{7}{25}\)を代入する。
\(\cos\left(2\theta+\dfrac{\pi}{3}\right)=\cos2\theta\cos\dfrac{\pi}{3}-\sin2\theta\sin\dfrac{\pi}{3}=\left(-\dfrac{7}{25}\right)\cdot\dfrac12-\left(-\dfrac{24}{25}\right)\cdot\dfrac{\sqrt3}{2}\)
\(=-\dfrac{7}{50}+\dfrac{24\sqrt3}{50}=\dfrac{24\sqrt3-7}{50}\)
\(\cos\left(2\theta+\dfrac{\pi}{3}\right)=\dfrac{24\sqrt3-7}{50}\)