数II まとめ

科目の総復習・まとめテスト

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この範囲の全体像

数IIは、数Iで学んだ「式と関数」の扱いを一段も二段も引き上げる科目である。まず第1章「式と証明」で、2次までしか扱えなかった展開・因数分解を3次式や二項定理にまで広げ、整式の割り算の等式\(A=BQ+R\)という新しい道具を手に入れる。この道具は第2章「複素数と方程式」で、数の世界を実数から複素数へ広げたうえで、剰余の定理・因数定理という「代入するだけで割り算の結果がわかる」強力な省略技に生まれ変わり、3次以上の高次方程式を解く力へとつながっていく。

第3章「図形と方程式」では、座標平面という新しい舞台に移る。ここで学ぶ円の標準形は、数Iの平方完成をそのまま再利用したものであり、2点間の距離の公式は中学以来の三平方の定理そのものである。そして、この章で扱う円のうち原点を中心とする半径1の円（単位円）が、第4章「三角関数」の主役に生まれ変わる。角の測り方を弧度法に広げ、単位円上の点の座標としてsin・cos・tanを定義し直すことで、加法定理・2倍角・合成という、後の学習全体を通じて欠かせない技術群が芋づる式に導かれていく。

第5章「指数関数・対数関数」は、正の整数乗しか考えていなかった指数を実数全体に広げ、「倍々に増える・一定の割合で減っていく」量を1つの式で表す方法を学ぶ章である。指数関数の逆として対数を定義し、「同じ底にそろえて比べる」という考え方は、次章でグラフの増減を読み取るときの土台になる。そして第6章「微分法と積分法」は数IIの集大成といえる章であり、「変化の割合（傾き）」という道具を使えば、式の計算だけでグラフの増減・極大・極小がわかるようになる。ここではこれまでの章で身につけた展開・因数分解・割り算・恒等式の力がすべて総動員される。

つまり数IIの6つの章は独立した単元の寄せ集めではなく、「式を正確に扱う技術（第1〜2章）」「座標平面という新しい舞台（第3〜4章）」「新しいタイプの関数とその微分積分（第5〜6章）」という3つの大きなまとまりが、互いの道具を使い回しながら積み上がっていく1本の物語になっている。

章まとめへのリンク一覧

各章の詳しいまとめ・まとめテストは以下のページにある。この総復習で手が止まった単元があれば、まず該当する章まとめに戻って確認しよう。

  1. 第1章　式と証明　―　3次式の公式・二項定理・整式の割り算・恒等式・等式と不等式の証明。
  2. 第2章　複素数と方程式　―　複素数の計算・判別式と虚数解・剰余の定理と因数定理・高次方程式。
  3. 第3章　図形と方程式　―　座標平面上の点・直線・円、そして軌跡と領域。
  4. 第4章　三角関数　―　弧度法・単位円・加法定理・2倍角と合成・三角方程式と不等式。
  5. 第5章　指数関数・対数関数　―　指数の拡張・指数関数のグラフ・対数の性質・常用対数。
  6. 第6章　微分法と積分法　―　導関数・接線・増減と極値・最大最小・不定積分と定積分・面積。

要点の総整理　最大値・最小値を求める4つの武器

数IIの範囲では、最大値・最小値を求める場面が章をまたいで何度も出てくる。式の形によって「どの武器を使うか」を見分けられるようになろう。

相加平均・相乗平均（第1章）
式が「正の数の和」の形をしているとき使う。\(a>0,\ b>0\)なら\(a+b \ge 2\sqrt{ab}\)。等号条件（2つの項が等しい）を必ず確認する。
三角関数の合成（第4章）
式が\(a\sin\theta+b\cos\theta\)の形をしているとき使う。\(\sqrt{a^2+b^2}\sin(\theta+\alpha)\)の1本のsinにまとめれば、最大値は\(\sqrt{a^2+b^2}\)と即わかる。
微分（第6章）
3次以上の整式や、区間つきの一般の関数のとき使う。\(f'(x)=0\)となる\(x\)を境目に増減表を作り、極値と区間の端点の値を比べる。
座標平面の図形的手段（第3章）
「点と直線の距離」「円の接線」など、図形の言葉で最大最小が問われるとき使う。式を作らず公式1本で答えが出せることが多い。
迷ったときの見分け方　2つの正の項の和で、掛けると定数になる形が見えたら相加相乗、\(\sin\)と\(\cos\)が混ざっていたら合成、\(x^3\)以上の項があれば微分、そして「円上の点」「直線までの距離」のように図形の言葉で問われていれば座標平面の公式――まず式の見た目を確認する癖をつけよう。

要点の総整理　整式を扱う技術の系譜

第1〜2章、そして第6章で使う整式の技術は、実はすべて1本の道でつながっている。この流れを意識すると、公式を別々に覚える必要がなくなる。

展開・因数分解（第1章）　―　3次式の公式で式の形を整える
↓
整式の割り算 \(A=BQ+R\)（第1章）　―　次数を落として扱いやすくする
↓
剰余の定理・因数定理（第2章）　―　割り算をせずに代入だけで余りや割り切れるかがわかる
↓
高次方程式を解く（第2章）　―　因数定理で次数を下げ、2次方程式まで持ち込む
↓
微分で増減・接線を調べる（第6章）　―　導関数の公式もべき乗の展開の延長線上にある
つながりの正体　整式の割り算の等式\(A=BQ+R\)そのものが、剰余の定理の裏付けになっている（\(A\)を\(x-k\)で割った余りが\(A(k)\)になるのは、この等式に\(x=k\)を代入すればすぐわかる）。展開・因数分解・割り算・微分は、どれも「整式をより扱いやすい形に書きかえる」という同じ目的のための、別々の道具にすぎない。

要点の総整理　座標平面の設計図

第3章「図形と方程式」で作った座標平面という舞台は、第4章「三角関数」・第6章「微分法」でも共通の土台として使われ続ける。

点と距離（第3章）
2点間の距離の公式は三平方の定理そのもの。円の標準形\((x-a)^2+(y-b)^2=r^2\)を作るときの平方完成は数Iの再利用。
円と三角関数（第3→4章）
半径\(r\)の円上の点は\(\mathrm{P}(r\cos\theta,\ r\sin\theta)\)とパラメータ表示できる。角\(\theta\)を動かせば、円上のすべての点を表せる。
接線と微分（第3→6章）
直線の傾きを求める考え方（第3章）はそのままに、3次関数などでは接線の傾きを微分係数\(f'(a)\)として求める（第6章）。

要点の総整理　判別式Dが顔を出す3つの場面

「\(D>0\)・\(D=0\)・\(D<0\)」で場合分けする考え方は、この範囲の中で形を変えて何度も登場する。同じ考え方だと気づけば、初めて見る場面でも迷わなくなる。

2次方程式の実数解の個数（第2章）
\(D>0\)なら異なる2つの実数解、\(D=0\)なら重解、\(D<0\)なら実数解はなく共役な虚数解が2つ。
円と直線の共有点の個数（第3章）
直線の式を円の式に代入して\(x\)（または\(y\)）だけの2次方程式にすれば、あとは判別式の符号を見るだけ。中心と直線の距離を半径と比べる方法と、必ず同じ結論になる。
3次以上の方程式（第6章）
3次以上の方程式では、高校では判別式を使わない。かわりに微分で増減表を作り、極大値・極小値の符号を比べることで実数解の個数を数える。
まとめテスト（標準）

数II全範囲を横断する総合演習、全40問。目標時間は60分。答えを入力して「採点」を押すと○×が出るぞ。分数は「-1/2」のように入力。
わからないときは「解説を見る」で解き方を確認しよう。

基本（1〜20）
1
3次式の乗法公式

\((x+4)^3\) を展開せよ。

\(x^2\)の係数 　\(x\)の係数 　定数項
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公式\((a+b)^3=a^3+3a^2b+3ab^2+b^3\)を\(a=x,\ b=4\)で使う。 \(x^3+3\times x^2\times4+3\times x\times4^2+4^3 = x^3+12x^2+48x+64\) \((x+4)^3 = x^3+12x^2+48x+64\)
2
整式の割り算

\(x^3+2x^2-5x-2\) を \(x+3\) で割ったときの商を \(ax^2+bx+c\)、余りを \(R\) とするとき、\(a,\,b,\,c,\,R\) を求めよ。

\(a=\) 　\(b=\) 　\(c=\) 　\(R=\)
解説を見る
筆算で計算する。 \(x^3\div x=x^2\)、\(x^2(x+3)=x^3+3x^2\)、引いて\(-x^2\)、\(-5x\)をおろして\(-x^2-5x\)。 \(-x^2\div x=-x\)、\(-x(x+3)=-x^2-3x\)、引いて\(-2x\)、\(-2\)をおろして\(-2x-2\)。 \(-2x\div x=-2\)、\(-2(x+3)=-2x-6\)、引いて\(4\)。次数が0になったので終了。 検算：\((x+3)(x^2-x-2)+4 = x^3-x^2-2x+3x^2-3x-6+4 = x^3+2x^2-5x-2\)。もとの式と一致する。 商 \(x^2-x-2\)（\(a=1,b=-1,c=-2\)）、余り \(R=4\)
3
相加相乗平均・基本形

\(b>0\) のとき、\(b+\dfrac{25}{b}\) の最小値を求めよ。

最小値 　そのとき \(b=\)
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\(b>0\)より\(\dfrac{25}{b}>0\)なので、相加平均・相乗平均の関係が使える。 \(b+\dfrac{25}{b} \ge 2\sqrt{b\cdot\dfrac{25}{b}} = 2\sqrt{25} = 10\) 等号は\(b=\dfrac{25}{b}\)のとき。両辺に\(b\)をかけて\(b^2=25\)、\(b>0\)より\(b=5\)。 \(b=5\) のとき最小値 \(10\)
4
複素数の乗法

\((3+2i)(1-4i)\) を計算せよ。

実部 　虚部
解説を見る
分配法則で展開し、\(i^2=-1\)を使う。 \((3+2i)(1-4i) = 3-12i+2i-8i^2 = 3-10i-8\times(-1) = 3-10i+8 = 11-10i\) 実部\(11\)、虚部\(-10\)（\(11-10i\)）
5
判別式と実数解の個数

\(2x^2+3x+5=0\) について、判別式\(D\)の値と実数解の個数を求めよ。

\(D=\) 　実数解の個数 個
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\(a=2,\ b=3,\ c=5\) \(D=3^2-4\times2\times5=9-40=-31\)　\(D<0\)なので実数解はない（虚数解が2つ）。 \(D=-31\)、実数解は\(0\)個
6
解と係数の関係

2次方程式 \(x^2-5x+8=0\) の2つの解を\(\alpha,\ \beta\)とする。解と係数の関係を用いて\(\alpha+\beta\)、\(\alpha\beta\)の値を求めよ。

\(\alpha+\beta=\) 　\(\alpha\beta=\)
解説を見る
\(a=1,\ b=-5,\ c=8\)なので、解と係数の関係より \(\alpha+\beta=-\dfrac{-5}{1}=5\)、\(\alpha\beta=\dfrac{8}{1}=8\) \(\alpha+\beta=5,\ \alpha\beta=8\)
7
2点間の距離

2点 \(\mathrm{A}(1,\ 2)\)、\(\mathrm{B}(4,\ 6)\) の間の距離を求めよ。

\(\mathrm{AB}=\)
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2点間の距離の公式（三平方の定理）を使う。 \(\mathrm{AB} = \sqrt{(4-1)^2+(6-2)^2} = \sqrt{9+16} = \sqrt{25} = 5\) \(\mathrm{AB}=5\)
8
内分点

2点 \(\mathrm{A}(1,\ 1)\)、\(\mathrm{B}(7,\ 10)\) を結ぶ線分を \(2:1\) に内分する点の座標を求めよ。

\(x\)座標 　\(y\)座標
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\(m:n=2:1\)の内分点の公式\(\left(\dfrac{nx_1+mx_2}{m+n},\ \dfrac{ny_1+my_2}{m+n}\right)\)を使う。 \(x=\dfrac{1\times1+2\times7}{2+1}=\dfrac{1+14}{3}=5\) \(y=\dfrac{1\times1+2\times10}{2+1}=\dfrac{1+20}{3}=7\) \((5,\ 7)\)
9
2点を通る直線

2点 \((1,\ 2)\)、\((4,\ 11)\) を通る直線の傾きと\(y\)切片を求めよ。

傾き 　\(y\)切片
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傾き\(=\dfrac{11-2}{4-1}=\dfrac{9}{3}=3\) 点\((1,2)\)を通るので\(y-2=3(x-1)\)、整理すると\(y=3x-1\)。 傾き\(3\)、\(y\)切片\(-1\)
10
円の一般形→標準形

\(x^2+y^2-6x+4y-12=0\) を標準形に直し、中心の座標と半径を求めよ。

中心\(x\)座標 　中心\(y\)座標 　半径
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\(x,\ y\)それぞれ平方完成する。 \(x^2-6x=(x-3)^2-9\)、\(y^2+4y=(y+2)^2-4\) \((x-3)^2-9+(y+2)^2-4-12=0\) \((x-3)^2+(y+2)^2=25\) 中心\((3,\ -2)\)、半径\(5\)
11
度→ラジアン

\(150^\circ\) をラジアンで表すと \(\dfrac{\text{ア}}{\text{イ}}\pi\) の形になる。ア、イを求めよ。

ア＝ 　イ＝
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\(180^\circ=\pi\)（ラジアン）なので、\(1^\circ=\dfrac{\pi}{180}\)。 \(150^\circ = 150\times\dfrac{\pi}{180} = \dfrac{150}{180}\pi = \dfrac{5}{6}\pi\) \(150^\circ = \dfrac{5}{6}\pi\)（ラジアン）
12
単位円上の値（第2象限）

\(\theta=120^\circ\) のとき、\(\sin\theta\)、\(\cos\theta\) の値を求めよ。

\(\sin\theta=\) 　\(\cos\theta=\)
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\(120^\circ=180^\circ-60^\circ\)。単位円で第2象限の角なので、\(60^\circ\)の値をもとに符号だけ調整する。 \(\sin120^\circ=\sin60^\circ=\dfrac{\sqrt3}{2}\)（第2象限で\(\sin\)は正） \(\cos120^\circ=-\cos60^\circ=-\dfrac{1}{2}\)（第2象限で\(\cos\)は負） \(\sin\theta=\dfrac{\sqrt3}{2},\ \cos\theta=-\dfrac{1}{2}\)
13
加法定理・基本

加法定理を用いて \(\sin75^\circ\) の値を求めよ（\(75^\circ=45^\circ+30^\circ\)として計算せよ）。

\(\sin75^\circ=\)
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加法定理\(\sin(\alpha+\beta)=\sin\alpha\cos\beta+\cos\alpha\sin\beta\)を使う。 \(\sin75^\circ=\sin(45^\circ+30^\circ)=\sin45^\circ\cos30^\circ+\cos45^\circ\sin30^\circ\) \(=\dfrac{\sqrt2}{2}\times\dfrac{\sqrt3}{2}+\dfrac{\sqrt2}{2}\times\dfrac{1}{2}=\dfrac{\sqrt6}{4}+\dfrac{\sqrt2}{4}=\dfrac{\sqrt6+\sqrt2}{4}\) \(\sin75^\circ=\dfrac{\sqrt6+\sqrt2}{4}\)
14
有理数指数

\(8^{\frac{2}{3}}\) の値を求めよ。

値
解説を見る
\(8^{\frac{2}{3}}=\left(8^{\frac{1}{3}}\right)^2=\left(\sqrt[3]{8}\right)^2=2^2=4\) \(8^{\frac{2}{3}}=4\)
15
対数の性質（積・商）

\(\log_2 24 - \log_2 3\) の値を求めよ。

値
解説を見る
対数の商の性質\(\log_a M-\log_a N=\log_a\dfrac{M}{N}\)を使う。 \(\log_2 24-\log_2 3=\log_2\dfrac{24}{3}=\log_2 8=\log_2 2^3=3\) \(\log_2 24-\log_2 3=3\)
16
指数方程式

\(3^{x+1}=81\) を満たす\(x\)の値を求めよ。

\(x=\)
解説を見る
右辺を底\(3\)にそろえる。\(81=3^4\)なので \(3^{x+1}=3^4\) 底が等しく指数関数は単調なので、指数どうしを比較できる。 \(x+1=4\)　よって\(x=3\) \(x=3\)
17
導関数の公式

\(f(x)=2x^3-5x^2+3\) の導関数\(f'(x)\)を求めよ。

\(x^2\)の係数 　\(x\)の係数
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\((x^n)'=nx^{n-1}\)を各項に使う。 \(f'(x)=2\times3x^2-5\times2x+0=6x^2-10x\) \(f'(x)=6x^2-10x\)
18
接線の方程式

\(y=x^2-4x+1\) の \(x=3\) における接線の方程式を、傾きと\(y\)切片で答えよ。

傾き 　\(y\)切片
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\(y'=2x-4\)なので、\(x=3\)での傾きは\(2\times3-4=2\)。 接点の\(y\)座標は\(y(3)=9-12+1=-2\)。 接線：\(y-(-2)=2(x-3)\)　整理すると\(y=2x-6-2=2x-8\) 傾き\(2\)、\(y\)切片\(-8\)（接線\(y=2x-8\)）
19
増減表→極値

\(f(x)=x^3-3x^2-9x+5\) の極大値と極小値を求めよ。

極大値 （\(x=\) ）　極小値 （\(x=\) ）
解説を見る
\(f'(x)=3x^2-6x-9=3(x^2-2x-3)=3(x-3)(x+1)\) \(f'(x)=0\)より\(x=-1,\ 3\) 増減表を作ると、\(x=-1\)の前後で\(f'\)は正から負に変わるので極大、\(x=3\)の前後で負から正に変わるので極小。 \(f(-1)=(-1)^3-3(-1)^2-9(-1)+5=-1-3+9+5=10\) \(f(3)=3^3-3\times3^2-9\times3+5=27-27-27+5=-22\) \(x=-1\)で極大値\(10\)、\(x=3\)で極小値\(-22\)
20
定積分の基本計算

\(\displaystyle\int_1^3 (3x^2-2x)\,dx\) の値を求めよ。

値
解説を見る
不定積分は\(x^3-x^2\)。 \(\Big[x^3-x^2\Big]_1^3 = (3^3-3^2)-(1^3-1^2) = (27-9)-(1-1) = 18-0 = 18\) \(18\)
標準（21〜34）
21
二項定理・一般項（両方に係数）

\((2x-1)^6\) の展開における \(x^4\) の項の係数を求めよ。

係数
解説を見る
一般項は\({}_6\mathrm{C}_r(2x)^{6-r}(-1)^r={}_6\mathrm{C}_r\,2^{6-r}(-1)^r\,x^{6-r}\)。\(x^4\)は\(6-r=4\)より\(r=2\)。 係数は\({}_6\mathrm{C}_2\times2^4\times(-1)^2=15\times16\times1=240\)。 係数は\(240\)
22
不等式の証明・2つの平方の和

実数 \(x,\ y\) について \(x^2+2xy+3y^2 \ge 0\) であることを証明せよ。

解説を見る
\(x\)についての平方の形を作るために、\((x+y)^2\)の展開\(x^2+2xy+y^2\)を利用する。 \(x^2+2xy+3y^2 = (x^2+2xy+y^2)+2y^2 = (x+y)^2+2y^2\) 2つの平方の和なので、\((x+y)^2 \ge 0\)かつ\(2y^2 \ge 0\)より \((x+y)^2+2y^2 \ge 0\) \(x^2+2xy+3y^2 \ge 0\)（等号は\(x+y=0\)かつ\(y=0\)、つまり\(x=y=0\)のとき）
23
剰余の定理（2次式で割った余り）

整式 \(P(x)=x^3-2x^2+3x-5\) を \((x-1)(x+2)\) で割った余りを \(ax+b\) とするとき、\(a,\ b\) の値を求めよ。

\(a=\) 　\(b=\)
解説を見る
割り算の等式より\(P(x)=(x-1)(x+2)Q(x)+ax+b\)（\(Q(x)\)は商）。 \(x=1\)を代入すると\((x-1)(x+2)\)の部分が\(0\)になるので\(P(1)=a+b\)。 \(P(1)=1-2+3-5=-3\)　よって\(a+b=-3\)　…(1) \(x=-2\)を代入すると同様に\(P(-2)=-2a+b\)。 \(P(-2)=-8-8-6-5=-27\)　よって\(-2a+b=-27\)　…(2) (1)−(2)：\(3a=24\)　\(a=8\)。(1)に代入して\(b=-11\)。 検算：\(a+b=8-11=-3\)（一致）、\(-2a+b=-16-11=-27\)（一致）。 \(a=8,\ b=-11\)
24
因数定理・高次方程式（虚数解を含む）

方程式 \(x^3-3x^2+4x-2=0\) を解け（虚数解はコンマ区切りで入力）。

実数解 \(x=\) 　虚数解 \(x=\)
解説を見る
\(P(x)=x^3-3x^2+4x-2\)とおく。定数項\(-2\)の約数の中から探すと \(P(1)=1-3+4-2=0\) なので、因数定理より\(P(x)\)は\(x-1\)を因数にもつ。 実際に割り算すると\(P(x)=(x-1)(x^2-2x+2)\)（筆算・検算で確認できる）。 \(x^2-2x+2=0\)を解の公式（\(b'\)の公式）で解く。 \(b'=-1\)、\(b'^2-ac=(-1)^2-1\times2=1-2=-1\) \(x=\dfrac{-b'\pm\sqrt{-1}}{a}=1\pm i\) \(x=1,\ 1+i,\ 1-i\)
25
円の接線

円 \(x^2+y^2=20\) 上の点 \((4,\ 2)\) における接線の方程式を、傾きと\(y\)切片で答えよ。

傾き 　\(y\)切片
解説を見る
円\(x^2+y^2=r^2\)上の点\((x_1,y_1)\)における接線の公式は\(x_1x+y_1y=r^2\)。 \(4x+2y=20\) 両辺を2で割ると\(2x+y=10\)、整理すると\(y=-2x+10\)。 傾き\(-2\)、\(y\)切片\(10\)（接線\(2x+y=10\)）
26
軌跡・アポロニウスの円

2点 \(\mathrm{A}(0,\ 0)\)、\(\mathrm{B}(6,\ 0)\) から、\(\mathrm{PA}:\mathrm{PB}=1:2\) となるように動く点\(\mathrm{P}(x,\ y)\)の軌跡を求めよ。円の中心の座標と半径を答えよ。

中心\(x\)座標 　中心\(y\)座標 　半径
解説を見る
条件\(\mathrm{PA}:\mathrm{PB}=1:2\)より\(2\mathrm{PA}=\mathrm{PB}\)。両辺を2乗して\(4\mathrm{PA}^2=\mathrm{PB}^2\)とすれば根号が消える。 \(4(x^2+y^2)=(x-6)^2+y^2\) \(4x^2+4y^2=x^2-12x+36+y^2\) \(3x^2+3y^2+12x-36=0\) 両辺を3で割って\(x^2+y^2+4x-12=0\)、\(x\)について平方完成する。 \((x+2)^2-4+y^2-12=0\) \((x+2)^2+y^2=16\) 中心\((-2,\ 0)\)、半径\(4\)の円
27
2倍角の公式

\(\sin\theta=\dfrac{3}{5}\)、\(0<\theta<\dfrac{\pi}{2}\)のとき、\(\sin2\theta\)、\(\cos2\theta\)の値を求めよ。

\(\sin2\theta=\) 　\(\cos2\theta=\)
解説を見る
\(0<\theta<\dfrac{\pi}{2}\)なので\(\cos\theta>0\)。相互関係\(\sin^2\theta+\cos^2\theta=1\)より \(\cos\theta=\sqrt{1-\left(\dfrac{3}{5}\right)^2}=\sqrt{\dfrac{16}{25}}=\dfrac{4}{5}\) 2倍角の公式を使う。 \(\sin2\theta=2\sin\theta\cos\theta=2\times\dfrac{3}{5}\times\dfrac{4}{5}=\dfrac{24}{25}\) \(\cos2\theta=1-2\sin^2\theta=1-2\times\dfrac{9}{25}=1-\dfrac{18}{25}=\dfrac{7}{25}\) \(\sin2\theta=\dfrac{24}{25},\ \cos2\theta=\dfrac{7}{25}\)
28
三角関数の合成

\(\sqrt3\sin\theta+\cos\theta\) を \(r\sin(\theta+\alpha)\) の形に合成せよ（\(0\le\alpha<2\pi\)）。

\(r=\) 　\(\alpha=\)
解説を見る
\(r=\sqrt{(\sqrt3)^2+1^2}=\sqrt{3+1}=2\) \(\cos\alpha=\dfrac{\sqrt3}{2},\ \sin\alpha=\dfrac{1}{2}\)を満たす\(\alpha\)は\(\alpha=\dfrac{\pi}{6}\)。 \(\sqrt3\sin\theta+\cos\theta = 2\sin\left(\theta+\dfrac{\pi}{6}\right)\)
29
対数不等式・真数条件

\(\log_2(x-1)+\log_2(x-3)<3\) を解け。

\(x\)の範囲は下端＝ 　上端＝
解説を見る
真数条件：\(x-1>0\)かつ\(x-3>0\)より\(x>3\)　…(1) 左辺を1つの対数にまとめる。 \(\log_2(x-1)(x-3)<3=\log_2 8\) 底\(2\)は\(1\)より大きいので、対数は単調増加。真数どうしを比較できる。 \((x-1)(x-3)<8\) \(x^2-4x+3<8\) \(x^2-4x-5<0\) \((x-5)(x+1)<0\) \(-1<x<5\)　…(2) (1)と(2)の共通範囲をとる。 \(3<x<5\)
30
常用対数・桁数

\(\log_{10}2=0.3010\)として、\(2^{40}\)は何桁の数か求めよ。

桁数 桁
解説を見る
\(\log_{10}2^{40}=40\log_{10}2=40\times0.3010=12.04\) \(12 \le \log_{10}2^{40} < 13\)なので、\(10^{12} \le 2^{40} < 10^{13}\)。これは13桁の数であることを意味する（一般に\(\log_{10}N\)の整数部分に\(1\)を足した値が\(N\)の桁数）。 13桁
31
区間の最大最小（端点比較を含む）

\(f(x)=x^3-3x\)（\(-2\le x\le3\)）の最大値・最小値を求めよ（\(x\)の値が複数あるときはコンマ区切りで入力）。

最大値 （\(x=\) ）　最小値 （\(x=\) ）
解説を見る
\(f'(x)=3x^2-3=3(x-1)(x+1)\)。区間\([-2,3]\)の中にある極値は\(x=-1\)（極大）、\(x=1\)（極小）。 候補点（両端点と極値の\(x\)）をすべて調べる。 \(f(-2)=-8+6=-2\) \(f(-1)=-1+3=2\) \(f(1)=1-3=-2\) \(f(3)=27-9=18\) 比べると、最大は\(x=3\)の\(18\)。最小は\(x=-2\)と\(x=1\)がどちらも\(-2\)で並ぶ（端点と極小値がたまたま同じ値になった）。 \(x=3\)で最大値\(18\)、\(x=-2,\ 1\)で最小値\(-2\)
32
2曲線間の面積

放物線 \(y=x^2\) と直線 \(y=2x\) で囲まれた部分の面積を求めよ。

面積
解説を見る
交点を求める。\(x^2=2x\)より\(x(x-2)=0\)、\(x=0,\ 2\)。 \(0\le x\le2\)では\(2x \ge x^2\)（例えば\(x=1\)で\(2\times1=2>1=1^2\)）なので、上側の曲線は\(y=2x\)。 面積\(=\displaystyle\int_0^2(2x-x^2)\,dx=\Big[x^2-\dfrac{x^3}{3}\Big]_0^2=\left(4-\dfrac{8}{3}\right)-0=\dfrac{12-8}{3}=\dfrac{4}{3}\) 面積\(=\dfrac{4}{3}\)
33
総合：図形と方程式×三角関数（直線の傾きとtanθ）

直線 \(l:\ y=\sqrt3x-2\) が \(x\) 軸の正の向きとなす角\(\theta\)（\(0\le\theta<\pi\)）を求めよ。また、原点を通り\(l\)に垂直な直線の傾きを求めよ。

\(\theta=\) （ラジアン）　垂直な直線の傾き
解説を見る
直線の傾きは、\(x\)軸の正の向きとなす角\(\theta\)を用いて\(\tan\theta\)で表される（これが三角関数の章の考え方と直線の傾きをつなぐ関係）。 \(\tan\theta=\sqrt3\)を満たす\(0\le\theta<\pi\)の角は\(\theta=\dfrac{\pi}{3}\)。 垂直な2直線の傾きの積は\(-1\)になる（図形と方程式の章で学んだ条件）。\(l\)の傾きは\(\sqrt3\)なので、垂直な直線の傾きを\(m\)とすると \(\sqrt3\times m=-1\)　\(m=-\dfrac{1}{\sqrt3}=-\dfrac{\sqrt3}{3}\) \(\theta=\dfrac{\pi}{3}\)、垂直な直線の傾きは\(-\dfrac{\sqrt3}{3}\)
34
総合：式と証明×複素数と方程式（3次の対称式）

2次方程式 \(x^2-4x+7=0\) の解を\(\alpha,\ \beta\)とする。恒等式 \(\alpha^3+\beta^3=(\alpha+\beta)^3-3\alpha\beta(\alpha+\beta)\) を用いて、\(\alpha^3+\beta^3\)の値を求めよ。

\(\alpha^3+\beta^3=\)
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この方程式は判別式\(D=16-28=-12<0\)なので、\(\alpha,\ \beta\)は共役な虚数である。しかし解と係数の関係は実数解のときと同じ形のまま使える。 \(\alpha+\beta=-\dfrac{-4}{1}=4\)、\(\alpha\beta=\dfrac{7}{1}=7\) 恒等式\(\alpha^3+\beta^3=(\alpha+\beta)^3-3\alpha\beta(\alpha+\beta)\)に代入する（この恒等式は、式と証明の章で3次の乗法公式から導いたものである）。 \(\alpha^3+\beta^3=4^3-3\times7\times4=64-84=-20\) \(\alpha^3+\beta^3=-20\)
発展（35〜40）
35
総合：微分法×複素数と方程式（単調性と虚数解）

3次方程式 \(x^3-6x^2+21x-26=0\) について、\(f(x)=x^3-6x^2+21x-26\)の導関数\(f'(x)\)がつねに正であることを示し、実数解がただ1つであることを説明せよ。そのうえで、実数解と残り2つの解（虚数解）をすべて求めよ（虚数解はコンマ区切りで入力）。

実数解 \(x=\) 　虚数解 \(x=\)
解説を見る
まず\(f'(x)\)を計算する。 \(f'(x)=3x^2-12x+21=3(x^2-4x+7)\) \(x^2-4x+7\)の判別式は\(D=(-4)^2-4\times1\times7=16-28=-12<0\)。判別式が負でx²の係数が正なので、この2次式はつねに正である。したがって\(f'(x)=3(x^2-4x+7)>0\)がすべての\(x\)で成り立ち、\(f(x)\)はつねに増加する関数である。増加し続ける関数のグラフは\(x\)軸とちょうど1回しか交わらないので、実数解はただ1つ。 その実数解を因数定理で探す。定数項\(-26\)の約数を試すと \(f(2)=8-24+42-26=0\) なので\(x=2\)が実数解。 割り算すると\(f(x)=(x-2)(x^2-4x+13)\)（筆算・検算で確認できる）。残りの解は\(x^2-4x+13=0\)を解く。 \(b'=-2\)、\(b'^2-ac=(-2)^2-1\times13=4-13=-9\) \(x=\dfrac{-b'\pm\sqrt{-9}}{a}=2\pm3i\) 実数解\(x=2\)、虚数解\(x=2+3i,\ 2-3i\)
36
総合：図形と方程式×三角関数（円上の点のパラメータ表示と合成）

円 \(x^2+y^2=4\) 上の点を \(\mathrm{P}(2\cos\theta,\ 2\sin\theta)\)（\(0\le\theta<2\pi\)）とする。\(\sqrt3x+y\)（\(x,\ y\)は点\(\mathrm{P}\)の座標）の最大値と、そのときの\(\theta\)を求めよ。

最大値 　そのとき \(\theta=\)
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点\(\mathrm{P}\)の座標を代入すると \(\sqrt3x+y = \sqrt3\times2\cos\theta+2\sin\theta = 2\sqrt3\cos\theta+2\sin\theta\) これを三角関数の合成で1本のsinにまとめる。\(2\sin\theta+2\sqrt3\cos\theta\)の形とみて \(r=\sqrt{2^2+(2\sqrt3)^2}=\sqrt{4+12}=\sqrt{16}=4\) \(\cos\alpha=\dfrac{2}{4}=\dfrac{1}{2},\ \sin\alpha=\dfrac{2\sqrt3}{4}=\dfrac{\sqrt3}{2}\)を満たす\(\alpha=\dfrac{\pi}{3}\)なので \(2\sin\theta+2\sqrt3\cos\theta=4\sin\left(\theta+\dfrac{\pi}{3}\right)\) \(\sin\)の最大値は\(1\)なので、最大値は\(4\)。等号は\(\theta+\dfrac{\pi}{3}=\dfrac{\pi}{2}\)、すなわち\(\theta=\dfrac{\pi}{6}\)のとき（これは\(0\le\theta<2\pi\)の範囲に入っている）。 \(\theta=\dfrac{\pi}{6}\)のとき最大値\(4\)
37
総合：指数関数×式と証明（相加相乗平均）

\(x\)がすべての実数を動くとき、\(2^x+2^{2-x}\)の最小値を、相加平均・相乗平均の関係を用いて求めよ。

最小値 　そのとき \(x=\)
解説を見る
\(t=2^x\)とおく。指数関数の性質より、\(x\)がすべての実数を動くとき\(t\)はつねに正の実数を動く（\(t>0\)）。 \(2^{2-x}=\dfrac{2^2}{2^x}=\dfrac{4}{t}\)なので \(2^x+2^{2-x}=t+\dfrac{4}{t}\) \(t>0\)より\(\dfrac{4}{t}>0\)なので、相加平均・相乗平均の関係が使える。 \(t+\dfrac{4}{t} \ge 2\sqrt{t\cdot\dfrac{4}{t}} = 2\sqrt{4} = 4\) 等号は\(t=\dfrac{4}{t}\)のとき、すなわち\(t^2=4,\ t>0\)より\(t=2\)。このとき\(2^x=2\)なので\(x=1\)。 \(x=1\)のとき最小値\(4\)
38
総合：図形と方程式×微分法（接線と点の距離）

3次関数 \(y=x^3-3x\) の \(x=0\) における接線の方程式を求めよ。また、点 \((5,\ 5)\) からその接線までの距離を求めよ。

接線の傾き 　距離
解説を見る
\(y'=3x^2-3\)なので、\(x=0\)での傾きは\(3\times0-3=-3\)。接点は\((0,\ 0)\)（\(y(0)=0\)）。 接線：\(y-0=-3(x-0)\)　すなわち\(y=-3x\)、整理すると\(3x+y=0\)。 点と直線の距離の公式\(\dfrac{|ax_1+by_1+c|}{\sqrt{a^2+b^2}}\)を、直線\(3x+y=0\)（\(a=3,b=1,c=0\)）と点\((5,5)\)に使う。 距離\(=\dfrac{|3\times5+1\times5+0|}{\sqrt{3^2+1^2}}=\dfrac{|15+5|}{\sqrt{10}}=\dfrac{20}{\sqrt{10}}=\dfrac{20\sqrt{10}}{10}=2\sqrt{10}\) 接線の傾き\(-3\)（\(y=-3x\)）、距離は\(2\sqrt{10}\)
39
総合：式と証明×図形と方程式（相加相乗平均と面積）

\(x>0,\ y>0\)で\(2x+y=8\)のとき、相加平均・相乗平均の関係を用いて\(xy\)の最大値を求めよ。さらに、直線\(2x+y=8\)と\(x\)軸・\(y\)軸で囲まれる三角形の面積を求めよ。

\(xy\)の最大値 　三角形の面積
解説を見る
\(2x>0,\ y>0\)なので、相加平均・相乗平均の関係が使える。 \(2x+y \ge 2\sqrt{2x\cdot y} = 2\sqrt{2xy}\) 条件\(2x+y=8\)を代入すると\(8 \ge 2\sqrt{2xy}\)、よって\(\sqrt{2xy}\le4\)。両辺とも0以上なので2乗して\(2xy\le16\)、すなわち\(xy\le8\)。 等号は\(2x=y\)のとき。これと\(2x+y=8\)を合わせると\(2x+2x=8\)、\(x=2,\ y=4\)。実際\(xy=2\times4=8\)で最大値が実現している。 三角形について。直線\(2x+y=8\)は\(x\)軸と\(y=0\)のとき\(x=4\)の点\((4,\ 0)\)で、\(y\)軸と\(x=0\)のとき\(y=8\)の点\((0,\ 8)\)で交わる。原点・\((4,0)\)・\((0,8)\)を頂点とする直角三角形の面積は \(\dfrac{1}{2}\times4\times8=16\) \(xy\)の最大値は\(8\)（\(x=2,y=4\)のとき）、三角形の面積は\(16\)
40
総合：図形と方程式×解と係数の関係（章の総仕上げ）

直線 \(y=x+k\) と円 \(x^2+y^2=8\) が異なる2点\(\mathrm{A}\)、\(\mathrm{B}\)で交わるとき、(1) \(k\)の値の範囲を求めよ。(2) 交点\(\mathrm{A}\)、\(\mathrm{B}\)の\(x\)座標を\(\alpha,\ \beta\)とするとき、線分\(\mathrm{AB}\)の長さを\(k\)を用いて表せ。(3) 弦\(\mathrm{AB}\)の長さが\(4\)になるときの\(k\)の値を求めよ（(3)の答えが2つあるときはコンマ区切りで入力）。

(1) \(k\)の範囲は下端＝ 　上端＝ 　(3) \(k=\)
解説を見る
(1) \(y=x+k\)を円の式に代入して\(y\)を消去する。 \(x^2+(x+k)^2=8\) \(2x^2+2kx+(k^2-8)=0\) 異なる2点で交わる条件は、この\(x\)についての2次方程式が異なる2つの実数解をもつこと、つまり\(D>0\)。 \(D=(2k)^2-4\times2\times(k^2-8)=4k^2-8k^2+64=-4k^2+64\) \(-4k^2+64>0\)より\(k^2<16\)、よって\(-4<k<4\)。 (2) \(2x^2+2kx+(k^2-8)=0\)の解が\(\alpha,\ \beta\)なので、解と係数の関係より \(\alpha+\beta=-\dfrac{2k}{2}=-k\)、\(\alpha\beta=\dfrac{k^2-8}{2}\) \(\mathrm{A}(\alpha,\ \alpha+k)\)、\(\mathrm{B}(\beta,\ \beta+k)\)なので \(\mathrm{AB}=\sqrt{(\alpha-\beta)^2+\{(\alpha+k)-(\beta+k)\}^2}=\sqrt{2(\alpha-\beta)^2}=\sqrt2\,|\alpha-\beta|\) \((\alpha-\beta)^2=(\alpha+\beta)^2-4\alpha\beta=k^2-4\times\dfrac{k^2-8}{2}=k^2-2(k^2-8)=16-k^2\) なので\(\mathrm{AB}=\sqrt2\times\sqrt{16-k^2}=\sqrt{2(16-k^2)}=\sqrt{32-2k^2}\) (3) \(\mathrm{AB}=4\)とおく。 \(\sqrt{32-2k^2}=4\) 両辺を2乗して\(32-2k^2=16\) \(2k^2=16\)　\(k^2=8\)　\(k=\pm2\sqrt2\) \(2\sqrt2\approx2.83\)は(1)の範囲\(-4<k<4\)の中にあるので、どちらも条件を満たす。 (1) \(-4<k<4\)　(2) \(\mathrm{AB}=\sqrt{32-2k^2}\)　(3) \(k=\pm2\sqrt2\)
共通テスト形式チャレンジ

大問1　目標時間 12分／配点 20点

花子さんと太郎さんは、公園にある円形の噴水のまわりの整備計画について話している。噴水の縁は、中心を原点として半径\(6\)mの円とみなせる。

花子「噴水のまわりに、扇形の花壇を作りたいな。」
太郎「中心角\(\dfrac{2}{3}\pi\)（ラジアン）の扇形にしよう。」
(1)

半径\(6\)m、中心角\(\dfrac{2}{3}\pi\)の扇形について、弧の長さは\(\boxed{\text{ア}}\pi\)m、面積は\(\boxed{\text{イウ}}\pi\)m²である。ア、イウの値を求めよ。

ア イウ
解説を見る
弧の長さの公式\(l=r\theta\)を使う。 \(l=6\times\dfrac{2}{3}\pi=4\pi\) 面積の公式\(S=\dfrac{1}{2}r^2\theta\)を使う。 \(S=\dfrac{1}{2}\times6^2\times\dfrac{2}{3}\pi=\dfrac{1}{2}\times36\times\dfrac{2}{3}\pi=12\pi\) 弧の長さ\(4\pi\)m、面積\(12\pi\)m²
(2)

太郎「噴水の中心から\(10\)m離れた地点に管理小屋があるね。」　管理小屋の位置を点\(\mathrm{Q}\)とする。点\(\mathrm{Q}\)から噴水の縁（円）に引いた接線の本数は\(\boxed{\text{エ}}\)本であり、接線の長さ（\(\mathrm{Q}\)から接点までの距離）は\(\boxed{\text{オ}}\)mである。エ、オの値を求めよ。

エ オ
解説を見る
円の中心を\(\mathrm{O}\)とする。\(\mathrm{OQ}=10\)は半径\(6\)より大きいので、\(\mathrm{Q}\)は円の外部にある。円の外部の点からは、接線がちょうど2本引ける。 接点を\(\mathrm{T}\)とすると、半径\(\mathrm{OT}\)と接線\(\mathrm{QT}\)は垂直に交わるので、直角三角形\(\mathrm{OTQ}\)ができる（三平方の定理が使える）。 \(\mathrm{QT}=\sqrt{\mathrm{OQ}^2-\mathrm{OT}^2}=\sqrt{10^2-6^2}=\sqrt{100-36}=\sqrt{64}=8\) 接線の本数は\(2\)本、接線の長さは\(8\)m
(3)

花子「(2)で求めた接点も使って、もう1つ図形の面積を考えてみよう。」　中心\(\mathrm{O}\)、管理小屋\(\mathrm{Q}\)、そして(2)で求めた2つの接点を頂点とする四角形の面積は\(\boxed{\text{カキ}}\)m²である。(2)で求めた半径と接線の長さを利用して、カキの値を求めよ。

カキ
解説を見る
中心\(\mathrm{O}\)、管理小屋\(\mathrm{Q}\)、2つの接点\(\mathrm{T}\)、\(\mathrm{T'}\)を結ぶと、四角形\(\mathrm{OTQT'}\)ができる。半径\(\mathrm{OT}\)・\(\mathrm{OT'}\)と接線\(\mathrm{QT}\)・\(\mathrm{QT'}\)はそれぞれ垂直に交わるので、この四角形は対角線\(\mathrm{OQ}\)で2つの直角三角形\(\mathrm{OTQ}\)・\(\mathrm{OT'Q}\)に分けられる。 (2)より\(\mathrm{OT}=\mathrm{OT'}=6\)（半径）、\(\mathrm{QT}=\mathrm{QT'}=8\)（接線の長さ）なので、直角三角形\(\mathrm{OTQ}\)の面積は \(\dfrac{1}{2}\times6\times8=24\) 四角形\(\mathrm{OTQT'}\)の面積は、この合同な直角三角形2つ分なので \(24\times2=48\) 四角形\(\mathrm{OTQT'}\)の面積は\(48\)m²

大問2　目標時間 13分／配点 20点

太郎さんは、文化祭の受付で使う、ふたのない箱を作ろうとしている。1辺\(30\)cmの正方形の厚紙の四隅から、1辺\(x\)cmの正方形を切り取り、残りを折り曲げて箱にする計画である。

先生「底面の1辺の長さと、箱の高さを、まず\(x\)を使った式で表してみよう。」
太郎「はい。底面の1辺は\((30-2x)\)cm、高さは\(x\)cmになります。」
(1)

箱の体積を\(V\)cm³とすると、\(V=x(30-2x)^2\)である。これを展開して整理すると \[ V = 4x^3\boxed{\text{アイウ}}x^2+\boxed{\text{エオカ}}x \] となる（アイウは符号もつけて入力）。また、\(x\)のとりうる値の範囲は\(0<x<\boxed{\text{キク}}\)である。アイウ、エオカ、キクの値を求めよ。

アイウ エオカ キク
解説を見る
\(V=x(30-2x)^2\)を展開する。 \((30-2x)^2=900-120x+4x^2\) \(V=x(900-120x+4x^2)=4x^3-120x^2+900x\) 底面の1辺\(30-2x\)は正でなければならないので\(x<15\)。また\(x\)は正の長さなので\(x>0\)。よって\(0<x<15\)。 \(V=4x^3-120x^2+900x\)、\(0<x<15\)
(2)

先生「体積が最大になる\(x\)を、微分を使って求めよう。」　\(V'(x)=0\)を整理すると\(x^2-20x+\boxed{\text{ケコ}}=0\)となる。\(0<x<15\)の範囲でこれを解くと\(x=\boxed{\text{サ}}\)であり、このとき体積は最大値\(V=\boxed{\text{シスセソ}}\)cm³をとる。ケコ、サ、シスセソの値を求めよ。

ケコ サ シスセソ
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(1)の\(V=4x^3-120x^2+900x\)を微分する。 \(V'(x)=12x^2-240x+900\) 両辺を12で割って整理すると\(x^2-20x+75=0\) これを解くと、積が\(75\)・和が\(-20\)になる2数は\(-5\)と\(-15\)なので\((x-5)(x-15)=0\)、\(x=5,\ 15\)。定義域\(0<x<15\)の中にあるのは\(x=5\)のみ（\(x=15\)は底面の1辺が\(0\)になり箱として成り立たない境界値）。 増減表を作ると\(x=5\)の前後で\(V'\)が正から負に変わるので、\(x=5\)で極大かつ最大。 \(V(5)=5\times(30-10)^2=5\times400=2000\) \(x=5\)のとき最大値\(V=2000\)cm³
(3)

花子「本当に\(x=5\)の前後で増加から減少に変わっているか、確かめてみよう。」　\(V'(2)=\boxed{\text{タチツ}}\)、\(V'(10)=\boxed{\text{テトナ}}\)である（テトナは符号もつけて入力）。この2つの値の符号から、\(x=5\)で確かに最大になることを確認せよ。

タチツ テトナ
解説を見る
\(V'(x)=12x^2-240x+900\)に代入する。 \(V'(2)=12\times4-240\times2+900=48-480+900=468\) \(V'(10)=12\times100-240\times10+900=1200-2400+900=-300\) \(x=5\)より小さい\(x=2\)では\(V'>0\)（増加中）、\(x=5\)より大きい\(x=10\)では\(V'<0\)（減少中）。符号がちょうど\(x=5\)をはさんで正から負に変わっているので、\(x=5\)で\(V\)は極大値かつ、この区間での最大値をとることが確認できる。 \(V'(2)=468>0\)、\(V'(10)=-300<0\)。符号が正→負に変わるので\(x=5\)で最大。

大問3　目標時間 10分／配点 20点

花子さんと太郎さんは、3次方程式\(x^3-8=0\)を、3次式の因数分解の公式を使って解く方法を考えている。

花子「\(x^3-8\)は\(x^3-2^3\)の形だから、公式\(a^3-b^3=(a-b)(a^2+ab+b^2)\)が使えそうだね。」
太郎「因数分解できれば、あとは複素数と方程式の章で学んだ2次方程式の解の公式で解けるね。」
(1)

\(x^3-8=0\)を解くと、実数解は\(x=\boxed{\text{ア}}\)であり、残り2つの虚数解は\(x=\boxed{\text{イ}}\pm\sqrt{\boxed{\text{ウ}}}\,i\)の形になる（イは符号もつけて入力）。ア、イ、ウの値を求めよ。

ア イ ウ
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公式\(a^3-b^3=(a-b)(a^2+ab+b^2)\)を\(a=x,\ b=2\)で使う。 \(x^3-8=(x-2)(x^2+2x+4)\) \(x-2=0\)より\(x=2\)（実数解）。 \(x^2+2x+4=0\)を解の公式（\(b'\)の公式、\(b'=1\)）で解く。 \(b'^2-ac=1^2-1\times4=1-4=-3\) \(x=\dfrac{-b'\pm\sqrt{-3}}{a}=\dfrac{-1\pm\sqrt3\,i}{1}=-1\pm\sqrt3\,i\) 実数解\(x=2\)、虚数解\(x=-1\pm\sqrt3\,i\)
(2)

1の3乗根のうち虚数であるものの1つを\(\omega\)とすると、\(\omega^2+\omega+1=0\)、\(\omega^3=1\)が成り立つ。このとき\(\omega+\omega^2=\boxed{\text{エ}}\)、\(\omega\cdot\omega^2=\boxed{\text{オ}}\)である（エは符号もつけて入力）。エ、オの値を求めよ。

エ オ
解説を見る
\(\omega^2+\omega+1=0\)を変形すると、そのまま \(\omega+\omega^2=-1\) \(\omega\cdot\omega^2=\omega^3\)であり、\(\omega^3=1\)なので \(\omega\cdot\omega^2=1\) （参考：(1)で求めた虚数解\(-1+\sqrt3\,i\)は、\(\omega=\dfrac{-1+\sqrt3\,i}{2}\)を使うと\(x=2\omega\)と表せる。3次方程式\(x^3=8\)の解が実数解\(2\)と、それを\(\omega\)倍・\(\omega^2\)倍した\(2\omega,\ 2\omega^2\)になるのは偶然ではなく、\(n\)乗根どうしに共通する構造である。） \(\omega+\omega^2=-1\)、\(\omega\cdot\omega^2=1\)
(3)

(1)で求めた3つの解の和と積を、解と係数の関係（3次方程式\(x^3+px^2+qx+r=0\)の解の和は\(-p\)、積は\(-r\)）を用いて求めよ。和は\(\boxed{\text{カ}}\)、積は\(\boxed{\text{キ}}\)である。カ、キの値を求めよ。

カ キ
解説を見る
\(x^3-8=0\)は\(x^3+0x^2+0x-8=0\)の形なので、\(p=0,\ q=0,\ r=-8\)。 解の和は\(-p=0\)、解の積は\(-r=8\)。 実際に(1)の解で検算する。 和：\(2+(-1+\sqrt3i)+(-1-\sqrt3i)=2-1-1=0\)（一致） 積：\(2\times(-1+\sqrt3i)\times(-1-\sqrt3i)=2\times\{(-1)^2-(\sqrt3i)^2\}=2\times(1+3)=2\times4=8\)（一致） このように、実際に解を求める方法と、解と係数の関係を使う方法の2通りで、同じ結果にたどり着くことが確認できた。 和は\(0\)、積は\(8\)
記述チャレンジ

答えだけでなく「なぜそうなるか」を文章と式で書く練習。模範解答と見比べて、書き方の型を身につけよう。

記1

判別式\(D\)を使った場合分け（\(D>0\)・\(D=0\)・\(D<0\)）は、「複素数と方程式」の章で2次方程式の実数解の個数を調べるために学んだ。この考え方が、「図形と方程式」の章の「円と直線の共有点の個数」でもそのまま使えることを、具体的な例を1つ挙げながら説明せよ。

模範解答を見る
例として、円\(x^2+y^2=5\)と直線\(y=x+1\)の共有点の個数を考える。 直線の式を円の式に代入して\(y\)を消去すると \(x^2+(x+1)^2=5\) \(x^2+x^2+2x+1=5\) \(2x^2+2x-4=0\) 両辺を2で割って \(x^2+x-2=0\) これは、共有点の\(x\)座標を求めるための、ふつうの2次方程式である。この2次方程式が実数解をいくつもつかによって、円と直線の共有点の個数がそのまま決まる。判別式を計算すると \(D=1^2-4\times1\times(-2)=1+8=9\) \(D=9>0\)なので、この2次方程式は異なる2つの実数解をもつ。実際に解くと\((x+2)(x-1)=0\)より\(x=-2,\ 1\)となり、円と直線は異なる2点\((-2,-1)\)、\((1,2)\)で交わることがわかる。 このように、円と直線の共有点の個数を調べる問題は、直線の式を円の式に代入した瞬間に「\(x\)についての2次方程式の実数解の個数を調べる問題」に姿を変える。だから、複素数と方程式の章で学んだ判別式の場合分け（\(D>0\)なら異なる2点で交わる、\(D=0\)なら接する、\(D<0\)なら共有点をもたない）を、そのまま持ち込んで使うことができる。円という新しい図形が登場しても、根っこにある道具は同じ2次方程式の判別式なのである。 直線の式を円の式に代入すると、共有点の個数を調べる問題は2次方程式の実数解の個数を調べる問題になる。だから複素数と方程式の章で学んだ判別式D>0/D=0/D<0の場合分けが、円と直線の共有点の個数の判定にもそのまま使える。
記2

3次方程式\(x^3-3x+a=0\)の実数解の個数は、定数\(a\)の値によって変化する。微分を使ってこの理由を説明し、さらに\(a=-2\)のときのすべての解を求めよ。

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\(f(x)=x^3-3x\)とおく。方程式\(x^3-3x+a=0\)は\(f(x)=-a\)と同じことなので、これは「\(y=f(x)\)のグラフ」と「\(y=-a\)という横向きの直線」が何回交わるか、という問題に置きかえられる。 \(f(x)\)の増減を調べるために微分する。 \(f'(x)=3x^2-3=3(x-1)(x+1)\) \(f'(x)=0\)より\(x=-1,\ 1\)。増減表を作ると、\(x=-1\)で極大値\(f(-1)=-1+3=2\)、\(x=1\)で極小値\(f(1)=1-3=-2\)をとる。 グラフは、左から増加して\(x=-1\)で極大値\(2\)、そこから減少して\(x=1\)で極小値\(-2\)、そこからまた増加する形をしている。横向きの直線\(y=-a\)がこのグラフと何回交わるかは、直線の高さ\(-a\)が極大値\(2\)・極小値\(-2\)よりどちらに位置するかで決まる。 \(-a>2\)または\(-a<-2\)（すなわち\(a<-2\)または\(a>2\)）のときは、山を越えるか谷を通り抜けるかで交点は1個。 \(-a=2\)または\(-a=-2\)（すなわち\(a=-2\)または\(a=2\)）のときは、山または谷にちょうど接するので交点は2個（1つは重解）。 \(-2<-a<2\)（すなわち\(-2<a<2\)）のときは、山と谷の間を横切るので交点は3個。 これが、3次方程式の実数解の個数が\(a\)によって変化する理由である。3次以上の方程式では高校では判別式を使わないかわりに、微分による増減表がその役割を果たしている。 次に\(a=-2\)の場合を具体的に解く。方程式は\(x^3-3x-2=0\)。上の議論で\(a=-2\)は境界の場合（極大値\(2\)にちょうど接する場合）にあたるので、\(x=-1\)が重解になるはずである。実際に確かめる。 \(f(-1)-2=2-2=0\)なので、因数定理より\(x^3-3x-2\)は\((x+1)\)を因数にもつ。実際に割り算すると \(x^3-3x-2=(x+1)(x^2-x-2)=(x+1)(x+1)(x-2)=(x+1)^2(x-2)\) よって解は\(x=-1\)（重解）、\(x=2\)。 実数解の個数は、\(-2<a<2\)で3個、\(a=\pm2\)で2個（重解を含む）、それ以外で1個。\(a=-2\)のとき解は\(x=-1\)（重解）、\(x=2\)。

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