2次関数 まとめ

章の総復習・まとめテスト

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この章で学ぶこと

2次関数は、第1章「数と式」で学んだ展開・因数分解や不等式の考え方を土台にして、「関数のグラフ」という新しい見方を身につける章である。式を平方完成すればグラフの頂点が読み取れ、そこから最大値・最小値、方程式の解、不等式の解までが、すべて同じ1本の放物線の上でつながっていることを確認していく。第2章「集合と命題」で学んだ論理的な場合分けの考え方は、区間や軸が動くときの場合分けでそのまま生きてくる。ここで身につけた「グラフで考える」姿勢は、次の第4章「図形と計量（三角比）」でのグラフの読み取りや、数学IIで学ぶ微分法・積分法にもそのまま受け継がれていく。

学習の順路

下から順番に読み進めよう。1〜3で「式とグラフ」の基礎を固め、4〜5で「最大値・最小値」を仕上げ、6〜7で「方程式・不等式」に接続し、8で逆に「グラフから式を決める」練習をする、という流れになっている。

  1. 1. 2次関数とグラフ・平行移動　―　\(y=ax^2\)の形とグラフの特徴、平行移動・対称移動の符号の扱い方を学ぶ。
  2. 2. 平方完成　―　一般形\(y=ax^2+bx+c\)を、頂点が読み取れる形\(y=a(x-p)^2+q\)に書きかえる技術を身につける。
  3. 3. グラフの描き方　―　頂点・軸・y切片・x軸との交点の4つの情報から、正確にグラフを描く手順を学ぶ。
  4. 4. 最大値・最小値　―　区間が固定されているときの最大値・最小値を、軸と区間の位置関係の3パターンで求める。
  5. 5. 軸や区間が動く最大・最小（場合分け）　―　区間や軸が文字を含んで動くときの場合分けを学ぶ。
  6. 6. 2次方程式　―　因数分解・解の公式・判別式・解と係数の関係を学ぶ。
  7. 7. 2次不等式　―　グラフがx軸より上か下かを読み取って、2次不等式の解を求める。
  8. 8. 2次関数の決定　―　頂点形・因数分解形・一般形を使い分けて、条件から式を逆算する。

要点整理　式とグラフの対応

2次関数の式は、置き方によって「何がすぐ読み取れるか」が変わる。テスト前は、まずこの対応表を思い出そう。

一般形　\(y=ax^2+bx+c\)
y切片が\(c\)と即わかる。頂点は平方完成しないと見えない。
頂点形　\(y=a(x-p)^2+q\)
頂点\((p,\ q)\)と軸\(x=p\)が即わかる。最大・最小の出発点になる形。
因数分解形　\(y=a(x-\alpha)(x-\beta)\)
x軸との交点\((\alpha,0),(\beta,0)\)が即わかる。方程式・不等式で活躍する形。
手順1　\(a \ne 1\)なら\(x^2\)と\(x\)の項を\(a\)でくくる
↓
手順2　（カッコの中の）\(x\)の係数を半分にして2乗した数を足して引く
↓
手順3　\((x+\square)^2\)の形にまとめ、カッコの外の数を分配して定数をまとめる
平行移動の符号のワナ　\(x\)軸方向に\(p\)動かすと式には\(x-p\)が入る（右へ動くのに式はマイナス）。\(y\)軸方向に\(q\)動かすと式には\(+q\)がそのまま入る（上下は直感どおり）。この非対称さを最後まで混同しないこと。

要点整理　最大値・最小値の全パターン

「区間指定なし」「区間が固定」「区間や軸が動く」の3段階があるが、やることの本質はいつも同じ：軸（頂点のx座標）が区間のどこにあるかを比べる、これだけ。

区間指定なし　平方完成した頂点がそのまま答え。下に凸なら最小値のみ、上に凸なら最大値のみ存在する（もう一方はない）。
軸が区間の中
下に凸なら頂点で最小、もう一方は軸から遠い方の端点。上に凸なら逆（頂点で最大）。
軸が区間の外（左）
区間内はずっと単調（下に凸なら増加、上に凸なら減少）。最大・最小は両端点だけで決まる。
軸が区間の外（右）
左と対称。区間内はずっと単調（下に凸なら減少、上に凸なら増加）。両端点だけで決まる。
区間や軸が動くとき（場合分け）　「区間が動く型」も「軸が動く型」も、見た目が違うだけで判断基準は同じ。下に凸のとき、最小値は軸が区間の内側・左外・右外のどこにあるかの3通り。最大値だけは別ルールで、区間の中央と軸の大小（＝軸から遠い方の端点はどちらか）で決める。上に凸のときは最大値と最小値の役割がそっくり入れ替わる（最大値が3通りの場合分け、最小値が区間の中央と軸の大小比較）。この違いを意識しておくと場合分けの数だけ増えても迷わない。

要点整理　2次方程式と判別式

解の公式　\(ax^2+bx+c=0\)（\(a \ne 0\)）の解は \[ x = \dfrac{-b \pm \sqrt{b^2-4ac}}{2a} \]
\(b'\)の公式　\(b=2b'\)（\(b\)が偶数）のとき \[ x = \dfrac{-b' \pm \sqrt{b'^2-ac}}{a} \]
\(D>0\)
異なる2つの実数解
グラフはx軸と2点で交わる
\(D=0\)
ただ1つの実数解（重解）
グラフはx軸に接する
\(D<0\)
実数解はない
グラフはx軸と交わらない
解と係数の関係　\(ax^2+bx+c=0\)の2つの解を\(\alpha,\ \beta\)とすると \(\alpha+\beta=-\dfrac{b}{a}\)、\(\alpha\beta=\dfrac{c}{a}\)。解を実際に求めなくても、\(\alpha^2+\beta^2=(\alpha+\beta)^2-2\alpha\beta\)のように和と積だけで計算できる場面は多い。

要点整理　2次不等式と2次関数の決定

大原則　2次不等式\(f(x)>0\)の解は「\(y=f(x)\)のグラフがx軸より上にあるxの範囲」、\(f(x)<0\)なら「x軸より下にあるxの範囲」。不等式を解くのではなく、グラフの上下を読む。
外側型　\((x-\alpha)(x-\beta)>0\)
解は\(x<\alpha\)または\(\beta<x\)
内側型　\((x-\alpha)(x-\beta)<0\)
解は\(\alpha<x<\beta\)
特殊型（\(D \le 0\)）　\(D=0\)（\((x-\alpha)^2\)の形）は「\(>0\)：\(x=\alpha\)を除く全実数」「\(<0\)：解なし」。\(D<0\)（x軸と交わらない）は\(a>0\)なら「\(>0\)：全実数」「\(<0\)：解なし」。等号の有無も必ず確認すること。
頂点（または軸）がわかる
頂点形\(y=a(x-p)^2+q\)で置く。未知数は最少で済む。
x軸との交点がわかる
因数分解形\(y=a(x-\alpha)(x-\beta)\)で置く。
バラバラな3点しかわからない
一般形\(y=ax^2+bx+c\)で置き、連立方程式を解く。
まとめテスト（標準）

この章全体を横断する総合演習、全25問。目標時間は30分。答えを入力して「採点」を押すと○×が出るぞ。分数は「-1/2」のように入力。
わからないときは「解説を見る」で解き方を確認しよう。

基本（1〜15）
1
平行移動

\(y = x^2\) を \(x\) 軸方向に \(-3\)、\(y\) 軸方向に \(5\) だけ平行移動してできる関数の頂点の座標を求めよ。

頂点のx座標 　頂点のy座標
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平行移動は、頂点をそのまま同じ量だけ動かす操作。\(y=x^2\)の頂点\((0,\ 0)\)を\(x\)軸方向に\(-3\)、\(y\)軸方向に\(5\)動かすと \((0-3,\ 0+5)=(-3,\ 5)\) （移動後の式は\(y=(x+3)^2+5\)） 頂点\((-3,\ 5)\)
2
頂点形から直接読み取る

\(y = -3(x + 4)^2 - 7\) の頂点の座標を求めよ。

頂点のx座標 　頂点のy座標
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\(y=a(x-p)^2+q\)の形とみると、\((x+4)^2=(x-(-4))^2\)なので\(p=-4\)。\(a=-3,\ q=-7\)。 頂点の位置は\(a\)の符号に関係なく\((p,\ q)\)。 頂点\((-4,\ -7)\)
3
平方完成（a=1）

\(y = x^2 - 10x + 18\) を平方完成し、頂点の座標を求めよ。

頂点のx座標 　頂点のy座標
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\(x\)の係数\(-10\)の半分は\(-5\)、2乗すると\(25\)。 \(y = x^2 - 10x + 25 - 25 + 18 = (x - 5)^2 - 7\) 頂点\((5,\ -7)\)
4
平方完成（aが1でない）

\(y = 3x^2 + 12x + 7\) を平方完成し、頂点の座標を求めよ。

頂点のx座標 　頂点のy座標
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\(x^2\)と\(x\)の項を\(3\)でくくる。 \(y = 3(x^2 + 4x) + 7\) カッコの中の係数\(4\)の半分は\(2\)、2乗すると\(4\)。 \(y = 3(x^2 + 4x + 4 - 4) + 7 = 3\big((x+2)^2-4\big)+7 = 3(x+2)^2 - 12 + 7 = 3(x+2)^2 - 5\) 頂点\((-2,\ -5)\)
5
頂点・軸・y切片

\(y = x^2 - 6x + 5\) の頂点の座標・軸・y切片を求めよ。

頂点のx座標 　頂点のy座標 　軸　\(x=\) 　y切片
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\(y = x^2 - 6x + 5 = (x-3)^2 - 9 + 5 = (x-3)^2 - 4\) 頂点は\((3,\ -4)\)、軸は\(x=3\)。 \(x=0\)を代入すると\(y=5\)。 頂点\((3,\ -4)\)、軸\(x=3\)、y切片\(5\)
6
最大値・最小値（区間指定なし）

\(y = -x^2 + 6x - 4\) の最大値を求めよ。

最大値 　そのとき \(x=\)
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\(y = -(x^2 - 6x) - 4 = -\big((x-3)^2-9\big) - 4 = -(x-3)^2 + 9 - 4 = -(x-3)^2 + 5\) 上に凸なので頂点が最大。 \(x=3\)のとき最大値\(5\)（最小値はない）
7
パターンA：軸が区間の中

\(y = x^2 - 4x + 2\)（\(0 \le x \le 5\)）の最大値・最小値を求めよ。

最大値 （\(x=\) ）　最小値 （\(x=\) ）
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\(y=(x-2)^2-2\)　軸\(x=2\)は区間\([0,5]\)の中。 \(x=0 \to 2\)　\(x=2 \to -2\)（頂点）　\(x=5 \to 7\) 軸からの距離は\(x=0\)が\(2\)、\(x=5\)が\(3\)。遠い方の\(x=5\)が最大。 \(x=5\)で最大値\(7\)、\(x=2\)で最小値\(-2\)
8
パターンB：軸が区間の外

\(y = x^2 - 2x - 3\)（\(3 \le x \le 6\)）の最大値・最小値を求めよ。

最大値 （\(x=\) ）　最小値 （\(x=\) ）
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\(y=(x-1)^2-4\)　軸\(x=1\)は区間\([3,6]\)より左側 → 区間内はずっと増加。 \(x=3 \to 0\)　\(x=6 \to 21\) \(x=6\)で最大値\(21\)、\(x=3\)で最小値\(0\)
9
因数分解で解く

\(x^2 - 3x - 10 = 0\) を解け。

\(x=\)
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積が\(-10\)、和が\(-3\)になる2数は\(-5\)と\(2\)。 \((x-5)(x+2)=0\) \(x = 5,\ -2\)
10
解の公式（√が残る）

\(x^2 - 2x - 4 = 0\) を解の公式で解け。

\(x=\)
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\(a=1,\ b=-2,\ c=-4\)　\(b'=-1\) \(b'^2-ac=(-1)^2-1\cdot(-4)=1+4=5\) \(x=\dfrac{-b'\pm\sqrt5}{a}=1\pm\sqrt5\) \(x = 1+\sqrt5,\ 1-\sqrt5\)
11
判別式Dと実数解の個数

\(2x^2 - 5x + 1 = 0\) について、判別式\(D\)の値と実数解の個数を求めよ。

\(D=\) 　個数 個
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\(a=2,\ b=-5,\ c=1\) \(D=(-5)^2-4\cdot2\cdot1=25-8=17\)　\(D>0\)なので実数解は2個。 \(D=17\)、実数解は2個
12
2次不等式（外側型）

\(x^2 - 7x + 10 > 0\) を解け。解は \(x < \text{ア}\) または \(\text{イ} < x\) の形になる。

ア＝ 　イ＝
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積が\(10\)、和が\(-7\)になる2数は\(-2\)と\(-5\)。 \(x^2-7x+10=(x-2)(x-5)\)。交点は\(x=2,\ 5\)。\(y>0\)なので外側型。 \(x < 2\) または \(5 < x\)
13
2次不等式（内側型）

\(x^2 - x - 12 < 0\) を解け。解は \(\text{ウ} < x < \text{エ}\) の形になる。

ウ＝ 　エ＝
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積が\(-12\)、和が\(-1\)になる2数は\(3\)と\(-4\)。 \(x^2-x-12=(x+3)(x-4)\)。交点は\(x=-3,\ 4\)。\(y<0\)なので内側型。 \(-3 < x < 4\)
14
2次関数の決定（頂点形）

頂点が\((3,\ -2)\)で、点\((5,\ 6)\)を通る放物線を\(y=a(x-3)^2-2\)の形で表すとき、\(a\)の値を求めよ。

\(a=\)
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頂点が\((3,\ -2)\)なので\(y=a(x-3)^2-2\)とおける。 点\((5,\ 6)\)を代入：\(6 = a(5-3)^2-2 = 4a-2\) \(4a=8\)　\(a=2\) \(a=2\)（式は\(y=2(x-3)^2-2\)）
15
2次関数の決定（因数分解形）

放物線が\(x\)軸と点\((-2,0),\ (3,0)\)で交わり、点\((0,-12)\)を通るとき、これを展開して\(y=ax^2+bx+c\)の形にしたときの\(a,b,c\)の値を求めよ。

\(a=\) 　\(b=\) 　\(c=\)
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\(x\)軸との交点が\((-2,0),(3,0)\)なので\(y=a(x+2)(x-3)\)とおける。 点\((0,-12)\)を代入：\(-12 = a(0+2)(0-3) = a\times2\times(-3) = -6a\) \(a=2\) 展開すると\(y=2(x+2)(x-3)=2(x^2-x-6)=2x^2-2x-12\) \(a=2,\ b=-2,\ c=-12\)
発展（16〜25）
16
軸が動く型（具体値）

\(y = x^2 - 2ax + 5\)（\(0 \le x \le 4\)）について、\(a=5\)のときの最小値を求めよ。

最小値 　そのとき \(x=\)
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\(y=x^2-2ax+5=(x-a)^2+5-a^2\)、軸は\(x=a\)。\(a=5\)のとき軸\(x=5\)は区間\([0,4]\)より右側 → 区間内はずっと減少。 最小は右端\(x=4\)。\(y=4^2-2\cdot5\cdot4+5=16-40+5=-19\)。 \(x=4\)のとき最小値\(-19\)
17
判別式からkの範囲

\(x^2 + 6x + k = 0\) が実数解をもつような \(k\) の値の範囲を求めよ。

\(k \le\)
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実数解をもつ（重解も含む）\(\iff D \ge 0\) \(D=6^2-4\cdot1\cdot k=36-4k\) \(36-4k \ge 0\) より \(4k \le 36\)、よって \(k \le 9\) \(k \le 9\)
18
解と係数の関係

2次方程式 \(x^2-3x-1=0\) の2つの解を\(\alpha,\ \beta\)とする。解を求めずに、解と係数の関係を用いて\(\alpha^2+\beta^2\)の値を求めよ。

\(\alpha^2+\beta^2=\)
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\(a=1,\ b=-3,\ c=-1\)なので、解と係数の関係より \(\alpha+\beta=-\dfrac{-3}{1}=3\)、\(\alpha\beta=\dfrac{-1}{1}=-1\) \((\alpha+\beta)^2=\alpha^2+2\alpha\beta+\beta^2\)を変形すると \(\alpha^2+\beta^2=(\alpha+\beta)^2-2\alpha\beta=3^2-2\times(-1)=9+2=11\) \(\alpha^2+\beta^2=11\)
19
連立2次不等式

連立不等式 \(x^2 - x - 6 < 0\) かつ \(x^2 - 5x + 4 \ge 0\) を解け。共通範囲の下端・上端を入力せよ（不等号の等号の有無はdetailsで確認）。

下端＝ 　上端＝
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1つ目：\(x^2-x-6=(x-3)(x+2)\)。交点\(x=-2,3\)。\(y<0\)なので内側型 → \(-2 < x < 3\)。 2つ目：\(x^2-5x+4=(x-1)(x-4)\)。交点\(x=1,4\)。\(y \ge 0\)（等号つき）なので境界を含む外側型 → \(x \le 1\)または\(4 \le x\)。 共通部分を数直線で確認する。\(-2 < x < 3\)のうち、\(x \le 1\)の部分だけが2つ目の条件も満たす（\(x \ge 4\)の部分は\(-2<x<3\)からはみ出るので使えない）。\(x=1\)自体は2つ目の条件（\(x\le1\)）を満たすので含む。 \(-2 < x \le 1\)
20
文章題＋2次不等式（総合）

周の長さが\(28\)cmの長方形がある。縦の長さを\(x\)cm（\(0 < x < 14\)）として、面積を\(S\)cm²とすると\(S=-x^2+14x\)と表せる。面積が\(45\)cm²以上になるような\(x\)の範囲を求めよ。

下端＝ 　上端＝
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条件は\(S \ge 45\)なので \(-x^2+14x \ge 45\) \(-x^2+14x-45 \ge 0\) 両辺に\(-1\)を掛けると（不等号が反転） \(x^2-14x+45 \le 0\) 左辺を因数分解する。積が\(45\)・和が\(-14\)になる2数は\(-5\)と\(-9\)なので \(x^2-14x+45=(x-5)(x-9)\) 交点は\(x=5,\ 9\)。\(y \le 0\)（等号つき）なので境界を含む内側型。 条件\(0<x<14\)ともつじつまが合う。 \(5 \le x \le 9\)
21
2次関数の決定（一般形・3点）

放物線が3点\((-1,\ 6),\ (0,\ 1),\ (2,\ 3)\)を通るとき、\(y=ax^2+bx+c\)の\(a,b,c\)の値を求めよ。

\(a=\) 　\(b=\) 　\(c=\)
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一般形\(y=ax^2+bx+c\)とおく。 \((0,1)\)：\(c=1\)　…(1) \((-1,6)\)：\(a-b+c=6\)　…(2) \((2,3)\)：\(4a+2b+c=3\)　…(3) (1)を(2),(3)に代入して\(c\)を消去する。 (2)：\(a-b+1=6\)　より　\(a-b=5\)　…(2)' (3)：\(4a+2b+1=3\)　より　\(4a+2b=2\)、両辺を2で割って　\(2a+b=1\)　…(3)' (2)'＋(3)'：\((a-b)+(2a+b)=5+1\)　より　\(3a=6\)　\(a=2\) (3)'に代入：\(4+b=1\)　\(b=-3\) すでに\(c=1\)。 \(a=2,\ b=-3,\ c=1\)（式は\(y=2x^2-3x+1\)）
22
上に凸・軸が動く型

\(y = -x^2 + 2ax - 3\)（\(1 \le x \le 4\)）について、\(a=0\)のときの最大値を求めよ。

最大値 　そのとき \(x=\)
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\(y=-x^2+2ax-3=-(x-a)^2+a^2-3\)、軸は\(x=a\)。\(a=0\)のとき軸\(x=0\)は区間\([1,4]\)より左側にある。 上に凸（\(x^2\)の係数が負）で軸より右側は単調減少なので、区間\([1,4]\)（軸より右）では区間内はずっと減少する。 最大は左端\(x=1\)。\(y=-1^2+2\cdot0\cdot1-3=-1-3=-4\)。 \(x=1\)のとき最大値\(-4\)
23
接する条件（判別式）

放物線\(y=x^2-2x+4\)に接する直線\(y=2x+k\)の\(k\)の値を求めよ。また接点の\(x\)座標を求めよ。

\(k=\) 　接点 \(x=\)
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放物線と直線を連立して\(y\)を消去する。 \(x^2-2x+4=2x+k\) \(x^2-4x+(4-k)=0\) 「接する」とは共有点がちょうど1個、つまりこの2次方程式が重解をもつということ。判別式\(D=0\)。 \(D=(-4)^2-4\cdot1\cdot(4-k)=16-16+4k=4k\) \(D=0\)より\(4k=0\)、よって\(k=0\) 接点の\(x\)座標は重解の値。\(k=0\)を代入すると方程式は\(x^2-4x+4=0 \iff (x-2)^2=0\)より\(x=2\)（重解）。 検算：\(y=2\times2+0=4\)。放物線側でも\(y=2^2-2\times2+4=4\)（一致）。 \(k=0\)、接点は\((2,\ 4)\)
24
文章題：値上げと売上（2次不等式）

ある商品は1個\(150\)円で1日\(200\)個売れている。この商品を1円値上げするごとに、1日の販売個数は1個ずつ減るという。値上げ額を\(x\)円（\(0 \le x \le 150\)）とするとき、1日の売上金額を\(30400\)円以上にするには、値上げ額を何円以上何円以下にすればよいか。

値上げ額は 円以上 円以下
解説を見る
値上げ後の価格は\(150+x\)円、販売個数は\(200-x\)個だから、売上金額\(R(x)\)は \(R(x)=(150+x)(200-x)\) \(=30000-150x+200x-x^2\) \(=-x^2+50x+30000\) 条件は\(R(x) \ge 30400\)なので \(-x^2+50x+30000 \ge 30400\) \(-x^2+50x-400 \ge 0\) 両辺を\(-1\)で割ると（不等号が反転） \(x^2-50x+400 \le 0\) 左辺を因数分解する。積が\(400\)・和が\(-50\)になる2数は\(-10\)と\(-40\)なので \(x^2-50x+400=(x-10)(x-40)\) 交点は\(x=10,\ 40\)。\(y \le 0\)（等号つき）なので境界を含む内側型。 \(10 \le x \le 40\)（値上げ額は10円以上40円以下）
25
すべての実数xで成り立つ条件（章の総仕上げ）

すべての実数\(x\)について\(x^2+2kx+3k+10 > 0\)が成り立つように、定数\(k\)の値の範囲を求めよ。

下端＝ 　上端＝
解説を見る
左辺を\(y=x^2+2kx+(3k+10)\)とみると\(a=1>0\)（下に凸）。 下に凸の放物線がすべての\(x\)で\(y>0\)になるのは、グラフがx軸と交わらない、つまり判別式\(D<0\)のとき（\(D=0\)だと接する点で\(y=0\)になり「\(>0\)」を満たさないので除く）。 \(D=(2k)^2-4\cdot1\cdot(3k+10)=4k^2-12k-40\) \(D<0\)より\(4k^2-12k-40<0\)。両辺を4で割って\(k^2-3k-10<0\)。積が\(-10\)・和が\(-3\)になる2数は\(-5\)と\(2\)なので\((k-5)(k+2)<0\)。 これは内側型なので\(-2 < k < 5\)（等号は含まない）。 \(-2 < k < 5\)
記述チャレンジ

答えだけでなく「なぜそうなるか」を文章と式で書く練習。模範解答と見比べて、書き方の型を身につけよう。

記1

2次関数の学習は、平方完成によって頂点の座標がわかることを出発点に、グラフの概形、最大値・最小値、2次方程式の解、2次不等式の解までが一本の線でつながっている。なぜ平方完成ができれば、これらすべての問題に対応できるようになるのかを、具体的な式を1つ挙げながら説明せよ。

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例として\(y=x^2-4x+1\)を考える。平方完成すると \(y=x^2-4x+1=(x-2)^2-4+1=(x-2)^2-3\) となる。この1つの式から、章で学んだすべての内容が導ける。 まずグラフの概形について。頂点は\((2,\ -3)\)、軸は\(x=2\)とすぐにわかる。この頂点と軸に、y切片\(x=0 \to y=1\)を組み合わせれば、グラフの骨格がそのまま決まる。 最大値・最小値についても同様である。\(x^2\)の係数が正なので下に凸であり、頂点がそのまま最小値になる（区間指定なしなら\(x=2\)のとき最小値\(-3\)）。区間が指定される場合も、軸\(x=2\)と区間の位置関係を比べるだけでよく、平方完成した時点で軸の位置はすでにわかっている。 2次方程式の解も、平方完成した式をそのまま使って求められる。\((x-2)^2-3=0\)とおくと\((x-2)^2=3\)、よって\(x=2\pm\sqrt3\)となる。これは実質的に解の公式（\(b'\)の公式）と同じ計算であり、平方完成の式がそのまま解の公式の役割を果たしている。 2次不等式も同じ構造で解ける。\((x-2)^2-3>0\)なら\((x-2)^2>3\)となり、これは「頂点からの距離が\(\sqrt3\)より大きい」という意味なので、\(x<2-\sqrt3\)または\(x>2+\sqrt3\)とすぐに求まる。判別式の符号（この場合\(b'^2-ac=3>0\)に相当）で解の個数がわかることも、同じ式から読み取れる。 このように、平方完成した式\((x-p)^2+\square\)は「軸\(x=p\)からの距離」という共通の物差しを与えてくれる。グラフの形も、最大最小も、方程式の解も、不等式の解も、すべてこの「軸からの距離」という同じ考え方の上に成り立っているからこそ、平方完成という1つの技術がこの章全体の入口になっている。 平方完成した式(x−p)²+□は「軸からの距離」という共通の物差しを与える。グラフ・最大最小・方程式・不等式のすべてが、この同じ物差しの上で説明できるため、平方完成が章全体の入口になる。
記2

頂点が\((-1,\ 4)\)で、点\((2,\ -5)\)を通る放物線がある。この放物線の式を求め、求めた式を使って、(1)この関数の最大値、(2)この関数のグラフと\(x\)軸との共有点の個数、(3)\(y \le 0\)となる\(x\)の範囲、をそれぞれ求めよ。

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まず放物線の式を決定する。頂点が\((-1,\ 4)\)とわかっているので、頂点形\(y=a(x+1)^2+4\)とおける。 この放物線が点\((2,\ -5)\)を通るので、\(x=2,\ y=-5\)を代入する。 \(-5=a(2+1)^2+4=9a+4\) \(9a=-9\) \(a=-1\) よって式は\(y=-(x+1)^2+4\)。これを展開して一般形に直すと \(y=-(x^2+2x+1)+4=-x^2-2x-1+4=-x^2-2x+3\) この1つの式を使って、(1)〜(3)を求める。 (1) 最大値について。\(a=-1<0\)なので上に凸であり、頂点がそのまま最大値になる。よって\(x=-1\)のとき最大値\(4\)（最小値はない）。 (2) \(x\)軸との共有点の個数について。\(y=0\)とおくと \(-(x+1)^2+4=0\) \((x+1)^2=4\) \(x+1=\pm2\) \(x=1\)または\(x=-3\) 異なる2つの解が求まったので、共有点の個数は2個である（判別式で考えても、頂点の\(y\)座標\(4\)が上に凸のグラフでx軸より上にあるので、必ずx軸と2点で交わることが図からもわかる）。 (3) \(y\le0\)となる\(x\)の範囲について。 \(-(x+1)^2+4 \le 0\) \((x+1)^2 \ge 4\) \(x+1 \le -2\)または\(x+1 \ge 2\) \(x \le -3\)または\(x \ge 1\) これは(2)で求めた交点\(x=-3,\ 1\)の外側にあたる。上に凸のグラフでは、交点の外側でグラフがx軸より下にあるので、この結果は図のイメージとも一致する。 このように、頂点と1点さえわかれば式が1つに決まり、その式だけで最大値・共有点の個数・不等式の解のすべてに答えられる。これが2次関数の決定という単元が、この章の最後に置かれている理由である。 放物線の式は\(y=-(x+1)^2+4\)（\(=-x^2-2x+3\)）。(1)\(x=-1\)で最大値\(4\)　(2)共有点は2個（\(x=-3,\ 1\)）　(3)\(x\le-3\)または\(x\ge1\)
共通テスト形式チャレンジ

大問1　目標時間 8分／配点 20点

太郎さんは文化祭の模擬店で、オリジナルポーチを1個80円で20個仕入れて売る計画を立てている。値上げの回数を\(x\)回（\(x\)は0以上の整数）とし、1回の値上げにつき、価格が5円上がり、売れる個数が1個減るとする。次の会話を読んで、あとの問いに答えよ。

先生「1個あたりの価格と、売れる個数を、まず\(x\)を使った式で表してみよう。」
太郎「はい。1個あたりの価格は\((80+5x)\)円、売れる個数は\((20-x)\)個になります。」
(1)

1日の売上金額を\(S\)円とすると、\(S=(80+5x)(20-x)\)である。これを展開して整理し、平方完成すると \[ S = -5(x-\boxed{\text{ア}})^2+\boxed{\text{イウエオ}} \] となる。ア、イウエオの値を求めよ。

ア イウエオ
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\(S=(80+5x)(20-x)\)を展開する。 \(S=80\times20+80\times(-x)+5x\times20+5x\times(-x)\) \(=1600-80x+100x-5x^2\) \(=-5x^2+20x+1600\) 次に平方完成する。\(x^2\)の係数\(-5\)をくくり出す。 \(S=-5(x^2-4x)+1600\) \(x^2-4x=(x-2)^2-4\)なので \(S=-5\{(x-2)^2-4\}+1600=-5(x-2)^2+20+1600=-5(x-2)^2+1620\) \(S=-5(x-2)^2+1620\)
(2)

先生「値上げの回数は、仕入れの都合で5回以上10回以下に制限されることになりました。」

(1)の結果を利用すると、この範囲でSが最大になるのは\(x=\boxed{\text{カ}}\)のときで、そのときの売上金額は\(S=\boxed{\text{キクケコ}}\)円である。

カ キクケコ
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(1)で求めた\(S=-5(x-2)^2+1620\)を使う。軸（頂点の\(x\)座標）は\(x=2\)。今回の範囲は\(5\le x\le10\)で、軸\(x=2\)はこの範囲より左側にある。 \(x^2\)の係数が\(-5<0\)（上に凸）なので、軸より右側では\(S\)は単調に減少する。範囲\(5\le x\le10\)は丸ごと軸より右側にあるので、この範囲でも\(S\)はずっと減少する。 したがって最大値は範囲の左端\(x=5\)でとる。実際に代入して確かめると \(x=5\)のとき\(S=-5(5-2)^2+1620=-5\times9+1620=-45+1620=1575\) （参考：\(x=10\)のとき\(S=-5(10-2)^2+1620=-5\times64+1620=-320+1620=1300\)で、確かに\(x=5\)の方が大きい。） \(x=5\)のとき最大値\(S=1575\)
(3)

花子「値上げをしすぎると売れなくなるので、売上金額が1495円を下回らないようにしたいです。」

(2)の値上げ回数の制限（5回以上10回以下）の範囲で、\(S\)が1495円以上になる\(x\)の範囲を求めると、\(\boxed{\text{サ}} \le x \le \boxed{\text{シ}}\)である。

サ シ
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(1)で求めた\(S=-5(x-2)^2+1620\)を使い、\(S\ge1495\)を解く。 \(-5(x-2)^2+1620 \ge 1495\) \(-5(x-2)^2 \ge -125\) 両辺を\(-5\)で割ると、不等号の向きが変わることに注意して \((x-2)^2 \le 25\) \(-5 \le x-2 \le 5\) \(-3 \le x \le 7\) これに(2)で示された値上げ回数の制限\(5 \le x \le 10\)（値上げ回数はこの範囲でしか動けない）を合わせる。共通部分をとると \(5 \le x \le 7\) （検算：\(x=5\)のとき\(S=1575\)円、\(x=7\)のとき\(S=-5(7-2)^2+1620=-125+1620=1495\)円。ちょうど境界で1495円になる。） \(5 \le x \le 7\)

大問2　目標時間 8分／配点 20点

花子さんと太郎さんは、授業の発展課題として放物線 \(y=x^2+ax+b\)（\(a < 0\)）について考えている。次の会話を読んで、あとの問いに答えよ。

花子「この放物線、通る点と接する条件が2つ与えられたら、\(a\)と\(b\)が両方決まりそうだね。」
太郎「うん。まず条件を式にして、連立方程式を解いてみよう。」
(1)

この放物線が点\((1,\ 4)\)を通り、\(x\)軸に接するとき、\(a,\ b\)の値と接点の\(x\)座標を求めよ。 \(a=\boxed{\text{ア}}\)（符号もつけて入力）、\(b=\boxed{\text{イ}}\)、接点の\(x\)座標は\(\boxed{\text{ウ}}\)である。

ア イ ウ
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点\((1,4)\)を通るので\(x^2+ax+b\)に\(x=1,\ y=4\)を代入すると \(1+a+b=4\)　より　\(a+b=3\)　…(1) 「\(x\)軸に接する」とは、方程式\(x^2+ax+b=0\)が重解をもつということ。判別式\(D=0\)より \(D=a^2-4b=0\)　すなわち　\(b=\dfrac{a^2}{4}\)　…(2) (2)を(1)に代入する。 \(a+\dfrac{a^2}{4}=3\) 両辺に4を掛けて \(4a+a^2=12\) \(a^2+4a-12=0\) \((a+6)(a-2)=0\) よって\(a=-6\)または\(a=2\) 条件\(a<0\)より\(a=-6\)。(2)に代入すると\(b=\dfrac{(-6)^2}{4}=\dfrac{36}{4}=9\) このとき方程式は\(x^2-6x+9=0 \iff (x-3)^2=0\)より、接点の\(x\)座標は\(x=3\)（重解）。 検算：\(1^2+(-6)(1)+9=1-6+9=4\)（点\((1,4)\)を通ることを確認）。 \(a=-6,\ b=9\)、接点の\(x\)座標は\(3\)（放物線は\(y=(x-3)^2\)）
(2)

(1)で求めた放物線\(y=(x-3)^2\)と直線\(y=2x+c\)が異なる2つの共有点を持つのは、\(c > \boxed{\text{エオ}}\)（符号もつけて入力）のときである。

エオ
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共有点のx座標は、2つの式を連立して\(y\)を消去した方程式の実数解として求まる。 \((x-3)^2=2x+c\) \(x^2-6x+9=2x+c\) \(x^2-8x+(9-c)=0\) 異なる2つの共有点をもつ\(\iff\)この2次方程式が異なる2つの実数解をもつ\(\iff D>0\)。 \(D=(-8)^2-4\cdot1\cdot(9-c)=64-36+4c=28+4c\) \(28+4c>0\)より\(4c>-28\)、よって\(c>-7\) \(c > -7\)
(3)

逆に、この放物線と直線が共有点を持たないのは、\(c < \boxed{\text{カキ}}\)（符号もつけて入力）のときである。

カキ
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(2)と同じ方程式\(x^2-8x+(9-c)=0\)、\(D=28+4c\)を使う。 共有点を持たない\(\iff\)実数解がない\(\iff D<0\)。 \(28+4c<0\)より\(4c<-28\)、よって\(c<-7\) （\(D=0\)、すなわち\(c=-7\)のときはちょうど接する、共有点1個の場合にあたる。） \(c < -7\)

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