なぜ「場合分け」が必要になるのか
前回（4. 最大値・最小値）では、区間 \(0 \le x \le 3\) のように区間の位置が固定されていた。今回は「\(a \le x \le a+2\)」のように、区間そのものが文字 \(a\) を含んで動く場合を考える。区間という「窓」を放物線の上でスライドさせるイメージだ。
同じ \(y=x^2\) のグラフでも、窓（区間）を左に置くか右に置くかで、最小値がどこで起こるかがまったく変わる。窓の位置と軸（頂点の \(x\) 座標）の位置関係を調べることが、場合分けの出発点になる。
区間が動く型：\(y = x^2\)（\(a \le x \le a+2\)）の最小値
区間の幅は \(2\) で固定、位置だけが \(a\) によって動く。軸は \(x=0\) で固定なので、「区間 \([a,\ a+2]\) が原点に対してどこにあるか」で3つに分かれる。
例題 \(y = x^2\)（\(a \le x \le a+2\)）の最小値を求めよ。
\(a+2 < 0\)
（区間全体が軸より左）
区間内はずっと減少
最小は右端 \(x=a+2\)
（区間全体が軸より左）
区間内はずっと減少
最小は右端 \(x=a+2\)
\(a \le 0 \le a+2\)
（軸が区間の中）
最小は頂点 \(x=0\)
（軸が区間の中）
最小は頂点 \(x=0\)
\(a > 0\)
（区間全体が軸より右）
区間内はずっと増加
最小は左端 \(x=a\)
（区間全体が軸より右）
区間内はずっと増加
最小は左端 \(x=a\)
解答を見る
軸は \(x=0\)（固定）。区間 \([a,\ a+2]\) の位置で3通りに分ける。境界の等号は、軸がちょうど区間の端に来る場合を「軸が区間の中」の方に含めることで、3つの場合が重ならずにつながる。
（1）\(a+2 < 0\)（すなわち \(a < -2\)）のとき
区間全体が軸 \(x=0\) より左にあるので、区間内では \(x\) が増えると \(y\) は減り続ける（区間内はずっと減少）。
最小は右端 \(x=a+2\) で、\(y=(a+2)^2\)。
（2）\(a \le 0 \le a+2\)（すなわち \(-2 \le a \le 0\)）のとき
軸 \(x=0\) が区間の中に入っているので、頂点そのものが区間内にある。
最小は頂点 \(x=0\) で、\(y=0\)。
（3）\(a > 0\) のとき
区間全体が軸 \(x=0\) より右にあるので、区間内では \(x\) が増えると \(y\) も増え続ける（区間内はずっと増加）。
最小は左端 \(x=a\) で、\(y=a^2\)。
\(a < -2\) のとき最小値 \((a+2)^2\)（\(x=a+2\)）／\(-2 \le a \le 0\) のとき最小値 \(0\)（\(x=0\)）／\(a > 0\) のとき最小値 \(a^2\)（\(x=a\)）
実際に \(a\) を動かして、区間 \([a,\ a+2]\) が軸をまたぐ瞬間を目で確かめよう。
軸が動く型：\(y = x^2 - 2ax + 3\)（\(0 \le x \le 2\)）の最小値
今度は区間 \([0,2]\) が固定で、軸（頂点の \(x\) 座標）の方が \(a\) によって動く。まず平方完成して軸の位置を \(a\) の式で表すのがコツ。
\(y = x^2 - 2ax + 3 = (x-a)^2 + 3 - a^2\)
軸は \(x=a\)、頂点は \((a,\ 3-a^2)\)。この軸 \(x=a\) が固定区間 \([0,2]\) の左外・中・右外のどこにあるかで場合分けする。
例題 \(y = x^2 - 2ax + 3\)（\(0 \le x \le 2\)）の最小値を求めよ。
\(a < 0\)
軸が区間より左
区間内はずっと増加
最小は左端 \(x=0\)
軸が区間より左
区間内はずっと増加
最小は左端 \(x=0\)
\(0 \le a \le 2\)
軸が区間の中
最小は頂点 \(x=a\)
軸が区間の中
最小は頂点 \(x=a\)
\(a > 2\)
軸が区間より右
区間内はずっと減少
最小は右端 \(x=2\)
軸が区間より右
区間内はずっと減少
最小は右端 \(x=2\)
解答を見る
\(y = (x-a)^2 + 3 - a^2\)、軸は \(x=a\)。区間 \([0,2]\) と軸 \(a\) の位置関係で3通り。
（1）\(a < 0\) のとき
軸が区間より左にあるので、区間 \([0,2]\) は軸より右側だけを通る → 区間内はずっと増加。
最小は左端 \(x=0\) で、\(y=0^2-2a(0)+3=3\)。
（2）\(0 \le a \le 2\) のとき
軸 \(x=a\) が区間の中にある → 頂点そのものが区間内。
最小は頂点 \(x=a\) で、\(y=3-a^2\)。
（3）\(a > 2\) のとき
軸が区間より右にあるので、区間 \([0,2]\) は軸より左側だけを通る → 区間内はずっと減少。
最小は右端 \(x=2\) で、\(y=4-4a+3=7-4a\)。
\(a < 0\) のとき最小値 \(3\)（\(x=0\)）／\(0 \le a \le 2\) のとき最小値 \(3-a^2\)（\(x=a\)）／\(a > 2\) のとき最小値 \(7-4a\)（\(x=2\)）
最大値の場合分け：軸から遠い端点をさがす
下に凸（\(a>0\) の係数、口が上向き）のグラフでは、最大値は頂点ではなく端点で起こる。しかも「軸から遠い方の端点」で最大になる。区間 \([a,\ a+2]\) の中央は \(x=a+1\) なので、この中央の位置と軸の位置を比べればよい。
区間の中央が軸より左（\(a+1 <\) 軸）→ 右端の方が軸から遠い → 最大は右端
区間の中央が軸より右（\(a+1 >\) 軸）→ 左端の方が軸から遠い → 最大は左端
区間の中央が軸とちょうど一致（\(a+1 =\) 軸）→ 両端が軸から等距離 → 最大は両端で同時に起こる
区間の中央が軸より右（\(a+1 >\) 軸）→ 左端の方が軸から遠い → 最大は左端
区間の中央が軸とちょうど一致（\(a+1 =\) 軸）→ 両端が軸から等距離 → 最大は両端で同時に起こる
例題 \(y = x^2 - 2x + 1\)（\(a \le x \le a+2\)）の最大値を求めよ。
\(a < 0\)
中央 \(a+1\) が軸\(1\)より左
最大は左端 \(x=a\)
中央 \(a+1\) が軸\(1\)より左
最大は左端 \(x=a\)
\(a = 0\)
中央 \(a+1=1\)が軸に一致
最大は両端 \(x=0,2\)
中央 \(a+1=1\)が軸に一致
最大は両端 \(x=0,2\)
\(a > 0\)
中央 \(a+1\) が軸\(1\)より右
最大は右端 \(x=a+2\)
中央 \(a+1\) が軸\(1\)より右
最大は右端 \(x=a+2\)
解答を見る
\(y=(x-1)^2\)、軸は \(x=1\)（固定）。区間 \([a,\ a+2]\) の中央は \(x=a+1\)。中央と軸 \(1\) の大小で場合分けする。
（1）\(a+1 < 1\)（すなわち \(a < 0\)）のとき
区間の中央が軸より左にある。つまり軸は区間の右寄りにあるので、軸から遠いのは左端 \(x=a\)。
最大値は \(y=(a-1)^2\)。
（2）\(a+1 = 1\)（すなわち \(a = 0\)）のとき
中央がちょうど軸と一致 → 両端 \(x=0\)、\(x=2\) は軸から同じ距離 \(1\) → 最大は両端で同時に起こる。
\(y=(0-1)^2=(2-1)^2=1\)。
（3）\(a+1 > 1\)（すなわち \(a > 0\)）のとき
区間の中央が軸より右 → 軸から遠いのは右端 \(x=a+2\)。
\(y=(a+2-1)^2=(a+1)^2\)。
\(a < 0\) のとき最大値 \((a-1)^2\)（\(x=a\)）／\(a=0\) のとき最大値 \(1\)（\(x=0,2\)）／\(a > 0\) のとき最大値 \((a+1)^2\)（\(x=a+2\)）
注意 「軸から近い方の端点」は必ずしも最小値にはならない（最小は軸そのものが区間に入っていれば頂点で決まる）。最大値の場合分けだけ「中央と軸の比較」を使う、と覚えておこう。
\(a\) を動かして、最大値が起こる場所が左端・両端・右端と切り替わる境目を確かめよう。
練習問題（全16問）
答えを入力して「採点」を押すと○×が出るぞ。分数は「-1/2」のように入力。
わからないときは「解説を見る」で解き方を確認しよう。
基本（1〜6）
1
区間が動く型：a>0
\(y = x^2\)（\(a \le x \le a+2\)）で \(a=1\) のときの最小値を求めよ。
最小値 そのとき \(x=\)
解説を見る
\(a=1>0\) なので、区間 \([1,3]\) は軸 \(x=0\) より右 → 区間内はずっと増加。
最小は左端 \(x=1\)。
\(x=1\) のとき最小値 \(1\)
2
区間が動く型：a+2<0
\(y = x^2\)（\(a \le x \le a+2\)）で \(a=-3\) のときの最小値を求めよ。
最小値 そのとき \(x=\)
解説を見る
\(a=-3\) なので \(a+2=-1<0\)、区間 \([-3,-1]\) は軸 \(x=0\) より左 → 区間内はずっと減少。
最小は右端 \(x=-1\)。
\(x=-1\) のとき最小値 \(1\)
3
区間が動く型：軸が区間の中
\(y = x^2\)（\(a \le x \le a+2\)）で \(a=-1\) のときの最小値を求めよ。
最小値 そのとき \(x=\)
解説を見る
\(a=-1\) なので区間は \([-1,1]\)。\(a \le 0 \le a+2\)（\(-1 \le 0 \le 1\)）が成り立ち、軸 \(x=0\) が区間の中にある。
最小は頂点 \(x=0\)。
\(x=0\) のとき最小値 \(0\)
4
軸が動く型：a<0
\(y = x^2 - 2ax + 3\)（\(0 \le x \le 2\)）で \(a=-1\) のときの最小値を求めよ。
最小値 そのとき \(x=\)
解説を見る
\(a=-1\) なので軸は \(x=-1\)。軸が区間 \([0,2]\) より左 → 区間内はずっと増加。
最小は左端 \(x=0\)。\(y=0^2-2(-1)(0)+3=3\)。
\(x=0\) のとき最小値 \(3\)
5
軸が動く型：軸が区間の中
\(y = x^2 - 2ax + 3\)（\(0 \le x \le 2\)）で \(a=1\) のときの最小値を求めよ。
最小値 そのとき \(x=\)
解説を見る
\(a=1\) なので軸は \(x=1\)、区間 \([0,2]\) の中にある。
最小は頂点 \(x=1\)。\(y=3-1^2=2\)。
\(x=1\) のとき最小値 \(2\)
6
軸が動く型：a>2
\(y = x^2 - 2ax + 3\)（\(0 \le x \le 2\)）で \(a=3\) のときの最小値を求めよ。
最小値 そのとき \(x=\)
解説を見る
\(a=3\) なので軸は \(x=3\)、区間 \([0,2]\) より右 → 区間内はずっと減少。
最小は右端 \(x=2\)。\(y=4-4(3)+3=-5\)。
\(x=2\) のとき最小値 \(-5\)
標準（7〜12） ※自分でどの場合か判定しよう
7
\(y = x^2 - 4x + 5\)（\(0 \le x \le a\)、ただし \(a > 0\)）で \(a=1\) のときの最小値を求めよ。
最小値 そのとき \(x=\)
解説を見る
\(y=(x-2)^2+1\)、軸は \(x=2\)（固定）。\(a=1\) なので区間は \([0,1]\)、軸 \(2\) より左にある（\(a < 2\)）→ 区間内はずっと減少。
最小は右端 \(x=1\)。\(y=(1-2)^2+1=2\)。
\(x=1\) のとき最小値 \(2\)
8
\(y = x^2 - 4x + 5\)（\(0 \le x \le a\)、ただし \(a > 0\)）で \(a=3\) のときの最小値を求めよ。
最小値 そのとき \(x=\)
解説を見る
\(y=(x-2)^2+1\)、軸は \(x=2\)。\(a=3\) なので区間は \([0,3]\)、軸 \(2\) を含む（\(a \ge 2\)）→ 頂点が区間内にある。
最小は頂点 \(x=2\)。\(y=1\)。
\(x=2\) のとき最小値 \(1\)
9
境界のちょうど a=2 で確認
\(y = x^2 - 4x + 5\)（\(0 \le x \le a\)、ただし \(a > 0\)）で \(a=2\) のときの最小値を求めよ。
最小値 そのとき \(x=\)
解説を見る
\(y=(x-2)^2+1\)、軸は \(x=2\)。\(a=2\) のとき区間は \([0,2]\) で、軸がちょうど右端に一致する（境界）。
このときも頂点は区間に含まれるので、最小は頂点 \(x=2\)。\(y=1\)。
\(x=2\) のとき最小値 \(1\)
10
\(y = -x^2 + 2ax\)（\(0 \le x \le 2\)）で \(a=0.5\) のときの最大値を求めよ。
最大値 そのとき \(x=\)
解説を見る
\(y=-x^2+2ax=-(x-a)^2+a^2\)、軸は \(x=a\)。\(a=0.5\) は区間 \([0,2]\) の中 → 頂点が区間内。
最大は頂点 \(x=0.5\)。\(y=a^2=0.25\)。
\(x=0.5\) のとき最大値 \(0.25\)
11
\(y = -x^2 + 2ax\)（\(0 \le x \le 2\)）で \(a=3\) のときの最大値を求めよ。
最大値 そのとき \(x=\)
解説を見る
\(y=-(x-a)^2+a^2\)、軸は \(x=3\)。区間 \([0,2]\) は軸より左（\(a > 2\)）→ 区間内はずっと増加。
最大は右端 \(x=2\)。\(y=-(2-3)^2+9=-1+9=8\)。
\(x=2\) のとき最大値 \(8\)
12
\(y = -x^2 + 2ax\)（\(0 \le x \le 2\)）で \(a=-1\) のときの最大値を求めよ。
最大値 そのとき \(x=\)
解説を見る
\(y=-(x-a)^2+a^2\)、軸は \(x=-1\)。区間 \([0,2]\) は軸より右（\(a < 0\)）→ 区間内はずっと減少。
最大は左端 \(x=0\)。\(y=-(0-(-1))^2+(-1)^2=-1+1=0\)。
\(x=0\) のとき最大値 \(0\)
挑戦（13〜16）
13
区間が動く型・自分で完成させる
\(y = x^2 - 4x\)（\(a \le x \le a+2\)）の最小値を \(a\) の式で表せ（場合分けを完成させよ）。
解説を見る
\(y=(x-2)^2-4\)、軸は \(x=2\)（固定）。区間 \([a,\ a+2]\) と軸 \(2\) の位置関係で3通り。
（1）\(a+2 < 2\)（すなわち \(a < 0\)）のとき
区間全体が軸より左 → 区間内はずっと減少。
最小は右端 \(x=a+2\) で、\(y=(a+2-2)^2-4=a^2-4\)。
（2）\(a \le 2 \le a+2\)（すなわち \(0 \le a \le 2\)）のとき
軸 \(x=2\) が区間の中にある。
最小は頂点 \(x=2\) で、\(y=-4\)。
（3）\(a > 2\) のとき
区間全体が軸より右 → 区間内はずっと増加。
最小は左端 \(x=a\) で、\(y=(a-2)^2-4\)。
\(a < 0\) のとき最小値 \(a^2-4\)（\(x=a+2\)）／\(0 \le a \le 2\) のとき最小値 \(-4\)（\(x=2\)）／\(a > 2\) のとき最小値 \((a-2)^2-4\)（\(x=a\)）
14
軸が動く型・自分で完成させる
\(y = x^2 - 2ax + 1\)（\(-1 \le x \le 1\)）の最小値を \(a\) の式で表せ（場合分けを完成させよ）。
解説を見る
\(y=(x-a)^2+1-a^2\)、軸は \(x=a\)。固定区間 \([-1,1]\) と軸 \(a\) の位置関係で3通り。
（1）\(a < -1\) のとき
軸が区間より左 → 区間内はずっと増加。
最小は左端 \(x=-1\) で、\(y=(-1-a)^2+1-a^2=1+2a+a^2+1-a^2=2a+2\)。
（2）\(-1 \le a \le 1\) のとき
軸 \(x=a\) が区間の中にある。
最小は頂点 \(x=a\) で、\(y=1-a^2\)。
（3）\(a > 1\) のとき
軸が区間より右 → 区間内はずっと減少。
最小は右端 \(x=1\) で、\(y=(1-a)^2+1-a^2=1-2a+a^2+1-a^2=2-2a\)。
\(a < -1\) のとき最小値 \(2a+2\)（\(x=-1\)）／\(-1 \le a \le 1\) のとき最小値 \(1-a^2\)（\(x=a\)）／\(a > 1\) のとき最小値 \(2-2a\)（\(x=1\)）
15
最大値の場合分け・自分で完成させる
\(y = -x^2 + 2ax - 1\)（\(0 \le x \le 4\)）の最大値を \(a\) の式で表せ（場合分けを完成させよ）。
解説を見る
\(y=-x^2+2ax-1=-(x-a)^2+a^2-1\)、軸は \(x=a\)。固定区間 \([0,4]\) と軸 \(a\) の位置関係で3通り。
（1）\(a < 0\) のとき
軸が区間より左 → 区間内はずっと減少。
最大は左端 \(x=0\) で、\(y=-(0-a)^2+a^2-1=-a^2+a^2-1=-1\)。
（2）\(0 \le a \le 4\) のとき
軸 \(x=a\) が区間の中にある。
最大は頂点 \(x=a\) で、\(y=a^2-1\)。
（3）\(a > 4\) のとき
軸が区間より右 → 区間内はずっと増加。
最大は右端 \(x=4\) で、\(y=-(4-a)^2+a^2-1=-(16-8a+a^2)+a^2-1=8a-17\)。
\(a < 0\) のとき最大値 \(-1\)（\(x=0\)）／\(0 \le a \le 4\) のとき最大値 \(a^2-1\)（\(x=a\)）／\(a > 4\) のとき最大値 \(8a-17\)（\(x=4\)）
16
最小値から a を逆算・すべて求める
\(y = x^2 - 2ax + 3\)（\(0 \le x \le 2\)）の最小値が \(-1\) になるような \(a\) の値をすべて求めよ。（複数あるときは「,」区切りで入力）
\(a=\)
解説を見る
STEP3で求めた場合分けを使う。
\(a < 0\) のとき最小値 \(3\)（\(x=0\)）／\(0 \le a \le 2\) のとき最小値 \(3-a^2\)（\(x=a\)）／\(a > 2\) のとき最小値 \(7-4a\)（\(x=2\)）
それぞれの場合について、最小値が \(-1\) になるかを調べる。
（1）\(a < 0\) のとき：最小値は常に \(3\) なので、\(3=-1\) は成り立たない → 解なし。
（2）\(0 \le a \le 2\) のとき：\(3-a^2=-1\) を解くと \(a^2=4\) より \(a=2\) または \(a=-2\)。
このうち範囲 \(0 \le a \le 2\) に入るのは \(a=2\) だけ（\(a=-2\) はこの場合分けの範囲外なので不適）。
（3）\(a > 2\) のとき：\(7-4a=-1\) を解くと \(a=2\)。しかしこの場合分けは \(a > 2\) が条件なので、\(a=2\) は含まれない → この場合からは解が出ない（すでに（2）で \(a=2\) を得ている）。
以上より、条件を満たす \(a\) は \(a=2\) のみ。（\(a=-2\) は方程式 \(3-a^2=-1\) の解ではあるが、その場合分けの範囲 \(0 \le a \le 2\) に入らないため除かれる、という点に注意。）
\(a=2\)
応用問題（プリント限定）
ここから先はPDF限定の腕試し。入試の基礎レベルに挑戦しよう。
応1
最小値のそのまた最小値（二重の最適化）
\(y = x^2 - 2ax + a^2 - 2a + 3\)（\(0 \le x \le 4\)）の最小値を \(m(a)\) とする。\(m(a)\) を \(a\) の場合分けで表し、さらに \(m(a)\) 自身がとりうる値の中でいちばん小さい値と、そのときの \(a\) の値を求めよ。
\(m(a)\) の最小値 そのとき \(a=\)
解説を見る
まず平方完成する。\(y = x^2-2ax+a^2-2a+3 = (x-a)^2 + (-2a+3)\)。軸は \(x=a\)（動く）、区間は \([0,4]\)（固定）。軸 \(a\) と区間 \([0,4]\) の位置関係で3通りに場合分けする。
（1）\(a < 0\) のとき：軸が区間より左 → 区間内はずっと増加。最小は左端 \(x=0\) で、\(y=0-0+a^2-2a+3=a^2-2a+3\)。
（2）\(0 \le a \le 4\) のとき：軸 \(x=a\) が区間の中にある → 頂点そのものが区間内。最小は頂点 \(x=a\) で、\(y=-2a+3\)。
（3）\(a > 4\) のとき：軸が区間より右 → 区間内はずっと減少。最小は右端 \(x=4\) で、\(y=16-8a+a^2-2a+3=a^2-10a+19\)。
\(m(a)=a^2-2a+3\)（\(a<0\)）／\(m(a)=-2a+3\)（\(0 \le a \le 4\)）／\(m(a)=a^2-10a+19\)（\(a>4\)）
ここまでで \(m(a)\) が求まった。次に、この \(m(a)\) 自身がいちばん小さくなる \(a\) を探す。3つの式それぞれの範囲内での最小をチェックする。
（1）\(a<0\) の範囲：\(m(a)=a^2-2a+3=(a-1)^2+2\) は \(a=1\) で最小になる山型だが、この式が使えるのは \(a<0\) の範囲だけ。\(a=1\) はこの範囲に入らないので、\(a<0\) の中では \(a\) が \(0\) に近づくほど値が小さくなっていき、\(a\to 0\) で \(m(a)\to 3\) に近づく（\(a=0\) ちょうどは次の場合分けに含まれる）。つまりこの範囲で \(m(a)\) は \(3\) より大きい値しかとらない。
（2）\(0 \le a \le 4\) の範囲：\(m(a)=-2a+3\) は \(a\) が増えるほど単調に減る直線。範囲の右端 \(a=4\) でいちばん小さくなり、\(m(4)=-8+3=-5\)。
（3）\(a>4\) の範囲：\(m(a)=a^2-10a+19=(a-5)^2-6\)。この式は \(a=5\) で最小値 \(-6\) をとり、\(a=5\) はちょうど \(a>4\) の範囲に入っている（有効）。範囲の左端 \(a=4\) では \(m(4)=16-40+19=-5\)（（2）の右端と一致し、つながっている）。
以上の3つの範囲を比べると、（1）は \(3\) より大きい、（2）の最小は \(-5\)、（3）の最小は \(a=5\) のときの \(-6\)。いちばん小さいのは \(-6\) である。
\(m(a)\) 自身の最小値は \(a=5\) のとき \(-6\)
応2
上に凸の放物線で最大値・最小値を同時に求める
\(y = -x^2 + 4x - 1\)（\(a \le x \le a+2\)）について、\(a=1.5\) のときの最大値・最小値をそれぞれ求めよ。さらに、一般の \(a\) について最大値・最小値をそれぞれ場合分けで表せ（解説内で確認）。
\(a=1.5\) のとき 最大値 最小値
解説を見る
\(y=-x^2+4x-1=-(x-2)^2+3\)。軸は \(x=2\)（固定）、頂点の高さは \(3\)。区間は \([a,\ a+2]\)（幅2で動く）。
【\(a=1.5\) のとき】区間は \([1.5,3.5]\)。
最大値：軸 \(x=2\) が区間 \([1.5,3.5]\) の中にある（\(1.5 \le 2 \le 3.5\)）ので、頂点がそのまま区間内。最大は頂点 \(x=2\) で \(y=3\)。
最小値：上に凸の放物線では、頂点から遠い端点ほど \(y\) が小さくなる。軸 \(2\) からの距離は、左端 \(1.5\) が \(0.5\)、右端 \(3.5\) が \(1.5\)。右端の方が軸から遠いので、最小は右端 \(x=3.5\) で \(y=-(3.5-2)^2+3=-2.25+3=0.75\)。
\(a=1.5\) のとき最大値 \(3\)（\(x=2\)）、最小値 \(0.75\)（\(x=3.5\)）
【一般の \(a\) のとき：最大値】軸 \(x=2\) と区間 \([a,\ a+2]\) の位置関係で3通り。
（1）\(a+2 < 2\)（すなわち \(a<0\)）のとき：区間全体が軸より左。上に凸のグラフは軸より左側でずっと増加するので、区間内もずっと増加。最大は右端 \(x=a+2\) で、\(y=-(a+2)^2+4(a+2)-1=-a^2+3\)。
（2）\(a \le 2 \le a+2\)（すなわち \(0 \le a \le 2\)）のとき：軸が区間の中にある。最大は頂点 \(x=2\) で \(y=3\)。
（3）\(a > 2\) のとき：区間全体が軸より右。上に凸のグラフは軸より右側でずっと減少するので、区間内もずっと減少。最大は左端 \(x=a\) で、\(y=-a^2+4a-1\)。
最大値：\(a<0\) のとき \(3-a^2\)（\(x=a+2\)）／\(0 \le a \le 2\) のとき \(3\)（\(x=2\)）／\(a>2\) のとき \(-a^2+4a-1\)（\(x=a\)）
【一般の \(a\) のとき：最小値】上に凸では最小は「軸から遠い方の端点」で起こる。区間の中央 \(x=a+1\) と軸 \(2\) の大小で比べる。
（1）\(a+1 < 2\)（すなわち \(a<1\)）のとき：中央が軸より左 → 軸は区間の右寄り → 軸から遠いのは左端 \(x=a\)。\(y=-a^2+4a-1\)。
（2）\(a+1=2\)（すなわち \(a=1\)）のとき：中央がちょうど軸と一致 → 両端 \(x=1,3\) が軸から等距離 → 最小は両端で同時に起こる。\(y=-1+4-1=2\)。
（3）\(a+1 > 2\)（すなわち \(a>1\)）のとき：中央が軸より右 → 軸から遠いのは右端 \(x=a+2\)。\(y=-(a+2)^2+4(a+2)-1=-a^2+3\)。
最小値：\(a<1\) のとき \(-a^2+4a-1\)（\(x=a\)）／\(a=1\) のとき \(2\)（\(x=1,3\)）／\(a>1\) のとき \(3-a^2\)（\(x=a+2\)）
応3
区間の幅そのものが a によって変わるタイプ
\(y = x^2 - 6x + 5\)（\(a \le x \le 2a\)、ただし \(a > 0\)）について、\(a=1\) のときの最小値を求めよ。
最小値 そのとき \(x=\)
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\(y=x^2-6x+5=(x-3)^2-4\)。軸は \(x=3\)（固定）。区間 \([a,\ 2a]\) は左端も右端も \(a\) で動き、しかも幅 \(2a-a=a\) 自体が \(a\) とともに変わる点がこれまでとの違い。まず軸 \(3\) と区間 \([a,2a]\) の位置関係を一般に整理しておく。
（1）\(2a < 3\)（すなわち \(0<a<1.5\)）のとき：区間全体が軸より左 → 区間内はずっと減少。最小は右端 \(x=2a\)。
（2）\(a \le 3 \le 2a\)（すなわち \(1.5 \le a \le 3\)）のとき：軸が区間の中にある。最小は頂点 \(x=3\) で \(y=-4\)。
（3）\(a > 3\) のとき：区間全体が軸より右 → 区間内はずっと増加。最小は左端 \(x=a\)。
\(a=1\) はこのうち（1）（\(0<1<1.5\)）にあたる。区間は \([1,2]\)、軸 \(3\) は区間よりずっと右にあるので、区間内は \(x\) が増えるほど \(y\) が減り続ける（区間内はずっと減少）。
最小は右端 \(x=2a=2\) で、\(y=2^2-6(2)+5=4-12+5=-3\)。
\(a=1\) のとき、\(x=2\) で最小値 \(-3\)
応4
最小値の方程式をすべての場合分けで解く
\(y = x^2\)（\(a \le x \le a+2\)）の最小値が \(4\) になるような \(a\) の値をすべて求めよ。（複数あるときは「,」区切りで入力）
\(a=\)
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STEP2で求めた場合分けを使う。軸は \(x=0\)（固定）、区間は \([a,\ a+2]\)（幅2で動く）。
\(a<-2\) のとき最小値 \((a+2)^2\)（\(x=a+2\)）／\(-2 \le a \le 0\) のとき最小値 \(0\)（\(x=0\)）／\(a>0\) のとき最小値 \(a^2\)（\(x=a\)）
それぞれの場合について、最小値が \(4\) になるかを調べる。
（1）\(a<-2\) のとき：\((a+2)^2=4\) を解くと \(a+2=\pm2\)、すなわち \(a=0\) または \(a=-4\)。このうち範囲 \(a<-2\) に入るのは \(a=-4\) だけ（\(a=0\) はこの場合分けの範囲外なので不適）。
（2）\(-2 \le a \le 0\) のとき：最小値は常に \(0\) なので、\(0=4\) は成り立たない → 解なし。
（3）\(a>0\) のとき：\(a^2=4\) を解くと \(a=\pm2\)。このうち範囲 \(a>0\) に入るのは \(a=2\) だけ（\(a=-2\) は不適）。
以上より、条件を満たす \(a\) は \(a=-4\) と \(a=2\) の2つ。
\(a=-4,\ 2\)
応5
「常に成り立つ」条件を場合分けで求める（記述）
\(y = x^2 - 2ax + 3\)（\(0 \le x \le 2\)）の最小値が常に \(0\) 以上になるような \(a\) の値の範囲を求めよ。
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STEP3で求めた場合分けを使う。軸は \(x=a\)（動く）、区間は \([0,2]\)（固定）。
\(a<0\) のとき最小値 \(3\)（\(x=0\)）／\(0 \le a \le 2\) のとき最小値 \(3-a^2\)（\(x=a\)）／\(a>2\) のとき最小値 \(7-4a\)（\(x=2\)）
「最小値が \(0\) 以上」という条件を、3つの場合それぞれで確認する。
（1）\(a<0\) のとき：最小値は常に \(3\)。\(3 \ge 0\) は常に成り立つ → この範囲の \(a\) はすべて条件を満たす。
（2）\(0 \le a \le 2\) のとき：\(3-a^2 \ge 0\) を解くと \(a^2 \le 3\)、すなわち \(-\sqrt3 \le a \le \sqrt3\)。これと範囲 \(0 \le a \le 2\) を合わせると（\(\sqrt3 \approx 1.73<2\) なので）、\(0 \le a \le \sqrt3\) が条件を満たす。
（3）\(a>2\) のとき：\(7-4a \ge 0\) を解くと \(a \le 1.75\)。これは範囲 \(a>2\) と重ならない → この範囲では条件を満たす \(a\) はない。
3つの結果をつなげると、\(a<0\) はすべてOK、かつ \(0 \le a \le \sqrt3\) もOKなので、合わせて \(a \le \sqrt3\) が答え（\(a>\sqrt3\) では、（2）の範囲内でも \(3-a^2<0\) となり条件を満たさなくなる）。
\(a \le \sqrt3\)