2次関数の決定｜数I 2次関数

STEP 1

まずは「どの形で置くか」を決める

2次関数を決定する問題は、条件を読んだ瞬間に「どの形で式を置くか」を選べれば、あとは代入して方程式を解くだけ。3つの形を使い分けよう。

頂点形　\(y = a(x-p)^2+q\)
頂点や軸の \(x\) 座標がわかっているときに使う。未知数は基本的に \(a\) だけ（多くても \(a,p,q\)）で済む、いちばん楽な形。

一般形　\(y = ax^2+bx+c\)
頂点も交点もわからず、バラバラな3点しかわからないときに使う。未知数 \(a,b,c\) の連立方程式を解くことになる。

因数分解形　\(y = a(x-\alpha)(x-\beta)\)
\(x\)軸との交点 \((\alpha,0),(\beta,0)\) がわかっているときに使う。あと1点を代入すれば \(a\) が決まる。

選び方のコツ　頂点（または軸）がわかるなら迷わず頂点形。\(x\)軸との交点が2つわかるなら因数分解形。それ以外の「バラバラな3点」しか情報がないときだけ一般形を使う。一般形は連立方程式が3本になるぶん計算が重いので、他の形が使えないか先に確認する習慣をつけよう。

STEP 2

頂点・軸がわかるとき

頂点 \((p,q)\) がわかっていれば \(y=a(x-p)^2+q\) とおける。あとは通る1点を代入すれば \(a\) はすぐに求まる。軸だけがわかっている（頂点の \(y\) 座標はまだ不明）場合は、\(p\) だけ確定させて \(a,q\) を2点から連立で求める。

例題1：頂点と1点がわかるとき

頂点が \((1,2)\) で、点 \((3,6)\) を通る放物線の式を求めよ。

解答を見る

頂点が \((1,2)\) とわかっているので、\(y=a(x-1)^2+2\) とおける。点 \((3,6)\) を代入すると \(6 = a(3-1)^2+2 = 4a+2\) \(4a = 4\)　\(a = 1\) \(y=(x-1)^2+2\)（＝\(x^2-2x+3\)）

例題2：軸と2点がわかるとき

軸が \(x=2\) で、点 \((0,1)\) と点 \((3,-2)\) を通る放物線の式を求めよ。

解答を見る

軸が \(x=2\) とわかっているので、頂点の \(x\) 座標は \(2\)。\(y=a(x-2)^2+q\) とおける（\(a,q\) はまだ未知）。点 \((0,1)\) を代入：\(1 = a(0-2)^2+q = 4a+q\)　…(1) 点 \((3,-2)\) を代入：\(-2 = a(3-2)^2+q = a+q\)　…(2) (1)－(2)：\(1-(-2) = (4a+q)-(a+q)\)　より　\(3 = 3a\)　よって \(a=1\) (2)に代入：\(-2 = 1+q\)　より　\(q=-3\) \(y=(x-2)^2-3\)（＝\(x^2-4x+1\)）

STEP 3

3点を通るとき

頂点や軸がすぐにはわからず、通る3点だけが与えられているときは一般形 \(y=ax^2+bx+c\) とおいて、3点を代入した3本の式を連立方程式として解く。計算は重いが、手順は決まっているので落ち着いて進めよう。

放物線が3点 \((0,1),\ (1,4),\ (2,11)\) を通るとき、この放物線の式を求めよ。

解答を見る

一般形 \(y=ax^2+bx+c\) とおく（3点だけでは頂点も交点もすぐにはわからないため）。点 \((0,1)\) を代入：\(c=1\)　…(1) 点 \((1,4)\) を代入：\(a+b+c=4\)　…(2) 点 \((2,11)\) を代入：\(4a+2b+c=11\)　…(3) (1)を(2),(3)に代入して \(c\) を消去する。 (2)：\(a+b+1=4\)　より　\(a+b=3\)　…(2)' (3)：\(4a+2b+1=11\)　より　\(4a+2b=10\)、両辺を2で割って　\(2a+b=5\)　…(3)' (3)'－(2)'：\((2a+b)-(a+b)=5-3\)　より　\(a=2\) (2)'に代入：\(2+b=3\)　より　\(b=1\) すでに \(c=1\)。 \(y=2x^2+x+1\)

STEP 4

x軸との交点がわかるとき／全体のまとめ

\(x\)軸との交点、つまり \(y=0\) となる \(x\) の値が2つわかっているときは、因数分解形 \(y=a(x-\alpha)(x-\beta)\) とおくのが最短ルート。交点以外の1点を代入すれば \(a\) が求まる。

放物線が \(x\)軸と点 \((1,0),\ (3,0)\) で交わり、点 \((0,3)\) を通るとき、この放物線の式を求めよ。

解答を見る

\(x\)軸との交点が \((1,0),(3,0)\) とわかっているので、\(y=a(x-1)(x-3)\) とおける。点 \((0,3)\) を代入：\(3 = a(0-1)(0-3) = a \times (-1)\times(-3) = 3a\) よって \(a=1\) \(y=(x-1)(x-3)\)（＝\(x^2-4x+3\)）

解き方の流れ（まとめ）

手順1　問題文から「何がわかっているか」を読み取る

↓

頂点または軸がわかる
頂点形 \(y=a(x-p)^2+q\) で置く

\(x\)軸との交点がわかる
因数分解形 \(y=a(x-\alpha)(x-\beta)\) で置く

バラバラな3点しかわからない
一般形 \(y=ax^2+bx+c\) で置く

↓

手順2　残りの条件（通る点）を代入し、未知数についての方程式（または連立方程式）を作る

↓

手順3　方程式を解いて未知数を求め、もとの形に戻して式を完成させる

注意　どの形で置いても、最終的に展開すれば同じ一般形 \(y=ax^2+bx+c\) にたどり着く。だからこそ、計算が軽い形を最初に選ぶことが時短の鍵になる。

練習問題（全16問）

答えを入力して「採点」を押すと○×が出るぞ。分数は「1/2」のように入力。
わからないときは「解説を見る」で解き方を確認しよう。

基本（1〜6）

頂点形：頂点と1点

頂点が \((2,-1)\) で、点 \((4,7)\) を通る放物線を \(y=a(x-2)^2-1\) の形で求める。\(a\) の値を求めよ。

\(a=\)

解説を見る

頂点が \((2,-1)\) なので \(y=a(x-2)^2-1\) とおける。点 \((4,7)\) を代入：\(7 = a(4-2)^2-1 = 4a-1\) \(4a=8\)　\(a=2\) \(a=2\)（式は \(y=2(x-2)^2-1\)）

頂点形：頂点と1点

頂点が \((-1,3)\) で、点 \((1,-5)\) を通る放物線を \(y=a(x+1)^2+3\) の形で求める。\(a\) の値を求めよ。

\(a=\)

解説を見る

頂点が \((-1,3)\) なので \(y=a(x+1)^2+3\) とおける。点 \((1,-5)\) を代入：\(-5 = a(1+1)^2+3 = 4a+3\) \(4a=-8\)　\(a=-2\) \(a=-2\)（式は \(y=-2(x+1)^2+3\)）

頂点形：頂点と1点

頂点が \((3,0)\) で、点 \((5,8)\) を通る放物線を \(y=a(x-3)^2\) の形で求める。\(a\) の値を求めよ。

\(a=\)

解説を見る

頂点が \((3,0)\) なので \(y=a(x-3)^2\) とおける。点 \((5,8)\) を代入：\(8 = a(5-3)^2 = 4a\) \(a=2\) \(a=2\)（式は \(y=2(x-3)^2\)）

頂点形：頂点と1点（a,p,qを求める）

頂点が \((2,5)\) で、点 \((0,1)\) を通る放物線を \(y=a(x-p)^2+q\) の形で表すとき、\(a,p,q\) の値を求めよ。

\(a=\) 　\(p=\) 　\(q=\)

解説を見る

頂点が \((2,5)\) なので \(p=2,\ q=5\)、\(y=a(x-2)^2+5\) とおける。点 \((0,1)\) を代入：\(1 = a(0-2)^2+5 = 4a+5\) \(4a=-4\)　\(a=-1\) \(a=-1,\ p=2,\ q=5\)

頂点形：頂点と1点（a,p,qを求める）

頂点が \((-2,-3)\) で、点 \((1,6)\) を通る放物線を \(y=a(x-p)^2+q\) の形で表すとき、\(a,p,q\) の値を求めよ。

\(a=\) 　\(p=\) 　\(q=\)

解説を見る

頂点が \((-2,-3)\) なので \(p=-2,\ q=-3\)、\(y=a(x+2)^2-3\) とおける。点 \((1,6)\) を代入：\(6 = a(1+2)^2-3 = 9a-3\) \(9a=9\)　\(a=1\) \(a=1,\ p=-2,\ q=-3\)

頂点形：頂点と1点（a,p,qを求める）

頂点が \((1,-4)\) で、点 \((3,4)\) を通る放物線を \(y=a(x-p)^2+q\) の形で表すとき、\(a,p,q\) の値を求めよ。

\(a=\) 　\(p=\) 　\(q=\)

解説を見る

頂点が \((1,-4)\) なので \(p=1,\ q=-4\)、\(y=a(x-1)^2-4\) とおける。点 \((3,4)\) を代入：\(4 = a(3-1)^2-4 = 4a-4\) \(4a=8\)　\(a=2\) \(a=2,\ p=1,\ q=-4\)

標準（7〜13）

放物線が3点 \((0,1),\ (1,4),\ (2,11)\) を通るとき、\(y=ax^2+bx+c\) の \(a,b,c\) の値を求めよ。

\(a=\) 　\(b=\) 　\(c=\)

解説を見る

一般形 \(y=ax^2+bx+c\) とおく。 \((0,1)\)：\(c=1\)　…(1) \((1,4)\)：\(a+b+c=4\)　…(2) \((2,11)\)：\(4a+2b+c=11\)　…(3) (1)を(2),(3)に代入： (2)：\(a+b=3\)　…(2)' (3)：\(4a+2b=10\) より \(2a+b=5\)　…(3)' (3)'－(2)'：\(a=2\) (2)'に代入：\(b=1\) すでに \(c=1\)。 \(a=2,\ b=1,\ c=1\)（式は \(y=2x^2+x+1\)）

放物線が3点 \((0,-3),\ (1,-2),\ (2,3)\) を通るとき、\(y=ax^2+bx+c\) の \(a,b,c\) の値を求めよ。

\(a=\) 　\(b=\) 　\(c=\)

解説を見る

一般形 \(y=ax^2+bx+c\) とおく。 \((0,-3)\)：\(c=-3\)　…(1) \((1,-2)\)：\(a+b+c=-2\)　…(2) \((2,3)\)：\(4a+2b+c=3\)　…(3) (1)を(2),(3)に代入： (2)：\(a+b=1\)　…(2)' (3)：\(4a+2b=6\) より \(2a+b=3\)　…(3)' (3)'－(2)'：\(a=2\) (2)'に代入：\(b=-1\) すでに \(c=-3\)。 \(a=2,\ b=-1,\ c=-3\)（式は \(y=2x^2-x-3\)）

軸が \(x=1\) で、点 \((0,5)\) と点 \((3,-4)\) を通る放物線を \(y=a(x-1)^2+q\) の形で表すとき、\(a,q\) の値を求めよ。

\(a=\) 　\(q=\)

解説を見る

軸 \(x=1\) より \(y=a(x-1)^2+q\) とおける。点 \((0,5)\)：\(5 = a(0-1)^2+q = a+q\)　…(1) 点 \((3,-4)\)：\(-4 = a(3-1)^2+q = 4a+q\)　…(2) (2)－(1)：\((-4)-5=(4a+q)-(a+q)\)　より \(-9=3a\)　\(a=-3\) (1)に代入：\(5=-3+q\)　\(q=8\) \(a=-3,\ q=8\)（式は \(y=-3(x-1)^2+8\)）

軸が \(x=2\) で、点 \((0,-3)\) と点 \((5,-18)\) を通る放物線を \(y=a(x-2)^2+q\) の形で表すとき、\(a,q\) の値を求めよ。

\(a=\) 　\(q=\)

解説を見る

軸 \(x=2\) より \(y=a(x-2)^2+q\) とおける。点 \((0,-3)\)：\(-3 = a(0-2)^2+q = 4a+q\)　…(1) 点 \((5,-18)\)：\(-18 = a(5-2)^2+q = 9a+q\)　…(2) (2)－(1)：\((-18)-(-3)=(9a+q)-(4a+q)\)　より \(-15=5a\)　\(a=-3\) (1)に代入：\(-3=4(-3)+q=-12+q\)　\(q=9\) \(a=-3,\ q=9\)（式は \(y=-3(x-2)^2+9\)）

放物線が \(x\)軸と点 \((2,0),\ (5,0)\) で交わり、点 \((0,10)\) を通るとき、これを展開して \(y=ax^2+bx+c\) の形にしたときの \(a,b,c\) の値を求めよ。

\(a=\) 　\(b=\) 　\(c=\)

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\(x\)軸との交点が \((2,0),(5,0)\) なので \(y=a(x-2)(x-5)\) とおける。点 \((0,10)\) を代入：\(10 = a(0-2)(0-5) = a\times(-2)\times(-5)=10a\) \(a=1\) 展開すると \(y=(x-2)(x-5)=x^2-7x+10\) \(a=1,\ b=-7,\ c=10\)

放物線が \(x\)軸と点 \((-1,0),\ (4,0)\) で交わり、点 \((0,-8)\) を通るとき、これを展開して \(y=ax^2+bx+c\) の形にしたときの \(a,b,c\) の値を求めよ。

\(a=\) 　\(b=\) 　\(c=\)

解説を見る

\(x\)軸との交点が \((-1,0),(4,0)\) なので \(y=a(x+1)(x-4)\) とおける。点 \((0,-8)\) を代入：\(-8 = a(0+1)(0-4) = a\times 1\times(-4)=-4a\) \(a=2\) 展開すると \(y=2(x+1)(x-4)=2(x^2-3x-4)=2x^2-6x-8\) \(a=2,\ b=-6,\ c=-8\)

2点のy座標が等しいことから軸決定

2次関数 \(y=x^2+bx+c\) において \(f(1)=f(5)\) が成り立つとき、この関数のグラフの軸の方程式を求めよ。

軸の方程式：

解説を見る

この問題は \(b,\ c\) の値が具体的にわからなくても、\(f(1)=f(5)\) という条件だけから軸が求められる点がポイントである。 2次関数のグラフは軸を対称の中心とする線対称な形をしている。そのため、\(y\)座標が等しい2点 \((1,\ f(1))\) と \((5,\ f(5))\) は、軸に関して線対称な位置にある2点になる。線対称な2点の中点は、対称の軸の上にある。したがって軸は、この2点の \(x\)座標である \(1\) と \(5\) の中点を通る直線である。中点の \(x\)座標は \(\dfrac{1+5}{2}=3\) なので、軸の方程式は \(x=3\) となる。（検算）実際に \(f(1)=f(5)\) を展開すると \(1+b+c=25+5b+c\) より \(-4b=24,\ b=-6\)。軸は \(x=-\dfrac{b}{2}=-\dfrac{-6}{2}=3\) となり、対称性から求めた結果と一致する。 \(x=3\)

挑戦（14〜17）

最大値・最小値の条件から決定

放物線が \(x=2\) で最大値 \(5\) をとり、\(x=0\) のとき \(y=1\) であるという。この放物線を \(y=a(x-p)^2+q\) の形で表すとき、\(a,p,q\) の値を求めよ。

\(a=\) 　\(p=\) 　\(q=\)

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「\(x=2\) で最大値 \(5\)」とは、頂点が \((2,5)\) で上に凸ということ。よって \(p=2,\ q=5\)、\(y=a(x-2)^2+5\) とおける。 \(x=0\) で \(y=1\) なので、点 \((0,1)\) を代入：\(1 = a(0-2)^2+5 = 4a+5\) \(4a=-4\)　\(a=-1\) \(a=-1<0\) となり「上に凸で最大値をとる」という条件ともつじつまが合う。 \(a=-1,\ p=2,\ q=5\)（式は \(y=-(x-2)^2+5\)）

平行移動との組み合わせ

\(y=x^2\) のグラフを \(x\)軸方向に \(p\)、\(y\)軸方向に \(q\) だけ平行移動した放物線が、点 \((1,4)\) と点 \((3,0)\) を通るという。\(p,q\) の値を求めよ。

\(p=\) 　\(q=\)

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\(y=x^2\) を \(x\)軸方向に \(p\)、\(y\)軸方向に \(q\) だけ平行移動すると \(y=(x-p)^2+q\) になる（頂点 \((0,0)\) が \((p,q)\) に移るだけで、開き方 \(a=1\) は変わらない）。点 \((1,4)\) を代入：\(4 = (1-p)^2+q\)　…(1) 点 \((3,0)\) を代入：\(0 = (3-p)^2+q\)　…(2) (1)－(2)：\(4-0=(1-p)^2-(3-p)^2\) 右辺を因数分解：\((1-p)^2-(3-p)^2=\{(1-p)-(3-p)\}\{(1-p)+(3-p)\}=(-2)(4-2p)=-8+4p\) よって \(4=-8+4p\)　\(4p=12\)　\(p=3\) (2)に代入：\(0=(3-3)^2+q=q\)　より \(q=0\) \(p=3,\ q=0\)（式は \(y=(x-3)^2\)）

x軸から切り取る線分の長さ

放物線 \(y=a(x-2)^2-8\)（\(a>0\)）が \(x\)軸から切り取る線分の長さが \(8\) であるとき、\(a\) の値を求めよ。

\(a=\)

解説を見る

\(x\)軸との交点は \(y=0\) とおいて求める。 \(a(x-2)^2-8=0\) \((x-2)^2 = \dfrac{8}{a}\) \(x-2 = \pm\sqrt{\dfrac{8}{a}}\)　より　\(x = 2 \pm \sqrt{\dfrac{8}{a}}\) 2つの交点の間の長さ（線分の長さ）は \(2\sqrt{\dfrac{8}{a}}\)。条件より \(2\sqrt{\dfrac{8}{a}} = 8\) \(\sqrt{\dfrac{8}{a}} = 4\) \(\dfrac{8}{a} = 16\) \(a = \dfrac{8}{16} = \dfrac{1}{2}\) （確認：\(a=\dfrac{1}{2}\) のとき交点は \(x=2\pm4\)、つまり \(x=-2,6\) で、長さはたしかに \(8\)。） \(a=\dfrac{1}{2}\)

x軸から切り取る線分の長さ

放物線 \(y=a(x-4)^2-9\)（\(a>0\)）が \(x\)軸から切り取る線分の長さが \(2\) であるとき、\(a\) の値を求めよ。

\(a=\)

解説を見る

\(x\)軸との交点は \(y=0\) とおいて求める。 \(a(x-4)^2-9=0\) \((x-4)^2 = \dfrac{9}{a}\) \(x-4 = \pm\sqrt{\dfrac{9}{a}}\)　より　\(x = 4 \pm \sqrt{\dfrac{9}{a}}\) 線分の長さは \(2\sqrt{\dfrac{9}{a}}\)。条件より \(2\sqrt{\dfrac{9}{a}} = 2\) \(\sqrt{\dfrac{9}{a}} = 1\) \(\dfrac{9}{a} = 1\) \(a = 9\) （確認：\(a=9\) のとき交点は \(x=4\pm1\)、つまり \(x=3,5\) で、長さはたしかに \(2\)。） \(a=9\)

応用問題（プリント限定）

ここから先はPDF限定の腕試し。入試の基礎レベルに挑戦しよう。

応1

頂点形＋x軸から切り取る線分の長さ

放物線 \(y=a(x-3)^2+q\)（\(a>0\)）が点 \((0,10)\) を通り、\(x\)軸から切り取る線分の長さが \(4\) であるとき、\(a,q\) の値を求めよ。

\(a=\) 　\(q=\)

解説を見る

\(a>0\) で \(x\)軸と2点で交わるためには、頂点は \(x\)軸より下（\(q<0\)）でなければならない。 \(y=0\) とおくと \(a(x-3)^2+q=0\)　より　\((x-3)^2=-\dfrac{q}{a}\) よって \(x=3\pm\sqrt{-\dfrac{q}{a}}\)、線分の長さは \(2\sqrt{-\dfrac{q}{a}}\)。条件より \(2\sqrt{-\dfrac{q}{a}}=4\)　→　\(\sqrt{-\dfrac{q}{a}}=2\)　→　\(-\dfrac{q}{a}=4\)　→　\(q=-4a\)　…(1) 点 \((0,10)\) を代入：\(10 = a(0-3)^2+q = 9a+q\)　…(2) (1)を(2)に代入：\(10 = 9a-4a = 5a\)　より　\(a=2\) (1)に代入：\(q=-4\times2=-8\) （確認：\(q=-8<0\) で条件と整合。頂点\((3,-8)\)、交点は \(x=3\pm2\) すなわち \(x=1,5\) で長さはたしかに \(4\)。） \(a=2,\ q=-8\)

応2

絶対値の条件（場合分け）

2次関数 \(y=x^2-2ax+a^2-2a-3\) の最小値の絶対値が \(7\) であるとき、定数 \(a\) の値をすべて求めよ（コンマ区切りで入力、順不同）。

\(a=\)

解説を見る

平方完成する。 \(y=x^2-2ax+a^2-2a-3=(x-a)^2-a^2+a^2-2a-3=(x-a)^2-2a-3\) \(x^2\) の係数が \(1>0\) なので下に凸。よって最小値は \(x=a\) のときの値 \(-2a-3\)。「最小値の絶対値が7」とは \(|-2a-3|=7\) ということ。絶対値の中身の符号で場合分けする。（i）\(-2a-3=7\) のとき：\(-2a=10\)　より　\(a=-5\) （ii）\(-2a-3=-7\) のとき：\(-2a=-4\)　より　\(a=2\) （確認：\(a=-5\) のとき \(y=x^2+10x+32=(x+5)^2+7\)、最小値7で \(|7|=7\)。 \(a=2\) のとき \(y=x^2-4x-3=(x-2)^2-7\)、最小値\(-7\)で \(|-7|=7\)。どちらも条件を満たす。） \(a=-5,\ 2\)

応3

平行移動＋交点＋最大値の融合

放物線 \(y=ax^2\)（\(a\neq0\)）を \(x\)軸方向に \(p\)、\(y\)軸方向に \(q\) だけ平行移動すると、\(x\)軸と2点 \((1,0),\ (5,0)\) で交わり、最大値 \(8\) をとる放物線になるという。\(a,p,q\) の値を求めよ。

\(a=\) 　\(p=\) 　\(q=\)

解説を見る

\(y=ax^2\) を \(x\)軸方向に \(p\)、\(y\)軸方向に \(q\) だけ平行移動すると \(y=a(x-p)^2+q\) になる（開き方 \(a\) は変わらない）。「最大値をとる」ということは上に凸（\(a<0\)）で、最大値は頂点の \(y\) 座標に等しいから \(q=8\)。放物線は軸 \(x=p\) について左右対称だから、2交点 \((1,0),(5,0)\) の中点が頂点の \(x\) 座標になる。 \(p=\dfrac{1+5}{2}=3\) 交点 \((1,0)\) を代入：\(0=a(1-3)^2+8=4a+8\)　より　\(a=-2\) （確認：\(a=-2<0\) で「最大値をとる」条件と整合。もう一方の交点も確認：\(a(5-3)^2+8=-2\times4+8=0\) ✓） \(a=-2,\ p=3,\ q=8\)

応4

線分の長さ＋頂点位置が2通り

放物線 \(y=a(x-p)^2-2a-3\)（\(a>0\)）が点 \((6,4)\) を通り、\(x\)軸から切り取る線分の長さが \(2\sqrt{5}\) であるとき、\(a,p\) の値を求めよ（\(p\) は考えられる値をすべて答えよ。コンマ区切り、順不同）。

\(a=\) 　\(p=\)

解説を見る

まず線分の長さの条件だけで \(a\) が決まることに注目する。頂点の位置 \(p\) をどこにずらしても、頂点から左右に\(x\)軸までの距離は変わらないので、線分の長さは \(a\) だけで決まり \(p\) にはよらない。 \(y=0\) とおくと \(a(x-p)^2-2a-3=0\)　より　\((x-p)^2=\dfrac{2a+3}{a}=2+\dfrac{3}{a}\) 線分の長さは \(2\sqrt{2+\dfrac{3}{a}}\)。条件より \(2\sqrt{2+\dfrac{3}{a}}=2\sqrt5\)　→　\(\sqrt{2+\dfrac{3}{a}}=\sqrt5\)　→　\(2+\dfrac{3}{a}=5\)　→　\(\dfrac{3}{a}=3\)　→　\(a=1\) \(a=1\) を代入すると \(y=(x-p)^2-5\)。点 \((6,4)\) を代入： \(4=(6-p)^2-5\)　より　\((6-p)^2=9\)　よって　\(6-p=\pm3\) \(6-p=3\) のとき \(p=3\)、\(6-p=-3\) のとき \(p=9\)。頂点をどちらの位置に置いても点\((6,4)\)を通り得るので、両方とも正しい答え。（確認：\(p=3\)：\(y=(x-3)^2-5\)、\(x=6\)で\((6-3)^2-5=9-5=4\) ✓。\(p=9\)：\(y=(x-9)^2-5\)、\(x=6\)で\((6-9)^2-5=9-5=4\) ✓） \(a=1,\ p=3\ \text{または}\ 9\)

応5

判別式＝0（x軸に接する）

放物線 \(y=x^2+(2a-4)x+a^2-2\) が \(x\)軸に接するとき、定数 \(a\) の値を求めよ。また、そのときの接点の \(x\) 座標を求めよ。

\(a=\) 　接点の\(x\)座標\(=\)

解説を見る

\(x\)軸に接する（ちょうど1点だけで交わる）とは、方程式 \(x^2+(2a-4)x+a^2-2=0\) が重解をもつということ。よって判別式 \(D=0\)。 \(D=(2a-4)^2-4\times1\times(a^2-2)\) \(=(4a^2-16a+16)-(4a^2-8)\) \(=4a^2-16a+16-4a^2+8\) \(=-16a+24\) \(D=0\) より \(-16a+24=0\)　よって \(a=\dfrac{24}{16}=\dfrac{3}{2}\) このとき接点の \(x\) 座標は、重解の公式 \(x=-\dfrac{2a-4}{2}=2-a\) より \(x=2-\dfrac{3}{2}=\dfrac{1}{2}\) （確認：\(a=\dfrac{3}{2}\) のとき \(2a-4=-1\)、\(a^2-2=\dfrac{1}{4}\) なので \(y=x^2-x+\dfrac14=\left(x-\dfrac12\right)^2\)。たしかに \(x=\dfrac12\) で重解＝接点。） \(a=\dfrac{3}{2},\ \)接点の\(x\)座標\(=\dfrac{1}{2}\)

記述チャレンジ

答えだけでなく「なぜそうなるか」を文章と式で書く練習。模範解答と見比べて、書き方の型を身につけよう。

記1

2次関数を決定する問題で、条件から式を「頂点形」「因数分解形」「一般形」のどれで置くかを選ぶとき、なぜ頂点や交点がわかっている場合はその形を優先すべきなのか、未知数の個数という観点から説明せよ。

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2次関数はどの形で表しても、展開すれば同じ一般形 \(y=ax^2+bx+c\) にたどり着く。しかし、最初にどの形で置くかによって、決めなければならない未知数の個数と、それに必要な条件の数がまったく変わってくる。頂点 \((p,q)\) が丸ごとわかっている場合、頂点形 \(y=a(x-p)^2+q\) を使えば \(p,\ q\) の両方がすでに条件から確定しているので、残る未知数は \(a\) だけである。未知数が1つなら、通る点を1つ代入するだけで方程式が1本立ち、それだけで \(a\) が求まる。一方、軸 \(x=p\) だけがわかっていて頂点の \(y\) 座標がまだわからない場合も、頂点形 \(y=a(x-p)^2+q\) とおけることに変わりはないが、条件から確定するのは \(p\) だけである。この場合は残る未知数が \(a\) と \(q\) の2つになるので、通る点を1つ代入しても方程式が1本しか立たず、それだけでは \(a,\ q\) を求めることはできない。通る点を2つ代入して連立方程式を解く必要がある。同じように、\(x\)軸との交点が2つわかっている場合、因数分解形 \(y=a(x-\alpha)(x-\beta)\) を使えば \(\alpha,\ \beta\) はすでに確定しているので、こちらも残る未知数は \(a\) だけになり、あと1点を代入すれば済む。これに対して、頂点も交点もわからず、バラバラな3点しか情報がない場合は、一般形 \(y=ax^2+bx+c\) を使うしかない。この場合は未知数が \(a,\ b,\ c\) の3つあるので、3点それぞれを代入して3本の連立方程式を作り、それを解く必要がある。つまり、頂点や交点という情報は、それぞれ未知数をどこまで絞り込めるかが違う。頂点が丸ごとわかれば未知数は \(a\) だけに絞り込めるが、軸だけしかわからないときは \(p\) しか確定せず、\(a,\ q\) の2つが未知数として残ってしまう。だからこそ、頂点まで（あるいは交点2つ）わかっているときはその情報を最大限に生かして頂点形・因数分解形を選ぶべきであり、軸だけしかわからないときは未知数が2つ残ることを踏まえて代入する点を2つ用意する必要がある。与えられた情報が未知数をどこまで確定させるかで、必要な通過点の個数が1点・2点・3点と変わるため、頂点や交点がわかるならその形を選ぶべきである。

記2

放物線が \(x\)軸と点 \((2,0),\ (6,0)\) で交わり、点 \((0,12)\) を通るとき、この放物線の式を \(y=ax^2+bx+c\) の形で求めよ。

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\(x\)軸との交点が \((2,0),(6,0)\) とわかっているので、因数分解形 \(y=a(x-2)(x-6)\) とおける。この放物線が点 \((0,12)\) を通るので、\(x=0,\ y=12\) を代入する。 \(12=a(0-2)(0-6)=a\times(-2)\times(-6)=12a\) よって \(a=1\)。したがって式は \(y=(x-2)(x-6)\)。これを展開して一般形に直す。 \(y=(x-2)(x-6)=x^2-8x+12\) \(y=x^2-8x+12\)（\(a=1,\ b=-8,\ c=12\)）