2次関数とグラフ・平行移動

解説＋ドリル全18問・自動採点つき

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STEP 1

2次関数とは・\(y=ax^2\)のグラフ

2次関数の中でいちばんシンプルな形 \(y = ax^2\) から始めよう（\(a\) は \(0\) でない定数）。このグラフは「放物線」と呼ばれる、なめらかな谷型（または山型）の曲線になる。まずは \(a\) の値がグラフの形にどう影響するかを見てみよう。

\(a > 0\)（下に凸、口が上を向く） → 頂点がいちばん低い点
\(a < 0\)（上に凸、口が下を向く） → 頂点がいちばん高い点
\(|a|\) が大きいほどグラフは細く急な形に、\(|a|\) が小さいほどグラフは横に広がった平べったい形になる。頂点はどの場合も原点 \((0,0)\)。
STEP 2

平行移動（上下・左右）

\(y = ax^2\) のグラフを、そのまま上下・左右にスライドさせる操作を「平行移動」という。上下の移動は直感どおりだが、左右の移動には符号のワナがあるので、ここは特に注意して読もう。

上下の平行移動：\(y=ax^2+q\)

\(y = ax^2\) に定数 \(q\) を足すと、グラフはそのまま y軸方向に \(q\) だけ平行移動する。\(q > 0\) なら上へ、\(q < 0\) なら下へ動く。頂点は \((0,0)\) から \((0,\ q)\) に移る。

例題1　\(y = x^2\) を \(y\) 軸方向に \(-4\) だけ平行移動した式を求めよ。

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\(y = ax^2\) の \(a\) はそのまま、\(q\) だけが変化する。\(q = -4\) を足すと \(y = x^2 + (-4) = x^2 - 4\) \(y = x^2 - 4\)

左右の平行移動：\(y=a(x-p)^2\)（符号のワナ）

\(x\) 軸方向に \(p\) だけ平行移動すると、式の \(x\) がそのまま残るのではなく、\(x\) が \(x-p\) に置きかわる。つまり式は \(y = a(x-p)^2\) になる。ここが最大のワナで、たとえば \((x-3)^2\) はマイナスの符号がついているのに、実際には右へ3動いたグラフである。

例題2　\(y = x^2\) を \(x\) 軸方向に \(5\) だけ平行移動した式を求めよ。

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\(x\) 軸方向に \(p\) だけ平行移動すると、式は \(y=(x-p)^2\) になる（\(x\) がそのままでなく \(x-p\) に置きかわる）。 \(p = 5\) なので \(y = (x - 5)^2\) 「\(+5\)」にしないよう注意。頂点も \((0,0)\) から \((5,\ 0)\) へ動く。 \(y = (x - 5)^2\)
符号のワナ　\(x\) 軸方向に \(p\) 動かすと式には \(x-p\) が入る（右へ動くのに式はマイナス）。\(y\) 軸方向に \(q\) 動かすと式には \(+q\) がそのまま入る（上下は直感どおり）。この非対称さを混同しないようにしよう。
STEP 3

\(y=a(x-p)^2+q\)の頂点と軸

上下・左右の平行移動を両方組み合わせると \(y = a(x-p)^2+q\) の形になる。この形さえ見えれば、グラフをかかなくても頂点 \((p,\ q)\) と軸 \(x=p\) がすぐにわかる。

例題3　\(y = (x - 2)^2 + 1\) の頂点と軸を求めよ。

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\(y = a(x-p)^2+q\) の形とみると、\(a=1,\ p=2,\ q=1\)。 頂点は \((p,\ q) = (2,\ 1)\)。軸は頂点を通り \(y\) 軸に平行な直線で、式は \(x=p\)、つまり \(x=2\)。 頂点 \((2,\ 1)\)、軸 \(x=2\)

例題4　\(y = -2(x + 3)^2 - 4\) の頂点と軸を求めよ。

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\((x+3)^2\) は \((x-(-3))^2\) と同じ形なので \(p=-3\)。また \(a=-2,\ q=-4\)。 頂点は \((p,\ q) = (-3,\ -4)\)。軸は \(x=p\)、つまり \(x=-3\)。 頂点 \((-3,\ -4)\)、軸 \(x=-3\)

実際に \(a\)・\(p\)・\(q\) を動かして、頂点と軸がどう変わるか自分の手で確かめてみよう。

STEP 4

まとめ・対称移動

手順1　\(y=ax^2\) のグラフ（頂点が原点）をイメージする
↓
手順2　\(x\) 軸方向に \(p\)、\(y\) 軸方向に \(q\) だけ平行移動すると、式は \(y=a(x-p)^2+q\) になる
↓
手順3　頂点は \((p,\ q)\)、軸は \(x=p\) と読み取れる

平行移動のほかに、グラフを鏡のように映す「対称移動」も基本操作として押さえておこう。

\(x\) 軸に関して対称移動：\(y\) の符号が反転する（\(y \to -y\)）。\(y=f(x)\) が \(y=-f(x)\) になる。
\(y\) 軸に関して対称移動：\(x\) の符号が反転する（\(x \to -x\)）。\(y=f(x)\) が \(y=f(-x)\) になる。
原点に関して対称移動：\(x\) と \(y\) の符号がどちらも反転する。\(y=f(x)\) が \(y=-f(-x)\) になる。
注意　対称移動でも、どの文字の符号が変わるかを丁寧に確認しよう。頂点 \((p,\ q)\) で考えると、\(x\) 軸対称は \((p,\ -q)\)、\(y\) 軸対称は \((-p,\ q)\)、原点対称は \((-p,\ -q)\) に移る。平行移動の符号のワナと同じく、直感だけで判断しないことがコツ。
練習問題（全18問）

答えを入力して「採点」を押すと○×が出るぞ。分数は「1/3」のように入力。
わからないときは「解説を見る」で解き方を確認しよう。

基本（1〜7）
1
頂点形から直接読み取る

\(y = (x - 3)^2 + 2\) の頂点を求めよ。

頂点のx座標 　頂点のy座標
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\(y=a(x-p)^2+q\) の形とみると \(p=3,\ q=2\)。 頂点 \((3,\ 2)\)
2
符号のワナ（+の形）

\(y = (x + 5)^2 - 1\) の頂点を求めよ。

頂点のx座標 　頂点のy座標
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\((x+5)^2\) は \((x-(-5))^2\) と同じ形なので \(p=-5\)。\(q=-1\)。 頂点 \((-5,\ -1)\)
3
aが1でなくても頂点は同じ考え方

\(y = 3(x - 2)^2 + 4\) の頂点を求めよ。

頂点のx座標 　頂点のy座標
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\(a=3\) は頂点の位置に影響しない。\(p=2,\ q=4\)。 頂点 \((2,\ 4)\)
4
上に凸でも頂点の読み方は同じ

\(y = -(x - 6)^2 - 3\) の頂点を求めよ。

頂点のx座標 　頂点のy座標
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\(a=-1,\ p=6,\ q=-3\)。頂点の位置は \(a\) の符号に関係なく \((p,q)\)。 頂点 \((6,\ -3)\)
5
q=0のケース

\(y = (x + 1)^2\) の頂点を求めよ。

頂点のx座標 　頂点のy座標
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\(y=(x+1)^2\) は \(y=(x-(-1))^2+0\) と同じ。\(p=-1,\ q=0\)。 頂点 \((-1,\ 0)\)
6
|a|が大きいほど細い

\(y = x^2\)、\(y = \dfrac{2}{5}x^2\)、\(y = 6x^2\) のうち、グラフが最も細い（急な）ものはどれか。その \(a\) の値を答えよ。

a=
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\(|a|\) が大きいほどグラフは細く急になる。\(|1|=1,\ \left|\dfrac{2}{5}\right|=0.4,\ |6|=6\) なので最大は \(6\)。 \(a=6\) のグラフが最も細い
7
|a|が小さいほど平べったい

\(y = -4x^2\)、\(y = \dfrac{1}{3}x^2\)、\(y = -x^2\) のうち、グラフが最も平べったい（開いた）ものはどれか。その \(a\) の値を答えよ。

a=
解説を見る
\(|a|\) が小さいほどグラフは平べったく広がる。\(|-4|=4,\ \left|\dfrac{1}{3}\right|=0.333\ldots,\ |-1|=1\) なので最小は \(\dfrac{1}{3}\)。 \(a=\dfrac{1}{3}\) のグラフが最も平べったい
標準（8〜14）
8

\(y = 2x^2\) を \(x\) 軸方向に \(3\)、\(y\) 軸方向に \(-1\) だけ平行移動してできる関数の頂点を求めよ。

頂点のx座標 　頂点のy座標
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\(y=2x^2\) の頂点は \((0,0)\)。\(x\) 軸方向に \(3\)、\(y\) 軸方向に \(-1\) 動かすと、頂点も同じだけ動く。 移動後の頂点は \((0+3,\ 0-1) = (3,\ -1)\)。（移動後の式は \(y=2(x-3)^2-1\)） 頂点 \((3,\ -1)\)
9
移動前後の対応点

問題8の移動後の関数 \(y=2(x-3)^2-1\) 上の点 \((3,\ -1)\) は、もとの関数 \(y=2x^2\) 上のどの点に対応するか。

対応する点のx座標 　y座標
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平行移動は、もとのグラフ上のすべての点を同じ量だけずらす操作。 移動後の点 \((3,\ -1)\) は、\(x\) 軸方向に \(3\)、\(y\) 軸方向に \(-1\) 動かした結果なので、逆にもとに戻すには \(x\) 方向に \(-3\)、\(y\) 方向に \(+1\) 動かせばよい。 \((3-3,\ -1+1) = (0,\ 0)\)。実際 \(y=2x^2\) の頂点も \((0,0)\) なので一致する。 もとの関数上の点 \((0,\ 0)\)
10

\(y = -(x + 1)^2 + 4\) の軸を求めよ。

軸　x=
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\((x+1)^2 = (x-(-1))^2\) なので \(p=-1\)。軸は \(x=p\)。 軸 \(x=-1\)
11

\(y = -(x + 1)^2 + 4\) の頂点を求めよ。

頂点のx座標 　頂点のy座標
解説を見る
\(p=-1,\ q=4\) なので頂点は \((p,q)=(-1,\ 4)\)。 頂点 \((-1,\ 4)\)
12
x軸対称移動

\(y = (x - 2)^2 + 3\) を \(x\) 軸に関して対称移動してできる関数の頂点を求めよ。

頂点のx座標 　頂点のy座標
解説を見る
\(x\) 軸対称は \(y \to -y\)。もとの式 \(y=(x-2)^2+3\) の \(y\) を \(-y\) に置きかえて \(-y = (x-2)^2+3\)　→　\(y = -(x-2)^2-3\) 頂点は \(x\) 座標そのまま、\(y\) 座標だけ符号が反転して \((2,\ -3)\)。 頂点 \((2,\ -3)\)
13
y軸対称移動

\(y = (x - 2)^2 + 3\) を \(y\) 軸に関して対称移動してできる関数の頂点を求めよ。

頂点のx座標 　頂点のy座標
解説を見る
\(y\) 軸対称は \(x \to -x\)。もとの式の \(x\) を \(-x\) に置きかえて \(y = (-x-2)^2+3 = (x+2)^2+3\)（\((-x-2)^2 = (-(x+2))^2 = (x+2)^2\)） 頂点は \(y\) 座標そのまま、\(x\) 座標だけ符号が反転して \((-2,\ 3)\)。 頂点 \((-2,\ 3)\)
14
原点対称移動

\(y = (x - 2)^2 + 3\) を原点に関して対称移動してできる関数の頂点を求めよ。

頂点のx座標 　頂点のy座標
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原点対称は \(x \to -x\) と \(y \to -y\) を同時に行う。もとの式に代入して \(-y = (-x-2)^2+3 = (x+2)^2+3\)　→　\(y = -(x+2)^2-3\) 頂点は \(x,y\) 座標ともに符号が反転して \((-2,\ -3)\)。 頂点 \((-2,\ -3)\)
挑戦（15〜18）
15
2回の移動の合成

\(y = x^2\) を \(x\) 軸方向に \(2\)、\(y\) 軸方向に \(5\) だけ平行移動し、さらにその関数を \(x\) 軸方向に \(-4\)、\(y\) 軸方向に \(-3\) だけ平行移動した。最終的な頂点を求めよ。

頂点のx座標 　頂点のy座標
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2回の平行移動は、移動量をそれぞれ足し合わせた1回の移動と同じ結果になる。 \(x\) 方向の合計：\(2 + (-4) = -2\) \(y\) 方向の合計：\(5 + (-3) = 2\) もとの頂点 \((0,0)\) をこの分だけ動かすと \((0-2,\ 0+2) = (-2,\ 2)\)。 頂点 \((-2,\ 2)\)
16
\(y=x^2\)に重なる移動量

\(y = (x - 4)^2 + 7\) を \(x\) 軸方向に \(a\)、\(y\) 軸方向に \(b\) だけ平行移動すると \(y = x^2\) に重なった。\(a,\ b\) の値を求めよ。

a= 　b=
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\(y=(x-4)^2+7\) の頂点は \((4,\ 7)\)。\(y=x^2\) の頂点は \((0,\ 0)\)。 移動後に頂点が \((0,0)\) になればよいので \(4 + a = 0 \Rightarrow a = -4\) \(7 + b = 0 \Rightarrow b = -7\) \(a=-4,\ b=-7\)
17
対称移動後の頂点のy座標のみ

\(y = 2(x + 3)^2 - 5\) を \(x\) 軸に関して対称移動してできる関数の、頂点の \(y\) 座標を求めよ。

頂点のy座標
解説を見る
もとの頂点は \((-3,\ -5)\)。\(x\) 軸対称は \(y \to -y\) なので、\(x\) 座標は変わらず \(y\) 座標だけ符号が反転する。 \(-(-5) = 5\) 頂点のy座標は \(5\)（頂点は \((-3,\ 5)\)）
18
原点対称移動から逆算

2次関数 \(y = (x - p)^2 + q\) を原点に関して対称移動したところ、頂点が \((-2,\ -6)\) になった。\(p,\ q\) の値を求めよ。

p= 　q=
解説を見る
もとの頂点は \((p,\ q)\)。原点対称移動では頂点が \((-p,\ -q)\) に移る。 これが \((-2,\ -6)\) と等しいので \(-p = -2 \Rightarrow p = 2\) \(-q = -6 \Rightarrow q = 6\) \(p=2,\ q=6\)
応用問題（プリント限定）

ここから先はPDF限定の腕試し。入試の基礎レベルに挑戦しよう。

応1
平行移動と対称移動の合成

\(y = 2x^2\) を、まず \(x\) 軸方向に \(-1\)、\(y\) 軸方向に \(3\) だけ平行移動し、その関数をさらに \(x\) 軸に関して対称移動する。最終的にできる関数の頂点を求めよ。

頂点のx座標 　頂点のy座標
解説を見る
まず平行移動だけを考える。\(y=2x^2\) の頂点 \((0,0)\) を \(x\) 軸方向に \(-1\)、\(y\) 軸方向に \(3\) 動かすと、頂点は \((0-1,\ 0+3)=(-1,\ 3)\) になる（このときの式は \(y=2(x+1)^2+3\)）。 次にこの関数を \(x\) 軸に関して対称移動する。\(x\) 軸対称は \(y \to -y\) で、頂点の \(x\) 座標はそのまま、\(y\) 座標だけ符号が反転する。 よって頂点は \((-1,\ -3)\) になる。 頂点 \((-1,\ -3)\)
応2
平行移動で重なるための移動量

\(y = 3(x - 1)^2 + 5\) のグラフを平行移動して \(y = 3(x + 2)^2 - 4\) のグラフに重ねたい。\(x\) 軸方向・\(y\) 軸方向にそれぞれいくつ平行移動すればよいか求めよ。

x軸方向 　y軸方向
解説を見る
平行移動は \(a\)（\(x^2\) の係数）の値を変えないので、まず両方とも \(a=3\) であることを確認する。同じ \(a\) どうしなら、頂点を頂点へ移す平行移動でグラフ全体をぴったり重ねられる。 \(y = 3(x-1)^2+5\) の頂点は \((1,\ 5)\)。 \(y = 3(x+2)^2-4\) の頂点は \((-2,\ -4)\)。 頂点 \((1,5)\) を頂点 \((-2,-4)\) に移す移動量を求めればよいので \(x\) 軸方向：\(-2 - 1 = -3\) \(y\) 軸方向：\(-4 - 5 = -9\) \(x\) 軸方向に \(-3\)、\(y\) 軸方向に \(-9\)
応3
平行移動だけでは重ならない場合

\(y = 2(x - 3)^2 + 1\) のグラフと \(y = -2(x - 3)^2 + 1\) のグラフは、平行移動だけで重ねることができるか。理由とともに答えよ。

解説を見る
平行移動はグラフの形（開き方や幅）を変えず、位置だけをずらす操作である。グラフの形を決めるのは \(a\) の値であり、平行移動をしても \(a\) の値は変化しない。 \(y=2(x-3)^2+1\) は \(a=2\) で下に凸（口が上向き）。 \(y=-2(x-3)^2+1\) は \(a=-2\) で上に凸（口が下向き）。 \(|a|\) は等しく形の細さ・広がりは同じだが、\(a\) の符号が異なるため開いている向きが逆である。平行移動だけでは開いている向きを変えられないので、この2つは平行移動だけでは重ならない。重ねるには \(x\) 軸に関する対称移動（または \(180^\circ\) の回転に相当する操作）が別に必要になる。 重ならない（\(a\) の符号が逆で開く向きが異なるため。重ねるには対称移動が必要）
応4
頂点の軌跡

\(t\) を実数の定数とし、2次関数 \(y = (x - t)^2 + 2t - 1\) のグラフを考える。\(t\) の値をいろいろに変えるとき、このグラフの頂点は、あるひとつの直線上を動く。その直線の式を \(y = ax + b\) の形（\(x,\ y\) は座標平面上の変数、\(t\) はパラメータ）で求めよ。

傾き a= 　切片 b=
解説を見る
\(y=(x-t)^2+(2t-1)\) は \(y=a(x-p)^2+q\) の形で \(p=t,\ q=2t-1\) にあたる。つまり頂点は \((p,\ q) = (t,\ 2t-1)\) 頂点の \(x\) 座標を \(x\)、\(y\) 座標を \(y\) と書くと \(x = t\)、\(y = 2t - 1\) 1つ目の式から \(t = x\) なので、これを2つ目の式に代入してパラメータ \(t\) を消去すると \(y = 2x - 1\) これが頂点の軌跡（頂点が動いてできる直線）の式である。\(t\) を動かすたびに頂点はこの直線上のどこかの点になる。 頂点の軌跡は \(y = 2x - 1\)（\(a=2,\ b=-1\)）
応5
操作の順序を入れかえると結果が変わる

\(y = (x - 2)^2 + 3\) のグラフに対して、操作T（\(x\) 軸方向に \(5\) だけ平行移動）と操作M（\(y\) 軸に関して対称移動）を考える。次の(A)(B)それぞれの順序で操作をしたとき、最終的な頂点を求めよ。
(A) 先にT、その後にMを行う。
(B) 先にM、その後にTを行う。

(A)の頂点：x座標 　y座標
(B)の頂点：x座標 　y座標
解説を見る
もとの頂点は \((2,\ 3)\)。 (A) 先にTを行う：\(x\) 軸方向に \(5\) 動かすと \((2+5,\ 3) = (7,\ 3)\)。 　次にMを行う：\(y\) 軸対称は \(x \to -x\) なので \((7,\ 3) \to (-7,\ 3)\)。 　よって(A)の頂点は \((-7,\ 3)\)。 (B) 先にMを行う：\(y\) 軸対称で \((2,\ 3) \to (-2,\ 3)\)。 　次にTを行う：\(x\) 軸方向に \(5\) 動かすと \((-2+5,\ 3) = (3,\ 3)\)。 　よって(B)の頂点は \((3,\ 3)\)。 (A)は \((-7,3)\)、(B)は \((3,3)\) で一致しない。平行移動と対称移動は、順序を入れかえると結果が変わることがある（操作の順序は自由に交換できない）。 (A)の頂点 \((-7,\ 3)\)、(B)の頂点 \((3,\ 3)\)（順序を変えると結果が変わる）