2次関数の最大値・最小値

STEP 1

最大値・最小値ってなに？

グラフ全体の中で、いちばん高いところの \(y\) の値が「最大値」、いちばん低いところの \(y\) の値が「最小値」。2次関数のグラフ（放物線）では、それが必ず頂点で起こる。

下に凸（\(a > 0\)、口が上を向く） → 頂点がいちばん低い点 → 最小値がある／最大値はない
上に凸（\(a < 0\)、口が下を向く） → 頂点がいちばん高い点 → 最大値がある／最小値はない

STEP 2

xの範囲に制限がないとき

「\(y = x^2 - 4x + 3\) の最小値を求めよ」のように、\(x\) の範囲が指定されていない場合は、そのまま平方完成して頂点を求めればOK。

例題1　\(y = x^2 - 4x + 3\) の最小値を求めよ。（下に凸）

解答を見る

\(y = (x - 2)^2 - 1\) 下に凸なので頂点 \((2,\ -1)\) が最小。 \(x = 2\) のとき最小値 \(-1\)（最大値はない）

例題2　\(y = -x^2 + 6x - 4\) の最大値を求めよ。（上に凸）

解答を見る

\(y = -(x - 3)^2 + 5\) 上に凸なので頂点 \((3,\ 5)\) が最大。 \(x = 3\) のとき最大値 \(5\)（最小値はない）

STEP 3

xの範囲に制限があるとき（ここがポイント！）

「\(0 \le x \le 3\) のとき」のように範囲（区間）が指定されると、頂点の位置と区間の位置関係によって答え方が3パターンに分かれる。まずは軸（頂点の \(x\) 座標）が区間の中にあるか外にあるかを確認するのがコツ。

パターンA：軸が区間の中にある

例題　\(y = x^2 - 2x + 3\)（\(0 \le x \le 3\)）の最大値・最小値を求めよ。

解答を見る

\(y = (x - 1)^2 + 2\)　軸 \(x=1\) は区間 \([0,3]\) の中。端点も確認：\(x=0 \to 3\)　\(x=1 \to 2\)（頂点）　\(x=3 \to 6\) \(x=3\) で最大値 \(6\)、\(x=1\) で最小値 \(2\)

パターンB：軸が区間の外（左側）にある

例題　\(y = x^2\)（\(2 \le x \le 5\)）の最大値・最小値を求めよ。

解答を見る

軸 \(x=0\) は区間 \([2,5]\) より左側 → 区間内はずっと増加。 \(x=5\) で最大値 \(25\)、\(x=2\) で最小値 \(4\)

パターンC：軸が区間の外（右側）にある

例題　\(y = x^2 - 4x + 1\)（\(-1 \le x \le 1\)）の最大値・最小値を求めよ。

解答を見る

\(y=(x-2)^2-3\)　軸 \(x=2\) は区間 \([-1,1]\) より右側 → 区間内はずっと減少。 \(x=-1\) で最大値 \(6\)、\(x=1\) で最小値 \(-2\)

STEP 4

解き方の流れ（まとめ）

手順1　平方完成して、頂点 (軸のx座標, 頂点のy座標) を求める

↓

手順2　軸のx座標が、指定された区間の「中」か「外」かを判定する

↓

軸が区間の中
頂点で最大or最小、軸から遠い方の端点でもう一方

軸が区間の外（左）
区間内は単調増加
左端が最小、右端が最大

軸が区間の外（右）
区間内は単調減少
左端が最大、右端が最小

↓

手順3　端点のx座標をyの式に代入して、実際の値を計算する

注意　上に凸（\(a<0\)）のときは増減が逆になる。「軸が区間の外（左）」なら区間内は単調減少。パターンの丸暗記でなく、グラフの形をイメージして判断しよう。

練習問題（全20問）

答えを入力して「採点」を押すと○×が出るぞ。分数は「-1/2」のように入力。
わからないときは「解説を見る」で解き方を確認しよう。

基本（1〜8）

区間指定なし

\(y = x^2 - 6x + 8\) の最小値を求めよ。

最小値　そのとき \(x=\)

解説を見る

\(y = (x - 3)^2 - 1\) 下に凸なので頂点が最小。 \(x = 3\) のとき最小値 \(-1\)

区間指定なし

\(y = x^2 + 4x + 1\) の最小値を求めよ。

最小値　そのとき \(x=\)

解説を見る

\(y = (x + 2)^2 - 3\) \(x = -2\) のとき最小値 \(-3\)

区間指定なし・aが1でない

\(y = 2x^2 - 4x + 5\) の最小値を求めよ。

最小値　そのとき \(x=\)

解説を見る

\(y = 2(x^2 - 2x) + 5 = 2(x - 1)^2 - 2 + 5 = 2(x - 1)^2 + 3\) \(x = 1\) のとき最小値 \(3\)

区間指定なし・上に凸

\(y = -2x^2 + 8x - 3\) の最大値を求めよ。

最大値　そのとき \(x=\)

解説を見る

\(y = -2(x^2 - 4x) - 3 = -2(x - 2)^2 + 8 - 3 = -2(x - 2)^2 + 5\) 上に凸なので頂点が最大。 \(x = 2\) のとき最大値 \(5\)

パターンA：軸が区間の中

\(y = x^2 + 2x - 1\)（\(-2 \le x \le 1\)）の最大値・最小値を求めよ。

最大値（\(x=\) ）　最小値（\(x=\) ）

解説を見る

\(y = (x + 1)^2 - 2\)　軸 \(x=-1\) は区間 \([-2,1]\) の中。 \(x=-2 \to -1\)　\(x=-1 \to -2\)（頂点）　\(x=1 \to 2\) \(x=1\) で最大値 \(2\)、\(x=-1\) で最小値 \(-2\)

パターンB：軸が区間の外（左）

\(y = x^2 - 2x\)（\(3 \le x \le 6\)）の最大値・最小値を求めよ。

最大値（\(x=\) ）　最小値（\(x=\) ）

解説を見る

\(y = (x - 1)^2 - 1\)　軸 \(x=1\) は区間 \([3,6]\) より左側 → 区間内は単調増加。 \(x=3 \to 3\)　\(x=6 \to 24\) \(x=6\) で最大値 \(24\)、\(x=3\) で最小値 \(3\)

パターンC：軸が区間の外（右）

\(y = x^2 - 8x + 10\)（\(0 \le x \le 3\)）の最大値・最小値を求めよ。

最大値（\(x=\) ）　最小値（\(x=\) ）

解説を見る

\(y = (x - 4)^2 - 6\)　軸 \(x=4\) は区間 \([0,3]\) より右側 → 区間内は単調減少。 \(x=0 \to 10\)　\(x=3 \to -5\) \(x=0\) で最大値 \(10\)、\(x=3\) で最小値 \(-5\)

パターンA：軸が区間の中

\(y = x^2 - 4x + 5\)（\(1 \le x \le 4\)）の最大値・最小値を求めよ。

最大値（\(x=\) ）　最小値（\(x=\) ）

解説を見る

\(y = (x - 2)^2 + 1\)　軸 \(x=2\) は区間 \([1,4]\) の中。 \(x=1 \to 2\)　\(x=2 \to 1\)（頂点）　\(x=4 \to 5\) \(x=4\) で最大値 \(5\)、\(x=2\) で最小値 \(1\)

標準（9〜16）　※パターンは自分で判定

\(y = x^2 - 2x - 3\)（\(2 \le x \le 4\)）の最大値・最小値を求めよ。

最大値（\(x=\) ）　最小値（\(x=\) ）

解説を見る

\(y = (x - 1)^2 - 4\)　軸 \(x=1\) は区間 \([2,4]\) より左側 → 区間内は単調増加。 \(x=2 \to -3\)　\(x=4 \to 5\) \(x=4\) で最大値 \(5\)、\(x=2\) で最小値 \(-3\)

\(y = -x^2 + 4x\)（\(1 \le x \le 5\)）の最大値・最小値を求めよ。

最大値（\(x=\) ）　最小値（\(x=\) ）

解説を見る

\(y = -(x - 2)^2 + 4\)　軸 \(x=2\) は区間 \([1,5]\) の中（パターンA）。上に凸なので頂点が最大。 \(x=1 \to 3\)　\(x=2 \to 4\)（頂点・最大）　\(x=5 \to -5\) 軸から遠い端点 \(x=5\) が最小。 \(x=2\) で最大値 \(4\)、\(x=5\) で最小値 \(-5\)

\(y = 2x^2 - 4x + 3\)（\(0 \le x \le 3\)）の最大値・最小値を求めよ。

最大値（\(x=\) ）　最小値（\(x=\) ）

解説を見る

\(y = 2(x - 1)^2 + 1\)　軸 \(x=1\) は区間 \([0,3]\) の中。 \(x=0 \to 3\)　\(x=1 \to 1\)（頂点）　\(x=3 \to 9\) \(x=3\) で最大値 \(9\)、\(x=1\) で最小値 \(1\)

\(y = -x^2 + 4x - 1\)（\(3 \le x \le 6\)）の最大値・最小値を求めよ。

最大値（\(x=\) ）　最小値（\(x=\) ）

解説を見る

\(y = -(x - 2)^2 + 3\)　軸 \(x=2\) は区間 \([3,6]\) より左側にあるが、上に凸なので頂点より右側は単調減少 → 区間内はずっと減少。 \(x=3 \to 2\)　\(x=6 \to -13\) \(x=3\) で最大値 \(2\)、\(x=6\) で最小値 \(-13\)

\(y = x^2 - 6x + 5\)（\(0 \le x \le 4\)）の最大値・最小値を求めよ。

最大値（\(x=\) ）　最小値（\(x=\) ）

解説を見る

\(y = (x - 3)^2 - 4\)　軸 \(x=3\) は区間 \([0,4]\) の中。 \(x=0 \to 5\)　\(x=3 \to -4\)（頂点）　\(x=4 \to -3\) 軸から遠いのは \(x=0\) の方なので、最大は \(x=0\)。 \(x=0\) で最大値 \(5\)、\(x=3\) で最小値 \(-4\)

\(y = -2x^2 - 4x + 1\)（\(-3 \le x \le 0\)）の最大値・最小値を求めよ。

最大値（\(x=\) ）　最小値（\(x=\) ）

解説を見る

\(y = -2(x^2 + 2x) + 1 = -2(x + 1)^2 + 2 + 1 = -2(x + 1)^2 + 3\) 軸 \(x=-1\) は区間 \([-3,0]\) の中。上に凸なので頂点が最大。 \(x=-3 \to -5\)　\(x=-1 \to 3\)（頂点）　\(x=0 \to 1\) \(x=-1\) で最大値 \(3\)、\(x=-3\) で最小値 \(-5\)

\(y = \dfrac{1}{2}x^2 - x\)（\(0 \le x \le 4\)）の最大値・最小値を求めよ。

最大値（\(x=\) ）　最小値（\(x=\) ）

解説を見る

\(y = \dfrac{1}{2}(x^2 - 2x) = \dfrac{1}{2}(x - 1)^2 - \dfrac{1}{2}\)　軸 \(x=1\) は区間 \([0,4]\) の中。 \(x=0 \to 0\)　\(x=1 \to -\dfrac{1}{2}\)（頂点）　\(x=4 \to 4\) \(x=4\) で最大値 \(4\)、\(x=1\) で最小値 \(-\dfrac{1}{2}\)

最大となるxが2つある

\(y = x^2 - 4x + 3\)（\(1 \le x \le 3\)）の最大値・最小値を求めよ。（最大となる \(x\) が2つあるときは「1,3」のようにコンマ区切りで入力）

最大値（\(x=\) ）　最小値（\(x=\) ）

解説を見る

\(y = (x - 2)^2 - 1\)　軸 \(x=2\) は区間 \([1,3]\) のちょうど真ん中。 \(x=1 \to 0\)　\(x=2 \to -1\)（頂点）　\(x=3 \to 0\) 両端が軸から同じ距離なので、最大値は両端で同時にとる。 \(x=1,\ 3\) で最大値 \(0\)、\(x=2\) で最小値 \(-1\)

挑戦（17〜20）

頂点が区間の端にくる

\(y = x^2 - 4x + 4\)（\(2 \le x \le 5\)）の最大値・最小値を求めよ。

最大値（\(x=\) ）　最小値（\(x=\) ）

解説を見る

\(y = (x - 2)^2\)　軸 \(x=2\) は区間の左端ぴったり。区間内は単調増加。 \(x=2 \to 0\)（頂点＝左端）　\(x=5 \to 9\) \(x=5\) で最大値 \(9\)、\(x=2\) で最小値 \(0\)

最大値と最小値の差

\(y = x^2 - 2x + 2\)（\(0 \le x \le 3\)）について、最大値と最小値の差を求めよ。

差

解説を見る

\(y = (x - 1)^2 + 1\)　軸 \(x=1\) は区間 \([0,3]\) の中。 \(x=0 \to 2\)　\(x=1 \to 1\)（頂点・最小）　\(x=3 \to 5\)（最大）差は \(5 - 1 = 4\)。最大値 \(5\)、最小値 \(1\)、差は \(4\)

文章題：面積の最大

周囲の長さが \(20\) の長方形がある。縦の長さを \(x\) とするとき、面積 \(S\) の最大値と、そのときの \(x\) を求めよ。

最大値 \(S=\) 　そのとき \(x=\)

解説を見る

縦 \(x\) なら横は \(10 - x\)（縦＋横＝周囲の半分＝10）。 \(S = x(10 - x) = -x^2 + 10x = -(x - 5)^2 + 25\)（\(0 < x < 10\)）上に凸で軸 \(x=5\) は範囲の中。 \(x=5\)（正方形）のとき最大値 \(25\)

上に凸・値域

\(y = -x^2 + 2x + 3\)（\(0 \le x \le 3\)）の最大値・最小値を求めよ。

最大値（\(x=\) ）　最小値（\(x=\) ）

解説を見る

\(y = -(x - 1)^2 + 4\)　軸 \(x=1\) は区間 \([0,3]\) の中。上に凸なので頂点が最大。 \(x=0 \to 3\)　\(x=1 \to 4\)（頂点）　\(x=3 \to 0\) 軸から遠い端点 \(x=3\) が最小。 \(x=1\) で最大値 \(4\)、\(x=3\) で最小値 \(0\)（値域は \(0 \le y \le 4\)）

応用問題（プリント限定）

ここから先はPDF限定の腕試し。置き換えや2変数の条件つき最大最小など、入試の基礎レベルに挑戦しよう。

応1

置き換え型（t=2次式）

\(y = (x^2 - 2x - 2)^2\)（\(-1 \le x \le 3\)）の最大値・最小値を求めよ。

最小値（そのとき \(x=\) ）　最大値（そのとき \(x=\) ）

解説を見る

\(t = x^2 - 2x - 2\) とおく（\(x\) の2次式のかたまりをまとめて文字に置き換えるのがコツ）。 \(t = (x - 1)^2 - 3\)、\(x\) の範囲 \(-1 \le x \le 3\) より \(x-1\) の範囲は \(-2 \le x-1 \le 2\)、よって \((x-1)^2\) の範囲は \(0 \le (x-1)^2 \le 4\)。ゆえに \(t\) の範囲は \(-3 \le t \le 1\)。もとの式は \(y = t^2\)。\(t\) の範囲 \([-3,\ 1]\) の中に \(t=0\) が含まれるので、最小値は \(t=0\) のとき \(y=0\)。 \(t\) の絶対値が最大になるのは \(t=-3\) のとき（\(|{-3}|=3 > |1|=1\)）なので、最大値は \(t=-3\) のとき \(y=9\)。 \(t=0\) となる \(x\)：\(x^2-2x-2=0\) を解くと \(x = 1 \pm \sqrt{3}\)。 \(1+\sqrt{3} \approx 2.73\)、\(1-\sqrt{3}\approx -0.73\) はどちらも範囲 \([-1,3]\) の中にあるので両方とも解。 \(t=-3\) となる \(x\)：\((x-1)^2=0\) より \(x=1\) のみ（ここが \(t\) 自身の最小値の場所なので1点しかない）。 \(x=1\pm\sqrt{3}\) のとき最小値 \(0\)、\(x=1\) のとき最大値 \(9\)

応2

2変数の条件つき最小（1文字消去）

実数 \(x,\ y\) が \(x + y = 4\) を満たすとき、\(x^2 + y^2\) の最小値を求めよ。

最小値　そのとき \(x=\) 　\(y=\)

解説を見る

条件 \(x+y=4\) より \(y = 4-x\)。これを代入して1文字（\(x\)だけ）の式にする。 \(x^2+y^2 = x^2+(4-x)^2 = x^2+16-8x+x^2 = 2x^2-8x+16\) \(= 2(x^2-4x)+16 = 2(x-2)^2-8+16 = 2(x-2)^2+8\) \(x\) は実数全体を動けるので範囲の制限はなく、下に凸の頂点がそのまま最小値。頂点は \(x=2\) のとき最小値 \(8\)。このとき \(y=4-2=2\)。なお \(a=2 > 0\)（下に凸）なので、\(x\to\pm\infty\) で式はいくらでも大きくなり、最大値は存在しない。 \(x=2,\ y=2\) のとき最小値 \(8\)（最大値なし）

応3

文章題：壁を使った花壇の面積最大

学校の壁を1辺として利用し、残り3辺をフェンスで囲んで長方形の花壇を作る。フェンスの合計の長さが \(24\)m であるとき、花壇の面積 \(S\) の最大値を求めよ。壁と平行な辺の長さを \(y\)m、壁に垂直な辺の長さを \(x\)m とする。

最大値 \(S=\) 　そのとき \(x=\) 　\(y=\)

解説を見る

フェンスを使うのは、壁に垂直な辺2本（長さ \(x\) が2本）と、壁と平行な辺1本（長さ \(y\)）の合計3辺。 \(2x + y = 24\) より \(y = 24-2x\)（\(x>0,\ y>0\) より \(0 < x < 12\)）。面積 \(S = xy = x(24-2x) = -2x^2+24x\) \(= -2(x^2-12x) = -2(x-6)^2+72\) 上に凸で、頂点の \(x=6\) は範囲 \(0<x<12\) の中にあるので、そのまま最大値。 \(x=6\) のとき \(y=24-12=12\)、\(S=6\times12=72\)。 \(x=6,\ y=12\) のとき面積の最大値 \(72\)

応4

文章題：値下げと売上（頂点が範囲の外）

ある店で1個 \(500\)円の商品を売っている。この商品を1個 \(x\)円値下げすると、1日の販売個数が \((100+2x)\)個になるという。値下げできる範囲を \(0 \le x \le 50\) とするとき、1日の売上金額 \(S\)（円）を最大にする \(x\) の値と、そのときの売上金額を求めよ。

\(x=\) 　売上金額 \(S=\)

解説を見る

売上金額＝単価 × 個数なので \(S = (500-x)(100+2x) = 50000+1000x-100x-2x^2 = -2x^2+900x+50000\) 平方完成すると \(S = -2(x-225)^2+151250\)。頂点の \(x\) 座標は \(225\) だが、これは範囲 \(0 \le x \le 50\) の外（範囲より右側）。上に凸のグラフで、頂点より左側（\(x<225\)）はずっと増加するので、範囲 \(0 \le x \le 50\) は丸ごと増加区間にあたる。したがって最大値は範囲の右端 \(x=50\) でとる。 \(x=50\) のとき \(S=(500-50)(100+100)=450\times200=90000\)。（頂点の \(x=225\) をそのまま答えにするのは誤り。範囲の外かどうかを必ず確認すること。） \(x=50\) 円値下げしたとき、売上金額の最大値 \(90000\)円

応5

2変数の条件つき最大（曲線上の点）

実数 \(x,\ y\) が \(x^2 + y = 9\)、\(x \ge 0\)、\(y \ge 0\) を満たすとき、\(x+y\) の最大値を求めよ。

最大値　そのとき \(x=\) 　\(y=\)

解説を見る

条件 \(x^2+y=9\) より \(y=9-x^2\)。これを目的の式に代入して \(x\) だけの式にする。 \(y \ge 0\) より \(9-x^2\ge0\)、\(x\ge0\) とあわせて範囲は \(0 \le x \le 3\)。 \(S = x+y = x+(9-x^2) = -x^2+x+9\) \(= -\left(x^2-x\right)+9 = -\left(x-\dfrac{1}{2}\right)^2+\dfrac{1}{4}+9 = -\left(x-\dfrac{1}{2}\right)^2+\dfrac{37}{4}\) 上に凸で、頂点の \(x=\dfrac{1}{2}\) は範囲 \(0\le x\le3\) の中にあるので、そのまま最大値。 \(x=\dfrac{1}{2}\) のとき \(y=9-\dfrac{1}{4}=\dfrac{35}{4}\)。 \(x=\dfrac{1}{2},\ y=\dfrac{35}{4}\) のとき最大値 \(\dfrac{37}{4}\)（\(=9.25\)）

記述チャレンジ

答えだけでなく「なぜそうなるか」を文章と式で書く練習。模範解答と見比べて、書き方の型を身につけよう。

記1

区間つきの2次関数の最大・最小を求めるとき、なぜ「場合分け」が必要になるのかを、軸（頂点の位置）と区間の位置関係に触れながら説明せよ。

模範解答を見る

2次関数のグラフは放物線であり、軸（頂点の\(x\)座標）を境にして一方の側ではずっと増加し、もう一方の側ではずっと減少する。区間 \(a \le x \le b\) における最大値・最小値がどこで実現するかは、この軸が区間のどこにあるかによってふるまいがまったく変わってしまう。軸と区間の位置関係は、次の3通りしかない。 (1) 軸が区間の内側にあるとき：区間の中に頂点が含まれるので、頂点そのものが最大値（上に凸のとき）または最小値（下に凸のとき）になる。もう一方の値は、軸から遠い方の端点で実現する（両端点の値を実際に比べれば決まる）。 (2) 軸が区間より左側にあるとき：区間全体が軸より右側にあるので、区間内では関数はずっと単調（上に凸なら単調減少、下に凸なら単調増加）にふるまう。最大・最小は両端点だけで決まり、頂点の値を使う必要すらない。 (3) 軸が区間より右側にあるとき：(2)と対称に、区間全体が軸より左側にあり、やはり両端点だけで決まる。この3つの場合で「頂点の値を使うかどうか」「どちらの端点が最大・最小になるか」がまったく異なるルールになるため、1つの公式だけでは処理できない。だからこそ、まず軸の\(x\)座標と区間の端点の値を比較して軸がどこにあるかを特定し、その場合に応じた考え方を適用するという手順（場合分け）が必要になる。これは計算のテクニックというより、放物線の形そのものから来る構造的な必然である。軸が区間の内側・左・右のどこにあるかで最大最小の決まり方（頂点を使うか、両端点だけで決まるか）が根本的に変わるため、場合分けは避けられない。

記2

\(y=x^2-4x+3\) の \(0 \le x \le 3\) における最大値・最小値を、グラフの概形の説明を含めて記述せよ。

模範解答を見る

まず平方完成する。 \(y = x^2-4x+3 = (x-2)^2 - 4 + 3 = (x-2)^2 - 1\) 頂点は \((2,\ -1)\)。\(x^2\) の係数が \(1>0\) なので、グラフは下に凸の放物線で、頂点が最も低い点になる（谷の形）。頂点の\(x\)座標 \(x=2\) は、与えられた区間 \(0 \le x \le 3\) の内側にある（\(0 \le 2 \le 3\)）。下に凸で頂点が区間の内側にあるので、最小値は頂点の値 \(y=-1\)（\(x=2\)のとき）でそのまま確定する。最大値は軸から遠い方の端点で実現するので、区間の両端 \(x=0\) と \(x=3\) を実際に代入して比べる。 \(x=0\) のとき：\(y=(0-2)^2-1=4-1=3\) \(x=3\) のとき：\(y=(3-2)^2-1=1-1=0\) \(3>0\) なので、最大値は \(x=0\) のときの \(y=3\)。軸 \(x=2\) からの距離で見ても、\(x=0\) は距離\(2\)、\(x=3\) は距離\(1\)なので、軸から遠い \(x=0\) の方が値が大きくなるのは自然である。 \(x=0\) のとき最大値 \(3\)、\(x=2\) のとき最小値 \(-1\)

共通テスト形式チャレンジ

目標時間 8分／配点 20点

花子さんのクラスでは、文化祭でオリジナルのキーホルダーを販売することになった。値上げをすると1個あたりの利益は増える一方で、売れる個数は減ってしまう。花子さんは、利益の合計が最大になる値上げの回数を、先生と一緒に考えている。次の会話を読んで、あとの問いに答えよ。

先生「値上げの回数を \(x\)（\(x\) は0以上の整数）とし、1回につき10円ずつ値上げすることにしよう。今の1個あたりの利益は60円、1日の販売個数は10個だったね。」
花子「はい。値上げの回数が1回増えるごとに、1個あたりの利益は10円ずつ増えて、その代わり1日の販売個数は1個ずつ減っていくみたいです。」
先生「じゃあ、1個あたりの利益と1日の販売個数を、まず \(x\) を使った式で表してみよう。」

(1)

1個あたりの利益は \((60+10x)\)円、1日の販売個数は \((10-x)\)個と表せる。1日の利益の合計を \(S\) 円とするとき、\(S\) を \(x\) について整理し、さらに平方完成せよ。

\(S = (60+10x)(10-x) = \boxed{\text{ア}}\boxed{\text{イ}}\,x^2 + \boxed{\text{ウ}}\boxed{\text{エ}}\,x + \boxed{\text{オ}}\boxed{\text{カ}}\boxed{\text{キ}}\)（\(\boxed{\text{ア}}\boxed{\text{イ}}\) は符号もつけて入力）

\(S = -10(x - \boxed{\text{ク}})^2 + \boxed{\text{ケ}}\boxed{\text{コ}}\boxed{\text{サ}}\)

アイウエオカキクケコサ

解説を見る

1個あたりの利益 \((60+10x)\)円と、1日の販売個数 \((10-x)\)個をかけると、1日の利益の合計になる。 \(S = (60+10x)(10-x)\) \(= 60\times10 + 60\times(-x) + 10x\times10 + 10x\times(-x)\) \(= 600 - 60x + 100x - 10x^2\) \(= -10x^2 + 40x + 600\) 次に平方完成する。\(x^2\) の係数 \(-10\) をくくり出す。 \(S = -10(x^2 - 4x) + 600\) \(x^2-4x = (x-2)^2 - 4\) なので \(S = -10\{(x-2)^2 - 4\} + 600 = -10(x-2)^2 + 40 + 600 = -10(x-2)^2 + 640\) \(S = -10x^2+40x+600 = -10(x-2)^2+640\)

(2)

先生「値上げの回数 \(x\) は、文化祭の準備期間の都合で3以上5以下の整数に制限されることになった。」

(1)の結果を利用すると、この範囲での利益 \(S\) の最大値は \(x=\boxed{\text{シ}}\) のとき \(S=\boxed{\text{ス}}\boxed{\text{セ}}\boxed{\text{ソ}}\) である。

シスセソ

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(1)で求めた \(S=-10(x-2)^2+640\) を使う。軸（頂点の\(x\)座標）は \(x=2\)。今回の範囲は \(3 \le x \le 5\) で、軸 \(x=2\) はこの範囲より左側にある。 \(x^2\) の係数が \(-10<0\)（上に凸）なので、軸より右側では \(S\) は単調に減少する。範囲 \(3\le x\le5\) は丸ごと軸より右側にあるので、この範囲でも \(S\) はずっと減少する。したがって最大値は範囲の左端 \(x=3\) でとる。実際に代入して確かめると \(x=3\) のとき \(S=-10(3-2)^2+640=-10\times1+640=630\) （参考: \(x=5\) のとき \(S=-10(5-2)^2+640=-10\times9+640=550\) で、確かに \(x=3\) の方が大きい。） \(x=3\) のとき最大値 \(S=630\)

(3)

花子「値上げの回数を3〜5に制限しなかった場合、利益が550円を下回らないようにするには、\(x\) をどんな範囲にすればいいですか。」

\(x\) を0以上の実数とするとき、\(S\) が550円以上になる \(x\) の範囲を求めると、\(\boxed{\text{タ}} \le x \le \boxed{\text{チ}}\) である。

タチ

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(1)で求めた \(S=-10(x-2)^2+640\) を使い、\(S\ge550\) を解く。 \(-10(x-2)^2+640 \ge 550\) \(-10(x-2)^2 \ge -90\) 両辺を \(-10\) で割ると、不等号の向きが変わることに注意して \((x-2)^2 \le 9\) \(-3 \le x-2 \le 3\) \(-1 \le x \le 5\) これに \(x\ge0\)（値上げの回数だから）という条件を合わせると \(0 \le x \le 5\) （(2)で考えた \(3\le x\le5\) はこの範囲にすべて含まれているので、花子さんが選べる値上げ回数はどれも利益550円以上を満たしている。） \(0 \le x \le 5\)