2次関数の最大値・最小値

解説＋ドリル全20問・自動採点つき

問題プリントPDF 解答つきPDF
STEP 1

最大値・最小値ってなに？

グラフ全体の中で、いちばん高いところの \(y\) の値が「最大値」、いちばん低いところの \(y\) の値が「最小値」。2次関数のグラフ（放物線）では、それが必ず頂点で起こる。

下に凸（\(a > 0\)、口が上を向く） → 頂点がいちばん低い点 → 最小値がある／最大値はない
上に凸（\(a < 0\)、口が下を向く） → 頂点がいちばん高い点 → 最大値がある／最小値はない
STEP 2

xの範囲に制限がないとき

「\(y = x^2 - 4x + 3\) の最小値を求めよ」のように、\(x\) の範囲が指定されていない場合は、そのまま平方完成して頂点を求めればOK。

例題1　\(y = x^2 - 4x + 3\) の最小値を求めよ。（下に凸）

解答を見る
\(y = (x - 2)^2 - 1\) 下に凸なので頂点 \((2,\ -1)\) が最小。 \(x = 2\) のとき最小値 \(-1\)（最大値はない）

例題2　\(y = -x^2 + 6x - 4\) の最大値を求めよ。（上に凸）

解答を見る
\(y = -(x - 3)^2 + 5\) 上に凸なので頂点 \((3,\ 5)\) が最大。 \(x = 3\) のとき最大値 \(5\)（最小値はない）
STEP 3

xの範囲に制限があるとき（ここがポイント！）

「\(0 \le x \le 3\) のとき」のように範囲（区間）が指定されると、頂点の位置と区間の位置関係によって答え方が3パターンに分かれる。まずは軸（頂点の \(x\) 座標）が区間の中にあるか外にあるかを確認するのがコツ。

パターンA：軸が区間の中にある

例題　\(y = x^2 - 2x + 3\)（\(0 \le x \le 3\)）の最大値・最小値を求めよ。

解答を見る
\(y = (x - 1)^2 + 2\)　軸 \(x=1\) は区間 \([0,3]\) の中。 端点も確認：\(x=0 \to 3\)　\(x=1 \to 2\)（頂点）　\(x=3 \to 6\) \(x=3\) で最大値 \(6\)、\(x=1\) で最小値 \(2\)

パターンB：軸が区間の外（左側）にある

例題　\(y = x^2\)（\(2 \le x \le 5\)）の最大値・最小値を求めよ。

解答を見る
軸 \(x=0\) は区間 \([2,5]\) より左側 → 区間内はずっと増加。 \(x=5\) で最大値 \(25\)、\(x=2\) で最小値 \(4\)

パターンC：軸が区間の外（右側）にある

例題　\(y = x^2 - 4x + 1\)（\(-1 \le x \le 1\)）の最大値・最小値を求めよ。

解答を見る
\(y=(x-2)^2-3\)　軸 \(x=2\) は区間 \([-1,1]\) より右側 → 区間内はずっと減少。 \(x=-1\) で最大値 \(6\)、\(x=1\) で最小値 \(-2\)
STEP 4

解き方の流れ（まとめ）

手順1　平方完成して、頂点 (軸のx座標, 頂点のy座標) を求める
↓
手順2　軸のx座標が、指定された区間の「中」か「外」かを判定する
↓
軸が区間の中
頂点で最大or最小、軸から遠い方の端点でもう一方
軸が区間の外（左）
区間内は単調増加
左端が最小、右端が最大
軸が区間の外（右）
区間内は単調減少
左端が最大、右端が最小
↓
手順3　端点のx座標をyの式に代入して、実際の値を計算する
注意　上に凸（\(a<0\)）のときは増減が逆になる。「軸が区間の外（左）」なら区間内は単調減少。パターンの丸暗記でなく、グラフの形をイメージして判断しよう。
練習問題（全20問）

答えを入力して「採点」を押すと○×が出るぞ。分数は「-1/2」のように入力。
わからないときは「解説を見る」で解き方を確認しよう。

基本（1〜8）
1
区間指定なし

\(y = x^2 - 6x + 8\) の最小値を求めよ。

最小値 　そのとき \(x=\)
解説を見る
\(y = (x - 3)^2 - 1\) 下に凸なので頂点が最小。 \(x = 3\) のとき最小値 \(-1\)
2
区間指定なし

\(y = x^2 + 4x + 1\) の最小値を求めよ。

最小値 　そのとき \(x=\)
解説を見る
\(y = (x + 2)^2 - 3\) \(x = -2\) のとき最小値 \(-3\)
3
区間指定なし・aが1でない

\(y = 2x^2 - 4x + 5\) の最小値を求めよ。

最小値 　そのとき \(x=\)
解説を見る
\(y = 2(x^2 - 2x) + 5 = 2(x - 1)^2 - 2 + 5 = 2(x - 1)^2 + 3\) \(x = 1\) のとき最小値 \(3\)
4
区間指定なし・上に凸

\(y = -2x^2 + 8x - 3\) の最大値を求めよ。

最大値 　そのとき \(x=\)
解説を見る
\(y = -2(x^2 - 4x) - 3 = -2(x - 2)^2 + 8 - 3 = -2(x - 2)^2 + 5\) 上に凸なので頂点が最大。 \(x = 2\) のとき最大値 \(5\)
5
パターンA：軸が区間の中

\(y = x^2 + 2x - 1\)（\(-2 \le x \le 1\)）の最大値・最小値を求めよ。

最大値 （\(x=\) ）　最小値 （\(x=\) ）
解説を見る
\(y = (x + 1)^2 - 2\)　軸 \(x=-1\) は区間 \([-2,1]\) の中。 \(x=-2 \to -1\)　\(x=-1 \to -2\)（頂点）　\(x=1 \to 2\) \(x=1\) で最大値 \(2\)、\(x=-1\) で最小値 \(-2\)
6
パターンB：軸が区間の外（左）

\(y = x^2 - 2x\)（\(3 \le x \le 6\)）の最大値・最小値を求めよ。

最大値 （\(x=\) ）　最小値 （\(x=\) ）
解説を見る
\(y = (x - 1)^2 - 1\)　軸 \(x=1\) は区間 \([3,6]\) より左側 → 区間内は単調増加。 \(x=3 \to 3\)　\(x=6 \to 24\) \(x=6\) で最大値 \(24\)、\(x=3\) で最小値 \(3\)
7
パターンC：軸が区間の外（右）

\(y = x^2 - 8x + 10\)（\(0 \le x \le 3\)）の最大値・最小値を求めよ。

最大値 （\(x=\) ）　最小値 （\(x=\) ）
解説を見る
\(y = (x - 4)^2 - 6\)　軸 \(x=4\) は区間 \([0,3]\) より右側 → 区間内は単調減少。 \(x=0 \to 10\)　\(x=3 \to -5\) \(x=0\) で最大値 \(10\)、\(x=3\) で最小値 \(-5\)
8
パターンA：軸が区間の中

\(y = x^2 - 4x + 5\)（\(1 \le x \le 4\)）の最大値・最小値を求めよ。

最大値 （\(x=\) ）　最小値 （\(x=\) ）
解説を見る
\(y = (x - 2)^2 + 1\)　軸 \(x=2\) は区間 \([1,4]\) の中。 \(x=1 \to 2\)　\(x=2 \to 1\)（頂点）　\(x=4 \to 5\) \(x=4\) で最大値 \(5\)、\(x=2\) で最小値 \(1\)
標準（9〜16）　※パターンは自分で判定
9

\(y = x^2 - 2x - 3\)（\(2 \le x \le 4\)）の最大値・最小値を求めよ。

最大値 （\(x=\) ）　最小値 （\(x=\) ）
解説を見る
\(y = (x - 1)^2 - 4\)　軸 \(x=1\) は区間 \([2,4]\) より左側 → 区間内は単調増加。 \(x=2 \to -3\)　\(x=4 \to 5\) \(x=4\) で最大値 \(5\)、\(x=2\) で最小値 \(-3\)
10

\(y = -x^2 + 4x\)（\(1 \le x \le 5\)）の最大値・最小値を求めよ。

最大値 （\(x=\) ）　最小値 （\(x=\) ）
解説を見る
\(y = -(x - 2)^2 + 4\)　軸 \(x=2\) は区間 \([1,5]\) の中（パターンA）。上に凸なので頂点が最大。 \(x=1 \to 3\)　\(x=2 \to 4\)（頂点・最大）　\(x=5 \to -5\) 軸から遠い端点 \(x=5\) が最小。 \(x=2\) で最大値 \(4\)、\(x=5\) で最小値 \(-5\)
11

\(y = 2x^2 - 4x + 3\)（\(0 \le x \le 3\)）の最大値・最小値を求めよ。

最大値 （\(x=\) ）　最小値 （\(x=\) ）
解説を見る
\(y = 2(x - 1)^2 + 1\)　軸 \(x=1\) は区間 \([0,3]\) の中。 \(x=0 \to 3\)　\(x=1 \to 1\)（頂点）　\(x=3 \to 9\) \(x=3\) で最大値 \(9\)、\(x=1\) で最小値 \(1\)
12

\(y = -x^2 + 4x - 1\)（\(3 \le x \le 6\)）の最大値・最小値を求めよ。

最大値 （\(x=\) ）　最小値 （\(x=\) ）
解説を見る
\(y = -(x - 2)^2 + 3\)　軸 \(x=2\) は区間 \([3,6]\) より左側にあるが、上に凸なので頂点より右側は単調減少 → 区間内はずっと減少。 \(x=3 \to 2\)　\(x=6 \to -13\) \(x=3\) で最大値 \(2\)、\(x=6\) で最小値 \(-13\)
13

\(y = x^2 - 6x + 5\)（\(0 \le x \le 4\)）の最大値・最小値を求めよ。

最大値 （\(x=\) ）　最小値 （\(x=\) ）
解説を見る
\(y = (x - 3)^2 - 4\)　軸 \(x=3\) は区間 \([0,4]\) の中。 \(x=0 \to 5\)　\(x=3 \to -4\)（頂点）　\(x=4 \to -3\) 軸から遠いのは \(x=0\) の方なので、最大は \(x=0\)。 \(x=0\) で最大値 \(5\)、\(x=3\) で最小値 \(-4\)
14

\(y = -2x^2 - 4x + 1\)（\(-3 \le x \le 0\)）の最大値・最小値を求めよ。

最大値 （\(x=\) ）　最小値 （\(x=\) ）
解説を見る
\(y = -2(x^2 + 2x) + 1 = -2(x + 1)^2 + 2 + 1 = -2(x + 1)^2 + 3\) 軸 \(x=-1\) は区間 \([-3,0]\) の中。上に凸なので頂点が最大。 \(x=-3 \to -5\)　\(x=-1 \to 3\)（頂点）　\(x=0 \to 1\) \(x=-1\) で最大値 \(3\)、\(x=-3\) で最小値 \(-5\)
15

\(y = \dfrac{1}{2}x^2 - x\)（\(0 \le x \le 4\)）の最大値・最小値を求めよ。

最大値 （\(x=\) ）　最小値 （\(x=\) ）
解説を見る
\(y = \dfrac{1}{2}(x^2 - 2x) = \dfrac{1}{2}(x - 1)^2 - \dfrac{1}{2}\)　軸 \(x=1\) は区間 \([0,4]\) の中。 \(x=0 \to 0\)　\(x=1 \to -\dfrac{1}{2}\)（頂点）　\(x=4 \to 4\) \(x=4\) で最大値 \(4\)、\(x=1\) で最小値 \(-\dfrac{1}{2}\)
16
最大となるxが2つある

\(y = x^2 - 4x + 3\)（\(1 \le x \le 3\)）の最大値・最小値を求めよ。（最大となる \(x\) が2つあるときは「1,3」のようにコンマ区切りで入力）

最大値 （\(x=\) ）　最小値 （\(x=\) ）
解説を見る
\(y = (x - 2)^2 - 1\)　軸 \(x=2\) は区間 \([1,3]\) のちょうど真ん中。 \(x=1 \to 0\)　\(x=2 \to -1\)（頂点）　\(x=3 \to 0\) 両端が軸から同じ距離なので、最大値は両端で同時にとる。 \(x=1,\ 3\) で最大値 \(0\)、\(x=2\) で最小値 \(-1\)
挑戦（17〜20）
17
頂点が区間の端にくる

\(y = x^2 - 4x + 4\)（\(2 \le x \le 5\)）の最大値・最小値を求めよ。

最大値 （\(x=\) ）　最小値 （\(x=\) ）
解説を見る
\(y = (x - 2)^2\)　軸 \(x=2\) は区間の左端ぴったり。区間内は単調増加。 \(x=2 \to 0\)（頂点＝左端）　\(x=5 \to 9\) \(x=5\) で最大値 \(9\)、\(x=2\) で最小値 \(0\)
18
最大値と最小値の差

\(y = x^2 - 2x + 2\)（\(0 \le x \le 3\)）について、最大値と最小値の差を求めよ。

差
解説を見る
\(y = (x - 1)^2 + 1\)　軸 \(x=1\) は区間 \([0,3]\) の中。 \(x=0 \to 2\)　\(x=1 \to 1\)（頂点・最小）　\(x=3 \to 5\)（最大） 差は \(5 - 1 = 4\)。 最大値 \(5\)、最小値 \(1\)、差は \(4\)
19
文章題：面積の最大

周囲の長さが \(20\) の長方形がある。縦の長さを \(x\) とするとき、面積 \(S\) の最大値と、そのときの \(x\) を求めよ。

最大値 \(S=\) 　そのとき \(x=\)
解説を見る
縦 \(x\) なら横は \(10 - x\)（縦＋横＝周囲の半分＝10）。 \(S = x(10 - x) = -x^2 + 10x = -(x - 5)^2 + 25\)（\(0 < x < 10\)） 上に凸で軸 \(x=5\) は範囲の中。 \(x=5\)（正方形）のとき最大値 \(25\)
20
上に凸・値域

\(y = -x^2 + 2x + 3\)（\(0 \le x \le 3\)）の最大値・最小値を求めよ。

最大値 （\(x=\) ）　最小値 （\(x=\) ）
解説を見る
\(y = -(x - 1)^2 + 4\)　軸 \(x=1\) は区間 \([0,3]\) の中。上に凸なので頂点が最大。 \(x=0 \to 3\)　\(x=1 \to 4\)（頂点）　\(x=3 \to 0\) 軸から遠い端点 \(x=3\) が最小。 \(x=1\) で最大値 \(4\)、\(x=3\) で最小値 \(0\)（値域は \(0 \le y \le 4\)）
応用問題（プリント限定）

ここから先はPDF限定の腕試し。置き換えや2変数の条件つき最大最小など、入試の基礎レベルに挑戦しよう。

応1
置き換え型（t=2次式）

\(y = (x^2 - 2x - 2)^2\)（\(-1 \le x \le 3\)）の最大値・最小値を求めよ。

最小値 （そのとき \(x=\) ）　最大値 （そのとき \(x=\) ）
解説を見る
\(t = x^2 - 2x - 2\) とおく（\(x\) の2次式のかたまりをまとめて文字に置き換えるのがコツ）。 \(t = (x - 1)^2 - 3\)、\(x\) の範囲 \(-1 \le x \le 3\) より \(x-1\) の範囲は \(-2 \le x-1 \le 2\)、よって \((x-1)^2\) の範囲は \(0 \le (x-1)^2 \le 4\)。 ゆえに \(t\) の範囲は \(-3 \le t \le 1\)。 もとの式は \(y = t^2\)。\(t\) の範囲 \([-3,\ 1]\) の中に \(t=0\) が含まれるので、 最小値は \(t=0\) のとき \(y=0\)。 \(t\) の絶対値が最大になるのは \(t=-3\) のとき（\(|{-3}|=3 > |1|=1\)）なので、 最大値は \(t=-3\) のとき \(y=9\)。 \(t=0\) となる \(x\)：\(x^2-2x-2=0\) を解くと \(x = 1 \pm \sqrt{3}\)。 \(1+\sqrt{3} \approx 2.73\)、\(1-\sqrt{3}\approx -0.73\) はどちらも範囲 \([-1,3]\) の中にあるので両方とも解。 \(t=-3\) となる \(x\)：\((x-1)^2=0\) より \(x=1\) のみ（ここが \(t\) 自身の最小値の場所なので1点しかない）。 \(x=1\pm\sqrt{3}\) のとき最小値 \(0\)、\(x=1\) のとき最大値 \(9\)
応2
2変数の条件つき最小（1文字消去）

実数 \(x,\ y\) が \(x + y = 4\) を満たすとき、\(x^2 + y^2\) の最小値を求めよ。

最小値 　そのとき \(x=\) 　\(y=\)
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条件 \(x+y=4\) より \(y = 4-x\)。これを代入して1文字（\(x\)だけ）の式にする。 \(x^2+y^2 = x^2+(4-x)^2 = x^2+16-8x+x^2 = 2x^2-8x+16\) \(= 2(x^2-4x)+16 = 2(x-2)^2-8+16 = 2(x-2)^2+8\) \(x\) は実数全体を動けるので範囲の制限はなく、下に凸の頂点がそのまま最小値。 頂点は \(x=2\) のとき最小値 \(8\)。このとき \(y=4-2=2\)。 なお \(a=2 > 0\)（下に凸）なので、\(x\to\pm\infty\) で式はいくらでも大きくなり、最大値は存在しない。 \(x=2,\ y=2\) のとき最小値 \(8\)（最大値なし）
応3
文章題：壁を使った花壇の面積最大

学校の壁を1辺として利用し、残り3辺をフェンスで囲んで長方形の花壇を作る。フェンスの合計の長さが \(24\)m であるとき、花壇の面積 \(S\) の最大値を求めよ。壁と平行な辺の長さを \(y\)m、壁に垂直な辺の長さを \(x\)m とする。

最大値 \(S=\) 　そのとき \(x=\) 　\(y=\)
解説を見る
フェンスを使うのは、壁に垂直な辺2本（長さ \(x\) が2本）と、壁と平行な辺1本（長さ \(y\)）の合計3辺。 \(2x + y = 24\) より \(y = 24-2x\)（\(x>0,\ y>0\) より \(0 < x < 12\)）。 面積 \(S = xy = x(24-2x) = -2x^2+24x\) \(= -2(x^2-12x) = -2(x-6)^2+72\) 上に凸で、頂点の \(x=6\) は範囲 \(0<x<12\) の中にあるので、そのまま最大値。 \(x=6\) のとき \(y=24-12=12\)、\(S=6\times12=72\)。 \(x=6,\ y=12\) のとき面積の最大値 \(72\)
応4
文章題：値下げと売上（頂点が範囲の外）

ある店で1個 \(500\)円の商品を売っている。この商品を1個 \(x\)円値下げすると、1日の販売個数が \((100+2x)\)個になるという。値下げできる範囲を \(0 \le x \le 50\) とするとき、1日の売上金額 \(S\)（円）を最大にする \(x\) の値と、そのときの売上金額を求めよ。

\(x=\) 　売上金額 \(S=\)
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売上金額 ＝ 単価 × 個数 なので \(S = (500-x)(100+2x) = 50000+1000x-100x-2x^2 = -2x^2+900x+50000\) 平方完成すると \(S = -2(x-225)^2+151250\)。頂点の \(x\) 座標は \(225\) だが、これは範囲 \(0 \le x \le 50\) の外（範囲より右側）。 上に凸のグラフで、頂点より左側（\(x<225\)）はずっと増加するので、範囲 \(0 \le x \le 50\) は丸ごと増加区間にあたる。 したがって最大値は範囲の右端 \(x=50\) でとる。 \(x=50\) のとき \(S=(500-50)(100+100)=450\times200=90000\)。 （頂点の \(x=225\) をそのまま答えにするのは誤り。範囲の外かどうかを必ず確認すること。） \(x=50\) 円値下げしたとき、売上金額の最大値 \(90000\)円
応5
2変数の条件つき最大（曲線上の点）

実数 \(x,\ y\) が \(x^2 + y = 9\)、\(x \ge 0\)、\(y \ge 0\) を満たすとき、\(x+y\) の最大値を求めよ。

最大値 　そのとき \(x=\) 　\(y=\)
解説を見る
条件 \(x^2+y=9\) より \(y=9-x^2\)。これを目的の式に代入して \(x\) だけの式にする。 \(y \ge 0\) より \(9-x^2\ge0\)、\(x\ge0\) とあわせて範囲は \(0 \le x \le 3\)。 \(S = x+y = x+(9-x^2) = -x^2+x+9\) \(= -\left(x^2-x\right)+9 = -\left(x-\dfrac{1}{2}\right)^2+\dfrac{1}{4}+9 = -\left(x-\dfrac{1}{2}\right)^2+\dfrac{37}{4}\) 上に凸で、頂点の \(x=\dfrac{1}{2}\) は範囲 \(0\le x\le3\) の中にあるので、そのまま最大値。 \(x=\dfrac{1}{2}\) のとき \(y=9-\dfrac{1}{4}=\dfrac{35}{4}\)。 \(x=\dfrac{1}{2},\ y=\dfrac{35}{4}\) のとき最大値 \(\dfrac{37}{4}\)（\(=9.25\)）