平方完成

解説＋ドリル全20問・自動採点つき

問題プリントPDF 解答つきPDF
STEP 1

平方完成とはなにか

\(y = x^2 + 6x + 7\) のような式（一般形）のままでは、グラフの頂点がどこにあるかひと目ではわからない。これを \(y = a(x-p)^2 + q\) の形（頂点の形）に書きかえれば、頂点の座標が \((p,\ q)\) だと直接読み取れるようになる。この書きかえ作業を平方完成と呼ぶ。

一般形　\(y = ax^2 + bx + c\)　→　平方完成　→　頂点の形　\(y = a(x-p)^2 + q\)（頂点 \((p,\ q)\)）
グラフの形（放物線そのもの）は変わらない。式の見た目を変えて、頂点が読み取れるようにするだけ。

前のページで学んだ「平行移動」の考え方と平方完成はつながっている。\(y=(x-p)^2+q\) は \(y=x^2\) を \(x\) 軸方向に \(p\)、\(y\) 軸方向に \(q\) だけ平行移動したグラフだったね。平方完成は、どんな2次式もこの形に整理して、頂点や最大・最小を扱いやすくするための基本技術。次のページ以降のグラフの描き方や最大・最小の単元でも、平方完成ができることが大前提になる。

STEP 2

\(x^2\) の係数が1のとき（基本の手順）

\(x^2 + bx\) の部分は、\(x\) の係数 \(b\) を半分にして2乗した数を足して引けば、\((x+\square)^2\) の形に変形できる。この「半分にして2乗」がすべての土台になる。

手順1　\(x\) の係数を2で割り、2乗する（例：係数が \(6\) なら \((6\div2)^2=9\)）
手順2　その数を式に足し、同じ数を引く（式全体の値は変わらない）
手順3　\((x+\square)^2\) の形にまとめ、残った定数どうしを合体させる

例題1　\(y = x^2 + 6x + 7\) を平方完成し、頂点を求めよ。

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\(x\) の係数 \(6\) の半分は \(3\)、2乗すると \(9\)。\(9\) を足して引く。 \(y = x^2 + 6x + 9 - 9 + 7\) \(= (x + 3)^2 - 9 + 7\) \(= (x + 3)^2 - 2\) 頂点は \((-3,\ -2)\)

例題2　\(y = x^2 - 4x + 9\) を平方完成し、頂点を求めよ。

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\(x\) の係数 \(-4\) の半分は \(-2\)、2乗すると \(4\)。\(4\) を足して引く。 \(y = x^2 - 4x + 4 - 4 + 9\) \(= (x - 2)^2 - 4 + 9\) \(= (x - 2)^2 + 5\) 頂点は \((2,\ 5)\)
STEP 3

\(x^2\) の係数が1でないとき

\(a \ne 1\) のときは、まず \(x^2\) の項と \(x\) の項を \(a\) でくくり出す。カッコの中だけをSTEP2と同じ手順で平方完成し、最後にカッコの外へ数を分配して整理する。

手順1　\(x^2\) の項と \(x\) の項を \(a\) でくくる：\(y = a\left(x^2 + \dfrac{b}{a}x\right) + c\)
手順2　カッコの中で、\(x\) の係数（\(\dfrac{b}{a}\)）の半分の2乗を足し引きする
手順3　カッコの中を \((x+\square)^2 - \square\) にまとめ、外に出ていた \(a\) を分配してから定数をまとめる

例題1　\(y = 2x^2 - 8x + 5\) を平方完成し、頂点を求めよ。

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\(x^2\) と \(x\) の項を \(2\) でくくる。 \(y = 2(x^2 - 4x) + 5\) カッコの中の \(x\) の係数 \(-4\) の半分は \(-2\)、2乗すると \(4\)。カッコの中で \(4\) を足して引く。 \(y = 2(x^2 - 4x + 4 - 4) + 5\) \(= 2\big((x - 2)^2 - 4\big) + 5\) カッコの外の \(2\) を分配する。 \(= 2(x - 2)^2 - 8 + 5\) \(= 2(x - 2)^2 - 3\) 頂点は \((2,\ -3)\)

例題2　\(y = -3x^2 + 6x - 1\) を平方完成し、頂点を求めよ。

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\(x^2\) と \(x\) の項を \(-3\) でくくる。 \(y = -3(x^2 - 2x) - 1\) カッコの中の \(x\) の係数 \(-2\) の半分は \(-1\)、2乗すると \(1\)。カッコの中で \(1\) を足して引く。 \(y = -3(x^2 - 2x + 1 - 1) - 1\) \(= -3\big((x - 1)^2 - 1\big) - 1\) カッコの外の \(-3\) を分配する。 \(= -3(x - 1)^2 + 3 - 1\) \(= -3(x - 1)^2 + 2\) 頂点は \((1,\ 2)\)
注意　カッコの外に \(a\) を分配するとき、符号ミスが起きやすい。特に \(a\) が負のときは「\(-3\times(-4)=+12\)」のように、符号の変化を1つずつ確認しながら計算しよう。
STEP 4

係数が分数のとき・検算のすすめ

\(x\) の係数が奇数だったり、\(a\) が分数だったりしても、やることはまったく同じ。分数の計算が増えるだけなので、あわてず1行ずつ丁寧に進めよう。仕上げに「展開してもとの式に戻るか」を確かめる検算をすれば、計算ミスにその場で気づける。

例題1　\(y = x^2 + 5x + 2\) を平方完成し、頂点を求めよ。（\(x\) の係数が奇数）

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\(x\) の係数 \(5\) の半分は \(\dfrac{5}{2}\)、2乗すると \(\dfrac{25}{4}\)。これを足して引く。 \(y = x^2 + 5x + \dfrac{25}{4} - \dfrac{25}{4} + 2\) \(= \left(x + \dfrac{5}{2}\right)^2 - \dfrac{25}{4} + \dfrac{8}{4}\) \(= \left(x + \dfrac{5}{2}\right)^2 - \dfrac{17}{4}\) 頂点は \(\left(-\dfrac{5}{2},\ -\dfrac{17}{4}\right)\)

例題2　\(y = \dfrac{1}{2}x^2 + 2x - 1\) を平方完成し、頂点を求めよ。（\(a\) が分数）そのあと検算せよ。

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\(x^2\) と \(x\) の項を \(\dfrac{1}{2}\) でくくる。 \(y = \dfrac{1}{2}(x^2 + 4x) - 1\) カッコの中の \(x\) の係数 \(4\) の半分は \(2\)、2乗すると \(4\)。カッコの中で \(4\) を足して引く。 \(y = \dfrac{1}{2}(x^2 + 4x + 4 - 4) - 1\) \(= \dfrac{1}{2}\big((x + 2)^2 - 4\big) - 1\) \(= \dfrac{1}{2}(x + 2)^2 - 2 - 1\) \(= \dfrac{1}{2}(x + 2)^2 - 3\) 検算：右辺を展開すると \(\dfrac{1}{2}(x + 2)^2 - 3 = \dfrac{1}{2}(x^2 + 4x + 4) - 3 = \dfrac{1}{2}x^2 + 2x + 2 - 3 = \dfrac{1}{2}x^2 + 2x - 1\) たしかにもとの式に戻った。 頂点は \((-2,\ -3)\)（検算OK）
手順1　\(a=1\) ならそのまま、\(a \ne 1\) なら \(x^2\)、\(x\) の項を \(a\) でくくる
↓
手順2　カッコの中（またはそのまま）で、\(x\) の係数を半分にして2乗した数を足し引きする
↓
手順3　\((x+\square)^2\) の形にまとめ、カッコの外の数を分配して定数をまとめる
↓
手順4　展開してもとの式に戻るか検算する（分数のときほど検算が効く）
練習問題（全20問）

平方完成して、頂点の座標を求めよう。\(x\)座標欄と\(y\)座標欄は別々に入力する。分数は「-1/2」のように入力。
わからないときは「解説を見る」で解き方を確認しよう。

基本（1〜8）　※すべて \(a=1\)
1
xの係数・定数項がともに正

\(y = x^2 + 4x + 1\) を平方完成し、頂点の座標を求めよ。

頂点 \(x=\) 　\(y=\)
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係数 \(4\) の半分は \(2\)、2乗すると \(4\)。 \(y = x^2 + 4x + 4 - 4 + 1 = (x + 2)^2 - 3\) 頂点は \((-2,\ -3)\)
2
xの係数が負

\(y = x^2 - 6x + 7\) を平方完成し、頂点の座標を求めよ。

頂点 \(x=\) 　\(y=\)
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係数 \(-6\) の半分は \(-3\)、2乗すると \(9\)。 \(y = x^2 - 6x + 9 - 9 + 7 = (x - 3)^2 - 2\) 頂点は \((3,\ -2)\)
3
定数項が負

\(y = x^2 + 2x - 5\) を平方完成し、頂点の座標を求めよ。

頂点 \(x=\) 　\(y=\)
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係数 \(2\) の半分は \(1\)、2乗すると \(1\)。 \(y = x^2 + 2x + 1 - 1 - 5 = (x + 1)^2 - 6\) 頂点は \((-1,\ -6)\)
4
xの係数が負・絶対値が大きめ

\(y = x^2 - 8x + 10\) を平方完成し、頂点の座標を求めよ。

頂点 \(x=\) 　\(y=\)
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係数 \(-8\) の半分は \(-4\)、2乗すると \(16\)。 \(y = x^2 - 8x + 16 - 16 + 10 = (x - 4)^2 - 6\) 頂点は \((4,\ -6)\)
5
xの係数が大きい

\(y = x^2 + 10x + 21\) を平方完成し、頂点の座標を求めよ。

頂点 \(x=\) 　\(y=\)
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係数 \(10\) の半分は \(5\)、2乗すると \(25\)。 \(y = x^2 + 10x + 25 - 25 + 21 = (x + 5)^2 - 4\) 頂点は \((-5,\ -4)\)
6
定数項が負・xの係数が負

\(y = x^2 - 2x - 8\) を平方完成し、頂点の座標を求めよ。

頂点 \(x=\) 　\(y=\)
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係数 \(-2\) の半分は \(-1\)、2乗すると \(1\)。 \(y = x^2 - 2x + 1 - 1 - 8 = (x - 1)^2 - 9\) 頂点は \((1,\ -9)\)
7
xの係数が正・絶対値が大きめ

\(y = x^2 + 8x + 5\) を平方完成し、頂点の座標を求めよ。

頂点 \(x=\) 　\(y=\)
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係数 \(8\) の半分は \(4\)、2乗すると \(16\)。 \(y = x^2 + 8x + 16 - 16 + 5 = (x + 4)^2 - 11\) 頂点は \((-4,\ -11)\)
8
xの係数が負・絶対値が大きめ

\(y = x^2 - 10x + 20\) を平方完成し、頂点の座標を求めよ。

頂点 \(x=\) 　\(y=\)
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係数 \(-10\) の半分は \(-5\)、2乗すると \(25\)。 \(y = x^2 - 10x + 25 - 25 + 20 = (x - 5)^2 - 5\) 頂点は \((5,\ -5)\)
標準（9〜16）　※ \(a\) が1でない式を含む
9

\(y = 2x^2 - 4x + 7\) を平方完成し、頂点の座標を求めよ。

頂点 \(x=\) 　\(y=\)
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\(y = 2(x^2 - 2x) + 7 = 2(x^2 - 2x + 1 - 1) + 7 = 2(x - 1)^2 - 2 + 7 = 2(x - 1)^2 + 5\) 頂点は \((1,\ 5)\)
10

\(y = -x^2 + 4x - 1\) を平方完成し、頂点の座標を求めよ。

頂点 \(x=\) 　\(y=\)
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\(y = -(x^2 - 4x) - 1 = -(x^2 - 4x + 4 - 4) - 1 = -\big((x - 2)^2 - 4\big) - 1 = -(x - 2)^2 + 4 - 1 = -(x - 2)^2 + 3\) 頂点は \((2,\ 3)\)
11

\(y = -2x^2 - 8x - 5\) を平方完成し、頂点の座標を求めよ。

頂点 \(x=\) 　\(y=\)
解説を見る
\(y = -2(x^2 + 4x) - 5 = -2(x^2 + 4x + 4 - 4) - 5 = -2\big((x + 2)^2 - 4\big) - 5 = -2(x + 2)^2 + 8 - 5 = -2(x + 2)^2 + 3\) 頂点は \((-2,\ 3)\)
12

\(y = 3x^2 - 6x + 4\) を平方完成し、頂点の座標を求めよ。

頂点 \(x=\) 　\(y=\)
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\(y = 3(x^2 - 2x) + 4 = 3(x^2 - 2x + 1 - 1) + 4 = 3(x - 1)^2 - 3 + 4 = 3(x - 1)^2 + 1\) 頂点は \((1,\ 1)\)
13

\(y = 2x^2 + 12x + 13\) を平方完成し、頂点の座標を求めよ。

頂点 \(x=\) 　\(y=\)
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\(y = 2(x^2 + 6x) + 13 = 2(x^2 + 6x + 9 - 9) + 13 = 2(x + 3)^2 - 18 + 13 = 2(x + 3)^2 - 5\) 頂点は \((-3,\ -5)\)
14

\(y = -3x^2 + 12x - 7\) を平方完成し、頂点の座標を求めよ。

頂点 \(x=\) 　\(y=\)
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\(y = -3(x^2 - 4x) - 7 = -3(x^2 - 4x + 4 - 4) - 7 = -3\big((x - 2)^2 - 4\big) - 7 = -3(x - 2)^2 + 12 - 7 = -3(x - 2)^2 + 5\) 頂点は \((2,\ 5)\)
15

\(y = -x^2 - 2x + 4\) を平方完成し、頂点の座標を求めよ。

頂点 \(x=\) 　\(y=\)
解説を見る
\(y = -(x^2 + 2x) + 4 = -(x^2 + 2x + 1 - 1) + 4 = -\big((x + 1)^2 - 1\big) + 4 = -(x + 1)^2 + 1 + 4 = -(x + 1)^2 + 5\) 頂点は \((-1,\ 5)\)
16
a、頂点のx、yの3つを答える

\(y = 2x^2 - 12x + 19\) を \(y = a(x-p)^2+q\) の形に平方完成し、\(a\)・頂点の \(x\) 座標・\(y\) 座標を求めよ。

\(a=\) 　頂点 \(x=\) 　\(y=\)
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\(y = 2(x^2 - 6x) + 19 = 2(x^2 - 6x + 9 - 9) + 19 = 2(x - 3)^2 - 18 + 19 = 2(x - 3)^2 + 1\) \(a=2\)、頂点は \((3,\ 1)\)
挑戦（17〜20）
17
aが分数

\(y = \dfrac{1}{2}x^2 - 3x + 1\) を平方完成し、頂点の座標を求めよ。

頂点 \(x=\) 　\(y=\)
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\(y = \dfrac{1}{2}(x^2 - 6x) + 1 = \dfrac{1}{2}(x^2 - 6x + 9 - 9) + 1 = \dfrac{1}{2}\big((x - 3)^2 - 9\big) + 1 = \dfrac{1}{2}(x - 3)^2 - \dfrac{9}{2} + \dfrac{2}{2} = \dfrac{1}{2}(x - 3)^2 - \dfrac{7}{2}\) 頂点は \(\left(3,\ -\dfrac{7}{2}\right)\)
18
xの係数が奇数

\(y = x^2 + 3x + 1\) を平方完成し、頂点の座標を求めよ。

頂点 \(x=\) 　\(y=\)
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係数 \(3\) の半分は \(\dfrac{3}{2}\)、2乗すると \(\dfrac{9}{4}\)。 \(y = x^2 + 3x + \dfrac{9}{4} - \dfrac{9}{4} + 1 = \left(x + \dfrac{3}{2}\right)^2 - \dfrac{9}{4} + \dfrac{4}{4} = \left(x + \dfrac{3}{2}\right)^2 - \dfrac{5}{4}\) 頂点は \(\left(-\dfrac{3}{2},\ -\dfrac{5}{4}\right)\)
19
aが1でなく、xの係数も分数になる

\(y = 2x^2 + 3x - 1\) を平方完成し、頂点の座標を求めよ。

頂点 \(x=\) 　\(y=\)
解説を見る
\(y = 2\left(x^2 + \dfrac{3}{2}x\right) - 1\)　カッコの中の係数 \(\dfrac{3}{2}\) の半分は \(\dfrac{3}{4}\)、2乗すると \(\dfrac{9}{16}\)。 \(y = 2\left(x^2 + \dfrac{3}{2}x + \dfrac{9}{16} - \dfrac{9}{16}\right) - 1 = 2\left(\left(x + \dfrac{3}{4}\right)^2 - \dfrac{9}{16}\right) - 1 = 2\left(x + \dfrac{3}{4}\right)^2 - \dfrac{9}{8} - \dfrac{8}{8} = 2\left(x + \dfrac{3}{4}\right)^2 - \dfrac{17}{8}\) 頂点は \(\left(-\dfrac{3}{4},\ -\dfrac{17}{8}\right)\)
20
xの係数が奇数・上に凸

\(y = -x^2 + 5x - 3\) を平方完成し、頂点の座標を求めよ。

頂点 \(x=\) 　\(y=\)
解説を見る
\(y = -(x^2 - 5x) - 3\)　カッコの中の係数 \(-5\) の半分は \(-\dfrac{5}{2}\)、2乗すると \(\dfrac{25}{4}\)。 \(y = -\left(x^2 - 5x + \dfrac{25}{4} - \dfrac{25}{4}\right) - 3 = -\left(\left(x - \dfrac{5}{2}\right)^2 - \dfrac{25}{4}\right) - 3 = -\left(x - \dfrac{5}{2}\right)^2 + \dfrac{25}{4} - \dfrac{12}{4} = -\left(x - \dfrac{5}{2}\right)^2 + \dfrac{13}{4}\) 頂点は \(\left(\dfrac{5}{2},\ \dfrac{13}{4}\right)\)
応用問題（プリント限定）

ここから先はPDF限定の腕試し。教科書章末〜入試基礎レベルに挑戦しよう。

応1
小数の係数

\(y = 0.1x^2 - x + 3\) を平方完成し、頂点の座標を求めよ。

頂点 \(x=\) 　\(y=\)
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\(x^2\) の係数が \(0.1\)（\(=\dfrac{1}{10}\)）なので、まず \(x^2\) と \(x\) の項を \(0.1\) でくくる。 \(y = 0.1(x^2 - 10x) + 3\) カッコの中の \(x\) の係数 \(-10\) の半分は \(-5\)、2乗すると \(25\)。カッコの中で \(25\) を足して引く。 \(y = 0.1(x^2 - 10x + 25 - 25) + 3\) \(= 0.1\big((x - 5)^2 - 25\big) + 3\) カッコの外の \(0.1\) を分配する。 \(= 0.1(x - 5)^2 - 2.5 + 3\) \(= 0.1(x - 5)^2 + 0.5\) 頂点は \((5,\ 0.5)\)
応2
小数の定数項×分数になるxの係数

\(y = 2x^2 - 3x + 0.5\) を平方完成し、頂点の座標を求めよ。

頂点 \(x=\) 　\(y=\)
解説を見る
\(x^2\) の係数 \(2\) で、まず \(x^2\) と \(x\) の項をくくる。 \(y = 2(x^2 - 1.5x) + 0.5\) カッコの中の \(x\) の係数 \(-1.5\)（\(=-\dfrac{3}{2}\)）の半分は \(-0.75\)（\(=-\dfrac{3}{4}\)）、2乗すると \(0.5625\)（\(=\dfrac{9}{16}\)）。カッコの中でこの数を足して引く。 \(y = 2(x^2 - 1.5x + 0.5625 - 0.5625) + 0.5\) \(= 2\big((x - 0.75)^2 - 0.5625\big) + 0.5\) カッコの外の \(2\) を分配する。 \(= 2(x - 0.75)^2 - 1.125 + 0.5\) \(= 2(x - 0.75)^2 - 0.625\) 頂点は \((0.75,\ -0.625) = \left(\dfrac{3}{4},\ -\dfrac{5}{8}\right)\)
応3
文字係数（パラメータ）を含む式

\(k\) を実数の定数とする。2次関数 \(y = x^2 + 2kx + 3\) を平方完成し、\(y\) の最小値を \(k\) を用いて表せ。また、そのときの \(x\) の値も \(k\) を用いて表せ。（式が答えなので入力欄はなし。解説で確認しよう）

解説を見る
\(x\) の係数 \(2k\) の半分は \(k\)、2乗すると \(k^2\)。これを足して引く。 \(y = x^2 + 2kx + k^2 - k^2 + 3\) \(= (x + k)^2 - k^2 + 3\) \(x^2\) の係数は \(1\)（正）なので、このグラフは下に凸。よって頂点で \(y\) は最小値をとる。頂点の \(x\) 座標は \(-k\)、\(y\) 座標は \(3 - k^2\)。 \(x = -k\) のとき最小値 \(3 - k^2\) をとる
応4
2数の和が一定のときの2乗の和の最小値（2変数を1変数に置き換える）

\(x + y = 10\) を満たす実数 \(x,\ y\) について、\(x^2 + y^2\) の最小値を求めよ。またそのときの \(x\) の値を求めよ（対称性より \(y\) も同じ値になる）。

最小値 　そのときの \(x=\)
解説を見る
\(x + y = 10\) より \(y = 10 - x\)。これを \(x^2 + y^2\) に代入し、1文字の式にする。 \(x^2 + y^2 = x^2 + (10 - x)^2\) \(= x^2 + 100 - 20x + x^2\) \(= 2x^2 - 20x + 100\) \(x^2\) と \(x\) の項を \(2\) でくくる。 \(= 2(x^2 - 10x) + 100\) \(x\) の係数 \(-10\) の半分は \(-5\)、2乗すると \(25\)。カッコの中で足して引く。 \(= 2(x^2 - 10x + 25 - 25) + 100\) \(= 2\big((x - 5)^2 - 25\big) + 100\) \(= 2(x - 5)^2 - 50 + 100\) \(= 2(x - 5)^2 + 50\) \(x^2\) の係数 \(2\) は正なので下に凸。よって \(x = 5\) のとき最小値 \(50\) をとる。このとき \(y = 10 - 5 = 5\)。 \(x = 5,\ y = 5\) のとき最小値 \(50\)
応5
周の長さが一定の長方形の面積の最大値（文章題）

周の長さが \(24\ \mathrm{cm}\) の長方形がある。縦の長さを \(x\ \mathrm{cm}\)（ただし \(0 < x < 12\)）として、面積 \(S\) を \(x\) の式で表し、平方完成して \(S\) の最大値を求めよ。またそのときの縦の長さを求めよ。

面積の最大値 \(\mathrm{cm^2}\)　縦の長さ \(\mathrm{cm}\)
解説を見る
縦の長さが \(x\ \mathrm{cm}\) のとき、周の長さが \(24\ \mathrm{cm}\) なので、縦＋横 \(= 12\)、よって横の長さは \(12 - x\ \mathrm{cm}\)。面積 \(S\) を \(x\) の式にする。 \(S = x(12 - x)\) \(= -x^2 + 12x\) \(x^2\) の項をまとめるため \(-1\) でくくる。 \(= -(x^2 - 12x)\) \(x\) の係数 \(-12\) の半分は \(-6\)、2乗すると \(36\)。カッコの中で足して引く。 \(= -(x^2 - 12x + 36 - 36)\) \(= -\big((x - 6)^2 - 36\big)\) \(= -(x - 6)^2 + 36\) \(x^2\) の係数が負なので上に凸。よって \(x = 6\) のとき最大値 \(36\) をとる。このとき横の長さは \(12 - 6 = 6\)、つまり縦・横ともに \(6\ \mathrm{cm}\) の正方形になる。 縦 \(6\ \mathrm{cm}\)・横 \(6\ \mathrm{cm}\) の正方形のとき最大値 \(36\ \mathrm{cm^2}\)