2次不等式｜数I 2次関数

STEP 1

2次不等式はグラフで考える

2次不等式とは \(x^2 - 4x + 3 > 0\) のように、2次式の値が正・負・0以上・0以下…になる \(x\) の範囲を求める問題。ポイントはただ1つ、「不等式を解く」のではなく「グラフがx軸より上か下かを読む」と考えること。

大原則　2次不等式 \(f(x) > 0\) の解は、\(y = f(x)\) のグラフを描いたとき「グラフがx軸より上にあるxの範囲」。同じように \(f(x) < 0\) なら「グラフがx軸より下にあるxの範囲」を読み取ればよい。

例題1　\(x^2 - 4x + 3 > 0\) を解け。

解答を見る

左辺を因数分解する。積が3・和が-4になる2数は -1 と -3 なので \(x^2 - 4x + 3 = (x - 1)(x - 3)\) \(y = (x-1)(x-3)\) のグラフは下に凸で、\(x\) 軸との交点は \(x=1,\ 3\)。グラフは交点の間（\(1 < x < 3\)）でx軸より下、交点の外側（\(x < 1\) または \(3 < x\)）でx軸より上になる。試しに \(x=0\) を代入すると \(y=3>0\)（外側は正）、\(x=2\) を代入すると \(y=-1<0\)（内側は負）で確認できる。求めるのは \(y>0\) の範囲だから、外側を答える。 \(x < 1\) または \(3 < x\)

STEP 2

D>0のとき：外側型と内側型

2次方程式 \(ax^2+bx+c=0\)（\(a>0\)）が異なる2つの実数解 \(\alpha, \beta\)（\(\alpha < \beta\)）を持つとき（つまり判別式 \(D=b^2-4ac>0\) のとき）、グラフは \(x=\alpha,\ \beta\) でx軸と交わり、その間だけ下に潜る。だから2次不等式の解は必ず「外側型」か「内側型」のどちらかになる。

外側型　\((x-\alpha)(x-\beta) > 0\)
解は \(x < \alpha\) または \(\beta < x\)
（グラフが交点の外側でx軸より上）

内側型　\((x-\alpha)(x-\beta) < 0\)
解は \(\alpha < x < \beta\)
（グラフが交点の内側でx軸より下）

例題2　\(x^2 - x - 6 > 0\) を解け。

解答を見る

積が-6・和が-1になる2数は -3 と 2 なので \(x^2 - x - 6 = (x - 3)(x + 2)\) \(x=-2,\ 3\) がx軸との交点。求めるのは \(y>0\)（グラフが上）なので外側型。 \(x < -2\) または \(3 < x\)

例題3　\(x^2 - x - 6 < 0\) を解け。

解答を見る

因数分解は例題2と同じで \(x^2 - x - 6 = (x - 3)(x + 2)\)、交点は \(x=-2,\ 3\)。今度は \(y<0\)（グラフが下）なので内側型。 \(-2 < x < 3\)

等号がつくとき　\(\ge, \le\) では境界の値も解に含める。上の例で言えば \(x^2-x-6 \ge 0\) の解は \(x \le -2\) または \(3 \le x\)、\(x^2-x-6 \le 0\) の解は \(-2 \le x \le 3\)。不等号に等号がついているかどうかを必ず最後に確認しよう。

STEP 3

D=0・D<0のとき：交点が1つ or 0個

判別式が \(D=0\) だとグラフはx軸に頂点だけで接し、\(D<0\) だとグラフはx軸とまったく交わらない。この2つのケースは「外側型・内側型」のパターンに当てはまらないので別枠で覚えておく。

D=0：頂点だけがx軸に触れる

例題4　\(x^2 - 4x + 4 > 0\) を解け。

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\(x^2-4x+4 = (x-2)^2\) 2乗の形は常に0以上で、0になるのは \(x=2\) のときだけ。よって \(x=2\) 以外はすべて正。 \(x=2\) を除くすべての実数

例題5　\(x^2 - 4x + 4 \le 0\) を解け。

解答を見る

同じく \((x-2)^2 \le 0\)。2乗の形は常に0以上なので、0以下になるのは \((x-2)^2=0\) のとき、つまり \(x=2\) のときだけ。 \(x=2\) のみ

D<0：グラフがx軸に触れない

例題6　\(x^2 + 1 > 0\) を解け。

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\(x^2 \ge 0\) より \(x^2+1 \ge 1 > 0\)。これはどんな \(x\) でも成り立つ。すべての実数

例題7　\(x^2 + 1 < 0\) を解け。

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\(x^2+1 \ge 1 > 0\) がどんな \(x\) でも成り立つので、\(x^2+1<0\) になることは決してない。解なし

D=0（\((x-\alpha)^2\) の形）
\(>0\)：\(x=\alpha\)を除くすべての実数
\(\ge0\)：すべての実数
\(<0\)：解なし
\(\le0\)：\(x=\alpha\)のみ

D<0（軸と交わらない）
\(>0\)：すべての実数（\(a>0\)のとき）
\(\ge0\)：すべての実数
\(<0\)：解なし
\(\le0\)：解なし

STEP 4

解き方の流れ（まとめ）

手順1　右辺を0に移項して「（2次式）記号 0」の形にする

↓

手順2　左辺を \(y=\)（2次関数）とみて、そのグラフをイメージする（因数分解 or 判別式）

↓

手順3　グラフとx軸との交点（2次方程式の解）を求める

↓

手順4　グラフがx軸の上か下かを読み取り、不等号の向きに合う \(x\) の範囲を書く（等号の有無も忘れずに）

注意（\(x^2\)の係数が負のとき）　左辺の \(x^2\) の係数が負だと、グラフの向きを勘違いしやすい。そんなときは両辺に \(-1\) を掛けて係数を正にすると考えやすくなる。ただし不等号の向きが反転することを絶対に忘れずに。
例　\(-x^2 + 2x + 3 > 0\)　→　両辺に \(-1\) を掛けると　\(x^2 - 2x - 3 < 0\)（不等号が反転） →　\((x-3)(x+1) < 0\)　→　\(-1 < x < 3\)

練習問題（全18問）

答え（境界の値）を入力して「採点」を押すと○×が出るぞ。分数は「-1/2」のように入力。
わからないときは「解説を見る」で解き方を確認しよう。

基本（1〜7）

外側型

\(x^2 - 5x + 6 > 0\) を解け。解は \(x < \text{ア}\) または \(\text{イ} < x\) の形になる。

ア＝　イ＝

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積が6・和が-5になる2数は -2 と -3 なので \(x^2-5x+6=(x-2)(x-3)\)。交点は \(x=2,\ 3\)。\(y>0\)（グラフが上）なので外側型。 \(x < 2\) または \(3 < x\)

内側型

\(x^2 - 5x + 6 < 0\) を解け。解は \(\text{ウ} < x < \text{エ}\) の形になる。

ウ＝　エ＝

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因数分解は問1と同じで \(x^2-5x+6=(x-2)(x-3)\)、交点は \(x=2,\ 3\)。今度は \(y<0\)（グラフが下）なので内側型。 \(2 < x < 3\)

外側型

\(x^2 + x - 12 > 0\) を解け。解は \(x < \text{ア}\) または \(\text{イ} < x\) の形になる。

ア＝　イ＝

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積が-12・和が1になる2数は 4 と -3 なので \(x^2+x-12=(x+4)(x-3)\)。交点は \(x=-4,\ 3\)。\(y>0\)なので外側型。 \(x < -4\) または \(3 < x\)

内側型

\(x^2 + x - 12 < 0\) を解け。解は \(\text{ウ} < x < \text{エ}\) の形になる。

ウ＝　エ＝

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因数分解は問3と同じで \(x^2+x-12=(x+4)(x-3)\)、交点は \(x=-4,\ 3\)。 \(y<0\)なので内側型。 \(-4 < x < 3\)

外側型・等号つき

\(x^2 - 9 \ge 0\) を解け。解は \(x \le \text{ア}\) または \(\text{イ} \le x\) の形になる。

ア＝　イ＝

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\(x^2-9=(x-3)(x+3)\)。交点は \(x=-3,\ 3\)。\(y \ge 0\)（等号つき）なので境界を含む外側型。 \(x \le -3\) または \(3 \le x\)

内側型・等号つき

\(x^2 - 9 \le 0\) を解け。解は \(\text{ウ} \le x \le \text{エ}\) の形になる。

ウ＝　エ＝

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因数分解は問5と同じで \(x^2-9=(x-3)(x+3)\)、交点は \(x=-3,\ 3\)。 \(y \le 0\)（等号つき）なので境界を含む内側型。 \(-3 \le x \le 3\)

外側型

\(x^2 - 2x - 8 > 0\) を解け。解は \(x < \text{ア}\) または \(\text{イ} < x\) の形になる。

ア＝　イ＝

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積が-8・和が-2になる2数は -4 と 2 なので \(x^2-2x-8=(x-4)(x+2)\)。交点は \(x=-2,\ 4\)。\(y>0\)なので外側型。 \(x < -2\) または \(4 < x\)

標準（8〜14）　※パターンは自分で判定

係数が1でない・外側型

\(2x^2 - 3x - 2 > 0\) を解け。解は \(x < \text{ア}\) または \(\text{イ} < x\) の形になる（アは分数でよい）。

ア＝　イ＝

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\(2x^2-3x-2=(2x+1)(x-2)\)（展開すると \(2x^2-4x+x-2=2x^2-3x-2\) で一致を確認できる）。 \(2x+1=0\) より \(x=-\dfrac{1}{2}\)、\(x-2=0\) より \(x=2\)。交点は \(x=-\dfrac{1}{2},\ 2\)。 \(a=2>0\)、\(y>0\)なので外側型。 \(x < -\dfrac{1}{2}\) または \(2 < x\)

係数が1でない・内側型

\(2x^2 + x - 3 < 0\) を解け。解は \(\text{ウ} < x < \text{エ}\) の形になる（ウは分数でよい）。

ウ＝　エ＝

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\(2x^2+x-3=(2x+3)(x-1)\)（展開すると \(2x^2-2x+3x-3=2x^2+x-3\) で一致を確認できる）。 \(2x+3=0\) より \(x=-\dfrac{3}{2}\)、\(x-1=0\) より \(x=1\)。交点は \(x=-\dfrac{3}{2},\ 1\)。 \(a=2>0\)、\(y<0\)なので内側型。 \(-\dfrac{3}{2} < x < 1\)

\(x^2\) の係数が負・内側型

\(-x^2 + 3x + 4 > 0\) を解け。解は \(\text{ウ} < x < \text{エ}\) の形になる。

ウ＝　エ＝

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両辺に \(-1\) を掛けて（不等号が反転）\(x^2 - 3x - 4 < 0\)。 \(x^2-3x-4=(x-4)(x+1)\)。交点は \(x=-1,\ 4\)。 \(y<0\)（反転後）なので内側型。 \(-1 < x < 4\)

\(x^2\) の係数が負・外側型

\(-x^2 + x + 6 < 0\) を解け。解は \(x < \text{ア}\) または \(\text{イ} < x\) の形になる。

ア＝　イ＝

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両辺に \(-1\) を掛けて（不等号が反転）\(x^2 - x - 6 > 0\)。 \(x^2-x-6=(x-3)(x+2)\)。交点は \(x=-2,\ 3\)。 \(y>0\)（反転後）なので外側型。 \(x < -2\) または \(3 < x\)

D=0型

\(x^2 - 6x + 9 > 0\) を解け。解は「\(x = \text{カ}\) を除くすべての実数」の形になる。

カ＝

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\(x^2-6x+9=(x-3)^2\)。2乗の形は常に0以上で、0になるのは \(x=3\) のときだけ。よって \(x=3\) 以外はすべて正になる。 \(x=3\) を除くすべての実数

D<0型・解なし

\(x^2 + 4x + 5 < 0\) を解け。解がない場合は「解なし」と入力せよ。

解＝

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平方完成すると \(x^2+4x+5=(x+2)^2+1\)。 \((x+2)^2 \ge 0\) より \((x+2)^2+1 \ge 1 > 0\) がどんな \(x\) でも成り立つ。よって0未満になることはない。解なし

係数が1でない・外側型

\(4x^2 - 4x - 3 > 0\) を解け。解は \(x < \text{ア}\) または \(\text{イ} < x\) の形になる（ア・イは分数でよい）。

ア＝　イ＝

解説を見る

\(4x^2-4x-3=(2x-3)(2x+1)\)（展開すると \(4x^2+2x-6x-3=4x^2-4x-3\) で一致を確認できる）。 \(2x-3=0\) より \(x=\dfrac{3}{2}\)、\(2x+1=0\) より \(x=-\dfrac{1}{2}\)。交点は \(x=-\dfrac{1}{2},\ \dfrac{3}{2}\)。 \(a=4>0\)、\(y>0\)なので外側型。 \(x < -\dfrac{1}{2}\) または \(\dfrac{3}{2} < x\)

挑戦（15〜18）

すべての実数xで成り立つ条件

すべての実数 \(x\) について \(x^2 + kx + k + 3 > 0\) が成り立つように、定数 \(k\) の範囲を求めよ。解は \(\text{ク} < k < \text{ケ}\) の形になる（不等式の等号の有無は details で確認）。

ク＝　ケ＝

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左辺を \(y=x^2+kx+(k+3)\) とみると \(a=1>0\)（下に凸）。下に凸の放物線がすべての \(x\) で \(y>0\) になるのは、グラフがx軸と交わらない、つまり判別式 \(D<0\) のとき（\(D=0\) だと接する点で \(y=0\) になり「\(>0\)」を満たさないので除く）。 \(D = k^2 - 4(k+3) = k^2 - 4k - 12\) \(D < 0\) より \(k^2-4k-12<0\)。積が-12・和が-4になる2数は -6 と 2 なので \((k-6)(k+2)<0\)。これは内側型なので \(-2 < k < 6\)（等号は含まない）。 \(-2 < k < 6\)

連立不等式（共通範囲）

連立不等式 \(x^2 - 2x - 8 < 0\) かつ \(x^2 - 6x + 5 > 0\) を解け。共通範囲の端点を入力せよ（不等式の等号の有無は details で確認）。

下端＝　上端＝

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1つ目：\(x^2-2x-8=(x-4)(x+2)\)。交点 \(x=-2,4\)。\(y<0\)なので内側型 → \(-2 < x < 4\)。 2つ目：\(x^2-6x+5=(x-1)(x-5)\)。交点 \(x=1,5\)。\(y>0\)なので外側型 → \(x < 1\) または \(5 < x\)。両方を同時に満たす範囲（共通部分）を数直線で確認する。\(-2 < x < 4\) のうち、\(x < 1\) の部分だけが2つ目の条件も満たす（\(x>5\)の部分は \(-2<x<4\)からはみ出るので使えない）。 \(-2 < x < 1\)

連立不等式（共通範囲）

連立不等式 \(x^2 - 2x - 3 < 0\) かつ \(x^2 - 4x > 0\) を解け。共通範囲の端点を入力せよ（不等式の等号の有無は details で確認）。

下端＝　上端＝

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1つ目：\(x^2-2x-3=(x-3)(x+1)\)。交点 \(x=-1,3\)。\(y<0\)なので内側型 → \(-1 < x < 3\)。 2つ目：\(x^2-4x=x(x-4)\)。交点 \(x=0,4\)。\(y>0\)なので外側型 → \(x < 0\) または \(4 < x\)。共通部分を数直線で確認する。\(-1 < x < 3\) のうち、\(x < 0\) の部分だけが2つ目の条件も満たす（\(x>4\)の部分は\(-1<x<3\)からはみ出るので使えない）。 \(-1 < x < 0\)

連立不等式（境界の扱いに注意）

連立不等式 \(x^2 - 5x + 4 \le 0\) かつ \(x^2 - 2x - 3 > 0\) を解け。共通範囲の端点を入力せよ（不等式の等号の有無は details で確認）。

下端＝　上端＝

解説を見る

1つ目：\(x^2-5x+4=(x-1)(x-4)\)。交点 \(x=1,4\)。\(y \le 0\)（等号つき）なので内側型 → \(1 \le x \le 4\)。 2つ目：\(x^2-2x-3=(x-3)(x+1)\)。交点 \(x=-1,3\)。\(y>0\)（等号なし）なので外側型 → \(x < -1\) または \(3 < x\)。共通部分を数直線で確認する。\(1 \le x \le 4\) のうち、\(3 < x\) の部分だけが2つ目の条件も満たす（\(x<-1\)の部分は\(1\le x\le4\)からはみ出るので使えない）。\(x=3\)自体は2つ目の条件（\(x>3\)）を満たさないので除く。 \(3 < x \le 4\)

応用問題（プリント限定）

ここから先はPDF限定の腕試し。入試の基礎レベルに挑戦しよう。

応1

整数解の個数条件

2次不等式 \(x^2 - 2x - k < 0\) の整数解がちょうど3個であるように、定数 \(k\) の値の範囲を求めよ。範囲は \(\text{ク} < k \le \text{ケ}\) の形になる（等号の有無はdetailsで確認）。

ク＝　ケ＝

解説を見る

左辺を平方完成する。 \(x^2-2x-k < 0\) \(\iff x^2-2x < k\) \(\iff (x-1)^2 - 1 < k\) \(\iff (x-1)^2 < k+1\) 右辺が正でないと解は存在しない（左辺は常に0以上）ので \(k+1>0\)、すなわち \(k>-1\) の場合のみ考える。このとき \(r=\sqrt{k+1}\)（\(r>0\)）とおくと、解は \(1-r < x < 1+r\) という、\(x=1\) を中心に左右対称な範囲になる。この範囲に含まれる整数を数える。中心が \(x=1\) なので、まず \(x=1\) 自身は \(r>0\) なら必ず含まれる。 \(x=0\) が含まれる条件は \(1-r < 0\)、つまり \(r>1\)。同じ対称性から \(x=2\) が含まれる条件も \(r>1\)。 \(x=-1\) が含まれない条件は \(1-r \ge -1\)、つまり \(r \le 2\)。同じ対称性から \(x=3\) が含まれない条件も \(r \le 2\)。以上より、整数解が \(x=0,1,2\) のちょうど3個になるのは \(1 < r \le 2\) のとき（\(r \le 1\) だと\(x=0,2\)が抜け1個以下になり、\(r>2\)だと\(x=-1,3\)も入り5個以上になる）。 \(r^2=k+1\) だから、\(r>1 \iff k+1>1 \iff k>0\)、\(r \le 2 \iff k+1 \le 4 \iff k \le 3\)。 \(0 < k \le 3\)

応2

連立2次不等式（係数が1でない）

連立不等式 \(2x^2 - x - 6 \le 0\) かつ \(x^2 - 3x - 4 > 0\) を解け。共通範囲の下端・上端を入力せよ（不等号の等号の有無はdetailsで確認）。

下端＝　上端＝

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1つ目：\(2x^2-x-6=(2x+3)(x-2)\)（展開すると \(2x^2-4x+3x-6=2x^2-x-6\) で一致を確認できる）。 \(2x+3=0\) より \(x=-\dfrac{3}{2}\)、\(x-2=0\) より \(x=2\)。交点は \(x=-\dfrac{3}{2},\ 2\)。 \(a=2>0\)、\(y \le 0\)（等号つき）なので境界を含む内側型 → \(-\dfrac{3}{2} \le x \le 2\)。 2つ目：\(x^2-3x-4=(x-4)(x+1)\)。交点は \(x=-1,\ 4\)。\(y>0\)（等号なし）なので外側型 → \(x < -1\) または \(4 < x\)。共通部分を数直線で確認する。\(-\dfrac{3}{2} \le x \le 2\) のうち、\(x < -1\) の部分だけが2つ目の条件も満たす（\(x>4\)の部分は\(-\dfrac{3}{2}\le x\le2\)からはみ出るので使えない）。\(x=-1\)自体は2つ目の条件（\(x<-1\)）を満たさないので除く。 \(-\dfrac{3}{2} \le x < -1\)

応3

限られた区間ですべて成り立つ条件

\(-1 \le x \le 2\) の範囲のすべての \(x\) について、不等式 \(x^2 - 2ax + 3a \ge 0\) が成り立つように、定数 \(a\) の値の範囲を求めよ。範囲は \(\text{サ} \le a \le \text{シ}\) の形になる。

サ＝　シ＝

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\(f(x)=x^2-2ax+3a\) とおくと \(a\)（係数の意味の\(a\)ではなく頂点のx座標）ではなく、平方完成すると \(f(x)=(x-a)^2 - a^2 + 3a\) より頂点は \(x=a\)、頂点でのy座標は \(-a^2+3a=3a-a^2\)。下に凸の放物線なので、区間 \([-1,2]\) での最小値がどこで出るかは、頂点 \(x=a\) が区間の左・中・右のどこにあるかで場合分けする。【頂点が区間より左（\(a < -1\)）】区間内では \(f\) は単調増加なので最小は \(x=-1\)。 \(f(-1)=1+2a+3a=1+5a\)。\(1+5a \ge 0 \iff a \ge -\dfrac{1}{5}\)。しかしこの場合分けの前提は \(a<-1\) なので、\(a \ge -\dfrac{1}{5}\) と両立せず、この場合に該当する \(a\) はない。【頂点が区間内（\(-1 \le a \le 2\)）】最小は頂点の値 \(f(a)=3a-a^2\)。 \(3a-a^2 \ge 0 \iff a(3-a) \ge 0 \iff 0 \le a \le 3\)。前提 \(-1 \le a \le 2\) と共通部分をとると \(0 \le a \le 2\)。【頂点が区間より右（\(a > 2\)）】区間内では \(f\) は単調減少なので最小は \(x=2\)。 \(f(2)=4-4a+3a=4-a\)。\(4-a \ge 0 \iff a \le 4\)。前提 \(a>2\) と共通部分をとると \(2 < a \le 4\)。 3つの場合を合わせると、\(a\) の範囲は \(\emptyset \cup [0,2] \cup (2,4] = [0,4]\)。 \(0 \le a \le 4\)

応4

2次方程式の解の配置（グラフで考える）

2次方程式 \(x^2 - 2kx + k + 6 = 0\) が異なる2つの正の解をもつように、定数 \(k\) の値の範囲を求めよ。範囲は \(k > \text{コ}\) の形になる。

コ＝

解説を見る

\(y=x^2-2kx+k+6\) のグラフ（下に凸）が、x軸の正の部分で異なる2点と交わる条件を考える。次の3条件がすべて必要。手順1　異なる2つの実数解をもつ（\(D>0\)） \(\dfrac{D}{4}=k^2-(k+6)=k^2-k-6\) \(k^2-k-6>0 \iff (k-3)(k+2)>0 \iff k<-2\) または \(k>3\) 手順2　頂点のx座標（軸）が正（2つの解の真ん中が正の位置になければ、両方正にはならない）頂点のx座標は平方完成 \(x^2-2kx+k+6=(x-k)^2-k^2+k+6\) より \(x=k\)。よって \(k>0\) 手順3　\(x=0\)での値が正（グラフがx軸の負の側で交わっていないことの確認） \(f(0)=k+6>0 \iff k>-6\) 3つの条件をすべて満たす \(k\) を求める。手順2の \(k>0\) はすでに手順3の \(k>-6\) を含んでいるので、手順1と手順2の共通部分を考えればよい。 \(k>0\) と（\(k<-2\) または \(k>3\)）の共通部分は \(k>3\)。 \(k > 3\)

応5

応用（利益が条件を満たす値上げ幅）

ある商品は現在1個100円で、1日300個売れている。この商品を1円値上げするごとに、1日の販売個数は2個ずつ減ると分かっている。値上げ額を \(x\) 円（\(0 \le x \le 50\)）とするとき、1日の売上金額を30800円以上にするには、値上げ額を何円以上何円以下にすればよいか。

値上げ額は円以上円以下

解説を見る

値上げ後の価格は \(100+x\) 円、販売個数は \(300-2x\) 個だから、売上金額 \(R(x)\) は \(R(x)=(100+x)(300-2x)\) \(=30000-200x+300x-2x^2\) \(=-2x^2+100x+30000\) 条件は \(R(x) \ge 30800\) なので \(-2x^2+100x+30000 \ge 30800\) \(-2x^2+100x-800 \ge 0\) 両辺を \(-2\) で割ると（不等号が反転） \(x^2-50x+400 \le 0\) 左辺を因数分解する。積が400・和が-50になる2数は -10 と -40 なので \(x^2-50x+400=(x-10)(x-40)\) 交点は \(x=10,\ 40\)。\(y \le 0\)（等号つき）なので境界を含む内側型。 \(10 \le x \le 40\)（値上げ額は10円以上40円以下）