グラフを描くために必要な4つの情報
2次関数のグラフ（放物線）は、次の4つの情報がわかれば正確に描くことができる。
1. 凸の向き \(x^2\) の係数 \(a\) の符号（\(a>0\) なら下に凸、\(a<0\) なら上に凸）
2. 頂点 平方完成した形 \(y=a(x-p)^2+q\) の \((p,\ q)\)
3. 軸 頂点を通り、グラフを左右対称に分ける縦の直線 \(x=p\)
4. y切片 グラフと \(y\) 軸との交点。式に \(x=0\) を代入した値 \(y=c\)
2. 頂点 平方完成した形 \(y=a(x-p)^2+q\) の \((p,\ q)\)
3. 軸 頂点を通り、グラフを左右対称に分ける縦の直線 \(x=p\)
4. y切片 グラフと \(y\) 軸との交点。式に \(x=0\) を代入した値 \(y=c\)
この4つがそろえば、頂点を中心に左右対称な曲線を描くだけでグラフが完成する。実際の例で確認しよう。
グラフを描く手順
情報がそろったら、あとは機械的な作業。次の手順どおりに点を打っていけば誰でも正確に描ける。
手順1 式を平方完成して、頂点の座標を求める
↓
手順2 頂点をグラフ用紙に打つ
↓
手順3 \(x=0\) を代入してy切片を求め、点を打つ
↓
手順4 軸に関してy切片と対称な、もう1つの点を打つ
↓
手順5 3点を、頂点を折り返し地点になめらかな曲線で結ぶ
例題1 \(y = x^2 - 4x + 3\) のグラフを描け。
解答を見る
手順1 平方完成する。\(y=(x-2)^2-1\) 頂点は \((2,\ -1)\)、軸は \(x=2\)。
手順2 頂点 \((2,\ -1)\) を打つ。
手順3 \(x=0\) を代入すると \(y=3\)。y切片 \((0,\ 3)\) を打つ。
手順4 軸 \(x=2\) に関して \((0,\ 3)\) と対称な点は、頂点からの距離が同じで反対側の \((4,\ 3)\)。
手順5 この3点をなめらかな曲線で結ぶ。
頂点(2, −1)・y切片(0, 3)・対称点(4, 3) を通る下に凸の放物線
x軸との交点も調べよう
グラフをより正確に描くには、\(x\) 軸との交点（\(y=0\) となる \(x\) の値）も押さえておきたい。因数分解できれば一瞬でわかる。
例題2 \(y = x^2 - 4x + 3\) と \(x\) 軸との交点を求めよ。
解答を見る
\(y=0\) とおくと \(x^2-4x+3=0\)
左辺を因数分解すると \((x-1)(x-3)=0\)
よって \(x=1,\ 3\)
x軸との交点は \((1,\ 0)\)、\((3,\ 0)\)
因数分解できないとき 解の公式 \(x=\dfrac{-b\pm\sqrt{b^2-4ac}}{2a}\) を使う。ルートの中身（判別式 \(b^2-4ac\)）が負なら、\(x\) 軸との交点は存在しない（グラフは \(x\) 軸に触れない）。
上に凸のグラフも同じ手順で描ける
\(a < 0\) のときも、手順はまったく同じ。頂点が「山のてっぺん」になるだけの違いだ。
例題3 \(y = -x^2 + 4x - 3\) のグラフを描き、\(x\) 軸との交点も求めよ。
解答を見る
手順1 平方完成する。\(y=-(x^2-4x)-3=-\{(x-2)^2-4\}-3=-(x-2)^2+4-3=-(x-2)^2+1\) 頂点は \((2,\ 1)\)、軸は \(x=2\)。\(a=-1 < 0\) なので上に凸。
手順2 頂点 \((2,\ 1)\) を打つ。
手順3 \(x=0\) を代入すると \(y=-3\)。y切片 \((0,\ -3)\) を打つ。
手順4 軸 \(x=2\) に関して対称な点は \((4,\ -3)\)。
手順5 頂点を頂点として、山型になめらかに結ぶ。
交点は \(y=0\) とおいて \(-x^2+4x-3=0\)。両辺に \(-1\) をかけて \(x^2-4x+3=0\)、因数分解して \((x-1)(x-3)=0\)。
頂点(2, 1)の上に凸の放物線。x軸との交点は \(x=1,\ 3\)
よくあるミス
1. 凸の向きを忘れる 平方完成したあと \(a\) の符号を確認せず、いつも下に凸で描いてしまう。\(a < 0\) なら必ず上に凸になる。
2. 軸の符号ミス \(y=a(x-p)^2+q\) の軸は \(x=p\)。\(y=-(x-2)^2+1\) を見て「軸は \(x=-2\)」と符号を逆にしてしまう間違いが多い。かっこの中が \(x-p\) の形（\(p\) の前がマイナス）になっているかを必ず確認しよう。
1. 凸の向きを忘れる 平方完成したあと \(a\) の符号を確認せず、いつも下に凸で描いてしまう。\(a < 0\) なら必ず上に凸になる。
2. 軸の符号ミス \(y=a(x-p)^2+q\) の軸は \(x=p\)。\(y=-(x-2)^2+1\) を見て「軸は \(x=-2\)」と符号を逆にしてしまう間違いが多い。かっこの中が \(x-p\) の形（\(p\) の前がマイナス）になっているかを必ず確認しよう。
練習問題（全16問）
答えを入力して「採点」を押すと○×が出るぞ。分数は「-1/2」のように入力。交点がないときは「なし」と入力しよう。
わからないときは「解説を見る」で解き方を確認しよう。
基本（1〜6）
1
下に凸
\(y = x^2 - 2x + 4\) の頂点の座標とy切片を求めよ。
頂点 \(x=\) \(y=\) y切片
解説を見る
\(y=(x-1)^2+3\) 頂点 \((1,\ 3)\)
\(x=0\) を代入すると \(y=4\)
頂点(1, 3)、y切片4
2
下に凸
\(y = x^2 + 6x + 5\) の頂点の座標とy切片を求めよ。
頂点 \(x=\) \(y=\) y切片
解説を見る
\(y=(x+3)^2-4\) 頂点 \((-3,\ -4)\)
\(x=0\) を代入すると \(y=5\)
頂点(-3, -4)、y切片5
3
\(y = x^2 - 8x + 10\) の頂点の座標とy切片を求めよ。
頂点 \(x=\) \(y=\) y切片
解説を見る
\(y=(x-4)^2-6\) 頂点 \((4,\ -6)\)
\(x=0\) を代入すると \(y=10\)
頂点(4, -6)、y切片10
4
aが1でない
\(y = 2x^2 - 4x + 1\) の頂点の座標とy切片を求めよ。
頂点 \(x=\) \(y=\) y切片
解説を見る
\(y=2(x^2-2x)+1=2(x-1)^2-2+1=2(x-1)^2-1\) 頂点 \((1,\ -1)\)
\(x=0\) を代入すると \(y=1\)
頂点(1, -1)、y切片1
5
定数項なし
\(y = x^2 + 4x\) の頂点の座標とy切片を求めよ。
頂点 \(x=\) \(y=\) y切片
解説を見る
\(y=(x+2)^2-4\) 頂点 \((-2,\ -4)\)
\(x=0\) を代入すると \(y=0\)
頂点(-2, -4)、y切片0
6
aが1でない
\(y = 3x^2 - 6x + 5\) の頂点の座標とy切片を求めよ。
頂点 \(x=\) \(y=\) y切片
解説を見る
\(y=3(x^2-2x)+5=3(x-1)^2-3+5=3(x-1)^2+2\) 頂点 \((1,\ 2)\)
\(x=0\) を代入すると \(y=5\)
頂点(1, 2)、y切片5
標準（7〜12）
7
頂点が分数・交点2つ（交点が複数のときはコンマ区切り、ないときは「なし」と入力）
\(y = x^2 - 5x + 6\) の頂点の座標・y切片・\(x\) 軸との交点を求めよ。
頂点 \(x=\) \(y=\) y切片 交点
解説を見る
\(y=\left(x-\dfrac{5}{2}\right)^2-\dfrac{25}{4}+6=\left(x-\dfrac{5}{2}\right)^2-\dfrac{1}{4}\) 頂点 \(\left(\dfrac{5}{2},\ -\dfrac{1}{4}\right)\)
\(x=0\) を代入すると \(y=6\)
\(y=0\) とおくと \(x^2-5x+6=0\)、因数分解して \((x-2)(x-3)=0\)、よって \(x=2,\ 3\)
頂点(5/2, -1/4)、y切片6、交点 x=2, 3
8
\(y = x^2 - x - 6\) の頂点の座標・y切片・\(x\) 軸との交点を求めよ。
頂点 \(x=\) \(y=\) y切片 交点
解説を見る
\(y=\left(x-\dfrac{1}{2}\right)^2-\dfrac{1}{4}-6=\left(x-\dfrac{1}{2}\right)^2-\dfrac{25}{4}\) 頂点 \(\left(\dfrac{1}{2},\ -\dfrac{25}{4}\right)\)
\(x=0\) を代入すると \(y=-6\)
\(y=0\) とおくと \(x^2-x-6=0\)、因数分解して \((x-3)(x+2)=0\)、よって \(x=3,\ -2\)
頂点(1/2, -25/4)、y切片-6、交点 x=3, -2
9
\(y = x^2 + x - 12\) の頂点の座標・y切片・\(x\) 軸との交点を求めよ。
頂点 \(x=\) \(y=\) y切片 交点
解説を見る
\(y=\left(x+\dfrac{1}{2}\right)^2-\dfrac{1}{4}-12=\left(x+\dfrac{1}{2}\right)^2-\dfrac{49}{4}\) 頂点 \(\left(-\dfrac{1}{2},\ -\dfrac{49}{4}\right)\)
\(x=0\) を代入すると \(y=-12\)
\(y=0\) とおくと \(x^2+x-12=0\)、因数分解して \((x+4)(x-3)=0\)、よって \(x=-4,\ 3\)
頂点(-1/2, -49/4)、y切片-12、交点 x=-4, 3
10
aが1でない
\(y = 2x^2 - 8x + 6\) の頂点の座標・y切片・\(x\) 軸との交点を求めよ。
頂点 \(x=\) \(y=\) y切片 交点
解説を見る
\(y=2(x^2-4x)+6=2(x-2)^2-8+6=2(x-2)^2-2\) 頂点 \((2,\ -2)\)
\(x=0\) を代入すると \(y=6\)
\(y=0\) とおくと \(2x^2-8x+6=0\)、両辺を2で割って \(x^2-4x+3=0\)、因数分解して \((x-1)(x-3)=0\)、よって \(x=1,\ 3\)
頂点(2, -2)、y切片6、交点 x=1, 3
11
交点なし
\(y = x^2 - 4x + 5\) の頂点の座標・y切片・\(x\) 軸との交点を求めよ。
頂点 \(x=\) \(y=\) y切片 交点
解説を見る
\(y=(x-2)^2-4+5=(x-2)^2+1\) 頂点 \((2,\ 1)\)
\(x=0\) を代入すると \(y=5\)
判別式は \(b^2-4ac=(-4)^2-4\cdot1\cdot5=16-20=-4<0\)
頂点(2, 1)、y切片5、x軸との交点はなし
12
交点なし
\(y = x^2 + 2x + 3\) の頂点の座標・y切片・\(x\) 軸との交点を求めよ。
頂点 \(x=\) \(y=\) y切片 交点
解説を見る
\(y=(x+1)^2-1+3=(x+1)^2+2\) 頂点 \((-1,\ 2)\)
\(x=0\) を代入すると \(y=3\)
判別式は \(b^2-4ac=2^2-4\cdot1\cdot3=4-12=-8<0\)
頂点(-1, 2)、y切片3、x軸との交点はなし
挑戦（13〜16）
13
上に凸
\(y = -x^2 + 2x + 3\) の頂点の座標・y切片・\(x\) 軸との交点を求めよ。
頂点 \(x=\) \(y=\) y切片 交点
解説を見る
\(y=-(x^2-2x)+3=-\{(x-1)^2-1\}+3=-(x-1)^2+4\) 頂点 \((1,\ 4)\) \(a=-1<0\) なので上に凸。
\(x=0\) を代入すると \(y=3\)
\(y=0\) とおくと \(-x^2+2x+3=0\)、両辺に\(-1\)をかけて \(x^2-2x-3=0\)、因数分解して \((x-3)(x+1)=0\)、よって \(x=3,\ -1\)
頂点(1, 4)（上に凸）、y切片3、交点 x=3, -1
14
頂点が分数
\(y = x^2 - 3x - 4\) の頂点の座標・y切片・\(x\) 軸との交点を求めよ。
頂点 \(x=\) \(y=\) y切片 交点
解説を見る
\(y=\left(x-\dfrac{3}{2}\right)^2-\dfrac{9}{4}-4=\left(x-\dfrac{3}{2}\right)^2-\dfrac{25}{4}\) 頂点 \(\left(\dfrac{3}{2},\ -\dfrac{25}{4}\right)\)
\(x=0\) を代入すると \(y=-4\)
\(y=0\) とおくと \(x^2-3x-4=0\)、因数分解して \((x-4)(x+1)=0\)、よって \(x=4,\ -1\)
頂点(3/2, -25/4)、y切片-4、交点 x=4, -1
15
x軸に接する（交点が1個のときは数値を1つだけ入力）
\(y = x^2 - 6x + 9\) の頂点の座標・y切片・\(x\) 軸との交点を求めよ。
頂点 \(x=\) \(y=\) y切片 交点
解説を見る
\(y=(x-3)^2\) 頂点 \((3,\ 0)\)（頂点がちょうど \(x\) 軸の上にある）
\(x=0\) を代入すると \(y=9\)
\(y=0\) とおくと \((x-3)^2=0\)、よって \(x=3\)（重解）
頂点(3, 0)、y切片9、x軸とは x=3 で接する（交点は1つだけ）
16
交点なしの判別
\(y = x^2 + 2x + 5\) の頂点の座標・y切片・\(x\) 軸との交点を求めよ。
頂点 \(x=\) \(y=\) y切片 交点
解説を見る
\(y=(x+1)^2-1+5=(x+1)^2+4\) 頂点 \((-1,\ 4)\)
\(x=0\) を代入すると \(y=5\)
判別式は \(b^2-4ac=2^2-4\cdot1\cdot5=4-20=-16<0\)
頂点(-1, 4)、y切片5、x軸との交点はなし
応用問題（プリント限定）
ここから先はPDF限定の腕試し。入試の基礎レベルに挑戦しよう。
応1
絶対値つきのグラフ
\(y = |x^2 - 4x + 3|\) のグラフを考える。\(1 \leqq x \leqq 3\) の範囲における、このグラフの最大値を求めよ。
最大値
解説を見る
まず中身の \(y=x^2-4x+3\) を調べる。因数分解すると \((x-1)(x-3)\) なので、\(x=1,\ 3\) で \(0\) になり、\(1 < x < 3\) の間では負の値をとる（下に凸で、2つの交点の間はグラフが \(x\) 軸より下にあるため）。
絶対値をつけると、もとの値が負の部分（\(1 < x < 3\)）だけ符号が反転し、\(x\) 軸の上側に折り返される。つまり \(1 \leqq x \leqq 3\) では
\(y=|x^2-4x+3|=-(x^2-4x+3)=-x^2+4x-3\)
これを平方完成すると \(y=-(x-2)^2+1\)
上に凸の放物線なので、頂点で最大値をとる。頂点は \((2,\ 1)\) で、\(x=2\) はちょうど \(1 \leqq x \leqq 3\) の範囲内にある。
最大値は1（x=2のとき）
応2
絶対値つきのグラフと直線の共有点
\(y = |x^2 - 4x + 3|\) のグラフと直線 \(y=2\) との共有点は何個あるか求めよ。
共有点の個数
解説を見る
応1と同じく、\(x \leqq 1\) または \(x \geqq 3\) の範囲では \(y=x^2-4x+3\)（もとの式のまま）、\(1 < x < 3\) の範囲では \(y=-x^2+4x-3\)（符号反転）となる。それぞれの場合で \(y=2\) との共有点を調べる。
（1）\(x \leqq 1\) または \(x \geqq 3\) のとき
\(x^2-4x+3=2\) より \(x^2-4x+1=0\)
解の公式より \(x=\dfrac{4\pm\sqrt{16-4}}{2}=\dfrac{4\pm2\sqrt3}{2}=2\pm\sqrt3\)
\(\sqrt3 \fallingdotseq 1.73\) なので \(2-\sqrt3 \fallingdotseq 0.27\)（\(x \leqq 1\) を満たす）、\(2+\sqrt3 \fallingdotseq 3.73\)（\(x \geqq 3\) を満たす）
よってこの範囲に2個の解がある。
（2）\(1 < x < 3\) のとき
\(-x^2+4x-3=2\) より \(-x^2+4x-5=0\)、両辺に\(-1\)をかけて \(x^2-4x+5=0\)
判別式は \(b^2-4ac=(-4)^2-4\cdot1\cdot5=16-20=-4 < 0\) なので実数解なし。この範囲に解はない。
（1）（2）を合わせて、共有点は合計2個。
共有点は2個
応3
グラフの形からa・b・cの符号を読み取る
下の図は、ある2次関数 \(y=ax^2+bx+c\) のグラフである。グラフの凸の向き・軸の位置・y切片の位置から、\(a\)・\(b\)・\(c\) の符号をそれぞれ判定せよ（正なら「+」、負なら「-」を入力）。
\(a\) \(b\) \(c\)
解説を見る
1. \(a\) の符号（凸の向き）
グラフは上に凸（山型）なので、\(a < 0\)。
2. \(b\) の符号（軸の位置と\(a\)の符号から判定）
軸の公式は \(x=-\dfrac{b}{2a}\)。図より軸は \(x=1\)（\(0\)より右）なので、\(-\dfrac{b}{2a} > 0\)。
すでに \(a < 0\) とわかっているので \(2a < 0\)。分数全体が正になるには、分子の \(-b\) も負でなければならない（負÷負＝正）。\(-b < 0\) なら \(b > 0\)。
3. \(c\) の符号（y切片）
\(x=0\) を代入すると \(y=c\)。図よりy切片は \(0\) より下（負の値）にあるので、\(c < 0\)。
a は負、b は正、c は負
応4
判別式と範囲（記述問題）
\(y = x^2 - 2kx + k + 6\)（\(k\) は定数）のグラフが \(x\) 軸と共有点を持たないような \(k\) の値の範囲を求めよ。
解説を見る
グラフが \(x\) 軸と共有点を持たない条件は、\(x^2-2kx+k+6=0\) の判別式 \(D\) が \(D < 0\) となることである。
（\(a=1 > 0\) なので下に凸。判別式が負であれば、グラフ全体が \(x\) 軸より上にあり、共有点を持たない）
\(D=(-2k)^2-4\cdot1\cdot(k+6)=4k^2-4k-24\)
\(D < 0\) より \(4k^2-4k-24 < 0\)
両辺を4で割って \(k^2-k-6 < 0\)
左辺を因数分解すると \((k-3)(k+2) < 0\)
よって \(-2 < k < 3\)
kの値の範囲は -2 < k < 3
応5
グラフの情報から式を逆算する
頂点が \((2,\ -3)\) で、点 \((4,\ 5)\) を通る放物線がある。この放物線の式を \(y=ax^2+bx+c\) の形で求めよ。
\(a=\) \(b=\) \(c=\)
解説を見る
頂点が \((2,\ -3)\) とわかっているので、まず頂点形式で式を立てる。
\(y=a(x-2)^2-3\)
この放物線が点 \((4,\ 5)\) を通るので、\(x=4,\ y=5\) を代入する。
\(5=a(4-2)^2-3\)
\(5=4a-3\)
\(4a=8\)
\(a=2\)
よって式は \(y=2(x-2)^2-3\)。これを展開して一般形に直す。
\(y=2(x^2-4x+4)-3=2x^2-8x+8-3=2x^2-8x+5\)
\(y=2x^2-8x+5\)（\(a=2,\ b=-8,\ c=5\)）