この章で学ぶこと
図形と計量は、直角三角形の辺の比として\(\sin,\ \cos,\ \tan\)を定義するところから始まり、その定義を鈍角、さらには三角形全体の計量へと広げていく章である。前章「2次関数」で身につけた「1つの式の中に複数の性質が同居している」という見方は、この章でも三角比の相互関係や正弦定理・余弦定理という形でそのまま生きてくる。大切なのは定義の丸暗記ではなく、直角三角形の辺の比から出発し、座標による拡張を経て、三角形全体の計量（辺・角・面積・外接円・内接円）へとつながる一本の流れを意識して学ぶことである。ここで身につけた考え方は、次章「データの分析」でのグラフの読み取りにも活き、数学IIの「三角関数」ではラジアン（弧度法）や一般角へとさらに広がっていく。
学習の順路
下から順番に読み進めよう。1〜2で「三角比の定義と相互関係」という土台を固め、3で鈍角へと視野を広げ、4〜5で三角形全体の計量（辺・角・面積）へと接続する、という流れになっている。
- 1. 三角比の定義（sin・cos・tan） ― 直角三角形の辺の比として\(\sin,\ \cos,\ \tan\)を定義し、有名角\(30^\circ,\ 45^\circ,\ 60^\circ\)の値と、高さを測る利用法を学ぶ。
- 2. 三角比の相互関係 ― \(\sin^2\theta+\cos^2\theta=1\)などの関係式を使い、1つの値から残り2つの三角比を求める方法を学ぶ。
- 3. 鈍角への拡張（90°−θ・180°−θ） ― 座標を使って定義を\(0^\circ\)〜\(180^\circ\)まで広げ、\(90^\circ-\theta\)・\(180^\circ-\theta\)の公式と三角方程式の解き方を学ぶ。
- 4. 正弦定理・余弦定理 ― 三角形の辺と角を結ぶ2つの定理を学び、与えられた情報に応じてどちらを使うかを判断する。
- 5. 三角形の面積と計量 ― \(\sin\)を使った面積公式、3辺からの面積の求め方、内接円の半径、直方体の対角線までを学ぶ。
要点整理 三角比の定義と相互関係
定義に立ち返れば、相互関係の3つの式はすべて導ける。丸暗記ではなく「なぜその式が成り立つか」を、いつでも自分で再現できるようにしておこう。
定義（直角三角形の辺の比）
\(\sin\theta=\dfrac{\text{対辺}}{\text{斜辺}}\) \(\cos\theta=\dfrac{\text{隣辺}}{\text{斜辺}}\) \(\tan\theta=\dfrac{\text{対辺}}{\text{隣辺}}\)
\(\sin\theta=\dfrac{\text{対辺}}{\text{斜辺}}\) \(\cos\theta=\dfrac{\text{隣辺}}{\text{斜辺}}\) \(\tan\theta=\dfrac{\text{対辺}}{\text{隣辺}}\)
相互関係
(1) \(\sin^2\theta+\cos^2\theta=1\)（三平方の定理から）
(2) \(\tan\theta=\dfrac{\sin\theta}{\cos\theta}\)（定義を代入するだけ）
(3) \(1+\tan^2\theta=\dfrac{1}{\cos^2\theta}\)（(1)を\(\cos^2\theta\)で割る）
(1) \(\sin^2\theta+\cos^2\theta=1\)（三平方の定理から）
(2) \(\tan\theta=\dfrac{\sin\theta}{\cos\theta}\)（定義を代入するだけ）
(3) \(1+\tan^2\theta=\dfrac{1}{\cos^2\theta}\)（(1)を\(\cos^2\theta\)で割る）
\(\sin\theta\)が与えられた
相互関係(1)で\(\cos\theta\)を求める
→相互関係(2)で\(\tan\theta\)
相互関係(1)で\(\cos\theta\)を求める
→相互関係(2)で\(\tan\theta\)
\(\cos\theta\)が与えられた
相互関係(1)で\(\sin\theta\)を求める
→相互関係(2)で\(\tan\theta\)
相互関係(1)で\(\sin\theta\)を求める
→相互関係(2)で\(\tan\theta\)
\(\tan\theta\)が与えられた
相互関係(3)で\(\cos\theta\)を求める
→\(\sin\theta=\tan\theta\times\cos\theta\)
相互関係(3)で\(\cos\theta\)を求める
→\(\sin\theta=\tan\theta\times\cos\theta\)
要点整理 有名角の値の一覧（0°〜180°）
テスト直前はこの表を丸ごと眺めて、値がすぐ出てくるか確認しよう。鈍角側は「符号だけが変わる」ことに注目すると覚えやすい。
| \(\theta\) | \(0^\circ\) | \(30^\circ\) | \(45^\circ\) | \(60^\circ\) | \(90^\circ\) | \(120^\circ\) | \(135^\circ\) | \(150^\circ\) | \(180^\circ\) |
| \(\sin\theta\) | \(0\) | \(\dfrac12\) | \(\dfrac{\sqrt2}{2}\) | \(\dfrac{\sqrt3}{2}\) | \(1\) | \(\dfrac{\sqrt3}{2}\) | \(\dfrac{\sqrt2}{2}\) | \(\dfrac12\) | \(0\) |
| \(\cos\theta\) | \(1\) | \(\dfrac{\sqrt3}{2}\) | \(\dfrac{\sqrt2}{2}\) | \(\dfrac12\) | \(0\) | \(-\dfrac12\) | \(-\dfrac{\sqrt2}{2}\) | \(-\dfrac{\sqrt3}{2}\) | \(-1\) |
| \(\tan\theta\) | \(0\) | \(\dfrac{\sqrt3}{3}\) | \(1\) | \(\sqrt3\) | なし | \(-\sqrt3\) | \(-1\) | \(-\dfrac{\sqrt3}{3}\) | \(0\) |
符号のルール \(\sin\theta\)は\(0^\circ\)〜\(180^\circ\)の全範囲でつねに\(0\)以上。\(\cos\theta,\ \tan\theta\)は\(90^\circ\)を境に符号が反転する（鋭角で正、鈍角で負）。公式で覚えるなら\(\sin(180^\circ-\theta)=\sin\theta\)（符号そのまま）、\(\cos(180^\circ-\theta)=-\cos\theta\)、\(\tan(180^\circ-\theta)=-\tan\theta\)（どちらも符号反転）。
要点整理 正弦定理・余弦定理・面積公式の使い分け
3つの公式は、それぞれ使える場面がはっきり決まっている。「何が分かっていて、何を求めたいか」を最初に整理すれば、迷わず選べる。
2角と1辺（または「1角＋その対辺＋もう1辺」）が分かっている
→正弦定理を使う
\(\dfrac{a}{\sin A}=\dfrac{b}{\sin B}=\dfrac{c}{\sin C}=2R\)
→正弦定理を使う
\(\dfrac{a}{\sin A}=\dfrac{b}{\sin B}=\dfrac{c}{\sin C}=2R\)
2辺とその間の角（または3辺すべて）が分かっている
→余弦定理を使う
\(a^2=b^2+c^2-2bc\cos A\)
→余弦定理を使う
\(a^2=b^2+c^2-2bc\cos A\)
面積公式 \(S=\dfrac{1}{2}ab\sin C\)（2辺とその間の角がわかれば、高さを計算しなくても面積が出せる。角が鈍角でもそのまま使える）
手順1 分かっている情報（辺の長さ・角の大きさ）を整理する
↓
手順2 正弦定理・余弦定理のどちらが使えるか判断する（3辺だけなら余弦定理しか使えない）
↓
手順3 3辺だけの場合は、余弦定理で\(\cos\)→\(\sin=\sqrt{1-\cos^2}\)→面積公式、の2段階で進む
要点整理 内接円・外接円・空間図形への接続
外接円の半径 \(2R=\dfrac{a}{\sin A}=\dfrac{b}{\sin B}=\dfrac{c}{\sin C}\)（正弦定理そのもの）
内接円の半径 面積\(S\)と周の長さがわかれば \(r=\dfrac{2S}{a+b+c}\)
内接円の半径 面積\(S\)と周の長さがわかれば \(r=\dfrac{2S}{a+b+c}\)
直方体の対角線 縦\(a\)・横\(b\)・高さ\(c\)の直方体の対角線の長さは \(d=\sqrt{a^2+b^2+c^2}\)（三平方の定理を2回使うことと同じ）
鋭角・直角・鈍角三角形の見分け方 最も長い辺の対角を\(\theta\)として、余弦定理で\(\cos\theta\)の符号だけ調べればよい。\(\cos\theta>0\)なら鋭角三角形、\(\cos\theta=0\)なら直角三角形、\(\cos\theta<0\)なら鈍角三角形。角度そのものを求める必要はない。
まとめテスト（標準）
この章全体を横断する総合演習、全25問。目標時間は30分。答えを入力して「採点」を押すと○×が出るぞ。分数は「-1/2」、根号は「√3」でも「sqrt3」でもOK。
わからないときは「解説を見る」で解き方を確認しよう。
基本（1〜15）
1
三角比の定義
直角三角形で、隣辺6・対辺8・斜辺10のとき、\(\sin\theta,\ \cos\theta,\ \tan\theta\) を求めよ。
\(\sin\theta=\) \(\cos\theta=\) \(\tan\theta=\)
解説を見る
\(\theta\)から見て、隣辺6・対辺8・斜辺10。定義にそのまま当てはめる。
\(\sin\theta = \dfrac{8}{10}=\dfrac{4}{5}\)、\(\cos\theta = \dfrac{6}{10}=\dfrac{3}{5}\)、\(\tan\theta = \dfrac{8}{6}=\dfrac{4}{3}\)
\(\sin\theta=\dfrac{4}{5},\ \cos\theta=\dfrac{3}{5},\ \tan\theta=\dfrac{4}{3}\)
2
有名角の値
次の値を求めよ。\(\sin60^\circ\)、\(\tan30^\circ\)
\(\sin60^\circ=\) \(\tan30^\circ=\)
解説を見る
有名角の一覧表より、そのまま読み取る。
\(\sin60^\circ=\dfrac{\sqrt3}{2},\ \tan30^\circ=\dfrac{\sqrt3}{3}\)
3
境界の角の値
次の値を求めよ。\(\cos0^\circ\)、\(\sin90^\circ\)
\(\cos0^\circ=\) \(\sin90^\circ=\)
解説を見る
\(\theta=0^\circ\)では点\(P(r,\ 0)\)なので\(\cos0^\circ=\dfrac{r}{r}=1\)。
\(\theta=90^\circ\)では点\(P(0,\ r)\)なので\(\sin90^\circ=\dfrac{r}{r}=1\)。
\(\cos0^\circ=1,\ \sin90^\circ=1\)
4
相互関係：sinθから
\(\theta\)は鋭角とする。\(\sin\theta=\dfrac{8}{17}\) のとき、\(\cos\theta,\ \tan\theta\) を求めよ。
\(\cos\theta=\) \(\tan\theta=\)
解説を見る
\(\cos^2\theta = 1-\left(\dfrac{8}{17}\right)^2 = 1-\dfrac{64}{289} = \dfrac{225}{289}\)
\(\theta\)は鋭角なので\(\cos\theta>0\)、\(\cos\theta=\dfrac{15}{17}\)
\(\tan\theta = \dfrac{8/17}{15/17} = \dfrac{8}{15}\)
\(\cos\theta=\dfrac{15}{17},\ \tan\theta=\dfrac{8}{15}\)
5
相互関係：cosθから
\(\theta\)は鋭角とする。\(\cos\theta=\dfrac{5}{13}\) のとき、\(\sin\theta,\ \tan\theta\) を求めよ。
\(\sin\theta=\) \(\tan\theta=\)
解説を見る
\(\sin^2\theta = 1-\left(\dfrac{5}{13}\right)^2 = 1-\dfrac{25}{169} = \dfrac{144}{169}\)
\(\theta\)は鋭角なので\(\sin\theta>0\)、\(\sin\theta=\dfrac{12}{13}\)
\(\tan\theta = \dfrac{12/13}{5/13} = \dfrac{12}{5}\)
\(\sin\theta=\dfrac{12}{13},\ \tan\theta=\dfrac{12}{5}\)
6
相互関係：tanθから
\(\theta\)は鋭角とする。\(\tan\theta=\dfrac{4}{3}\) のとき、\(\cos\theta,\ \sin\theta\) を求めよ。
\(\cos\theta=\) \(\sin\theta=\)
解説を見る
\(\dfrac{1}{\cos^2\theta} = 1+\left(\dfrac{4}{3}\right)^2 = 1+\dfrac{16}{9} = \dfrac{25}{9}\)、よって\(\cos^2\theta=\dfrac{9}{25}\)
\(\theta\)は鋭角なので\(\cos\theta>0\)、\(\cos\theta=\dfrac{3}{5}\)
\(\sin\theta = \tan\theta\times\cos\theta = \dfrac{4}{3}\times\dfrac{3}{5} = \dfrac{4}{5}\)
\(\cos\theta=\dfrac{3}{5},\ \sin\theta=\dfrac{4}{5}\)
7
鈍角の有名角
次の値を求めよ。\(\sin135^\circ\)、\(\cos150^\circ\)
\(\sin135^\circ=\) \(\cos150^\circ=\)
解説を見る
\(135^\circ=180^\circ-45^\circ\)。公式\(\sin(180^\circ-\theta)=\sin\theta\)より\(\sin135^\circ=\sin45^\circ=\dfrac{\sqrt2}{2}\)。
\(150^\circ=180^\circ-30^\circ\)。公式\(\cos(180^\circ-\theta)=-\cos\theta\)より\(\cos150^\circ=-\cos30^\circ=-\dfrac{\sqrt3}{2}\)。
\(\sin135^\circ=\dfrac{\sqrt2}{2},\ \cos150^\circ=-\dfrac{\sqrt3}{2}\)
8
鈍角の有名角
\(\tan120^\circ\) の値を求めよ。
値
解説を見る
\(120^\circ=180^\circ-60^\circ\)。公式\(\tan(180^\circ-\theta)=-\tan\theta\)より\(\tan120^\circ=-\tan60^\circ\)。
\(\tan120^\circ=-\sqrt3\)
9
90°−θの公式
\(\sin\theta=\dfrac56\) のとき、\(\cos(90^\circ-\theta)\) の値を求めよ。
値
解説を見る
公式\(\cos(90^\circ-\theta)=\sin\theta\)より、そのまま同じ値になる。
\(\cos(90^\circ-\theta)=\dfrac56\)
10
180°−θの公式
\(\cos\theta=\dfrac16\) のとき、\(\cos(180^\circ-\theta)\) の値を求めよ。
値
解説を見る
公式\(\cos(180^\circ-\theta)=-\cos\theta\)に\(\cos\theta=\dfrac16\)を代入する。
\(\cos(180^\circ-\theta)=-\dfrac16\)
11
三角方程式
\(\cos\theta=-\dfrac12\)（\(0^\circ \le \theta \le 180^\circ\)）を満たす\(\theta\)を求めよ。
\(\theta=\)
解説を見る
\(\cos\theta\)が負なので\(\theta\)は鈍角。有名角の表より\(\cos120^\circ=-\dfrac12\)。
\(\cos\theta\)は\(0^\circ\)から\(180^\circ\)まで単調に減少するので、他に解はない。
\(\theta=120^\circ\)
12
正弦定理・外接円の半径
三角形ABCにおいて、\(\angle A=60^\circ\)、\(a=9\) のとき、外接円の半径Rを求めよ。
\(R=\)
解説を見る
\(2R = \dfrac{a}{\sin A} = \dfrac{9}{\sin60^\circ} = \dfrac{9}{\frac{\sqrt3}{2}} = \dfrac{18}{\sqrt3} = \dfrac{18\sqrt3}{3} = 6\sqrt3\)
\(R = 3\sqrt3\)
\(R=3\sqrt3\)
13
余弦定理・辺を求める
三角形ABCにおいて、\(b=6\)、\(c=9\)、\(\angle A=60^\circ\) のとき、辺aの長さを求めよ。
\(a=\)
解説を見る
\(a^2 = 6^2+9^2-2\times6\times9\times\cos60^\circ = 36+81-108\times\dfrac12 = 117-54 = 63\)
\(a=\sqrt{63}=\sqrt{9\times7}=3\sqrt7\)
\(a=3\sqrt7\)
14
余弦定理・角の判定
三角形の3辺が \(6,\ 7,\ 11\) のとき、辺11の対角の余弦の値を求め、この三角形が鋭角三角形・鈍角三角形のいずれか判定せよ。
\(\cos\theta=\) 判定
解説を見る
辺11の対角を\(\theta\)とすると、残り2辺は6と7。
\(\cos\theta = \dfrac{6^2+7^2-11^2}{2\times6\times7} = \dfrac{36+49-121}{84} = \dfrac{-36}{84} = -\dfrac{3}{7}\)
\(\cos\theta=-\dfrac37<0\)なので\(\theta\)は鈍角。最も大きい角が鈍角なので、三角形全体は鈍角三角形。
\(\cos\theta=-\dfrac37\)、鈍角三角形
15
面積公式
三角形ABCにおいて、\(a=8\)、\(b=9\)、\(\angle C=30^\circ\) のとき、面積Sを求めよ。
\(S=\)
解説を見る
\(S = \dfrac12\times8\times9\times\sin30^\circ = 36\times\dfrac12 = 18\)
\(S=18\)
発展（16〜25）
16
2段階（角→半径）
三角形ABCの3辺が \(a=7\)、\(b=5\)、\(c=8\) のとき、\(\angle A\) の大きさと外接円の半径Rを求めよ。
\(\angle A=\) 度 \(R=\)
解説を見る
まず余弦定理で\(\angle A\)を求める。
\(\cos A = \dfrac{b^2+c^2-a^2}{2bc} = \dfrac{5^2+8^2-7^2}{2\times5\times8} = \dfrac{25+64-49}{80} = \dfrac{40}{80} = \dfrac12\)
\(\cos A=\dfrac12\)より\(\angle A=60^\circ\)。
次に正弦定理で外接円の半径を求める。
\(2R = \dfrac{a}{\sin A} = \dfrac{7}{\sin60^\circ} = \dfrac{7}{\frac{\sqrt3}{2}} = \dfrac{14}{\sqrt3} = \dfrac{14\sqrt3}{3}\)
よって\(R=\dfrac{7\sqrt3}{3}\)。
\(\angle A=60^\circ\)、\(R=\dfrac{7\sqrt3}{3}\)
17
文章題：坂道の傾斜角
ある坂道の傾斜角を\(\theta\)とする。この坂道に沿って\(25\)m進むと、水平方向には\(24\)m進んだ。\(\cos\theta,\ \sin\theta,\ \tan\theta\)をそれぞれ求めよ。
\(\cos\theta=\) \(\sin\theta=\) \(\tan\theta=\)
解説を見る
坂道に沿った距離が斜辺、水平方向の距離が隣辺にあたる直角三角形ができる。斜辺\(25\)m、隣辺\(24\)mなので、三平方の定理から対辺（高さ）を求める。
高さを\(h\)とすると\(h^2=25^2-24^2=625-576=49\)、\(h>0\)より\(h=7\)m
定義通りに比を作る。
\(\cos\theta = \dfrac{隣辺}{斜辺} = \dfrac{24}{25}\)
\(\sin\theta = \dfrac{対辺}{斜辺} = \dfrac{7}{25}\)
\(\tan\theta = \dfrac{対辺}{隣辺} = \dfrac{7}{24}\)
検算：\(\sin^2\theta+\cos^2\theta = \dfrac{49}{625}+\dfrac{576}{625}=1\)となり正しい。
\(\cos\theta=\dfrac{24}{25},\ \sin\theta=\dfrac{7}{25},\ \tan\theta=\dfrac{7}{24}\)
18
鈍角＋相互関係
\(\theta\)は\(90^\circ<\theta<180^\circ\)の角とする。\(\tan\theta=-2\)のとき、\(\sin\theta,\ \cos\theta\)を求めよ。
\(\sin\theta=\) \(\cos\theta=\)
解説を見る
相互関係\(1+\tan^2\theta=\dfrac{1}{\cos^2\theta}\)より
\(\dfrac{1}{\cos^2\theta} = 1+(-2)^2 = 1+4 = 5\)、よって\(\cos^2\theta=\dfrac15\)
\(90^\circ<\theta<180^\circ\)（鈍角）なので\(\cos\theta<0\)。
\(\cos\theta = -\sqrt{\dfrac15} = -\dfrac{1}{\sqrt5} = -\dfrac{\sqrt5}{5}\)（分母を有理化した）
\(\sin\theta = \tan\theta\times\cos\theta = (-2)\times\left(-\dfrac{\sqrt5}{5}\right) = \dfrac{2\sqrt5}{5}\)
（\(\sin\theta\)は\(0^\circ\)〜\(180^\circ\)の全範囲で正になるので、この結果は符号としても正しい）
\(\sin\theta=\dfrac{2\sqrt5}{5},\ \cos\theta=-\dfrac{\sqrt5}{5}\)
19
面積から辺を逆算
三角形ABCにおいて、\(b=7\)、\(\angle C=45^\circ\)、面積\(S=14\sqrt2\)のとき、辺aの長さを求めよ。
\(a=\)
解説を見る
\(S=\dfrac12ab\sin C\)に代入する。
\(14\sqrt2 = \dfrac12\times a\times7\times\sin45^\circ = \dfrac{7a}{2}\times\dfrac{\sqrt2}{2} = \dfrac{7a\sqrt2}{4}\)
両辺に\(\dfrac{4}{7\sqrt2}\)を掛けると
\(a = 14\sqrt2\times\dfrac{4}{7\sqrt2} = \dfrac{14\times4}{7} = 8\)
\(a=8\)
20
3辺→面積・内接円の半径（総合）
三角形の3辺が \(7,\ 8,\ 13\) のとき、面積Sと内接円の半径rを求めよ。
\(S=\) \(r=\)
解説を見る
辺7と辺8にはさまれる角（辺13の対角）を\(\theta\)とすると
\(\cos\theta = \dfrac{7^2+8^2-13^2}{2\times7\times8} = \dfrac{49+64-169}{112} = \dfrac{-56}{112} = -\dfrac12\)
\(\cos\theta=-\dfrac12\)より\(\theta=120^\circ\)、\(\sin\theta=\dfrac{\sqrt3}{2}\)。
\(S = \dfrac12\times7\times8\times\dfrac{\sqrt3}{2} = 28\times\dfrac{\sqrt3}{2} = 14\sqrt3\)
周の長さは\(7+8+13=28\)なので
\(r = \dfrac{2S}{a+b+c} = \dfrac{2\times14\sqrt3}{28} = \dfrac{28\sqrt3}{28} = \sqrt3\)
\(S=14\sqrt3\)、\(r=\sqrt3\)
21
直方体の対角線から高さを逆算
縦\(5\)、横\(12\)の直方体があり、対角線の長さが\(15\)であるとき、高さcを求めよ（\(c>0\)）。
\(c=\)
解説を見る
\(15^2 = 5^2+12^2+c^2\)
\(225 = 25+144+c^2 = 169+c^2\)
\(c^2 = 56\)
\(c>0\)より\(c=\sqrt{56}=\sqrt{4\times14}=2\sqrt{14}\)
\(c=2\sqrt{14}\)
22
円に内接する四角形（総合）
円に内接する四角形ABCDにおいて、\(AB=7\)、\(BC=8\)、\(\angle ABC=120^\circ\)、\(CD=15\)、\(DA=8\)とする。対角線ACの長さと、四角形ABCDの面積を求めよ。
\(AC=\) 面積
解説を見る
円に内接する四角形は、向かい合う角の和が\(180^\circ\)。よって\(\angle ADC = 180^\circ-\angle ABC = 180^\circ-120^\circ = 60^\circ\)。
三角形ABCで余弦定理を使い、対角線ACを求める。
\(AC^2 = AB^2+BC^2-2\times AB\times BC\times\cos120^\circ = 7^2+8^2-2\times7\times8\times\left(-\dfrac12\right) = 49+64+56 = 169\)
\(AC=\sqrt{169}=13\)。
（確かめ）三角形ACDでも同じACが出るか検算する。\(\angle ADC=60^\circ\)より
\(AC^2 = CD^2+DA^2-2\times CD\times DA\times\cos60^\circ = 15^2+8^2-2\times15\times8\times\dfrac12 = 225+64-120 = 169\)
一致した。
次に面積。三角形ABCの面積：
\(S_1 = \dfrac12\times AB\times BC\times\sin120^\circ = \dfrac12\times7\times8\times\dfrac{\sqrt3}{2} = 28\times\dfrac{\sqrt3}{2} = 14\sqrt3\)
三角形ACDの面積：
\(S_2 = \dfrac12\times CD\times DA\times\sin60^\circ = \dfrac12\times15\times8\times\dfrac{\sqrt3}{2} = 60\times\dfrac{\sqrt3}{2} = 30\sqrt3\)
四角形の面積は\(S_1+S_2 = 14\sqrt3+30\sqrt3 = 44\sqrt3\)
\(AC=13\)、四角形ABCDの面積\(=44\sqrt3\)
23
三角形の内角の和の応用
三角形ABCの内角\(A,\ B,\ C\)について\(A+B+C=180^\circ\)が成り立つ。\(B+C=135^\circ\)のとき、\(\cos A\)と\(\sin A\)の値を求めよ。
\(\cos A=\) \(\sin A=\)
解説を見る
\(A=180^\circ-(B+C)=180^\circ-135^\circ=45^\circ\)。
公式\(\cos(180^\circ-\theta)=-\cos\theta\)を\(\theta=B+C\)として使うと\(\cos A=\cos(180^\circ-(B+C))=-\cos(B+C)=-\cos135^\circ=\dfrac{\sqrt2}{2}\)となることも確認できる（結果は直接\(A=45^\circ\)から求めても同じ）。
有名角の表より\(\cos45^\circ=\dfrac{\sqrt2}{2}\)、\(\sin45^\circ=\dfrac{\sqrt2}{2}\)。
\(\cos A=\dfrac{\sqrt2}{2},\ \sin A=\dfrac{\sqrt2}{2}\)
24
辺の比から角を求める
三角形の3辺の比が\(a:b:c=5:6:7\)であるとき、最も大きい角（辺cの対角）の余弦の値を求めよ。
\(\cos C=\)
解説を見る
比がそのまま辺の長さと考えて余弦定理を使ってよい（比を\(k\)倍しても\(\cos\)の値は変わらないため）。\(a=5,\ b=6,\ c=7\)として計算する。
\(\cos C = \dfrac{a^2+b^2-c^2}{2ab} = \dfrac{5^2+6^2-7^2}{2\times5\times6} = \dfrac{25+36-49}{60} = \dfrac{12}{60} = \dfrac15\)
\(\cos C=\dfrac15\)
25
余弦定理・面積・正弦定理の総合（章の総仕上げ）
三角形ABCにおいて、\(b=8\)、\(c=3\)、\(\angle A=60^\circ\)である。辺aの長さ、面積S、外接円の半径Rをすべて求めよ。
\(a=\) \(S=\) \(R=\)
解説を見る
まず余弦定理で辺aを求める。
\(a^2 = b^2+c^2-2bc\cos A = 8^2+3^2-2\times8\times3\times\cos60^\circ = 64+9-48\times\dfrac12 = 73-24 = 49\)
\(a>0\)より\(a=\sqrt{49}=7\)。
次に面積公式を使う。
\(S = \dfrac12bc\sin A = \dfrac12\times8\times3\times\sin60^\circ = 12\times\dfrac{\sqrt3}{2} = 6\sqrt3\)
最後に正弦定理で外接円の半径を求める。
\(2R = \dfrac{a}{\sin A} = \dfrac{7}{\sin60^\circ} = \dfrac{7}{\frac{\sqrt3}{2}} = \dfrac{14}{\sqrt3} = \dfrac{14\sqrt3}{3}\)
よって\(R=\dfrac{7\sqrt3}{3}\)。
このように、1組の「2辺とその間の角」から、辺・面積・外接円の半径のすべてが芋づる式に求まる。これがこの章で学んだ計量の道具（余弦定理・面積公式・正弦定理）を組み合わせて使う総仕上げの型である。
\(a=7\)、\(S=6\sqrt3\)、\(R=\dfrac{7\sqrt3}{3}\)
記述チャレンジ
答えだけでなく「なぜそうなるか」を文章と式で書く練習。模範解答と見比べて、書き方の型を身につけよう。
記1
三角比は最初、直角三角形の辺の比として\(0^\circ<\theta<90^\circ\)の範囲でしか定義されていなかった。座標を用いた定義に拡張することで、なぜ鈍角に対しても三角比が矛盾なく（それまでの鋭角の定義と食い違うことなく）定義できるようになるのかを、鋭角の場合との関係に触れながら説明せよ。
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座標による定義では、原点\(O\)を中心とする半径\(r\)の円周上の点\(P(x,\ y)\)（\(y\ge0\)）を用いて、\(x\)軸の正の方向から測った角\(\theta\)に対して\(\sin\theta=\dfrac{y}{r}\)、\(\cos\theta=\dfrac{x}{r}\)、\(\tan\theta=\dfrac{y}{x}\)と定める。\(\sin\theta,\ \cos\theta\)はこの定義により\(0^\circ\le\theta\le180^\circ\)のすべての角に対して意味をもつ（\(\tan\theta\)だけは\(\theta=90^\circ\)のとき\(x=0\)となり分母が\(0\)になるため定義できない）。
\(\theta\)が鋭角（\(0^\circ<\theta<90^\circ\)）のときを考えると、点\(P\)から\(x\)軸へ垂線をおろした足を\(H\)とすると、直角三角形\(OHP\)ができ、\(OH=x\)が隣辺、\(HP=y\)が対辺、\(OP=r\)が斜辺にあたる。このとき\(\sin\theta=\dfrac{y}{r}=\dfrac{\text{対辺}}{\text{斜辺}}\)、\(\cos\theta=\dfrac{x}{r}=\dfrac{\text{隣辺}}{\text{斜辺}}\)となり、これはもとの直角三角形による定義とぴったり一致する。つまり座標による定義は、鋭角の範囲では以前の定義を「書き換えた」ものではなく、まったく同じ値を別の方法で表しただけである。
\(\theta\)が鈍角（\(90^\circ<\theta<180^\circ\)）になると、点\(P\)は\(y\)軸の左側（\(x<0\)）に移る。このとき直角三角形の中に\(\theta\)自身は現れない（\(\theta\)は鈍角なので直角三角形の内角にはなれない）が、\(x\)座標が負になるという事実だけを使えば、\(\cos\theta=\dfrac{x}{r}\)は自動的に負の値になる。\(y\)は\(0\)以上のままなので\(\sin\theta\)はつねに\(0\)以上である。このように、座標による定義は「直角三角形の中に角が実際に存在するかどうか」に頼らず、点の座標という数値だけで三角比を決めるため、鋭角でも鈍角でも同じ1つの式でつねに矛盾なく値を定められる。
座標による定義は、鋭角の範囲ではもとの直角三角形の定義と一致し、鈍角の範囲では点の\(x\)座標が負になるという事実だけから符号が自動的に決まるため、鋭角・鈍角を通じて矛盾なく三角比を定義できる。
記2
三角形の辺や角、面積を求めるとき、この章では正弦定理・余弦定理・面積公式という3つの道具を学んだ。それぞれ「どんな情報（辺・角の組み合わせ）が与えられていれば使えるか」を整理して説明せよ。
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正弦定理\(\dfrac{a}{\sin A}=\dfrac{b}{\sin B}=\dfrac{c}{\sin C}=2R\)は、辺とその対角（向かい合う角）がペアになって登場する式である。これを使うには、少なくとも1組の「辺とその対角」がすでにわかっている必要がある。したがって、2つの角と1つの辺がわかっている場合（角の和が\(180^\circ\)であることから残りの角もわかる）や、1つの角とその対辺、そしてもう1つの辺がわかっている場合に使える。
余弦定理\(a^2=b^2+c^2-2bc\cos A\)は、2辺とその間の角、または3辺すべてがわかっているときに使う。「2辺とその間の角」が与えられた状況では、分かっている角の対辺（挟まれていない残りの1辺）がまだわからないため、正弦定理の「辺とその対角」の組が1つも作れない。このときは余弦定理を使うしかない。また3辺だけがわかっている場合も、辺と角のペアがまだ1つも定まっていないので、まず余弦定理を変形した\(\cos A=\dfrac{b^2+c^2-a^2}{2bc}\)でどれか1つの角を求める必要がある。
面積公式\(S=\dfrac12ab\sin C\)は、2辺とその間の角がわかっていれば、高さを別に計算しなくてもそのまま使える。3辺だけしかわかっていないときは、面積公式をいきなり使うことはできず、先に余弦定理で角のどれか1つの余弦を求め、\(\sin C=\sqrt{1-\cos^2C}\)（\(0^\circ<C<180^\circ\)の範囲では\(\sin C\)は必ず正）で\(\sin\)の値に変換してから、面積公式に代入するという2段階の手順になる。
このように3つの道具は「辺と角の組み合わせのどれが与えられているか」によって使い分けが決まっており、迷ったときはまず与えられている情報を辺・角のペアとして整理することが、正しい道具を選ぶ第一歩になる。
正弦定理は「辺とその対角の組」が1つ分かっているときに使う。余弦定理は2辺とその間の角、または3辺だけのときに使う。面積公式は2辺とその間の角があれば直接使えるが、3辺だけのときは先に余弦定理で角を求める2段階になる。
共通テスト形式チャレンジ
花子さんの学校では、実習で川の両岸に立つ2地点から対岸の目標物までの距離を求める測量を行うことになった。次の会話を読んで、あとの問いに答えよ。
先生「対岸の点をA、こちら側の岸にある2地点をB、Cとしよう。\(BC=10\)m、\(\angle ABC=120^\circ\)、\(\angle ACB=30^\circ\)で観測できたよ。」
花子「2つの角がわかっているから、正弦定理が使えそうですね。」
先生「対岸の点をA、こちら側の岸にある2地点をB、Cとしよう。\(BC=10\)m、\(\angle ABC=120^\circ\)、\(\angle ACB=30^\circ\)で観測できたよ。」
花子「2つの角がわかっているから、正弦定理が使えそうですね。」
(1)
\(\angle BAC\)の大きさを求めよ。また、正弦定理を用いて外接円の直径\(2R\)を求めよ。 \(\angle BAC=\boxed{\text{ア}}\boxed{\text{イ}}{}^\circ\)、\(2R=\boxed{\text{ウ}}\boxed{\text{エ}}\)m である。
アイ
ウエ
解説を見る
三角形の内角の和より
\(\angle BAC = 180^\circ-\angle ABC-\angle ACB = 180^\circ-120^\circ-30^\circ = 30^\circ\)
正弦定理より、\(BC=a\)（\(\angle A\)の対辺）を使って
\(2R = \dfrac{a}{\sin A} = \dfrac{10}{\sin30^\circ} = \dfrac{10}{\frac12} = 20\)
\(\angle BAC=30^\circ\)、\(2R=20\)m
(2)
正弦定理を使って、辺AB、辺ACの長さを求めよ。 \(AB=\boxed{\text{オ}}\boxed{\text{カ}}\)m、\(AC=\boxed{\text{キ}}\boxed{\text{ク}}\sqrt{\boxed{\text{ケ}}}\)m である。
オカ
キク
ケ
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(1)で求めた\(2R=20\)を使う。
\(AB\)（\(=c\)、\(\angle C\)の対辺）\(= 2R\sin C = 20\times\sin30^\circ = 20\times\dfrac12 = 10\)
\(AC\)（\(=b\)、\(\angle B\)の対辺）\(= 2R\sin B = 20\times\sin120^\circ = 20\times\dfrac{\sqrt3}{2} = 10\sqrt3\)
（\(\angle A=\angle C=30^\circ\)なので、この三角形は\(AB=BC=10\)の二等辺三角形になっていることも確認できる。）
\(AB=10\)m、\(AC=10\sqrt3\)m
(3)
太郎「これで三角形ABCの3辺と角がすべて求まりましたね。面積も求めてみよう。」
三角形ABCの面積Sと、点Aから直線BCへおろした垂線の長さhを求めよ。
\(S=\boxed{\text{コ}}\boxed{\text{サ}}\sqrt{\boxed{\text{シ}}}\)m²、\(h=\boxed{\text{ス}}\sqrt{\boxed{\text{セ}}}\)m である。
コサ
シ
ス
セ
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面積公式\(S=\dfrac12\times AB\times BC\times\sin(\angle ABC)\)を使う。
\(S = \dfrac12\times10\times10\times\sin120^\circ = 50\times\dfrac{\sqrt3}{2} = 25\sqrt3\)
垂線の長さhは、面積を「底辺×高さ÷2」の形で表した式から逆算する。底辺をBC（長さ10）とすると
\(S = \dfrac12\times BC\times h\)
\(25\sqrt3 = \dfrac12\times10\times h = 5h\)
\(h = 5\sqrt3\)
\(S=25\sqrt3\)m²、\(h=5\sqrt3\)m
太郎さんと花子さんは、3辺の長さがわかっている三角形について、角の種類や面積を調べている。
太郎「3辺が5、6、9の三角形を考えてみよう。」
花子「まず、いちばん大きい角がどんな角か調べたいね。」
太郎「3辺が5、6、9の三角形を考えてみよう。」
花子「まず、いちばん大きい角がどんな角か調べたいね。」
(1)
最も大きい角（辺9の対角）を\(C\)とする。\(\cos C=\dfrac{\boxed{\text{ア}}}{\boxed{\text{イ}}}\)である（アは符号もつけて入力）。この三角形は鋭角三角形・鈍角三角形のいずれか、判定せよ。
ア
イ
判定
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辺9の対角を\(C\)とすると、残り2辺は5と6。
\(\cos C = \dfrac{5^2+6^2-9^2}{2\times5\times6} = \dfrac{25+36-81}{60} = \dfrac{-20}{60} = -\dfrac13\)
\(\cos C=-\dfrac13<0\)なので\(C\)は鈍角。最も大きい角が鈍角なので、三角形全体は鈍角三角形。
\(\cos C=-\dfrac13\)、鈍角三角形
(2)
相互関係を用いて\(\sin C\)の値を求めよ。\(\sin C=\dfrac{\boxed{\text{ウ}}\sqrt{\boxed{\text{エ}}}}{\boxed{\text{オ}}}\)である。これを用いて面積Sを求めると、\(S=\boxed{\text{カ}}\boxed{\text{キ}}\sqrt{\boxed{\text{ク}}}\)となる。
ウ
エ
オ
カキ
ク
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相互関係\(\sin^2C+\cos^2C=1\)より
\(\sin^2C = 1-\left(-\dfrac13\right)^2 = 1-\dfrac19 = \dfrac89\)
\(0^\circ<C<180^\circ\)の範囲では\(\sin C\)は必ず正なので
\(\sin C = \sqrt{\dfrac89} = \dfrac{\sqrt8}{3} = \dfrac{2\sqrt2}{3}\)（\(\sqrt8=2\sqrt2\)に整理した）
面積公式\(S=\dfrac12ab\sin C\)（\(a=5,\ b=6\)）に代入する。
\(S = \dfrac12\times5\times6\times\dfrac{2\sqrt2}{3} = 15\times\dfrac{2\sqrt2}{3} = 10\sqrt2\)
\(\sin C=\dfrac{2\sqrt2}{3}\)、\(S=10\sqrt2\)
(3)
花子「面積が求まったから、内接円の半径も出せるね。」
この三角形の内接円の半径rを求めよ。\(r=\sqrt{\boxed{\text{ケ}}}\)である。
ケ
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周の長さは\(5+6+9=20\)。(2)で求めた\(S=10\sqrt2\)を使う。
\(r = \dfrac{2S}{a+b+c} = \dfrac{2\times10\sqrt2}{20} = \dfrac{20\sqrt2}{20} = \sqrt2\)
\(r=\sqrt2\)