ベクトル まとめ

章の総復習・まとめテスト

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この章で学ぶこと

ベクトルは「大きさ」と「向き」の両方を持つ量で、これまで数I・数A・数IIで別々に扱ってきた図形の性質（平行・垂直・内分・外分・重心）を、成分という数の組にそろえて統一的に計算できるようにする道具である。前半（1. ベクトルの演算、2. 内積）で和・差・実数倍・大きさ・平行条件・垂直条件という基本演算を固め、後半（3. 位置ベクトルと図形）でそれを内分点・外分点・重心・共線条件・交点といった図形の問題に応用し、最後（4. 空間ベクトル）で同じ考え方が成分を1つ増やすだけでそのまま3次元の空間図形にも通用することを確認する。数学Bの数列で身につけた「一般項の式で表す」考え方とは異なり、ここでは図形をベクトルという矢印の言葉に翻訳する見方が中心になる。ここで身につけた成分計算・内積・位置ベクトルの扱いは、数学C第2章「平面上の曲線と複素数平面」で媒介変数表示や複素数の演算を学ぶときにも、そのままの形で土台になる。

学習の順路

下から順番に読み進めよう。1〜2で「ベクトルどうしの計算」という土台を固め、3で「図形の問題への応用」に進み、4で「平面から空間への拡張」を行う、という流れになっている。

  1. 1. ベクトルの演算　―　ベクトルの意味、和・差・実数倍、成分表示、平行条件とベクトルの分解を学ぶ。
  2. 2. 内積　―　2つのベクトルから1つの数（スカラー）を作る内積の定義・成分計算・なす角・垂直条件・展開公式を学ぶ。
  3. 3. 位置ベクトルと図形　―　内分点・外分点・重心の公式、3点が一直線上にある条件、線分の交点の求め方、直線・円のベクトル方程式を学ぶ。
  4. 4. 空間ベクトル　―　x,y,zの3成分に増やすだけで、これまでの公式がそのまま通用することを確認しながら、空間座標・内積・位置ベクトル・球面の方程式を学ぶ。

要点整理　ベクトルの基本計算

成分どうしの和・差・実数倍は、ふつうの数の計算とまったく同じ感覚でよい。テスト直前に思い出すべきは「どの公式をいつ使うか」の判断基準だ。

成分の計算　\(\vec{a}=(a_1,a_2)\)、\(\vec{b}=(b_1,b_2)\) のとき　\(\vec{a}\pm\vec{b}=(a_1\pm b_1,\ a_2\pm b_2)\)、\(k\vec{a}=(ka_1,\ ka_2)\)。
いつ使う？　「〇〇を成分で求めよ」と聞かれたら、まずこれで機械的に計算する。
大きさ　\(|\vec{a}|=\sqrt{a_1^2+a_2^2}\)（三平方の定理と同じ考え方）
いつ使う？　「長さ」「距離」を聞かれたら、成分の2乗和のルート。
平行条件　\(\vec{a}=(a_1,a_2)\)、\(\vec{b}=(b_1,b_2)\)（ともに \(\vec{0}\) でない）が平行 \(\iff a_1b_2-a_2b_1=0\)
いつ使う？　「平行かどうか」「一直線上にあるかどうか」を確かめたいとき。比の形（分数）は分母が0になる場合があるので使わない。
手順1　\(\vec{c}=s\vec{a}+t\vec{b}\) とおく（\(\vec{a},\vec{b}\) は平行でなく、どちらも \(\vec{0}\) でない）
↓
手順2　x成分・y成分をそれぞれ等式にして、\(s,t\) の連立方程式を作る
↓
手順3　連立方程式を解き、もとの式に代入して検算する
分解のいつ使う？　「\(\vec{c}\) を \(\vec{a},\vec{b}\) を用いて表せ」と言われたら、この手順1〜3。平行でない2つのベクトルさえあれば、どんなベクトルも\(s\vec{a}+t\vec{b}\)の形にただ1通りに表せる、という事実がSTEP3（位置ベクトル）全体の土台になっている。

要点整理　内積

内積はベクトル2本から「ただの数」を1つ作る計算。「角度から求める式」と「成分から求める式」の2通りがあることと、そのうち圧倒的によく使うのは垂直条件だということを押さえておこう。

定義　\(\vec{a}\cdot\vec{b}=|\vec{a}||\vec{b}|\cos\theta\)（\(\theta\) はなす角）
いつ使う？　大きさとなす角が分かっている（または求めたい）とき。
成分計算　\(\vec{a}=(x_1,y_1)\)、\(\vec{b}=(x_2,y_2)\) のとき　\(\vec{a}\cdot\vec{b}=x_1x_2+y_1y_2\)
いつ使う？　成分が分かっているとき。角度を経由する必要がなく圧倒的に速い。
垂直条件　\(\vec{a}\ne\vec{0}\)、\(\vec{b}\ne\vec{0}\) のとき　\(\vec{a}\perp\vec{b}\iff\vec{a}\cdot\vec{b}=0\)
いつ使う？　「垂直」「直角」「なす角が90°」というキーワードを見たら、内積を計算して0とおくだけ。テストで最もよく使う形。
なす角の求め方
\(\cos\theta=\dfrac{\vec{a}\cdot\vec{b}}{|\vec{a}||\vec{b}|}\)。内積と2つの大きさを成分から出し、この式に代入する。
\(\vec{a}\cdot\vec{a}=|\vec{a}|^2\)
自分自身との内積は大きさの2乗。展開公式の土台になる関係。
展開公式
\(|\vec{a}+\vec{b}|^2=|\vec{a}|^2+2\vec{a}\cdot\vec{b}+|\vec{b}|^2\)。\((\vec{a}+\vec{b})\cdot(\vec{a}+\vec{b})\)と書き直して分配法則。
展開公式のいつ使う？　「\(|\vec{a}+\vec{b}|\) や \(|\vec{a}-\vec{b}|\) の大きさを求めよ」で、成分が与えられていない（\(|\vec{a}|,|\vec{b}|,\vec{a}\cdot\vec{b}\)の値だけが与えられている）ときに使う。成分が分かっているなら和・差を計算してから直接大きさを出せばよいので、この公式は「成分がない」場面専用と覚えておくと迷わない。

要点整理　位置ベクトルと図形

点Oを基準にした位置ベクトルを使うと、内分・外分・重心・共線という図形の性質がすべて「係数付きの足し算」で表せる。まずどの公式を使う場面かを見分けよう。

内分点（\(m:n\)）
\(\vec{p}=\dfrac{n\vec{a}+m\vec{b}}{m+n}\)
いつ使う？　線分「上」の点。
外分点（\(m:n\)）
\(\vec{q}=\dfrac{-n\vec{a}+m\vec{b}}{m-n}\)
いつ使う？　線分の延長線「上」の点。
重心
\(\vec{g}=\dfrac{\vec{a}+\vec{b}+\vec{c}}{3}\)
いつ使う？　3頂点の位置ベクトルが分かっているとき。
共線条件　3点A, P, Bが一直線上にある \(\iff\) \(\vec{AP}=k\vec{AB}\) となる実数\(k\)が存在する \(\iff\) \(\vec{p}=s\vec{a}+t\vec{b}\)（\(s+t=1\)）の形に表せる。
いつ使う？　「一直線上にあることを示せ」、または逆に「係数の和が1になっている式」を見たら、その点が直線AB上にあると読み取れる。
交点の位置ベクトル　2本の線分（セビアン）の交点は、その点を2通りの式（それぞれの線分上の点として）で表し、\(\vec{a},\vec{b}\)の係数をそれぞれ比較して連立方程式を解く。
いつ使う？　「線分ANと線分BMの交点Pを求めよ」のような設問。\(\vec{a},\vec{b}\)が一次独立（平行でなくどちらも\(\vec{0}\)でない）なら表し方はただ1通りなので、係数比較がそのまま使える。

要点整理　空間ベクトル

空間ベクトルは、成分が2つから3つに増えるだけで、これまでの公式の形は一切変わらない。「何が変わって、何が変わらないか」を意識するのがいちばんの近道。

変わらないもの　成分の和・差・実数倍、内積の定義と垂直条件（\(\vec{a}\cdot\vec{b}=0\)）、内分点・重心の公式（すべて成分ごとに同じ式を当てはめるだけ）。
増えるもの　\(\vec{a}=(a_1,a_2,a_3)\) のとき　大きさ \(|\vec{a}|=\sqrt{a_1^2+a_2^2+a_3^2}\)、内積 \(\vec{a}\cdot\vec{b}=a_1b_1+a_2b_2+a_3b_3\)（項が1つ増えるだけ）。
球面の方程式　中心\((a,b,c)\)、半径\(r\)の球面：\((x-a)^2+(y-b)^2+(z-c)^2=r^2\)（円の方程式に\(z\)の項を1つ足すだけ）。
いつ使う？　展開された形の方程式が与えられたら、\(x,y,z\)それぞれで平方完成して中心と半径を読み取る（円のときと同じ手順）。
まとめテスト（標準）

この章全体を横断する総合演習、全25問。目標時間は30分。答えを入力して「採点」を押すと○×が出るぞ。分数は「-1/2」のように、√は「√5」または「sqrt5」のように入力。
わからないときは「解説を見る」で解き方を確認しよう。

基本（1〜15）
1
成分の和

\(\vec{a}=(4,\ -3)\)、\(\vec{b}=(-2,\ 6)\) のとき、\(\vec{a}+\vec{b}\) を成分で求めよ。

\((\),\(\ \)\()\)
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\(\vec{a}+\vec{b}=(4+(-2),\ -3+6)\) \((2,\ 3)\)
2
実数倍の複合

\(\vec{a}=(1,\ 4)\)、\(\vec{b}=(3,\ -2)\) のとき、\(3\vec{a}-2\vec{b}\) を成分で求めよ。

\((\),\(\ \)\()\)
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\(3\vec{a}=(3,\ 12)\)、\(2\vec{b}=(6,\ -4)\) \(3\vec{a}-2\vec{b}=(3-6,\ 12-(-4))\) \((-3,\ 16)\)
3
大きさ

\(\vec{a}=(6,\ 8)\) の大きさ \(|\vec{a}|\) を求めよ。

\(|\vec{a}|=\)
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\(|\vec{a}|=\sqrt{6^2+8^2}=\sqrt{36+64}=\sqrt{100}=10\) \(|\vec{a}|=10\)
4
平行条件からk

\(\vec{a}=(3,\ -1)\)、\(\vec{b}=(-9,\ 3)\) は平行である。\(\vec{b}=k\vec{a}\) を満たす実数 \(k\) を求めよ。

\(k=\)
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x成分から \(-9=3k\) より \(k=-3\)。y成分でも \(3=-1\times(-3)=3\) で一致。 \(k=-3\)
5
分解（s, tを求める）

\(\vec{a}=(2,\ 1)\)、\(\vec{b}=(1,\ 3)\)、\(\vec{c}=(7,\ 11)\) のとき、\(\vec{c}=s\vec{a}+t\vec{b}\) を満たす \(s,\ t\) の値を求めよ。

\(s=\) 　\(t=\)
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x成分：\(2s+t=7\)　y成分：\(s+3t=11\) 1つ目から \(t=7-2s\)。2つ目に代入すると \(s+3(7-2s)=11\) \(s+21-6s=11\) より \(-5s=-10\)、\(s=2\)。\(t=7-4=3\)。 検算：\(2(2,1)+3(1,3)=(4,2)+(3,9)=(7,11)\) 一致。 \(s=2,\ t=3\)
6
内積の成分計算

\(\vec{a}=(3,\ -2)\)、\(\vec{b}=(4,\ 5)\) のとき、\(\vec{a}\cdot\vec{b}\) を求めよ。

\(\vec{a}\cdot\vec{b}=\)
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\(\vec{a}\cdot\vec{b}=3\times4+(-2)\times5=12-10=2\) \(\vec{a}\cdot\vec{b}=2\)
7
大きさと角度から内積

\(|\vec{a}|=6\)、\(|\vec{b}|=4\)、\(\vec{a}\) と \(\vec{b}\) のなす角が \(60^\circ\) のとき、\(\vec{a}\cdot\vec{b}\) を求めよ。

\(\vec{a}\cdot\vec{b}=\)
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\(\vec{a}\cdot\vec{b}=|\vec{a}||\vec{b}|\cos60^\circ=6\times4\times\dfrac12=12\) \(\vec{a}\cdot\vec{b}=12\)
8
垂直条件からtを求める

\(\vec{a}=(4,\ -3)\)、\(\vec{b}=(t,\ 8)\) が垂直であるとき、\(t\) の値を求めよ。

\(t=\)
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垂直条件は \(\vec{a}\cdot\vec{b}=0\)。 \(\vec{a}\cdot\vec{b}=4t+(-3)\times8=4t-24\) \(4t-24=0\) より \(t=6\) \(t=6\)
9
|a+b|の展開公式

\(|\vec{a}|=2\)、\(|\vec{b}|=3\)、\(\vec{a}\cdot\vec{b}=-1\) のとき、\(|\vec{a}+\vec{b}|\) を求めよ。

\(|\vec{a}+\vec{b}|=\)
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\(|\vec{a}+\vec{b}|^2=|\vec{a}|^2+2\vec{a}\cdot\vec{b}+|\vec{b}|^2=2^2+2\times(-1)+3^2=4-2+9=11\) \(|\vec{a}+\vec{b}|\ge0\) だから \(|\vec{a}+\vec{b}|=\sqrt{11}\)
10
内分点

\(A(1,\ 4)\)、\(B(7,\ -2)\) について、線分ABを \(2:1\) に内分する点Pの座標を求めよ。

\(P(\),\(\ \)\()\)
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内分点の公式（\(m:n=2:1\)）：\(\vec{p}=\dfrac{1\cdot\vec{a}+2\cdot\vec{b}}{2+1}\) \(\vec{p}=\dfrac{(1,4)+2(7,-2)}{3}=\dfrac{(1+14,\ 4-4)}{3}=\dfrac{(15,\ 0)}{3}=(5,\ 0)\) \(P(5,\ 0)\)
11
外分点

\(A(1,\ 2)\)、\(B(4,\ 5)\) について、線分ABを \(2:1\) に外分する点Qの座標を求めよ。

\(Q(\),\(\ \)\()\)
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外分点の公式（\(m:n=2:1\)）：\(\vec{q}=\dfrac{-1\cdot\vec{a}+2\cdot\vec{b}}{2-1}=-\vec{a}+2\vec{b}\) \(\vec{q}=-(1,2)+2(4,5)=(-1,-2)+(8,10)=(7,\ 8)\) \(Q(7,\ 8)\)
12
重心

\(A(2,\ 5)\)、\(B(-1,\ 3)\)、\(C(8,\ -2)\) を頂点とする三角形の重心Gの座標を求めよ。

\(G(\),\(\ \)\()\)
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\(\vec{g}=\dfrac{\vec{a}+\vec{b}+\vec{c}}{3}=\dfrac{(2,5)+(-1,3)+(8,-2)}{3}=\dfrac{(9,\ 6)}{3}=(3,\ 2)\) \(G(3,\ 2)\)
13
共線条件

\(A(1,\ 1)\)、\(B(4,\ 3)\)、\(P(10,\ 7)\) について、3点が一直線上にあるかどうかを調べ、あるならば \(\overrightarrow{AP}=k\overrightarrow{AB}\) となる \(k\) を求めよ。

\(k=\)
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\(\overrightarrow{AB}=(4,3)-(1,1)=(3,\ 2)\)、\(\overrightarrow{AP}=(10,7)-(1,1)=(9,\ 6)\) \(\overrightarrow{AP}=k\overrightarrow{AB}\) を確認：x成分から \(9=3k\) より \(k=3\)、y成分から \(6=2k\) より \(k=3\)。両方一致するので3点は一直線上にある（\(k>1\)なのでPはB側の外分点にあたる位置）。 3点は一直線上にあり、\(k=3\)
14
空間：成分と大きさ

2点 \(A(1,\ 0,\ 2)\)、\(B(4,\ 4,\ 14)\) について、\(\overrightarrow{AB}\) の成分と大きさを求めよ。

\(\overrightarrow{AB}=(\),\(\ \),\(\ \)\()\)　\(|\overrightarrow{AB}|=\)
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\(\overrightarrow{AB}=(4-1,\ 4-0,\ 14-2)=(3,\ 4,\ 12)\) \(|\overrightarrow{AB}|=\sqrt{3^2+4^2+12^2}=\sqrt{9+16+144}=\sqrt{169}=13\) \(\overrightarrow{AB}=(3,4,12)\)、\(|\overrightarrow{AB}|=13\)
15
空間：内積と垂直判定

\(\vec{a}=(2,\ -1,\ 3)\)、\(\vec{b}=(1,\ 5,\ 1)\) は垂直であるかどうか調べよ。

\(\vec{a}\cdot\vec{b}=\)
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\(\vec{a}\cdot\vec{b}=2\times1+(-1)\times5+3\times1=2-5+3=0\) 内積が\(0\)なので、垂直条件を満たす。 \(\vec{a}\cdot\vec{b}=0\)（垂直である）
発展（16〜25）
16
空間：重心

\(A(3,\ -2,\ 1)\)、\(B(-1,\ 4,\ 5)\)、\(C(4,\ 1,\ -3)\) を頂点とする三角形の重心Gの座標を求めよ。

\(G(\),\(\ \),\(\ \)\()\)
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\(x\)成分：\(\dfrac{3+(-1)+4}{3}=2\)　\(y\)成分：\(\dfrac{-2+4+1}{3}=1\)　\(z\)成分：\(\dfrac{1+5+(-3)}{3}=1\) \(G(2,\ 1,\ 1)\)
17
空間：球面の方程式（平方完成）

方程式 \(x^2+y^2+z^2-6x+4y-2z+5=0\) が表す球面の中心と半径を求めよ。

中心\((\),\(\ \),\(\ \)\()\)　半径
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\(x,y,z\)それぞれについて平方完成する。 \(x^2-6x=(x-3)^2-9\) \(y^2+4y=(y+2)^2-4\) \(z^2-2z=(z-1)^2-1\) 代入すると \((x-3)^2-9+(y+2)^2-4+(z-1)^2-1+5=0\) \((x-3)^2+(y+2)^2+(z-1)^2=9+4+1-5=9\) 中心\((3,\ -2,\ 1)\)、半径\(3\)
18
平行条件から2次方程式（場合分け・2つの解）

\(\vec{a}=(x,\ 3)\)、\(\vec{b}=(4,\ x+1)\) が平行であるとき、\(x\) の値をすべて求めよ。（コンマ区切りで入力）

\(x=\)
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平行条件 \(a_1b_2-a_2b_1=0\) を成分に当てはめると \(x(x+1)-3\times4=0\) \(x^2+x-12=0\) 左辺を因数分解すると \((x+4)(x-3)=0\) となり、\(x=-4\) と \(x=3\) の2通りの場合がある。平行条件は成分の関係式にすぎず、\(x\) の値が2次方程式を満たすかぎり両方とも解になりうるので、どちらの場合も棄却せずに検証する必要がある。 \(x=-4\)のとき：\(\vec{a}=(-4,3)\)、\(\vec{b}=(4,-3)\)。\(\vec{b}=-\vec{a}\)となっており、確かに平行（\(k=-1\)）。 \(x=3\)のとき：\(\vec{a}=(3,3)\)、\(\vec{b}=(4,4)\)。\(\vec{b}=\dfrac43\vec{a}\)となっており、確かに平行（\(k=\dfrac43\)）。 どちらの場合も\(\vec{a}\ne\vec{0}\)、\(\vec{b}\ne\vec{0}\)を満たしているので、2つとも解として採用できる。 \(x=-4,\ 3\)
19
位置ベクトル＋垂直条件の複合（垂線の足）

三角形OABにおいて、\(\overrightarrow{OA}=\vec{a}=(1,\ 3)\)、\(\overrightarrow{OB}=\vec{b}=(3,\ 1)\) とする。辺OB上の点Pを \(\overrightarrow{OP}=t\vec{b}\)（\(t\)は実数）となるようにとり、\(\overrightarrow{AP}\perp\overrightarrow{OB}\) となるように \(t\) の値を求めよ。

\(t=\)
解説を見る
\(\overrightarrow{AP}=\overrightarrow{OP}-\overrightarrow{OA}=t\vec{b}-\vec{a}\) 垂直条件 \(\overrightarrow{AP}\cdot\vec{b}=0\) に代入する（分配法則で展開）。 \((t\vec{b}-\vec{a})\cdot\vec{b}=t|\vec{b}|^2-\vec{a}\cdot\vec{b}=0\) \(\vec{a}\cdot\vec{b}=1\times3+3\times1=3+3=6\) \(|\vec{b}|^2=3^2+1^2=10\) \(10t-6=0\) より \(t=\dfrac{6}{10}=\dfrac35\) 検算：\(\overrightarrow{OP}=\dfrac35(3,1)=\left(\dfrac95,\ \dfrac35\right)\)、\(\overrightarrow{AP}=\left(\dfrac95-1,\ \dfrac35-3\right)=\left(\dfrac45,\ -\dfrac{12}5\right)\) \(\overrightarrow{AP}\cdot\vec{b}=\dfrac45\times3+\left(-\dfrac{12}5\right)\times1=\dfrac{12}5-\dfrac{12}5=0\) 一致。 \(t=\dfrac35\)
20
分解＋内分点の複合

三角形OABにおいて、\(\overrightarrow{OA}=\vec{a}\)、\(\overrightarrow{OB}=\vec{b}\) とする。辺OA上に \(\overrightarrow{OC}=\dfrac23\vec{a}\) となる点Cを、辺OB上に \(\overrightarrow{OD}=\dfrac12\vec{b}\) となる点Dをとる。線分CDを \(1:2\) に内分する点をPとするとき、\(\overrightarrow{OP}=s\vec{a}+t\vec{b}\) と表される。\(s,\ t\) の値を求めよ。

\(s=\) 　\(t=\)
解説を見る
Pは線分CDを\(1:2\)に内分する点なので、内分点の公式（\(m:n=1:2\)）をC, Dに対して使う。 \(\overrightarrow{OP}=\dfrac{2\overrightarrow{OC}+1\cdot\overrightarrow{OD}}{1+2}=\dfrac{2\cdot\frac23\vec{a}+\frac12\vec{b}}{3}=\dfrac{\frac43\vec{a}+\frac12\vec{b}}{3}=\dfrac49\vec{a}+\dfrac16\vec{b}\) \(s=\dfrac49,\ t=\dfrac16\)
21
内積による三角形の面積公式

三角形OABにおいて、\(\overrightarrow{OA}=\vec{a}=(5,\ 1)\)、\(\overrightarrow{OB}=\vec{b}=(2,\ 4)\) であるとき、三角形OABの面積 \(S\) を求めよ。次の面積公式を利用してよい。
\(S=\dfrac12\sqrt{|\vec{a}|^2|\vec{b}|^2-(\vec{a}\cdot\vec{b})^2}\)

\(S=\)
解説を見る
\(\vec{a}\cdot\vec{b}=5\times2+1\times4=10+4=14\) \(|\vec{a}|^2=5^2+1^2=26\)、\(|\vec{b}|^2=2^2+4^2=20\) \(|\vec{a}|^2|\vec{b}|^2=26\times20=520\)、\((\vec{a}\cdot\vec{b})^2=14^2=196\) \(S=\dfrac12\sqrt{520-196}=\dfrac12\sqrt{324}=\dfrac12\times18=9\) \(S=9\)
22
平行＋大きさの条件（場合分け・向きが2通り）

\(\vec{a}=(3,\ -4)\) と平行で、大きさが \(10\) であるベクトル \(\vec{b}\) を求めよ。\(\vec{a}\)と同じ向きのときと、逆向きのときの両方を答えよ。

同じ向き \(\vec{b}=(\),\(\ \)\()\)　逆向き \(\vec{b}=(\),\(\ \)\()\)
解説を見る
\(\vec{a}\)と平行なベクトルは「同じ向き」と「逆向き」の2通りが必ず存在するので、どちらの場合も求める必要がある。 \(|\vec{a}|=\sqrt{3^2+(-4)^2}=\sqrt{25}=5\)。\(\vec{a}\)と同じ向きの単位ベクトルは \(\left(\dfrac35,\ -\dfrac45\right)\)。 同じ向きで大きさ\(10\)：\(\vec{b}=10\left(\dfrac35,-\dfrac45\right)=(6,\ -8)\) 逆向きで大きさ\(10\)：\(\vec{b}=-10\left(\dfrac35,-\dfrac45\right)=(-6,\ 8)\) 検算：\(|(6,-8)|=\sqrt{36+64}=10\)、\(|(-6,8)|=\sqrt{36+64}=10\)、いずれも\(\vec{a}\)の実数倍になっている。 同じ向き \(\vec{b}=(6,\ -8)\)、逆向き \(\vec{b}=(-6,\ 8)\)
23
共線条件の応用（未知数を求める）

3点 \(A(1,\ 2)\)、\(B(4,\ 8)\)、\(C(m,\ 20)\) が一直線上にあるとき、\(m\) の値を求めよ。

\(m=\)
解説を見る
\(\overrightarrow{AB}=(4-1,\ 8-2)=(3,\ 6)\)、\(\overrightarrow{AC}=(m-1,\ 20-2)=(m-1,\ 18)\) 3点が一直線上にある条件は\(\overrightarrow{AB}\)と\(\overrightarrow{AC}\)が平行、つまり \(3\times18-6\times(m-1)=0\) \(54-6m+6=0\) \(6m=60\) より \(m=10\) 検算：\(\overrightarrow{AC}=(9,18)=3(3,6)=3\overrightarrow{AB}\)、確かに平行。 \(m=10\)
24
空間：位置ベクトル＋垂直条件の複合

空間内の三角形OABにおいて、\(\overrightarrow{OA}=\vec{a}=(1,\ 0,\ 1)\)、\(\overrightarrow{OB}=\vec{b}=(0,\ 2,\ 1)\) とする。辺OB上の点Pを \(\overrightarrow{OP}=t\vec{b}\)（\(t\)は実数）となるようにとり、\(\overrightarrow{AP}\perp\overrightarrow{OB}\) となるように \(t\) の値を求めよ。

\(t=\)
解説を見る
平面のとき（19番）とまったく同じ考え方で、成分が1つ増えるだけ。 \(\overrightarrow{AP}=\overrightarrow{OP}-\overrightarrow{OA}=t\vec{b}-\vec{a}\) 垂直条件 \(\overrightarrow{AP}\cdot\vec{b}=0\)： \((t\vec{b}-\vec{a})\cdot\vec{b}=t|\vec{b}|^2-\vec{a}\cdot\vec{b}=0\) \(\vec{a}\cdot\vec{b}=1\times0+0\times2+1\times1=1\) \(|\vec{b}|^2=0^2+2^2+1^2=5\) \(5t-1=0\) より \(t=\dfrac15\) \(t=\dfrac15\)
25
空間：球面＋大きさの複合（章の総仕上げ）

点 \(A(1,\ 2,\ -1)\) を中心とし、点 \(B(4,\ 6,\ -1)\) を通る球面がある。この球面の半径 \(r\) を求めよ。また、この球面上に点 \(C(1,\ 2,\ -6)\) があるかどうかを、距離 \(AC\) を求めて調べよ。

半径 \(r=\) 　\(AC=\)
解説を見る
半径は中心Aから球面上の点Bまでの距離に等しい。 \(\overrightarrow{AB}=(4-1,\ 6-2,\ -1-(-1))=(3,\ 4,\ 0)\) \(r=|\overrightarrow{AB}|=\sqrt{3^2+4^2+0^2}=\sqrt{25}=5\) 次に距離ACを求める。 \(\overrightarrow{AC}=(1-1,\ 2-2,\ -6-(-1))=(0,\ 0,\ -5)\) \(AC=|\overrightarrow{AC}|=\sqrt{0^2+0^2+(-5)^2}=\sqrt{25}=5\) \(AC=5=r\) なので、点Cは中心Aから半径と同じ距離にある。したがって点Cはこの球面上にある。 半径\(r=5\)、\(AC=5\)（\(AC=r\)なので点Cは球面上にある）
記述チャレンジ

答えだけでなく「なぜそうなるか」を文章と式で書く練習。模範解答と見比べて、書き方の型を身につけよう。

記1

この章では、内分点の公式・外分点の公式・共線条件という一見別々の公式が登場する。これらが実はすべて「係数の和が1になる形で点を表す」という同じ考え方から生まれていることを、内分点の公式の導出過程に触れながら説明せよ。

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点Oを基準に、点Aの位置ベクトルを\(\vec{a}\)、点Bの位置ベクトルを\(\vec{b}\)とする。線分ABを\(m:n\)に内分する点Pの位置ベクトル\(\vec{p}\)は、\(\overrightarrow{AP}=\dfrac{m}{m+n}\overrightarrow{AB}\)であることから \(\vec{p}=\vec{a}+\overrightarrow{AP}=\vec{a}+\dfrac{m}{m+n}(\vec{b}-\vec{a})=\dfrac{(m+n)\vec{a}-m\vec{a}+m\vec{b}}{m+n}=\dfrac{n\vec{a}+m\vec{b}}{m+n}\) と求まる。ここで係数だけに注目すると、\(\vec{a}\)の係数は\(\dfrac{n}{m+n}\)、\(\vec{b}\)の係数は\(\dfrac{m}{m+n}\)であり、この2つを足すと\(\dfrac{n}{m+n}+\dfrac{m}{m+n}=\dfrac{m+n}{m+n}=1\)になっている。つまり内分点は、必ず「\(\vec{a}\)の係数と\(\vec{b}\)の係数の和が1になる形」\(\vec{p}=s\vec{a}+t\vec{b}\)（\(s+t=1\)）で書けている。 外分点の公式\(\vec{q}=\dfrac{-n\vec{a}+m\vec{b}}{m-n}\)も、係数を確かめると\(\dfrac{-n}{m-n}+\dfrac{m}{m-n}=\dfrac{m-n}{m-n}=1\)となり、やはり和は1である。内分・外分という見た目の違いは「点が線分の内側にあるか、延長線上にあるか」という位置の違いにすぎず、式の形としては同じ「係数の和が1」というルールに従っている。 そして共線条件も、同じことの逆向きの言い方にすぎない。\(\vec{p}=s\vec{a}+t\vec{b}\)（\(s+t=1\)）と表せる点Pは、\(t=k\)、\(s=1-k\)とおけば\(\vec{p}=(1-k)\vec{a}+k\vec{b}\)、すなわち\(\vec{p}-\vec{a}=k(\vec{b}-\vec{a})\)、つまり\(\overrightarrow{AP}=k\overrightarrow{AB}\)となり、これはPが直線AB上にあることそのものを表している。 このように、内分点・外分点・共線条件はすべて「点Pの位置ベクトルを、係数の和が1になる形で\(\vec{a},\vec{b}\)を使って表す」という1つの考え方の、異なる場面での現れ方にすぎない。 内分点・外分点はいずれも係数の和が1になる形\(\vec{p}=s\vec{a}+t\vec{b}\)（\(s+t=1\)）で書け、共線条件はこの形で書けることそのものを「直線AB上にある」条件として言い換えたものである。
記2

平面ベクトルの成分計算（大きさ・内積・垂直条件・内分点の公式）は、空間ベクトルでも形をまったく変えずに使える。成分が2つから3つに増えることで、実際には何が変わり、何が変わらないのかを説明せよ。

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まず変わらないものについて。大きさの公式は、平面では\(|\vec{a}|=\sqrt{a_1^2+a_2^2}\)、空間では\(|\vec{a}|=\sqrt{a_1^2+a_2^2+a_3^2}\)であり、これはどちらも三平方の定理（座標平面では2乗の和、座標空間では3成分の2乗の和）をそのまま使っているにすぎない。内積についても、平面では\(\vec{a}\cdot\vec{b}=a_1b_1+a_2b_2\)、空間では\(\vec{a}\cdot\vec{b}=a_1b_1+a_2b_2+a_3b_3\)であり、「対応する成分どうしをかけて全部足す」という計算のルールそのものは変わっていない。垂直条件\(\vec{a}\cdot\vec{b}=0\)や、内分点の公式\(\vec{p}=\dfrac{n\vec{a}+m\vec{b}}{m+n}\)、重心の公式\(\vec{g}=\dfrac{\vec{a}+\vec{b}+\vec{c}}{3}\)も、式の形自体は平面とまったく同じで、成分ごとに同じ計算を1回多くくり返すだけで空間でもそのまま成り立つ。 一方で変わるものは、成分の個数と、それにともなって増える計算量である。空間では\(x,y,z\)の3つの成分があるので、大きさなら2乗の項が2つから3つに、内積なら積の項が2つから3つに増える。また、平面では「平行でない2つのベクトル\(\vec{a},\vec{b}\)があれば、どんなベクトルも\(s\vec{a}+t\vec{b}\)の形にただ1通りに表せた」が、空間ではこれが「同じ平面上にない3つのベクトル\(\vec{a},\vec{b},\vec{c}\)があれば\(s\vec{a}+t\vec{b}+u\vec{c}\)の形に表せる」というように、必要なベクトルの本数が1本増える（この点は本章では深く扱わないが、次数が1つ上がったことの現れである）。 つまり、公式の「形」や「考え方」は成分の数に関係なく共通しているが、実際に手を動かす際の「項の数」だけが増える。これが、空間ベクトルの学習が平面ベクトルの単なる繰り返しの延長として位置づけられる理由である。 公式の形・考え方（大きさ、内積、垂直条件、内分点・重心の公式）は成分の数に関係なく共通しており、変わるのは計算する項の数（2項→3項）だけである。
共通テスト形式チャレンジ

大問1　目標時間 8分／配点 20点

太郎さんと花子さんは、公園にある噴水を原点Oとして、東向きを\(x\)軸の正の向き、北向きを\(y\)軸の正の向きとする座標を考えた。太郎さんはOから東に8m、北に6m進んだ地点Aのベンチまで歩いた。花子さんはOから東に\(t\)m、北に\((t-14)\)m進んだ地点Bの時計台まで歩いた（\(t\)は正の実数）。次の会話を読んで、あとの問いに答えよ。

太郎「僕の歩いた道と、花子さんの歩いた道、噴水のところでちょうど直角に交わっているように見えるね。」
花子「じゃあ、その条件を使って、私が歩いた距離を求めてみようか。」
(1)

\(\overrightarrow{OA}=(8,\ 6)\) とする。太郎さんの歩いた距離 \(|\overrightarrow{OA}|\) を求めると \(|\overrightarrow{OA}|=\boxed{\text{アイ}}\) である。また \(\overrightarrow{OB}=(t,\ t-14)\) として、内積 \(\overrightarrow{OA}\cdot\overrightarrow{OB}\) を \(t\) の式で表すと \(\overrightarrow{OA}\cdot\overrightarrow{OB}=\boxed{\text{ウエ}}\,t-\boxed{\text{オカ}}\) となる。

太郎さんの歩いた距離 アイ＝ ウエ オカ
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\(|\overrightarrow{OA}|=\sqrt{8^2+6^2}=\sqrt{64+36}=\sqrt{100}=10\) \(\overrightarrow{OA}\cdot\overrightarrow{OB}=8\times t+6\times(t-14)=8t+6t-84=14t-84\) 太郎さんの歩いた距離は\(10\)m、\(\overrightarrow{OA}\cdot\overrightarrow{OB}=14t-84\)
(2)

2人の歩いた道が噴水の位置で直角に交わっている、つまり \(\overrightarrow{OA}\perp\overrightarrow{OB}\) であることを用いて、\(t\) の値を求めよ。また、そのときの花子さんの歩いた距離 \(|\overrightarrow{OB}|\) を求めよ。

\(t=\boxed{\text{キ}}\)、花子さんの歩いた距離は\(\boxed{\text{クケ}}\)mである。

キ クケ
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垂直条件は\(\overrightarrow{OA}\cdot\overrightarrow{OB}=0\)。(1)の結果を使うと \(14t-84=0\) より \(t=6\) このとき\(\overrightarrow{OB}=(6,\ 6-14)=(6,\ -8)\) \(|\overrightarrow{OB}|=\sqrt{6^2+(-8)^2}=\sqrt{36+64}=\sqrt{100}=10\) \(t=6\)、花子さんの歩いた距離は\(10\)m
(3)

(2)で求めた \(t\) を用いるとき、ベンチAと時計台Bの間の距離 \(AB\) を求めると、\(AB=\boxed{\text{コサ}}\sqrt{\boxed{\text{シ}}}\) mである。

コサ シ
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\(A(8,\ 6)\)、(2)より\(B(6,\ -8)\)。 \(\overrightarrow{AB}=(6-8,\ -8-6)=(-2,\ -14)\) \(AB=|\overrightarrow{AB}|=\sqrt{(-2)^2+(-14)^2}=\sqrt{4+196}=\sqrt{200}\) \(\sqrt{200}=\sqrt{100\times2}=10\sqrt2\)（ルートの中の平方数を外に出す） \(AB=10\sqrt2\)　m

大問2　目標時間 8分／配点 20点

三角形OABにおいて、辺OA上に \(\overrightarrow{OC}:\overrightarrow{CA}=1:2\) となる点Cをとり、辺OBの中点をDとする。線分ADと線分BCの交点をPとする。\(\overrightarrow{OA}=\vec{a}\)、\(\overrightarrow{OB}=\vec{b}\) として、あとの問いに答えよ。
(1)

\(\overrightarrow{OC}\)、\(\overrightarrow{OD}\) を \(\vec{a}\)、\(\vec{b}\) を用いて表すと、\(\overrightarrow{OC}=\dfrac{\boxed{\text{ア}}}{\boxed{\text{イ}}}\vec{a}\)、\(\overrightarrow{OD}=\dfrac{\boxed{\text{ウ}}}{\boxed{\text{エ}}}\vec{b}\) である。

ア イ ウ エ
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Cは\(\overrightarrow{OC}:\overrightarrow{CA}=1:2\)を満たすので、Oから測ってOA全体の\(\dfrac{1}{1+2}=\dfrac13\)の位置にある。 \(\overrightarrow{OC}=\dfrac13\vec{a}\) Dは辺OBの中点なので\(\overrightarrow{OD}=\dfrac12\vec{b}\) \(\overrightarrow{OC}=\dfrac13\vec{a}\)、\(\overrightarrow{OD}=\dfrac12\vec{b}\)
(2)

Pは線分AD上の点なので、実数\(s\)を用いて \(\overrightarrow{OP}=(1-s)\vec{a}+s\overrightarrow{OD}\) と表せる。また、Pは線分BC上の点なので、実数\(t\)を用いて \(\overrightarrow{OP}=(1-t)\vec{b}+t\overrightarrow{OC}\) と表せる。\(\vec{a}\)、\(\vec{b}\)の係数をそれぞれ比較して、\(s,\ t\) の値を求めよ。

\(s=\dfrac{\boxed{\text{カ}}}{\boxed{\text{キ}}}\)、\(t=\dfrac{\boxed{\text{ク}}}{\boxed{\text{ケ}}}\)

カ キ ク ケ
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(1)の結果を代入して、\(\vec{a},\vec{b}\)だけの式に書き直す。 \(\overrightarrow{OP}=(1-s)\vec{a}+s\cdot\dfrac12\vec{b}=(1-s)\vec{a}+\dfrac{s}2\vec{b}\ \cdots(1)\) \(\overrightarrow{OP}=(1-t)\vec{b}+t\cdot\dfrac13\vec{a}=\dfrac{t}3\vec{a}+(1-t)\vec{b}\ \cdots(2)\) \(\vec{a},\vec{b}\)は一次独立（平行でなく、どちらも\(\vec0\)でない）なので、(1)と(2)の\(\vec{a}\)の係数どうし、\(\vec{b}\)の係数どうしをそれぞれ比較できる。 \(\vec{a}\)の係数：\(1-s=\dfrac{t}3\ \cdots(3)\) \(\vec{b}\)の係数：\(\dfrac{s}2=1-t\ \cdots(4)\) (3)より\(t=3(1-s)=3-3s\)。これを(4)に代入する。 \(\dfrac{s}2=1-(3-3s)=-2+3s\) 両辺を2倍して \(s=-4+6s\) \(-5s=-4\) より \(s=\dfrac45\) \(t=3-3\times\dfrac45=3-\dfrac{12}5=\dfrac35\) \(s=\dfrac45,\ t=\dfrac35\)
(3)

(2)の結果を用いて、\(\overrightarrow{OP}\) を \(\vec{a}\)、\(\vec{b}\) を用いて表すと、\(\overrightarrow{OP}=\dfrac{\boxed{\text{コ}}}{\boxed{\text{サ}}}\vec{a}+\dfrac{\boxed{\text{シ}}}{\boxed{\text{ス}}}\vec{b}\) である。

コ サ シ ス
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(2)の(1)式に\(s=\dfrac45\)を代入する。 \(\overrightarrow{OP}=\left(1-\dfrac45\right)\vec{a}+\dfrac{\frac45}2\vec{b}=\dfrac15\vec{a}+\dfrac25\vec{b}\) 検算として(2)の(2)式にも\(t=\dfrac35\)を代入すると \(\overrightarrow{OP}=\dfrac{\frac35}3\vec{a}+\left(1-\dfrac35\right)\vec{b}=\dfrac15\vec{a}+\dfrac25\vec{b}\) 一致するので正しい。 \(\overrightarrow{OP}=\dfrac15\vec{a}+\dfrac25\vec{b}\)

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