位置ベクトルと図形｜数C ベクトル

STEP 1

位置ベクトルと内分・外分

点Oを基準（原点）に決めて、点Aの位置ベクトルを \(\vec{a}\)、点Bの位置ベクトルを \(\vec{b}\) と表す。こうしておくと、線分ABを比 \(m:n\) に分ける点の位置ベクトルは、公式1発で求まる。内分（線分の内側で分ける）と外分（線分の延長線上で分ける）、2つの公式の作り方の違いに注目しよう。

内分点の公式

点Pが線分ABを \(m:n\) に内分するとは、PがAとBの間にあって \(AP:PB = m:n\) となること。ベクトルで書くと \(\vec{AP} = \dfrac{m}{m+n}\vec{AB}\)。\(\vec{AB} = \vec{b}-\vec{a}\) を使って位置ベクトル \(\vec p\) を作る。

\[ \vec p = \vec a + \vec{AP} = \vec a + \dfrac{m}{m+n}(\vec b - \vec a) = \dfrac{(m+n)\vec a - m\vec a + m\vec b}{m+n} = \dfrac{n\vec a + m\vec b}{m+n} \] 内分点の公式：\(\vec p = \dfrac{n\vec a + m\vec b}{m+n}\)（分子は「相手側の比」がくっつく＝\(m:n\)の\(m\)は\(\vec b\)に、\(n\)は\(\vec a\)に掛かる、と覚える）

外分点の公式

外分は、\(AQ:QB = m:n\) を保ちながら、Qを線分ABの外側にとる分け方（\(m>n\) ならB側の外、\(m

\[ \vec q = \vec a + \dfrac{m}{m-n}(\vec b - \vec a) = \dfrac{(m-n)\vec a - m\vec a + m\vec b}{m-n} = \dfrac{-n\vec a + m\vec b}{m-n} \] 外分点の公式：\(\vec q = \dfrac{-n\vec a + m\vec b}{m-n}\)（\(m

例題　\(A(2, 1)\)、\(B(8, 4)\) がある。線分ABを \(1:2\) に内分する点Pと、\(3:1\) に外分する点Qの座標を求めよ。

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内分（\(m:n=1:2\)）：\(\vec p = \dfrac{2\vec a + \vec b}{3}\) \(\vec p = \dfrac{2(2,1)+(8,4)}{3} = \dfrac{(4+8,\ 2+4)}{3} = \dfrac{(12,6)}{3} = (4,2)\) 外分（\(m:n=3:1\)）：\(\vec q = \dfrac{-\vec a + 3\vec b}{3-1} = \dfrac{-\vec a+3\vec b}{2}\) \(\vec q = \dfrac{-(2,1)+3(8,4)}{2} = \dfrac{(-2+24,\ -1+12)}{2} = \dfrac{(22,11)}{2} = (11,\ 5.5)\) 内分点 \(P(4, 2)\)、外分点 \(Q(11,\ 5.5)\)

STEP 2

重心の位置ベクトル

三角形ABCの3つの中線（頂点と対辺の中点を結ぶ線分）は必ず1点で交わる。この交点が重心Gで、重心は中線を \(2:1\) に内分する点になっている。これを使うと、重心の位置ベクトルはとてもきれいな形にまとまる。

辺BCの中点を \(M\) とすると \(\vec m = \dfrac{\vec b+\vec c}{2}\)。重心Gは中線AM上で \(AG:GM = 2:1\) に内分する点なので、内分点の公式（\(m:n=2:1\)）を使うと \[ \vec g = \dfrac{1\cdot\vec a + 2\cdot\vec m}{2+1} = \dfrac{\vec a + 2\cdot\frac{\vec b+\vec c}{2}}{3} = \dfrac{\vec a+\vec b+\vec c}{3} \] 重心の公式：\(\vec g = \dfrac{\vec a+\vec b+\vec c}{3}\)（3頂点の位置ベクトルを足して3で割るだけ！）

例題　\(A(2, 5)\)、\(B(-4, -1)\)、\(C(8, -4)\) を頂点とする三角形の重心Gの座標を求めよ。

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\(\vec g = \dfrac{\vec a+\vec b+\vec c}{3} = \dfrac{(2,5)+(-4,-1)+(8,-4)}{3} = \dfrac{(2-4+8,\ 5-1-4)}{3} = \dfrac{(6,0)}{3} = (2,0)\) 重心 \(G(2, 0)\)

STEP 3

共線条件（一直線上にある3点）

「3点A, P, Bが一直線上にある」ことをベクトルで示すには、\(\vec{AP} = k\vec{AB}\) となる実数 \(k\) が存在することを言えばよい。\(k\) の値でPの位置も分かる：\(01\) ならB側の外分点、\(k<0\) ならA側の外分点。

\(\vec{AP}=k\vec{AB}\) を位置ベクトルで書き直すと \(\vec p - \vec a = k(\vec b - \vec a)\)、つまり \[ \vec p = (1-k)\vec a + k\vec b \] ここで \(s=1-k,\ t=k\) とおくと \(\vec p = s\vec a+t\vec b\)、\(s+t=1\) が成り立つ。逆に係数の和が1になる形で表せれば、その点は必ず直線AB上にある（これは応用問題でも使う大事な性質）。

例題　\(A(0, 1)\)、\(B(4, 3)\)、\(P(-4, -1)\) について、3点が一直線上にあるかどうかを調べ、あるならば \(\vec{AP}=k\vec{AB}\) となる \(k\) を求めよ。

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\(\vec{AB} = (4,3)-(0,1) = (4,2)\)、\(\vec{AP} = (-4,-1)-(0,1) = (-4,-2)\) \(\vec{AP}=k\vec{AB}\) が成り立つか確認：\(x\)成分から \(-4=4k\) より \(k=-1\)、\(y\)成分から \(-2=2k\) より \(k=-1\)。両方一致するので3点は一直線上にある。 \(k=-1<0\) なのでPはA側の外分点。 3点は一直線上にあり、\(k=-1\)

STEP 4

交点の位置ベクトル

三角形の中に引いた2本の線分（セビアン）の交点を求めるときは、それぞれの線分上の点をパラメータ \(s\), \(t\) を使って位置ベクトルで2通りに表し、係数を比較する連立方程式を解けばよい。

カギとなる性質：\(\vec a\), \(\vec b\) が一次独立（平行でなく、どちらもゼロベクトルでない）のとき、\(\vec{OP}=x\vec a+y\vec b\) の表し方はただ1通りに決まる。だから「2通りの表し方」で\(\vec a\), \(\vec b\)の係数をそれぞれ比較してよい。

例題　三角形OABにおいて、辺OAの中点をM、辺OBを \(2:1\) に内分する点をNとする。線分ANと線分BMの交点をPとするとき、\(\vec{OP}\) を \(\vec a=\vec{OA}\), \(\vec b=\vec{OB}\) を用いて表せ。

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Mは中点なので \(\vec{OM}=\dfrac12\vec a\)。Nは \(ON:NB=2:1\) の内分点なので \(\vec{ON}=\dfrac23\vec b\)。 Pは線分AN上にあるので、\(s\) を用いて（\(s=0\)でA、\(s=1\)でN） \[ \vec{OP} = (1-s)\vec a + s\cdot\dfrac23\vec b \qquad \cdots (1) \] Pは線分BM上にもあるので、\(t\) を用いて（\(t=0\)でB、\(t=1\)でM） \[ \vec{OP} = (1-t)\vec b + t\cdot\dfrac12\vec a \qquad \cdots (2) \] (1)と(2)は同じ点\(\vec{OP}\)を表すので、\(\vec a\), \(\vec b\) の係数をそれぞれ比較する： \[ \vec a\text{の係数：}\ 1-s = \dfrac t2 \qquad \vec b\text{の係数：}\ \dfrac23 s = 1-t \] 1つ目の式から \(t=2(1-s)=2-2s\)。これを2つ目の式に代入すると \[ \dfrac23 s = 1-(2-2s) = -1+2s \ \Longrightarrow\ \dfrac23 s - 2s = -1 \ \Longrightarrow\ -\dfrac43 s = -1 \ \Longrightarrow\ s=\dfrac34 \] \(t = 2-2\cdot\dfrac34 = \dfrac12\)。(1)に代入すると \[ \vec{OP} = \left(1-\dfrac34\right)\vec a + \dfrac34\cdot\dfrac23\vec b = \dfrac14\vec a+\dfrac12\vec b \] \(\vec{OP} = \dfrac14\vec a+\dfrac12\vec b\)（\(s=\dfrac34,\ t=\dfrac12\)）

練習問題（全16問）

答えを入力して「採点」を押すと○×が出るぞ。分数は「2/3」のように入力。
わからないときは「解説を見る」で解き方を確認しよう。

基本（1〜6）

内分点の公式

点A, Bの位置ベクトルをそれぞれ \(\vec a\), \(\vec b\) とする。線分ABを \(2:3\) に内分する点Pの位置ベクトルは \(\vec p = \dfrac{\Box\,\vec a+\Box\,\vec b}{\Box}\) の形で表される。\(\Box\) に入る数をそれぞれ求めよ。