空間ベクトル

解説＋ドリル全16問・自動採点つき

問題プリントPDF 解答つきPDF
STEP 1

空間座標と空間ベクトルの成分表示

平面では \(x,y\) の2つの軸だったが、空間では原点 \(O\) から互いに直交する \(x,y,z\) の3本の軸を考える。点の位置は \((x,\ y,\ z)\) の3つの数の組で表される。ベクトルも同じように、成分が3つの組になるだけで、考え方は平面のときと全く変わらない。

2点 \(A(a_1,a_2,a_3)\)、\(B(b_1,b_2,b_3)\) を結ぶベクトル
\(\overrightarrow{AB} = (b_1-a_1,\ b_2-a_2,\ b_3-a_3)\)　（＝終点の座標 − 始点の座標。平面のときと同じ引き算のルール）

大きさ（長さ）も、平面での三平方の定理をそのまま3成分に拡張するだけでよい。

空間ベクトルの大きさ
\(\vec{a} = (a_1,\ a_2,\ a_3)\) のとき　\(|\vec{a}| = \sqrt{a_1^2+a_2^2+a_3^2}\)

例題1　2点 \(A(1,2,3)\)、\(B(4,6,15)\) について、\(\overrightarrow{AB}\) の成分と大きさを求めよ。

解答を見る
\(\overrightarrow{AB} = (4-1,\ 6-2,\ 15-3) = (3,\ 4,\ 12)\) \(|\overrightarrow{AB}| = \sqrt{3^2+4^2+12^2} = \sqrt{9+16+144} = \sqrt{169} = 13\) \(\overrightarrow{AB}=(3,4,12)\)、\(|\overrightarrow{AB}|=13\)

例題2　\(\vec{a} = (2,-1,2)\) の大きさ \(|\vec{a}|\) を求めよ。

解答を見る
\(|\vec{a}| = \sqrt{2^2+(-1)^2+2^2} = \sqrt{4+1+4} = \sqrt{9} = 3\) \(|\vec{a}| = 3\)
STEP 2

空間の内積・なす角

内積の計算も、成分どうしをかけて足すだけで平面と全く同じ。成分が1つ増えて3項の和になるだけだと考えよう。

内積の成分計算
\(\vec{a}=(a_1,a_2,a_3)\)、\(\vec{b}=(b_1,b_2,b_3)\) のとき　\(\vec{a}\cdot\vec{b} = a_1b_1+a_2b_2+a_3b_3\)
なす角 \(\theta\)（\(0^\circ \le \theta \le 180^\circ\)）
\(\cos\theta = \dfrac{\vec{a}\cdot\vec{b}}{|\vec{a}||\vec{b}|}\)　　垂直条件：\(\vec{a}\perp\vec{b} \iff \vec{a}\cdot\vec{b}=0\)

例題1　\(\vec{a}=(1,1,0)\)、\(\vec{b}=(1,0,1)\) のなす角 \(\theta\) を求めよ。

解答を見る
\(\vec{a}\cdot\vec{b} = 1\times1+1\times0+0\times1 = 1\) \(|\vec{a}| = \sqrt{1^2+1^2+0^2} = \sqrt{2}\)、\(|\vec{b}| = \sqrt{1^2+0^2+1^2} = \sqrt{2}\) \(\cos\theta = \dfrac{1}{\sqrt{2}\times\sqrt{2}} = \dfrac{1}{2}\) \(\theta = 60^\circ\)

例題2　\(\vec{a}=(1,2,-2)\)、\(\vec{b}=(2,-1,0)\) は垂直であるかどうか調べよ。

解答を見る
\(\vec{a}\cdot\vec{b} = 1\times2+2\times(-1)+(-2)\times0 = 2-2+0 = 0\) 内積が \(0\) なので、垂直条件を満たす。 \(\vec{a}\perp\vec{b}\)（垂直である）
STEP 3

空間の位置ベクトル（内分点・重心）

ここが今回いちばん覚えやすいポイント。内分点や重心の公式は、平面のときと形が完全に同じ。各成分ごとに同じ計算をすればよいだけなので、新しく覚え直す必要はない。

線分ABを \(m:n\) に内分する点P
\(\vec{p} = \dfrac{n\vec{a}+m\vec{b}}{m+n}\)　（成分ごとに同じ式を当てはめる）
三角形ABCの重心G
\(\vec{g} = \dfrac{\vec{a}+\vec{b}+\vec{c}}{3}\)　（3頂点の成分をそれぞれ足して3で割るだけ）

例題1　\(A(1,2,3)\)、\(B(4,-1,6)\) について、線分ABを \(2:1\) に内分する点Mの座標を求めよ。

解答を見る
\(\vec{m} = \dfrac{1\cdot\vec{a}+2\cdot\vec{b}}{2+1}\) \(x\)成分：\(\dfrac{1\times1+2\times4}{3} = \dfrac{1+8}{3} = 3\) \(y\)成分：\(\dfrac{1\times2+2\times(-1)}{3} = \dfrac{2-2}{3} = 0\) \(z\)成分：\(\dfrac{1\times3+2\times6}{3} = \dfrac{3+12}{3} = 5\) \(M(3,\ 0,\ 5)\)

例題2　\(A(2,0,1)\)、\(B(0,4,3)\)、\(C(4,2,-1)\) を頂点とする三角形の重心Gの座標を求めよ。

解答を見る
\(x\)成分：\(\dfrac{2+0+4}{3} = 2\) \(y\)成分：\(\dfrac{0+4+2}{3} = 2\) \(z\)成分：\(\dfrac{1+3+(-1)}{3} = 1\) \(G(2,\ 2,\ 1)\)
STEP 4

空間図形の方程式（球面）

空間の中では、平面も \(ax+by+cz=d\) という形の方程式で表せる（詳しい扱いは発展学習に譲る）。ここでは、平面図形の「円」を空間に拡張した球面の方程式を扱う。円の方程式 \((x-a)^2+(y-b)^2=r^2\) に、\(z\) 成分の項を1つ足すだけでよい。

中心 \((a,b,c)\)、半径 \(r\) の球面
\((x-a)^2+(y-b)^2+(z-c)^2 = r^2\)

円のときと同じく、展開された形の方程式が与えられたら平方完成をして中心と半径を読み取る。

例題1　中心 \((1,-2,3)\)、半径 \(4\) の球面の方程式を書け。

解答を見る
中心と半径を公式にそのまま当てはめる。 \((x-1)^2+(y+2)^2+(z-3)^2=16\)

例題2　方程式 \(x^2+y^2+z^2-4x+2y-6z+5=0\) が表す球面の中心と半径を求めよ。

解答を見る
\(x,y,z\) それぞれについて平方完成する。 \(x^2-4x = (x-2)^2-4\) \(y^2+2y = (y+1)^2-1\) \(z^2-6z = (z-3)^2-9\) 代入すると \((x-2)^2-4+(y+1)^2-1+(z-3)^2-9+5=0\) \((x-2)^2+(y+1)^2+(z-3)^2 = 4+1+9-5 = 9\) 中心 \((2,\ -1,\ 3)\)、半径 \(3\)
練習問題（全16問）

答えを入力して「採点」を押すと○×が出るぞ。分数は「-1/2」のように入力。
わからないときは「解説を見る」で解き方を確認しよう。

基本（1〜6）
1
成分の計算

2点 \(A(2,-1,3)\)、\(B(5,4,-2)\) について、\(\overrightarrow{AB}\) の成分を求めよ。

\(\overrightarrow{AB}=(\) , , \()\)
解説を見る
\(\overrightarrow{AB} = (5-2,\ 4-(-1),\ -2-3) = (3,\ 5,\ -5)\) \(\overrightarrow{AB}=(3,5,-5)\)
2
大きさ

\(\vec{a}=(3,4,12)\) の大きさ \(|\vec{a}|\) を求めよ。

\(|\vec{a}|=\)
解説を見る
\(|\vec{a}| = \sqrt{3^2+4^2+12^2} = \sqrt{9+16+144} = \sqrt{169} = 13\) \(|\vec{a}|=13\)
3
大きさ

\(\vec{a}=(1,-2,2)\) の大きさ \(|\vec{a}|\) を求めよ。

\(|\vec{a}|=\)
解説を見る
\(|\vec{a}| = \sqrt{1^2+(-2)^2+2^2} = \sqrt{1+4+4} = \sqrt{9} = 3\) \(|\vec{a}|=3\)
4
内積の計算

\(\vec{a}=(2,1,-1)\)、\(\vec{b}=(1,3,2)\) のとき、\(\vec{a}\cdot\vec{b}\) を求めよ。

\(\vec{a}\cdot\vec{b}=\)
解説を見る
\(\vec{a}\cdot\vec{b} = 2\times1+1\times3+(-1)\times2 = 2+3-2 = 3\) \(\vec{a}\cdot\vec{b}=3\)
5
内積の計算

\(\vec{a}=(1,1,1)\)、\(\vec{b}=(1,-1,1)\) のとき、\(\vec{a}\cdot\vec{b}\) を求めよ。

\(\vec{a}\cdot\vec{b}=\)
解説を見る
\(\vec{a}\cdot\vec{b} = 1\times1+1\times(-1)+1\times1 = 1-1+1 = 1\) \(\vec{a}\cdot\vec{b}=1\)
6
2点間の距離（大きさ）

2点 \(A(0,0,0)\)、\(B(2,-3,6)\) の距離 \(|\overrightarrow{AB}|\) を求めよ。

\(|\overrightarrow{AB}|=\)
解説を見る
\(\overrightarrow{AB} = (2,-3,6)\) \(|\overrightarrow{AB}| = \sqrt{2^2+(-3)^2+6^2} = \sqrt{4+9+36} = \sqrt{49} = 7\) \(|\overrightarrow{AB}|=7\)
標準（7〜13）
7
なす角

\(\vec{a}=(1,1,0)\)、\(\vec{b}=(1,0,1)\) のなす角 \(\theta\) を求めよ。

\(\theta=\) °
解説を見る
\(\vec{a}\cdot\vec{b} = 1\times1+1\times0+0\times1 = 1\) \(|\vec{a}|=\sqrt{2}\)、\(|\vec{b}|=\sqrt{2}\) \(\cos\theta = \dfrac{1}{\sqrt{2}\times\sqrt{2}} = \dfrac{1}{2}\) \(\theta=60^\circ\)
8
垂直条件から未知数を求める

\(\vec{a}=(2,-1,3)\)、\(\vec{b}=(4,2,t)\) が垂直であるとき、\(t\) の値を求めよ。

\(t=\)
解説を見る
垂直条件は \(\vec{a}\cdot\vec{b}=0\)。 \(\vec{a}\cdot\vec{b} = 2\times4+(-1)\times2+3\times t = 8-2+3t = 6+3t\) \(6+3t=0\) より \(t=-2\) \(t=-2\)
9
内分点

2点 \(A(1,0,-2)\)、\(B(7,6,4)\) について、線分ABを \(1:2\) に内分する点Pの座標を求めよ。

\(P(\) , , \()\)
解説を見る
\(\vec{p} = \dfrac{2\vec{a}+1\vec{b}}{1+2}\) \(x\)成分：\(\dfrac{2\times1+7}{3}=\dfrac{9}{3}=3\) \(y\)成分：\(\dfrac{2\times0+6}{3}=\dfrac{6}{3}=2\) \(z\)成分：\(\dfrac{2\times(-2)+4}{3}=\dfrac{0}{3}=0\) \(P(3,\ 2,\ 0)\)
10
中点（内分の特別な場合）

2点 \(A(3,-2,5)\)、\(B(-1,4,1)\) の中点Mの座標を求めよ。

\(M(\) , , \()\)
解説を見る
中点は \(1:1\) に内分する点なので、各成分の平均をとる。 \(x\)成分：\(\dfrac{3+(-1)}{2}=1\)　\(y\)成分：\(\dfrac{-2+4}{2}=1\)　\(z\)成分：\(\dfrac{5+1}{2}=3\) \(M(1,\ 1,\ 3)\)
11
重心

\(A(2,0,1)\)、\(B(0,4,3)\)、\(C(4,2,-1)\) を頂点とする三角形の重心Gの座標を求めよ。

\(G(\) , , \()\)
解説を見る
\(x\)成分：\(\dfrac{2+0+4}{3}=2\)　\(y\)成分：\(\dfrac{0+4+2}{3}=2\)　\(z\)成分：\(\dfrac{1+3+(-1)}{3}=1\) \(G(2,\ 2,\ 1)\)
12
球面の中心・半径を読み取る

方程式 \((x+1)^2+(y-2)^2+z^2=16\) が表す球面の中心の座標と半径を求めよ。

中心 \((\) , , \()\)　半径
解説を見る
\((x-a)^2+(y-b)^2+(z-c)^2=r^2\) の形と見比べる。 \((x-(-1))^2+(y-2)^2+(z-0)^2=4^2\) 中心 \((-1,\ 2,\ 0)\)、半径 \(4\)
13
差のベクトルの大きさ

\(\vec{a}=(3,1,2)\)、\(\vec{b}=(1,2,-1)\) のとき、\(|\vec{a}-\vec{b}|\) を求めよ。

\(|\vec{a}-\vec{b}|=\)
解説を見る
\(\vec{a}-\vec{b} = (3-1,\ 1-2,\ 2-(-1)) = (2,-1,3)\) \(|\vec{a}-\vec{b}| = \sqrt{2^2+(-1)^2+3^2} = \sqrt{4+1+9} = \sqrt{14}\) \(|\vec{a}-\vec{b}|=\sqrt{14}\)
挑戦（14〜16）
14
平方完成して球面の中心・半径を求める

方程式 \(x^2+y^2+z^2-2x+4y-6z+5=0\) が表す球面の中心の座標と半径を求めよ。

中心 \((\) , , \()\)　半径
解説を見る
\(x,y,z\) それぞれ平方完成する。 \(x^2-2x=(x-1)^2-1\)　\(y^2+4y=(y+2)^2-4\)　\(z^2-6z=(z-3)^2-9\) 代入すると \((x-1)^2+(y+2)^2+(z-3)^2-1-4-9+5=0\) \((x-1)^2+(y+2)^2+(z-3)^2 = 1+4+9-5 = 9\) 中心 \((1,\ -2,\ 3)\)、半径 \(3\)
15
2つのベクトルに垂直なベクトルを求める

\(\vec{v}=(x,y,1)\) が \(\vec{a}=(1,2,-1)\)、\(\vec{b}=(2,-1,3)\) の両方に垂直であるとき、\(x,y\) の値を求めよ。

\(x=\) 　\(y=\)
解説を見る
\(\vec{a}\cdot\vec{v}=0\) より \(x+2y-1=0\)　… (i) \(\vec{b}\cdot\vec{v}=0\) より \(2x-y+3=0\)　… (ii) (i) より \(x=1-2y\)。(ii) に代入：\(2(1-2y)-y+3=0 \Rightarrow 2-4y-y+3=0 \Rightarrow 5-5y=0 \Rightarrow y=1\) このとき \(x=1-2\times1=-1\) 検算：\(\vec{a}\cdot\vec{v}=(-1)+2-1=0\)、\(\vec{b}\cdot\vec{v}=-2-1+3=0\)（どちらも成立） \(x=-1,\ y=1\)
16
等距離条件

点Pが \(z\)軸上にあり、2点 \(A(1,2,2)\)、\(B(3,0,4)\) から等距離であるとき、Pの \(z\)座標を求めよ。（\(P(0,0,t)\) とおく）

\(t=\)
解説を見る
\(|PA|^2 = 1^2+2^2+(2-t)^2 = 5+(2-t)^2\) \(|PB|^2 = 3^2+0^2+(4-t)^2 = 9+(4-t)^2\) \(|PA|^2=|PB|^2\) より \(5+(2-t)^2 = 9+(4-t)^2\) \(5+4-4t+t^2 = 9+16-8t+t^2\) \(9-4t = 25-8t\) \(4t = 16\) \(t=4\) \(t=4\)（P(0,0,4)）
応用問題（プリント限定）

ここから先はPDF限定の腕試し。四面体・平面上の条件・空間内の最短距離など、入試の基礎レベルに挑戦しよう。

応1
四面体の重心

4点 \(A(1,2,3)\)、\(B(3,0,-1)\)、\(C(-1,4,5)\)、\(D(3,2,1)\) を頂点とする四面体ABCDの重心Gの座標を求めよ。（4頂点の位置ベクトルの平均になることは、三角形の重心が3頂点の平均になることと同じ考え方）

\(G(\) , , \()\)
解説を見る
三角形の重心が3頂点の位置ベクトルの平均であったのと同様に、四面体の重心は4頂点の位置ベクトルの平均になる。 \(x\)成分：\(\dfrac{1+3+(-1)+3}{4}=\dfrac{6}{4}=\dfrac{3}{2}\) \(y\)成分：\(\dfrac{2+0+4+2}{4}=\dfrac{8}{4}=2\) \(z\)成分：\(\dfrac{3+(-1)+5+1}{4}=\dfrac{8}{4}=2\) \(G\left(\dfrac{3}{2},\ 2,\ 2\right)\)
応2
同一平面上にある条件

3点 \(A(1,1,1)\)、\(B(3,2,0)\)、\(C(2,4,-1)\) の定める平面上に点 \(D(2,k,-4)\) があるとき、\(k\) の値を求めよ。（\(\overrightarrow{AD}=s\overrightarrow{AB}+t\overrightarrow{AC}\) を満たす実数 \(s,t\) が存在することが、Dが平面ABC上にある条件）

\(k=\)
解説を見る
\(\overrightarrow{AB}=(2,1,-1)\)、\(\overrightarrow{AC}=(1,3,-2)\)、\(\overrightarrow{AD}=(1,\ k-1,\ -5)\) \(\overrightarrow{AD}=s\overrightarrow{AB}+t\overrightarrow{AC}\) とおくと、成分ごとに \(2s+t=1\) … (i) \(s+3t=k-1\) … (ii) \(-s-2t=-5\)　すなわち \(s+2t=5\) … (iii) (iii)−(i)：\(-s+t=4\) より \(t=s+4\)。(i) に代入：\(2s+(s+4)=1 \Rightarrow 3s=-3 \Rightarrow s=-1\)、よって \(t=3\)。 (ii) に代入：\(-1+9=k-1 \Rightarrow k=9\) 検算：\(s=-1,t=3\) のとき \(s\overrightarrow{AB}+t\overrightarrow{AC}=(-2,-1,1)+(3,9,-6)=(1,8,-5)\) となり、\(\overrightarrow{AD}=(1,\ k-1,\ -5)=(1,8,-5)\) から \(k-1=8\)、\(k=9\) で一致。 \(k=9\)
応3
直線上の動点と定点の距離の最小

点Pが \(P(t)=(1+2t,\ -t,\ 2t)\)（\(t\) は実数）で表される直線上を動くとき、点 \(Q(6,0,4)\) との距離 \(|PQ|\) の最小値と、そのときの \(t\) の値を求めよ。（\(|PQ|^2\) を \(t\) の2次関数とみて、平方完成で最小値を求める）

最小値 　そのとき \(t=\)
解説を見る
\(P(t)-Q = (1+2t-6,\ -t-0,\ 2t-4) = (2t-5,\ -t,\ 2t-4)\) \(|PQ|^2 = (2t-5)^2+t^2+(2t-4)^2\) \(= (4t^2-20t+25)+t^2+(4t^2-16t+16)\) \(= 9t^2-36t+41\) \(= 9(t^2-4t)+41 = 9(t-2)^2-36+41 = 9(t-2)^2+5\) これは \(t\) の2次関数（下に凸）なので、\(t=2\) のとき最小値 \(5\) をとる。 \(|PQ|^2=5\) より \(|PQ|=\sqrt{5}\) \(t=2\) のとき最小値 \(\sqrt{5}\)
応4
球面上の点と外部の点の距離の最小

点 \(Q(1,2,11)\) から、球面 \((x-1)^2+(y-2)^2+(z-1)^2=9\) 上の点までの距離の最小値を求めよ。

最小値
解説を見る
球面の中心は \(C(1,2,1)\)、半径は \(3\)。 中心Cと点Qの距離：\(|CQ| = \sqrt{(1-1)^2+(2-2)^2+(11-1)^2} = \sqrt{0+0+100} = 10\) \(|CQ|=10 > 3\)（半径）なので、点Qは球の外部にある。球の外部の点から球面までの最短距離は、中心までの距離から半径を引いたもの（QとCを結ぶ直線が球面と交わる、Cに近い方の点が最短）。 \(10-3=7\) 最小値 \(7\)
応5
四面体の頂点から重心までの距離

4点 \(O(0,0,0)\)、\(A(4,0,0)\)、\(B(0,4,0)\)、\(C(0,0,4)\) を頂点とする四面体OABCの重心をGとする。Gの座標と、\(|OG|\) を求めよ。

\(G(\) , , \()\)　\(|OG|=\)
解説を見る
4頂点の位置ベクトルの平均をとる。 \(x\)成分：\(\dfrac{0+4+0+0}{4}=1\)　\(y\)成分：\(\dfrac{0+0+4+0}{4}=1\)　\(z\)成分：\(\dfrac{0+0+0+4}{4}=1\) よって \(G(1,1,1)\)。 \(|OG| = \sqrt{1^2+1^2+1^2} = \sqrt{3}\) \(G(1,1,1)\)、\(|OG|=\sqrt{3}\)