数III・C まとめテスト

2科目まとめての総復習・実戦テスト

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この範囲の全体像

数III・Cで学ぶ範囲は、数III（極限・微分法・積分法の全3章）と数C（ベクトル、平面上の曲線と複素数平面の全2章）からなる、高校数学でいちばん範囲の広い学年である。数III単独の物語は数IIIのまとめで確認したとおり、「極限という言葉を用意する→その言葉で微分を定義し公式を広げる→微分の逆演算として積分を定義し、積分自身も極限（区分求積法）で定義される」という一直線の流れになっている。一方の数Cも、数Cのまとめで確認したとおり、ベクトル・複素数平面・2次曲線が「平面（や空間）上の1点をどう表すか」という同じ問いに、違う道具で答えるという1本の軸でつながっている。

この高3の総復習でいちばん意識したいのは、数IIIと数Cという一見別々の科目が、実は同じ図形に対して役割分担をしているという事実である。たとえば楕円\(x=a\cos\theta,\ y=b\sin\theta\)という媒介変数表示は数C（平面上の曲線）の言葉で定義されるが、この曲線の接線の傾きを求めるには数III（微分法）の公式\(\dfrac{dy}{dx}=\dfrac{dy/d\theta}{dx/d\theta}\)が必要になる。同じ楕円の方程式\(\dfrac{x^2}{a^2}+\dfrac{y^2}{b^2}=1\)を陰関数とみて微分すれば、媒介変数を使わなくても同じ接線の傾きが求まる――数III（微分法）の「いろいろな関数の導関数」の章は、まさにこの数Cの図形を調べるための道具として用意されている。

「長さ」や「距離」についても同じ役割分担がある。数Cのベクトルの大きさの公式\(|\vec{a}|=\sqrt{a_1^2+a_2^2}\)や複素数の絶対値\(|z|=\sqrt{a^2+b^2}\)は、動かない2点間の距離を一瞬で測る道具である。一方、円や楕円が媒介変数表示で動く点として与えられているとき、その曲線に沿った長さ（弧の長さ）を測るには数III（積分法）の公式\(\displaystyle L=\int_{\alpha}^{\beta}\sqrt{\left(\dfrac{dx}{dt}\right)^2+\left(\dfrac{dy}{dt}\right)^2}\,dt\)が必要になる。どちらの公式も根号の中身は同じ三平方の定理であり、「静止した2点をまっすぐ測るか、曲線に沿って動きながら測るか」で使う科目（道具）が変わるだけだと考えると、公式が驚くほど少なく感じられるはずだ。

2次曲線（放物線・楕円・双曲線）の定義そのものも、「距離が一定」という条件で作られている。楕円なら2焦点までの距離の和が一定、双曲線なら距離の差が一定――この「距離」を実際の数として計算する場面では、結局ベクトルの大きさの公式（三平方の定理）が働いている。また、方程式の実数解や図形の共有点の個数を調べるときも、数III（微分法の増減表・中間値の定理）と数C（2次曲線と直線の判別式）という2つの道具が使い分けられる。このまとめでは、こうした数III・数Cをまたぐ組み合わせ問題（標準・発展の後半に多く含まれる）を通して、数III・Cの範囲全体が実はいくつかの共通する考え方――極限、微分、距離、判別――の組み合わせでできていることを確認していこう。

章まとめへのリンク一覧

各章の詳しいまとめ・まとめテストは以下のページにある。この総復習で手が止まった単元があれば、まず該当する章まとめに戻って確認しよう。

  1. 数III　全体のまとめ
  2. 数C　全体のまとめ
  3. 数III　極限　―　数列の極限・関数の極限、はさみうちの原理、連続性・中間値の定理・ネイピア数\(e\)。
  4. 数III　微分法　―　積・商・合成関数の微分、三角関数・指数関数・対数関数の導関数、陰関数・媒介変数の微分、接線・増減・極値、応用（速度・近似・不等式）。
  5. 数III　積分法　―　置換積分・部分積分、区分求積法、面積・体積・曲線の長さ。
  6. 数C　ベクトル　―　成分の演算・内積、位置ベクトルと図形（内分点・外分点・重心・共線条件）、空間ベクトル。
  7. 数C　平面上の曲線と複素数平面　―　2次曲線（放物線・楕円・双曲線）、媒介変数表示・極座標、複素数平面、ド・モアブルの定理。

要点の総整理　曲線の接線の傾きを求める手段の一覧

数Cで定義された曲線の接線の傾きを求める方法は、曲線がどんな形で表されているかによって3通りある。どれも根っこにあるのは数III（微分法）の合成関数の微分法だが、使う場面が違う。

陽関数　\(y=f(x)\)
数I〜数IIIで学んできた通常の微分。そのまま\(y'\)を計算すればよい。
陰関数　\(x,y\)が混ざった式
2次曲線の方程式そのもの。両辺を\(x\)で微分し、\(y\)を含む項には合成関数の微分法で\(y'\)をつけて、あとで\(y'\)について解く。
媒介変数表示　\(x=f(t),\ y=g(t)\)
\(\dfrac{dy}{dx}=\dfrac{dy/dt}{dx/dt}\)の公式で求める。\(t\)を消去しなくても傾きが出る。
使い分けの目安　楕円・双曲線の方程式から接線だけを求めたいなら、陰関数の微分がいちばん近道。曲線上の点を\(\theta\)や\(t\)で動かしながら考えたい（動く点の向き・速さなど）なら、媒介変数表示の微分の方が自然に使える。

要点の総整理　図形の量（長さ・面積・体積）を測る2つの道具

「距離」や「大きさ」を測る道具には、静止した2点をまっすぐ測るベクトル・複素数の絶対値と、曲線に沿って積み重ねて測る積分の、大きく2種類がある。

ベクトルの大きさ・複素数の絶対値　\(|\vec{a}|=\sqrt{a_1^2+a_2^2}\)、\(|z|=\sqrt{a^2+b^2}\)。2点を直線で結んだときの距離（＝まっすぐの長さ）を、三平方の定理で一瞬で計算する道具。
積分による長さ・面積・体積　曲線に沿った長さ（弧長）や、曲線で囲まれた面積・回転体の体積は、直線の物差しでは測れない。区間を細かく割ってたし合わせ、分割を限りなく細かくする（区分求積法の考え方）ことで、数III（積分法）がこれらの量を定義している。
使い分けの目安　2点を結ぶまっすぐな長さ（内分点までの距離・点と点の距離）ならベクトルの大きさ・複素数の絶対値。曲線そのものの長さ、曲線で囲まれた面積、回転体の体積なら積分。どちらも「距離」という感覚は同じでも、測る対象が直線的か曲線的かで計算の道具が変わる。

要点の総整理　実数解・共有点の個数を調べる手段の一覧

「方程式の実数解は何個あるか」「曲線と直線の共有点は何個あるか」という問いには、相手にする関数の種類によって2つの道具が使い分けられる。

微分できる関数（多項式・指数・対数・三角関数）
増減表で極大値・極小値を求め、それらの符号（またはx軸との位置関係）から共有点の個数を正確に数える（数III微分法）。
2次曲線（放物線・楕円・双曲線）と直線
連立して1文字を消去すると2次方程式になるので、判別式\(D\)の符号（\(D>0\)で2個、\(D=0\)で接する、\(D<0\)で0個）で共有点の個数がすぐ分かる（数C・代数的な方法）。
使い分けの目安　相手が2次曲線と直線なら、連立した式が2次方程式になるので判別式が最速。相手が3次以上の多項式や指数・対数・三角関数（微分すると次数が下がったり形が変わったりする関数）なら、判別式という考え方自体が使えないので、微分して増減表を作るのが基本の方針になる。
まとめテスト（標準）

数III・数Cの全範囲を横断する総合演習、全60問。目標時間は90分。答えを入力して「採点」を押すと○×が出るぞ。\(\infty\)は「inf」と入力しよう。分数は「-1/2」のように入力。
わからないときは「解説を見る」で解き方を確認しよう。

基本（1〜25）
1
|r|<1

\(\displaystyle\lim_{n\to\infty} \left(\dfrac{3}{4}\right)^n\) を求めよ。

極限値
解説を見る
\(r=\dfrac34\)は\(-1<r<1\)を満たすので\(0\)に収束する。 \(0\)
2
分数式・最高次で割る

\(\displaystyle\lim_{n\to\infty} \dfrac{5n-2}{3n+4}\) を求めよ。

極限値
解説を見る
分子・分母を\(n\)で割ると\(\dfrac{5-\frac2n}{3+\frac4n}\to\dfrac{5-0}{3+0}\) \(\displaystyle\lim_{n\to\infty}\dfrac{5n-2}{3n+4}=\dfrac53\)
3
約分

\(\displaystyle\lim_{x\to1}\dfrac{x^2-1}{x-1}\) を求めよ。

極限値
解説を見る
\(\dfrac{x^2-1}{x-1}=\dfrac{(x-1)(x+1)}{x-1}=x+1\)（\(x\neq1\)なら約分できる） \(\displaystyle\lim_{x\to1}\dfrac{x^2-1}{x-1}=1+1=2\)
4
sinの基本公式

\(\displaystyle\lim_{x\to0}\dfrac{\sin5x}{2x}\) を求めよ。

極限値
解説を見る
\(\dfrac{\sin5x}{2x}=\dfrac52\cdot\dfrac{\sin5x}{5x}\to\dfrac52\times1\) \(\displaystyle\lim_{x\to0}\dfrac{\sin5x}{2x}=\dfrac52\)
5
積の微分・基本

\(y=(2x-1)(x+3)\) を微分し、\(y'(2)\) の値を求めよ。

\(y'(2)=\)
解説を見る
\(f(x)=2x-1,\ f'(x)=2\)、\(g(x)=x+3,\ g'(x)=1\)とおく。 \(y'=2(x+3)+(2x-1)\cdot1=2x+6+2x-1=4x+5\) \(x=2\)を代入すると\(y'(2)=8+5\) \(y'(2)=13\)
6
商の微分

\(y=\dfrac{x-4}{x+2}\) を微分し、\(y'(1)\) の値を求めよ。

\(y'(1)=\)
解説を見る
\(f(x)=x-4,\ f'(x)=1\)、\(g(x)=x+2,\ g'(x)=1\)とおく。 \[ y' = \frac{1\cdot(x+2)-(x-4)\cdot1}{(x+2)^2} = \frac{x+2-x+4}{(x+2)^2} = \frac{6}{(x+2)^2} \] \(x=1\)を代入すると分母は\(9\)。 \(y'(1)=\dfrac{6}{9}=\dfrac23\)
7
合成関数・基本

\(y=(3x-1)^5\) を微分すると \(y'=A(3x-1)^4\) の形になる。\(A\)の値と\(y'(1)\)の値を求めよ。

\(A=\) 　\(y'(1)=\)
解説を見る
\(u=3x-1\)とおくと\(y=u^5\)。 \[ \frac{dy}{du}=5u^4,\qquad \frac{du}{dx}=3 \] \[ y' = 5u^4\cdot3 = 15u^4 = 15(3x-1)^4 \] \(x=1\)を代入すると\(u=2\)なので\(y'(1)=15\times2^4=15\times16\)。 \(A=15\)、\(y'(1)=240\)
8
sin・cosの微分係数

\(y=\sin x\) の \(x=\dfrac{\pi}{6}\) における微分係数と、\(y=\cos x\) の \(x=\dfrac{\pi}{3}\) における微分係数をそれぞれ求めよ。

\(\sin\)：\(y'\!\left(\dfrac{\pi}{6}\right)=\) 　\(\cos\)：\(y'\!\left(\dfrac{\pi}{3}\right)=\)
解説を見る
\(y=\sin x\)なら\(y'=\cos x\)なので\(y'\!\left(\dfrac\pi6\right)=\cos\dfrac\pi6=\dfrac{\sqrt3}{2}\)。 \(y=\cos x\)なら\(y'=-\sin x\)なので\(y'\!\left(\dfrac\pi3\right)=-\sin\dfrac\pi3=-\dfrac{\sqrt3}{2}\)。 \(\dfrac{\sqrt3}{2}\)、\(-\dfrac{\sqrt3}{2}\)
9
ln x・e^xの微分係数

\(y=\ln x\) の \(x=\dfrac13\) における微分係数と、\(y=e^x\) の \(x=2\) における微分係数をそれぞれ求めよ。

\(\ln x\)：\(y'\!\left(\dfrac13\right)=\) 　\(e^x\)：\(y'(2)=\)
解説を見る
\(y=\ln x\)なら\(y'=\dfrac1x\)なので\(y'\!\left(\dfrac13\right)=\dfrac{1}{1/3}=3\)。 \(y=e^x\)なら\(y'=e^x\)（微分しても形が変わらない）なので\(y'(2)=e^2\)。 \(3\)、\(e^2\)
10
不定積分の基本公式（総合）

\(\displaystyle \int \left(6x^2 - \dfrac{3}{x} + 4\sin x\right) dx\) を求めよ（\(C\)は省略してよい）。\(x^3\)の係数、\(\ln|x|\)の係数、\(\cos x\)の係数をそれぞれ求めよ。

\(x^3\)の係数 　\(\ln|x|\)の係数 　\(\cos x\)の係数
解説を見る
各項を公式にあてはめる。 \(\displaystyle\int6x^2\,dx=2x^3\)、\(\displaystyle\int\left(-\dfrac3x\right)dx=-3\ln|x|\)、\(\displaystyle\int4\sin x\,dx=-4\cos x\) \(2x^3-3\ln|x|-4\cos x\)
11
置換積分（べき乗型・定積分）

\(\displaystyle \int_0^1 6x(x^2+1)^2\,dx\) を求めよ。

値
解説を見る
\(u=x^2+1\)とおくと\(du=2x\,dx\)、すなわち\(6x\,dx=3\,du\)。\(x:0\to1\)のとき\(u:1\to2\)。 \(\displaystyle \int_0^1 6x(x^2+1)^2\,dx = \int_1^2 3u^2\,du = \Bigl[u^3\Bigr]_1^2 = 8-1=7\) \(7\)
12
部分積分（x・e^x型・定積分）

\(\displaystyle \int_0^1 xe^{2x}\,dx\) を求めよ。

値
解説を見る
\(f(x)=x,\ g'(x)=e^{2x}\)と選んで部分積分する（\(g(x)=\dfrac12e^{2x}\)）。 \(\displaystyle \int xe^{2x}\,dx = \dfrac{x}{2}e^{2x}-\int\dfrac12e^{2x}\,dx = \dfrac{x}{2}e^{2x}-\dfrac14e^{2x}+C = \dfrac{(2x-1)e^{2x}}{4}+C\) 端点を代入する。 \(x=1\)：\(\dfrac{e^2}{4}\)　\(x=0\)：\(-\dfrac14\) \(\displaystyle\int_0^1xe^{2x}\,dx=\dfrac{e^2}{4}-\left(-\dfrac14\right)=\dfrac{e^2+1}{4}\)
13
奇関数の性質

\(\displaystyle \int_{-3}^{3} (5x^3-2x)\,dx\) を求めよ。

値
解説を見る
\(f(x)=5x^3-2x\)は\(f(-x)=-5x^3+2x=-f(x)\)より奇関数。区間が原点対称なので、計算するまでもなく積分は\(0\)。 \(0\)
14
ベクトルの成分計算

\(\vec{a}=(2,\ -3),\ \vec{b}=(-1,\ 4)\) のとき、\(2\vec{a}-3\vec{b}\) を成分で求めよ。

x成分 　y成分
解説を見る
\(2\vec{a}=(4,\ -6)\)、\(3\vec{b}=(-3,\ 12)\) \(2\vec{a}-3\vec{b}=(4-(-3),\ -6-12)=(7,\ -18)\) \((7,\ -18)\)
15
内積の基本

\(\vec{a}=(3,\ 1),\ \vec{b}=(2,\ -4)\) の内積 \(\vec{a}\cdot\vec{b}\) を求めよ。

\(\vec{a}\cdot\vec{b}=\)
解説を見る
\(\vec{a}\cdot\vec{b}=3\times2+1\times(-4)=6-4\) \(\vec{a}\cdot\vec{b}=2\)
16
ベクトルの大きさ

\(\vec{a}=(3,\ 4)\) の大きさ \(|\vec{a}|\) を求めよ。

\(|\vec{a}|=\)
解説を見る
\(|\vec{a}|=\sqrt{3^2+4^2}=\sqrt{9+16}=\sqrt{25}\) \(|\vec{a}|=5\)
17
内分点

2点 \(A(1,\ 2),\ B(9,\ 10)\) を \(3:1\) に内分する点の座標を求めよ。

x座標 　y座標
解説を見る
内分点の公式\(P=\dfrac{1\cdot A+3\cdot B}{3+1}\)にあてはめる。 x座標：\(\dfrac{1\times1+3\times9}{4}=\dfrac{1+27}{4}=7\) y座標：\(\dfrac{1\times2+3\times10}{4}=\dfrac{2+30}{4}=8\) \((7,\ 8)\)
18
重心

3点 \(A(0,\ 0),\ B(6,\ 0),\ C(3,\ 9)\) の重心 \(G\) の座標を求めよ。

x座標 　y座標
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重心は3頂点の座標の平均。 x座標：\(\dfrac{0+6+3}{3}=3\)　y座標：\(\dfrac{0+0+9}{3}=3\) \(G(3,\ 3)\)
19
空間ベクトルの大きさ

\(\vec{a}=(1,\ 2,\ -2)\) の大きさ \(|\vec{a}|\) を求めよ。

\(|\vec{a}|=\)
解説を見る
\(|\vec{a}|=\sqrt{1^2+2^2+(-2)^2}=\sqrt{1+4+4}=\sqrt{9}\) \(|\vec{a}|=3\)
20
放物線の焦点・準線

放物線 \(y^2=8x\) の焦点のx座標と、準線の方程式（\(x=\)の右辺の値）を求めよ。

焦点のx座標 　準線：\(x=\)
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\(y^2=4px\)の形とみると\(4p=8\)より\(p=2\)。 焦点は\((p,\ 0)=(2,\ 0)\)、準線は\(x=-p=-2\)。 焦点のx座標\(2\)、準線\(x=-2\)
21
楕円の焦点

楕円 \(\dfrac{x^2}{16}+\dfrac{y^2}{9}=1\) の焦点のx座標（正の方の値）を求めよ。

焦点のx座標
解説を見る
\(a^2=16,\ b^2=9\)なので\(c^2=a^2-b^2=16-9=7\)、\(c=\sqrt7\)。 焦点のx座標は\(\sqrt7\)（焦点は\((\pm\sqrt7,\ 0)\)）
22
双曲線の漸近線

双曲線 \(\dfrac{x^2}{9}-\dfrac{y^2}{16}=1\) の漸近線の傾き（正の方の値）を求めよ。

傾き
解説を見る
\(\dfrac{x^2}{a^2}-\dfrac{y^2}{b^2}=1\)の漸近線は\(y=\pm\dfrac{b}{a}x\)。\(a=3,\ b=4\)なので傾きは\(\dfrac{b}{a}=\dfrac43\)。 傾きは\(\dfrac43\)（漸近線は\(y=\pm\dfrac43x\)）
23
極形式

複素数 \(z=1+i\) の絶対値 \(|z|\) と、偏角（度）を求めよ。

\(|z|=\) 　偏角 °
解説を見る
\(|z|=\sqrt{1^2+1^2}=\sqrt2\)。 実部・虚部がともに\(1\)で等しく、ともに正なので偏角は\(45°\)（第1象限で実部=虚部の直線上）。 \(|z|=\sqrt2\)、偏角\(45°\)
24
ド・モアブルの定理

\(z=\cos60°+i\sin60°\) のとき、\(z^3\) の値（実数）を求めよ。

\(z^3=\)
解説を見る
ド・モアブルの定理より\(z^3=\cos(3\times60°)+i\sin(3\times60°)=\cos180°+i\sin180°\)。 \(\cos180°=-1,\ \sin180°=0\)。 \(z^3=-1\)
25
n乗根の個数

方程式 \(z^5=1\)（1の5乗根）を満たす複素数\(z\)は何個あるか。

個数 個
解説を見る
\(1=\cos0°+i\sin0°\)の\(n\)乗根は、絶対値\(1\)・偏角\(\dfrac{0°+360°k}{5}\)（\(k=0,1,2,3,4\)）でちょうど\(5\)個ある（複素数平面上で単位円を5等分する点）。 5個
標準（26〜50）
26
根号の有理化（数列）

\(\displaystyle\lim_{n\to\infty} \left(\sqrt{n^2+5n} - n\right)\) を求めよ。

極限値
解説を見る
分子・分母に\(\sqrt{n^2+5n}+n\)を掛けて有理化する。 \(\sqrt{n^2+5n}-n=\dfrac{(n^2+5n)-n^2}{\sqrt{n^2+5n}+n}=\dfrac{5n}{\sqrt{n^2+5n}+n}\) 分子・分母を\(n\)で割ると \(=\dfrac{5}{\sqrt{1+\frac5n}+1}\to\dfrac{5}{\sqrt{1+0}+1}=\dfrac{5}{2}\) \(\displaystyle\lim_{n\to\infty}\left(\sqrt{n^2+5n}-n\right)=\dfrac{5}{2}\)
27
2文字の係数決定

\(\displaystyle\lim_{x\to3}\dfrac{2x^2+ax+b}{x-3}=7\) が成り立つように定数 \(a,\ b\) の値を定めよ。

\(a=\) 　\(b=\)
解説を見る
分母が\(x\to3\)で\(0\)に近づき、極限値が\(7\)（有限）と指定されているので、分子も\(x=3\)で\(0\)でなければならない。 分子に\(x=3\)を代入：\(18+3a+b=0\)　…(1) 分子が\(x-3\)を因数に持つので\(2x^2+ax+b=(x-3)(2x+c)\)と書ける（\(c\)は定数）。展開すると\(2x^2+(c-6)x-3c\)。 係数比較：\(a=c-6\)、\(b=-3c\)。 商\(2x+c\)に\(x=3\)を代入した値が極限値になるので、\(6+c=7\)より\(c=1\)。 このとき\(a=c-6=-5\)、\(b=-3c=-3\)。（(1)式で確認：\(18+3(-5)+(-3)=0\)で成立） \(a=-5,\ b=-3\)
28
連続になるように定数を定める

次の関数が \(x=4\) で連続となるように、定数 \(a\) の値を定めよ。 \[ f(x) = \begin{cases} \dfrac{x^2-16}{x-4} & (x \neq 4) \\ a & (x = 4) \end{cases} \]

\(a=\)
解説を見る
\(x\neq4\)のとき\(f(x)=\dfrac{(x-4)(x+4)}{x-4}=x+4\)。 \(\displaystyle\lim_{x\to4}(x+4)=8\)。 \(a=8\)
29
対数微分法

\(y=(x+2)^4(x-1)^3\) を対数微分法で微分し、\(y'(2)\) の値を求めよ。

\(y'(2)=\)
解説を見る
\(x=2\)付近では\(x+2>0,\ x-1>0\)なので、そのまま両辺の対数をとってよい。 \[ \ln y = 4\ln(x+2)+3\ln(x-1) \] 両辺を \(x\) で微分する。 \[ \frac{y'}{y} = \frac{4}{x+2}+\frac{3}{x-1} \] まず\(x=2\)での\(y\)の値を求める。 \[ y(2)=(2+2)^4(2-1)^3=4^4\times1^3=256 \] 次に\(x=2\)での\(\dfrac{y'}{y}\)の値を求める。 \[ \frac{y'}{y}\bigg|_{x=2}=\frac{4}{4}+\frac{3}{1}=1+3=4 \] \(y'=y\times\dfrac{y'}{y}\)より \(y'(2)=256\times4=1024\)
30
極値・3次関数

\(y = x^3-3x^2-9x+5\) の極値を求めよ。

極大値 （\(x=\) ）　極小値 （\(x=\) ）
解説を見る
\(f'(x)=3x^2-6x-9=3(x^2-2x-3)=3(x-3)(x+1)\)。\(f'(x)=0\)より\(x=-1,\ 3\)。 \(x<-1\)で増加、\(-1<x<3\)で減少、\(x>3\)で増加。 \(f(-1)=-1-3+9+5=10\)、\(f(3)=27-27-27+5=-22\)。 \(x=-1\)で極大値\(10\)、\(x=3\)で極小値\(-22\)
31
接線・指数関数

曲線 \(y=e^{2x}\) の \(x=0\) における接線の傾きと\(y\)切片を求めよ。

傾き 　\(y\)切片
解説を見る
\(f'(x)=2e^{2x}\)より\(f'(0)=2e^0=2\)。接点は\(f(0)=e^0=1\)なので\((0,\ 1)\)。 接線：\(y=2(x-0)+1=2x+1\)（傾き\(2\)、\(y\)切片\(1\)） 傾き\(2\)、\(y\)切片\(1\)
32
方程式の実数解の個数（増減表）

\(f(x)=x^3-3x+k\) のグラフが\(x\)軸と異なる3点で交わるように、定数\(k\)の値の範囲を求めよ。

下端＝ 　上端＝
解説を見る
\(f'(x)=3x^2-3=3(x-1)(x+1)\)。\(f'(x)=0\)より\(x=-1,\ 1\)。 \(x<-1\)で増加、\(-1<x<1\)で減少、\(x>1\)で増加。 極大値\(f(-1)=-1+3+k=k+2\)、極小値\(f(1)=1-3+k=k-2\)。 \(x\)軸と異なる3点で交わる条件は「極大値\(>0\)」かつ「極小値\(<0\)」。 \(k+2>0\)より\(k>-2\)。\(k-2<0\)より\(k<2\)。 \(-2 < k < 2\)
33
部分分数分解

\(\displaystyle \int \dfrac{1}{x^2-9}\,dx = \dfrac{1}{\text{ア}}\ln\left|\dfrac{x-3}{x+3}\right|+C\)　のアを求めよ。

ア=
解説を見る
\(\dfrac{1}{x^2-9}=\dfrac{1}{(x-3)(x+3)}=\dfrac16\left(\dfrac{1}{x-3}-\dfrac{1}{x+3}\right)\)と分解できるので \(\displaystyle \int \dfrac{1}{x^2-9}\,dx = \dfrac16\ln|x-3|-\dfrac16\ln|x+3|+C = \dfrac16\ln\left|\dfrac{x-3}{x+3}\right|+C\) ア \(=6\)
34
半角公式（定積分）

\(\displaystyle \int_0^{\pi/4} \cos^2 x\,dx\) を求めよ。

値
解説を見る
半角公式\(\cos^2x=\dfrac{1+\cos2x}{2}\)を使う。 \(\displaystyle \int_0^{\pi/4}\cos^2x\,dx = \left[\dfrac{x}{2}+\dfrac{\sin2x}{4}\right]_0^{\pi/4} = \left(\dfrac{\pi}{8}+\dfrac{\sin(\pi/2)}{4}\right)-0 = \dfrac{\pi}{8}+\dfrac14\) 分母をそろえると\(\dfrac{\pi}{8}+\dfrac28=\dfrac{\pi+2}{8}\) \(\dfrac{\pi+2}{8}\)
35
曲線の長さ

曲線 \(y=\dfrac23x^{3/2}\)（\(0\le x\le3\)）の長さ \(L\) を求めよ。

\(L=\)
解説を見る
\(y'=x^{1/2}=\sqrt{x}\)なので\(1+(y')^2=1+x\)。 \(\displaystyle L=\int_0^3\sqrt{1+x}\,dx=\Bigl[\dfrac23(1+x)^{3/2}\Bigr]_0^3=\dfrac23\left(4^{3/2}-1\right)=\dfrac23(8-1)\) \(L=\dfrac{14}{3}\)
36
共線条件

3点 \(A(1,\ 2),\ B(4,\ 8),\ C(k,\ 20)\) が一直線上にあるように、定数\(k\)の値を求めよ。

\(k=\)
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\(\overrightarrow{AB}=(3,\ 6)\)、\(\overrightarrow{AC}=(k-1,\ 18)\)。 一直線上にある\(\iff\overrightarrow{AC}=t\overrightarrow{AB}\)となる実数\(t\)が存在する。 \(y\)成分より\(18=6t\)なので\(t=3\)。 \(x\)成分より\(k-1=3\times3=9\)なので\(k=10\)。 \(k=10\)
37
内積を用いた垂直条件

\(\vec{a}=(x,\ 3),\ \vec{b}=(4,\ -2)\) が垂直であるように、\(x\)の値を求めよ。

\(x=\)
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垂直\(\iff\vec{a}\cdot\vec{b}=0\)。 \(\vec{a}\cdot\vec{b}=4x+3\times(-2)=4x-6=0\) \(x=\dfrac32\)
38
空間ベクトルの内積

\(\vec{a}=(1,\ 2,\ 2),\ \vec{b}=(2,\ -1,\ 2)\) の内積 \(\vec{a}\cdot\vec{b}\) と、なす角\(\theta\)の\(\cos\theta\)を求めよ。

\(\vec{a}\cdot\vec{b}=\) 　\(\cos\theta=\)
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\(\vec{a}\cdot\vec{b}=1\times2+2\times(-1)+2\times2=2-2+4=4\) \(|\vec{a}|=\sqrt{1+4+4}=3\)、\(|\vec{b}|=\sqrt{4+1+4}=3\) \(\cos\theta=\dfrac{\vec{a}\cdot\vec{b}}{|\vec{a}||\vec{b}|}=\dfrac{4}{3\times3}\) \(\vec{a}\cdot\vec{b}=4\)、\(\cos\theta=\dfrac49\)
39
外分点

2点 \(A(2,\ 1),\ B(8,\ 4)\) を \(5:2\) に外分する点の座標を求めよ。

x座標 　y座標
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外分点の公式\(P=\dfrac{-2\cdot A+5\cdot B}{5-2}\)にあてはめる。 x座標：\(\dfrac{-2\times2+5\times8}{3}=\dfrac{-4+40}{3}=12\) y座標：\(\dfrac{-2\times1+5\times4}{3}=\dfrac{-2+20}{3}=6\) \((12,\ 6)\)
40
楕円の定義

楕円 \(\dfrac{x^2}{25}+\dfrac{y^2}{9}=1\) 上の点\(P\)から2つの焦点\(F,\ F'\)までの距離の和 \(PF+PF'\) を求めよ。

\(PF+PF'=\)
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楕円の定義より、2焦点までの距離の和はつねに\(2a\)で一定。\(a^2=25\)より\(a=5\)なので\(2a=10\)。 \(PF+PF'=10\)
41
極座標

極方程式 \(r=6\cos\theta\) が表す図形は円である。この円の半径を求めよ。

半径
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両辺に\(r\)を掛けると\(r^2=6r\cos\theta\)。\(r^2=x^2+y^2,\ r\cos\theta=x\)を代入すると \(x^2+y^2=6x\)　すなわち　\((x-3)^2+y^2=9\) これは中心\((3,\ 0)\)、半径\(3\)の円。 半径\(3\)
42
複素数の回転

\(z=2(\cos30°+i\sin30°)\) を原点を中心に \(90°\) 回転した複素数の絶対値と偏角（度）を求めよ。

絶対値 　偏角 °
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絶対値\(r\)の複素数を\(\theta\)回転しても絶対値は変わらず、偏角に\(\theta\)が足される（\(\cos\theta+i\sin\theta\)を掛けることに対応）。 絶対値は\(2\)のまま。偏角は\(30°+90°=120°\)。 絶対値\(2\)、偏角\(120°\)
43
総合：媒介変数表示の曲線の長さ（線分）

媒介変数表示 \(x=2+3t,\ y=-1+4t\)（\(0\le t\le2\)）で表される線分の長さ \(L\) を、曲線の長さの公式を用いて求めよ。

\(L=\)
解説を見る
\(\dfrac{dx}{dt}=3,\ \dfrac{dy}{dt}=4\)なので \(\displaystyle L=\int_0^2\sqrt{3^2+4^2}\,dt=\int_0^2 5\,dt=5\times2\) （検算：\(t=0\)で\((2,\ -1)\)、\(t=2\)で\((8,\ 7)\)。2点間の距離は\(\sqrt{6^2+8^2}=\sqrt{100}=10\)で一致。直線なので曲線の長さ＝2点間の距離になる。） \(L=10\)
44
総合：媒介変数表示の微分（楕円）

楕円 \(x=3\cos\theta,\ y=2\sin\theta\) 上の \(\theta=\dfrac{\pi}{3}\) の点における接線の傾き \(\dfrac{dy}{dx}\) を求めよ。

傾き
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\(\dfrac{dx}{d\theta}=-3\sin\theta,\ \dfrac{dy}{d\theta}=2\cos\theta\)なので \(\dfrac{dy}{dx}=\dfrac{dy/d\theta}{dx/d\theta}=\dfrac{2\cos\theta}{-3\sin\theta}\) \(\theta=\dfrac\pi3\)を代入する。\(\cos\dfrac\pi3=\dfrac12,\ \sin\dfrac\pi3=\dfrac{\sqrt3}{2}\)なので \(\dfrac{dy}{dx}=\dfrac{2\times\frac12}{-3\times\frac{\sqrt3}{2}}=\dfrac{1}{-\frac{3\sqrt3}{2}}=-\dfrac{2}{3\sqrt3}=-\dfrac{2\sqrt3}{9}\) 傾きは\(-\dfrac{2\sqrt3}{9}\)
45
総合：陰関数の微分と2次曲線

楕円 \(\dfrac{x^2}{8}+\dfrac{y^2}{2}=1\) 上の点 \((2,\ 1)\) における接線の傾きを、陰関数の微分で求めよ。

傾き
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点\((2,1)\)が楕円上にあることをまず確認：\(\dfrac{4}{8}+\dfrac{1}{2}=\dfrac12+\dfrac12=1\)（成立）。 両辺を\(x\)で微分する（\(y\)は\(x\)の関数とみて、合成関数の微分法で\(y'\)をつける）。 \(\dfrac{2x}{8}+\dfrac{2y\cdot y'}{2}=0\)　すなわち　\(\dfrac{x}{4}+y\cdot y'=0\) \(y'=-\dfrac{x}{4y}\) 点\((2,1)\)を代入すると\(y'=-\dfrac{2}{4\times1}=-\dfrac{2}{4}\) 傾きは\(-\dfrac12\)
46
総合：空間ベクトルと微分

点 \(A(1,\ 0,\ 0)\) から、直線上の点 \(P(t)=(t,\ 2t,\ 2-t)\)（\(t\)は実数）までの距離の2乗 \(f(t)=AP^2\) を \(t\)の関数として表し、微分によって距離\(AP\)が最小となる\(t\)の値と、そのときの\(f(t)\)の値を求めよ。

\(t=\) 　最小値
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\(f(t)=(t-1)^2+(2t)^2+(2-t)^2\)を展開する。 \((t-1)^2=t^2-2t+1\)、\((2t)^2=4t^2\)、\((2-t)^2=t^2-4t+4\) \(f(t)=t^2-2t+1+4t^2+t^2-4t+4=6t^2-6t+5\) \(f'(t)=12t-6=0\)より\(t=\dfrac12\)。\(f''(t)=12>0\)（下に凸）なので\(t=\dfrac12\)で最小。 \(f\!\left(\dfrac12\right)=6\times\dfrac14-6\times\dfrac12+5=\dfrac32-3+5=\dfrac72\) \(t=\dfrac12\)のとき、\(f(t)\)は最小値\(\dfrac72\)をとる
47
総合：複素数と微分

\(z=3\cos\theta+4i\sin\theta\)（\(0\le\theta\le2\pi\)）について、\(|z|^2\)を\(\theta\)の関数として表し、微分を用いて\(|z|\)の最大値を求めよ。

\(|z|\)の最大値
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\(|z|^2=(3\cos\theta)^2+(4\sin\theta)^2=9\cos^2\theta+16\sin^2\theta\)。これを\(f(\theta)\)とおく。 \(f'(\theta)=-18\cos\theta\sin\theta+32\sin\theta\cos\theta=14\sin\theta\cos\theta=7\sin2\theta\) \(f'(\theta)=0\)より\(\theta=0,\ \dfrac\pi2,\ \pi,\ \dfrac{3\pi}2\)。 各点での値を比べる。\(f(0)=9\)（\(\theta=0\)）、\(f\!\left(\dfrac\pi2\right)=16\)（\(\theta=\dfrac\pi2\)）、\(f(\pi)=9\)、\(f\!\left(\dfrac{3\pi}2\right)=16\)。 最大は\(f=16\)なので\(|z|=\sqrt{16}=4\)。 \(|z|\)の最大値は\(4\)（\(\theta=\dfrac\pi2,\ \dfrac{3\pi}2\)のとき）
48
総合：媒介変数表示と微分

円 \(x=2\cos\theta,\ y=2\sin\theta\) 上の点の x座標と y座標の積 \(xy\) の最大値を、\(\theta\)による微分を用いて求めよ。

最大値
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\(xy=2\cos\theta\times2\sin\theta=4\sin\theta\cos\theta=2\sin2\theta\) \(\dfrac{d}{d\theta}(2\sin2\theta)=4\cos2\theta=0\)より\(2\theta=\dfrac\pi2\)、すなわち\(\theta=\dfrac\pi4\)のとき\(\sin2\theta=1\)で最大。 \(xy\)の最大値は\(2\)（\(\theta=\dfrac\pi4\)のとき）
49
総合：数列の極限とベクトル

ベクトル \(\vec{a}_n=\left(\dfrac1n,\ \dfrac{n+1}{n}\right)\) について、\(n\to\infty\)のときの各成分の極限を求めよ。

x成分の極限 　y成分の極限
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それぞれの成分を、ふつうの数列の極限として計算すればよい。 \(\displaystyle\lim_{n\to\infty}\dfrac1n=0\) \(\displaystyle\lim_{n\to\infty}\dfrac{n+1}{n}=\lim_{n\to\infty}\left(1+\dfrac1n\right)=1\) x成分は\(0\)、y成分は\(1\)に近づく
50
総合：媒介変数表示の曲線の長さ（円）

円 \(x=2\cos\theta,\ y=2\sin\theta\)（\(0\le\theta\le\dfrac{\pi}{2}\)）の長さ \(L\) を、曲線の長さの公式で求めよ。

\(L=\)
解説を見る
\(\dfrac{dx}{d\theta}=-2\sin\theta,\ \dfrac{dy}{d\theta}=2\cos\theta\)なので \(\sqrt{(dx/d\theta)^2+(dy/d\theta)^2}=\sqrt{4\sin^2\theta+4\cos^2\theta}=2\) \(\displaystyle L=\int_0^{\pi/2}2\,d\theta=2\times\dfrac\pi2\) （検算：これは半径2の円周の\(\dfrac14\)にあたる。円周は\(2\pi\times2=4\pi\)なので\(\dfrac14\)は\(\pi\)で一致。） \(L=\pi\)
発展（51〜60）
51
総合：極限×ベクトル×微分

\(a=\displaystyle\lim_{n\to\infty}\dfrac{4n-1}{2n+3}\) とする。ベクトル \(\vec{w}=(a,\ a^2)\) の大きさ \(|\vec{w}|\) を求めよ。また、関数 \(g(x)=x^2-ax\) の最小値を求めよ。

\(a=\) 　\(|\vec{w}|=\) 　\(g(x)\)の最小値 （\(x=\) ）
解説を見る
まず\(a\)を求める。分子・分母を\(n\)で割ると \(a=\displaystyle\lim_{n\to\infty}\dfrac{4-\frac1n}{2+\frac3n}=\dfrac42=2\) \(a=2\)なので\(\vec{w}=(2,\ 4)\)。\(|\vec{w}|=\sqrt{2^2+4^2}=\sqrt{4+16}=\sqrt{20}=2\sqrt5\)。 \(g(x)=x^2-2x=(x-1)^2-1\)。下に凸なので頂点で最小、最小値は\(-1\)（\(x=1\)）。 \(a=2\)、\(|\vec{w}|=2\sqrt5\)、\(g(x)\)は\(x=1\)で最小値\(-1\)
52
総合：空間ベクトルと微分（原点からの最短距離）

位置ベクトルで表される点 \(P(t)=(1+t,\ 2-t,\ t)\) から原点までの距離の2乗 \(f(t)=OP^2\) を \(t\)の関数として表し、微分を用いて \(f(t)\) を最小にする\(t\)の値と、その最小値を求めよ。

\(t=\) 　最小値
解説を見る
\(f(t)=(1+t)^2+(2-t)^2+t^2\)を展開する。 \((1+t)^2=1+2t+t^2\)、\((2-t)^2=4-4t+t^2\) \(f(t)=1+2t+t^2+4-4t+t^2+t^2=3t^2-2t+5\) \(f'(t)=6t-2=0\)より\(t=\dfrac13\)。\(f''(t)=6>0\)なので\(t=\dfrac13\)で最小。 \(f\!\left(\dfrac13\right)=3\times\dfrac19-2\times\dfrac13+5=\dfrac13-\dfrac23+5=-\dfrac13+5=\dfrac{14}{3}\) \(t=\dfrac13\)のとき、最小値\(\dfrac{14}{3}\)
53
総合：2次曲線と接する条件（判別式）

直線 \(y=x+k\) が楕円 \(\dfrac{x^2}{4}+y^2=1\) に接するように、正の定数\(k\)の値を求めよ。

\(k=\)
解説を見る
\(y=x+k\)を楕円の式に代入する。 \(\dfrac{x^2}{4}+(x+k)^2=1\) 両辺に4を掛けて整理する。 \(x^2+4(x+k)^2=4\) \(x^2+4x^2+8kx+4k^2=4\) \(5x^2+8kx+(4k^2-4)=0\) 「接する」とは共有点がちょうど1個、つまりこの2次方程式が重解をもつということ。判別式\(D=0\)。 \(D=(8k)^2-4\times5\times(4k^2-4)=64k^2-80k^2+80=-16k^2+80\) \(D=0\)より\(16k^2=80\)、\(k^2=5\)、よって\(k=\pm\sqrt5\)。 条件は\(k>0\)なので \(k=\sqrt5\)
54
総合：複素数平面と微分（速度）

複素数平面上を動く点 \(z(t)=2(\cos t+i\sin t)\) の実部 \(x(t)=2\cos t\) について、\(\dfrac{dx}{dt}\)を求め、\(t=\dfrac{\pi}{3}\)における値を求めよ。

\(\dfrac{dx}{dt}\bigg|_{t=\pi/3}=\)
解説を見る
\(x(t)=2\cos t\)より\(\dfrac{dx}{dt}=-2\sin t\)。 \(t=\dfrac\pi3\)を代入すると、\(\sin\dfrac\pi3=\dfrac{\sqrt3}{2}\)なので \(\dfrac{dx}{dt}=-2\times\dfrac{\sqrt3}{2}=-\sqrt3\) \(-\sqrt3\)
55
総合：2次曲線と積分（置換積分）

\(\displaystyle \int_{-3}^{3} \dfrac23\sqrt{9-x^2}\,dx\) を、置換積分 \(x=3\sin\theta\) を用いて求めよ。

値
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\(x=3\sin\theta\)とおくと\(dx=3\cos\theta\,d\theta\)。\(x:-3\to3\)のとき\(\theta:-\dfrac{\pi}{2}\to\dfrac{\pi}{2}\)（この範囲で\(\cos\theta\ge0\)）。 \(\sqrt{9-x^2}=\sqrt{9-9\sin^2\theta}=3\sqrt{1-\sin^2\theta}=3\cos\theta\)（\(\cos\theta\ge0\)より） 積分の中身を書き換える。 \(\dfrac23\sqrt{9-x^2}\,dx=\dfrac23\times3\cos\theta\times3\cos\theta\,d\theta=6\cos^2\theta\,d\theta\) 半角公式\(\cos^2\theta=\dfrac{1+\cos2\theta}{2}\)を使う。 \(\displaystyle\int_{-\pi/2}^{\pi/2}6\cos^2\theta\,d\theta=6\left[\dfrac{\theta}{2}+\dfrac{\sin2\theta}{4}\right]_{-\pi/2}^{\pi/2}=6\left\{\left(\dfrac{\pi}{4}+0\right)-\left(-\dfrac{\pi}{4}+0\right)\right\}=6\times\dfrac{\pi}{2}\) （この積分は、断面が楕円\(\dfrac{x^2}{9}+\dfrac{y^2}{4}=1\)の上半分の面積を求めたものにあたる。） \(3\pi\)
56
総合：極限×積分（区分求積法）

\(\displaystyle \lim_{n\to\infty}\dfrac1n\sum_{k=1}^{n}\left\{3\left(\dfrac kn\right)^2+2\right\}\) を定積分に直し、値を求めよ。

値
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和の形が「\(\dfrac1n\times\)（\(k/n\)だけの式）」になっているので、\(f(x)=3x^2+2\)として区分求積法の公式が使える。 \(\displaystyle \lim_{n\to\infty}\dfrac1n\sum_{k=1}^{n}f\!\left(\dfrac kn\right)=\int_0^1f(x)\,dx=\int_0^1(3x^2+2)\,dx=\Bigl[x^3+2x\Bigr]_0^1=1+2\) \(3\)
57
総合：複素数の回転とベクトル

複素数 \(z=3+4i\) を、原点を中心に \(90°\) 回転した複素数 \(w=iz\) を求め、\(w\)に対応するベクトルの成分を求めよ。

実部 　虚部
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複素数の掛け算で\(i\)を掛けることは、原点を中心に\(90°\)回転することに対応する。 \(w=iz=i(3+4i)=3i+4i^2=3i-4=-4+3i\) 対応するベクトルは実部・虚部を成分にとって\((-4,\ 3)\)。 （検算：\(|w|=\sqrt{(-4)^2+3^2}=\sqrt{16+9}=5\)。もとの\(|z|=\sqrt{9+16}=5\)と一致し、回転で大きさが変わらないことが確認できる。） \(w=-4+3i\)（ベクトルの成分は\((-4,\ 3)\)）
58
総合：双曲線と陰関数の微分

双曲線 \(x^2-\dfrac{y^2}{3}=1\) 上で、\(x=2\)、\(y>0\) を満たす点における接線の傾きを、陰関数の微分で求めよ。

傾き
解説を見る
まず\(x=2\)のときの\(y\)の値を求める。 \(4-\dfrac{y^2}{3}=1\)より\(\dfrac{y^2}{3}=3\)、\(y^2=9\)。\(y>0\)より\(y=3\)。 両辺を\(x\)で微分する。 \(2x-\dfrac{2y\cdot y'}{3}=0\) \(y'=\dfrac{3x}{y}\) 点\((2,\ 3)\)を代入すると\(y'=\dfrac{3\times2}{3}=\dfrac63\) 傾きは\(2\)
59
総合：極限×空間ベクトル×微分（章の総仕上げ1）

\(a=\displaystyle\lim_{x\to\infty}\dfrac{6x^2+x}{2x^2-5}\) とする。空間ベクトル \(\vec{u}=(a,\ 0,\ a)\) の大きさ \(|\vec{u}|\) を求めよ。さらに、関数 \(h(x)=x^3-3a^2x\) の極値を求めよ。

\(a=\) 　\(|\vec{u}|=\) 　極大値 （\(x=\) ）　極小値 （\(x=\) ）
解説を見る
まず\(a\)を求める。分子・分母を\(x^2\)で割ると \(a=\displaystyle\lim_{x\to\infty}\dfrac{6+\frac1x}{2-\frac{5}{x^2}}=\dfrac62=3\) \(a=3\)なので\(\vec{u}=(3,\ 0,\ 3)\)。\(|\vec{u}|=\sqrt{3^2+0^2+3^2}=\sqrt{18}=3\sqrt2\)。 \(h(x)=x^3-3\times9\times x=x^3-27x\)。\(h'(x)=3x^2-27=3(x^2-9)=3(x-3)(x+3)\)。\(h'(x)=0\)より\(x=-3,\ 3\)。 \(x<-3\)で増加、\(-3<x<3\)で減少、\(x>3\)で増加。 \(h(-3)=-27+81=54\)（極大）、\(h(3)=27-81=-54\)（極小）。 \(a=3\)、\(|\vec{u}|=3\sqrt2\)。\(x=-3\)で極大値\(54\)、\(x=3\)で極小値\(-54\)
60
総合：極限×微分×積分×曲線（章の総仕上げ2）

\(g(\theta)=e^{\cos\theta}\)（\(0\le\theta\le\pi\)）の増減を調べ、最大値・最小値を求めよ。さらに、媒介変数表示 \(x=\cos\theta,\ y=\sin\theta\)（\(0\le\theta\le\pi\)）が表す曲線の長さ\(L\)を求めよ。

\(g\)の最大値 （\(\theta=\) ）　最小値 （\(\theta=\) ）　\(L=\)
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\(g(\theta)=e^{\cos\theta}\)を微分する（合成関数の微分）。 \(g'(\theta)=-\sin\theta\cdot e^{\cos\theta}\) \(e^{\cos\theta}>0\)は常に成り立つので、符号は\(-\sin\theta\)だけで決まる。\(0<\theta<\pi\)では\(\sin\theta>0\)なので\(g'(\theta)<0\)。つまり\(g(\theta)\)は\(0\le\theta\le\pi\)でずっと減少する。 よって最大は\(\theta=0\)：\(g(0)=e^{\cos0}=e^1=e\)。最小は\(\theta=\pi\)：\(g(\pi)=e^{\cos\pi}=e^{-1}=\dfrac1e\)。 次に曲線の長さを求める。\(x=\cos\theta,\ y=\sin\theta\)は半径\(1\)の円（の上半分、\(0\le\theta\le\pi\)）を表す。 \(\dfrac{dx}{d\theta}=-\sin\theta,\ \dfrac{dy}{d\theta}=\cos\theta\)なので\(\sqrt{(dx/d\theta)^2+(dy/d\theta)^2}=\sqrt{\sin^2\theta+\cos^2\theta}=1\) \(\displaystyle L=\int_0^\pi1\,d\theta=\pi\) （検算：半径\(1\)の円周は\(2\pi\)、その半分（上半円）は\(\pi\)で一致。） \(g\)は\(\theta=0\)で最大値\(e\)、\(\theta=\pi\)で最小値\(\dfrac1e\)。曲線の長さ\(L=\pi\)
記述チャレンジ

答えだけでなく「なぜそうなるか」を文章と式で書く練習。模範解答と見比べて、書き方の型を身につけよう。

記1

数Cで定義された楕円の媒介変数表示 \(x=a\cos\theta,\ y=b\sin\theta\) に対して、数IIIの微分法（媒介変数表示の微分公式）を使うと、曲線上の点における接線の傾きが求まる。\(a=4,\ b=3\)の場合について、\(\theta=\dfrac{\pi}{4}\)における接線の傾きを実際に求めよ。また、数IIIの積分法（曲線の長さの公式）を使えば、数Cで定義された曲線の長さも計算できることを、半径3の円の第1象限部分（\(x=3\cos\theta,\ y=3\sin\theta,\ 0\le\theta\le\dfrac{\pi}{2}\)）を例に示し、この2つの計算から「曲線を定義する数C」と「曲線を調べる数III」がどうつながっているかを説明せよ。

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まず接線の傾きを求める。楕円\(x=4\cos\theta,\ y=3\sin\theta\)について \(\dfrac{dx}{d\theta}=-4\sin\theta,\qquad\dfrac{dy}{d\theta}=3\cos\theta\) なので、媒介変数表示の微分公式より \(\dfrac{dy}{dx}=\dfrac{dy/d\theta}{dx/d\theta}=\dfrac{3\cos\theta}{-4\sin\theta}\) \(\theta=\dfrac\pi4\)を代入する。\(\cos\dfrac\pi4=\sin\dfrac\pi4=\dfrac{\sqrt2}{2}\)であり、この値は分子・分母で約分できるので \(\dfrac{dy}{dx}=\dfrac{3\times\frac{\sqrt2}{2}}{-4\times\frac{\sqrt2}{2}}=\dfrac{3}{-4}=-\dfrac34\) 次に曲線の長さを求める。円\(x=3\cos\theta,\ y=3\sin\theta\)について \(\dfrac{dx}{d\theta}=-3\sin\theta,\qquad\dfrac{dy}{d\theta}=3\cos\theta\) なので \(\sqrt{\left(\dfrac{dx}{d\theta}\right)^2+\left(\dfrac{dy}{d\theta}\right)^2}=\sqrt{9\sin^2\theta+9\cos^2\theta}=\sqrt9=3\) 曲線の長さの公式より \(\displaystyle L=\int_0^{\pi/2}3\,d\theta=3\times\dfrac\pi2=\dfrac{3\pi}{2}\) （検算：半径3の円周は\(6\pi\)、その\(\dfrac14\)は\(\dfrac{3\pi}{2}\)で一致。） この2つの計算を振り返ると、役割がはっきり分かれていることが分かる。楕円や円を「\(x=a\cos\theta,\ y=b\sin\theta\)」という媒介変数の式で定義するのは数C（平面上の曲線）の仕事である。しかし、その曲線の1点における接線の傾きを求めたり、曲線に沿った長さを実際の数値として計算したりするには、数III（微分法・積分法）の合成関数の微分法や区分求積法にもとづく公式がなければ、一歩も先に進めない。つまり数Cが「図形をどう表すか」という言葉を用意し、数IIIがその図形を実際に「調べる」ための計算技術を提供するという、ちょうど言葉と道具のような関係でこの2科目はつながっている。 \(\theta=\dfrac\pi4\)における接線の傾きは\(-\dfrac34\)。半径3の円の第1象限部分の長さは\(\dfrac{3\pi}{2}\)。数Cが曲線を定義し、数IIIがその曲線の傾き・長さを調べる、という役割分担でつながっている。
記2

「距離」を測るという同じ考え方が、ベクトルの大きさの公式と複素数の絶対値の公式として、数Cの中に2つの言葉で登場する。\(\vec{a}=(3,\ 4)\)と\(z=3+4i\)を例に、この2つの計算が同じであることを確認せよ。さらに、この「距離」の考え方が2次曲線の定義そのものを支えていることを、楕円\(\dfrac{x^2}{25}+\dfrac{y^2}{9}=1\)と、その楕円上の点\((0,\ 3)\)を例に説明せよ。

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まずベクトルの大きさと複素数の絶対値を比べる。 \(\vec{a}=(3,\ 4)\)の大きさは\(|\vec{a}|=\sqrt{3^2+4^2}=\sqrt{9+16}=\sqrt{25}=5\) \(z=3+4i\)の絶対値は\(|z|=\sqrt{3^2+4^2}=\sqrt{9+16}=\sqrt{25}=5\) どちらも実部・虚部（またはx成分・y成分）を2乗して足し、根号をとるという、まったく同じ三平方の定理の計算になっている。複素数\(a+bi\)は、成分\((a,\ b)\)のベクトルだと思って計算しても答えが変わらないことが、この一致から分かる。 次に、この「距離」が楕円の定義を支えていることを確認する。楕円\(\dfrac{x^2}{25}+\dfrac{y^2}{9}=1\)は\(a^2=25,\ b^2=9\)なので、焦点までの距離\(c\)は \(c^2=a^2-b^2=25-9=16\)　より　\(c=4\) よって焦点は\(F(4,\ 0),\ F'(-4,\ 0)\)。 点\((0,\ 3)\)から2焦点までの距離を、ベクトルの大きさの公式（三平方の定理）で実際に計算する。 \(PF=\sqrt{(0-4)^2+(3-0)^2}=\sqrt{16+9}=\sqrt{25}=5\) \(PF'=\sqrt{(0-(-4))^2+(3-0)^2}=\sqrt{16+9}=\sqrt{25}=5\) \(PF+PF'=5+5=10\) これは\(2a=2\times5=10\)と一致しており、楕円の定義「2焦点までの距離の和が一定（\(=2a\)）」が、ベクトルの大きさの公式によって実際に確かめられた。 このように、静止した2点間の距離を測るベクトルの大きさ・複素数の絶対値という道具は、そのまま2次曲線の定義（距離が一定という条件）を支える土台になっている。さらに言えば、この根号の中身（三平方の定理）は、数IIIの曲線の長さの公式\(L=\int\sqrt{(dx/dt)^2+(dy/dt)^2}\,dt\)の根号の中身とも同じものである。「距離を測る」という考え方は、動かない2点の間でも（ベクトル・複素数）、曲線に沿って動きながらでも（積分）、つねに三平方の定理が土台になっている。 \(|\vec{a}|=|z|=5\)で、ベクトルの大きさと複素数の絶対値は同じ計算。楕円\(\dfrac{x^2}{25}+\dfrac{y^2}{9}=1\)上の点\((0,3)\)からの2焦点までの距離の和は\(5+5=10=2a\)で楕円の定義と一致し、「距離」の公式が2次曲線の定義そのものを支えている。
穴埋め式 大問チャレンジ

誘導に沿って値を順に埋めていく形式の大問。私立大や国公立二次の穴埋め型の練習になる。
なお数IIIは共通テストの出題範囲ではないため、ここでは共通テスト対策ではなく、誘導に乗る力を鍛える演習として扱う。

大問1　目標時間 14分／配点 20点

太郎さんと花子さんは、遊園地の観覧車を見ながら、ゴンドラの動きを媒介変数表示で表せることに気づいた。観覧車の半径は9m、中心の高さは地上11mで、ゴンドラは60秒で1周する。地上にある観覧車の中心の真下を原点とし、時刻\(t\)（秒）における角度を\(\theta=\omega t\)（\(\omega=\dfrac{\pi}{30}\)、ラジアン毎秒）とすると、ゴンドラの位置は\(x=9\cos\theta,\ y=11+9\sin\theta\)と表せる。

花子「観覧車って、円運動を媒介変数で表しているんだね。」
太郎「そうか。この\(\theta\)を\(t\)で微分すれば、動く速さも分かりそうだ。」
(1)

\(t=10\)秒後のゴンドラのx座標を求めると、\(x=\dfrac{\boxed{\text{ア}}}{\boxed{\text{イ}}}\)（m）である。ア、イを求めよ。

ア イ
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\(t=10\)のとき\(\theta=\omega t=\dfrac{\pi}{30}\times10=\dfrac{\pi}{3}\)。 \(x=9\cos\dfrac{\pi}{3}=9\times\dfrac12=\dfrac92\) \(x=\dfrac92\)（ア\(=9\)、イ\(=2\)）
(2)

高さ\(y\)の変化率\(\dfrac{dy}{dt}\)を\(\theta\)の式で表し、\(t=10\)秒における値を求めると、\(\dfrac{dy}{dt}=\dfrac{\boxed{\text{ウ}}}{\boxed{\text{エオ}}}\pi\)（m/秒）である。ウ、エオを求めよ。

ウ エオ
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\(y=11+9\sin\theta\)、\(\theta=\omega t\)なので、合成関数の微分法より \(\dfrac{dy}{dt}=\dfrac{dy}{d\theta}\times\dfrac{d\theta}{dt}=9\cos\theta\times\omega=9\cos\theta\times\dfrac{\pi}{30}=\dfrac{3\pi}{10}\cos\theta\) \(t=10\)のとき\(\theta=\dfrac{\pi}{3}\)（(1)より）なので、\(\cos\dfrac{\pi}{3}=\dfrac12\)を代入する。 \(\dfrac{dy}{dt}=\dfrac{3\pi}{10}\times\dfrac12=\dfrac{3\pi}{20}\) \(\dfrac{dy}{dt}=\dfrac{3}{20}\pi\)（ウ\(=3\)、エオ\(=20\)）
(3)

花子「観覧車が回っている間、ゴンドラが実際に動く道のりも計算できそうだね。」(2)で求めた\(\dfrac{dy}{dt}=\dfrac{3\pi}{10}\cos\theta\)と、同じ計算方法で求められる\(\dfrac{dx}{dt}=-\dfrac{3\pi}{10}\sin\theta\)を使って、\(t=15\)秒から\(t=30\)秒までにゴンドラが動いた道のり（弧の長さ）\(L\)を、\(\displaystyle L=\int_{15}^{30}\sqrt{\left(\dfrac{dx}{dt}\right)^2+\left(\dfrac{dy}{dt}\right)^2}\,dt\)から求めると、\(L=\dfrac{\boxed{\text{カ}}}{\boxed{\text{キ}}}\pi\)（m）である。カ、キを求めよ。

カ キ
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(2)より\(\dfrac{dy}{dt}=\dfrac{3\pi}{10}\cos\theta\)。同じやり方（\(y=11+9\sin\theta\)を\(x=9\cos\theta\)に置き換えるだけ）で \(\dfrac{dx}{dt}=\dfrac{d}{dt}(9\cos\theta)=-9\sin\theta\times\dfrac{\pi}{30}=-\dfrac{3\pi}{10}\sin\theta\) も求まる。 \(\sqrt{\left(\dfrac{dx}{dt}\right)^2+\left(\dfrac{dy}{dt}\right)^2}=\sqrt{\left(\dfrac{3\pi}{10}\right)^2\sin^2\theta+\left(\dfrac{3\pi}{10}\right)^2\cos^2\theta}=\dfrac{3\pi}{10}\)（\(\theta\)によらず一定） よって\(\displaystyle L=\int_{15}^{30}\dfrac{3\pi}{10}\,dt=\dfrac{3\pi}{10}\times(30-15)=\dfrac{3\pi}{10}\times15=\dfrac{45\pi}{10}=\dfrac{9\pi}{2}\) \(L=\dfrac{9}{2}\pi\)（カ\(=9\)、キ\(=2\)）

大問2　目標時間 14分／配点 20点

太郎さんは、扇風機の羽根の先端（回転の中心からの距離4cm）の運動を、複素数平面上の点\(z(t)=4(\cos\omega t+i\sin\omega t)\)で表せることに気づいた。羽根は1秒間に2回転するので、\(\omega=4\pi\)（ラジアン毎秒）である。

太郎「複素数の絶対値と、微分でわかる速さは、同じものなのかな。」
花子「実部だけを取り出して、時刻\(t\)で微分してみようよ。」
(1)

\(t=\dfrac18\)秒後の\(z(t)\)の実部と虚部を求めよ。実部\(=\boxed{\text{ア}}\)、虚部\(=\boxed{\text{イ}}\)。

ア イ
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\(t=\dfrac18\)のとき、角度は\(\omega t=4\pi\times\dfrac18=\dfrac{\pi}{2}\)。 \(z\!\left(\dfrac18\right)=4\left(\cos\dfrac{\pi}{2}+i\sin\dfrac{\pi}{2}\right)=4(0+i\times1)=4i\) 実部\(0\)、虚部\(4\)（ア\(=0\)、イ\(=4\)）
(2)

実部\(x(t)=4\cos4\pi t\)を\(t\)で微分すると\(\dfrac{dx}{dt}=-16\pi\sin4\pi t\)となる。\(t=\dfrac18\)秒におけるこの値を求めると\(\dfrac{dx}{dt}=\boxed{\text{ウエ}}\,\pi\)（符号もつけて入力）である。ウエを求めよ。

ウエ
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\(t=\dfrac18\)のとき、\(4\pi t=4\pi\times\dfrac18=\dfrac{\pi}{2}\)なので\(\sin4\pi t=\sin\dfrac{\pi}{2}=1\)。 \(\dfrac{dx}{dt}=-16\pi\times1=-16\pi\) \(\dfrac{dx}{dt}=-16\pi\)（ウエ\(=-16\)）
(3)

(1)で求めた\(z\!\left(\dfrac18\right)\)を使って\(\left|z\!\left(\dfrac18\right)\right|\)を求めよ。さらに、\(|z(t)|\)は実は時刻\(t\)によらずつねに一定の値であることを絶対値の性質から示し、その一定の値を求めよ。\(|z(t)|=\boxed{\text{オ}}\)。

オ
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(1)より\(z\!\left(\dfrac18\right)=4i\)なので\(\left|z\!\left(\dfrac18\right)\right|=|4i|=4\)。 これが特定の時刻だけの値ではなく、つねに一定であることを示す。 \(|z(t)|=|4(\cos\omega t+i\sin\omega t)|=4\times|\cos\omega t+i\sin\omega t|=4\times\sqrt{\cos^2\omega t+\sin^2\omega t}=4\times1\) （羽根の先端は回転の中心からつねに\(4\)cmの距離にあるので、幾何的にも当然の結果である。\(t=\dfrac18\)のときの値\(4\)とも一致する。） \(\left|z\!\left(\dfrac18\right)\right|=4\)、\(|z(t)|=4\)（つねに一定・オ\(=4\)）

大問3　目標時間 14分／配点 20点

花子さんは、公園にかかる橋のアーチが、楕円の一部の形をしていることに気づいた。地面をx軸とし、アーチの中心の真下を原点とすると、アーチの断面（\(y\ge0\)の部分）は\(\dfrac{x^2}{16}+\dfrac{y^2}{9}=1\)で近似できるという。アーチの最大の高さは3m、地面に接する2点はx座標が\(\pm4\)（m）である。

花子「この曲線の下の面積を求めれば、アーチの断面積が分かるね。」
(1)

アーチの下（\(-4\le x\le4\)、\(0\le y\)）の面積\(S\)を、置換積分\(x=4\sin\theta\)を用いて定積分で求めると、\(S=\boxed{\text{ア}}\pi\)（m²）である。アを求めよ。

ア
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\(y=3\sqrt{1-\dfrac{x^2}{16}}\)（\(y\ge0\)）なので\(\displaystyle S=\int_{-4}^{4}3\sqrt{1-\dfrac{x^2}{16}}\,dx=\int_{-4}^{4}\dfrac34\sqrt{16-x^2}\,dx\) \(x=4\sin\theta\)とおくと\(dx=4\cos\theta\,d\theta\)、\(x:-4\to4\)のとき\(\theta:-\dfrac{\pi}{2}\to\dfrac{\pi}{2}\)。\(\sqrt{16-x^2}=4\cos\theta\)（\(\cos\theta\ge0\)より）。 \(\dfrac34\sqrt{16-x^2}\,dx=\dfrac34\times4\cos\theta\times4\cos\theta\,d\theta=12\cos^2\theta\,d\theta\) 半角公式を使うと \(\displaystyle\int_{-\pi/2}^{\pi/2}12\cos^2\theta\,d\theta=12\left[\dfrac{\theta}{2}+\dfrac{\sin2\theta}{4}\right]_{-\pi/2}^{\pi/2}=12\times\dfrac{\pi}{2}=6\pi\) \(S=6\pi\)（ア\(=6\)）
(2)

このアーチの奥行き（x軸に垂直な方向の厚み）が5mであるとき、アーチの下の空間の体積\(V=S\times5\)を求めると、\(V=\boxed{\text{イウ}}\pi\)（m³）である。イウを求めよ。

イウ
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(1)で求めた\(S=6\pi\)を使う。 \(V=S\times5=6\pi\times5=30\pi\) \(V=30\pi\)（イウ\(=30\)）
(3)

花子「アーチの断面積が分かったから、断面の平均の高さも計算できるね。」(1)で求めた面積\(S\)を、アーチの底辺の長さ8m（\(-4\le x\le4\)の範囲）で割ると、断面の平均の高さが求まる。この平均の高さを求めると、\(\dfrac{S}{8}=\dfrac{\boxed{\text{エ}}}{\boxed{\text{オ}}}\pi\)（m）である。エ、オを求めよ。

エ オ
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(1)で求めた\(S=6\pi\)を使う。 \(\dfrac{S}{8}=\dfrac{6\pi}{8}=\dfrac{3\pi}{4}\) 断面の平均の高さは\(\dfrac{3}{4}\pi\)m（エ\(=3\)、オ\(=4\)）

大問4　目標時間 14分／配点 20点

ドローンが、時刻\(t\)（秒、\(0\le t\le4\)）における位置ベクトル\(\vec{p}(t)=(t-1,\ 2t-4,\ 3-t)\)で飛行しているとする。

太郎「速度ベクトルを求めれば、原点にいちばん近づく時刻も計算できそうだね。」
(1)

\(t=1\)秒におけるドローンの位置の成分を求めよ。x成分\(\boxed{\text{ア}}\)、y成分\(\boxed{\text{イ}}\)、z成分\(\boxed{\text{ウ}}\)（負の成分は符号もつけて入力）。

ア イ ウ
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\(\vec{p}(1)=(1-1,\ 2\times1-4,\ 3-1)=(0,\ -2,\ 2)\) \((0,\ -2,\ 2)\)（ア\(=0\)、イ\(=-2\)、ウ\(=2\)）
(2)

速度ベクトル\(\vec{v}(t)=\dfrac{d\vec{p}}{dt}\)を求めよ。x成分\(\boxed{\text{エ}}\)、y成分\(\boxed{\text{オ}}\)、z成分\(\boxed{\text{カ}}\)（負の成分は符号もつけて入力）。

エ オ カ
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各成分をそれぞれ\(t\)で微分する。 \(\dfrac{d}{dt}(t-1)=1,\qquad \dfrac{d}{dt}(2t-4)=2,\qquad \dfrac{d}{dt}(3-t)=-1\) （各成分が\(t\)の1次式なので、速度ベクトルは時刻によらず一定になる。） \(\vec{v}(t)=(1,\ 2,\ -1)\)（エ\(=1\)、オ\(=2\)、カ\(=-1\)）
(3)

花子「原点からの距離\(|\vec{p}(t)|\)が最小になる時刻では、位置ベクトル\(\vec{p}(t)\)と(2)で求めた速度ベクトル\(\vec{v}\)が垂直になっているはずだよ。」(2)の\(\vec{v}\)を用いて、\(\vec{p}(t)\cdot\vec{v}=0\)となる時刻\(t\)を求めよ。また、そのときの原点からの距離を求めよ。\(t=\boxed{\text{キ}}\)、距離\(=\sqrt{\boxed{\text{ク}}}\)。

キ ク
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距離の2乗\(f(t)=|\vec{p}(t)|^2=\vec{p}(t)\cdot\vec{p}(t)\)を\(t\)で微分すると、内積の各成分に積の微分法を使って \(f'(t)=2\vec{p}(t)\cdot\vec{v}(t)\) となる（\(\vec{v}=\dfrac{d\vec{p}}{dt}\)は(2)で求めた通り\((1,\ 2,\ -1)\)で一定）。\(f(t)\)が最小になる時刻は\(f'(t)=0\)、すなわち\(\vec{p}(t)\cdot\vec{v}=0\)を満たす\(t\)である。 \(\vec{p}(t)\cdot\vec{v}=(t-1)\times1+(2t-4)\times2+(3-t)\times(-1)\) \(=(t-1)+(4t-8)+(-3+t)=6t-12\) \(6t-12=0\)より\(t=2\)（\(0\le t\le4\)の範囲内）。 \(t=2\)のときの位置は\(\vec{p}(2)=(2-1,\ 2\times2-4,\ 3-2)=(1,\ 0,\ 1)\)。 原点からの距離は\(|\vec{p}(2)|=\sqrt{1^2+0^2+1^2}=\sqrt2\) \(t=2\)のとき、原点からの距離は最小値\(\sqrt2\)をとる（キ\(=2\)、ク\(=2\)）

大問5　目標時間 14分／配点 20点

太郎さんは、正六角形の歯車を複素数平面を使って設計している。歯車の頂点は、方程式\(z^6=64\)の解として表せる。

花子「歯の数を増やしていくと、隣り合う頂点はどんどん近づいていくはずだね。」
(1)

\(z^6=64\)の解はすべて絶対値が等しい。この値\(|z|\)を求めよ。\(\boxed{\text{ア}}\)。

ア
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\(z=r(\cos\phi+i\sin\phi)\)とおくと、ド・モアブルの定理より\(z^6=r^6(\cos6\phi+i\sin6\phi)\)。 これが\(64\)（絶対値\(64\)、偏角\(0°\)の実数）と等しいので、絶対値を比べて\(r^6=64\)。 \(64=2^6\)なので\(r=2\)（\(r>0\)）。 \(|z|=2\)（ア\(=2\)）
(2)

解のうち偏角が\(0°\)であるもの（正の実数解）を\(z_0\)とする。\(z_0\)の値と、隣り合う解どうしの偏角の差（度）を求めよ。\(z_0=\boxed{\text{イ}}\)、偏角の差\(=\boxed{\text{ウエ}}\)°。

イ ウエ
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偏角\(0°\)で絶対値\(2\)（(1)より）の解は、実数の正の値\(z_0=2\)そのもの（\(2^6=64\)で確認できる）。 6個の解は、絶対値\(2\)の円周上に等間隔（\(360°\)を6等分）に並ぶ。よって隣り合う解どうしの偏角の差は \(\dfrac{360°}{6}=60°\) \(z_0=2\)、偏角の差\(60°\)（イ\(=2\)、ウ\(=60\)）
(3)

歯の数が\(n\)個のとき、隣り合う頂点の偏角の差は\(\dfrac{360°}{n}\)である。\(n\)を限りなく大きくするときの極限\(\displaystyle\lim_{n\to\infty}\dfrac{360°}{n}\)を求めよ。\(\boxed{\text{エ}}\)°。

エ
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\(\dfrac{360°}{n}\)は、\(n\)を限りなく大きくすると分母だけが限りなく大きくなるので、全体は限りなく\(0\)に近づく。 \(\displaystyle\lim_{n\to\infty}\dfrac{360°}{n}=0°\) これは、歯の数を増やせば増やすほど、隣り合う頂点の間隔が限りなく狭くなり、歯車の形が円に限りなく近づいていく、という図形的な意味をもつ。 \(0°\)（エ\(=0\)）

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