数C まとめ

科目の総復習・まとめテスト

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この範囲の全体像

数Cは「ベクトル」と「平面上の曲線と複素数平面」という、見た目はまったく違う2つの章からなる科目である。しかしこの2章は独立した知識の寄せ集めではなく、「平面上の1点をどう表すか」という同じ問いに、違う道具で答えているという点でつながっている。

第1章「ベクトル」で身につける位置ベクトルの技術——内分点・外分点・重心を「係数の和が1になる形」で表す考え方——は、第2章「平面上の曲線と複素数平面」の複素数平面でそのままの形で登場する。複素数を座標平面上の点として扱う複素数平面では、内分点の公式\(z=\dfrac{n z_1+m z_2}{m+n}\)がベクトルの内分点公式\(\vec{p}=\dfrac{n\vec{a}+m\vec{b}}{m+n}\)と寸分違わぬ形をしている。これは偶然ではなく、複素数\(a+bi\)を成分\((a,\ b)\)のベクトルとみなせば、足し算・実数倍という計算のルールがベクトルとまったく同じだからである。

また、ベクトルの大きさの公式\(|\vec{a}|=\sqrt{a_1^2+a_2^2}\)は、複素数の絶対値\(|z|=\sqrt{a^2+b^2}\)とそのまま同じ計算であり、これは「2点間の距離」を測る唯一の道具として、第2章の2次曲線（放物線・楕円・双曲線）の定義そのものを支えている。放物線は「焦点までの距離＝準線までの距離」、楕円は「2焦点までの距離の和が一定」、双曲線は「2焦点までの距離の差が一定」——これらはすべて「距離」という同じ量についての条件であり、その距離を実際の数として計算する場面で、ベクトルの大きさの公式（あるいはその複素数版である絶対値の公式）が繰り返し働いている。

一方で、ベクトルだけではうまく扱えない場面もある。図形を「回転」させる計算は、ベクトルでは（数Cの範囲では）複雑な操作になるが、複素数の掛け算なら\(z_1z_2=r_1r_2\{\cos(\theta_1+\theta_2)+i\sin(\theta_1+\theta_2)\}\)という1回の掛け算で「回転して拡大・縮小する」ことができる。ド・モアブルの定理とn乗根は、この「掛け算で回転する」という性質を極限まで活用したもので、正n角形の頂点が複素数の世界では自然に姿を現す。数学IIの複素数と方程式で学んだ「解の公式に出てくる虚数」が、この章で初めて図形として目に見える形になる。

まとめると、数Cの2章に共通するのは「点の位置をどう表し、どう計算するか」という問いであり、直交座標・位置ベクトル・媒介変数・複素数という4つの言葉を、場面に応じて自在に行き来できるようになることが、この範囲の総仕上げになる。この総復習では、章をまたいだ融合問題（まとめテストの31〜40番）を通して、そのつながりを実際に確認していこう。

章まとめへのリンク一覧

まず各章の要点整理・まとめテストで、章ごとの土台を仕上げておこう。下のリンクから各章のまとめページに移動できる。

  1. ベクトル まとめ　―　成分の演算・内積・位置ベクトルと図形（内分点・外分点・重心・共線条件）・空間ベクトルの全4ページを総復習する。
  2. 平面上の曲線と複素数平面 まとめ　―　2次曲線（放物線・楕円・双曲線）・媒介変数表示と極座標・複素数平面・ド・モアブルの定理の全4ページを総復習する。

要点整理　位置ベクトルと複素数――同じ計算を2つの言葉で

複素数\(a+bi\)を、成分\((a,\ b)\)のベクトルだと思って公式を見比べてみよう。形がそっくりなことに気づくはずだ。

内分点公式の対応　ベクトル：\(\vec{p}=\dfrac{n\vec{a}+m\vec{b}}{m+n}\)　　複素数：\(z=\dfrac{n z_1+m z_2}{m+n}\)。文字が\(\vec{a},\vec{b}\)から\(z_1,z_2\)に変わっただけで、式の形はまったく同じ。外分点・重心の公式も同様に対応する。
大きさ・絶対値の対応　ベクトル：\(|\vec{a}|=\sqrt{a_1^2+a_2^2}\)　　複素数：\(|z|=\sqrt{a^2+b^2}\)。どちらも三平方の定理そのもので、「原点からの距離」を表している。2点間の距離も同じ発想で、ベクトルなら\(|\overrightarrow{AB}|\)、複素数なら\(|z_1-z_2|\)で求まる。
垂直条件の対応　ベクトル：\(\vec{a}\perp\vec{b}\iff\vec{a}\cdot\vec{b}=0\)　　複素数：2点\(z_1,\ z_2\)が原点から見て90°をなす\(\iff\dfrac{z_2}{z_1}\)が純虚数。どちらも「90°である」ということを、割り算や内積という計算に翻訳している点で同じ発想。
使い分けの目安　内分点・平行・垂直のような「足し算と実数倍だけで済む」計算は、ベクトルでも複素数でもどちらでも解ける（好きな方でよい）。一方、「回転させる」「\(n\)乗する」「\(n\)乗根を求める」計算は、複素数の掛け算（ド・モアブルの定理）が圧倒的に速い。ベクトルには「掛け算」という演算そのものが（内積を除けば）存在しないことを思い出そう。

要点整理　「距離が一定」という条件が曲線を作る

円・楕円・双曲線・放物線は、見た目も方程式もバラバラに見えるが、どれも「距離についてのある条件」を満たす点の集合として定義されている。その距離を実際の数値として計算する道具が、ベクトルの大きさ（＝複素数の絶対値）の公式である。

円　\(|z-\alpha|=r\)　中心\(\alpha\)から距離\(r\)の点の集合、というそのままの意味。中心と原点の距離を\(d=|\alpha|\)とすると、円上の点の絶対値\(|z|\)は\(|d-r|\)から\(d+r\)まで動く（原点・中心・円周上の点が一直線に並ぶときが最小・最大）。原点が円の外側にある（\(d\ge r\)）ときは最小が\(d-r\)、原点が円の内側にある（\(d<r\)）ときは最小が\(r-d\)になるが、どちらも\(|d-r|\)という同じ式でまとめて表せる。
楕円・双曲線　楕円の定義「2焦点までの距離の和が一定（\(=2a\)）」、双曲線の定義「2焦点までの距離の差の絶対値が一定（\(=2a\)）」は、どちらも点Pと焦点F, F'の間の距離\(|PF|,\ |PF'|\)についての条件そのものである。この\(|PF|\)を実際に計算する場面で、\(|PF|=\sqrt{(x-c)^2+y^2}\)というベクトルの大きさの公式（三平方の定理）が働いている。
放物線　「焦点までの距離＝準線までの距離」という定義も同じ構造。焦点までの距離はベクトルの大きさで、準線までの距離は座標の差（\(x\)座標だけの単純な引き算）で計算する——測り方は違っても、どちらも「距離」という同じ量を比べているという点は共通している。

要点整理　点の位置を表す4つの言葉と使い分け

この範囲では、平面上の同じ1点を表す方法が4通り登場する。どれも同じ点を指しているのに、得意なことがそれぞれ違う。

直交座標\((x,\ y)\)
すべての出発点。方程式の基本形はここで書く。
位置ベクトル\(\vec{p}\)
内分点・重心・平行・垂直など、足し算と実数倍だけで表せる関係を扱うのが得意。
媒介変数（\(t\)や\(\theta\)）
曲線の上を実際に動く点として扱いたいとき便利。楕円・双曲線の点をひとつの変数で表せる。
複素数\(z=x+yi\)　回転・拡大縮小（積）や、\(n\)乗根のような周期的な構造を扱うのが得意。掛け算という演算があるからこそ、ド・モアブルの定理で正\(n\)角形の頂点が一気に求まる。
直交座標 ⇔ 位置ベクトル　――　\((x,\ y)\)を\(\vec{p}=(x,\ y)\)と読み替えるだけ（数字は不変）
↕
直交座標 ⇔ 媒介変数　――　\(x=f(t),\ y=g(t)\)を代入・消去して行き来する
↕
直交座標 ⇔ 複素数　――　\((x,\ y)\)を\(z=x+yi\)と読み替えるだけ（数字は不変）
使い分けの目安　「内分点・垂直・平行」の話は、ベクトルでも複素数でもよい（回転が絡むなら複素数の方が速い）。「曲線の上を動く点」の話は媒介変数が自然。「回転・\(n\)乗根・正多角形」の話は複素数（ド・モアブルの定理）一択。この見極めが、融合問題を解く最初の一歩になる。
まとめテスト（標準）

この範囲全体を横断する総合演習、全40問。目標時間は60分。答えを入力して「採点」を押すと○×が出るぞ。分数は「3/4」、根号は「√5」または「sqrt5」、円周率は「π」または「pi」で入力できる。
わからないときは「解説を見る」で解き方を確認しよう。

基本（1〜20）
1
ベクトルの実数倍と差

\(\vec{a}=(5,\ -2)\)、\(\vec{b}=(-3,\ 4)\) のとき、\(2\vec{a}-\vec{b}\) を成分で求めよ。

\((\),\(\ \)\()\)
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\(2\vec{a}=(10,\ -4)\) \(2\vec{a}-\vec{b}=(10-(-3),\ -4-4)=(13,\ -8)\) \((13,\ -8)\)
2
ベクトルの大きさ

\(\vec{a}=(7,\ -24)\) の大きさ \(|\vec{a}|\) を求めよ。

\(|\vec{a}|=\)
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\(|\vec{a}|=\sqrt{7^2+(-24)^2}=\sqrt{49+576}=\sqrt{625}=25\) \(|\vec{a}|=25\)
3
内積の成分計算

\(\vec{a}=(3,\ 5)\)、\(\vec{b}=(-2,\ 4)\) のとき、\(\vec{a}\cdot\vec{b}\) を求めよ。

\(\vec{a}\cdot\vec{b}=\)
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\(\vec{a}\cdot\vec{b}=3\times(-2)+5\times4=-6+20=14\) \(\vec{a}\cdot\vec{b}=14\)
4
垂直条件からtを求める

\(\vec{a}=(6,\ -2)\)、\(\vec{b}=(t,\ 9)\) が垂直であるとき、\(t\) の値を求めよ。

\(t=\)
解説を見る
垂直条件は \(\vec{a}\cdot\vec{b}=0\)。 \(6t+(-2)\times9=6t-18=0\) より \(t=3\) \(t=3\)
5
内分点

\(A(-2,\ 3)\)、\(B(6,\ -5)\) について、線分ABを \(3:1\) に内分する点Pの座標を求めよ。

\(P(\),\(\ \)\()\)
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内分点の公式（\(m:n=3:1\)）：\(\vec{p}=\dfrac{1\cdot\vec{a}+3\cdot\vec{b}}{3+1}\) \(\vec{p}=\dfrac{(-2,3)+3(6,-5)}{4}=\dfrac{(-2+18,\ 3-15)}{4}=\dfrac{(16,\ -12)}{4}=(4,\ -3)\) \(P(4,\ -3)\)
6
重心

\(A(1,\ 4)\)、\(B(-3,\ 2)\)、\(C(8,\ -6)\) を頂点とする三角形の重心Gの座標を求めよ。

\(G(\),\(\ \)\()\)
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\(\vec{g}=\dfrac{\vec{a}+\vec{b}+\vec{c}}{3}=\dfrac{(1,4)+(-3,2)+(8,-6)}{3}=\dfrac{(6,\ 0)}{3}=(2,\ 0)\) \(G(2,\ 0)\)
7
空間：成分と大きさ

2点 \(A(2,\ -1,\ 3)\)、\(B(5,\ 3,\ 15)\) について、\(\overrightarrow{AB}\) の成分と大きさを求めよ。

\(\overrightarrow{AB}=(\),\(\ \),\(\ \)\()\)　\(|\overrightarrow{AB}|=\)
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\(\overrightarrow{AB}=(5-2,\ 3-(-1),\ 15-3)=(3,\ 4,\ 12)\) \(|\overrightarrow{AB}|=\sqrt{3^2+4^2+12^2}=\sqrt{9+16+144}=\sqrt{169}=13\) \(\overrightarrow{AB}=(3,4,12)\)、\(|\overrightarrow{AB}|=13\)
8
空間：球面の方程式（平方完成）

方程式 \(x^2+y^2+z^2+2x-4y+6z-2=0\) が表す球面の中心と半径を求めよ。

中心\((\),\(\ \),\(\ \)\()\)　半径
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\(x,y,z\)それぞれについて平方完成する。 \(x^2+2x=(x+1)^2-1\) \(y^2-4y=(y-2)^2-4\) \(z^2+6z=(z+3)^2-9\) 代入すると \((x+1)^2-1+(y-2)^2-4+(z+3)^2-9-2=0\) \((x+1)^2+(y-2)^2+(z+3)^2=1+4+9+2=16\) 中心\((-1,\ 2,\ -3)\)、半径\(4\)
9
放物線（焦点・準線）

\(y^2=8x\) の焦点の座標と準線の方程式を求めよ。

焦点 \(x=\) 　\(y=\) 　　準線 \(x=\)
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放物線の一般形は\(y^2=4px\)で、焦点は\((p,\ 0)\)、準線は\(x=-p\)。いま\(4p=8\) より \(p=2\)なので、焦点\((2,\ 0)\)、準線\(x=-2\)。 焦点 \((2,\ 0)\)、準線 \(x=-2\)
10
楕円の焦点

\(\dfrac{x^2}{25}+\dfrac{y^2}{9}=1\) の焦点の座標を求めよ。

焦点 \((\pm\)\(,\ 0)\)
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\(a^2=25,\ b^2=9\)。\(a>b\) なので焦点は\(x\)軸上。 \(c^2=a^2-b^2=25-9=16\) より \(c=4\) 焦点 \((\pm4,\ 0)\)
11
双曲線の頂点と漸近線

\(\dfrac{x^2}{16}-\dfrac{y^2}{9}=1\) の頂点の座標（正の方）と、漸近線の傾き（正の方）を求めよ。

頂点 \((\)\(,\ 0)\)　漸近線の傾き
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\(a^2=16,\ b^2=9\) より \(a=4,\ b=3\)。頂点は\((\pm4,\ 0)\)。 漸近線の傾きは \(\pm\dfrac{b}{a}=\pm\dfrac34\) 頂点\((4,\ 0)\)、漸近線の傾き\(\dfrac34\)
12
媒介変数表示から方程式へ（結果は details で確認）

\(x=t^2,\ y=2t\) で表される曲線の方程式を、\(x,\ y\) だけの式で表せ。

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\(y=2t\) より \(t=\dfrac{y}{2}\)。これを \(x=t^2\) に代入すると \(x=\left(\dfrac{y}{2}\right)^2=\dfrac{y^2}{4}\) \(y^2=4x\)（放物線）
13
極座標→直交座標

極座標が \((r,\ \theta)=\left(6,\ \dfrac{\pi}{3}\right)\) である点を、直交座標\((x,\ y)\)で表せ。

\(x=\) 　\(y=\)
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\(x=r\cos\theta=6\cos\dfrac{\pi}{3}=6\times\dfrac12=3\) \(y=r\sin\theta=6\sin\dfrac{\pi}{3}=6\times\dfrac{\sqrt3}{2}=3\sqrt3\) \((x,\ y)=(3,\ 3\sqrt3)\)
14
複素数の絶対値

\(z=8-15i\) の絶対値 \(|z|\) を求めよ。

\(|z|=\)
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\(|z|=\sqrt{8^2+(-15)^2}=\sqrt{64+225}=\sqrt{289}=17\) \(|z|=17\)
15
複素数の極形式

\(z=\sqrt3+i\) を極形式 \(r(\cos\theta+i\sin\theta)\)（\(0\le\theta<2\pi\)）で表すときの \(r,\ \theta\) を求めよ。

\(r=\) 　\(\theta=\)
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\(r=|z|=\sqrt{(\sqrt3)^2+1^2}=\sqrt{3+1}=2\) 実部・虚部がともに正で \(\tan\theta=\dfrac{1}{\sqrt3}\) より \(\theta=\dfrac{\pi}{6}\)（第1象限） \(z=2\left(\cos\dfrac{\pi}{6}+i\sin\dfrac{\pi}{6}\right)\)
16
共役複素数の性質

\(z=4-3i\) のとき、\(z\bar{z}\) の値を求めよ。

\(z\bar{z}=\)
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\(\bar{z}=4+3i\) \(z\bar{z}=(4-3i)(4+3i)=4^2-(3i)^2=16-(-9)=25\)（\(z\bar{z}=|z|^2\)に一致） \(z\bar{z}=25\)
17
複素数の積の図形的意味

\(z_1=2\left(\cos\dfrac{\pi}{6}+i\sin\dfrac{\pi}{6}\right)\)、\(z_2=3\left(\cos\dfrac{\pi}{3}+i\sin\dfrac{\pi}{3}\right)\) のとき、\(|z_1z_2|\) と \(\arg(z_1z_2)\) を求めよ。

\(|z_1z_2|=\) 　\(\arg(z_1z_2)=\)
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積の絶対値は絶対値どうしの積、偏角は偏角どうしの和。 \(|z_1z_2|=2\times3=6\) \(\arg(z_1z_2)=\dfrac{\pi}{6}+\dfrac{\pi}{3}=\dfrac{\pi}{6}+\dfrac{2\pi}{6}=\dfrac{3\pi}{6}=\dfrac{\pi}{2}\) \(|z_1z_2|=6\)、\(\arg(z_1z_2)=\dfrac{\pi}{2}\)（\(z_1z_2=6i\)）
18
ド・モアブルの定理で累乗を計算

\(z=1+i\) のとき、ド・モアブルの定理を用いて \(z^8\) の値を求めよ。

\(z^8=\)
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\(z=1+i\) を極形式にすると \(|z|=\sqrt2\)、\(\arg z=\dfrac{\pi}{4}\) なので \(z=\sqrt2\left(\cos\dfrac{\pi}{4}+i\sin\dfrac{\pi}{4}\right)\)。 ド・モアブルの定理より \(z^8=(\sqrt2)^8\left(\cos\dfrac{8\pi}{4}+i\sin\dfrac{8\pi}{4}\right)=16(\cos2\pi+i\sin2\pi)=16(1+0i)=16\) \(z^8=16\)
19
n乗根の個数と偏角の間隔

1の5乗根はいくつあるか。また、それらを複素数平面上に図示したときの、隣り合う点どうしの偏角の間隔を求めよ。

個数 個　偏角の間隔
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\(z^5=1\) の解は、絶対値がすべて\(1\)、偏角が\(0,\ \dfrac{2\pi}{5},\ \dfrac{4\pi}{5},\ \dfrac{6\pi}{5},\ \dfrac{8\pi}{5}\)の\(5\)個。 偏角は\(0\)から\(2\pi\)をちょうど\(5\)等分しているので、間隔は\(\dfrac{2\pi}{5}\)。 5個、偏角の間隔は\(\dfrac{2\pi}{5}\)（正五角形の頂点になる）
20
複素数平面上の内分点

\(z_1=1+2i\)、\(z_2=9-6i\) のとき、\(z_1\)から\(z_2\)に向かって \(3:1\) に内分する点 \(z\) を求めよ。

実部 　虚部
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内分点の公式（\(m:n=3:1\)）：\(z=\dfrac{1\cdot z_1+3\cdot z_2}{3+1}\) \(z=\dfrac{(1+2i)+3(9-6i)}{4}=\dfrac{(1+27)+(2-18)i}{4}=\dfrac{28-16i}{4}=7-4i\) \(z=7-4i\)
標準（21〜34）
21
共線条件から未知数を求める

3点 \(A(2,\ -1)\)、\(B(5,\ 3)\)、\(C(m,\ 15)\) が一直線上にあるとき、\(m\) の値を求めよ。

\(m=\)
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\(\overrightarrow{AB}=(5-2,\ 3-(-1))=(3,\ 4)\)、\(\overrightarrow{AC}=(m-2,\ 15-(-1))=(m-2,\ 16)\) 3点が一直線上にある条件は\(\overrightarrow{AB}\)と\(\overrightarrow{AC}\)が平行、つまり \(3\times16-4\times(m-2)=0\) \(48-4m+8=0\) \(4m=56\) より \(m=14\) \(m=14\)
22
外分点

\(A(1,\ -2)\)、\(B(7,\ 4)\) について、線分ABを \(3:2\) に外分する点Qの座標を求めよ。

\(Q(\),\(\ \)\()\)
解説を見る
外分点の公式（\(m:n=3:2\)）：\(\vec{q}=\dfrac{-2\vec{a}+3\vec{b}}{3-2}=-2\vec{a}+3\vec{b}\) \(\vec{q}=-2(1,-2)+3(7,4)=(-2,4)+(21,12)=(19,\ 16)\) \(Q(19,\ 16)\)
23
空間ベクトル：4点が同一平面上にある条件

4点 \(\mathrm{O}(0,\ 0,\ 0)\)、\(\mathrm{A}(2,\ 1,\ 3)\)、\(\mathrm{B}(1,\ 3,\ -1)\)、\(\mathrm{C}(x,\ 5,\ 5)\) が同一平面上にあるとき、\(x\) の値を求めよ。

\(x=\)
解説を見る
4点が同一平面上にあるとは、点Cが「原点Oを通り、\(\vec{a}=\overrightarrow{OA}\)と\(\vec{b}=\overrightarrow{OB}\)で張られる平面」上にあるということ。これは\(\overrightarrow{OC}=s\vec{a}+t\vec{b}\)を満たす実数\(s,\ t\)が存在することと同じ意味。 成分ごとに方程式を立てる。 \(x\)座標：\(2s+t=x\) \(y\)座標：\(s+3t=5\) \(z\)座標：\(3s-t=5\) 未知数\(x\)を含まない\(y,\ z\)の式を先に連立して\(s,\ t\)を求める。 \(y\)座標の式：\(s+3t=5\) \(z\)座標の式：\(3s-t=5\) \(z\)座標の式より\(t=3s-5\)。これを\(y\)座標の式に代入する。 \(s+3(3s-5)=5\) \(s+9s-15=5\) \(10s=20\) より \(s=2\) \(t=3\times2-5=1\) 求めた\(s=2,\ t=1\)を\(x\)座標の式に代入する。 \(x=2s+t=2\times2+1=5\) \(x=5\)
24
空間：内積から角度を求める

\(\vec{a}=(1,\ 1,\ 0)\)、\(\vec{b}=(1,\ 0,\ 1)\) のなす角\(\theta\)について、\(\cos\theta\)の値と\(\theta\)を求めよ。

\(\cos\theta=\) 　\(\theta=\) 度
解説を見る
\(\vec{a}\cdot\vec{b}=1\times1+1\times0+0\times1=1\) \(|\vec{a}|=\sqrt{1^2+1^2+0^2}=\sqrt2\)、\(|\vec{b}|=\sqrt{1^2+0^2+1^2}=\sqrt2\) \(\cos\theta=\dfrac{\vec{a}\cdot\vec{b}}{|\vec{a}||\vec{b}|}=\dfrac{1}{\sqrt2\times\sqrt2}=\dfrac{1}{2}\) \(\cos\theta=\dfrac12\)、\(\theta=60°\)
25
楕円：焦点までの距離の和

楕円 \(\dfrac{x^2}{36}+\dfrac{y^2}{11}=1\) 上の点Pから一方の焦点Fまでの距離が\(7\)であるとき、もう一方の焦点F'までの距離を求めよ。

\(PF'=\)
解説を見る
楕円の定義より、2焦点までの距離の和は常に\(2a\)で一定。 \(a^2=36\) より \(a=6\)、\(2a=12\) \(PF+PF'=12\) \(7+PF'=12\) より \(PF'=5\) \(PF'=5\)
26
双曲線と直線の接する条件（判別式）

双曲線 \(\dfrac{x^2}{20}-\dfrac{y^2}{4}=1\) と直線 \(y=x+k\) が接する（共有点がちょうど1個）ときの \(k\) の値をすべて求めよ（コンマ区切り）。

\(k=\)
解説を見る
\(y=x+k\) を \(\dfrac{x^2}{20}-\dfrac{y^2}{4}=1\) に代入し、両辺を\(20\)倍する。 \(x^2-5(x+k)^2=20\) \(x^2-5x^2-10kx-5k^2=20\) \(-4x^2-10kx-5k^2-20=0\) 両辺に\(-1\)を掛けて整理する。 \(4x^2+10kx+(5k^2+20)=0\) 接する条件は判別式\(D=0\)。 \(D=(10k)^2-4\times4\times(5k^2+20)=100k^2-80k^2-320=20k^2-320\) \(20k^2-320=0\) \(k^2=16\) より \(k=\pm4\) \(k=4,\ -4\)
27
極方程式が表す図形

極方程式 \(r=6\cos\theta\) が表す図形の中心の座標と半径を求めよ。

中心\((\),\(\ \)\()\)　半径
解説を見る
両辺に\(r\)をかける。 \(r^2=6r\cos\theta\) \(r^2=x^2+y^2,\ r\cos\theta=x\) を代入する。 \(x^2+y^2=6x\) \(x^2-6x+y^2=0\) \((x-3)^2+y^2=9\) 中心\((3,\ 0)\)、半径\(3\)の円
28
商が実数になる条件

\(z=a+3i\)（\(a\)は実数）、\(w=2-i\) とする。\(\dfrac{z}{w}\) が実数になるように、\(a\) の値を求めよ。

\(a=\)
解説を見る
\(\dfrac{z}{w}\)が実数 \(\iff\) \(z\bar{w}\)が実数 \(\iff\) \(z\bar{w}\)の虚部が\(0\)。 \(\bar{w}=2+i\) \(z\bar{w}=(a+3i)(2+i)=2a+ai+6i+3i^2=(2a-3)+(a+6)i\) 虚部が\(0\)になる条件は \(a+6=0\) より \(a=-6\) （検算：\(z=-6+3i\)、\(\dfrac{z}{w}=\dfrac{-6+3i}{2-i}=\dfrac{(-6+3i)(2+i)}{(2-i)(2+i)}=\dfrac{(-12-3)+(-6+6)i}{5}=\dfrac{-15+0i}{5}=-3\)。確かに実数。） \(a=-6\)
29
ド・モアブルの定理で方程式を解く

方程式 \(z^3=8i\) の解はすべて絶対値が等しく、偏角が等間隔に並ぶ。解の絶対値と、偏角の間隔を求めよ。

絶対値 　偏角の間隔
解説を見る
右辺を極形式にする。\(8i=8\left(\cos\dfrac{\pi}{2}+i\sin\dfrac{\pi}{2}\right)\) \(z=\rho(\cos\theta+i\sin\theta)\)とおくと、ド・モアブルの定理より\(z^3=\rho^3(\cos3\theta+i\sin3\theta)\)。絶対値を比較して\(\rho^3=8\)より\(\rho=2\)。偏角を比較して\(3\theta=\dfrac{\pi}{2}+2k\pi\)より\(\theta=\dfrac{\pi}{6}+\dfrac{2k\pi}{3}\)（\(k=0,1,2\)の3個）。 3個の解が\(0\)から\(2\pi\)を等間隔に分けるので、間隔は\(\dfrac{2\pi}{3}\)。実際に3つの解を求めると\(z=\sqrt3+i,\ -\sqrt3+i,\ -2i\)（絶対値はすべて\(2\)で一致）。 絶対値は\(2\)、偏角の間隔は\(\dfrac{2\pi}{3}\)
30
n乗根と正多角形の頂点

1の6乗根のうち、偏角が \(\dfrac{\pi}{3}\) であるものを \(a+bi\) の形で求めよ。

実部 　虚部
解説を見る
1の6乗根は絶対値がすべて\(1\)なので、偏角\(\dfrac{\pi}{3}\)（\(=60°\)）の解は \(\cos60°+i\sin60°=\dfrac12+\dfrac{\sqrt3}{2}i\) \(\dfrac12+\dfrac{\sqrt3}{2}i\)（実部\(\dfrac12\)、虚部\(\dfrac{\sqrt3}{2}\)。6個の解は正六角形の頂点になる）
31
融合：複素数平面の内分点公式（ベクトルの内分点公式と同じ形）

\(z_1=3+2i\)、\(z_2=-1+10i\) について、\(z_1\)から\(z_2\)に向かって \(3:1\) に内分する点 \(z\) を求めよ。ベクトルの内分点公式\(\vec{p}=\dfrac{n\vec{a}+m\vec{b}}{m+n}\)の\(\vec{a},\vec{b}\)を\(z_1,z_2\)に置き換えるだけで同じように計算できることを確認せよ。

実部 　虚部
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内分点の公式（\(m:n=3:1\)）はベクトルでも複素数でも同じ形：\(z=\dfrac{1\cdot z_1+3\cdot z_2}{3+1}\) \(z=\dfrac{(3+2i)+3(-1+10i)}{4}=\dfrac{(3-3)+(2+30)i}{4}=\dfrac{0+32i}{4}=8i\) \(z=8i\)（実部\(0\)、虚部\(8\)）
32
融合：円\(|z-\alpha|=r\)と絶対値の最大最小

複素数\(z\)が \(|z-(6+8i)|=1\) を満たしながら動くとき、\(|z|\)の最大値・最小値を求めよ。

最大値 　最小値
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この式は、中心\(6+8i\)、半径\(1\)の円を表す。中心と原点の距離は \(|6+8i|=\sqrt{6^2+8^2}=\sqrt{36+64}=\sqrt{100}=10\) \(|z|\)（原点からの距離）は、原点・中心・円周上の点が一直線に並ぶときに最大・最小になる。最大は中心の外側（中心の距離＋半径）、最小は中心の内側（中心の距離−半径）。 最大値：\(10+1=11\)　最小値：\(10-1=9\) 最大値\(11\)、最小値\(9\)
33
融合：垂直条件（ベクトルの内積↔複素数の純虚数条件）

複素数\(z_1=3+4i\)、\(z_2=x+6i\)（\(x\)は実数）について、原点Oと点\(z_1\)、点\(z_2\)を結んでできる角\(\angle z_1Oz_2\)が直角になるように \(x\) の値を求めよ。

\(x=\)
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\(\angle z_1Oz_2\)が直角、つまり\(\dfrac{z_2}{z_1}\)が純虚数になる条件を、\(z_2\bar{z_1}\)の実部が\(0\)という形で調べる。 \(\bar{z_1}=3-4i\) \(z_2\bar{z_1}=(x+6i)(3-4i)=3x-4xi+18i-24i^2=(3x+24)+(18-4x)i\) 実部が\(0\)になる条件は \(3x+24=0\) より \(x=-8\) （検算：ベクトルOA=(3,4)、OB=(−8,6)とみると、内積は\(3\times(-8)+4\times6=-24+24=0\)。ベクトルの垂直条件で解いても同じ答えになる。） \(x=-8\)
34
融合：楕円の媒介変数表示とベクトルの大きさの最大最小

楕円上の点Pを \(x=7\cos\theta,\ y=4\sin\theta\)（\(0\le\theta<2\pi\)）と媒介変数表示する。\(\overrightarrow{OP}\)の大きさ\(|\overrightarrow{OP}|\)の最大値・最小値を求めよ。

最大値 　最小値
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\(|\overrightarrow{OP}|^2=x^2+y^2=49\cos^2\theta+16\sin^2\theta\) \(\sin^2\theta=1-\cos^2\theta\)を使って\(\cos^2\theta\)だけの式にする。 \(=49\cos^2\theta+16(1-\cos^2\theta)=16+33\cos^2\theta\) \(\cos^2\theta\)の範囲は\(0\)以上\(1\)以下なので、\(|\overrightarrow{OP}|^2\)は\(16\)（\(\cos\theta=0\)、頂点\((0,4)\)）から\(49\)（\(\cos\theta=\pm1\)、頂点\((\pm7,0)\)）まで動く。 \(|\overrightarrow{OP}|\)にすると\(4\)から\(7\)。 最大値\(7\)（長軸の頂点）、最小値\(4\)（短軸の頂点）
発展（35〜40）
35
融合：双曲線の媒介変数表示と原点からの最小距離

双曲線 \(\dfrac{x^2}{16}-\dfrac{y^2}{9}=1\) 上の点Pのうち、原点Oから最も近い点までの距離\(|\overrightarrow{OP}|\)の最小値を求めよ（\(P\)は右側の枝、\(x>0\)とする）。

最小値
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右側の枝を媒介変数表示すると \(x=\dfrac{4}{\cos\theta},\ y=3\tan\theta\)。 \(|\overrightarrow{OP}|^2=x^2+y^2=\dfrac{16}{\cos^2\theta}+9\tan^2\theta\) 三角関数の相互関係\(\dfrac{1}{\cos^2\theta}=1+\tan^2\theta\)を使って\(\tan^2\theta\)だけの式にする。 \(=16\left(1+\tan^2\theta\right)+9\tan^2\theta=16+25\tan^2\theta\) \(\tan^2\theta\ge0\)なので、この式は\(\tan\theta=0\)のとき最小値\(16\)をとる。\(\tan\theta=0\)は頂点\((4,\ 0)\)に対応する。 \(|\overrightarrow{OP}|^2=16\)より\(|\overrightarrow{OP}|=4\) 最小値\(4\)（頂点\((4,0)\)でとる）
36
融合：複素数平面上の直角三角形の条件

複素数平面上に3点 \(A(z_1=1+i)\)、\(B(z_2=5+3i)\)、\(C(z_3=k+7i)\)（\(k\)は実数）がある。\(\angle B\)が直角になるように \(k\) の値を求めよ。

\(k=\)
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\(\angle B\)が直角、つまり\(\overrightarrow{BA}\perp\overrightarrow{BC}\)。複素数では\(\dfrac{z_3-z_2}{z_1-z_2}\)が純虚数になる条件として調べる。 \(z_1-z_2=(1-5)+(1-3)i=-4-2i\) \(z_3-z_2=(k-5)+(7-3)i=(k-5)+4i\) \((z_3-z_2)\times\overline{(z_1-z_2)}\)の実部が\(0\)になればよい。\(\overline{z_1-z_2}=-4+2i\)。 \([(k-5)+4i](-4+2i)=(k-5)(-4)+(k-5)(2i)+4i(-4)+4i(2i)\) \(=-4(k-5)+8i^2+[2(k-5)-16]i\) \(=-4k+20-8+(2k-26)i\) \(=(12-4k)+(2k-26)i\) 実部が\(0\)：\(12-4k=0\)より\(k=3\) （検算：ベクトルでも同じ答えになるか確かめる。\(\overrightarrow{BA}=(1-5,\ 1-3)=(-4,-2)\)、\(\overrightarrow{BC}=(k-5,\ 4)\)。内積\(\overrightarrow{BA}\cdot\overrightarrow{BC}=-4(k-5)-8=12-4k\)。これも\(k=3\)で\(0\)になり一致する。） \(k=3\)
37
融合：n乗根の頂点間の距離（辺と対角線）

1の4乗根は複素数平面上で正方形の頂点をなす。隣り合う頂点どうしの距離（正方形の1辺の長さ）と、向かい合う頂点どうしの距離（対角線の長さ）を求めよ。

辺の長さ 　対角線の長さ
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1の4乗根は\(1,\ i,\ -1,\ -i\)の4個で、複素数平面上の点\((1,0),\ (0,1),\ (-1,0),\ (0,-1)\)にあたる。 隣り合う頂点（例えば\(1\)と\(i\)）の距離は、大きさの引き算ではなく差の絶対値で求める。 \(|1-i|=\sqrt{1^2+(-1)^2}=\sqrt2\) 向かい合う頂点（例えば\(1\)と\(-1\)）の距離は \(|1-(-1)|=|2|=2\) 辺の長さ\(\sqrt2\)、対角線の長さ\(2\)
38
融合：楕円の焦点三角形の重心（ベクトルの重心公式）

楕円 \(\dfrac{x^2}{625}+\dfrac{y^2}{576}=1\) の2つの焦点をF, F'とする。楕円の短軸の頂点（\(y\)座標が正の方）をPとするとき、三角形PFF'の重心Gの座標を求めよ。

\(G(\),\(\ \)\()\)
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\(a^2=625,\ b^2=576\)より\(a=25,\ b=24\)。\(c^2=a^2-b^2=625-576=49\)より\(c=7\)。 焦点は\(F(7,\ 0),\ F'(-7,\ 0)\)、短軸の頂点は\(P(0,\ 24)\)。 重心の公式（ベクトルの重心公式がそのまま使える）： \(\vec{g}=\dfrac{\vec{p}+\vec{f}+\vec{f'}}{3}=\dfrac{(0,24)+(7,0)+(-7,0)}{3}=\dfrac{(0,\ 24)}{3}=(0,\ 8)\) \(G(0,\ 8)\)
39
融合：放物線の定義とベクトルの大きさの公式

放物線 \(y^2=24x\) の焦点をFとする。放物線上の点で \(y=12\) となる点をPとするとき、\(\overrightarrow{FP}\)の大きさ\(|\overrightarrow{FP}|\)を、ベクトルの大きさの公式を使って求めよ。また、それが放物線の定義（焦点までの距離＝準線までの距離）と一致することを確かめよ。

\(|\overrightarrow{FP}|=\)
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\(4p=24\)より\(p=6\)。焦点\(F(6,\ 0)\)、準線\(x=-6\)。 \(y=12\)のとき\(x=\dfrac{12^2}{24}=\dfrac{144}{24}=6\)、点\(P(6,\ 12)\)。 ベクトルの大きさの公式で\(|\overrightarrow{FP}|\)を求める。 \(\overrightarrow{FP}=(6-6,\ 12-0)=(0,\ 12)\) \(|\overrightarrow{FP}|=\sqrt{0^2+12^2}=12\) 放物線の定義で確かめる。準線\(x=-6\)までの距離は\(6-(-6)=12\)。ベクトルの大きさで求めた\(12\)と一致する。 \(|\overrightarrow{FP}|=12\)（準線までの距離12と一致）
40
融合：n乗根の和（位置ベクトルとしての重心・章の総仕上げ）

1の5乗根を\(z_0=1,\ z_1,\ z_2,\ z_3,\ z_4\)とする。これらを原点からの位置ベクトルとみなしたとき、その和\(z_0+z_1+z_2+z_3+z_4\)の値（実部・虚部）を求めよ。

実部 　虚部
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1の5乗根は正五角形の頂点として、単位円周上に対称に並んでいる。位置ベクトルとしての和（＝5個の頂点の重心を5倍した値）を考えると、正五角形の対称性から重心はちょうど原点にくるはずである。 実際に確かめる。\(z_0,\ldots,z_4\)は\(z^5=1\)の5つの解であり、\(z^5-1=(z-1)(z^4+z^3+z^2+z+1)\)という因数分解が成り立つ。\(z_1,z_2,z_3,z_4\)は\(z^4+z^3+z^2+z+1=0\)の解なので、解と係数の関係より\(z_1+z_2+z_3+z_4=-1\)（\(z^3\)の係数が\(1\)、\(z^4\)の係数が\(1\)なので、和は\(-\dfrac11=-1\)）。 これに\(z_0=1\)を加えると \(z_0+z_1+z_2+z_3+z_4=1+(-1)=0\) 実部\(0\)、虚部\(0\)（和は\(0\)。正五角形の重心が原点にあることに対応する）
記述チャレンジ

答えだけでなく「なぜそうなるか」を文章と式で書く練習。模範解答と見比べて、書き方の型を身につけよう。

記1

ベクトルの内分点公式\(\vec{p}=\dfrac{n\vec{a}+m\vec{b}}{m+n}\)と、複素数平面の内分点公式\(z=\dfrac{nz_1+mz_2}{m+n}\)は、まったく同じ形をしている。なぜ同じ形になるのかを、具体的な数値例を1つ挙げながら説明せよ。

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例として、\(A(1,\ 2)\)、\(B(9,\ -2)\)を結ぶ線分ABを\(3:1\)に内分する点を考える。ベクトルとして解くと、位置ベクトル\(\vec{a}=(1,2)\)、\(\vec{b}=(9,-2)\)を使って \(\vec{p}=\dfrac{1\cdot\vec{a}+3\cdot\vec{b}}{3+1}=\dfrac{(1,2)+3(9,-2)}{4}=\dfrac{(1+27,\ 2-6)}{4}=\dfrac{(28,\ -4)}{4}=(7,\ -1)\) 同じ2点を複素数\(z_1=1+2i\)、\(z_2=9-2i\)として考え、同じ内分点公式に当てはめる。 \(z=\dfrac{1\cdot z_1+3\cdot z_2}{3+1}=\dfrac{(1+2i)+3(9-2i)}{4}=\dfrac{(1+27)+(2-6)i}{4}=\dfrac{28-4i}{4}=7-i\) 結果を見比べると、ベクトルで求めた\(P(7,\ -1)\)と、複素数で求めた\(z=7-i\)は、同じ点を指している（\(7-i\)は座標でいえば\((7,\ -1)\)である）。 なぜ同じ形になるのかというと、複素数\(a+bi\)は本質的に成分\((a,\ b)\)のベクトルと同じ足し算・実数倍のルールに従うからである。複素数どうしの和は\((a_1+b_1i)+(a_2+b_2i)=(a_1+a_2)+(b_1+b_2)i\)であり、これは成分ごとに足すというベクトルの和とまったく同じ計算である。実数倍\(k(a+bi)=ka+kbi\)も同様に、ベクトルの実数倍\(k(a,b)=(ka,kb)\)と同じ計算である。内分点の公式は、この「足し算」と「実数倍」だけを使って導かれる公式なので、ベクトルで導いても複素数で導いても、途中の計算がすべて同じ形になり、結果として同じ式が得られる。 複素数の和・実数倍は成分ごとの計算としてベクトルの和・実数倍とまったく同じルールに従うため、その2つの演算だけで導かれる内分点公式も同じ形になる。\(A(1,2)\)、\(B(9,-2)\)を\(3:1\)に内分する点は、ベクトルでも複素数でも同じ\((7,\ -1)\)（\(z=7-i\)）を与える。
記2

円・楕円・双曲線・放物線は、どれも「距離に関する条件」として定義される。この4つの定義に共通する考え方を、具体的な数値例を1つ挙げながら説明せよ。

模範解答を見る
4つの曲線の定義を、それぞれ言葉にして比べてみる。 円：中心から一定の距離\(r\)にある点の集合。 楕円：2定点（焦点）までの距離の和が一定（\(=2a\)）である点の集合。 双曲線：2定点（焦点）までの距離の差の絶対値が一定（\(=2a\)）である点の集合。 放物線：1定点（焦点）までの距離と、1直線（準線）までの距離が等しい点の集合。 言葉だけを見ると別々の定義に見えるが、どれも主役は「距離」という同じ量である。この共通点を、楕円\(\dfrac{x^2}{25}+\dfrac{y^2}{9}=1\)（\(a=5,\ b=3,\ c=4\)、焦点\(F(4,0),\ F'(-4,0)\)）上の点\(P(0,\ 3)\)（短軸の頂点）で確かめる。 \(PF\)の距離を、ベクトルの大きさの公式（三平方の定理）で計算する。 \(\overrightarrow{FP}=(0-4,\ 3-0)=(-4,\ 3)\) \(PF=|\overrightarrow{FP}|=\sqrt{(-4)^2+3^2}=\sqrt{16+9}=\sqrt{25}=5\) 同じように\(PF'\)も \(\overrightarrow{F'P}=(0-(-4),\ 3-0)=(4,\ 3)\) \(PF'=|\overrightarrow{F'P}|=\sqrt{4^2+3^2}=\sqrt{16+9}=5\) \(PF+PF'=5+5=10\)となり、確かに\(2a=2\times5=10\)と一致する。この計算からわかるように、楕円の定義「距離の和が一定」という言葉は、実際には\(\sqrt{(x-c)^2+y^2}\)という同じ形の計算（ベクトルの大きさの公式）を2回行い、その結果を足し合わせているにすぎない。双曲線なら同じ計算を引き算し、放物線なら片方を（もっと単純な）座標の差に置き換えているだけで、根っこにある「距離を測る」という作業はすべて同じである。 このように、円・楕円・双曲線・放物線という一見バラバラな4つの図形は、「距離」という共通の量についての条件（等しい・和が一定・差が一定・2種類の距離が等しい）として統一的に理解でき、その距離を実際に数値として求める場面では、ベクトルの大きさの公式がいつも同じ形で働いている。 円・楕円・双曲線・放物線はすべて「距離」についての条件として定義され、その距離はベクトルの大きさの公式\(\sqrt{(x-c)^2+y^2}\)で共通に計算できる。楕円\(\dfrac{x^2}{25}+\dfrac{y^2}{9}=1\)上の点\((0,3)\)で\(PF=PF'=5\)となり、\(PF+PF'=10=2a\)が実際に確かめられる。
共通テスト形式チャレンジ

大問1　目標時間 12分／配点 20点

太郎さんと花子さんは、文化祭の模擬店で使う三角形の敷地OABに、テントの支柱や商品の受け渡し場所を配置する計画を立てている。\(\overrightarrow{OA}=\vec{a}=(9,\ 3)\)、\(\overrightarrow{OB}=\vec{b}=(3,\ 9)\)とする。次の会話を読んで、あとの問いに答えよ。

先生「まず、商品を受け渡す場所として、線分ABを\(1:2\)に内分する点Pを決めよう。」
太郎「位置ベクトルの公式を使えば、Oから見たPの位置がすぐわかりますね。」
(1)

線分ABを\(1:2\)に内分する点をPとする。\(\overrightarrow{OP}\)を求めると、\(\overrightarrow{OP}=(\boxed{\text{ア}},\ \boxed{\text{イ}})\)である。

ア イ
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内分点の公式（\(m:n=1:2\)）：\(\overrightarrow{OP}=\dfrac{2\vec{a}+1\cdot\vec{b}}{1+2}\) \(=\dfrac{2(9,3)+(3,9)}{3}=\dfrac{(18+3,\ 6+9)}{3}=\dfrac{(21,\ 15)}{3}=(7,\ 5)\) \(\overrightarrow{OP}=(7,\ 5)\)
(2)

花子「次に、(1)で求めた点Pを基準にして、支柱を垂直に立てる場所を決めましょう。点Pから辺OBに下ろした垂線の足をQとします。」

\(\overrightarrow{OQ}=t\vec{b}\)（\(t\)は実数）とおくと、\(\overrightarrow{PQ}\perp\overrightarrow{OB}\)より \(t=\dfrac{\boxed{\text{ウエ}}}{\boxed{\text{オカ}}}\) である。

ウエ オカ
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(1)で求めた\(\overrightarrow{OP}=(7,\ 5)\)を使う。\(\vec{p}=\overrightarrow{OP}\)とすると\(\overrightarrow{PQ}=\overrightarrow{OQ}-\overrightarrow{OP}=t\vec{b}-\vec{p}\) 垂直条件\(\overrightarrow{PQ}\cdot\vec{b}=0\)より \((t\vec{b}-\vec{p})\cdot\vec{b}=t|\vec{b}|^2-\vec{p}\cdot\vec{b}=0\) \(\vec{p}\cdot\vec{b}=\overrightarrow{OP}\cdot\vec{b}=7\times3+5\times9=21+45=66\) \(|\vec{b}|^2=3^2+9^2=9+81=90\) \(90t-66=0\)より\(t=\dfrac{66}{90}=\dfrac{11}{15}\) \(t=\dfrac{11}{15}\)
(3)

太郎「最後に、受け渡しコーナーの飾りつけに使う布がどれくらい必要か、(1)で求めたPと(2)で求めたQを結んでできる三角形APQの面積を計算して見積もりましょう。」

花子「\(\overrightarrow{AP}\)と\(\overrightarrow{AQ}\)の2つのベクトルが分かれば、面積の公式で求められますね。」

(1)で求めたPと(2)で求めたQを用いて、三角形APQの面積\(S\)を求めると、\(S=\dfrac{\boxed{\text{キク}}}{\boxed{\text{ケ}}}\)である。

キク ケ
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(1)で求めた\(\overrightarrow{OP}=(7,\ 5)\)を使うと \(\overrightarrow{AP}=\overrightarrow{OP}-\overrightarrow{OA}=(7-9,\ 5-3)=(-2,\ 2)\) (2)で求めた\(t=\dfrac{11}{15}\)を使うと \(\overrightarrow{OQ}=\dfrac{11}{15}\vec{b}=\dfrac{11}{15}(3,\ 9)=\left(\dfrac{11}{5},\ \dfrac{33}{5}\right)\) \(\overrightarrow{AQ}=\overrightarrow{OQ}-\overrightarrow{OA}=\left(\dfrac{11}{5}-9,\ \dfrac{33}{5}-3\right)=\left(-\dfrac{34}{5},\ \dfrac{18}{5}\right)\) \(\overrightarrow{AP}=(a_1,\ a_2)\)、\(\overrightarrow{AQ}=(b_1,\ b_2)\)とするとき、三角形APQの面積は\(S=\dfrac12|a_1b_2-a_2b_1|\)で求まる。 \(S=\dfrac12\left|(-2)\times\dfrac{18}{5}-2\times\left(-\dfrac{34}{5}\right)\right|=\dfrac12\left|-\dfrac{36}{5}+\dfrac{68}{5}\right|=\dfrac12\times\dfrac{32}{5}=\dfrac{16}{5}\) \(S=\dfrac{16}{5}\)

大問2　目標時間 12分／配点 20点

太郎さんと花子さんは、文化祭で展示するミニチュアのパラボラアンテナと、音がよく反響する楕円形の壁（ウィスパーギャラリー）について調べている。次の会話を読んで、あとの問いに答えよ。

先生「まず、アンテナの鏡の断面を放物線\(y^2=20x\)と考えよう。放物線に平行に入ってきた電波は、反射してすべて焦点に集まる。」
花子「焦点の位置が受信部を置くべき場所ですね。」
(1)

放物線\(y^2=20x\)の焦点の座標は\((\boxed{\text{ア}},\ 0)\)、準線の方程式は\(x=\boxed{\text{イ}}\)である（\(\boxed{\text{イ}}\)は符号も含めて入力せよ）。

ア イ
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放物線の一般形は\(y^2=4px\)で、焦点は\((p,\ 0)\)、準線は\(x=-p\)。いま\(4p=20\)より\(p=5\)なので、焦点\((5,\ 0)\)、準線\(x=-5\)。 焦点\((5,\ 0)\)、準線\(x=-5\)
(2)

太郎「鏡の縁の、\(y=10\)の高さにある点から、受信部（焦点）までの距離を知りたいです。」

\(y^2=20x\)上で\(y=10\)のときの\(x\)座標は\(\boxed{\text{ウ}}\)であり、この点から焦点までの距離は\(\boxed{\text{エオ}}\)である。

ウ エオ
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\(y=10\)を\(y^2=20x\)に代入すると \(100=20x\)より\(x=5\)。点は\((5,\ 10)\)。 放物線の定義（焦点までの距離＝準線までの距離）より、準線\(x=-5\)までの距離を求めればよい。 \(5-(-5)=10\) （検算：焦点\((5,0)\)までの直接の距離は\(\sqrt{(5-5)^2+10^2}=\sqrt{0+100}=10\)。一致する。） \(x=5\)、焦点までの距離は\(10\)
(3)

先生「今度は展示替えして、楕円形の壁\(\dfrac{x^2}{169}+\dfrac{y^2}{144}=1\)を使ったウィスパーギャラリーを作ろう。楕円には、一方の焦点で発した音が、反射してもう一方の焦点に集まるという性質がある。」

花子「この楕円の焦点の1つは、(1)で求めたアンテナの焦点とちょうど同じ\((5,\ 0)\)の位置になるように設計されているんですね。」

この楕円上の点Pから焦点\((5,\ 0)\)までの距離が\(9\)であるとき、もう一方の焦点までの距離は\(\boxed{\text{カキ}}\)である。

カキ
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\(a^2=169,\ b^2=144\)より\(a=13,\ b=12\)、\(2a=26\)。 （検算：\(c^2=a^2-b^2=169-144=25\)より\(c=5\)。焦点は\((\pm5,\ 0)\)となり、確かに(1)で求めたアンテナの焦点\((5,\ 0)\)と一致する。） 楕円の定義より、2焦点までの距離の和は\(2a=26\)で一定。 \(9+PF'=26\)より\(PF'=17\) もう一方の焦点までの距離は\(17\)

大問3　目標時間 11分／配点 20点

太郎さんは、文化祭で展示する模型の風車（3枚羽根のプロペラ）を作ろうとしている。羽根の先端の位置を複素数平面で表すことにする。中心を原点Oとし、羽根の先端は半径\(6\)の円周上を等間隔（\(120°\)ごと）に3か所ある。1枚目の羽根の先端の位置は、真上を指す\(z_0=6i\)とする。次の会話を読んで、あとの問いに答えよ。

先生「\(120°\)回転させるには\(\cos120°+i\sin120°=-\dfrac12+\dfrac{\sqrt3}{2}i\)をかければいい。3枚の羽根は、\(z_0\)を\(0°,\ 120°,\ 240°\)回転させた位置にある。」
(1)

2枚目の羽根の先端の位置 \(z_1=z_0(\cos120°+i\sin120°)\) を\(a+bi\)の形で求めると、実部\(a=\boxed{\text{ア}}\sqrt{\boxed{\text{イ}}}\)、虚部\(b=\boxed{\text{ウ}}\)である（ア・ウは符号も含めて入力せよ）。

ア イ ウ
解説を見る
\(z_1=z_0(\cos120°+i\sin120°)=6i\left(-\dfrac12+\dfrac{\sqrt3}{2}i\right)\) 分配して計算する。 \(6i\times\left(-\dfrac12\right)=-3i\) \(6i\times\dfrac{\sqrt3}{2}i=3\sqrt3\,i^2=-3\sqrt3\) たし合わせると \(z_1=-3\sqrt3-3i\) 実部\(a=-3\sqrt3\)、虚部\(b=-3\)
(2)

先生「\(240°=120°+120°\)だから、3枚目の羽根の位置は、(1)で求めた\(z_1\)をさらに\(120°\)回転させても求められるよ。」

(1)で求めた\(z_1\)を用いて \(z_2=z_1(\cos120°+i\sin120°)\) を計算し、\(a+bi\)の形で求めると、実部\(a=\boxed{\text{エ}}\sqrt{\boxed{\text{オ}}}\)、虚部\(b=\boxed{\text{カ}}\)である（カは符号も含めて入力せよ）。

エ オ カ
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(1)で求めた\(z_1=-3\sqrt3-3i\)を使う。\(\cos120°=-\dfrac12,\ \sin120°=\dfrac{\sqrt3}{2}\)なので \(z_2=z_1\left(-\dfrac12+\dfrac{\sqrt3}{2}i\right)=(-3\sqrt3-3i)\left(-\dfrac12+\dfrac{\sqrt3}{2}i\right)\) 分配して計算する。 \((-3\sqrt3)\times\left(-\dfrac12\right)=\dfrac{3\sqrt3}{2}\) \((-3\sqrt3)\times\dfrac{\sqrt3}{2}i=-\dfrac92 i\) \((-3i)\times\left(-\dfrac12\right)=\dfrac32 i\) \((-3i)\times\dfrac{\sqrt3}{2}i=-\dfrac{3\sqrt3}{2}i^2=\dfrac{3\sqrt3}{2}\) 実部を合計：\(\dfrac{3\sqrt3}{2}+\dfrac{3\sqrt3}{2}=3\sqrt3\) 虚部を合計：\(-\dfrac92 i+\dfrac32 i=-3i\) たし合わせると \(z_2=3\sqrt3-3i\) （検算：直接\(z_0(\cos240°+i\sin240°)=6i\left(-\dfrac12-\dfrac{\sqrt3}{2}i\right)=-3i-3\sqrt3 i^2=3\sqrt3-3i\)で一致する。） 実部\(a=3\sqrt3\)、虚部\(b=-3\)
(3)

花子「3枚の羽根がちょうど正三角形の頂点になっているか、確かめてみましょう。」

\(z_0+z_1+z_2\)の値を求めると、実部\(=\boxed{\text{キ}}\)、虚部\(=\boxed{\text{ク}}\)である。また、隣り合う羽根の先端どうしの距離\(|z_1-z_0|\)を求めると\(\boxed{\text{ケ}}\sqrt{\boxed{\text{コ}}}\)である。

キ ク ケ コ
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\(z_0+z_1+z_2=6i+(-3\sqrt3-3i)+(3\sqrt3-3i)\) 実部：\(0+(-3\sqrt3)+3\sqrt3=0\) 虚部：\(6+(-3)+(-3)=0\) 3枚の羽根が正三角形の対称な配置にあるため、位置ベクトルとしての和はちょうど原点になる（重心が中心Oに一致することに対応する）。 隣り合う羽根の距離は、差の絶対値で求める。 \(z_1-z_0=(-3\sqrt3-0)+(-3-6)i=-3\sqrt3-9i\) \(|z_1-z_0|=\sqrt{(-3\sqrt3)^2+(-9)^2}=\sqrt{27+81}=\sqrt{108}=\sqrt{36\times3}=6\sqrt3\) \(z_0+z_1+z_2=0\)（実部0、虚部0）。隣り合う羽根の距離は\(6\sqrt3\)

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