この範囲の全体像
数III全体は「極限」という考え方を土台にして組み立てられた3章構成である。第1章「極限」では、数列の極限・関数の極限を通じて「限りなく近づく」という考え方を鍛え、はさみうちの原理や不定形の処理（因数分解・有理化）といった計算技術を一通りそろえると同時に、連続性・中間値の定理・ネイピア数\(e\)という、この先ずっと使い続ける道具を手に入れる。この章は独立した単元というより、後続の2章のための「言葉」を用意する章という性格が強い。
第2章「微分法」は、その極限の言葉を全面的に使って組み立てられている。数IIで学んだ多項式の微分公式を、\(\displaystyle\lim_{x\to0}\frac{\sin x}{x}=1\)という極限公式を使って三角関数へ、\(e\)の定義を使って指数関数・対数関数へと拡張していく。微分係数そのものが「平均変化率の極限」\(\displaystyle f'(a)=\lim_{h\to0}\frac{f(a+h)-f(a)}{h}\)として定義されているのだから、これは当然の帰結でもある。こうして手に入れた導関数を使って、接線・増減・極値・グラフの概形、さらには方程式の解の個数、不等式の証明、速度・加速度、近似式といった応用へと展開していく。
第3章「積分法」は、微分法と表裏一体の関係にある。不定積分の公式は微分公式を逆から読んだものであり、置換積分・部分積分も微分の合成関数・積の公式をひっくり返した技術にほかならない。そして定積分は、実は第1章の「極限」に舞い戻る。区分求積法\(\displaystyle\int_0^1f(x)\,dx=\lim_{n\to\infty}\frac1n\sum_{k=1}^nf\!\left(\frac kn\right)\)が示すとおり、面積という図形の量は「細かく分けてたし合わせ、分割を限りなく細かくする」という、数列の極限とまったく同じ発想で定義されているのである。
つまり数IIIの3章は、「極限という言葉を用意する→その言葉で微分を定義し公式を広げる→微分の逆演算として積分を定義し、しかも積分自身も極限で定義される」という、一直線につながった1つの物語になっている。速度は位置の微分、位置の変化量（変位）は速度の積分というように、微分と積分はつねに逆演算として行き来し、その両方の足元を極限が支えている。この「極限→微分→積分」という順序を意識しておけば、まとめテストで章をまたぐ問題に出会っても、どの技術をどう組み合わせればよいかの見当がつけやすくなる。
章まとめへのリンク一覧
各章の詳しいまとめ・まとめテストは以下のページにある。この総復習で手が止まった単元があれば、まず該当する章まとめに戻って確認しよう。
要点の総整理 極限が土台になる3つの定義
数III全体を通して、「限りなく近づける」という同じ操作が、形を変えて3回登場する。この3つが同じ土台の上に立っていると気づけば、章をまたいだ問題にも動じなくなる。
要点の総整理 方程式の実数解の個数を調べる2つの武器
「\(f(x)=0\)の実数解は何個あるか」という問いには、極限の章と微分法の章、それぞれ役割の違う道具が用意されている。どちらも中身は「連続な関数のグラフがx軸を横切るかどうか」を見ているのだが、答えられる範囲がまるで違う。
\(f(x)\)が連続で、\(f(a)\)と\(f(b)\)が異符号なら、\((a,\ b)\)に少なくとも1つ解が存在する。「ある」ことしか言えない（何個あるかは分からない）。
\(f'(x)\)の符号から極大値・極小値を求め、それらとx軸（\(y=0\)）の位置関係を見る。極大値と極小値の符号の組み合わせから、解の個数を正確に数えられる。
要点の総整理 面積・体積を求める前に必要な微分の情報
積分の公式\(\displaystyle S=\int_a^b\{f(x)-g(x)\}\,dx\)を使うには、「どちらの関数が上か」を先に確定させておく必要がある。この判定を誤ると、面積の値が丸ごと符号違いになってしまう。
数III全範囲を横断する総合演習、全40問。目標時間は60分。答えを入力して「採点」を押すと○×が出るぞ。分数は「-1/2」のように入力。
わからないときは「解説を見る」で解き方を確認しよう。
\(\displaystyle\lim_{n\to\infty} \left(\dfrac{2}{5}\right)^n\) を求めよ。
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\(\displaystyle\lim_{n\to\infty} \dfrac{4n-3}{2n+7}\) を求めよ。
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初項12、公比 \(\dfrac{1}{4}\) の無限等比級数の和を求めよ。
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\(\displaystyle\lim_{x\to2}\dfrac{x^2-5x+6}{x-2}\) を求めよ。
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\(\displaystyle\lim_{x\to0}\dfrac{\sin4x}{x}\) を求めよ。
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\(\displaystyle\lim_{x\to\infty}\dfrac{2x+3}{x^2-1}\) を求めよ。
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次の関数が \(x=3\) で連続となるように、定数 \(a\) の値を定めよ。 \[ f(x) = \begin{cases} \dfrac{x^2-9}{x-3} & (x \neq 3) \\ a & (x = 3) \end{cases} \]
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\(y = x^2(3x-2)\) を微分したとき、\(y'\) の \(x^2\) の係数と \(x\) の係数を求めよ。
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\(y = \dfrac{3x-2}{x+1}\) を微分し、\(y'(0)\) の値を求めよ。
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\(y = (2x+3)^4\) を微分すると \(y' = A(2x+3)^3\) の形になる。\(A\) の値と \(y'(-1)\) の値を求めよ。
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\(y=\sin x\) の \(x=\dfrac{\pi}{3}\) における微分係数と、\(y=\cos x\) の \(x=\dfrac{\pi}{6}\) における微分係数をそれぞれ求めよ。
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\(y=\ln x\) の \(x=\dfrac14\) における微分係数と、\(y=e^x\) の \(x=1\) における微分係数をそれぞれ求めよ。
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曲線 \(y=x^3-3x+1\) 上の \(x=2\) における接線の傾きと\(y\)切片を求めよ。
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\(y = x^3-6x^2+9x\) の極値を求めよ。
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\(\displaystyle \int \left(4x^3 - \dfrac{2}{x} + 5\cos x\right) dx\) を求めよ（\(C\)は省略してよい）。\(x^4\)の係数、\(\ln|x|\)の係数、\(\sin x\)の係数をそれぞれ求めよ。
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\(\displaystyle \int_0^1 8x(x^2+1)^3\,dx\) を求めよ。
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\(\displaystyle \int_0^2 xe^x\,dx\) を求めよ。
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\(\displaystyle \int_{-2}^{2} (7x^3-4x)\,dx\) を求めよ。
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曲線 \(y=3x^2\) と \(x\) 軸、直線 \(x=2\) で囲まれた部分の面積 \(S\)（\(0\le x\le2\)）を求めよ。
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直線 \(y=x\) と \(x\) 軸、直線 \(x=4\) で囲まれた部分を \(x\) 軸のまわりに1回転させてできる立体の体積は \(V=\dfrac{\text{ア}}{3}\pi\) と表せる。アを求めよ。
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\(\displaystyle\lim_{n\to\infty} \left(\sqrt{n^2+3n} - n\right)\) を求めよ。
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\(\displaystyle\lim_{x\to3}\dfrac{2x^2+ax+b}{x-3}=7\) が成り立つように定数 \(a,\ b\) の値を定めよ。
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\(y = (x-1)^3(x+2)^2\) を対数微分法で微分し、\(y'(3)\) の値を求めよ。
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\(x^2-xy+y^2=7\) について、点 \((3,\ 1)\) における \(\dfrac{dy}{dx}\) の値を求めよ。
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\(\displaystyle \int_0^{\pi/2} \sin^2 x\,dx\) を求めよ。
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\(\displaystyle \int \dfrac{1}{x^2-16}\,dx = \dfrac{1}{\text{ア}}\ln\left|\dfrac{x-4}{x+4}\right|+C\) のアを求めよ。
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\(f(x)=x^2-3x\) について、\(\displaystyle\lim_{h\to0}\dfrac{f(2+h)-f(2)}{h}\) を求めよ。
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曲線 \(y=x^2\) の \(x=1\) における接線の方程式を求めよ。また、この曲線と接線ではさまれた部分のうち \(0\le x\le2\) の部分の面積 \(S\) を求めよ。
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\(\displaystyle \lim_{n\to\infty}\sum_{k=1}^{n}\dfrac{5k^4}{n^5}\) を求めよ。
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\(\displaystyle\lim_{x\to0}\dfrac{\tan3x}{\sin2x}\) を求めよ。
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直線上を運動する点の加速度が \(a(t)=6t-4\)（\(t\ge0\)）で表され、速度は\(v(0)=1\)、位置は\(x(0)=0\)を満たすとする。速度\(v(t)\)を求めるときに定まる定数（\(v(0)=1\)から決まる積分定数）の値と、位置の式\(x(t)\)を使った\(x(2)\)の値を求めよ。
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曲線 \(y=x^2\)（\(x\ge0\)）と \(y\) 軸、直線 \(y=4\) で囲まれた部分を、\(y\) 軸のまわりに1回転させてできる立体の体積は \(V=\text{ア}\,\pi\) と表せる。アを求めよ。
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\(a=\displaystyle\lim_{n\to\infty}\dfrac{6n-1}{3n+2}\) とする。\(g(x)=ax^2-4x\) の最小値を求めよ。また \(\displaystyle\int_0^a 2x\,dx\) の値を求めよ。
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\(x>0\) のとき \(e^x>1+x\) が成り立つことを証明せよ。
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\(f(x)=x^3-3x^2\) の極値を求めよ。また、この曲線とx軸で囲まれた部分のうち \(0\le x\le3\) の部分の面積 \(S\) を求めよ。
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\(L=\displaystyle\lim_{n\to\infty}\left(1+\dfrac3n\right)^n\) を\(e\)を用いて表せ。また、\(\displaystyle\int_0^{\ln L}e^x\,dx\) の値を求めよ。
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直線上を運動する点の位置が \(x(t)=-t^3+6t^2\)（\(0\le t\le6\)）で表されるとき、\(x\)が最大になる時刻とそのときの位置を求めよ。また、\(0\le t\le6\)における道のり（速度の符号が変わることに注意した移動距離の総和）を求めよ。
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\(f(x)=\sqrt{x+1}\) について、極限の定義 \(\displaystyle\lim_{h\to0}\dfrac{f(3+h)-f(3)}{h}\) を有理化によって計算し、\(f'(3)\) を求めよ。また、この結果を使って曲線 \(y=f(x)\) の \(x=3\) における接線の傾きと\(y\)切片を求めよ。
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\(x>0\) のとき \(\ln(1+x)<x\) が成り立つことを証明せよ。また、この不等式を利用すると \(\displaystyle\int_0^1\ln(1+x)\,dx\) は \(\displaystyle\int_0^1x\,dx=\dfrac12\) より小さいと分かる。実際に \(\displaystyle\int_0^1\ln(1+x)\,dx\) の値を部分積分によって求めよ。
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\(a=\displaystyle\lim_{x\to\infty}\dfrac{3x^2+5x}{x^2+2}\) とする。\(f(x)=x^3-3ax^2\) の極値を求めよ。さらに、この曲線とx軸で囲まれた部分のうち \(0\le x\le6\) の部分の面積 \(S\) を求めよ。
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答えだけでなく「なぜそうなるか」を文章と式で書く練習。模範解答と見比べて、書き方の型を身につけよう。
微分係数の定義 \(\displaystyle f'(a)=\lim_{h\to0}\dfrac{f(a+h)-f(a)}{h}\) と、区分求積法の定義 \(\displaystyle\int_0^1f(x)\,dx=\lim_{n\to\infty}\dfrac1n\sum_{k=1}^nf\!\left(\dfrac kn\right)\) は、どちらも「極限」という同じ考え方から生まれている。\(f(x)=x^2\)を例にとり、実際に \(f'(1)\) と \(\displaystyle\int_0^1x^2\,dx\) の両方をこの定義どおりに計算することで、極限が微分と積分の両方の土台になっていることを説明せよ。
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関数 \(f(x)=xe^{-x}\)（\(x\ge0\)）について、(1) \(f'(x)\)を求め、\(f(x)\)の最大値を求めよ。(2) 曲線 \(y=f(x)\) と\(x\)軸、直線\(x=2\)で囲まれた部分の面積を、部分積分を用いて求めよ。(3) (1)の計算と(2)の計算は、それぞれどのような極限の考え方を土台にしているかを説明せよ。
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花子「1回目の跳ね返りの高さ\(a_1\)は、最初の高さ\(4\)mの半分になるね。」
太郎「その調子で、\(a_n\)を\(n\)の式で表してみよう。」
\(a_n=4\left(\dfrac12\right)^n\) と表せる。これを用いると \(a_1=\boxed{\text{ア}}\) （m）であり、\(\displaystyle\lim_{n\to\infty}a_n=\boxed{\text{イ}}\) である。ア、イを求めよ。
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花子「ボールが上下に動いた距離の合計は、最初の落下\(4\)mと、跳ね返るたびの『上がって下がる』分をすべて足したものになるね。」
ボールが無限に跳ね返り続けるとして、動いた距離の総和を求めると \(\boxed{\text{ウエ}}\)（m）である。ウエを求めよ。
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太郎「跳ね返りの高さが\(0.1\)m未満になるのは何回目からか、実際に数値を代入して確かめてみよう。」\(a_n<0.1\)を満たす最小の\(n\)を求めると \(n=\boxed{\text{オ}}\) である。オを求めよ。
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先生「まずは\(y\)を\(t\)で微分してみよう。積の微分公式が使えるね。」
\(y'\) を求めると \(y'=\left(1-\dfrac{\text{ア}}{\text{イ}}t\right)e^{-t/2}\) となる。ア、イを求めよ。
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先生「\(y'\)の符号が変わる時刻を調べれば、明るさが最大になる瞬間が分かるね。」
明るさが最大になるのは \(t=\boxed{\text{ウ}}\)（秒）のときであり、そのときの明るさの値は \(y=\dfrac{\boxed{\text{エ}}}{e}\) である。ウ、エを求めよ。
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花子「最大になったあとは、明るさがどんどん小さくなっていくはずですね。」 \(t=4\)における明るさの値を求めると \(y=\dfrac{\boxed{\text{オ}}}{e^{\boxed{\text{カ}}}}\) である。オ、カを求めよ。
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先生「区分求積法の式が定積分に直せることを、まずは面積\(S\)の計算で確認しておこう。」
面積 \(\displaystyle S=\int_0^4\sqrt{x}\,dx\) を区分求積法の定義から確かめる。\(\displaystyle\lim_{n\to\infty}\dfrac4n\sum_{k=1}^{n}\sqrt{\dfrac{4k}{n}}\) は \(\displaystyle\int_0^4\sqrt{x}\,dx\) の値に等しい。実際に積分を計算すると \(S=\dfrac{\boxed{\text{アイ}}}{\boxed{\text{ウ}}}\) である。アイ、ウを求めよ。
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太郎「曲線\(y=\sqrt{x}\)は、\(x=y^2\)と書き直せますね。」先生「そうだね。まず\(y=2\)（鉢の縁の高さ）のときの半径\(x\)を確認しよう。それから、(1)で求めた面積\(S\)を使えば、曲線と\(y\)軸ではさまれた部分の面積\(T\)も求められるよ。」
\(y=2\)のとき \(x=\boxed{\text{エ}}\) である。また、幅4・高さ2の長方形の面積から\(S\)を引くと \(T=\dfrac{\boxed{\text{オ}}}{\boxed{\text{カ}}}\) である。エ、オ、カを求めよ。
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先生「鉢の内側の空洞は、\(x=y^2\)を\(y\)軸のまわりに\(0\le y\le2\)の範囲で回転させてできる立体だね。この体積を求めよう。」
体積は \(\displaystyle V=\pi\int_0^2x^2\,dy\) と表せる。(2)で確認した\(x=y^2\)を使ってこれを計算すると、\(V=\dfrac{\boxed{\text{キク}}}{\boxed{\text{ケ}}}\pi\) である。キク、ケを求めよ。