数I・A まとめテスト

2科目まとめての総復習・実戦テスト

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この範囲の全体像

数I・Aで学ぶ数学は、数I（数と式・集合と命題・2次関数・図形と計量・データの分析の5章）と数A（場合の数と確率・図形の性質・数学と人間の活動〈整数〉の3章）をあわせた全8章からなる。教科書が分かれているので別々の科目に見えるが、実際には章をまたいで同じ考え方が何度も姿を変えて登場する。この総復習では、科目の壁を取り払って「どの技術がどこで効いてくるか」を確認していこう。

もっともわかりやすいつながりは、2次関数「平方完成」の応用範囲の広さである。式を\((x-p)^2+q\)の形に整理する技術は、2次関数の頂点・最大最小・方程式・不等式のすべての土台になるだけでなく、図形と計量（三角比）で「2辺の和が一定の三角形の面積を最大化する」問題にもそのまま使われる。実はこの後のまとめテストの51番（発展）で面積の最大値を、共通テスト形式チャレンジの大問1で売上の最大値を求めることになる。

2つ目のつながりは「数える」技術である。集合と命題の章で学ぶ要素の個数の公式\(n(A\cup B)=n(A)+n(B)-n(A\cap B)\)は、場合の数の和の法則（重なりを重複して数えない数え方）の原型そのものであり、そこから発展した順列・組合せ・確率は、数A「場合の数と確率」で学ぶ「期待値」という考え方にまでつながっている。期待値（数A・場合の数と確率）とは、起こりうる値をその確率で重みづけした平均であり、データの分析で学ぶ「平均値」とまったく同じ発想でできている――サイコロの出た目の平均値も、くじの賞金の期待値も、計算の中身は同じ「値×重み、を全部足す」という操作である（まとめテストの40番・43番・46番、共通テスト形式チャレンジの大問4で確認する）。

3つ目のつながりは「論証する」姿勢である。集合と命題で学ぶ対偶・背理法・必要十分条件の考え方は、その章だけの道具ではない。整数の性質で「ある数が何の倍数かどうか」を判定する場面や、図形の性質で「四角形が円に内接するための条件」を扱う場面では、いずれも「\(A\)ならば\(B\)」という主張が両方向に成り立つかどうかを確認するという、集合と命題で身につけた同じ手順が根拠になっている（まとめテストの45番・58番・60番）。

4つ目のつながりは、図形をとらえる2つの視点の使い分けである。図形と計量（三角比）は「角度と辺の比」で図形を測る章であり、図形の性質は「線分の比の定理（チェバ・メネラウス・方べき等）と円の性質」で図形の関係を調べる章である。同じ三角形・同じ円を扱っていても、角度の情報が与えられれば三角比、比や接線の情報が与えられれば図形の性質というように、与えられた情報の種類で使う道具を選ぶ場面が入試ではよく出題される（まとめテストの41番・52番・59番）。

バラバラに見える8つの章が、実は「式を整理する」「数える」「論証する」「図形をとらえる」という少数の考え方の組み合わせでできていることを意識しながら、学年の総仕上げに取り組もう。

章まとめへのリンク一覧

まず各章のまとめページで、章ごとの要点整理とまとめテストを仕上げておこう。このページは、その8章すべてをまたいだ総仕上げにあたる。

数I

  1. 第1章　数と式　まとめ　―　展開・因数分解・根号の計算・1次不等式・絶対値。すべての計算の土台になる章。
  2. 第2章　集合と命題　まとめ　―　要素の個数、必要条件・十分条件、対偶・背理法などの論理の道具。
  3. 第3章　2次関数　まとめ　―　平方完成を出発点に、グラフ・最大最小・方程式・不等式・関数の決定までが1本の線でつながる章。
  4. 第4章　図形と計量（三角比）　まとめ　―　直角三角形の辺の比から鈍角への拡張を経て、正弦定理・余弦定理・面積公式まで。
  5. 第5章　データの分析　まとめ　―　代表値・分散・標準偏差でデータを要約し、相関係数・仮説検定の考え方で判断する。

数A

  1. 第1章　場合の数と確率　まとめ　―　積の法則・順列・組合せから、確率の基本・独立試行と反復試行・条件付き確率まで。
  2. 第2章　図形の性質　まとめ　―　三角形の心（重心・内心・外心）、チェバ・メネラウスの定理、円の性質、作図と空間図形。
  3. 第3章　数学と人間の活動（整数）　まとめ　―　素因数分解、最大公約数・最小公倍数とユークリッドの互除法、不定方程式、n進法。

要点整理　論理と証明のつながり（集合と命題 × 整数 × 図形の性質）

集合と命題の章で学ぶ「対偶」「必要条件・十分条件」「背理法」は、その章の中だけで使う道具ではない。他の章で「なぜその判定・その場合分けでよいのか」を支える根拠として、姿を変えて何度も登場する。

整数の性質：倍数の判定
「\(6\)の倍数である」ことは「\(2\)の倍数かつ\(3\)の倍数である」ための必要十分条件になる（\(6=2\times3\)で\(2\)と\(3\)が互いに素だから）。倍数の判定条件を作るとき、この必要十分条件の考え方がそのまま根拠になる。
整数の性質：対偶を使う証明
「\(n^2\)が3の倍数ならば\(n\)は3の倍数である」という主張は、\(n^2\)から直接\(n\)の性質を導くのが難しい。そこで対偶「\(n\)が3の倍数でないならば\(n^2\)は3の倍数でない」を考えると、\(n\)の形で場合分けして代入するだけで示せる。対偶は真偽が一致するので、これで元の主張も示したことになる。
図形の性質：円に内接する条件
「四角形が円に内接する」ことと「対角の和が\(180^\circ\)である」ことは、実は必要十分条件（同値）になっている。角度の条件から内接を判定する問題は、この必要十分条件を使っているとみなせる。
共通する姿勢　「\(A\Rightarrow B\)」と「\(B\Rightarrow A\)」の両方が成り立つかどうかを別々に確かめる――この地道な確認作業こそが、対偶・背理法・必要十分条件の判定のすべてに共通している。まとめテストの45番（整数×必要十分条件）・58番（図形の性質×必要十分条件）・60番（整数×場合の数×必要十分条件、章の総仕上げ問題）で、実際にこの考え方を使って確かめよう。

要点整理　数え上げの技術（集合 × 場合の数・確率 × データの分析）

「もれなく重複なく数える」という技術は、集合と命題の要素の個数の公式から始まり、場合の数と確率の順列・組合せ・確率、そして「期待値」という考え方へと発展する。この期待値の考え方は、データの分析で学ぶ「平均値」とまったく同じ発想でできている。

集合の要素の個数　\(n(A\cup B)=n(A)+n(B)-n(A\cap B)\)。「両方に数えてしまった部分を1回分だけ引く」という考え方は、場合の数で余事象や和の法則を使うときの基本姿勢と同じである。
集合と命題
要素の個数の公式、ド・モルガンの法則。「重なりをどう扱うか」が数える技術の出発点。
場合の数と確率
積の法則・順列・組合せで数え上げ、確率の基本・期待値へと発展する。「重複なく・もれなく」の姿勢がそのまま続く。
データの分析
平均値は、データの各値を足して個数で割ったもの。期待値（数A・場合の数と確率）の考え方は、この「平均値」とまったく同じ発想でできている。
期待値（数A・場合の数と確率）＝平均値という発想　サイコロを1回投げたときの出た目の期待値は\(\dfrac{1+2+3+4+5+6}{6}=3.5\)で、これは1〜6という「データ」の平均値の計算そのものである。くじの賞金の期待値も、「賞金額×その賞金が当たる確率」を全部足し合わせたもので、これは「重みつき平均」にほかならない。まとめテストの40番（集合の要素の個数）・43番（サイコロの期待値）・46番（集合×確率）、共通テスト形式チャレンジの大問4（くじの期待値、発展）で、この考え方を確認していこう。

要点整理　図形へのアプローチ（三角比 × 図形の性質）

図形と計量（三角比）は「角度と辺の比」で図形を測る章、図形の性質は「線分の比の定理と円の性質」で図形の関係を調べる章である。同じ三角形・同じ円を扱う問題でも、与えられている情報の種類によって、どちらの技術を使うべきかが決まる。

角度の情報が主役　→　三角比
正弦定理・余弦定理・\(S=\dfrac12ab\sin C\)。角度や辺の長さから、別の辺・角・面積・外接円の半径\(R\)を求める。
比・接線・円の情報が主役　→　図形の性質
チェバ・メネラウスの定理、方べきの定理、円周角の定理。線分の比や接線の長さから、別の比や長さを求める。
外接円は正弦定理、内接円は面積と半周長――同じ数I図形と計量の中での使い分け　外接円の半径\(R\)は正弦定理\(\dfrac{a}{\sin A}=2R\)で求め、内接円の半径\(r\)は面積と半周長の関係\(S=rs\)（面積÷半周長）で求める。どちらも数I「図形と計量」で学ぶ技術であり、チェバ・メネラウスの定理や方べきの定理、円周角の定理といった図形の性質の定理とは別の道具であることに注意しよう。まとめテストの41番（円周角の定理×正弦定理）・52番（余弦定理×円に内接する四角形、発展）・59番（余弦定理と内接円の半径、発展）、共通テスト形式チャレンジの大問3（測量×正弦定理・余弦定理×場合の数）で、実際にこの使い分けを確認しよう。

要点整理　式の処理技術の使い道（因数分解・不等式 × 整数の性質）

数と式で身につけた因数分解・1次不等式の技術は、2次関数の章の中だけでなく、整数の性質の不定方程式や、2次方程式の整数解を求める場面でも繰り返し使われる。

差の平方の利用　\(x^2-y^2=(x-y)(x+y)\)という因数分解公式は、2次式の計算問題だけでなく、整数の性質で「\(x^2-y^2=45\)を満たす自然数の組をすべて求めよ」のような問題を解く決め手になる。右辺を2つの整数の積に分解し、その約数の組み合わせを整数の性質の技術で数え上げる。
1次不定方程式
\(ax+by=c\)（数A・整数）の整数解は、ユークリッドの互除法で特殊解を1組見つけ、そこから一般解を作る。硬貨の組み合わせのような文章題に直結する。
2次方程式の整数解
\(x^2-mx+n=0\)の2つの解を\(\alpha,\beta\)とすると、\((x-\alpha)(x-\beta)\)を展開して係数を比べることで\(\alpha+\beta,\ \alpha\beta\)の値がわかる（数I・展開と因数分解の技術）。和や積が整数になる条件から、整数の性質の技術（約数を洗い出す）で解の候補をしぼりこむ。
共通する考え方　「文字のままでは範囲が広すぎて手に負えない式」を、いったん整数の積の形に因数分解してから、約数を数え上げて範囲を絞りこむ――これが数と式の因数分解と、整数の性質の不定方程式・整数解の探索に共通する解き方である。まとめテストの42番（2次方程式の整数解×約数）・44番（因数分解×素数の判定）・50番（因数分解の応用）・53番（差の平方×整数解、発展）、共通テスト形式チャレンジの大問5（硬貨の両替と不定方程式）で確認していこう。
まとめテスト（標準）

数I・数A全8章を横断する総合演習、全60問。目標時間は90分。答えを入力して「採点」を押すと○×が出るぞ。分数は「-1/2」、根号は「√3」でも「sqrt3」でもOK。
証明問題は入力欄なし。自分で書いてから「解答例を見る」で確認しよう。わからないときは「解説を見る」で解き方を確認しよう。

基本（1〜25）
1
数と式：展開

\((x+9)(x-4)\) を展開せよ。

\(x^2\)の係数 　\(x\)の係数 　定数項
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4つの積を作る：\(x\times x=x^2\)、\(x\times(-4)=-4x\)、\(9\times x=9x\)、\(9\times(-4)=-36\) \(x\)の項をまとめる：\(-4x+9x=5x\) \((x+9)(x-4)=x^2+5x-36\)
2
数と式：因数分解

\(x^2-2x-24\) を因数分解せよ。アには小さい方の数を入れよ。

(x＋ア)(x＋イ)　
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和が\(-2\)、積が\(-24\)になる2数を探す。\(-6+4=-2\)、\(-6\times4=-24\)なので\(-6\)と\(4\)。 \(x^2-2x-24=(x-6)(x+4)\)
3
数と式：絶対値方程式

\(|2x-3|=7\) を解け。

\(x=\)
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\(|2x-3|=7\)より\(2x-3=7\)または\(2x-3=-7\)。 \(2x-3=7\)のとき\(2x=10\)、\(x=5\)。 \(2x-3=-7\)のとき\(2x=-4\)、\(x=-2\)。 \(x=5,\ -2\)
4
集合と命題：要素の個数

\(n(A)=20,\ n(B)=13,\ n(A\cap B)=5\) のとき、\(n(A\cup B)\) を求めよ。

\(n(A\cup B)=\)
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\(n(A\cup B)=n(A)+n(B)-n(A\cap B)=20+13-5=28\) \(n(A\cup B)=28\)
5
集合と命題：部分集合の個数

要素が6個の集合の部分集合は何個あるか求めよ。

答え 個
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まず小さい例で確かめよう。要素が2個の集合\(\{a,\ b\}\)の部分集合をすべて書き出すと、\(\varnothing,\ \{a\},\ \{b\},\ \{a,\ b\}\)の4個になる（空集合と自分自身も部分集合に数える）。 これを「要素ごとに入れるか入れないか」という選び方で数えなおしてみる。\(a\)を「入れる・入れない」の2通り、\(b\)も「入れる・入れない」の2通りで、この2つは独立に選べるので積の法則より\(2\times2=4\)通り。たしかに書き出した4個と一致する。 この「要素1個につき2通り」という数え方は、要素の個数が増えても同じように使える。要素が6個なら、6個それぞれに「入れる・入れない」の2通りがあるので、部分集合の個数は \(2^6=64\)個 要素が少ないうちは全部書き出して数えられるが、6個にもなると書き出すのは大変なので、この\(2^n\)の公式が役に立つ。 64個
6
集合と命題：必要条件・十分条件

条件\(p\)：「\(x=4\)」、条件\(q\)：「\(x^2=16\)」とする。\(p\)は\(q\)であるための何条件か答えよ。

答え
解説を見る
\(p\Rightarrow q\)：\(x=4\)ならば\(x^2=16\)は成り立つ（真）。 \(q\Rightarrow p\)：\(x^2=16\)ならば\(x=4\)とは限らない（\(x=-4\)という反例がある）ので偽。 \(p\Rightarrow q\)だけが真なので、\(p\)は\(q\)であるための十分条件（必要条件ではない）。 十分条件
7
2次関数：平方完成

\(y=x^2-12x+40\) を平方完成し、頂点の座標を求めよ。

頂点のx座標 　頂点のy座標
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\(x\)の係数\(-12\)の半分は\(-6\)、2乗すると\(36\)。 \(y=x^2-12x+36-36+40=(x-6)^2+4\) 頂点\((6,\ 4)\)
8
2次関数：2次方程式

\(x^2-7x+12=0\) を解け。

\(x=\)
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積が\(12\)、和が\(-7\)になる2数は\(-3\)と\(-4\)。 \((x-3)(x-4)=0\) \(x=3,\ 4\)
9
2次関数：2次不等式

\(x^2-16>0\) を解け。

\(\text{ア}<x<\text{イ}\)の形ではなく「\(x<\text{ア}\)または\(\text{イ}<x\)」の形で、ア＝ 　イ＝
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\(x^2-16=(x-4)(x+4)\)。交点は\(x=-4,\ 4\)。\(y>0\)なので外側型。 \(x<-4\) または \(4<x\)
10
図形と計量：三角比の定義

直角三角形で、隣辺\(8\)・対辺\(15\)・斜辺\(17\)のとき、\(\sin\theta,\ \cos\theta,\ \tan\theta\) を求めよ。

\(\sin\theta=\) 　\(\cos\theta=\) 　\(\tan\theta=\)
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\(\theta\)から見て、隣辺8・対辺15・斜辺17。定義にそのまま当てはめる。 \(\sin\theta=\dfrac{15}{17}\)、\(\cos\theta=\dfrac{8}{17}\)、\(\tan\theta=\dfrac{15}{8}\) \(\sin\theta=\dfrac{15}{17},\ \cos\theta=\dfrac{8}{17},\ \tan\theta=\dfrac{15}{8}\)
11
図形と計量：三角比の相互関係

\(\theta\)は鋭角で\(\cos\theta=\dfrac{5}{13}\)のとき、\(\sin\theta,\ \tan\theta\) を求めよ。

\(\sin\theta=\) 　\(\tan\theta=\)
解説を見る
\(\sin^2\theta+\cos^2\theta=1\)より\(\sin^2\theta=1-\dfrac{25}{169}=\dfrac{144}{169}\)。\(\theta\)は鋭角なので\(\sin\theta>0\)、よって\(\sin\theta=\dfrac{12}{13}\)。 \(\tan\theta=\dfrac{\sin\theta}{\cos\theta}=\dfrac{12/13}{5/13}=\dfrac{12}{5}\) \(\sin\theta=\dfrac{12}{13},\ \tan\theta=\dfrac{12}{5}\)
12
図形と計量：正弦定理

三角形ABCの外接円の半径が\(R=6\)、辺\(a=9\)のとき、\(\sin A\) の値を求めよ。

\(\sin A=\)
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正弦定理\(\dfrac{a}{\sin A}=2R\)より\(\sin A=\dfrac{a}{2R}=\dfrac{9}{12}=\dfrac{3}{4}\) \(\sin A=\dfrac{3}{4}\)
13
データの分析：代表値

データ\(3,\ 5,\ 5,\ 8,\ 14\)の平均値と中央値を求めよ。

平均値 　中央値
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平均値：\((3+5+5+8+14)\div5=35\div5=7\) 中央値：すでに小さい順に並んでいるので、真ん中（3番目）の値\(5\)。 平均値\(7\)、中央値\(5\)
14
データの分析：四分位数

データ\(1,\ 4,\ 6,\ 9,\ 10,\ 13,\ 15,\ 18\)（すでに小さい順）の第1四分位数\(Q_1\)と第3四分位数\(Q_3\)を求めよ。

\(Q_1=\) 　\(Q_3=\)
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データ数8は偶数なので、そのまま半分に分ける。 下組：\(1,\ 4,\ 6,\ 9\) → 中央値（\(Q_1\)）は\((4+6)\div2=5\) 上組：\(10,\ 13,\ 15,\ 18\) → 中央値（\(Q_3\)）は\((13+15)\div2=14\) \(Q_1=5,\ Q_3=14\)
15
データの分析：分散

データ\(2,\ 4,\ 6,\ 8,\ 10\)の分散\(V\)を求めよ。

\(V=\)
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平均は\((2+4+6+8+10)\div5=6\)。 偏差は\(-4,-2,0,2,4\)、偏差の2乗は\(16,4,0,4,16\)、その和は\(40\)。 \(V=40\div5=8\) \(V=8\)
16
場合の数と確率：積の法則

シャツが4種類、ズボンが3種類、靴が2種類ある。シャツ・ズボン・靴を1つずつ選んで組み合わせる方法は何通りあるか。

答え 通り
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積の法則より\(4\times3\times2=24\)通り。 24通り
17
場合の数と確率：順列

5人から3人を選んで1列に並べる方法は何通りあるか。

答え 通り
解説を見る
\({}_{5}\mathrm{P}_{3}=5\times4\times3=60\) 60通り
18
場合の数と確率：組合せ

8人から3人を選ぶ方法は何通りあるか。

答え 通り
解説を見る
\({}_{8}\mathrm{C}_{3}=\dfrac{8\times7\times6}{3\times2\times1}=56\) 56通り
19
場合の数と確率：確率の基本

サイコロを1回投げるとき、偶数の目が出る確率を求めよ。

答え
解説を見る
偶数の目は\(2,4,6\)の3通り。全部で6通りなので確率は\(\dfrac{3}{6}=\dfrac12\)。 \(\dfrac12\)
20
図形の性質：角の二等分線と比

三角形ABCで\(AB=8,\ AC=6\)とする。\(\angle A\)の二等分線と辺BCの交点を\(D\)とするとき、\(BD:DC\)を求めよ。

\(BD:DC=\)
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角の二等分線の性質より\(BD:DC=AB:AC=8:6=4:3\) \(BD:DC=4:3\)
21
図形の性質：重心

三角形ABCの重心を\(G\)とし、中線\(AM\)の長さが\(12\)であるとき、\(AG\)と\(GM\)の長さを求めよ。

\(AG=\) 　\(GM=\)
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重心は中線を頂点側から\(2:1\)に内分する。\(AM=12\)を\(2:1\)に分けると \(AG=12\times\dfrac{2}{3}=8\)、\(GM=12\times\dfrac{1}{3}=4\) \(AG=8,\ GM=4\)
22
図形の性質：円に内接する四角形

円に内接する四角形ABCDで、\(\angle A=70^\circ\)のとき、\(\angle C\)を求めよ。

\(\angle C=\) 度
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円に内接する四角形は対角の和が\(180^\circ\)になる。 \(\angle C=180^\circ-70^\circ=110^\circ\) \(\angle C=110^\circ\)
23
整数の性質：約数の個数

\(36\)の正の約数の個数を求めよ。

答え 個
解説を見る
\(36=2^2\times3^2\)。約数の個数は指数に1を足して掛け合わせる。 \((2+1)(2+1)=9\) 9個
24
整数の性質：最大公約数・最小公倍数

\(24\)と\(36\)の最大公約数と最小公倍数を求めよ。

最大公約数 　最小公倍数
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\(24=2^3\times3,\ 36=2^2\times3^2\) 最大公約数：共通する素因数を低い方の指数で\(2^2\times3=12\) 最小公倍数：\(24\times36\div12=72\) 最大公約数\(12\)、最小公倍数\(72\)
25
整数の性質：n進法

2進法の\(1011_{(2)}\)を10進法の数に変換せよ。

答え
解説を見る
位ごとに\(2\)のべき乗をかけて足す。 \(1011_{(2)}=1\times2^3+0\times2^2+1\times2^1+1\times2^0=8+0+2+1=11\) 11
標準（26〜50）
26
数と式：有理化

\(\dfrac{1}{4-\sqrt{11}}\) を有理化せよ。

(√+)/
解説を見る
分母・分子に共役\(4+\sqrt{11}\)をかける。 \(\dfrac{1}{4-\sqrt{11}}=\dfrac{4+\sqrt{11}}{(4-\sqrt{11})(4+\sqrt{11})}=\dfrac{4+\sqrt{11}}{16-11}=\dfrac{4+\sqrt{11}}{5}\) \(\dfrac{1}{4-\sqrt{11}}=\dfrac{\sqrt{11}+4}{5}\)
27
数と式：絶対値不等式

\(|x-5|\ge9\) を解け。解は \(x\le\text{ア}\) または \(x\ge\text{イ}\) の形になる。

ア＝ 　イ＝
解説を見る
\(|x-5|\ge9\)は「点5からの距離が9以上」の範囲。 \(x-5\ge9\)より\(x\ge14\)、または\(x-5\le-9\)より\(x\le-4\)。 \(x\le-4\) または \(x\ge14\)
28
集合と命題：対偶を用いた証明

整数\(n\)について、「\(n^2\)が奇数ならば\(n\)は奇数である」ことを、対偶を利用して証明せよ。

解答例を見る
この命題の対偶は「\(n\)が偶数ならば\(n^2\)は偶数である」。もとの命題と対偶は真偽が必ず一致するので、対偶を証明すればよい。 \(n\)が偶数のとき、ある整数\(k\)を用いて\(n=2k\)とおける。 \(n^2=(2k)^2=4k^2=2\times2k^2\) \(2k^2\)は整数だから、\(n^2\)は「2×整数」の形、すなわち偶数である。 したがって対偶「\(n\)が偶数ならば\(n^2\)は偶数である」は真であり、対偶が真であればもとの命題も真である。 対偶「\(n\)が偶数ならば\(n^2\)は偶数」を示すことで、もとの命題「\(n^2\)が奇数ならば\(n\)は奇数」が証明された。
29
2次関数：判別式とkの範囲

\(x^2+8x+k=0\) が実数解をもつような \(k\) の値の範囲を求めよ。

\(k\le\)
解説を見る
実数解をもつ（重解も含む）\(\iff D\ge0\) \(D=8^2-4\times1\times k=64-4k\) \(64-4k\ge0\)より\(4k\le64\)、よって\(k\le16\) \(k\le16\)
30
2次関数：関数の決定（頂点形）

頂点が\((2,\ -3)\)で、点\((4,\ 5)\)を通る放物線を\(y=a(x-2)^2-3\)の形で表すとき、\(a\)の値を求めよ。

\(a=\)
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点\((4,\ 5)\)を代入する。 \(5=a(4-2)^2-3=4a-3\) \(4a=8\) \(a=2\) \(a=2\)（式は\(y=2(x-2)^2-3\)）
31
図形と計量：三角方程式

\(0^\circ\le\theta\le180^\circ\)で\(\sin\theta=\dfrac12\)となる\(\theta\)をすべて求めよ。

\(\theta=\) 度
解説を見る
\(\sin\theta=\dfrac12\)を満たす角は、鋭角では\(30^\circ\)。\(0^\circ\le\theta\le180^\circ\)の範囲では、\(\sin\)は\(90^\circ\)を軸に対称な値をとるので、もう1つは\(180^\circ-30^\circ=150^\circ\)。 \(\theta=30^\circ,\ 150^\circ\)
32
図形と計量：余弦定理と鈍角の判定

三角形の3辺の長さが\(5,\ 6,\ 9\)のとき、最大辺\(9\)の対角\(\theta\)の余弦の値を求め、この三角形が鋭角三角形・直角三角形・鈍角三角形のどれになるか答えよ。

\(\cos\theta=\) 　種類
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余弦定理より\(\cos\theta=\dfrac{5^2+6^2-9^2}{2\times5\times6}=\dfrac{25+36-81}{60}=\dfrac{-20}{60}=-\dfrac13\) \(\cos\theta<0\)なので\(\theta\)は鈍角。最大辺の対角が鈍角であることから、この三角形は鈍角三角形である。 \(\cos\theta=-\dfrac13\)、鈍角三角形
33
データの分析：分散・標準偏差の変換規則

平均\(40\)、分散\(9\)のデータについて、全員の値を2倍したときの新しい平均・分散・標準偏差を求めよ。

平均 　分散 　標準偏差
解説を見る
全員を\(b\)倍すると、平均も\(b\)倍、分散は\(b^2\)倍、標準偏差は\(|b|\)倍になる。\(b=2\)なので 平均：\(40\times2=80\) 分散：\(9\times2^2=9\times4=36\) 標準偏差：\(\sqrt{36}=6\) 平均\(80\)、分散\(36\)、標準偏差\(6\)
34
場合の数と確率：反復試行

コインを5回投げるとき、表がちょうど3回出る確率を求めよ。

答え
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反復試行の公式より、5回中3回表が出る確率は \({}_{5}\mathrm{C}_{3}\left(\dfrac12\right)^3\left(\dfrac12\right)^2=10\times\dfrac{1}{32}=\dfrac{10}{32}=\dfrac{5}{16}\) \(\dfrac{5}{16}\)
35
場合の数と確率：条件付き確率

袋に赤玉3個・白玉5個が入っている。玉を1個ずつ、もとに戻さずに2個続けて取り出す。1個目が赤玉であったとき、2個目も赤玉である条件付き確率を求めよ。

答え
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1個目に赤玉を取り出した後、袋の中は赤玉2個・白玉5個の合計7個になっている。 この状態から2個目に赤玉を取り出す確率は\(\dfrac27\)。 \(\dfrac27\)
36
図形の性質：チェバの定理

三角形ABCの辺BC,CA,AB上（またはその延長）に点D,E,Fをとり、線分AD,BE,CFが1点で交わっている。\(\dfrac{BD}{DC}=\dfrac23,\ \dfrac{CE}{EA}=\dfrac45\)のとき、\(\dfrac{AF}{FB}\)を求めよ。

\(\dfrac{AF}{FB}=\)
解説を見る
チェバの定理より\(\dfrac{BD}{DC}\times\dfrac{CE}{EA}\times\dfrac{AF}{FB}=1\) \(\dfrac23\times\dfrac45\times\dfrac{AF}{FB}=1\) \(\dfrac{8}{15}\times\dfrac{AF}{FB}=1\) \(\dfrac{AF}{FB}=\dfrac{15}{8}\) \(\dfrac{AF}{FB}=\dfrac{15}{8}\)
37
図形の性質：方べきの定理

円の外部の点\(P\)から2本の割線を引く。1本目は円との交点までの距離が近い方\(4\)、遠い方\(9\)（\(PA=4,\ PB=9\)）である。2本目は近い方の交点までの距離が\(3\)（\(PC=3\)）である。2本目の遠い方の交点までの距離\(PD\)を求めよ。

\(PD=\)
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方べきの定理より\(PA\times PB=PC\times PD\) \(4\times9=3\times PD\) \(36=3\times PD\) \(PD=12\) \(PD=12\)
38
整数の性質：ユークリッドの互除法

ユークリッドの互除法を用いて、\(84\)と\(126\)の最大公約数を求めよ。

答え
解説を見る
大きい方を小さい方で割った余りを使って、割る数を更新していく。 \(126=84\times1+42\) \(84=42\times2+0\) 余りが0になったときの割る数が最大公約数。 最大公約数\(42\)
39
整数の性質：不定方程式

\(3x+7y=1\)の整数解のうち、\(0\le x\le6\)を満たすものを求めよ。

\(x=\) 　\(y=\) （符号もつけて入力）
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\(7y=1-3x\)より、\(1-3x\)が\(7\)の倍数になる\(x\)を、\(0\)から順に代入して探す。 \(x=0\)：\(1-0=1\)（7の倍数でない） \(x=1\)：\(1-3=-2\)（7の倍数でない） \(x=2\)：\(1-6=-5\)（7の倍数でない） \(x=3\)：\(1-9=-8\)（7の倍数でない） \(x=4\)：\(1-12=-11\)（7の倍数でない） \(x=5\)：\(1-15=-14=7\times(-2)\)（7の倍数になった） よって\(x=5\)のとき\(y=\dfrac{-14}{7}=-2\)。 検算：\(3\times5+7\times(-2)=15-14=1\)（成り立つ） \(x=5,\ y=-2\)
40
集合と命題×場合の数：要素の個数の総合

1以上40以下の自然数の集合を\(U\)とする。\(A\)を3の倍数の集合、\(B\)を4の倍数の集合とするとき、\(n(A\cup B)\)を求めよ。

\(n(A\cup B)=\)
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\(n(A)=13\)（3の倍数、\(\lfloor40\div3\rfloor\)）、\(n(B)=10\)（4の倍数、\(40\div4\)）、\(n(A\cap B)=3\)（12の倍数、\(\lfloor40\div12\rfloor\)） \(n(A\cup B)=n(A)+n(B)-n(A\cap B)=13+10-3=20\) \(n(A\cup B)=20\)
41
図形と計量×図形の性質：円周角の定理と正弦定理

三角形ABCは円に内接し、その外接円の直径が\(AC\)である（すなわち\(AC\)が直径）。\(AB=6,\ BC=8\)のとき、外接円の半径\(R\)を正弦定理を用いて求めよ。

\(R=\)
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円周角の定理より、直径に対する円周角はつねに\(90^\circ\)なので\(\angle B=90^\circ\)。 よって三平方の定理から\(AC=\sqrt{AB^2+BC^2}=\sqrt{36+64}=\sqrt{100}=10\)。 正弦定理\(\dfrac{AC}{\sin B}=2R\)より\(2R=\dfrac{10}{\sin90^\circ}=\dfrac{10}{1}=10\)、よって\(R=5\)。 \(R=5\)
42
2次関数×整数の性質：2次方程式の整数解

2次方程式\(x^2-mx+36=0\)が異なる2つの正の整数の解をもつとき、\(m\)の値のうち最大のものを求めよ。

\(m=\)
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2つの解を\(\alpha,\beta\)（\(\alpha\ne\beta\)）とすると\(x^2-mx+36=(x-\alpha)(x-\beta)=x^2-(\alpha+\beta)x+\alpha\beta\)。展開して係数を比べると\(\alpha\beta=36,\ \alpha+\beta=m\)（数Iの展開・係数比較）。 つまり、積が\(36\)になる異なる正の整数の組をすべて洗い出し、その和の最大値を求めればよい（整数の性質：約数を数え上げる技術）。 \((1,36)\)：和\(37\)、\((2,18)\)：和\(20\)、\((3,12)\)：和\(15\)、\((4,9)\)：和\(13\)、\((6,6)\)：異なる2数でないため除く。 和が最大になるのは\((1,36)\)のときの\(37\)。 \(m=37\)（そのとき解は\(x=1,\ 36\)）
43
場合の数と確率：期待値

サイコロを1回投げるときの出た目の期待値を求めよ。

答え
解説を見る
期待値は「値×確率」をすべて足したもの。目はどれも確率\(\dfrac16\)で出るので \(E=\dfrac16(1+2+3+4+5+6)=\dfrac{21}{6}=3.5\) これは\(1\)から\(6\)までの平均値の計算とまったく同じである。 期待値\(=3.5\)
44
数と式×整数の性質：因数分解と素数の判定

\(n^2-1\)が素数になるような、2以上の自然数\(n\)をすべて求めよ。

\(n=\)
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因数分解すると\(n^2-1=(n-1)(n+1)\)。 \(n\ge2\)のとき\(n+1\ge3\)なので、\((n-1)(n+1)\)が素数になるには、もう一方の因数\((n-1)\)が\(1\)でなければならない（\(2\)つの整数の積が素数になるのは、一方が\(1\)、もう一方がその素数自身のときだけ）。 \(n-1=1\)より\(n=2\)。このとき\(n^2-1=3\)（素数）。 \(n\ge3\)のとき\(n-1\ge2\)なので\((n-1)(n+1)\)は\(2\)以上の2つの整数の積となり合成数になってしまう。 \(n=2\)
45
集合と命題×整数の性質：必要十分条件

整数\(n\)について、「\(n\)が6の倍数である」ことは、「\(n\)が2の倍数かつ3の倍数である」ための何条件か答えよ。

答え
解説を見る
\(n\)が6の倍数\(\Rightarrow\)\(n\)は2の倍数かつ3の倍数：\(6=2\times3\)なので明らかに成り立つ。真。 \(n\)が2の倍数かつ3の倍数\(\Rightarrow\)\(n\)は6の倍数：\(2\)と\(3\)は互いに素（最大公約数が\(1\)）なので、両方の倍数であればその最小公倍数\(6\)の倍数になる。真。 両方向とも真なので、必要十分条件である。 必要十分条件
46
集合と命題×場合の数と確率：要素の個数と確率

40人にアンケートをとったところ、「数学が好き」と答えた生徒は23人、「英語が好き」と答えた生徒は18人、両方好きと答えた生徒は11人だった。この40人から1人を無作為に選ぶとき、その生徒が「数学も英語もどちらも好きでない」確率を求めよ。

答え
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「数学好き」または「英語好き」の人数は \(n(A\cup B)=23+18-11=30\) ド・モルガンの法則より、「数学も英語も好きでない」という集合は\(A\cup B\)の補集合\(\overline{A\cup B}\)と一致する。 補集合の要素の個数は、全体の人数から\(n(A\cup B)\)を引いた\(n(U)-n(A\cup B)\)で求められるので \(40-30=10\)（人） 1人を無作為に選ぶときの確率は \(\dfrac{10}{40}=\dfrac14\) \(\dfrac14\)
47
場合の数と確率×図形の性質：円周上の点と組合せ

円周上に8個の点があり、これらを順に結んで八角形を作る。(1)この8点から3点を選んでできる三角形は何個あるか、(2)この八角形の対角線は何本引けるか、それぞれ求めよ。

三角形 個　対角線 本
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(1) 円周上のどの3点も一直線上にないので、3点を選べば必ず1つの三角形ができる。 \({}_{8}\mathrm{C}_{3}=\dfrac{8\times7\times6}{3\times2\times1}=56\)個 (2) まず8点から2点を選ぶ方法は\({}_{8}\mathrm{C}_{2}=28\)通り。このうち、隣り合う2点を結ぶ8本は対角線ではなく八角形の辺なので除く。 \(28-8=20\)本 三角形\(56\)個、対角線\(20\)本
48
データの分析：分散の比較

データAの標準偏差は\(6\)、データBの標準偏差は\(9\)である。それぞれの分散を求め、どちらの散らばりが大きいか答えよ。

分散A 　分散B 　散らばりが大きい方
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分散は標準偏差の2乗。 分散A\(=6^2=36\)、分散B\(=9^2=81\) 分散が大きいほど散らばりが大きいので、Bの方が散らばりが大きい。 分散A\(=36\)、分散B\(=81\)、散らばりが大きいのはB
49
集合と命題：逆・裏の真偽

命題「\(x>3\)ならば\(x>1\)」の逆と裏の真偽を、それぞれ「真」または「偽」で答えよ。

逆 　裏
解説を見る
逆「\(x>1\)ならば\(x>3\)」：\(x=2\)は\(x>1\)を満たすが\(x>3\)を満たさない（反例）。偽。 裏「\(x\le3\)ならば\(x\le1\)」：\(x=2\)は\(x\le3\)を満たすが\(x\le1\)を満たさない（反例）。偽。 （逆と裏はもとの命題に対して互いに対偶の関係にあるので、真偽は必ず一致する。もとの命題自体は真だが、逆・裏はどちらも偽になっている。） 逆＝偽、裏＝偽
50
数と式：因数分解（共通因数＋公式）

\(x^3-x\) を因数分解せよ。アには小さい方の数を入れよ。

x(x＋ア)(x＋イ)　
解説を見る
まず共通因数\(x\)をくくり出す。 \(x^3-x=x(x^2-1)\) \(x^2-1\)は2乗の差の公式で因数分解できる。 \(x^2-1=(x-1)(x+1)\) \(x^3-x=x(x-1)(x+1)\)
発展（51〜60）
51
2次関数×図形と計量：面積の最大化

2辺の長さの和が\(12\)、その間の角が\(120^\circ\)の三角形がある。一方の辺の長さを\(x\)（\(0<x<12\)）として、面積\(S\)が最大になる\(x\)の値と、そのときの最大値を求めよ。

\(x=\) 　最大値 \(S=\)
解説を見る
もう一方の辺は\(12-x\)。面積公式より \(S=\dfrac12x(12-x)\sin120^\circ=\dfrac{\sqrt3}{4}(12x-x^2)\) \(x^2\)の項に注目して平方完成する。\(12x-x^2=-(x^2-12x)=-\big((x-6)^2-36\big)=-(x-6)^2+36\) \(S=\dfrac{\sqrt3}{4}\big(-(x-6)^2+36\big)=-\dfrac{\sqrt3}{4}(x-6)^2+9\sqrt3\) 上に凸なので、\(x=6\)（区間\(0<x<12\)の中にある）で最大値\(9\sqrt3\)。 \(x=6\)のとき最大値\(S=9\sqrt3\)
52
図形と計量×図形の性質：円に内接する四角形と余弦定理

円に内接する四角形ABCDで、\(AB=4,\ BC=5,\ CD=6,\ DA=7\)、\(\angle ABC=\theta\)とする。対角線ACについて、三角形ABCと三角形ACDでそれぞれ余弦定理を立式することにより、\(\cos\theta\)の値を求めよ。

\(\cos\theta=\)
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円に内接する四角形は対角の和が\(180^\circ\)なので\(\angle ADC=180^\circ-\theta\)。 三角形ABCで余弦定理： \(AC^2=AB^2+BC^2-2\cdot AB\cdot BC\cos\theta=16+25-40\cos\theta=41-40\cos\theta\) 三角形ACDで余弦定理（\(\cos(180^\circ-\theta)=-\cos\theta\)を使う）： \(AC^2=CD^2+DA^2-2\cdot CD\cdot DA\cos(180^\circ-\theta)=36+49+84\cos\theta=85+84\cos\theta\) 同じ\(AC^2\)なので2式を等しいとおく。 \(41-40\cos\theta=85+84\cos\theta\) \(41-85=84\cos\theta+40\cos\theta\) \(-44=124\cos\theta\) \(\cos\theta=-\dfrac{44}{124}=-\dfrac{11}{31}\) \(\cos\theta=-\dfrac{11}{31}\)
53
数と式×整数の性質：差の平方と約数

\(x>y>0\)を満たす自然数\(x,\ y\)が、\(x^2-y^2=45\)を満たすとき、\((x,\ y)\)の組は何個あるか。また、そのうち\(x\)が最小になる組を求めよ。

個数 　最小の\(x=\) 　そのときの\(y=\)
解説を見る
因数分解すると\(x^2-y^2=(x-y)(x+y)=45\)。 \(x-y\)と\(x+y\)はどちらも自然数で、その積が\(45\)（奇数）になるので、どちらも奇数である（奇数どうしの積でないと\(45\)にならない）。さらに\(x-y<x+y\)なので、\(45\)を「小さい方×大きい方」の奇数の積に分解する。 \(45=1\times45=3\times15=5\times9\) それぞれから\(x=\dfrac{(x-y)+(x+y)}{2},\ y=\dfrac{(x+y)-(x-y)}{2}\)を計算する。 \(1\times45\)：\(x=23,\ y=22\) \(3\times15\)：\(x=9,\ y=6\) \(5\times9\)：\(x=7,\ y=2\) 組は3個。\(x\)が最小になるのは\(x=7,\ y=2\)
54
場合の数と確率×図形の性質：正多角形と辺を含む三角形

正八角形の8個の頂点から3点を選んで三角形を作るとき、正八角形の辺を少なくとも1辺として含む三角形は何個できるか。

答え 個
解説を見る
「辺を2つ含む場合（連続する3頂点）」と「辺をちょうど1つ含む場合」に分けて数える。 辺を2つ含む場合：連続する3頂点を選ぶ組は、頂点の個数と同じ\(8\)個。 辺をちょうど1つ含む場合：まず辺を1つ選ぶ（\(8\)通り）。その辺の両端の頂点を\(v_i,\ v_{i+1}\)とすると、残りの頂点のうち、両隣の\(v_{i-1}\)と\(v_{i+2}\)を選ぶと辺が2つになってしまうのでこの2点は使えない。よって選べる第3の頂点は\(8-2-2=4\)個。 辺の選び方\(8\)通り×第3頂点\(4\)通り\(=32\)個（この数え方では、1つの三角形が使う辺は1つだけなので重複はない）。 合計すると \(8+32=40\)個 40個
55
集合と命題×2次関数：全称命題と2次不等式

すべての実数\(x\)について\(x^2+2ax+3a+4\ge0\)が成り立つように、定数\(a\)の値の範囲を求めよ。

下端＝ 　上端＝
解説を見る
左辺を\(y=x^2+2ax+(3a+4)\)とみると\(x^2\)の係数は\(1>0\)（下に凸）。 下に凸の放物線がすべての\(x\)で\(y\ge0\)になるのは、頂点の\(y\)座標が\(0\)以上、つまり判別式\(D\le0\)のとき（等号\(D=0\)も、頂点でちょうど\(y=0\)になるだけで「\(\ge0\)」を満たすので含む）。 \(D=(2a)^2-4\times1\times(3a+4)=4a^2-12a-16\) \(D\le0\)より\(4a^2-12a-16\le0\)。両辺を4で割って\(a^2-3a-4\le0\)。積が\(-4\)・和が\(-3\)になる2数は\(-4\)と\(1\)なので\((a-4)(a+1)\le0\)。 これは内側型なので\(-1\le a\le4\)（等号を含む）。 \(-1\le a\le4\)
56
場合の数と確率：独立な試行の確率

袋Aには赤玉3個・白玉2個、袋Bには赤玉2個・白玉4個が入っている。袋Aから1個、袋Bから1個を同時に取り出すとき、(1)2個とも赤玉である確率、(2)少なくとも1個が赤玉である確率を、それぞれ求めよ。

(1)2個とも赤玉 　(2)少なくとも1個が赤玉
解説を見る
袋Aと袋Bからそれぞれ1個ずつ取り出す試行は、一方の結果がもう一方に影響しない独立な試行である。 (1) Aから赤玉を取り出す確率は\(\dfrac35\)、Bから赤玉を取り出す確率は\(\dfrac26=\dfrac13\)。独立な試行の確率は掛け合わせればよいので \(\dfrac35\times\dfrac13=\dfrac15\) (2) 「少なくとも1個は赤玉」の余事象は「2個とも白玉」。Aで白玉の確率は\(\dfrac25\)、Bで白玉の確率は\(\dfrac46=\dfrac23\)なので、2個とも白玉の確率は \(\dfrac25\times\dfrac23=\dfrac{4}{15}\) 余事象の考え方より、少なくとも1個が赤玉である確率は \(1-\dfrac{4}{15}=\dfrac{11}{15}\) (1)\(\dfrac15\)　(2)\(\dfrac{11}{15}\)
57
数と式×図形と計量：絶対値と三角比の符号

\(0^\circ\le\theta\le180^\circ\)のとき、\(\sqrt{(\sin\theta-\cos\theta)^2}\)を、\(\theta\)の範囲によって場合分けして簡単にせよ。

解答例を見る
根号の中が2乗の形なので、\(\sqrt{(\sin\theta-\cos\theta)^2}=|\sin\theta-\cos\theta|\)（絶対値の定義：\(\sqrt{A^2}=|A|\)）。 あとは中身\(\sin\theta-\cos\theta\)の符号を、\(\theta\)の範囲で場合分けして調べればよい。 \(0^\circ\le\theta<45^\circ\)のとき：この範囲では\(\cos\theta>\sin\theta\)（たとえば\(\theta=0^\circ\)なら\(\sin0^\circ=0,\ \cos0^\circ=1\)で確かに\(\cos\)の方が大きい）。よって\(\sin\theta-\cos\theta<0\)なので、絶対値を外すと符号が反転し \(|\sin\theta-\cos\theta|=\cos\theta-\sin\theta\) \(45^\circ\le\theta\le180^\circ\)のとき：この範囲では\(\sin\theta\ge\cos\theta\)（\(\theta=45^\circ\)で等しくなり、\(\theta=180^\circ\)なら\(\sin180^\circ=0,\ \cos180^\circ=-1\)で確かに\(\sin\)の方が大きい）。よって\(\sin\theta-\cos\theta\ge0\)なので、絶対値はそのまま外せて \(|\sin\theta-\cos\theta|=\sin\theta-\cos\theta\) \(0^\circ\le\theta<45^\circ\)のとき\(\cos\theta-\sin\theta\)、\(45^\circ\le\theta\le180^\circ\)のとき\(\sin\theta-\cos\theta\)
58
図形の性質×集合と命題：円に内接する条件

「四角形ABCDにおいて\(\angle A+\angle C=180^\circ\)が成り立つならば、この四角形は円に内接する」ことが知られている（円に内接する四角形の定理の逆）。これを利用して、\(\angle A=(3x+10)^\circ,\ \angle C=(2x+20)^\circ\)であるとき、四角形ABCDが円に内接するような\(x\)の値を求めよ。

\(x=\)
解説を見る
円に内接する条件は\(\angle A+\angle C=180^\circ\)。 \((3x+10)+(2x+20)=180\) \(5x+30=180\) \(5x=150\) \(x=30\) （検算：\(\angle A=3\times30+10=100^\circ\)、\(\angle C=2\times30+20=80^\circ\)、和は\(180^\circ\)で確かに成り立つ。） \(x=30\)
59
図形と計量：余弦定理と内接円の半径

3辺の長さが\(5,\ 6,\ 7\)の三角形の内接円の半径\(r\)を求めよ。面積と半周長の関係\(S=rs\)（\(s\)は半周長、\(S\)は面積）を利用せよ。

\(r=\)
解説を見る
まず面積\(S\)を求めるために、辺\(5,6\)にはさまれた角\(C\)（対辺\(7\)）を余弦定理で求める。 \(\cos C=\dfrac{5^2+6^2-7^2}{2\times5\times6}=\dfrac{25+36-49}{60}=\dfrac{12}{60}=\dfrac15\) \(\sin C=\sqrt{1-\cos^2C}=\sqrt{1-\dfrac{1}{25}}=\sqrt{\dfrac{24}{25}}=\dfrac{2\sqrt6}{5}\)（\(0^\circ<C<180^\circ\)より\(\sin C>0\)） 面積公式より \(S=\dfrac12\times5\times6\times\sin C=15\times\dfrac{2\sqrt6}{5}=6\sqrt6\) 半周長は\(s=\dfrac{5+6+7}{2}=9\)。図形と計量（数I）で学ぶ内接円の半径の公式\(S=rs\)より \(r=\dfrac{S}{s}=\dfrac{6\sqrt6}{9}=\dfrac{2\sqrt6}{3}\) \(r=\dfrac{2\sqrt6}{3}\)
60
整数の性質×場合の数×集合と命題：総仕上げ

自然数\(n\)について、組合せ\({}_{n}\mathrm{C}_{2}=\dfrac{n(n-1)}{2}\)を考える。命題「\({}_{n}\mathrm{C}_{2}\)が3の倍数ならば、\(n\)は3の倍数、または\(n-1\)は3の倍数である」の真偽をアで答えよ。また、この命題の逆「\(n\)は3の倍数、または\(n-1\)は3の倍数であるならば、\({}_{n}\mathrm{C}_{2}\)は3の倍数である」の真偽をイで答えよ（「真」または「偽」で入力）。

ア＝ 　イ＝
解説を見る
まず、もとの命題（ア）を調べる。\({}_{n}\mathrm{C}_{2}=\dfrac{n(n-1)}{2}\)が3の倍数であるとする。\(3\)は素数であり、\(2\)と互いに素なので、\(3\)が\(\dfrac{n(n-1)}{2}\)を割り切ることと、\(3\)が\(n(n-1)\)を割り切ることは同値である。 \(3\)は素数なので、\(3\)が積\(n(n-1)\)を割り切るならば、\(3\)は\(n\)または\(n-1\)の少なくとも一方を割り切る（\(n\)が3の倍数、または\(n-1\)が3の倍数）。よってアは真。 次に、逆（イ）を調べる。\(n\)が3の倍数、または\(n-1\)が3の倍数であるとする。このとき\(n(n-1)\)は必ず3の倍数になる（積の一方が3の倍数なので）。さらに\(n(n-1)\)は連続する2整数の積なので必ず2の倍数でもある。3の倍数かつ2の倍数、つまり6の倍数（集合と命題の必要十分条件：45番参照）なので、\(n(n-1)=6k\)（\(k\)は整数）と書け、\({}_{n}\mathrm{C}_{2}=\dfrac{n(n-1)}{2}=3k\)となり3の倍数。よってイも真。 （実は、アとイがどちらも真ということは、「\({}_{n}\mathrm{C}_{2}\)が3の倍数」と「\(n\)が3の倍数、または\(n-1\)が3の倍数」は必要十分条件になっている。具体例で確かめると、\(n=4\)のとき\({}_{4}\mathrm{C}_{2}=6\)で3の倍数、\(n-1=3\)は確かに3の倍数。\(n=5\)のとき\({}_{5}\mathrm{C}_{2}=10\)で3の倍数でなく、\(n=5,\ n-1=4\)もどちらも3の倍数でない――たしかに一致している。） ア＝真、イ＝真（必要十分条件になっている）
共通テスト形式チャレンジ

大問1　目標時間 14分／配点 20点

花子さんは文化祭の模擬店でポップコーンを1袋300円で売る計画を立てている。値引きをしなければ1日40袋売れる見込みである。値引きの回数を\(x\)回（\(x\)は0以上の整数）とし、1回の値引きにつき、価格が10円下がり、売れる袋数が2袋増えるとする。次の会話を読んで、あとの問いに答えよ。

先生「1袋あたりの価格と、売れる袋数を、まず\(x\)を使った式で表してみよう。」
花子「はい。1袋あたりの価格は\((300-10x)\)円、売れる袋数は\((40+2x)\)袋になります。」
(1)

1日の売上金額を\(S\)円とすると、\(S=(300-10x)(40+2x)\)である。これを展開して整理すると \[ S=-20x^2+\boxed{\text{アイウ}}x+12000 \] となる。さらに平方完成すると \[ S=-20(x-\boxed{\text{エ}})^2+\boxed{\text{オカキクケ}} \] となる。アイウ、エ、オカキクケの値を求めよ。

アイウ エ オカキクケ
解説を見る
\(S=(300-10x)(40+2x)\)を展開する。 \(S=300\times40+300\times2x-10x\times40-10x\times2x\) \(=12000+600x-400x-20x^2\) \(=-20x^2+200x+12000\) よってアイウ＝\(200\)。 次に平方完成する。\(x^2\)の係数\(-20\)をくくり出す。 \(S=-20(x^2-10x)+12000\) \(x^2-10x=(x-5)^2-25\)なので \(S=-20\big\{(x-5)^2-25\big\}+12000=-20(x-5)^2+500+12000=-20(x-5)^2+12500\) よってエ＝\(5\)、オカキクケ＝\(12500\)。 \(S=-20x^2+200x+12000=-20(x-5)^2+12500\)
(2)

先生「値引きの回数は、仕入れの都合で6回以上10回以下に制限されることになりました。」

(1)の結果を利用すると、この範囲で\(S\)が最大になるのは\(x=\boxed{\text{コ}}\)のときで、そのときの売上金額は\(S=\boxed{\text{サシスセソ}}\)円である。

コ サシスセソ
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(1)で求めた\(S=-20(x-5)^2+12500\)を使う。頂点（軸）は\(x=5\)。今回の範囲は\(6\le x\le10\)で、軸\(x=5\)はこの範囲より左側にある。 \(x^2\)の係数が\(-20<0\)（上に凸）なので、軸より右側では\(S\)は単調に減少する。範囲\(6\le x\le10\)は丸ごと軸より右側にあるので、この範囲でも\(S\)はずっと減少する。 したがって最大値は範囲の左端\(x=6\)でとる。 \(x=6\)のとき\(S=-20(6-5)^2+12500=-20+12500=12480\) \(x=6\)のとき最大値\(S=12480\)円
(3)

花子「値引きをしすぎると利益が減るので、売上金額が12320円を下回らないようにしたいです。」

(2)の値引き回数の制限（6回以上10回以下）の範囲で、\(S\)が12320円以上になる\(x\)の範囲を求めると、\(\boxed{\text{タ}}\le x\le\boxed{\text{チ}}\)である。

タ チ
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(1)で求めた\(S=-20(x-5)^2+12500\)を使い、\(S\ge12320\)を解く。 \(-20(x-5)^2+12500\ge12320\) \(-20(x-5)^2\ge-180\) 両辺を\(-20\)で割ると、不等号の向きが変わることに注意して \((x-5)^2\le9\) \(-3\le x-5\le3\) \(2\le x\le8\) これに(2)で示された値引き回数の制限\(6\le x\le10\)を合わせる。共通部分をとると \(6\le x\le8\) （検算：\(x=6\)のとき\(S=12480\)円、\(x=8\)のとき\(S=-20(8-5)^2+12500=-180+12500=12320\)円。ちょうど境界で12320円になる。） \(6\le x\le8\)

大問2　目標時間 12分／配点 20点

花子さんのクラス36人に、教科の好みについてアンケートをとった。「数学が好き」と答えた生徒は20人、「英語が好き」と答えた生徒は15人、両方好きと答えた生徒は8人だった。次の会話を読んで、あとの問いに答えよ。

先生「どちらも好きでない生徒からも、何人か代表を選んでみよう。」
(1)

「数学が好き」または「英語が好き」と答えた生徒の人数は\(\boxed{\text{アイ}}\)人であり、どちらも好きでないと答えた生徒の人数は\(\boxed{\text{ウ}}\)人である。アイ、ウの値を求めよ。

アイ ウ
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要素の個数の公式より \(n(A\cup B)=n(A)+n(B)-n(A\cap B)=20+15-8=27\)（人） 全体36人からこれを引くと、どちらも好きでない人数は \(36-27=9\)（人） 27人、9人
(2)

(1)で求めた「どちらも好きでない」9人の中から、代表を2人選ぶ方法は\(\boxed{\text{エオ}}\)通りである。エオの値を求めよ。

エオ
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9人から2人を選ぶ組合せなので \({}_{9}\mathrm{C}_{2}=\dfrac{9\times8}{2\times1}=36\)（通り） 36通り
(3)

先生「係を3人にしよう。(2)で選んだ2人に、もう1人加えてみようか。」

(2)で選んだ「どちらも好きでない」生徒2人に、残りの1人を、(1)で求めた「数学か英語が好き」な27人の中から選んで加え、3人の係を作る。この選び方は\(\boxed{\text{カキク}}\)通りである。カキクの値を求めよ。

カキク
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(2)より、「どちらも好きでない」9人から2人を選ぶ方法は36通り。 残りの1人は、(1)で求めた「数学か英語が好き」な27人の中から選ぶので27通り。 2人を選ぶ操作と1人を選ぶ操作を続けて行うので、積の法則より \(36\times27=972\)（通り） 972通り

大問3　目標時間 16分／配点 20点

太郎さんと花子さんは、公園にある三角形の池の周りに何かを作ろうと考えている。地点Cから2地点A,Bを見込む角度と距離を測量した結果、\(CA=6\)m、\(CB=10\)m、\(\angle ACB=120^\circ\)であった。次の会話を読んで、あとの問いに答えよ。

太郎「まずABの距離を求めれば、池の周りに設置するものの設計がしやすくなるね。」
花子「余弦定理を使えば、角と2辺の長さからABが求まるよ。」
(1)

余弦定理を用いて、ABの距離を求めよ。\(AB=\boxed{\text{アイ}}\)mである。アイの値を求めよ。

アイ
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余弦定理より \(AB^2=CA^2+CB^2-2\cdot CA\cdot CB\cos120^\circ=36+100-2\times6\times10\times\left(-\dfrac12\right)=136+60=196\) \(AB>0\)より\(AB=\sqrt{196}=14\) \(AB=14\)m
(2)

太郎「せっかくだから、A,B,Cを囲むような円形の遊歩道を作りたいな。」花子「それなら3点A,B,Cを通る円、つまり三角形ABCの外接円を考えればいいね。」

正弦定理を用いて、この外接円の半径\(R\)を求めよ。\(R=\boxed{\text{ウエ}}\sqrt3/\boxed{\text{オ}}\)（m）の形になる。ウエ、オの値を求めよ。

ウエ オ
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正弦定理\(\dfrac{AB}{\sin C}=2R\)より \(2R=\dfrac{14}{\sin120^\circ}=\dfrac{14}{\frac{\sqrt3}{2}}=\dfrac{28}{\sqrt3}=\dfrac{28\sqrt3}{3}\) よって\(R=\dfrac{14\sqrt3}{3}\) \(R=\dfrac{14\sqrt3}{3}\)m
(3)

太郎「この外接円をそのまま遊歩道にしてしまおう。」花子「じゃあ、(2)で求めた半径Rを使えば、遊歩道の全長も計算できるね。」

円周率を\(\pi\)として、(2)で求めた半径\(R\)を用いると、この円形の遊歩道の全長は\(2\pi R=\boxed{\text{カキ}}\sqrt3\pi/\boxed{\text{ク}}\)（m）の形になる。また、(2)で求めた半径\(R\)の円周上に地点Cを含めて等間隔に6か所の休憩ベンチを設置するとき、この6か所から3か所を選んで結んでできる三角形は\(\boxed{\text{ケコ}}\)個である。カキ、ク、ケコの値を求めよ。

カキ ク ケコ
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(2)より\(R=\dfrac{14\sqrt3}{3}\)なので、遊歩道の全長は \(2\pi R=2\pi\times\dfrac{14\sqrt3}{3}=\dfrac{28\sqrt3}{3}\pi\)（m） 6か所から3か所を選ぶ方法は組合せの考え方で \({}_{6}\mathrm{C}_{3}=\dfrac{6\times5\times4}{3\times2\times1}=20\)（個） 全長\(\dfrac{28\sqrt3}{3}\pi\)m、三角形\(20\)個

大問4　目標時間 14分／配点 20点

太郎さんのクラスでは、体育祭の抽選会を開くことにした。100本のくじのうち、1等（1000円分の商品券）が2本、2等（300円分の商品券）が18本、はずれ（0円）が80本ある。次の会話を読んで、あとの問いに答えよ。

先生「くじを1本引いたときにもらえる金額は、確率を使って『平均するといくらか』を計算できるよ。」
(1)

くじを1本引くときにもらえる金額の期待値\(E\)を求めよ。\(E=\boxed{\text{アイ}}\)円である。アイの値を求めよ。

アイ
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期待値は「金額×確率」の合計。 \(E=1000\times\dfrac{2}{100}+300\times\dfrac{18}{100}+0\times\dfrac{80}{100}=20+54+0=74\)（円） \(E=74\)円
(2)

花子「(1)の期待値は74円もあるんだね。でも、はずればかり続けて引いてしまうこともあるのかな。」

太郎さんが続けてこのくじを2本引く（引いたくじはもとに戻さない）とき、2本ともはずれとなる確率は\(\boxed{\text{ウエオ}}/\boxed{\text{カキク}}\)である。ウエオ、カキクの値を求めよ。

ウエオ カキク
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はずれは100本中80本。100本から2本を選ぶ場合の数と、そのうち2本ともはずれになる場合の数を、組合せで数える。 100本から2本を選ぶ場合の数は \({}_{100}\mathrm{C}_{2}=\dfrac{100\times99}{2\times1}=4950\) はずれ80本から2本を選ぶ場合の数は \({}_{80}\mathrm{C}_{2}=\dfrac{80\times79}{2\times1}=3160\) よって求める確率は \(\dfrac{3160}{4950}=\dfrac{316}{495}\) \(\dfrac{316}{495}\)
(3)

先生「(1)で求めた期待値74円を踏まえると、参加費を100円に設定した場合の1本あたりの損益はどうなるかな。」

参加費100円を払ってこのくじを1本引くとき、「参加費100円からもらえる商品券の金額を引いた金額」を1本あたりの損益とする。この損益の期待値は\(\boxed{\text{ケコ}}\)円である。ケコの値を求めよ。

ケコ
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1本あたりの損益は「参加費100円から、もらえる商品券の金額を引いたもの」なので、損益の期待値は「100円」から「もらえる商品券の金額の期待値」を引けば求められる。もらえる商品券の金額の期待値は、(1)で求めた\(E=74\)円だった。 よって、損益の期待値は \(100-74=26\)（円） （検算：1等が当たったときの損益は\(100-1000=-900\)（円）、2等が当たったときの損益は\(100-300=-200\)（円）、はずれのときの損益は\(100-0=100\)（円）。それぞれの確率は1等が\(\dfrac{2}{100}\)、2等が\(\dfrac{18}{100}\)、はずれが\(\dfrac{80}{100}\)なので、損益の期待値を直接計算しても\((-900)\times\dfrac{2}{100}+(-200)\times\dfrac{18}{100}+100\times\dfrac{80}{100}=-18-36+80=26\)（円）で一致する。） \(26\)円

大問5　目標時間 14分／配点 20点

花子さんは、手持ちの50円硬貨と80円硬貨だけを使って、ちょうど1010円を支払いたいと考えている。50円硬貨を\(x\)枚、80円硬貨を\(y\)枚（\(x,\ y\)は0以上の整数）とする。次の会話を読んで、あとの問いに答えよ。

先生「まず方程式を立てて、両辺を10で割って簡単にしてみよう。」
花子「\(50x+80y=1010\)を10で割って、\(5x+8y=101\)になりました。」
(1)

先生「\(5x+8y=101\)について、\(y\)に\(0\)から順に代入して、\(x\)が整数になる場合を探してみよう。」\(5x=101-8y\)だから、\(101-8y\)が\(5\)の倍数になる\(y\)を探すと、これを満たす最小の非負整数は\(y=\boxed{\text{ア}}\)である。このときの\(x\)の値は\(x=\boxed{\text{イウ}}\)である。ア、イウの値を求めよ。

ア イウ
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\(5x=101-8y\)より、\(101-8y\)が\(5\)の倍数になる\(y\)を、\(0\)から順に代入して調べる。 \(y=0\)：\(101-0=101\)（\(5\)の倍数でない） \(y=1\)：\(101-8=93\)（\(5\)の倍数でない） \(y=2\)：\(101-16=85=5\times17\)（\(5\)の倍数になった） よってア＝\(2\)。 \(y=2\)を\(5x+8y=101\)に代入すると \(5x=101-16=85\) \(x=17\) よってイウ＝\(17\)。 検算：\(50\times17+80\times2=850+160=1010\)（一致） \(y=2,\ x=17\)
(2)

(1)の特殊解を使うと、一般解は整数\(t\)を用いて\(x=17-8t,\ y=2+5t\)と表せる。\(x\ge0\)かつ\(y\ge0\)を満たす\((x,\ y)\)の組は全部で\(\boxed{\text{エ}}\)通りある。エの値を求めよ。

エ
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\(x=17-8t\ge0\)より\(t\le\dfrac{17}{8}=2.125\)、整数なので\(t\le2\)。 \(y=2+5t\ge0\)より\(t\ge-\dfrac25\)、整数なので\(t\ge0\)。 よって\(t=0,\ 1,\ 2\)の3通り。 \(t=0\)：\((x,y)=(17,\ 2)\) \(t=1\)：\((x,y)=(9,\ 7)\) \(t=2\)：\((x,y)=(1,\ 12)\) 3通り
(3)

花子「財布の中の硬貨はできるだけ少なくしたいな。」(2)で求めた3通りのうち、使う硬貨の枚数の合計\(x+y\)が最小になる組を求めよ。\(x=\boxed{\text{オ}}\)、\(y=\boxed{\text{カキ}}\)である。オ、カキの値を求めよ。

オ カキ
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(2)の3通りについて、枚数の合計\(x+y\)を比べる。 \(t=0\)：\(17+2=19\)枚 \(t=1\)：\(9+7=16\)枚 \(t=2\)：\(1+12=13\)枚 \(t\)が大きいほど（50円硬貨が減り80円硬貨が増えるほど）合計枚数は減っていくので、最小は\(t=2\)のとき。 \(x=1,\ y=12\)（合計13枚）
記述チャレンジ

答えだけでなく「なぜそうなるか」を文章と式で書く練習。模範解答と見比べて、書き方の型を身につけよう。

記1

数I・Aで学ぶ数I・数Aの8章（数と式、集合と命題、2次関数、図形と計量、データの分析、場合の数と確率、図形の性質、数学と人間の活動〈整数〉）は、大きく「式を整理する技術」「数える技術」「論証する技術」「図形をとらえる技術」という4つの働きに整理できる。この4つの働きが、それぞれどの章の内容に対応するかを、具体例を1つずつ挙げながら説明せよ。

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数I・Aで学ぶ8章は独立した知識の寄せ集めではなく、「式を整理する」「数える」「論証する」「図形をとらえる」という4つの働きの組み合わせでできている。それぞれ具体例で確かめる。 まず「式を整理する技術」について。2次関数の章で学ぶ平方完成は、\(y=x^2-6x+2\)のような式を\(y=(x-3)^2-7\)という形に書きかえる技術であり、この形にするだけで頂点・最大最小・方程式の解までが一度に見えるようになる。数と式の章で学ぶ因数分解も同じ働きをもつ。たとえば整数の性質で\(x^2-y^2=45\)のような式が出てきたとき、\((x-y)(x+y)=45\)と因数分解することで、はじめて「45を2つの整数の積に分解する」という数えやすい問題に姿を変える。式を整理する技術は、複雑な式を「扱いやすい形」に組みかえるための土台になっている。 次に「数える技術」について。集合と命題の章で学ぶ要素の個数の公式\(n(A\cup B)=n(A)+n(B)-n(A\cap B)\)は、「重なった部分を1回だけ引く」という数え方の基本形であり、これは場合の数と確率の章で学ぶ和の法則・積の法則、順列・組合せ、確率の基本へとそのまま発展する。さらに、場合の数と確率の章で学ぶ「期待値」（起こりうる値を確率で重みづけした平均）は、データの分析の章で学ぶ「平均値」とまったく同じ発想でできている。数える技術は、集合・場合の数と確率・データの分析という一見別々の3章を1本の線でつないでいる。 次に「論証する技術」について。集合と命題の章で学ぶ対偶・必要十分条件・背理法は、「\(A\Rightarrow B\)」と「\(B\Rightarrow A\)」の両方を確かめるという地道な作業だが、これは整数の性質で「ある数が何の倍数かどうか」を判定する場面（たとえば「6の倍数であること」は「2の倍数かつ3の倍数であること」の必要十分条件になる）や、図形の性質で「四角形が円に内接するかどうか」を対角の和から判定する場面で、そのまま根拠として使われている。論証する技術は、他の章の「なぜその判定でよいのか」を支える裏方の役割を果たしている。 最後に「図形をとらえる技術」について。図形と計量（三角比）の章は「角度と辺の比」で図形を測る技術であり、正弦定理・余弦定理を使えば、角度や辺の一部の情報から残りの辺・角・面積・外接円の半径までを求められる。図形の性質の章は、これとは別に「線分の比の定理（チェバ・メネラウスの定理など）と円の性質（円周角の定理・方べきの定理など）」で図形の関係を調べる技術であり、角度でなく比や接線の情報が与えられたときに使う。同じ三角形・同じ円を扱う問題でも、与えられている情報の種類によって、この2つの技術のどちらを使うべきかが決まる。図形をとらえる技術は、代数的な計算だけでは見えてこない「図形そのものの構造」を扱うための道具になっている。 このように、数I・Aで学ぶ8章は、表面的にはまったく違う内容を扱っているように見えても、「式を整理する」「数える」「論証する」「図形をとらえる」という少数の働きの組み合わせでできており、だからこそ章をまたいだ融合問題が数多く作れるのである。 高1の8章は「式を整理する技術」（2次関数の平方完成・数と式の因数分解）、「数える技術」（集合の要素の個数から場合の数・確率の期待値へ、そしてデータの分析の平均値と同じ発想へ）、「論証する技術」（集合と命題の必要十分条件・対偶が整数の性質や図形の性質の判定の根拠になる）、「図形をとらえる技術」（三角比の正弦定理・余弦定理と、図形の性質の比の定理・円の性質を、与えられた情報に応じて使い分ける）という4つの働きの組み合わせでできている。
記2

三角形ABCにおいて、\(AB=8,\ AC=5,\ \angle A=60^\circ\)である。(1)辺BCの長さを求めよ。(2)三角形ABCの外接円の半径\(R\)を求めよ。(3)三角形ABCの面積\(S\)を求め、さらに内接円の半径\(r\)を求めよ。

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この問題は、1組の「2辺と間の角」の情報から出発して、(1)は余弦定理、(2)は正弦定理、(3)は面積公式と内接円の公式\(S=rs\)という、数I「図形と計量」の技術を次々に使っていく問題である。 (1) 辺BCの長さについて。\(\angle A\)をはさむ2辺AB,ACの長さがわかっているので、余弦定理を使う。 \(BC^2=AB^2+AC^2-2\cdot AB\cdot AC\cos A=8^2+5^2-2\times8\times5\times\cos60^\circ\) \(=64+25-80\times\dfrac12=89-40=49\) \(BC>0\)より\(BC=\sqrt{49}=7\)。 (2) 外接円の半径\(R\)について。(1)で3辺すべてがわかったので、正弦定理\(\dfrac{BC}{\sin A}=2R\)が使える。 \(2R=\dfrac{7}{\sin60^\circ}=\dfrac{7}{\frac{\sqrt3}{2}}=\dfrac{14}{\sqrt3}=\dfrac{14\sqrt3}{3}\) よって\(R=\dfrac{7\sqrt3}{3}\)。 (3) 面積\(S\)と内接円の半径\(r\)について。面積は、最初にわかっていた「2辺と間の角」を使うのがいちばん早い。 \(S=\dfrac12\cdot AB\cdot AC\cdot\sin A=\dfrac12\times8\times5\times\sin60^\circ=20\times\dfrac{\sqrt3}{2}=10\sqrt3\) 内接円の半径は、図形と計量（数I）で学ぶ公式\(S=rs\)（\(s\)は半周長）を使う。3辺は\(5,7,8\)（(1)で\(BC=7\)と求めたので）なので \(s=\dfrac{5+7+8}{2}=10\) \(r=\dfrac{S}{s}=\dfrac{10\sqrt3}{10}=\sqrt3\) このように、同じ1つの三角形について、外接円の半径は正弦定理で、内接円の半径は面積と半周長の関係\(S=rs\)で求める――どちらも数I「図形と計量」で学ぶ技術である。1組の「2辺と角」から出発して、余弦定理・正弦定理・面積公式・内接円の公式を使い分けながら解き進めるこの流れは、高1で学んだ三角比の技術の総仕上げになっている。 (1)\(BC=7\)　(2)\(R=\dfrac{7\sqrt3}{3}\)　(3)\(S=10\sqrt3\)、\(r=\sqrt3\)

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