2倍角・半角・三角関数の合成

STEP 1

2倍角の公式（加法定理からつくる）

2倍角の公式は、加法定理の \(\theta\) と \(\phi\) に「同じ \(\theta\)」を入れるだけで作れる。新しい公式を覚える前に、まず加法定理から自分で導けるようにしておこう。

加法定理 \(\sin(\theta+\phi)=\sin\theta\cos\phi+\cos\theta\sin\phi\) に \(\phi=\theta\) を代入すると

\[\sin2\theta=\sin(\theta+\theta)=\sin\theta\cos\theta+\cos\theta\sin\theta=2\sin\theta\cos\theta\]

同様に \(\cos(\theta+\phi)=\cos\theta\cos\phi-\sin\theta\sin\phi\) に \(\phi=\theta\) を代入すると

\[\cos2\theta=\cos^2\theta-\sin^2\theta\]

ここで \(\sin^2\theta+\cos^2\theta=1\) を使うと、\(\cos2\theta\) は3通りの形に書きかえられる。どの形を使うかは問題に応じて選ぶ（\(\sin\theta\) だけの式が欲しいときは2番目の形、\(\cos\theta\) だけの式が欲しいときは3番目の形）。

2倍角の公式
\(\sin2\theta = 2\sin\theta\cos\theta\)
\(\cos2\theta = \cos^2\theta-\sin^2\theta = 2\cos^2\theta-1 = 1-2\sin^2\theta\)
\(\tan2\theta = \dfrac{2\tan\theta}{1-\tan^2\theta}\)

\(\tan2\theta\) は \(\sin2\theta\) を \(\cos2\theta\) で割って、分子・分母を \(\cos^2\theta\) で割ると出てくる（\(\tan\theta\) だけの式にできる）。

例題1　\(\sin\theta=\dfrac{3}{5}\)、\(0<\theta<\dfrac{\pi}{2}\) のとき、\(\sin2\theta\)、\(\cos2\theta\) を求めよ。

解答を見る

\(0<\theta<\dfrac{\pi}{2}\)（第1象限）なので \(\cos\theta>0\)。 \(\cos\theta=\sqrt{1-\sin^2\theta}=\sqrt{1-\dfrac{9}{25}}=\sqrt{\dfrac{16}{25}}=\dfrac{4}{5}\) \(\sin2\theta=2\sin\theta\cos\theta=2\cdot\dfrac{3}{5}\cdot\dfrac{4}{5}=\dfrac{24}{25}\) \(\cos2\theta=1-2\sin^2\theta=1-2\cdot\dfrac{9}{25}=1-\dfrac{18}{25}=\dfrac{7}{25}\) \(\sin2\theta=\dfrac{24}{25}\)、\(\cos2\theta=\dfrac{7}{25}\)

例題2　\(\sin\theta=\dfrac{4}{5}\)、\(\dfrac{\pi}{2}<\theta<\pi\) のとき、\(\sin2\theta\)、\(\cos2\theta\) を求めよ。

解答を見る

\(\dfrac{\pi}{2}<\theta<\pi\)（第2象限）なので \(\cos\theta<0\)。 \(\cos\theta=-\sqrt{1-\sin^2\theta}=-\sqrt{1-\dfrac{16}{25}}=-\sqrt{\dfrac{9}{25}}=-\dfrac{3}{5}\) \(\sin2\theta=2\sin\theta\cos\theta=2\cdot\dfrac{4}{5}\cdot\left(-\dfrac{3}{5}\right)=-\dfrac{24}{25}\) \(\cos2\theta=2\cos^2\theta-1=2\cdot\dfrac{9}{25}-1=\dfrac{18}{25}-1=-\dfrac{7}{25}\) \(\sin2\theta=-\dfrac{24}{25}\)、\(\cos2\theta=-\dfrac{7}{25}\) （符号は \(\theta\) の象限から決める。\(2\theta\) 自身の象限で考えなくてよい）

STEP 2

半角の公式

2倍角の公式で \(\theta\) を \(\dfrac{\theta}{2}\) に置きかえると、半角の公式が出てくる。「2倍角」と「半角」は同じ関係を逆から見ているだけ。

\(\cos2\theta=1-2\sin^2\theta\) の \(\theta\) を \(\dfrac{\theta}{2}\) に置きかえると \(\cos\theta=1-2\sin^2\dfrac{\theta}{2}\)。これを \(\sin^2\dfrac{\theta}{2}\) について解くと

半角の公式
\(\sin^2\dfrac{\theta}{2} = \dfrac{1-\cos\theta}{2}\)
\(\cos^2\dfrac{\theta}{2} = \dfrac{1+\cos\theta}{2}\)
\(\tan^2\dfrac{\theta}{2} = \dfrac{1-\cos\theta}{1+\cos\theta}\)

符号の決め方が2倍角と違う点に注意：符号を決めるのは \(\theta\) の範囲ではなく、\(\dfrac{\theta}{2}\) の範囲。「\(\theta\) の範囲を2で割って \(\dfrac{\theta}{2}\) の範囲を先に出す」のが手順のコツ。

例題1　\(\cos\theta=\dfrac{1}{3}\)、\(0<\theta<\dfrac{\pi}{2}\) のとき、\(\sin\dfrac{\theta}{2}\)、\(\cos\dfrac{\theta}{2}\) を求めよ。

解答を見る

\(0<\theta<\dfrac{\pi}{2}\) より \(0<\dfrac{\theta}{2}<\dfrac{\pi}{4}\)（第1象限）なので、\(\sin\dfrac{\theta}{2}\)、\(\cos\dfrac{\theta}{2}\) はどちらも正。 \(\sin^2\dfrac{\theta}{2}=\dfrac{1-\cos\theta}{2}=\dfrac{1-\frac{1}{3}}{2}=\dfrac{\frac{2}{3}}{2}=\dfrac{1}{3}\)　よって \(\sin\dfrac{\theta}{2}=\dfrac{1}{\sqrt3}=\dfrac{\sqrt3}{3}\) \(\cos^2\dfrac{\theta}{2}=\dfrac{1+\cos\theta}{2}=\dfrac{1+\frac{1}{3}}{2}=\dfrac{\frac{4}{3}}{2}=\dfrac{2}{3}\)　よって \(\cos\dfrac{\theta}{2}=\sqrt{\dfrac{2}{3}}=\dfrac{\sqrt6}{3}\) \(\sin\dfrac{\theta}{2}=\dfrac{\sqrt3}{3}\)、\(\cos\dfrac{\theta}{2}=\dfrac{\sqrt6}{3}\)

例題2　\(\cos\theta=-\dfrac{7}{25}\)、\(\dfrac{\pi}{2}<\theta<\pi\) のとき、\(\sin\dfrac{\theta}{2}\)、\(\cos\dfrac{\theta}{2}\) を求めよ。

解答を見る

\(\dfrac{\pi}{2}<\theta<\pi\) より \(\dfrac{\pi}{4}<\dfrac{\theta}{2}<\dfrac{\pi}{2}\)（第1象限）なので、\(\sin\dfrac{\theta}{2}\)、\(\cos\dfrac{\theta}{2}\) はどちらも正（\(\theta\) 自身は第2象限で \(\cos\theta\) は負だが、\(\dfrac{\theta}{2}\) は第1象限になる点に注意）。 \(\sin^2\dfrac{\theta}{2}=\dfrac{1-\left(-\frac{7}{25}\right)}{2}=\dfrac{\frac{32}{25}}{2}=\dfrac{16}{25}\)　よって \(\sin\dfrac{\theta}{2}=\dfrac{4}{5}\) \(\cos^2\dfrac{\theta}{2}=\dfrac{1+\left(-\frac{7}{25}\right)}{2}=\dfrac{\frac{18}{25}}{2}=\dfrac{9}{25}\)　よって \(\cos\dfrac{\theta}{2}=\dfrac{3}{5}\) \(\sin\dfrac{\theta}{2}=\dfrac{4}{5}\)、\(\cos\dfrac{\theta}{2}=\dfrac{3}{5}\)

STEP 3

三角関数の合成

\(a\sin\theta+b\cos\theta\) の形は、1つの sin にまとめる（合成する）ことができる。バラバラの sin と cos が「1本の波」になる、という感覚をつかもう。

\(r=\sqrt{a^2+b^2}\) とおくと、点 \(\left(\dfrac{a}{r},\ \dfrac{b}{r}\right)\) は原点からの距離が1の点（単位円上の点）になる。この点が表す角を \(\alpha\)（\(\cos\alpha=\dfrac{a}{r}\)、\(\sin\alpha=\dfrac{b}{r}\)）とすると

\[a\sin\theta+b\cos\theta=r\left(\sin\theta\cdot\dfrac{a}{r}+\cos\theta\cdot\dfrac{b}{r}\right)=r(\sin\theta\cos\alpha+\cos\theta\sin\alpha)=r\sin(\theta+\alpha)\]

最後の変形は加法定理 \(\sin(\theta+\alpha)=\sin\theta\cos\alpha+\cos\theta\sin\alpha\) をそのまま逆向きに使っただけ。

三角関数の合成
\(a\sin\theta+b\cos\theta=r\sin(\theta+\alpha)\)　（\(r=\sqrt{a^2+b^2}\)、\(\cos\alpha=\dfrac{a}{r}\)、\(\sin\alpha=\dfrac{b}{r}\)）
\(\alpha\) は「\(a\) が \(\cos\alpha\) 側、\(b\) が \(\sin\alpha\) 側」に対応する点に注意（sinに合成するときはこの対応）。

例題1　\(\sqrt3\sin\theta+\cos\theta\) を \(r\sin(\theta+\alpha)\) の形に変形せよ（\(0\le\alpha<2\pi\)）。

解答を見る

\(a=\sqrt3\)、\(b=1\) なので \(r=\sqrt{(\sqrt3)^2+1^2}=\sqrt{3+1}=2\) \(\cos\alpha=\dfrac{a}{r}=\dfrac{\sqrt3}{2}\)、\(\sin\alpha=\dfrac{b}{r}=\dfrac{1}{2}\) を満たす角は \(\alpha=\dfrac{\pi}{6}\) \(\sqrt3\sin\theta+\cos\theta=2\sin\left(\theta+\dfrac{\pi}{6}\right)\)

例題2　\(\sin\theta-\cos\theta\) を \(r\sin(\theta+\alpha)\) の形に変形せよ（\(-\pi<\alpha\le\pi\)）。

解答を見る

\(a=1\)、\(b=-1\) なので \(r=\sqrt{1^2+(-1)^2}=\sqrt2\) \(\cos\alpha=\dfrac{a}{r}=\dfrac{1}{\sqrt2}\)、\(\sin\alpha=\dfrac{b}{r}=-\dfrac{1}{\sqrt2}\) を満たす角（\(\cos\alpha>0\)、\(\sin\alpha<0\) の第4象限）は \(\alpha=-\dfrac{\pi}{4}\) \(\sin\theta-\cos\theta=\sqrt2\sin\left(\theta-\dfrac{\pi}{4}\right)\)

STEP 4

合成の応用（最大値・最小値）

\(a\sin\theta+b\cos\theta\) の最大値・最小値は、合成して \(r\sin(\theta+\alpha)\) にしてしまえば、あとは \(\sin\) の最大最小の問題（前ページ「三角関数のグラフ」の考え方）とまったく同じになる。

\(\theta\) の範囲に制限がないとき　\(\sin(\theta+\alpha)\) は \(-1\) から \(1\) まですべての値をとるので、最大値 \(r\)、最小値 \(-r\)。

\(\theta\) の範囲に制限があるときは要注意。\(\theta+\alpha\) の範囲を先に求め、その範囲の中に \(\sin\) が頂点（\(\dfrac{\pi}{2}\) や \(\dfrac{3\pi}{2}\)）をとる角が含まれるかどうかで、最大・最小の場所が変わる。

手順1　\(a\sin\theta+b\cos\theta\) を \(r\sin(\theta+\alpha)\) に合成する

↓

手順2　\(\theta\) の範囲から \(\theta+\alpha\) の範囲を求める

↓

手順3　その範囲の中に \(\dfrac{\pi}{2}\)（sinの頂点＝1）や \(\dfrac{3\pi}{2}\)（sinの谷＝−1）が含まれるか確認する。含まれればそこが最大（または最小）。含まれなければ、範囲の両端のうち sin の値が大きい（小さい）方を比べる

↓

手順4　\(\theta+\alpha\) の値から \(\theta\) を逆算し、\(y=r\sin(\theta+\alpha)\) に代入して実際の値を確認する

例題　\(y=\sin\theta+\sqrt3\cos\theta\)（\(0\le\theta\le\pi\)）の最大値・最小値を求めよ。

解答を見る

\(a=1\)、\(b=\sqrt3\) より \(r=\sqrt{1+3}=2\)、\(\cos\alpha=\dfrac{1}{2}\)、\(\sin\alpha=\dfrac{\sqrt3}{2}\) より \(\alpha=\dfrac{\pi}{3}\)。 \(y=2\sin\left(\theta+\dfrac{\pi}{3}\right)\) \(0\le\theta\le\pi\) のとき \(\dfrac{\pi}{3}\le\theta+\dfrac{\pi}{3}\le\dfrac{4\pi}{3}\) この範囲に \(\dfrac{\pi}{2}\)（sinの頂点）が含まれる（\(\dfrac{\pi}{3}\le\dfrac{\pi}{2}\le\dfrac{4\pi}{3}\)）ので、そこが最大。 \(\theta+\dfrac{\pi}{3}=\dfrac{\pi}{2}\) より \(\theta=\dfrac{\pi}{6}\)、最大値 \(y=2\sin\dfrac{\pi}{2}=2\) 範囲の両端を比べる：\(\sin\dfrac{\pi}{3}=\dfrac{\sqrt3}{2}\)、\(\sin\dfrac{4\pi}{3}=-\dfrac{\sqrt3}{2}\)。小さいのは端 \(\dfrac{4\pi}{3}\) の方なので、そこが最小。 \(\theta+\dfrac{\pi}{3}=\dfrac{4\pi}{3}\) より \(\theta=\pi\)、最小値 \(y=2\sin\dfrac{4\pi}{3}=2\cdot\left(-\dfrac{\sqrt3}{2}\right)=-\sqrt3\) \(\theta=\dfrac{\pi}{6}\) で最大値 \(2\)、\(\theta=\pi\) で最小値 \(-\sqrt3\)

練習問題（全18問）

答えを入力して「採点」を押すと○×が出るぞ。\(\pi\) を含む答えは「π/6」のように入力（分数はコンマなしで）。

基本（1〜6）

2倍角の値

\(\sin\theta=\dfrac{1}{2}\)、\(0<\theta<\dfrac{\pi}{2}\) のとき、\(\sin2\theta\)、\(\cos2\theta\) を求めよ。

\(\sin2\theta=\) 　\(\cos2\theta=\)

解説を見る

\(0<\theta<\dfrac{\pi}{2}\) なので \(\cos\theta>0\)。\(\cos\theta=\sqrt{1-\frac14}=\dfrac{\sqrt3}{2}\) \(\sin2\theta=2\cdot\dfrac12\cdot\dfrac{\sqrt3}{2}=\dfrac{\sqrt3}{2}\)　\(\cos2\theta=1-2\cdot\dfrac14=\dfrac12\) \(\sin2\theta=\dfrac{\sqrt3}{2}\)、\(\cos2\theta=\dfrac12\)

2倍角の値・cosθから出発

\(\cos\theta=\dfrac{3}{5}\)、\(0<\theta<\dfrac{\pi}{2}\) のとき、\(\sin2\theta\)、\(\cos2\theta\) を求めよ。

\(\sin2\theta=\) 　\(\cos2\theta=\)

解説を見る

\(\sin\theta=\sqrt{1-\frac{9}{25}}=\dfrac45\)（\(\theta\) は第1象限で正） \(\sin2\theta=2\cdot\dfrac45\cdot\dfrac35=\dfrac{24}{25}\)　\(\cos2\theta=2\cdot\dfrac{9}{25}-1=-\dfrac{7}{25}\) \(\sin2\theta=\dfrac{24}{25}\)、\(\cos2\theta=-\dfrac{7}{25}\)

2倍角の値・第2象限

\(\sin\theta=\dfrac{1}{3}\)、\(\dfrac{\pi}{2}<\theta<\pi\) のとき、\(\sin2\theta\)、\(\cos2\theta\) を求めよ。

\(\sin2\theta=\) 　\(\cos2\theta=\)

解説を見る

第2象限なので \(\cos\theta<0\)。\(\cos\theta=-\sqrt{1-\frac19}=-\sqrt{\dfrac89}=-\dfrac{2\sqrt2}{3}\) \(\sin2\theta=2\cdot\dfrac13\cdot\left(-\dfrac{2\sqrt2}{3}\right)=-\dfrac{4\sqrt2}{9}\)　\(\cos2\theta=1-2\cdot\dfrac19=\dfrac79\) \(\sin2\theta=-\dfrac{4\sqrt2}{9}\)、\(\cos2\theta=\dfrac79\)

tanθから2倍角

\(\tan\theta=\dfrac{3}{4}\)、\(0<\theta<\dfrac{\pi}{2}\) のとき、\(\sin2\theta\)、\(\cos2\theta\)、\(\tan2\theta\) を求めよ。

\(\sin2\theta=\) 　\(\cos2\theta=\) 　\(\tan2\theta=\)

解説を見る

\(\tan\theta=\dfrac34\) より直角三角形の対辺3・隣辺4・斜辺5と考えて \(\sin\theta=\dfrac35\)、\(\cos\theta=\dfrac45\) \(\sin2\theta=2\cdot\dfrac35\cdot\dfrac45=\dfrac{24}{25}\)　\(\cos2\theta=1-2\cdot\dfrac{9}{25}=\dfrac{7}{25}\) \(\tan2\theta=\dfrac{2\tan\theta}{1-\tan^2\theta}=\dfrac{2\cdot\frac34}{1-\frac{9}{16}}=\dfrac{\frac32}{\frac{7}{16}}=\dfrac32\cdot\dfrac{16}{7}=\dfrac{24}{7}\) \(\sin2\theta=\dfrac{24}{25}\)、\(\cos2\theta=\dfrac{7}{25}\)、\(\tan2\theta=\dfrac{24}{7}\)

半角の値（確認しやすい角）

\(\cos\theta=\dfrac{1}{2}\)、\(0<\theta<\dfrac{\pi}{2}\) のとき、\(\sin\dfrac{\theta}{2}\)、\(\cos\dfrac{\theta}{2}\) を求めよ。

\(\sin\dfrac{\theta}{2}=\) 　\(\cos\dfrac{\theta}{2}=\)

解説を見る

\(0<\dfrac{\theta}{2}<\dfrac{\pi}{4}\) なので \(\sin\dfrac{\theta}{2}\)、\(\cos\dfrac{\theta}{2}\) はどちらも正。 \(\sin^2\dfrac{\theta}{2}=\dfrac{1-\frac12}{2}=\dfrac14\)　よって \(\sin\dfrac{\theta}{2}=\dfrac12\) \(\cos^2\dfrac{\theta}{2}=\dfrac{1+\frac12}{2}=\dfrac34\)　よって \(\cos\dfrac{\theta}{2}=\dfrac{\sqrt3}{2}\) \(\sin\dfrac{\theta}{2}=\dfrac12\)、\(\cos\dfrac{\theta}{2}=\dfrac{\sqrt3}{2}\)（\(\theta=\dfrac{\pi}{3}\) なので \(\dfrac{\theta}{2}=\dfrac{\pi}{6}\) の値と一致する）

半角の値

\(\cos\theta=\dfrac{7}{9}\)、\(0<\theta<\dfrac{\pi}{2}\) のとき、\(\sin\dfrac{\theta}{2}\)、\(\cos\dfrac{\theta}{2}\) を求めよ。

\(\sin\dfrac{\theta}{2}=\) 　\(\cos\dfrac{\theta}{2}=\)

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\(0<\dfrac{\theta}{2}<\dfrac{\pi}{4}\) なのでどちらも正。 \(\sin^2\dfrac{\theta}{2}=\dfrac{1-\frac79}{2}=\dfrac{\frac29}{2}=\dfrac19\)　よって \(\sin\dfrac{\theta}{2}=\dfrac13\) \(\cos^2\dfrac{\theta}{2}=\dfrac{1+\frac79}{2}=\dfrac{\frac{16}{9}}{2}=\dfrac89\)　よって \(\cos\dfrac{\theta}{2}=\sqrt{\dfrac89}=\dfrac{2\sqrt2}{3}\) \(\sin\dfrac{\theta}{2}=\dfrac13\)、\(\cos\dfrac{\theta}{2}=\dfrac{2\sqrt2}{3}\)

標準（7〜14）

合成（基本形）

\(\sin\theta+\cos\theta\) を \(r\sin(\theta+\alpha)\) の形に変形せよ（\(0\le\alpha<2\pi\)）。

\(r=\) 　\(\alpha=\)

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\(a=1\)、\(b=1\) より \(r=\sqrt{1+1}=\sqrt2\) \(\cos\alpha=\dfrac{1}{\sqrt2}\)、\(\sin\alpha=\dfrac{1}{\sqrt2}\) を満たす角は \(\alpha=\dfrac{\pi}{4}\) \(\sin\theta+\cos\theta=\sqrt2\sin\left(\theta+\dfrac{\pi}{4}\right)\)

合成

\(\sin\theta+\sqrt3\cos\theta\) を \(r\sin(\theta+\alpha)\) の形に変形せよ（\(0\le\alpha<2\pi\)）。

\(r=\) 　\(\alpha=\)

解説を見る

\(a=1\)、\(b=\sqrt3\) より \(r=\sqrt{1+3}=2\) \(\cos\alpha=\dfrac12\)、\(\sin\alpha=\dfrac{\sqrt3}{2}\) を満たす角は \(\alpha=\dfrac{\pi}{3}\) \(\sin\theta+\sqrt3\cos\theta=2\sin\left(\theta+\dfrac{\pi}{3}\right)\)

合成・bが負

\(\cos\theta-\sin\theta\) を \(r\sin(\theta+\alpha)\) の形に変形せよ（\(0\le\alpha<2\pi\)）。

\(r=\) 　\(\alpha=\)

解説を見る

\(\sin\theta\) の係数 \(a=-1\)、\(\cos\theta\) の係数 \(b=1\) より \(r=\sqrt{1+1}=\sqrt2\) \(\cos\alpha=-\dfrac{1}{\sqrt2}\)、\(\sin\alpha=\dfrac{1}{\sqrt2}\)（第2象限）を満たす角は \(\alpha=\dfrac{3\pi}{4}\) \(\cos\theta-\sin\theta=\sqrt2\sin\left(\theta+\dfrac{3\pi}{4}\right)\)

合成・aが負

\(\sqrt3\cos\theta-\sin\theta\) を \(r\sin(\theta+\alpha)\) の形に変形せよ（\(0\le\alpha<2\pi\)）。

\(r=\) 　\(\alpha=\)

解説を見る

\(\sin\theta\) の係数 \(a=-1\)、\(\cos\theta\) の係数 \(b=\sqrt3\) より \(r=\sqrt{1+3}=2\) \(\cos\alpha=-\dfrac12\)、\(\sin\alpha=\dfrac{\sqrt3}{2}\)（第2象限）を満たす角は \(\alpha=\dfrac{2\pi}{3}\) \(\sqrt3\cos\theta-\sin\theta=2\sin\left(\theta+\dfrac{2\pi}{3}\right)\)

合成・aが負でbが正

\(\cos\theta-\sqrt3\sin\theta\) を \(r\sin(\theta+\alpha)\) の形に変形せよ（\(0\le\alpha<2\pi\)）。

\(r=\) 　\(\alpha=\)

解説を見る

\(\sin\theta\) の係数 \(a=-\sqrt3\)、\(\cos\theta\) の係数 \(b=1\) より \(r=\sqrt{3+1}=2\) \(\cos\alpha=-\dfrac{\sqrt3}{2}\)、\(\sin\alpha=\dfrac12\)（第2象限）を満たす角は \(\alpha=\dfrac{5\pi}{6}\) \(\cos\theta-\sqrt3\sin\theta=2\sin\left(\theta+\dfrac{5\pi}{6}\right)\)

合成・両方負

\(-\sin\theta-\cos\theta\) を \(r\sin(\theta+\alpha)\) の形に変形せよ（\(0\le\alpha<2\pi\)）。

\(r=\) 　\(\alpha=\)

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\(a=-1\)、\(b=-1\) より \(r=\sqrt{1+1}=\sqrt2\) \(\cos\alpha=-\dfrac{1}{\sqrt2}\)、\(\sin\alpha=-\dfrac{1}{\sqrt2}\)（第3象限）を満たす角は \(\alpha=\dfrac{5\pi}{4}\) \(-\sin\theta-\cos\theta=\sqrt2\sin\left(\theta+\dfrac{5\pi}{4}\right)\)

最大最小（範囲の制限なし）

\(y=\sin\theta+\cos\theta\)（\(0\le\theta<2\pi\)）の最大値・最小値と、そのときの \(\theta\) を求めよ。

最大値（\(\theta=\) ）　最小値（\(\theta=\) ）

解説を見る

\(y=\sqrt2\sin\left(\theta+\dfrac{\pi}{4}\right)\)。\(\theta\) に制限がないので \(\theta+\dfrac{\pi}{4}\) もすべての角をとる。最大値は \(\theta+\dfrac{\pi}{4}=\dfrac{\pi}{2}\) のとき、つまり \(\theta=\dfrac{\pi}{4}\) で \(y=\sqrt2\) 最小値は \(\theta+\dfrac{\pi}{4}=\dfrac{3\pi}{2}\) のとき、つまり \(\theta=\dfrac{5\pi}{4}\) で \(y=-\sqrt2\) \(\theta=\dfrac{\pi}{4}\) で最大値 \(\sqrt2\)、\(\theta=\dfrac{5\pi}{4}\) で最小値 \(-\sqrt2\)

最大最小（範囲の制限なし）

\(y=\sqrt3\sin\theta+\cos\theta\)（\(0\le\theta<2\pi\)）の最大値・最小値と、そのときの \(\theta\) を求めよ。

最大値（\(\theta=\) ）　最小値（\(\theta=\) ）

解説を見る

\(y=2\sin\left(\theta+\dfrac{\pi}{6}\right)\)。\(\theta\) に制限がないのでそのまま最大最小が使える。最大値は \(\theta+\dfrac{\pi}{6}=\dfrac{\pi}{2}\) のとき、つまり \(\theta=\dfrac{\pi}{3}\) で \(y=2\) 最小値は \(\theta+\dfrac{\pi}{6}=\dfrac{3\pi}{2}\) のとき、つまり \(\theta=\dfrac{4\pi}{3}\) で \(y=-2\) \(\theta=\dfrac{\pi}{3}\) で最大値 \(2\)、\(\theta=\dfrac{4\pi}{3}\) で最小値 \(-2\)

挑戦（15〜18）

2倍角の逆算

\(\cos2\theta=\dfrac{7}{25}\)、\(0<\theta<\dfrac{\pi}{2}\) のとき、\(\cos\theta\)、\(\sin\theta\) を求めよ。

\(\cos\theta=\) 　\(\sin\theta=\)

解説を見る

\(\cos2\theta=2\cos^2\theta-1\) より \(\cos^2\theta=\dfrac{1+\cos2\theta}{2}=\dfrac{1+\frac{7}{25}}{2}=\dfrac{\frac{32}{25}}{2}=\dfrac{16}{25}\) \(0<\theta<\dfrac{\pi}{2}\) より \(\cos\theta>0\) なので \(\cos\theta=\dfrac45\) \(\sin\theta=\sqrt{1-\frac{16}{25}}=\sqrt{\dfrac{9}{25}}=\dfrac35\)（\(\theta\) は第1象限で正） \(\cos\theta=\dfrac45\)、\(\sin\theta=\dfrac35\)

最大最小（範囲の制限あり）

\(y=\sqrt3\sin\theta+\cos\theta\)（\(0\le\theta\le\dfrac{\pi}{2}\)）の最大値・最小値と、そのときの \(\theta\) を求めよ。

最大値（\(\theta=\) ）　最小値（\(\theta=\) ）

解説を見る

\(y=2\sin\left(\theta+\dfrac{\pi}{6}\right)\)。\(0\le\theta\le\dfrac{\pi}{2}\) のとき \(\dfrac{\pi}{6}\le\theta+\dfrac{\pi}{6}\le\dfrac{2\pi}{3}\) この範囲に \(\dfrac{\pi}{2}\) が含まれるので、そこが最大：\(\theta=\dfrac{\pi}{3}\) で \(y=2\sin\dfrac{\pi}{2}=2\) 両端を比べる：\(\sin\dfrac{\pi}{6}=\dfrac12\)、\(\sin\dfrac{2\pi}{3}=\dfrac{\sqrt3}{2}\)。小さいのは \(\dfrac{\pi}{6}\) の方なので、そこが最小：\(\theta=0\) で \(y=2\sin\dfrac{\pi}{6}=1\) \(\theta=\dfrac{\pi}{3}\) で最大値 \(2\)、\(\theta=0\) で最小値 \(1\)

tanθから2倍角tan

\(\tan\theta=\dfrac{1}{2}\) のとき、\(\tan2\theta\) を求めよ。

\(\tan2\theta=\)

解説を見る

\(\tan2\theta=\dfrac{2\tan\theta}{1-\tan^2\theta}=\dfrac{2\cdot\frac12}{1-\frac14}=\dfrac{1}{\frac34}=\dfrac43\) \(\tan2\theta=\dfrac43\)

半角で π/8 の値（記述のみ）

半角の公式を使って、\(\cos\dfrac{\pi}{8}\) の値を求めよ（\(\cos\dfrac{\pi}{4}=\dfrac{\sqrt2}{2}\) を利用する）。

解説を見る

\(\dfrac{\pi}{8}=\dfrac{1}{2}\cdot\dfrac{\pi}{4}\) なので、\(\theta=\dfrac{\pi}{4}\) として半角の公式を使う。 \(\cos^2\dfrac{\pi}{8}=\dfrac{1+\cos\frac{\pi}{4}}{2}=\dfrac{1+\frac{\sqrt2}{2}}{2}=\dfrac{2+\sqrt2}{4}\) \(0<\dfrac{\pi}{8}<\dfrac{\pi}{2}\) なので \(\cos\dfrac{\pi}{8}>0\)。よって \(\cos\dfrac{\pi}{8}=\dfrac{\sqrt{2+\sqrt2}}{2}\)

応用問題（プリント限定）

ここから先はPDF限定の腕試し。おきかえと2倍角の組み合わせで、入試の基礎レベルに挑戦しよう。

応1

t=sinθ+cosθのおきかえ

\(y=2\sin\theta\cos\theta+\sin\theta+\cos\theta\)（\(0\le\theta<2\pi\)）の最大値・最小値を求めよ。

最大値　最小値

解説を見る

\(t=\sin\theta+\cos\theta\) とおく。両辺を2乗すると \(t^2=1+2\sin\theta\cos\theta\) より \(2\sin\theta\cos\theta=t^2-1\)。 \(t=\sqrt2\sin\left(\theta+\dfrac{\pi}{4}\right)\) より、\(\theta\) が全実数（\(0\le\theta<2\pi\)）を動くとき \(t\) の範囲は \(-\sqrt2\le t\le\sqrt2\)。もとの式に代入すると \(y=(t^2-1)+t=t^2+t-1=\left(t+\dfrac12\right)^2-\dfrac54\) これは \(t\) の下に凸な2次関数。頂点 \(t=-\dfrac12\) は範囲 \([-\sqrt2,\sqrt2]\) の中にあるので、そこが最小：\(y=-\dfrac54\) 最大値は頂点から遠い端を比べて判断する。頂点 \(-\dfrac12\) から \(\sqrt2\approx1.41\) までの距離は約\(1.91\)、\(-\sqrt2\approx-1.41\) までの距離は約\(0.91\)。遠いのは \(t=\sqrt2\) 側。 \(t=\sqrt2\) のとき \(y=2+\sqrt2-1=1+\sqrt2\) \(t=-\sqrt2\) のとき \(y=2-\sqrt2-1=1-\sqrt2\)（こちらは最大値ではない）比べると \(1+\sqrt2>1-\sqrt2\) なので、最大値は \(t=\sqrt2\) のときの \(1+\sqrt2\)。最大値 \(1+\sqrt2\)、最小値 \(-\dfrac54\)

応2

t=sinθ−cosθのおきかえ

\(y=\sin2\theta-2(\sin\theta-\cos\theta)\)（\(0\le\theta<2\pi\)）の最大値・最小値を求めよ。

最大値　最小値

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\(t=\sin\theta-\cos\theta\) とおく。両辺を2乗すると \(t^2=1-2\sin\theta\cos\theta\) より \(\sin2\theta=2\sin\theta\cos\theta=1-t^2\)。 \(t=\sqrt2\sin\left(\theta-\dfrac{\pi}{4}\right)\) より \(t\) の範囲は \(-\sqrt2\le t\le\sqrt2\)。もとの式に代入すると \(y=(1-t^2)-2t=-t^2-2t+1=-(t+1)^2+2\) これは \(t\) の上に凸な2次関数。頂点 \(t=-1\) は範囲 \([-\sqrt2,\sqrt2]\) の中にあるので、そこが最大：\(y=2\) 最小値は頂点から遠い端を比べる。頂点 \(-1\) から \(\sqrt2\approx1.41\) までの距離は約\(2.41\)、\(-\sqrt2\approx-1.41\) までの距離は約\(0.41\)。遠いのは \(t=\sqrt2\) 側。 \(t=\sqrt2\) のとき \(y=-(\sqrt2+1)^2+2=-(3+2\sqrt2)+2=-1-2\sqrt2\) 最大値 \(2\)、最小値 \(-1-2\sqrt2\)

応3

2倍角の方程式（次ページへの布石）

\(\cos2\theta=\sin\theta\)（\(0\le\theta<2\pi\)）を満たす \(\theta\) をすべて求めよ。小さい順にコンマ区切りで入力せよ。

\(\theta=\)

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\(\cos2\theta=1-2\sin^2\theta\) を使って \(\sin\theta\) だけの式にする。 \(1-2\sin^2\theta=\sin\theta\) \(2\sin^2\theta+\sin\theta-1=0\) \((2\sin\theta-1)(\sin\theta+1)=0\) \(\sin\theta=\dfrac12\) または \(\sin\theta=-1\) \(\sin\theta=\dfrac12\)（\(0\le\theta<2\pi\)）を満たすのは \(\theta=\dfrac{\pi}{6},\ \dfrac{5\pi}{6}\) \(\sin\theta=-1\) を満たすのは \(\theta=\dfrac{3\pi}{2}\) \(\theta=\dfrac{\pi}{6},\ \dfrac{5\pi}{6},\ \dfrac{3\pi}{2}\)

応4

和の2乗から2倍角

\(0<\theta<\dfrac{\pi}{2}\) で \(\sin\theta+\cos\theta=\dfrac{7}{5}\) のとき、\(\sin2\theta\) の値を求めよ。

\(\sin2\theta=\)

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\(\sin\theta+\cos\theta=\dfrac75\) の両辺を2乗する。 \(\sin^2\theta+2\sin\theta\cos\theta+\cos^2\theta=\dfrac{49}{25}\) \(1+2\sin\theta\cos\theta=\dfrac{49}{25}\) \(2\sin\theta\cos\theta=\dfrac{49}{25}-1=\dfrac{24}{25}\) \(\sin2\theta=2\sin\theta\cos\theta\) なので、そのまま \(\sin2\theta=\dfrac{24}{25}\)

応5

最大最小（範囲の制限あり・rが4）

\(y=2\sin\theta+2\sqrt3\cos\theta\)（\(0\le\theta\le\dfrac{2\pi}{3}\)）の最大値・最小値と、そのときの \(\theta\) を求めよ。

最大値（\(\theta=\) ）　最小値（\(\theta=\) ）

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\(a=2\)、\(b=2\sqrt3\) より \(r=\sqrt{4+12}=4\) \(\cos\alpha=\dfrac{2}{4}=\dfrac12\)、\(\sin\alpha=\dfrac{2\sqrt3}{4}=\dfrac{\sqrt3}{2}\) より \(\alpha=\dfrac{\pi}{3}\) \(y=4\sin\left(\theta+\dfrac{\pi}{3}\right)\)。\(0\le\theta\le\dfrac{2\pi}{3}\) のとき \(\dfrac{\pi}{3}\le\theta+\dfrac{\pi}{3}\le\pi\) この範囲に \(\dfrac{\pi}{2}\) が含まれるので、そこが最大：\(\theta+\dfrac{\pi}{3}=\dfrac{\pi}{2}\) より \(\theta=\dfrac{\pi}{6}\)、\(y=4\sin\dfrac{\pi}{2}=4\) 両端を比べる：\(\sin\dfrac{\pi}{3}=\dfrac{\sqrt3}{2}\approx0.87\)、\(\sin\pi=0\)。小さいのは \(\pi\) の方なので、そこが最小：\(\theta+\dfrac{\pi}{3}=\pi\) より \(\theta=\dfrac{2\pi}{3}\)、\(y=4\sin\pi=0\) \(\theta=\dfrac{\pi}{6}\) で最大値 \(4\)、\(\theta=\dfrac{2\pi}{3}\) で最小値 \(0\)