三角関数のグラフ｜数II 三角関数

STEP 1

y = sin x・y = cos x のグラフ

単位円上の点を \(x\) が増えるごとにたどっていくと、\(y\) 座標（\(\sin x\)）や \(x\) 座標（\(\cos x\)）の値が波のように上下する。これをグラフにしたものが「サインカーブ」。

y = sin x・y = cos x に共通する性質
値域（\(y\) のとりうる範囲）：\(-1 \le y \le 1\)
周期：\(2\pi\)（グラフが \(2\pi\) ごとに同じ形を繰り返す）

「周期」とは、グラフが同じ形を繰り返す最小の幅のこと。実際にもっと広い範囲で見ても、波形がずっと繰り返されていることが確認できる。

STEP 2

y = tan x のグラフ（漸近線に注意）

\(\tan x = \dfrac{\sin x}{\cos x}\) なので、\(\cos x = 0\) となる \(x = \dfrac{\pi}{2} + n\pi\)（\(n\) は整数）では値が定まらない。このx座標では、グラフはどこまでも上下に伸びていき、その位置に近づくグラフの目安として縦の破線（漸近線）を引く。

y = tan x の性質
定義域：\(x \neq \dfrac{\pi}{2} + n\pi\)（\(n\) は整数）
値域：すべての実数（最大値・最小値は存在しない）
周期：\(\pi\)（sin・cosの半分）

例題　\(y = \tan 3x\) の周期を求めよ。

解答を見る

\(y = \tan bx\) は、\(y = \tan x\) のグラフをx軸方向に \(\dfrac{1}{|b|}\) 倍に縮めた（または伸ばした）グラフ。もとの周期 \(\pi\) が \(\dfrac{1}{|b|}\) 倍になるので、周期は \(\dfrac{\pi}{|b|}\)。 \(b=3\) なので、周期は \(\dfrac{\pi}{3}\)。周期 \(\dfrac{\pi}{3}\)

STEP 3

拡大縮小と平行移動

\(y = a\sin(b(x-c)) + d\) の形は、\(y=\sin x\) のグラフを「\(a\) 倍に伸縮」「\(b\) 倍に伸縮」「\(x\) 軸方向に \(c\)」「\(y\) 軸方向に \(d\)」動かしたグラフになる。それぞれの役割を1つずつ確認しよう。

(a) aの役割：振幅（グラフの高さ）が変わる

例題　\(y = 2\sin x\) の振幅と周期を求めよ。

解答を見る

\(a=2\) なので振幅は \(|a|=2\)。\(b=1\) なので周期は \(\dfrac{2\pi}{|b|}=2\pi\)（変化なし）。振幅 \(2\)、周期 \(2\pi\)

(b) bの役割：周期（グラフの詰まり具合）が変わる

例題　\(y = \sin 2x\) の周期を求めよ。

解答を見る

\(y=\sin bx\) の周期は \(\dfrac{2\pi}{|b|}\)。\(b=2\) なので、周期は \(\dfrac{2\pi}{2}=\pi\)。周期 \(\pi\)

(c) cの役割：グラフが左右にずれる（平行移動）

例題　\(y = \sin\left(x-\dfrac{\pi}{3}\right)\) のグラフは、\(y=\sin x\) のグラフをx軸方向にどれだけ平行移動したものか。

解答を見る

\(y=\sin(x-c)\) は \(y=\sin x\) をx軸方向に \(c\) だけ平行移動したグラフ（\(c>0\) なら右、\(c<0\) なら左）。 \(c=\dfrac{\pi}{3}\) なので、右に \(\dfrac{\pi}{3}\) だけ平行移動したグラフ。 x軸方向に \(\dfrac{\pi}{3}\)（右へ）平行移動

STEP 4

周期の公式まとめ

手順1　式を \(y = a\sin(b(x-c))+d\)（cos・tanも同様の形）に整理する。bはかっこの外にくくり出すのがコツ。

↓

手順2　振幅・周期を公式にあてはめて求める。

↓

sin・cosの周期
周期 \(=\dfrac{2\pi}{|b|}\)

tanの周期
周期 \(=\dfrac{\pi}{|b|}\)（sin・cosの半分）

振幅・最大最小（sin・cos）
振幅 \(=|a|\)　最大値 \(=|a|+d\)　最小値 \(=-|a|+d\)

↓

手順3　平行移動量を読み取る。\(c\) はx軸方向（正なら右、負なら左）、\(d\) はy軸方向。

注意（くくり出し忘れの罠）　\(y=\sin(2x-\dfrac{\pi}{3})\) を見て「\(\dfrac{\pi}{3}\) だけ平行移動」と即答するのは誤り。まず \(2x-\dfrac{\pi}{3}=2\left(x-\dfrac{\pi}{6}\right)\) と、bをかっこの外にくくり出してから \(c\) を読み取る。正しい平行移動量は \(\dfrac{\pi}{6}\)。

練習問題（全18問）

答えを入力して「採点」を押すと○×が出るぞ。πを含む答えは「π/6」または「pi/6」の形で入力しよう。
わからないときは「解説を見る」で解き方を確認しよう。

基本（1〜7）

周期の公式

\(y = \sin 4x\) の周期を求めよ。

周期

解説を見る

\(y=\sin bx\) の周期は \(\dfrac{2\pi}{|b|}\)。\(b=4\) なので周期は \(\dfrac{2\pi}{4}=\dfrac{\pi}{2}\)。周期 \(\dfrac{\pi}{2}\)

周期の公式（bが分数）

\(y = \cos\dfrac{x}{3}\) の周期を求めよ。

周期

解説を見る

\(b=\dfrac{1}{3}\) なので、周期は \(\dfrac{2\pi}{|b|}=2\pi\div\dfrac{1}{3}=2\pi\times3=6\pi\)。周期 \(6\pi\)

振幅

\(y = 4\cos x\) の振幅を求めよ。

振幅

解説を見る

振幅は \(|a|\)。\(a=4\) なので振幅は \(4\)。振幅 \(4\)

最大値・最小値

\(y = 3\sin x\) の最大値・最小値を求めよ。

最大値　最小値

解説を見る

\(\sin x\) は \(-1\) 以上 \(1\) 以下の値をとるので、\(3\sin x\) は \(-3\) 以上 \(3\) 以下の値をとる。最大値 \(3\)、最小値 \(-3\)

tanの周期の公式

\(y = \tan 3x\) の周期を求めよ。

周期

解説を見る

\(y=\tan bx\) の周期は \(\dfrac{\pi}{|b|}\)。\(b=3\) なので周期は \(\dfrac{\pi}{3}\)。周期 \(\dfrac{\pi}{3}\)

振幅と周期

\(y = -5\cos x\) の振幅と周期を求めよ。

振幅　周期

解説を見る

振幅は \(|a|=|-5|=5\)。\(b=1\) なので周期は \(\dfrac{2\pi}{1}=2\pi\)。振幅 \(5\)、周期 \(2\pi\)

最大値・最小値（上下移動あり）

\(y = \cos x - 2\) の最大値・最小値を求めよ。

最大値　最小値

解説を見る

\(\cos x\) は \(-1\) 以上 \(1\) 以下なので、\(\cos x - 2\) は \(-1-2=-3\) 以上 \(1-2=-1\) 以下。最大値 \(-1\)、最小値 \(-3\)

標準（8〜14）　※パターンは自分で判定

グラフ読み取り

次のグラフは \(y = A\sin x\)（\(A>0\)）のグラフである。\(A\) の値を求めよ。

\(A=\)

解説を見る

グラフの山（最大値）の高さを目盛から読むと \(y=3\)。\(y=A\sin x\) の最大値は \(A\)（\(A>0\) のとき）なので \(A=3\)。 \(A=3\)

\(y = \sin\left(2x-\dfrac{\pi}{3}\right)\) の周期を求めよ。

周期

解説を見る

周期はbだけで決まる（cは平行移動にしか関係しない）。\(2x-\dfrac{\pi}{3}=2\left(x-\dfrac{\pi}{6}\right)\) より \(b=2\)。周期は \(\dfrac{2\pi}{|b|}=\dfrac{2\pi}{2}=\pi\)。周期 \(\pi\)

\(y = \sin\left(x-\dfrac{\pi}{4}\right)\) のグラフは、\(y=\sin x\) のグラフをx軸方向にどれだけ平行移動したものか。

平行移動量

解説を見る

\(y=\sin(x-c)\) の形なので、\(c=\dfrac{\pi}{4}\) だけ平行移動している（正の値なので右方向）。 \(\dfrac{\pi}{4}\)（右へ）

グラフ読み取り

次のグラフは \(y = A\sin(Bx)\)（\(A>0,\ B>0\)）のグラフである。\(A,\ B\) の値をそれぞれ求めよ。

\(A=\) 　\(B=\)

解説を見る

山の高さ（振幅）を読むと \(A=2\)。グラフは \(x=0\) と \(x=\dfrac{\pi}{2}\) でちょうど同じ形が1回繰り返しているので、周期は \(\dfrac{\pi}{2}\)。 \(\dfrac{2\pi}{|B|}=\dfrac{\pi}{2}\) を解くと \(B=4\)。 \(A=2,\ B=4\)

\(y = 3\cos 2x + 1\) の最大値・最小値を求めよ。

最大値　最小値

解説を見る

\(\cos 2x\) は \(-1\) 以上 \(1\) 以下。よって \(3\cos 2x\) は \(-3\) 以上 \(3\) 以下、\(3\cos 2x+1\) は \(-3+1=-2\) 以上 \(3+1=4\) 以下。最大値 \(4\)、最小値 \(-2\)

\(y = 2\tan\dfrac{x}{2}\) の周期を求めよ。

周期

解説を見る

tanの前についている係数2は周期に関係しない（振幅のような役割がtanにはないため）。\(b=\dfrac{1}{2}\) なので周期は \(\dfrac{\pi}{|b|}=\pi\div\dfrac{1}{2}=2\pi\)。周期 \(2\pi\)

\(y = \cos 2x\) について、\(x=\dfrac{\pi}{6}\) のときの \(y\) の値を求めよ。

\(y=\)

解説を見る

\(x=\dfrac{\pi}{6}\) を代入すると \(y=\cos\left(2\times\dfrac{\pi}{6}\right)=\cos\dfrac{\pi}{3}\)。単位円より \(\cos\dfrac{\pi}{3}=\dfrac{1}{2}\)。 \(y=\dfrac{1}{2}\)

挑戦（15〜18）

平行移動の符号に注意

\(y = \cos\left(x+\dfrac{\pi}{6}\right)\) のグラフは、\(y=\cos x\) のグラフをx軸方向にどれだけ平行移動したものか。左方向への移動は負の値で答えよ。

平行移動量

解説を見る

\(y=\cos(x-c)\) の形に合わせると、\(x+\dfrac{\pi}{6}=x-\left(-\dfrac{\pi}{6}\right)\) なので \(c=-\dfrac{\pi}{6}\)。 \(c\) が負なので、左方向に \(\dfrac{\pi}{6}\) だけ平行移動したグラフ。 \(-\dfrac{\pi}{6}\)（左に \(\dfrac{\pi}{6}\)）

グラフ読み取り

次のグラフは \(y = \cos(Bx)\)（\(B>0\)）のグラフである。グラフから周期を読み取り、\(B\) の値を求めよ。

周期　\(B=\)

解説を見る

グラフより、\(x=0\) の山から次の山（\(x=8\pi\)）までが1周期なので、周期は \(8\pi\)。 \(\dfrac{2\pi}{|B|}=8\pi\) を解くと \(|B|=\dfrac{2\pi}{8\pi}=\dfrac{1}{4}\)。\(B>0\) なので \(B=\dfrac{1}{4}\)。周期 \(8\pi\)、\(B=\dfrac{1}{4}\)

複合問題

\(y = -3\sin 2x + 2\) の周期・最大値・最小値をそれぞれ求めよ。

周期　最大値　最小値

解説を見る

周期：\(b=2\) なので \(\dfrac{2\pi}{2}=\pi\)。最大最小：\(\sin 2x\) は \(-1\) 以上 \(1\) 以下なので、\(-3\sin 2x\) は \(-3\) 以上 \(3\) 以下（マイナスがつくと大小が逆転することに注意）。よって \(-3\sin 2x+2\) は \(-3+2=-1\) 以上 \(3+2=5\) 以下。周期 \(\pi\)、最大値 \(5\)、最小値 \(-1\)

bをくくり出してから平行移動を読む

\(y = \sin\left(2x-\dfrac{\pi}{3}\right)\) のグラフは、\(y=\sin 2x\) のグラフをx軸方向にどれだけ平行移動したものか。

平行移動量

解説を見る

\(2x-\dfrac{\pi}{3}\) をそのまま見て \(\dfrac{\pi}{3}\) と答えるのは誤り。まずbをかっこの外にくくり出す。 \(2x-\dfrac{\pi}{3}=2\left(x-\dfrac{\pi}{6}\right)\) よって \(y=\sin\left(2\left(x-\dfrac{\pi}{6}\right)\right)\) となり、\(y=\sin 2x\) をx軸方向に \(\dfrac{\pi}{6}\) だけ平行移動したグラフ。 \(\dfrac{\pi}{6}\)（右へ）

応用問題（プリント限定）

ここから先はPDF限定の腕試し。入試の基礎レベルに挑戦しよう。

応1

振幅・周期・平行移動の複合

\(y = 2\cos\left(3x+\dfrac{\pi}{2}\right)\) の振幅・周期・（\(y=2\cos 3x\) のグラフからの）x軸方向の平行移動量をそれぞれ求めよ。左方向への移動は負の値で答えよ。

振幅　周期　平行移動量

解説を見る

振幅は \(|a|=2\)。周期は \(b=3\) より \(\dfrac{2\pi}{3}\)。平行移動量は、まずbをかっこの外にくくり出す：\(3x+\dfrac{\pi}{2}=3\left(x+\dfrac{\pi}{6}\right)=3\left(x-\left(-\dfrac{\pi}{6}\right)\right)\)。よって \(c=-\dfrac{\pi}{6}\)、つまり \(y=2\cos 3x\) を左に \(\dfrac{\pi}{6}\) だけ平行移動したグラフ。振幅 \(2\)、周期 \(\dfrac{2\pi}{3}\)、平行移動量 \(-\dfrac{\pi}{6}\)（左に \(\dfrac{\pi}{6}\)）

応2

グラフと条件からA,B,Cを決定

次のグラフは \(y = A\sin(B(x-C))\)（\(A>0,\ B>0\)）のグラフの一部であり、\(0 \le C < \dfrac{\pi}{2}\) とする。さらに、このグラフが \(y=\sin x\) のグラフをx軸方向に \(B\) 倍に詰めてから \(\dfrac{\pi}{4}\) だけ平行移動した形であることが分かっている。\(A,\ B,\ C\) の値をそれぞれ求めよ。

\(A=\) 　\(B=\) 　\(C=\)

解説を見る

グラフの山の高さ（振幅）を読むと \(A=2\)。グラフは \(x=\dfrac{\pi}{2}\) と \(x=\dfrac{3\pi}{2}\) でちょうど同じ形（山）が1回繰り返しているので、周期は \(\dfrac{3\pi}{2}-\dfrac{\pi}{2}=\pi\)。 \(\dfrac{2\pi}{B}=\pi\) より \(B=2\)。条件より、\(y=\sin x\) をx軸方向に2倍に詰めてから \(\dfrac{\pi}{4}\) だけ平行移動した形なので、まず詰めて \(y=\sin 2x\)、次に右に \(\dfrac{\pi}{4}\) 平行移動して \(y=\sin\left(2\left(x-\dfrac{\pi}{4}\right)\right)\) となる。よって \(C=\dfrac{\pi}{4}\)。 \(A=2,\ B=2,\ C=\dfrac{\pi}{4}\)

応3

tanのグラフと漸近線

\(y = \tan\left(2x-\dfrac{\pi}{4}\right)\) の漸近線を、\(-\dfrac{\pi}{2} < x < \dfrac{\pi}{2}\) の範囲ですべて求めよ（コンマ区切りで入力）。

漸近線 \(x=\)

解説を見る

\(\tan\theta\) は \(\theta=\dfrac{\pi}{2}+n\pi\)（\(n\) は整数）で定義されない。 \(2x-\dfrac{\pi}{4}=\dfrac{\pi}{2}+n\pi\) を解く： \(2x=\dfrac{3\pi}{4}+n\pi\)、\(x=\dfrac{3\pi}{8}+\dfrac{n\pi}{2}\) \(n=0\) のとき \(x=\dfrac{3\pi}{8}\)（\(\approx1.18\)、範囲内） \(n=-1\) のとき \(x=\dfrac{3\pi}{8}-\dfrac{\pi}{2}=-\dfrac{\pi}{8}\)（\(\approx-0.39\)、範囲内） \(n=1\) のとき \(x=\dfrac{7\pi}{8}\)（範囲外）、\(n=-2\) のとき \(x=-\dfrac{5\pi}{8}\)（範囲外） \(x=-\dfrac{\pi}{8},\ \dfrac{3\pi}{8}\)

応4

文章題：周期的な現象への応用

ある観測地点の水位 \(y\)（m）が、時刻 \(x\)（時間、\(x \ge 0\)）に対して \(y = 3\sin\dfrac{\pi}{6}x + 5\) で近似できるとする。水位の周期・最大値・最小値をそれぞれ求めよ。また、最初に水位が最大になるのは \(x\) が何時間後か求めよ。

周期時間　最大値 m　最小値 m

最初に最大になる時刻　\(x=\)

解説を見る

周期：\(b=\dfrac{\pi}{6}\) なので \(\dfrac{2\pi}{|b|}=2\pi\div\dfrac{\pi}{6}=12\)（時間）。最大最小：\(\sin\dfrac{\pi}{6}x\) は \(-1\) 以上 \(1\) 以下なので、\(3\sin\dfrac{\pi}{6}x\) は \(-3\) 以上 \(3\) 以下、\(3\sin\dfrac{\pi}{6}x+5\) は \(-3+5=2\) 以上 \(3+5=8\) 以下。最初に最大になるのは \(\sin\dfrac{\pi}{6}x=1\) となる最初の \(x\)。これは \(\dfrac{\pi}{6}x=\dfrac{\pi}{2}\) のときなので、\(x=\dfrac{\pi}{2}\div\dfrac{\pi}{6}=\dfrac{\pi}{2}\times\dfrac{6}{\pi}=3\)。周期 \(12\)時間、最大値 \(8\)m、最小値 \(2\)m、最初に最大になるのは \(x=3\)（時間後）

応5

平行移動後の最大値・最小値

\(y=\sin x\) のグラフをx軸方向に \(\pi\)、y軸方向に \(3\) だけそれぞれ平行移動して得られるグラフを \(y=f(x)\) とする。\(f(x)\) の最大値・最小値をそれぞれ求めよ。

最大値　最小値

解説を見る

\(f(x)=\sin(x-\pi)+3\)。 x軸方向の平行移動は「グラフの形をそのまま横にずらすだけ」なので、\(y\) がとりうる値の範囲そのものは変えない。\(\sin(x-\pi)\) も \(\sin x\) と同じく \(-1\) 以上 \(1\) 以下の値をとる。そこにy軸方向の平行移動（\(+3\)）が加わるので、\(f(x)\) は \(-1+3=2\) 以上 \(1+3=4\) 以下。最大値 \(4\)、最小値 \(2\)