三角方程式・不等式｜数II 三角関数

STEP 1

基本の方程式（単位円で解く）

\(\sin\theta=k\) や \(\cos\theta=k\) の形は、単位円の上で「y座標（またはx座標）がkになる点」を探せば解ける。三角比のときと同じ考え方を、角の範囲を広げて（\(0\le\theta<2\pi\) など）そのまま使うだけ。

基本方針
\(\sin\theta=k\) → 単位円上でy座標がkの点を探す（ふつう2つ見つかる）
\(\cos\theta=k\) → 単位円上でx座標がkの点を探す（ふつう2つ見つかる）
\(\tan\theta=k\) → 原点を通る直線 \(y=kx\) と単位円の交点（周期が \(\pi\) なので範囲が \(2\pi\) なら2つ）

例題1　\(\sin\theta=\dfrac{1}{2}\)（\(0\le\theta<2\pi\)）を満たす \(\theta\) をすべて求めよ。

解答を見る

単位円上でy座標が \(\dfrac12\) になる点を探す。第1象限に1つ、第2象限に1つ（x軸に関して対称）見つかる。第1象限の点は \(\theta=\dfrac{\pi}{6}\)、第2象限の点はそれを \(\pi\) の手前で折り返した \(\theta=\pi-\dfrac{\pi}{6}=\dfrac{5\pi}{6}\)。 \(\theta=\dfrac{\pi}{6},\ \dfrac{5\pi}{6}\)

例題2　\(\cos\theta=-\dfrac{\sqrt3}{2}\)（\(0\le\theta<2\pi\)）を満たす \(\theta\) をすべて求めよ。

解答を見る

単位円上でx座標が \(-\dfrac{\sqrt3}{2}\) になる点を探す。x座標が負なので第2・第3象限にある。基準角は \(\cos\dfrac{\pi}{6}=\dfrac{\sqrt3}{2}\) なので、第2象限では \(\theta=\pi-\dfrac{\pi}{6}=\dfrac{5\pi}{6}\)、第3象限では \(\theta=\pi+\dfrac{\pi}{6}=\dfrac{7\pi}{6}\)。 \(\theta=\dfrac{5\pi}{6},\ \dfrac{7\pi}{6}\)

STEP 2

基本の不等式（単位円の弧で考える）

不等式は、まず「＝」に直して境界の角を求め、その境界で単位円が2つの弧に分かれることを利用する。どちらの弧が不等式を満たすかは、弧の中の1点を代入して確かめるのが確実。

解く手順
手順1　不等号を＝に変えて、境界となる角をすべて求める
手順2　単位円上にその境界点を打ち、円を弧に分ける
手順3　弧の中から代表の1点（\(\theta=0\) や \(\theta=\pi\) など計算しやすい角）を選び、もとの不等式に代入して満たすか確認する
手順4　満たす方の弧を「境界角＜θ＜境界角」の範囲で答える（等号を含む不等式なら境界も含める）

例題1　\(\cos\theta<\dfrac12\)（\(0\le\theta<2\pi\)）を満たす \(\theta\) の範囲を求めよ。

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境界：\(\cos\theta=\dfrac12\) を解くと \(\theta=\dfrac{\pi}{3},\ \dfrac{5\pi}{3}\)。代表点で確認：\(\theta=\pi\) を代入すると \(\cos\pi=-1<\dfrac12\) で成り立つ。\(\theta=\pi\) は境界 \(\dfrac{\pi}{3}\) と \(\dfrac{5\pi}{3}\) の間（弧の左側）にあるので、その間が解。 \(\dfrac{\pi}{3}<\theta<\dfrac{5\pi}{3}\)

例題2　\(2\sin\theta-1\ge0\)（\(0\le\theta<2\pi\)）を満たす \(\theta\) の範囲を求めよ。

解答を見る

まず \(\sin\theta\ge\dfrac12\) の形に直す。境界：\(\sin\theta=\dfrac12\) を解くと \(\theta=\dfrac{\pi}{6},\ \dfrac{5\pi}{6}\)。代表点で確認：\(\theta=\dfrac{\pi}{2}\) を代入すると \(\sin\dfrac{\pi}{2}=1\ge\dfrac12\) で成り立つ。\(\theta=\dfrac{\pi}{2}\) は境界 \(\dfrac{\pi}{6}\) と \(\dfrac{5\pi}{6}\) の間にあるので、その間が解。不等号に等号がついているので境界も含める。 \(\dfrac{\pi}{6}\le\theta\le\dfrac{5\pi}{6}\)

STEP 3

2倍角をおきかえて2次方程式に

\(\cos2\theta\) と \(\sin\theta\)（または \(\cos\theta\)）が混ざった方程式は、2倍角の公式で \(\cos2\theta\) を消してしまうと、見慣れた2次方程式になる。

おきかえに使う公式
\(\sin\theta\) だけの式にしたい → \(\cos2\theta=1-2\sin^2\theta\)
\(\cos\theta\) だけの式にしたい → \(\cos2\theta=2\cos^2\theta-1\)
どちらかで \(\cos2\theta\) を消し、\(t=\sin\theta\)（または \(t=\cos\theta\)）とおいて2次方程式を解く。求めた \(t\) が \(-1\le t\le1\) に収まっているか必ず確認し、収まらなければその解は捨てる（\(\sin\theta\)、\(\cos\theta\) はどちらも \(-1\) 以上 \(1\) 以下にしかならないため）。

例題1　\(\cos2\theta+3\sin\theta-2=0\)（\(0\le\theta<2\pi\)）を満たす \(\theta\) をすべて求めよ。

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\(\cos2\theta=1-2\sin^2\theta\) を代入する。 \(1-2\sin^2\theta+3\sin\theta-2=0\) \(-2\sin^2\theta+3\sin\theta-1=0\) 両辺に \(-1\) をかけて \(2\sin^2\theta-3\sin\theta+1=0\) \((2\sin\theta-1)(\sin\theta-1)=0\) \(\sin\theta=\dfrac12\) または \(\sin\theta=1\) どちらも \(-1\le t\le1\) の範囲に収まっているので両方とも有効。 \(\sin\theta=\dfrac12\)（\(0\le\theta<2\pi\)）を満たすのは \(\theta=\dfrac{\pi}{6},\ \dfrac{5\pi}{6}\) \(\sin\theta=1\) を満たすのは \(\theta=\dfrac{\pi}{2}\) \(\theta=\dfrac{\pi}{6},\ \dfrac{\pi}{2},\ \dfrac{5\pi}{6}\)

例題2　\(\cos2\theta+5\sin\theta+2=0\)（\(0\le\theta<2\pi\)）を満たす \(\theta\) をすべて求めよ。

解答を見る

\(\cos2\theta=1-2\sin^2\theta\) を代入する。 \(1-2\sin^2\theta+5\sin\theta+2=0\) \(-2\sin^2\theta+5\sin\theta+3=0\) 両辺に \(-1\) をかけて \(2\sin^2\theta-5\sin\theta-3=0\) \((2\sin\theta+1)(\sin\theta-3)=0\) \(\sin\theta=-\dfrac12\) または \(\sin\theta=3\) \(\sin\theta=3\) は \(-1\le\sin\theta\le1\) の範囲から外れるので解として不適（捨てる）。 \(\sin\theta=-\dfrac12\)（\(0\le\theta<2\pi\)）を満たすのは \(\theta=\dfrac{7\pi}{6},\ \dfrac{11\pi}{6}\) \(\theta=\dfrac{7\pi}{6},\ \dfrac{11\pi}{6}\)（\(\sin\theta=3\) は解なしとして除外する）

STEP 4

合成を使って解く

\(\sin\theta\) と \(\cos\theta\) がどちらも1次で混ざっている方程式・不等式は、まず合成して \(r\sin(\theta+\alpha)\) の1本の形にすれば、STEP1・STEP2の「基本の方程式・不等式」とまったく同じ手順で解ける。

合成の公式（復習）
\(a\sin\theta+b\cos\theta=r\sin(\theta+\alpha)\)　（\(r=\sqrt{a^2+b^2}\)、\(\cos\alpha=\dfrac{a}{r}\)、\(\sin\alpha=\dfrac{b}{r}\)）
方程式なら \(\sin(\theta+\alpha)=\)（数値）の形にし、\(\varphi=\theta+\alpha\) とおいて \(\varphi\) の範囲で解く。最後に \(\theta=\varphi-\alpha\) で戻すのを忘れないこと。

例題1　\(\sin\theta+\cos\theta=1\)（\(0\le\theta<2\pi\)）を満たす \(\theta\) をすべて求めよ。

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\(a=1\)、\(b=1\) より \(r=\sqrt2\)、\(\cos\alpha=\dfrac{1}{\sqrt2}\)、\(\sin\alpha=\dfrac{1}{\sqrt2}\) より \(\alpha=\dfrac{\pi}{4}\)。 \(\sqrt2\sin\left(\theta+\dfrac{\pi}{4}\right)=1\)　より　\(\sin\left(\theta+\dfrac{\pi}{4}\right)=\dfrac{1}{\sqrt2}=\dfrac{\sqrt2}{2}\) \(\varphi=\theta+\dfrac{\pi}{4}\) とおく。\(0\le\theta<2\pi\) より \(\dfrac{\pi}{4}\le\varphi<\dfrac{9\pi}{4}\) この範囲で \(\sin\varphi=\dfrac{\sqrt2}{2}\) を満たすのは \(\varphi=\dfrac{\pi}{4},\ \dfrac{3\pi}{4}\)（次の周期の \(\dfrac{\pi}{4}+2\pi=\dfrac{9\pi}{4}\) は範囲の端で含まれない） \(\theta=\varphi-\dfrac{\pi}{4}\) で戻すと、\(\varphi=\dfrac{\pi}{4}\) のとき \(\theta=0\)、\(\varphi=\dfrac{3\pi}{4}\) のとき \(\theta=\dfrac{\pi}{2}\) \(\theta=0,\ \dfrac{\pi}{2}\)

例題2　\(\sqrt3\sin\theta-\cos\theta=1\)（\(0\le\theta<2\pi\)）を満たす \(\theta\) をすべて求めよ。

解答を見る

\(a=\sqrt3\)、\(b=-1\) より \(r=\sqrt{3+1}=2\)、\(\cos\alpha=\dfrac{\sqrt3}{2}\)、\(\sin\alpha=-\dfrac12\) より \(\alpha=-\dfrac{\pi}{6}\)。 \(2\sin\left(\theta-\dfrac{\pi}{6}\right)=1\)　より　\(\sin\left(\theta-\dfrac{\pi}{6}\right)=\dfrac12\) \(\varphi=\theta-\dfrac{\pi}{6}\) とおく。\(0\le\theta<2\pi\) より \(-\dfrac{\pi}{6}\le\varphi<\dfrac{11\pi}{6}\) この範囲で \(\sin\varphi=\dfrac12\) を満たすのは \(\varphi=\dfrac{\pi}{6},\ \dfrac{5\pi}{6}\) \(\theta=\varphi+\dfrac{\pi}{6}\) で戻すと、\(\varphi=\dfrac{\pi}{6}\) のとき \(\theta=\dfrac{\pi}{3}\)、\(\varphi=\dfrac{5\pi}{6}\) のとき \(\theta=\pi\) \(\theta=\dfrac{\pi}{3},\ \pi\)

この単元の解き方の見分け方
手順1　式の形を見る：単純な \(\sin\theta=k\)、\(\cos\theta=k\) → STEP1・2の単位円で解く
手順2　\(\cos2\theta\) と \(\sin\theta\)（または \(\cos\theta\)）が混ざる → STEP3のおきかえで2次方程式に
手順3　\(\sin\theta\) と \(\cos\theta\) がどちらも1次で混ざる → STEP4の合成で1本のsinに
手順4　どの解き方でも、最後に求めた解が問題の角の範囲に収まっているか（2次方程式なら \(t\) が \(-1\) 以上 \(1\) 以下か）を必ず確認する

練習問題（全16問）

答えを入力して「採点」を押すと○×が出るぞ。\(\pi\) を含む答えは「π/6」のように入力（「pi/6」でもOK）。複数の解はコンマ区切り（例:「π/6,5π/6」）。不等式は範囲の両端の値をそれぞれ入力しよう。

基本（1〜6）

基本の方程式（sin）

\(\sin\theta=\dfrac{\sqrt3}{2}\)（\(0\le\theta<2\pi\)）を満たす \(\theta\) をすべて求めよ。

\(\theta=\)

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単位円でy座標が \(\dfrac{\sqrt3}{2}\) になる点は、第1象限に \(\theta=\dfrac{\pi}{3}\)、第2象限にその折り返し \(\theta=\pi-\dfrac{\pi}{3}=\dfrac{2\pi}{3}\)。 \(\theta=\dfrac{\pi}{3},\ \dfrac{2\pi}{3}\)

基本の方程式（cos）

\(\cos\theta=-\dfrac{1}{2}\)（\(0\le\theta<2\pi\)）を満たす \(\theta\) をすべて求めよ。

\(\theta=\)

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基準角は \(\cos\dfrac{\pi}{3}=\dfrac12\)。x座標が負なので第2・第3象限。第2象限：\(\theta=\pi-\dfrac{\pi}{3}=\dfrac{2\pi}{3}\)　第3象限：\(\theta=\pi+\dfrac{\pi}{3}=\dfrac{4\pi}{3}\) \(\theta=\dfrac{2\pi}{3},\ \dfrac{4\pi}{3}\)

基本の方程式（tan）

\(\tan\theta=1\)（\(0\le\theta<2\pi\)）を満たす \(\theta\) をすべて求めよ。

\(\theta=\)

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\(\tan\theta=1\) の基本の角は \(\theta=\dfrac{\pi}{4}\)。\(\tan\) の周期は \(\pi\) なので、\(0\le\theta<2\pi\) の範囲にはもう1つ \(\theta=\dfrac{\pi}{4}+\pi=\dfrac{5\pi}{4}\) がある。 \(\theta=\dfrac{\pi}{4},\ \dfrac{5\pi}{4}\)

基本の不等式（sin＞）

\(\sin\theta>\dfrac12\)（\(0\le\theta<2\pi\)）を満たす \(\theta\) の範囲を求めよ。

\(<\theta<\)

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境界：\(\sin\theta=\dfrac12\) より \(\theta=\dfrac{\pi}{6},\ \dfrac{5\pi}{6}\)。代表点 \(\theta=\dfrac{\pi}{2}\) を代入すると \(\sin\dfrac{\pi}{2}=1>\dfrac12\) で成り立つので、境界の間が解。 \(\dfrac{\pi}{6}<\theta<\dfrac{5\pi}{6}\)

基本の不等式（cos＜負の値）

\(\cos\theta<-\dfrac12\)（\(0\le\theta<2\pi\)）を満たす \(\theta\) の範囲を求めよ。

\(<\theta<\)

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境界：\(\cos\theta=-\dfrac12\) より \(\theta=\dfrac{2\pi}{3},\ \dfrac{4\pi}{3}\)。代表点 \(\theta=\pi\) を代入すると \(\cos\pi=-1<-\dfrac12\) で成り立つので、境界の間が解。 \(\dfrac{2\pi}{3}<\theta<\dfrac{4\pi}{3}\)

基本の不等式（sin≧・境界を含む）

\(\sin\theta\ge\dfrac{\sqrt2}{2}\)（\(0\le\theta<2\pi\)）を満たす \(\theta\) の範囲を求めよ。

\(\le\theta\le\)

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境界：\(\sin\theta=\dfrac{\sqrt2}{2}\) より \(\theta=\dfrac{\pi}{4},\ \dfrac{3\pi}{4}\)。代表点 \(\theta=\dfrac{\pi}{2}\) を代入すると \(\sin\dfrac{\pi}{2}=1\ge\dfrac{\sqrt2}{2}\) で成り立つので、境界の間が解。不等号に等号があるので境界も含める。 \(\dfrac{\pi}{4}\le\theta\le\dfrac{3\pi}{4}\)

標準（7〜13）

2倍角のおきかえ（sin基準）

\(\cos2\theta+\sin\theta=0\)（\(0\le\theta<2\pi\)）を満たす \(\theta\) をすべて求めよ。小さい順にコンマ区切りで入力せよ。

\(\theta=\)

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\(\cos2\theta=1-2\sin^2\theta\) を代入する。 \(1-2\sin^2\theta+\sin\theta=0\) \(-2\sin^2\theta+\sin\theta+1=0\) 両辺に \(-1\) をかけて \(2\sin^2\theta-\sin\theta-1=0\) \((2\sin\theta+1)(\sin\theta-1)=0\) \(\sin\theta=-\dfrac12\) または \(\sin\theta=1\)（どちらも \(-1\le t\le1\) に収まるので有効） \(\sin\theta=-\dfrac12\)（\(0\le\theta<2\pi\)）を満たすのは \(\theta=\dfrac{7\pi}{6},\ \dfrac{11\pi}{6}\) \(\sin\theta=1\) を満たすのは \(\theta=\dfrac{\pi}{2}\) \(\theta=\dfrac{\pi}{2},\ \dfrac{7\pi}{6},\ \dfrac{11\pi}{6}\)

合成を使う方程式

\(\sin\theta-\sqrt3\cos\theta=1\)（\(0\le\theta<2\pi\)）を満たす \(\theta\) をすべて求めよ。

\(\theta=\)

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\(a=1\)、\(b=-\sqrt3\) より \(r=\sqrt{1+3}=2\)、\(\cos\alpha=\dfrac12\)、\(\sin\alpha=-\dfrac{\sqrt3}{2}\) より \(\alpha=-\dfrac{\pi}{3}\)。 \(2\sin\left(\theta-\dfrac{\pi}{3}\right)=1\)　より　\(\sin\left(\theta-\dfrac{\pi}{3}\right)=\dfrac12\) \(\varphi=\theta-\dfrac{\pi}{3}\) とおく。\(0\le\theta<2\pi\) より \(-\dfrac{\pi}{3}\le\varphi<\dfrac{5\pi}{3}\) この範囲で \(\sin\varphi=\dfrac12\) を満たすのは \(\varphi=\dfrac{\pi}{6},\ \dfrac{5\pi}{6}\) \(\theta=\varphi+\dfrac{\pi}{3}\) で戻すと、\(\theta=\dfrac{\pi}{2},\ \dfrac{7\pi}{6}\) \(\theta=\dfrac{\pi}{2},\ \dfrac{7\pi}{6}\)

範囲を工夫すると1本にまとまる不等式

\(\cos\theta>\dfrac12\)（\(-\pi<\theta\le\pi\)）を満たす \(\theta\) の範囲を求めよ。

\(<\theta<\)

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境界：\(\cos\theta=\dfrac12\) を \(-\pi<\theta\le\pi\) の範囲で解くと \(\theta=\pm\dfrac{\pi}{3}\)。代表点 \(\theta=0\) を代入すると \(\cos0=1>\dfrac12\) で成り立つ。\(\theta=0\) は境界 \(-\dfrac{\pi}{3}\) と \(\dfrac{\pi}{3}\) の間にあるので、その間が解。 \(-\dfrac{\pi}{3}<\theta<\dfrac{\pi}{3}\)（範囲を \(0\le\theta<2\pi\) のままにすると解が \(0\) の両側に分かれてしまうが、\(-\pi<\theta\le\pi\) のように原点をまたぐ範囲にすると1本の区間でまとまる）

合成を使う不等式

\(\sqrt3\sin\theta-\cos\theta>1\)（\(0\le\theta<2\pi\)）を満たす \(\theta\) の範囲を求めよ。

\(<\theta<\)

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\(a=\sqrt3\)、\(b=-1\) より \(r=2\)、\(\cos\alpha=\dfrac{\sqrt3}{2}\)、\(\sin\alpha=-\dfrac12\) より \(\alpha=-\dfrac{\pi}{6}\)。 \(2\sin\left(\theta-\dfrac{\pi}{6}\right)>1\)　より　\(\sin\left(\theta-\dfrac{\pi}{6}\right)>\dfrac12\) \(\varphi=\theta-\dfrac{\pi}{6}\) とおく。\(0\le\theta<2\pi\) より \(-\dfrac{\pi}{6}\le\varphi<\dfrac{11\pi}{6}\) この範囲で \(\sin\varphi>\dfrac12\) となるのは \(\dfrac{\pi}{6}<\varphi<\dfrac{5\pi}{6}\)（境界の外側の \(\varphi\) では \(\sin\varphi\le\dfrac12\) になるので、この1本の区間だけが解） \(\theta=\varphi+\dfrac{\pi}{6}\) で戻すと \(\dfrac{\pi}{3}<\theta<\pi\) \(\dfrac{\pi}{3}<\theta<\pi\)

2倍角のおきかえ（cos基準）

\(\cos2\theta+\cos\theta=0\)（\(0\le\theta<2\pi\)）を満たす \(\theta\) をすべて求めよ。小さい順にコンマ区切りで入力せよ。

\(\theta=\)

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\(\cos2\theta=2\cos^2\theta-1\) を代入する。 \(2\cos^2\theta-1+\cos\theta=0\) \(2\cos^2\theta+\cos\theta-1=0\) \((2\cos\theta-1)(\cos\theta+1)=0\) \(\cos\theta=\dfrac12\) または \(\cos\theta=-1\)（どちらも \(-1\le t\le1\) に収まるので有効） \(\cos\theta=\dfrac12\)（\(0\le\theta<2\pi\)）を満たすのは \(\theta=\dfrac{\pi}{3},\ \dfrac{5\pi}{3}\) \(\cos\theta=-1\) を満たすのは \(\theta=\pi\) \(\theta=\dfrac{\pi}{3},\ \pi,\ \dfrac{5\pi}{3}\)

合成を使う方程式（右辺が負）

\(\sin\theta+\sqrt3\cos\theta=-1\)（\(0\le\theta<2\pi\)）を満たす \(\theta\) をすべて求めよ。

\(\theta=\)

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\(a=1\)、\(b=\sqrt3\) より \(r=2\)、\(\cos\alpha=\dfrac12\)、\(\sin\alpha=\dfrac{\sqrt3}{2}\) より \(\alpha=\dfrac{\pi}{3}\)。 \(2\sin\left(\theta+\dfrac{\pi}{3}\right)=-1\)　より　\(\sin\left(\theta+\dfrac{\pi}{3}\right)=-\dfrac12\) \(\varphi=\theta+\dfrac{\pi}{3}\) とおく。\(0\le\theta<2\pi\) より \(\dfrac{\pi}{3}\le\varphi<\dfrac{7\pi}{3}\) この範囲で \(\sin\varphi=-\dfrac12\) を満たすのは \(\varphi=\dfrac{7\pi}{6},\ \dfrac{11\pi}{6}\) \(\theta=\varphi-\dfrac{\pi}{3}\) で戻すと、\(\varphi=\dfrac{7\pi}{6}\) のとき \(\theta=\dfrac{5\pi}{6}\)、\(\varphi=\dfrac{11\pi}{6}\) のとき \(\theta=\dfrac{3\pi}{2}\) \(\theta=\dfrac{5\pi}{6},\ \dfrac{3\pi}{2}\)

因数分解を使う不等式

\(\sin2\theta>\sin\theta\)（\(0<\theta<\pi\)）を満たす \(\theta\) の範囲を求めよ。

\(<\theta<\)

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\(\sin2\theta=2\sin\theta\cos\theta\) を使って移項する。 \(2\sin\theta\cos\theta-\sin\theta>0\) \(\sin\theta(2\cos\theta-1)>0\) \(0<\theta<\pi\) の範囲では \(\sin\theta>0\) が常に成り立つので、不等式全体の符号は \((2\cos\theta-1)\) の符号だけで決まる。 \(2\cos\theta-1>0\) より \(\cos\theta>\dfrac12\)、これを \(0<\theta<\pi\) の範囲で解くと \(0<\theta<\dfrac{\pi}{3}\)。 \(0<\theta<\dfrac{\pi}{3}\)

挑戦（14〜16）

範囲が2つに分かれる不等式（θ=0またぎ）

\(2\cos\theta-1>0\)（\(0\le\theta<2\pi\)）を満たす \(\theta\) の範囲を求めよ。下のように2つの区間に分けて答えよ。

\(0\le\theta<\) 　または　 \(<\theta<2\pi\)

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\(\cos\theta>\dfrac12\) の形に直す。境界：\(\cos\theta=\dfrac12\) より \(\theta=\dfrac{\pi}{3},\ \dfrac{5\pi}{3}\)。代表点 \(\theta=0\) を代入すると \(\cos0=1>\dfrac12\) で成り立つ。\(\theta=0\) を含む側の弧が解なので、\(0\) の周り（\(\dfrac{\pi}{3}\) より手前と \(\dfrac{5\pi}{3}\) より奥）が解になる。\(0\le\theta<2\pi\) の範囲でそのまま書こうとすると、解が \(\theta=0\) の両側にまたがってしまうので、2つの区間に分けて書く。 \(0\le\theta<\dfrac{\pi}{3}\)　または　\(\dfrac{5\pi}{3}<\theta<2\pi\)

共通因数でくくる方程式（解が4つ）

\(2\sin^2\theta+\cos\theta-2=0\)（\(0\le\theta<2\pi\)）を満たす \(\theta\) をすべて求めよ。小さい順にコンマ区切りで入力せよ。

\(\theta=\)

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\(\sin^2\theta=1-\cos^2\theta\) を代入して \(\cos\theta\) だけの式にする。 \(2(1-\cos^2\theta)+\cos\theta-2=0\) \(2-2\cos^2\theta+\cos\theta-2=0\) \(-2\cos^2\theta+\cos\theta=0\) \(\cos\theta(-2\cos\theta+1)=0\) \(\cos\theta=0\) または \(\cos\theta=\dfrac12\) \(\cos\theta=0\)（\(0\le\theta<2\pi\)）を満たすのは \(\theta=\dfrac{\pi}{2},\ \dfrac{3\pi}{2}\) \(\cos\theta=\dfrac12\) を満たすのは \(\theta=\dfrac{\pi}{3},\ \dfrac{5\pi}{3}\) 小さい順に並べると \(\theta=\dfrac{\pi}{3},\ \dfrac{\pi}{2},\ \dfrac{3\pi}{2},\ \dfrac{5\pi}{3}\)

合成を使う方程式（cos−sin型）

\(\cos\theta-\sin\theta=-1\)（\(0\le\theta<2\pi\)）を満たす \(\theta\) をすべて求めよ。

\(\theta=\)

解説を見る

\(\sin\theta\) の係数 \(a=-1\)、\(\cos\theta\) の係数 \(b=1\) より \(r=\sqrt{1+1}=\sqrt2\)、\(\cos\alpha=-\dfrac{1}{\sqrt2}\)、\(\sin\alpha=\dfrac{1}{\sqrt2}\)（第2象限）より \(\alpha=\dfrac{3\pi}{4}\)。 \(\sqrt2\sin\left(\theta+\dfrac{3\pi}{4}\right)=-1\)　より　\(\sin\left(\theta+\dfrac{3\pi}{4}\right)=-\dfrac{1}{\sqrt2}=-\dfrac{\sqrt2}{2}\) \(\varphi=\theta+\dfrac{3\pi}{4}\) とおく。\(0\le\theta<2\pi\) より \(\dfrac{3\pi}{4}\le\varphi<\dfrac{11\pi}{4}\) この範囲で \(\sin\varphi=-\dfrac{\sqrt2}{2}\) を満たすのは \(\varphi=\dfrac{5\pi}{4},\ \dfrac{7\pi}{4}\) \(\theta=\varphi-\dfrac{3\pi}{4}\) で戻すと、\(\varphi=\dfrac{5\pi}{4}\) のとき \(\theta=\dfrac{\pi}{2}\)、\(\varphi=\dfrac{7\pi}{4}\) のとき \(\theta=\pi\) \(\theta=\dfrac{\pi}{2},\ \pi\)

応用問題（プリント限定）

ここから先はPDF限定の腕試し。解の個数を数える問題と、合成×不等式の組み合わせで、入試の基礎レベルに挑戦しよう。

応1

解の個数（定数aとの交点）

方程式 \(\sin\theta=a\)（\(0\le\theta<2\pi\)）が異なる2つの実数解をもつような、定数 \(a\) の値の範囲を求めよ。

\(<a<\)

解説を見る

\(y=\sin\theta\)（\(0\le\theta<2\pi\)）のグラフと、横の直線 \(y=a\) の交点の個数を考える。 \(a=1\) のとき：交点は \(\theta=\dfrac{\pi}{2}\) の1つだけ（山の頂点にちょうど接する）。 \(a=-1\) のとき：交点は \(\theta=\dfrac{3\pi}{2}\) の1つだけ（谷の底にちょうど接する）。 \(-1<a<1\) のとき：直線はグラフの山（または谷）の途中を横切るので、交点はつねに2つ（\(a=0\) のときも \(\theta=0,\ \pi\) の2つになる）。 \(|a|>1\) のとき：直線がグラフの範囲（\(-1\le y\le1\)）の外なので交点なし。 \(-1<a<1\)

応2

解の個数（範囲を絞ると必ず1つ）

方程式 \(\cos\theta=a\)（\(0\le\theta\le\pi\)）がただ1つの実数解をもつような、定数 \(a\) の値の範囲を求めよ。

\(\le a\le\)

解説を見る

\(y=\cos\theta\) は \(0\le\theta\le\pi\) の範囲で \(1\) から \(-1\) までずっと減少し続ける（山や谷を作らない、単調に減るだけのグラフ）。このように増減が1方向しかないグラフでは、横の直線 \(y=a\) との交点は「1本の坂」に対して多くても1つしかできない。したがって \(-1\le a\le1\) の範囲であれば、その値に対応する \(\theta\) がただ1つに決まる（\(|a|>1\) なら交点はなく解なし）。応1のように「山」や「谷」を含む範囲では交点が2つできることがあるが、この問題のように単調に増減するだけの範囲を選べば、交点は必ず1つになる。 \(-1\le a\le1\)

応3

合成×不等式（範囲の制限あり）

\(\sin\theta+\cos\theta\ge1\)（\(0\le\theta\le\pi\)）を満たす \(\theta\) の範囲を求めよ。

\(\le\theta\le\)

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\(\sin\theta+\cos\theta=\sqrt2\sin\left(\theta+\dfrac{\pi}{4}\right)\) なので、不等式は \(\sqrt2\sin\left(\theta+\dfrac{\pi}{4}\right)\ge1\)　つまり　\(\sin\left(\theta+\dfrac{\pi}{4}\right)\ge\dfrac{\sqrt2}{2}\) \(\varphi=\theta+\dfrac{\pi}{4}\) とおく。\(0\le\theta\le\pi\) より \(\dfrac{\pi}{4}\le\varphi\le\dfrac{5\pi}{4}\) この範囲で \(\sin\varphi\ge\dfrac{\sqrt2}{2}\) となるのは \(\dfrac{\pi}{4}\le\varphi\le\dfrac{3\pi}{4}\)（\(\varphi\) が \(\dfrac{3\pi}{4}\) を超えると \(\sin\varphi\) は \(\dfrac{\sqrt2}{2}\) を下回り、その後 \(\dfrac{5\pi}{4}\) まで戻ってこない） \(\theta=\varphi-\dfrac{\pi}{4}\) で戻すと \(0\le\theta\le\dfrac{\pi}{2}\) \(0\le\theta\le\dfrac{\pi}{2}\)

応4

合成×不等式（rが4で範囲がつながる）

\(2\sin\theta+2\sqrt3\cos\theta\le2\)（\(0\le\theta<2\pi\)）を満たす \(\theta\) の範囲を求めよ。

\(\le\theta\le\)

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\(a=2\)、\(b=2\sqrt3\) より \(r=\sqrt{4+12}=4\)、\(\cos\alpha=\dfrac12\)、\(\sin\alpha=\dfrac{\sqrt3}{2}\) より \(\alpha=\dfrac{\pi}{3}\)。 \(4\sin\left(\theta+\dfrac{\pi}{3}\right)\le2\)　より　\(\sin\left(\theta+\dfrac{\pi}{3}\right)\le\dfrac12\) \(\varphi=\theta+\dfrac{\pi}{3}\) とおく。\(0\le\theta<2\pi\) より \(\dfrac{\pi}{3}\le\varphi<\dfrac{7\pi}{3}\) この範囲で \(\sin\varphi>\dfrac12\)（不等式を満たさない側）となるのは \(\dfrac{\pi}{3}\le\varphi<\dfrac{5\pi}{6}\) と \(\dfrac{13\pi}{6}<\varphi<\dfrac{7\pi}{3}\) の2か所（範囲の両端にまたがる形で分かれている）。残りの \(\dfrac{5\pi}{6}\le\varphi\le\dfrac{13\pi}{6}\) が \(\sin\varphi\le\dfrac12\) を満たす部分で、こちらは1本につながっている。 \(\theta=\varphi-\dfrac{\pi}{3}\) で戻すと \(\dfrac{\pi}{2}\le\theta\le\dfrac{11\pi}{6}\) \(\dfrac{\pi}{2}\le\theta\le\dfrac{11\pi}{6}\)

応5

合成×解の個数（総まとめ）

方程式 \(2\sin\theta+2\sqrt3\cos\theta=a\)（\(0\le\theta<2\pi\)）が異なる2つの実数解をもつような、定数 \(a\) の値の範囲を求めよ。

\(<a<\)

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応4と同じ合成を使うと \(2\sin\theta+2\sqrt3\cos\theta=4\sin\left(\theta+\dfrac{\pi}{3}\right)\)。方程式は \(4\sin\left(\theta+\dfrac{\pi}{3}\right)=a\)　つまり　\(\sin\left(\theta+\dfrac{\pi}{3}\right)=\dfrac{a}{4}\) \(\varphi=\theta+\dfrac{\pi}{3}\) は \(\theta\) が \(0\le\theta<2\pi\) を動くとき、幅がちょうど \(2\pi\)（1周期分）の範囲を動く。応1で確認したとおり、\(\sin\varphi=k\) の形の方程式は、\(k\) がグラフの山・谷の頂点の値（\(\pm1\)）にちょうど一致するときだけ解が1つになり、それ以外の \(-1<k<1\) では（範囲の取り方によらず）つねに解が2つになる。したがって解が2つになるのは \(-1<\dfrac{a}{4}<1\) のとき。両辺に4をかけて \(-4<a<4\)