加法定理

解説＋ドリル全18問・自動採点つき

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STEP 1

加法定理ってなに？

\(\sin(\alpha+\beta)\) や \(\cos(\alpha-\beta)\) のように、2つの角の和・差の三角比を、それぞれの角の \(\sin\)・\(\cos\)・\(\tan\) だけを使って表す公式が「加法定理」。三角関数の中でいちばん応用範囲が広い公式なので、丸暗記ではなく形をしっかり体に入れよう。

加法定理（6本セット）
\(\sin(\alpha+\beta) = \sin\alpha\cos\beta + \cos\alpha\sin\beta\)
\(\sin(\alpha-\beta) = \sin\alpha\cos\beta - \cos\alpha\sin\beta\)
\(\cos(\alpha+\beta) = \cos\alpha\cos\beta - \sin\alpha\sin\beta\)
\(\cos(\alpha-\beta) = \cos\alpha\cos\beta + \sin\alpha\sin\beta\)
\(\tan(\alpha+\beta) = \dfrac{\tan\alpha+\tan\beta}{1-\tan\alpha\tan\beta}\)
\(\tan(\alpha-\beta) = \dfrac{\tan\alpha-\tan\beta}{1+\tan\alpha\tan\beta}\)

覚え方のコツ：\(\cos\) は符号が入れ替わる（\(\cos\alpha\cos\beta \mp \sin\alpha\sin\beta\)）、\(\sin\) は符号がそのまま（\(\sin\alpha\cos\beta \pm \cos\alpha\sin\beta\)）。まずは \(\cos(\alpha-\beta)\) だけを単位円で証明し、残りはそこから芋づる式に導く。

証明の概略（単位円上の距離を2通りに測る）

\(P(\cos\alpha,\ \sin\alpha)\)、\(Q(\cos\beta,\ \sin\beta)\) はどちらも原点中心・半径1の単位円上の点。線分PQの長さの2乗 \(PQ^2\) を2通りの方法で計算する。

方法1（座標の距離公式）
\(PQ^2 = (\cos\alpha-\cos\beta)^2 + (\sin\alpha-\sin\beta)^2\)
\(= \cos^2\alpha - 2\cos\alpha\cos\beta + \cos^2\beta + \sin^2\alpha - 2\sin\alpha\sin\beta + \sin^2\beta\)
\(= (\cos^2\alpha+\sin^2\alpha) + (\cos^2\beta+\sin^2\beta) - 2(\cos\alpha\cos\beta+\sin\alpha\sin\beta)\)
\(= 2 - 2(\cos\alpha\cos\beta+\sin\alpha\sin\beta)\)

方法2（円周上の弧の中心角）
Oを中心とする半径1の扇形OPQを考えると、\(\angle POQ = \alpha-\beta\)（または \(\beta-\alpha\)。角の大きさは同じ）。この二等辺三角形OPQに余弦定理を使うと\(OP=OQ=1\)より
\(PQ^2 = 1^2+1^2-2\cdot1\cdot1\cdot\cos(\alpha-\beta) = 2-2\cos(\alpha-\beta)\)

方法1と方法2は同じ \(PQ^2\) を表すので、

\(2-2\cos(\alpha-\beta) = 2-2(\cos\alpha\cos\beta+\sin\alpha\sin\beta)\)
\(\cos(\alpha-\beta) = \cos\alpha\cos\beta+\sin\alpha\sin\beta\)

ここから他の5本を導ける。

手順1　\(\cos(\alpha+\beta) = \cos(\alpha-(-\beta)) = \cos\alpha\cos(-\beta)+\sin\alpha\sin(-\beta) = \cos\alpha\cos\beta-\sin\alpha\sin\beta\)（\(\cos(-\beta)=\cos\beta,\ \sin(-\beta)=-\sin\beta\) を使った）

手順2　\(\sin(\alpha+\beta) = \cos\left(\dfrac{\pi}{2}-(\alpha+\beta)\right) = \cos\left(\left(\dfrac{\pi}{2}-\alpha\right)-\beta\right) = \cos\left(\dfrac{\pi}{2}-\alpha\right)\cos\beta+\sin\left(\dfrac{\pi}{2}-\alpha\right)\sin\beta = \sin\alpha\cos\beta+\cos\alpha\sin\beta\)

手順3　\(\sin(\alpha-\beta) = \sin(\alpha+(-\beta)) = \sin\alpha\cos(-\beta)+\cos\alpha\sin(-\beta) = \sin\alpha\cos\beta-\cos\alpha\sin\beta\)

手順4　\(\tan\) は \(\tan\theta=\dfrac{\sin\theta}{\cos\theta}\) の定義から、\(\sin(\alpha+\beta)\) と \(\cos(\alpha+\beta)\) の式を分数にして、分子分母を \(\cos\alpha\cos\beta\) で割ると

\(\tan(\alpha+\beta)\) の式を導け。

解答を見る
\(\tan(\alpha+\beta) = \dfrac{\sin(\alpha+\beta)}{\cos(\alpha+\beta)} = \dfrac{\sin\alpha\cos\beta+\cos\alpha\sin\beta}{\cos\alpha\cos\beta-\sin\alpha\sin\beta}\) 分子・分母を \(\cos\alpha\cos\beta\) で割ると \(= \dfrac{\dfrac{\sin\alpha\cos\beta}{\cos\alpha\cos\beta}+\dfrac{\cos\alpha\sin\beta}{\cos\alpha\cos\beta}}{\dfrac{\cos\alpha\cos\beta}{\cos\alpha\cos\beta}-\dfrac{\sin\alpha\sin\beta}{\cos\alpha\cos\beta}} = \dfrac{\tan\alpha+\tan\beta}{1-\tan\alpha\tan\beta}\) \(\tan(\alpha+\beta) = \dfrac{\tan\alpha+\tan\beta}{1-\tan\alpha\tan\beta}\)
STEP 2

75°・15°の値を求める

加法定理の最大のご利益は、「知っている角」を足し引きして「知らない角」の三角比を求められること。\(75^\circ = 45^\circ+30^\circ\)、\(15^\circ=45^\circ-30^\circ\) と分解すれば、\(30^\circ,\ 45^\circ,\ 60^\circ\) の三角比（数Iで既習）から計算できる。

例題1　\(\sin75^\circ\) の値を求めよ。

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\(75^\circ=45^\circ+30^\circ\) とみて加法定理を使う。 \(\sin75^\circ = \sin(45^\circ+30^\circ) = \sin45^\circ\cos30^\circ+\cos45^\circ\sin30^\circ\) \(= \dfrac{\sqrt2}{2}\cdot\dfrac{\sqrt3}{2}+\dfrac{\sqrt2}{2}\cdot\dfrac{1}{2} = \dfrac{\sqrt6}{4}+\dfrac{\sqrt2}{4}\) \(\sin75^\circ = \dfrac{\sqrt6+\sqrt2}{4}\)

例題2　\(\cos15^\circ\) の値を求めよ。

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\(15^\circ=45^\circ-30^\circ\) とみて加法定理を使う。 \(\cos15^\circ = \cos(45^\circ-30^\circ) = \cos45^\circ\cos30^\circ+\sin45^\circ\sin30^\circ\) \(= \dfrac{\sqrt2}{2}\cdot\dfrac{\sqrt3}{2}+\dfrac{\sqrt2}{2}\cdot\dfrac{1}{2} = \dfrac{\sqrt6}{4}+\dfrac{\sqrt2}{4}\) \(\cos15^\circ = \dfrac{\sqrt6+\sqrt2}{4}\)
分解の選び方　\(75^\circ,\ 15^\circ,\ 105^\circ\) はどれも \(45^\circ,\ 30^\circ,\ 60^\circ\) の和か差で作れる：\(75^\circ=45^\circ+30^\circ=30^\circ+45^\circ\)、\(15^\circ=45^\circ-30^\circ\)、\(105^\circ=60^\circ+45^\circ=45^\circ+60^\circ\)。どちらの組み合わせで分解しても同じ答えになる（実際に両方試して確かめてみよう）。

例題3　\(\tan75^\circ\) の値を求めよ。

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\(\tan75^\circ = \tan(45^\circ+30^\circ) = \dfrac{\tan45^\circ+\tan30^\circ}{1-\tan45^\circ\tan30^\circ} = \dfrac{1+\dfrac{1}{\sqrt3}}{1-1\cdot\dfrac{1}{\sqrt3}}\) 分子・分母に \(\sqrt3\) をかけて整理すると \(= \dfrac{\sqrt3+1}{\sqrt3-1}\)。さらに分子・分母に \(\sqrt3+1\) をかけて分母を有理化すると \(= \dfrac{(\sqrt3+1)^2}{(\sqrt3-1)(\sqrt3+1)} = \dfrac{3+2\sqrt3+1}{3-1} = \dfrac{4+2\sqrt3}{2}\) \(\tan75^\circ = 2+\sqrt3\)
STEP 3

三角比の値から sin(α+β) を求める（符号に注意）

「\(\sin\alpha=\cdots\)、\(\alpha\) は第◯象限」のように条件が与えられたら、まず象限から \(\cos\alpha\) や \(\sin\beta\) の符号 を決めてから加法定理に代入する。符号を決めずにルートをそのまま「\(+\)」にしてしまうミスが最も多いので要注意。

符号決定の手順
手順1　\(\sin^2\theta+\cos^2\theta=1\) を使って、絶対値だけを先に求める
手順2　角がどの象限にあるかを確認し、その象限での \(\sin,\ \cos\) の符号（第1象限は両方＋、第2象限は\(\sin\)のみ＋、第3象限は両方－、第4象限は\(\cos\)のみ＋）をつける
手順3　加法定理の式に代入して計算する

例題　\(\sin\alpha=\dfrac{4}{5}\)（\(90^\circ < \alpha < 180^\circ\)）、\(\cos\beta=\dfrac{5}{13}\)（\(0^\circ < \beta < 90^\circ\)）のとき、\(\sin(\alpha+\beta)\) と \(\cos(\alpha+\beta)\) を求めよ。

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\(\alpha\) は第2象限（\(90^\circ\)〜\(180^\circ\)）なので \(\cos\alpha < 0\)。 \(\cos^2\alpha = 1-\sin^2\alpha = 1-\dfrac{16}{25}=\dfrac{9}{25}\)、よって \(\cos\alpha=-\dfrac{3}{5}\)。 \(\beta\) は第1象限（\(0^\circ\)〜\(90^\circ\)）なので \(\sin\beta > 0\)。 \(\sin^2\beta = 1-\cos^2\beta = 1-\dfrac{25}{169}=\dfrac{144}{169}\)、よって \(\sin\beta=\dfrac{12}{13}\)。 加法定理に代入する。 \(\sin(\alpha+\beta) = \sin\alpha\cos\beta+\cos\alpha\sin\beta = \dfrac{4}{5}\cdot\dfrac{5}{13}+\left(-\dfrac{3}{5}\right)\cdot\dfrac{12}{13} = \dfrac{20}{65}-\dfrac{36}{65}=-\dfrac{16}{65}\) \(\cos(\alpha+\beta) = \cos\alpha\cos\beta-\sin\alpha\sin\beta = \left(-\dfrac{3}{5}\right)\cdot\dfrac{5}{13}-\dfrac{4}{5}\cdot\dfrac{12}{13} = -\dfrac{15}{65}-\dfrac{48}{65}=-\dfrac{63}{65}\) \(\sin(\alpha+\beta)=-\dfrac{16}{65}\)、\(\cos(\alpha+\beta)=-\dfrac{63}{65}\)
注意　\(\cos\alpha\) を求めるとき \(\cos\alpha=\pm\dfrac{3}{5}\) の2通りが出るが、象限の条件で符号は必ず1つに決まる。「両方の場合を答える」のは誤り（条件で角の範囲が指定されているときは答えは1通り）。
STEP 4

2直線のなす角

傾き \(m\) の直線は、x軸の正の向きとの角を \(\theta\) とすると \(m=\tan\theta\) と表せる（数Iで既習）。2直線の傾きがそれぞれ \(m_1=\tan\alpha,\ m_2=\tan\beta\) のとき、2直線のなす角 \(\theta=\alpha-\beta\) の正接は加法定理からすぐ求まる。

2直線のなす角の公式
2直線の傾きを \(m_1,\ m_2\) とすると、なす角 \(\theta\)（\(0^\circ < \theta < 90^\circ\)）は \(\tan\theta = \left|\dfrac{m_1-m_2}{1+m_1m_2}\right|\) で求まる（絶対値をつけるのは、鋭角の方を答えとして求めるため）。\(1+m_1m_2=0\) のときは2直線は垂直（\(\theta=90^\circ\)）。

例題　2直線 \(y=3x\)、\(y=\dfrac{1}{2}x\) のなす角 \(\theta\)（\(0^\circ < \theta < 90^\circ\)）を求めよ。

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それぞれの直線のx軸との傾き角を \(\alpha,\ \beta\) とすると \(\tan\alpha=3,\ \tan\beta=\dfrac{1}{2}\)。 \(\tan(\alpha-\beta) = \dfrac{\tan\alpha-\tan\beta}{1+\tan\alpha\tan\beta} = \dfrac{3-\dfrac{1}{2}}{1+3\cdot\dfrac{1}{2}} = \dfrac{\dfrac{5}{2}}{\dfrac{5}{2}} = 1\) \(\tan(\alpha-\beta)=1\) で \(0^\circ < \alpha-\beta < 90^\circ\) の範囲だから \(\alpha-\beta=45^\circ\)。 \(\theta=45^\circ\)
練習問題（全18問）

答えを入力して「採点」を押すと○×が出るぞ。根号は「√6」でも「sqrt6」でもOK。分数は「-1/2」のように入力。
わからないときは「解説を見る」で解き方を確認しよう。

基本（1〜8）
1
75°＝45°+30°

\(\sin75^\circ\) の値を求めよ。

\(\sin75^\circ=\)
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\(\sin75^\circ = \sin(45^\circ+30^\circ) = \sin45^\circ\cos30^\circ+\cos45^\circ\sin30^\circ = \dfrac{\sqrt2}{2}\cdot\dfrac{\sqrt3}{2}+\dfrac{\sqrt2}{2}\cdot\dfrac{1}{2} = \dfrac{\sqrt6}{4}+\dfrac{\sqrt2}{4}\) \(\sin75^\circ = \dfrac{\sqrt6+\sqrt2}{4}\)
2
75°＝45°+30°

\(\cos75^\circ\) の値を求めよ。

\(\cos75^\circ=\)
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\(\cos75^\circ = \cos(45^\circ+30^\circ) = \cos45^\circ\cos30^\circ-\sin45^\circ\sin30^\circ = \dfrac{\sqrt2}{2}\cdot\dfrac{\sqrt3}{2}-\dfrac{\sqrt2}{2}\cdot\dfrac{1}{2} = \dfrac{\sqrt6}{4}-\dfrac{\sqrt2}{4}\) \(\cos75^\circ = \dfrac{\sqrt6-\sqrt2}{4}\)
3
75°＝45°+30°

\(\tan75^\circ\) の値を求めよ。

\(\tan75^\circ=\)
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\(\tan75^\circ = \dfrac{\tan45^\circ+\tan30^\circ}{1-\tan45^\circ\tan30^\circ} = \dfrac{1+\dfrac{1}{\sqrt3}}{1-\dfrac{1}{\sqrt3}} = \dfrac{\sqrt3+1}{\sqrt3-1}\) 分母を有理化すると \(= \dfrac{(\sqrt3+1)^2}{(\sqrt3-1)(\sqrt3+1)} = \dfrac{4+2\sqrt3}{2}\) \(\tan75^\circ = 2+\sqrt3\)
4
15°＝45°−30°

\(\sin15^\circ\) の値を求めよ。

\(\sin15^\circ=\)
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\(\sin15^\circ = \sin(45^\circ-30^\circ) = \sin45^\circ\cos30^\circ-\cos45^\circ\sin30^\circ = \dfrac{\sqrt2}{2}\cdot\dfrac{\sqrt3}{2}-\dfrac{\sqrt2}{2}\cdot\dfrac{1}{2} = \dfrac{\sqrt6}{4}-\dfrac{\sqrt2}{4}\) \(\sin15^\circ = \dfrac{\sqrt6-\sqrt2}{4}\)
5
15°＝45°−30°

\(\cos15^\circ\) の値を求めよ。

\(\cos15^\circ=\)
解説を見る
\(\cos15^\circ = \cos(45^\circ-30^\circ) = \cos45^\circ\cos30^\circ+\sin45^\circ\sin30^\circ = \dfrac{\sqrt2}{2}\cdot\dfrac{\sqrt3}{2}+\dfrac{\sqrt2}{2}\cdot\dfrac{1}{2} = \dfrac{\sqrt6}{4}+\dfrac{\sqrt2}{4}\) \(\cos15^\circ = \dfrac{\sqrt6+\sqrt2}{4}\)
6
15°＝45°−30°

\(\tan15^\circ\) の値を求めよ。

\(\tan15^\circ=\)
解説を見る
\(\tan15^\circ = \dfrac{\tan45^\circ-\tan30^\circ}{1+\tan45^\circ\tan30^\circ} = \dfrac{1-\dfrac{1}{\sqrt3}}{1+\dfrac{1}{\sqrt3}} = \dfrac{\sqrt3-1}{\sqrt3+1}\) 分母を有理化すると \(= \dfrac{(\sqrt3-1)^2}{(\sqrt3+1)(\sqrt3-1)} = \dfrac{4-2\sqrt3}{2}\) \(\tan15^\circ = 2-\sqrt3\)
7
105°＝60°+45°

\(\sin105^\circ\) の値を求めよ。

\(\sin105^\circ=\)
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\(\sin105^\circ = \sin(60^\circ+45^\circ) = \sin60^\circ\cos45^\circ+\cos60^\circ\sin45^\circ = \dfrac{\sqrt3}{2}\cdot\dfrac{\sqrt2}{2}+\dfrac{1}{2}\cdot\dfrac{\sqrt2}{2} = \dfrac{\sqrt6}{4}+\dfrac{\sqrt2}{4}\) （\(105^\circ=180^\circ-75^\circ\) より \(\sin105^\circ=\sin75^\circ\) となることでも確かめられる） \(\sin105^\circ = \dfrac{\sqrt6+\sqrt2}{4}\)
8
105°＝60°+45°

\(\cos105^\circ\) の値を求めよ。

\(\cos105^\circ=\)
解説を見る
\(\cos105^\circ = \cos(60^\circ+45^\circ) = \cos60^\circ\cos45^\circ-\sin60^\circ\sin45^\circ = \dfrac{1}{2}\cdot\dfrac{\sqrt2}{2}-\dfrac{\sqrt3}{2}\cdot\dfrac{\sqrt2}{2} = \dfrac{\sqrt2}{4}-\dfrac{\sqrt6}{4}\) \(\cos105^\circ = \dfrac{\sqrt2-\sqrt6}{4}\)（負の値。105°は鈍角なのでcosが負になるのは自然）
標準（9〜14）　※象限は自分で判定
9

\(\sin\alpha=\dfrac{3}{5}\)（\(0^\circ < \alpha < 90^\circ\)）、\(\cos\beta=\dfrac{4}{5}\)（\(0^\circ < \beta < 90^\circ\)）のとき、\(\sin(\alpha+\beta)\)、\(\cos(\alpha+\beta)\) を求めよ。

\(\sin(\alpha+\beta)=\) 　\(\cos(\alpha+\beta)=\)
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\(\alpha,\ \beta\) はどちらも第1象限なので \(\cos\alpha,\ \sin\beta\) はともに正。 \(\cos\alpha=\sqrt{1-\dfrac{9}{25}}=\dfrac{4}{5}\)、\(\sin\beta=\sqrt{1-\dfrac{16}{25}}=\dfrac{3}{5}\) \(\sin(\alpha+\beta)=\sin\alpha\cos\beta+\cos\alpha\sin\beta=\dfrac{3}{5}\cdot\dfrac{4}{5}+\dfrac{4}{5}\cdot\dfrac{3}{5}=\dfrac{12}{25}+\dfrac{12}{25}=\dfrac{24}{25}\) \(\cos(\alpha+\beta)=\cos\alpha\cos\beta-\sin\alpha\sin\beta=\dfrac{4}{5}\cdot\dfrac{4}{5}-\dfrac{3}{5}\cdot\dfrac{3}{5}=\dfrac{16}{25}-\dfrac{9}{25}=\dfrac{7}{25}\) \(\sin(\alpha+\beta)=\dfrac{24}{25}\)、\(\cos(\alpha+\beta)=\dfrac{7}{25}\)
10

\(\sin\alpha=\dfrac{4}{5}\)（\(90^\circ < \alpha < 180^\circ\)）、\(\sin\beta=\dfrac{5}{13}\)（\(0^\circ < \beta < 90^\circ\)）のとき、\(\sin(\alpha+\beta)\)、\(\cos(\alpha+\beta)\) を求めよ。

\(\sin(\alpha+\beta)=\) 　\(\cos(\alpha+\beta)=\)
解説を見る
\(\alpha\) は第2象限なので \(\cos\alpha < 0\)：\(\cos\alpha=-\sqrt{1-\dfrac{16}{25}}=-\dfrac{3}{5}\) \(\beta\) は第1象限なので \(\cos\beta > 0\)：\(\cos\beta=\sqrt{1-\dfrac{25}{169}}=\dfrac{12}{13}\) \(\sin(\alpha+\beta)=\dfrac{4}{5}\cdot\dfrac{12}{13}+\left(-\dfrac{3}{5}\right)\cdot\dfrac{5}{13}=\dfrac{48}{65}-\dfrac{15}{65}=\dfrac{33}{65}\) \(\cos(\alpha+\beta)=\left(-\dfrac{3}{5}\right)\cdot\dfrac{12}{13}-\dfrac{4}{5}\cdot\dfrac{5}{13}=-\dfrac{36}{65}-\dfrac{20}{65}=-\dfrac{56}{65}\) \(\sin(\alpha+\beta)=\dfrac{33}{65}\)、\(\cos(\alpha+\beta)=-\dfrac{56}{65}\)
11

\(\cos\alpha=-\dfrac{5}{13}\)（\(90^\circ < \alpha < 180^\circ\)）、\(\sin\beta=-\dfrac{3}{5}\)（\(180^\circ < \beta < 270^\circ\)）のとき、\(\sin(\alpha-\beta)\)、\(\cos(\alpha-\beta)\) を求めよ。

\(\sin(\alpha-\beta)=\) 　\(\cos(\alpha-\beta)=\)
解説を見る
\(\alpha\) は第2象限なので \(\sin\alpha > 0\)：\(\sin\alpha=\sqrt{1-\dfrac{25}{169}}=\dfrac{12}{13}\) \(\beta\) は第3象限なので \(\cos\beta < 0\)：\(\cos\beta=-\sqrt{1-\dfrac{9}{25}}=-\dfrac{4}{5}\) \(\sin(\alpha-\beta)=\sin\alpha\cos\beta-\cos\alpha\sin\beta=\dfrac{12}{13}\cdot\left(-\dfrac{4}{5}\right)-\left(-\dfrac{5}{13}\right)\cdot\left(-\dfrac{3}{5}\right)=-\dfrac{48}{65}-\dfrac{15}{65}=-\dfrac{63}{65}\) \(\cos(\alpha-\beta)=\cos\alpha\cos\beta+\sin\alpha\sin\beta=\left(-\dfrac{5}{13}\right)\left(-\dfrac{4}{5}\right)+\dfrac{12}{13}\cdot\left(-\dfrac{3}{5}\right)=\dfrac{20}{65}-\dfrac{36}{65}=-\dfrac{16}{65}\) \(\sin(\alpha-\beta)=-\dfrac{63}{65}\)、\(\cos(\alpha-\beta)=-\dfrac{16}{65}\)
12

\(\tan\alpha=3\)（\(0^\circ < \alpha < 90^\circ\)）、\(\tan\beta=\dfrac{1}{7}\)（\(0^\circ < \beta < 90^\circ\)）のとき、\(\tan(\alpha+\beta)\) を求めよ。

\(\tan(\alpha+\beta)=\)
解説を見る
\(\tan(\alpha+\beta)=\dfrac{\tan\alpha+\tan\beta}{1-\tan\alpha\tan\beta}=\dfrac{3+\dfrac{1}{7}}{1-3\cdot\dfrac{1}{7}}=\dfrac{\dfrac{22}{7}}{\dfrac{4}{7}}=\dfrac{22}{4}=\dfrac{11}{2}\) \(\tan(\alpha+\beta)=\dfrac{11}{2}\)
13

\(\tan\alpha=-\dfrac{3}{4}\)（\(90^\circ < \alpha < 180^\circ\)）、\(\tan\beta=2\)（\(0^\circ < \beta < 90^\circ\)）のとき、\(\tan(\alpha+\beta)\) を求めよ。

\(\tan(\alpha+\beta)=\)
解説を見る
象限の条件は\(\tan\)の値そのものには影響しない（\(\tan\)の加法定理は\(\tan\alpha,\tan\beta\)の値だけで計算できる）。 \(\tan(\alpha+\beta)=\dfrac{\tan\alpha+\tan\beta}{1-\tan\alpha\tan\beta}=\dfrac{-\dfrac{3}{4}+2}{1-\left(-\dfrac{3}{4}\right)\cdot2}=\dfrac{\dfrac{5}{4}}{1+\dfrac{3}{2}}=\dfrac{\dfrac{5}{4}}{\dfrac{5}{2}}=\dfrac{5}{4}\cdot\dfrac{2}{5}=\dfrac{1}{2}\) \(\tan(\alpha+\beta)=\dfrac{1}{2}\)
14

\(\sin\alpha=\dfrac{5}{13}\)（\(0^\circ < \alpha < 90^\circ\)）、\(\tan\beta=-\dfrac{3}{4}\)（\(90^\circ < \beta < 180^\circ\)）のとき、\(\sin(\alpha+\beta)\)、\(\cos(\alpha+\beta)\) を求めよ。

\(\sin(\alpha+\beta)=\) 　\(\cos(\alpha+\beta)=\)
解説を見る
\(\alpha\) は第1象限なので \(\cos\alpha > 0\)：\(\cos\alpha=\sqrt{1-\dfrac{25}{169}}=\dfrac{12}{13}\) \(\beta\) は第2象限、\(\tan\beta=-\dfrac{3}{4} < 0\) なので \(\sin\beta > 0,\ \cos\beta < 0\)。辺の比 \(3:4:5\) を使うと \(\sin\beta=\dfrac{3}{5},\ \cos\beta=-\dfrac{4}{5}\)（符号だけ象限で決める）。 \(\sin(\alpha+\beta)=\sin\alpha\cos\beta+\cos\alpha\sin\beta=\dfrac{5}{13}\cdot\left(-\dfrac{4}{5}\right)+\dfrac{12}{13}\cdot\dfrac{3}{5}=-\dfrac{20}{65}+\dfrac{36}{65}=\dfrac{16}{65}\) \(\cos(\alpha+\beta)=\cos\alpha\cos\beta-\sin\alpha\sin\beta=\dfrac{12}{13}\cdot\left(-\dfrac{4}{5}\right)-\dfrac{5}{13}\cdot\dfrac{3}{5}=-\dfrac{48}{65}-\dfrac{15}{65}=-\dfrac{63}{65}\) \(\sin(\alpha+\beta)=\dfrac{16}{65}\)、\(\cos(\alpha+\beta)=-\dfrac{63}{65}\)
挑戦（15〜18）
15
105°＝60°+45°・tan

\(\tan105^\circ\) の値を求めよ。

\(\tan105^\circ=\)
解説を見る
\(\tan105^\circ = \tan(60^\circ+45^\circ) = \dfrac{\tan60^\circ+\tan45^\circ}{1-\tan60^\circ\tan45^\circ} = \dfrac{\sqrt3+1}{1-\sqrt3}\) 分母を有理化するため、分子・分母に \((1+\sqrt3)\) をかける。 \(= \dfrac{(\sqrt3+1)(1+\sqrt3)}{(1-\sqrt3)(1+\sqrt3)} = \dfrac{(\sqrt3+1)^2}{1-3} = \dfrac{3+2\sqrt3+1}{-2} = \dfrac{4+2\sqrt3}{-2} = -(2+\sqrt3)\) \(\tan105^\circ = -2-\sqrt3\)（105°は鈍角なのでtanが負になるのは自然。実際 \(\tan105^\circ=-\tan75^\circ\) でも確かめられる）
16
答えに根号が残るタイプ

\(\sin\alpha=\dfrac{2}{3}\)（\(0^\circ < \alpha < 90^\circ\)）、\(\cos\beta=-\dfrac{1}{3}\)（\(90^\circ < \beta < 180^\circ\)）のとき、\(\sin(\alpha+\beta)\) を求めよ。

\(\sin(\alpha+\beta)=\)
解説を見る
\(\alpha\) は第1象限なので \(\cos\alpha > 0\)：\(\cos\alpha=\sqrt{1-\dfrac{4}{9}}=\sqrt{\dfrac{5}{9}}=\dfrac{\sqrt5}{3}\) \(\beta\) は第2象限なので \(\sin\beta > 0\)：\(\sin\beta=\sqrt{1-\dfrac{1}{9}}=\sqrt{\dfrac{8}{9}}=\dfrac{2\sqrt2}{3}\) \(\sin(\alpha+\beta)=\sin\alpha\cos\beta+\cos\alpha\sin\beta=\dfrac{2}{3}\cdot\left(-\dfrac{1}{3}\right)+\dfrac{\sqrt5}{3}\cdot\dfrac{2\sqrt2}{3}=-\dfrac{2}{9}+\dfrac{2\sqrt{10}}{9}\) （\(\sqrt5\times\sqrt2=\sqrt{10}\) を使った） \(\sin(\alpha+\beta)=\dfrac{2\sqrt{10}-2}{9}\)
17
角の大きさを逆算する

\(\tan\alpha=2\)、\(\tan\beta=3\)（ともに \(0^\circ < \alpha < 90^\circ\)、\(0^\circ < \beta < 90^\circ\)）のとき、\(\alpha+\beta\) の大きさを求めよ（度数で答えよ）。

\(\alpha+\beta=\) °
解説を見る
\(\tan(\alpha+\beta)=\dfrac{\tan\alpha+\tan\beta}{1-\tan\alpha\tan\beta}=\dfrac{2+3}{1-2\cdot3}=\dfrac{5}{-5}=-1\) \(0^\circ < \alpha < 90^\circ\)、\(0^\circ < \beta < 90^\circ\) より \(0^\circ < \alpha+\beta < 180^\circ\)。この範囲で \(\tan(\alpha+\beta)=-1\) となるのは \(\alpha+\beta=135^\circ\) のときだけ（\(\tan\)が負になるのは範囲の後半、鈍角のとき）。 \(\alpha+\beta=135^\circ\)
18
sinとcosの両方を求めてからtanへ

\(\sin\alpha=\dfrac{3}{5}\)（\(0^\circ < \alpha < 90^\circ\)）、\(\cos\beta=-\dfrac{5}{13}\)（\(90^\circ < \beta < 180^\circ\)）のとき、\(\tan(\alpha+\beta)\) を求めよ。

\(\tan(\alpha+\beta)=\)
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\(\cos\alpha=\dfrac{4}{5}\)（第1象限で正）、\(\sin\beta=\dfrac{12}{13}\)（第2象限で正） \(\sin(\alpha+\beta)=\dfrac{3}{5}\cdot\left(-\dfrac{5}{13}\right)+\dfrac{4}{5}\cdot\dfrac{12}{13}=-\dfrac{15}{65}+\dfrac{48}{65}=\dfrac{33}{65}\) \(\cos(\alpha+\beta)=\dfrac{4}{5}\cdot\left(-\dfrac{5}{13}\right)-\dfrac{3}{5}\cdot\dfrac{12}{13}=-\dfrac{20}{65}-\dfrac{36}{65}=-\dfrac{56}{65}\) \(\tan(\alpha+\beta)=\dfrac{\sin(\alpha+\beta)}{\cos(\alpha+\beta)}=\dfrac{\dfrac{33}{65}}{-\dfrac{56}{65}}=-\dfrac{33}{56}\) \(\tan(\alpha+\beta)=-\dfrac{33}{56}\)
応用問題（プリント限定）

ここから先はPDF限定の腕試し。加法定理の逆利用や2直線のなす角の応用に挑戦しよう。

応1
2直線のなす角

2直線 \(y=2x+1\)、\(y=\dfrac{1}{3}x-2\) のなす角 \(\theta\)（\(0^\circ < \theta < 90^\circ\)）を求めよ。

\(\theta=\)
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傾きはそれぞれ \(m_1=2,\ m_2=\dfrac{1}{3}\)。2直線のなす角の公式より \(\tan\theta = \left|\dfrac{m_1-m_2}{1+m_1m_2}\right| = \left|\dfrac{2-\dfrac{1}{3}}{1+2\cdot\dfrac{1}{3}}\right| = \left|\dfrac{\dfrac{5}{3}}{\dfrac{5}{3}}\right| = 1\) \(\tan\theta=1\) で \(0^\circ < \theta < 90^\circ\) だから \(\theta=45^\circ\)。 \(\theta=45^\circ\)
応2
加法定理の逆利用（sin）

\(\sin80^\circ\cos20^\circ-\cos80^\circ\sin20^\circ\) の値を求めよ。

値
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式の形が \(\sin A\cos B-\cos A\sin B = \sin(A-B)\)（加法定理の右辺）と一致していることに気づくのがポイント。\(A=80^\circ,\ B=20^\circ\) として逆向きに使う。 \(\sin80^\circ\cos20^\circ-\cos80^\circ\sin20^\circ = \sin(80^\circ-20^\circ) = \sin60^\circ = \dfrac{\sqrt3}{2}\) \(\dfrac{\sqrt3}{2}\)
応3
加法定理の逆利用（tan）

\(\dfrac{\tan50^\circ-\tan20^\circ}{1+\tan50^\circ\tan20^\circ}\) の値を求めよ。

値
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式の形が \(\dfrac{\tan A-\tan B}{1+\tan A\tan B} = \tan(A-B)\)（tanの加法定理の右辺）と一致している。\(A=50^\circ,\ B=20^\circ\) として逆向きに使う。 \(\dfrac{\tan50^\circ-\tan20^\circ}{1+\tan50^\circ\tan20^\circ} = \tan(50^\circ-20^\circ) = \tan30^\circ = \dfrac{1}{\sqrt3} = \dfrac{\sqrt3}{3}\) \(\dfrac{\sqrt3}{3}\)
応4
2直線のなす角から傾きを逆算

直線 \(y=x+3\) との2直線のなす角が \(45^\circ\) になるように、直線 \(y=mx-2\)（\(m\ne1\)）の傾き \(m\) を求めよ。

\(m=\)
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直線 \(y=x+3\) の傾きは \(1\)。なす角の公式より \(\tan45^\circ = \left|\dfrac{1-m}{1+1\cdot m}\right| = 1\) 絶対値を外すと \(1-m=1+m\) または \(1-m=-(1+m)\) の2通り。 第1式：\(1-m=1+m \Rightarrow -2m=0 \Rightarrow m=0\) 第2式：\(1-m=-1-m \Rightarrow 1=-1\)（成り立たない・解なし） （なお \(1+m=0\)、つまり \(m=-1\) のときは分母が0になり2直線は垂直＝\(90^\circ\)。今回求めたいのは\(45^\circ\)なのでこれは条件に合わない） \(m=0\)
応5
加法定理の逆利用（cos）

\(\cos80^\circ\cos35^\circ+\sin80^\circ\sin35^\circ\) の値を求めよ。

値
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式の形が \(\cos A\cos B+\sin A\sin B = \cos(A-B)\)（cosの加法定理の右辺）と一致している。\(A=80^\circ,\ B=35^\circ\) として逆向きに使う。 \(\cos80^\circ\cos35^\circ+\sin80^\circ\sin35^\circ = \cos(80^\circ-35^\circ) = \cos45^\circ = \dfrac{\sqrt2}{2}\) \(\dfrac{\sqrt2}{2}\)