一般角と弧度法

解説＋ドリル全18問・自動採点つき

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STEP 1

一般角ってなに？

数Iでは \(0^\circ\) から \(180^\circ\) までの角しか扱わなかったけど、数IIでは角の範囲を大きく広げる。「\(x\)軸の正方向」を基準（始線）にして、そこから半直線（動径）をぐるっと回転させたときの回転量として角を測り直そう。

回転の向きにも意味を持たせる。反時計回り（左回り）を正の向き、時計回り（右回り）を負の向きとする。これで \(400^\circ\) や \(-120^\circ\) のような角も自然に扱えるようになる。

一般角の表し方　動径が同じ位置にくる角はすべて、\(360^\circ\) の整数倍だけ違う。
\(\theta = \theta_0 + 360^\circ \times n\)　（\(n\) は整数、\(\theta_0\) は基準となる角）
例えば \(30^\circ\) と同じ動径の位置にある角は \(30^\circ,\ 390^\circ,\ 750^\circ,\ -330^\circ,\ \ldots\) と無数にある。

例題1　\(405^\circ\) は \(0^\circ\) 以上 \(360^\circ\) 未満の角でいうと何度と同じ位置か。また一般角として表せ。

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\(405^\circ - 360^\circ = 45^\circ\) なので、\(405^\circ\) は \(45^\circ\) と同じ動径の位置にある。 一般角として表すと \(45^\circ + 360^\circ \times n\)（\(n\)は整数）。 \(45^\circ\)（一般角: \(45^\circ+360^\circ\times n\)）

例題2　\(-120^\circ\) と同じ動径の位置にある角のうち、\(0^\circ\) 以上でもっとも小さいものを求めよ。

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負の角に \(360^\circ\) を1回足して \(0^\circ\) 以上にする。 \(-120^\circ + 360^\circ = 240^\circ\) \(240^\circ\)
STEP 2

弧度法（ラジアン）

角の大きさを「度（\(^\circ\)）」ではなく、「半径に対する弧の長さの比」で測る方法を弧度法という。半径と弧の長さがちょうど等しくなる中心角の大きさを \(1\)ラジアン（\(1\)弧度）と定める。単位を省略して、そのまま実数で書くのが弧度法の特徴だ。

度とラジアンの変換　半径 \(r\) の円周は \(2\pi r\)、一周は \(360^\circ\) だから \(360^\circ = 2\pi\)（ラジアン）、すなわち
\(180^\circ = \pi\)
度からラジアン: \(\theta[\text{ラジアン}] = \theta[\text{度}] \times \dfrac{\pi}{180}\)　　ラジアンから度: \(\theta[\text{度}] = \theta[\text{ラジアン}] \times \dfrac{180}{\pi}\)
よく使う角の対応（覚えておくと計算が速い）
\(0^\circ=0\)　\(30^\circ=\dfrac{\pi}{6}\)　\(45^\circ=\dfrac{\pi}{4}\)　\(60^\circ=\dfrac{\pi}{3}\)　\(90^\circ=\dfrac{\pi}{2}\)
\(120^\circ=\dfrac{2\pi}{3}\)　\(135^\circ=\dfrac{3\pi}{4}\)　\(150^\circ=\dfrac{5\pi}{6}\)　\(180^\circ=\pi\)　\(270^\circ=\dfrac{3\pi}{2}\)　\(360^\circ=2\pi\)

例題　\(60^\circ\) をラジアンに直せ。また半径 \(6\)cm、中心角 \(60^\circ\) の扇形の弧の長さと面積を求めよ。

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\(60^\circ \times \dfrac{\pi}{180} = \dfrac{\pi}{3}\) 弧の長さ: \(l = r\theta = 6 \times \dfrac{\pi}{3} = 2\pi\)（cm） 面積: \(S = \dfrac{1}{2}r^2\theta = \dfrac{1}{2}\times 36 \times \dfrac{\pi}{3} = 6\pi\)（cm²） \(60^\circ = \dfrac{\pi}{3}\)、弧の長さ \(2\pi\)cm、面積 \(6\pi\)cm²
もう1つの面積公式　\(l=r\theta\) を面積の式に代入すると \(S=\dfrac{1}{2}r^2\theta = \dfrac{1}{2}r(r\theta) = \dfrac{1}{2}rl\)。中心角がわからず弧の長さ \(l\) と半径 \(r\) だけわかっているときはこちらが便利。
STEP 3

一般角の三角関数（単位円で定義し直す）

数Iでは直角三角形の辺の比でsin・cos・tanを定義したけど、それだと \(90^\circ\) を超える角や負の角には使えない。そこで単位円（原点中心・半径1の円）を使って定義し直す。

始線（\(x\)軸の正方向）から角 \(\theta\) だけ回転させた動径と単位円の交点を \(P(x, y)\) とするとき、

\(\cos\theta = x\)（Pのx座標）　　\(\sin\theta = y\)（Pのy座標）　　\(\tan\theta = \dfrac{y}{x} = \dfrac{\sin\theta}{\cos\theta}\)（\(\cos\theta \neq 0\)）

この定義なら、\(\theta\) がどんな大きさの角でも（\(90^\circ\)を超えても、負でも）sin・cos・tanが決まる。基本角（\(30^\circ,45^\circ,60^\circ\)）の値と、対称性を組み合わせて求めるのがコツ。

例題1　\(\theta = 150^\circ\) のとき、\(\sin\theta,\ \cos\theta,\ \tan\theta\) を求めよ。

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\(150^\circ = 180^\circ - 30^\circ\)。単位円で第2象限（\(x<0,\ y>0\)）の位置にあり、\(x\)軸との基準角は \(30^\circ\)。 \(\sin150^\circ = \sin30^\circ = \dfrac{1}{2}\) \(\cos150^\circ = -\cos30^\circ = -\dfrac{\sqrt{3}}{2}\) \(\tan150^\circ = \dfrac{\sin150^\circ}{\cos150^\circ} = \dfrac{1/2}{-\sqrt{3}/2} = -\dfrac{1}{\sqrt{3}} = -\dfrac{\sqrt{3}}{3}\) \(\sin150^\circ=\dfrac{1}{2}\)、\(\cos150^\circ=-\dfrac{\sqrt{3}}{2}\)、\(\tan150^\circ=-\dfrac{\sqrt{3}}{3}\)

例題2　\(\theta = \dfrac{7}{6}\pi\) のとき、\(\sin\theta,\ \cos\theta,\ \tan\theta\) を求めよ。

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\(\dfrac{7}{6}\pi = \pi + \dfrac{\pi}{6}\) なので度に直すと \(180^\circ+30^\circ=210^\circ\)。単位円で第3象限（\(x<0,\ y<0\)）、基準角は \(30^\circ\)。 \(\sin210^\circ = -\sin30^\circ = -\dfrac{1}{2}\) \(\cos210^\circ = -\cos30^\circ = -\dfrac{\sqrt{3}}{2}\) \(\tan210^\circ = \dfrac{-1/2}{-\sqrt{3}/2} = \dfrac{1}{\sqrt{3}} = \dfrac{\sqrt{3}}{3}\) \(\sin\dfrac{7}{6}\pi=-\dfrac{1}{2}\)、\(\cos\dfrac{7}{6}\pi=-\dfrac{\sqrt{3}}{2}\)、\(\tan\dfrac{7}{6}\pi=\dfrac{\sqrt{3}}{3}\)
STEP 4

相互関係の復習と、象限による符号

数Iで学んだ次の関係式は、\(\theta\) がどんな一般角でも成り立つ。

\(\sin^2\theta + \cos^2\theta = 1\)　　\(\tan\theta = \dfrac{\sin\theta}{\cos\theta}\)　　\(1+\tan^2\theta = \dfrac{1}{\cos^2\theta}\)

ただし一般角では \(\sin\theta,\ \cos\theta,\ \tan\theta\) の値がマイナスになることもある。単位円のどの象限に動径があるかで、符号が次のように決まる（\(x\)座標の符号がcos、\(y\)座標の符号がsinの符号、tanは \(y/x\) の符号）。

第1象限（\(0^\circ\)〜\(90^\circ\)）
\(\sin\theta > 0\)、\(\cos\theta > 0\)、\(\tan\theta > 0\)（すべて正）
第2象限（\(90^\circ\)〜\(180^\circ\)）
\(\sin\theta > 0\)、\(\cos\theta < 0\)、\(\tan\theta < 0\)
第3象限（\(180^\circ\)〜\(270^\circ\)）
\(\sin\theta < 0\)、\(\cos\theta < 0\)、\(\tan\theta > 0\)
第4象限（\(270^\circ\)〜\(360^\circ\)）
\(\sin\theta < 0\)、\(\cos\theta > 0\)、\(\tan\theta < 0\)

例題1　\(\theta\) の動径が第3象限にあり、\(\sin\theta = -\dfrac{3}{5}\) のとき、\(\cos\theta,\ \tan\theta\) を求めよ。

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\(\sin^2\theta+\cos^2\theta=1\) より \(\cos^2\theta = 1-\left(-\dfrac{3}{5}\right)^2 = 1-\dfrac{9}{25}=\dfrac{16}{25}\)、よって \(\cos\theta=\pm\dfrac{4}{5}\)。 第3象限では \(\cos\theta < 0\) なので \(\cos\theta = -\dfrac{4}{5}\)。 \(\tan\theta = \dfrac{\sin\theta}{\cos\theta} = \dfrac{-3/5}{-4/5} = \dfrac{3}{4}\) \(\cos\theta=-\dfrac{4}{5}\)、\(\tan\theta=\dfrac{3}{4}\)

例題2　\(\theta\) の動径が第2象限にあり、\(\tan\theta = -2\) のとき、\(\sin\theta,\ \cos\theta\) を求めよ。

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\(1+\tan^2\theta = \dfrac{1}{\cos^2\theta}\) より \(\dfrac{1}{\cos^2\theta} = 1+(-2)^2 = 5\)、よって \(\cos^2\theta=\dfrac{1}{5}\)、\(\cos\theta=\pm\dfrac{1}{\sqrt{5}}\)。 第2象限では \(\cos\theta < 0\) なので \(\cos\theta = -\dfrac{1}{\sqrt{5}} = -\dfrac{\sqrt{5}}{5}\)。 \(\sin\theta = \tan\theta \times \cos\theta = (-2)\times\left(-\dfrac{\sqrt{5}}{5}\right) = \dfrac{2\sqrt{5}}{5}\)（第2象限で\(\sin\theta>0\)と符号も一致） \(\cos\theta=-\dfrac{\sqrt{5}}{5}\)、\(\sin\theta=\dfrac{2\sqrt{5}}{5}\)
練習問題（全18問）

答えを入力して「採点」を押すと○×が出るぞ。\(\pi\)を含む答えは「π/6」のように入力（半角の pi でもOK）。
わからないときは「解説を見る」で解き方を確認しよう。

基本（1〜7）
1
度→ラジアン

\(60^\circ\) をラジアンで表せ。

\(\theta=\)
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\(60 \times \dfrac{\pi}{180} = \dfrac{\pi}{3}\) \(\dfrac{\pi}{3}\)
2
度→ラジアン

\(120^\circ\) をラジアンで表せ。

\(\theta=\)
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\(120 \times \dfrac{\pi}{180} = \dfrac{2\pi}{3}\) \(\dfrac{2\pi}{3}\)
3
度→ラジアン

\(315^\circ\) をラジアンで表せ。

\(\theta=\)
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\(315 \times \dfrac{\pi}{180} = \dfrac{315}{180}\pi = \dfrac{7}{4}\pi\) \(\dfrac{7}{4}\pi\)
4
ラジアン→度

\(\dfrac{\pi}{6}\) を度で表せ。

\(\theta=\) 度
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\(\dfrac{\pi}{6} \times \dfrac{180}{\pi} = 30^\circ\) \(30^\circ\)
5
ラジアン→度

\(\dfrac{4}{3}\pi\) を度で表せ。

\(\theta=\) 度
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\(\dfrac{4}{3}\pi \times \dfrac{180}{\pi} = \dfrac{4}{3}\times180 = 240^\circ\) \(240^\circ\)
6
弧の長さ

半径 \(5\)、中心角 \(\dfrac{\pi}{5}\) の扇形の弧の長さを求めよ。

弧の長さ
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\(l=r\theta = 5\times\dfrac{\pi}{5} = \pi\) \(\pi\)
7
扇形の面積

半径 \(2\)、中心角 \(\dfrac{\pi}{2}\) の扇形の面積を求めよ。

面積
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\(S=\dfrac{1}{2}r^2\theta = \dfrac{1}{2}\times4\times\dfrac{\pi}{2} = \pi\) \(\pi\)
標準（8〜14）
8
弧の長さ→中心角

半径 \(6\) の扇形の弧の長さが \(2\pi\) であるとき、中心角をラジアンで求めよ。

\(\theta=\)
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\(l=r\theta\) より \(\theta = \dfrac{l}{r} = \dfrac{2\pi}{6} = \dfrac{\pi}{3}\) \(\dfrac{\pi}{3}\)
9
面積→中心角

半径 \(10\) の扇形の面積が \(25\pi\) であるとき、中心角をラジアンで求めよ。

\(\theta=\)
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\(S=\dfrac{1}{2}r^2\theta\) より \(\theta = \dfrac{2S}{r^2} = \dfrac{2\times25\pi}{100} = \dfrac{50\pi}{100} = \dfrac{\pi}{2}\) \(\dfrac{\pi}{2}\)
10
弧の長さ

半径 \(9\)、中心角 \(\dfrac{4}{9}\pi\) の扇形の弧の長さを求めよ。

弧の長さ
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\(l=r\theta = 9\times\dfrac{4}{9}\pi = 4\pi\) \(4\pi\)
11
象限判定（数字で入力。例: 第3象限のときは「3」）

\(\theta = 225^\circ\) の動径はどの象限にあるか。

第象限
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\(180^\circ < 225^\circ < 270^\circ\) なので第3象限。 第3象限
12
象限判定（数字で入力）

\(\theta = 100^\circ\) の動径はどの象限にあるか。

第象限
解説を見る
\(90^\circ < 100^\circ < 180^\circ\) なので第2象限。 第2象限
13
象限判定（負の角に注意）

\(\theta = -45^\circ\) の動径はどの象限にあるか。

第象限
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\(-45^\circ + 360^\circ = 315^\circ\)。\(270^\circ < 315^\circ < 360^\circ\) なので第4象限。 第4象限
14
象限判定（ラジアン・360°超え）

\(\theta = \dfrac{17}{6}\pi\) の動径はどの象限にあるか。

第象限
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\(\dfrac{17}{6}\pi - 2\pi = \dfrac{17}{6}\pi-\dfrac{12}{6}\pi = \dfrac{5}{6}\pi\)（\(=150^\circ\)）。 \(90^\circ < 150^\circ < 180^\circ\) なので第2象限。 第2象限
挑戦（15〜18）
15
弧の長さと面積の両方

半径 \(12\)cm、中心角 \(\dfrac{5}{6}\pi\) の扇形の弧の長さと面積を求めよ。

弧の長さ cm　面積 cm²
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弧の長さ: \(l=r\theta = 12\times\dfrac{5}{6}\pi = 10\pi\) 面積: \(S=\dfrac{1}{2}rl = \dfrac{1}{2}\times12\times10\pi = 60\pi\) 弧の長さ \(10\pi\)cm、面積 \(60\pi\)cm²
16
半径を変えたときの倍率

扇形の中心角を変えずに、半径だけを \(4\)倍にした。弧の長さは何倍になるか。また面積は何倍になるか。

弧の長さは 倍　面積は 倍
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\(l=r\theta\) で \(\theta\) は一定なので、\(r\) を4倍にすると \(l\) も4倍。 \(S=\dfrac{1}{2}r^2\theta\) は \(r^2\) に比例するので、\(r\) を4倍にすると \(S\) は \(4^2=16\)倍。 弧の長さは4倍、面積は16倍
17
象限判定（マイナスの大きい角）

\(\theta = -400^\circ\) の動径はどの象限にあるか。

第象限
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\(-400^\circ+360^\circ=-40^\circ\)、まだ負なのでもう一度 \(360^\circ\) を足す。 \(-40^\circ+360^\circ=320^\circ\)。\(270^\circ < 320^\circ < 360^\circ\) なので第4象限。 第4象限
18
一般角を基本の範囲に直す

\(\theta = \dfrac{25}{4}\pi\) と同じ動径の位置にある角のうち、\(0 \le \theta < 2\pi\) を満たすものを求めよ。

\(\theta=\)
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\(2\pi = \dfrac{8}{4}\pi\) を何回か引いて \(0\) 以上 \(2\pi\) 未満にする。 \(\dfrac{25}{4}\pi - \dfrac{8}{4}\pi\times3 = \dfrac{25}{4}\pi-\dfrac{24}{4}\pi = \dfrac{1}{4}\pi\) \(\dfrac{\pi}{4}\)
応用問題（プリント限定）

ここから先はPDF限定の腕試し。入試の基礎レベルに挑戦しよう。

応1
sinθ+cosθ型（数Iの復習を一般角で）

\(\sin\theta + \cos\theta = \dfrac{1}{3}\) のとき、次の値を求めよ。(1) \(\sin\theta\cos\theta\)　(2) \(\sin^3\theta+\cos^3\theta\)

(1) \(\sin\theta\cos\theta=\) 　(2) \(\sin^3\theta+\cos^3\theta=\)
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(1) \(\sin\theta+\cos\theta=\dfrac{1}{3}\) の両辺を2乗すると \((\sin\theta+\cos\theta)^2 = \sin^2\theta+2\sin\theta\cos\theta+\cos^2\theta = 1+2\sin\theta\cos\theta\) 左辺は \(\left(\dfrac{1}{3}\right)^2=\dfrac{1}{9}\) なので \(1+2\sin\theta\cos\theta=\dfrac{1}{9}\) \(2\sin\theta\cos\theta = \dfrac{1}{9}-1=-\dfrac{8}{9}\)、よって \(\sin\theta\cos\theta=-\dfrac{4}{9}\) (2) 因数分解の公式 \(a^3+b^3=(a+b)(a^2-ab+b^2)\) を使う。 \(\sin^3\theta+\cos^3\theta = (\sin\theta+\cos\theta)(\sin^2\theta-\sin\theta\cos\theta+\cos^2\theta)\) \(=(\sin\theta+\cos\theta)\left(1-\sin\theta\cos\theta\right) = \dfrac{1}{3}\times\left(1-\left(-\dfrac{4}{9}\right)\right) = \dfrac{1}{3}\times\dfrac{13}{9}=\dfrac{13}{27}\) \(\sin\theta\cos\theta=-\dfrac{4}{9}\)、\(\sin^3\theta+\cos^3\theta=\dfrac{13}{27}\)
応2
扇形の周の長さ一定・面積最大

扇形の周の長さ（弧の長さ＋半径2本分）が \(20\)cm で一定であるとき、面積 \(S\) を最大にする半径 \(r\) と、そのときの面積・中心角を求めよ。

\(r=\) cm　面積 \(S=\) cm²　中心角 \(\theta=\)
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弧の長さを \(l\) とすると、周の長さの条件から \(l+2r=20\)、すなわち \(l=20-2r\)（\(l>0\) より \(0<r<10\)）。 面積は \(S=\dfrac{1}{2}rl = \dfrac{1}{2}r(20-2r) = 10r-r^2 = -(r-5)^2+25\) 上に凸の2次関数で、頂点の \(r=5\) は範囲 \(0<r<10\) の中にあるので、そのまま最大値。 \(r=5\) のとき \(l=20-10=10\)、\(S=25\)。中心角は \(\theta=\dfrac{l}{r}=\dfrac{10}{5}=2\)（ラジアン）。 \(r=5\)cmのとき面積の最大値 \(25\)cm²（中心角 \(2\)ラジアン）
応3
方程式を満たすθをすべて求める

\(0 \le \theta < 2\pi\) のとき、\(\sin\theta=\dfrac{1}{2}\) を満たす \(\theta\) をすべて求めよ。（コンマ区切りで入力）

\(\theta=\)
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\(\sin\theta>0\) となるのは単位円の上半分（第1・第2象限）。 基準角は \(\sin\dfrac{\pi}{6}=\dfrac{1}{2}\) の \(\dfrac{\pi}{6}\)（\(=30^\circ\)）。 第1象限にそのまま \(\theta=\dfrac{\pi}{6}\)、第2象限には \(\pi-\dfrac{\pi}{6}=\dfrac{5}{6}\pi\)。 \(\theta=\dfrac{\pi}{6},\ \dfrac{5}{6}\pi\)
応4
弧の長さと面積から半径・中心角を求める

ある扇形の弧の長さが \(12\)、面積が \(36\) であるとき、この扇形の半径 \(r\) と中心角 \(\theta\)（ラジアン）を求めよ。

\(r=\) 　\(\theta=\)
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面積の公式 \(S=\dfrac{1}{2}rl\) を使うと、\(\theta\) を経由せずに \(r\) だけの式になる。 \(36=\dfrac{1}{2}\times r\times12=6r\)、よって \(r=6\)。 中心角は \(l=r\theta\) より \(\theta=\dfrac{l}{r}=\dfrac{12}{6}=2\)。 \(r=6\)、\(\theta=2\)（ラジアン）
応5
2次方程式とθの決定（コンマ区切り）

\(0 \le \theta < 2\pi\) のとき、\(2\sin^2\theta - \sin\theta - 1 = 0\) を満たす \(\theta\) をすべて求めよ。

\(\theta=\)
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\(\sin\theta = s\) とおくと \(2s^2-s-1=0\)。因数分解すると \((2s+1)(s-1)=0\)、よって \(s=-\dfrac{1}{2}\) または \(s=1\)。 \(\sin\theta=1\) のとき: \(\theta=\dfrac{\pi}{2}\) のみ（sinの最大値になる位置は1か所）。 \(\sin\theta=-\dfrac{1}{2}\) のとき: 単位円の下半分（第3・第4象限）。基準角 \(\dfrac{\pi}{6}\) を使うと \(\theta=\pi+\dfrac{\pi}{6}=\dfrac{7}{6}\pi\)（第3象限）、\(\theta=2\pi-\dfrac{\pi}{6}=\dfrac{11}{6}\pi\)（第4象限）。 \(\theta=\dfrac{\pi}{2},\ \dfrac{7}{6}\pi,\ \dfrac{11}{6}\pi\)