正弦定理――角と対辺と外接円をつなぐ式
三角形ABCで、頂点Aの対辺（向かい側の辺）を\(a\)、頂点Bの対辺を\(b\)、頂点Cの対辺を\(c\)と呼ぶ。このとき、次の関係がいつでも成り立つ。これが「正弦定理」だ。
\[ \dfrac{a}{\sin A} = \dfrac{b}{\sin B} = \dfrac{c}{\sin C} = 2R \] \(R\) は三角形ABCに外接する円（外接円）の半径。つまり「対辺 ÷ その角のsin」はどの角で計算しても同じ値になり、しかもそれが外接円の直径に等しい。
この式のありがたいところは2つ。1つは「2つの角と1つの辺が分かれば、残りの辺の長さが求まる」こと。もう1つは「外接円の半径Rまで一気に求まる」ことだ。
例題 三角形ABCにおいて、\(\angle A = 30^\circ\)、\(a = 8\)、\(\angle B = 45^\circ\) のとき、外接円の半径Rと辺bの長さを求めよ。
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余弦定理で辺を求める――2辺とその間の角から
「2つの辺の長さと、その間の角」が分かっているとき、正弦定理では歯が立たない（sinの比を作れない）。ここで使うのが「余弦定理」だ。
\[ a^2 = b^2 + c^2 - 2bc\cos A \] 「向かい側の辺の2乗 ＝ 残り2辺それぞれの2乗の和 － その2辺×2×はさむ角のcos」。\(\cos A\) の符号がそのまま式に効いてくるのがポイントで、\(A\) が鈍角（\(\cos A<0\)）だと引き算の部分がプラスに変わり、\(a\) がより大きくなる。
例題1 三角形ABCにおいて、\(b=5\)、\(c=8\)、\(\angle A=60^\circ\) のとき、辺aの長さを求めよ。（はさむ角が鋭角）
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例題2 三角形ABCにおいて、\(b=3\)、\(c=5\)、\(\angle A=120^\circ\) のとき、辺aの長さを求めよ。（はさむ角が鈍角）
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余弦定理で角を求める――3辺から角がわかる
余弦定理は式を変形すれば「角を求める道具」にもなる。3辺の長さがすべて分かっていれば、どの角も計算できてしまう。
\[ \cos A = \dfrac{b^2+c^2-a^2}{2bc} \] 3辺 \(a,b,c\) を右辺に代入すれば \(\cos A\) の値が出る。\(\cos A\) の符号だけで角の種類が分かるのが重要ポイント：\(\cos A>0\) なら \(A\) は鋭角、\(\cos A=0\) なら \(A=90^\circ\)（直角）、\(\cos A<0\) なら \(A\) は鈍角。わざわざ角度の値を求めなくても、符号を見るだけで鋭角か鈍角か判定できる。
例題1 三角形ABCにおいて、\(a=7\)、\(b=5\)、\(c=8\) のとき、\(\angle A\) の大きさを求めよ。
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例題2 三角形の3辺が \(4,\ 5,\ 6\) のとき、最も大きい角（辺6の対角）は鋭角か鈍角か判定せよ。（角の大きさそのものは求めなくてよい）
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正弦定理と余弦定理、どちらを使う？（まとめ）
2つの定理は使いどころがはっきり分かれている。「何が分かっていて、何を求めたいか」を確認すれば、迷わず選べる。
→ 正弦定理を使う
\(\dfrac{a}{\sin A}=\dfrac{b}{\sin B}=\dfrac{c}{\sin C}=2R\)
→ 余弦定理を使う
\(a^2=b^2+c^2-2bc\cos A\)
答えを入力して「採点」を押すと○×が出るぞ。根号は「√7」でも「sqrt7」でもOK。
わからないときは「解説を見る」で解き方を確認しよう。
三角形ABCにおいて、\(\angle A=30^\circ\)、\(a=6\) のとき、外接円の半径Rを求めよ。
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三角形ABCにおいて、\(\angle A=60^\circ\)、\(a=6\)、\(\angle B=45^\circ\) のとき、辺bと外接円の半径Rを求めよ。
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三角形ABCにおいて、\(b=4\)、\(c=6\)、\(\angle A=60^\circ\) のとき、辺aの長さを求めよ。
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三角形ABCにおいて、\(b=6\)、\(c=10\)、\(\angle A=120^\circ\) のとき、辺aの長さを求めよ。
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三角形の3辺が \(7,\ 13,\ 15\) のとき、辺13の対角の大きさを求めよ。
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三角形の3辺が \(5,\ 12,\ 13\) のとき、辺13の対角の大きさを求めよ。
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三角形ABCの外接円の半径が \(R=4\)、\(\angle A=120^\circ\) のとき、辺aの長さを求めよ。
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三角形ABCにおいて、\(b=5\)、\(c=21\)、\(\angle A=60^\circ\) のとき、辺aの長さを求めよ。
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三角形ABCにおいて、\(b=7\)、\(c=8\)、\(\angle A=120^\circ\) のとき、辺aの長さを求めよ。
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三角形の3辺が \(5,\ 16,\ 19\) のとき、辺19の対角の大きさを求めよ。
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三角形の3辺が \(8,\ 15,\ 17\) のとき、辺17の対角の大きさを求めよ。
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三角形ABCにおいて、\(\angle B=135^\circ\)、\(b=6\sqrt{2}\)、\(\angle A=30^\circ\) のとき、辺aの長さを求めよ。
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三角形の3辺が \(6,\ 7,\ 9\) のとき、最も大きい角は鋭角・直角・鈍角のいずれか答えよ。（「鋭角」「直角」「鈍角」のいずれかで入力）
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川の両岸に点B、Cがあり、\(BC=20\)mである。対岸の点Aを観測すると、\(\angle ABC=60^\circ\)、\(\angle ACB=30^\circ\) であった。辺ACと辺ABの長さを求めよ。
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三角形ABCの3辺が \(a=13\)、\(b=7\)、\(c=8\) のとき、\(\angle A\) の大きさと、外接円の半径Rを求めよ。
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三角形の3辺が \(6,\ 10,\ 14\) のとき、最も大きい角の大きさと、外接円の半径Rを求めよ。
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三角形の3辺が \(8,\ 9,\ 10\) のとき、最も大きい角は鋭角・直角・鈍角のいずれか答えよ。（角度そのものは求めなくてよい）
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三角形ABCにおいて、\(b:c=1:2\)、\(\angle A=60^\circ\) であり、\(b=5\) である。辺cと辺aの長さを求めよ。
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ここから先はPDF限定の腕試し。円に内接する四角形や、比から角を求める問題など、入試の基礎レベルに挑戦しよう。
円に内接する四角形ABCDにおいて、\(AB=3\)、\(BC=5\)、\(\angle ABC=120^\circ\)、\(CD=8\)、\(DA=5\) とする。対角線ACの長さと、\(\angle ADC\) の大きさを求めよ。
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三角形の3辺が \(4,\ 5,\ 7\) のとき、この三角形は鋭角三角形・直角三角形・鈍角三角形のいずれか、余弦定理を用いて判定せよ。
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三角形の3辺の比が \(a:b:c=11:24:31\) であるとき、最も大きい角（辺cの対角）の大きさを求めよ。
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船Pが地点Aを出発し、ある方向へ毎時20kmで2時間走り、地点Bに着いた。同時に船QもAを出発し、Pの進んだ方向から\(60^\circ\)傾いた方向へ毎時30kmで2時間走り、地点Cに着いた。地点B、C間の距離を求めよ。
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三角形の3辺が \(7,\ 24,\ 25\) のとき、この三角形が直角三角形であることを確かめ、外接円の半径Rを求めよ。