鈍角への拡張（90°−θ・180°−θ）

STEP 1

座標で \(\sin\theta,\ \cos\theta,\ \tan\theta\) を定義し直す

これまで \(\sin\theta,\ \cos\theta,\ \tan\theta\) は直角三角形の辺の比として定義してきた。でもそれだと \(\theta\) が鋭角（\(0^\circ<\theta<90^\circ\)）のときしか使えない。図形の問題では三角形の内角が鈍角になることもあるので、\(90^\circ\) を超える角にも対応できるように、定義を座標で書き直そう。

原点 \(O\) を中心とする半径 \(r\) の円をかき、その円周の上半分（\(y \ge 0\) の部分）に点 \(P(x,\ y)\) をとる。\(x\) 軸の正の方向から反時計回りに測った角を \(\theta\)（\(0^\circ \le \theta \le 180^\circ\)）とすると、次のように定義する。

\(\sin\theta = \dfrac{y}{r}\)　　\(\cos\theta = \dfrac{x}{r}\)　　\(\tan\theta = \dfrac{y}{x}\)（\(x \neq 0\)）

\(P\) から \(x\) 軸に垂線をおろし、その足を \(H\) とすると直角三角形 \(OHP\) ができる。\(\theta\) が鋭角のときは \(H\) が原点より右側にでき、これは今までの「直角三角形の辺の比」による定義とぴったり一致する。直角三角形の内角の和は \(180^\circ\) だから、\(\angle P = 90^\circ - \theta\) となることも同時にわかる。

\(\theta\) が \(90^\circ\) を超えると、点 \(P\) は \(y\) 軸の左側（\(x<0\)）に移る。\(y\) は \(0\) 以上のままなので、符号は次のようにまとまる。

\(0^\circ<\theta<90^\circ\)（\(x>0,\ y>0\)）→ \(\sin\theta>0,\ \cos\theta>0,\ \tan\theta>0\)
\(\theta=90^\circ\)（\(x=0\)）→ \(\sin\theta=1,\ \cos\theta=0,\ \tan\theta\) は定義されない
\(90^\circ<\theta<180^\circ\)（\(x<0,\ y>0\)）→ \(\sin\theta>0,\ \cos\theta<0,\ \tan\theta<0\)

例題1　\(\theta=180^\circ\) のとき、\(\sin\theta,\ \cos\theta,\ \tan\theta\) の値を求めよ。

解答を見る

\(\theta=180^\circ\) のとき、点 \(P\) は \(x\) 軸の負の方向にあり、\(P(-r,\ 0)\) となる。 \(\sin180^\circ = \dfrac{0}{r} = 0\) \(\cos180^\circ = \dfrac{-r}{r} = -1\) \(\tan180^\circ = \dfrac{0}{-r} = 0\) \(\sin180^\circ=0,\ \cos180^\circ=-1,\ \tan180^\circ=0\)

STEP 2

\(90^\circ-\theta\) と \(180^\circ-\theta\) の公式

STEP1の図をもう一度使うと \(90^\circ-\theta\)（角を \(90^\circ\) から引く）の公式が導ける。さらに、点を \(y\) 軸で折り返す（\(x\) 座標の符号だけ変える）と \(180^\circ-\theta\)（角を \(180^\circ\) から引く）の公式も導ける。

\(90^\circ-\theta\)（同じ直角三角形のもう一方の角）

STEP1の直角三角形 \(OHP\) で \(\angle P = 90^\circ-\theta\) だった。\(\angle P\) から見ると、対辺は \(OH=x\)、隣辺は \(HP=y\)、斜辺は \(OP=r\) になる（\(\angle O\) から見たときと対辺・隣辺が入れ替わる）。

\(\sin(90^\circ-\theta)=\cos\theta\)　　\(\cos(90^\circ-\theta)=\sin\theta\)　　\(\tan(90^\circ-\theta)=\dfrac{1}{\tan\theta}\)

\(180^\circ-\theta\)（\(y\)軸に関して対称な点）

点 \(P(x,\ y)\) を \(y\) 軸で折り返すと点 \(P'(-x,\ y)\) になる。これは角でいうと \(180^\circ-\theta\) の位置にある点で、\(y\) 座標は変わらず \(x\) 座標の符号だけが反転する。たとえば \(\theta=150^\circ\) なら、\(P\) は \(x<0\) の側にあり、直角三角形の中に基準角 \(180^\circ-150^\circ=30^\circ\) が現れる。

\(\sin(180^\circ-\theta)=\sin\theta\)　　\(\cos(180^\circ-\theta)=-\cos\theta\)　　\(\tan(180^\circ-\theta)=-\tan\theta\)

2つの公式をまとめると次の表のようになる。

変換	\(\sin\)	\(\cos\)	\(\tan\)
\(90^\circ-\theta\)	\(\cos\theta\)	\(\sin\theta\)	\(\dfrac{1}{\tan\theta}\)
\(180^\circ-\theta\)	\(\sin\theta\)	\(-\cos\theta\)	\(-\tan\theta\)

例題2　\(\sin\theta=\dfrac{2}{3}\) のとき、\(\sin(180^\circ-\theta)\) と \(\cos(90^\circ-\theta)\) の値を求めよ。

解答を見る

公式 \(\sin(180^\circ-\theta)=\sin\theta\) より、そのまま \(\dfrac{2}{3}\)。公式 \(\cos(90^\circ-\theta)=\sin\theta\) より、これも \(\dfrac{2}{3}\)。 \(\sin(180^\circ-\theta)=\dfrac{2}{3}\)、\(\cos(90^\circ-\theta)=\dfrac{2}{3}\)

STEP 3

有名角をぜんぶ求める（\(0^\circ\)〜\(180^\circ\)）

STEP2の公式を使えば \(30^\circ,\ 45^\circ,\ 60^\circ\) の値から \(120^\circ,\ 135^\circ,\ 150^\circ\) の値がすぐに求まる。表全体を眺めて、鈍角では符号だけが変わることを確認しよう。

\(\theta\)	\(0^\circ\)	\(30^\circ\)	\(45^\circ\)	\(60^\circ\)	\(90^\circ\)	\(120^\circ\)	\(135^\circ\)	\(150^\circ\)	\(180^\circ\)
\(\sin\theta\)	\(0\)	\(\dfrac12\)	\(\dfrac{\sqrt2}{2}\)	\(\dfrac{\sqrt3}{2}\)	\(1\)	\(\dfrac{\sqrt3}{2}\)	\(\dfrac{\sqrt2}{2}\)	\(\dfrac12\)	\(0\)
\(\cos\theta\)	\(1\)	\(\dfrac{\sqrt3}{2}\)	\(\dfrac{\sqrt2}{2}\)	\(\dfrac12\)	\(0\)	\(-\dfrac12\)	\(-\dfrac{\sqrt2}{2}\)	\(-\dfrac{\sqrt3}{2}\)	\(-1\)
\(\tan\theta\)	\(0\)	\(\dfrac{\sqrt3}{3}\)	\(1\)	\(\sqrt3\)	なし	\(-\sqrt3\)	\(-1\)	\(-\dfrac{\sqrt3}{3}\)	\(0\)

例題3　\(\cos135^\circ\) の値を求めよ。

解答を見る

\(135^\circ = 180^\circ-45^\circ\) なので、公式 \(\cos(180^\circ-\theta)=-\cos\theta\) を \(\theta=45^\circ\) として使う。 \(\cos135^\circ = \cos(180^\circ-45^\circ) = -\cos45^\circ = -\dfrac{\sqrt2}{2}\) \(\cos135^\circ = -\dfrac{\sqrt2}{2}\)

STEP 4

三角方程式を解く（\(0^\circ \le \theta \le 180^\circ\)）

「\(\sin\theta=\dfrac12\) となる \(\theta\) を求めよ」のような問題を三角方程式という。有名角の表を逆から使い、範囲内の解をもれなく探すのがコツ。

手順1　まず鋭角の基準角を有名角の表から見つける

↓

手順2　\(\sin\) なら基準角と \(180^\circ-\)基準角の両方が候補になる（\(\cos,\ \tan\) は符号によって鋭角側・鈍角側のどちらかに決まるので候補は1つになることが多い）

↓

手順3　候補が \(0^\circ \le \theta \le 180^\circ\) の範囲に入っているか確認する

注意　\(\cos\theta\) は \(0^\circ\) から \(180^\circ\) まで単調に減少し、\(\tan\theta\)（\(\theta\neq90^\circ\)）も \([0^\circ,90^\circ)\)・\((90^\circ,180^\circ]\) それぞれの中では単調に増加する。だから \(\cos,\ \tan\) の方程式は、範囲を \([0^\circ,180^\circ]\) に絞ると解がふつう1つに決まる。2つ答えが出るのは基本的に \(\sin\theta\) のときだけと覚えておこう。

例題4　\(\sin\theta=\dfrac12\)（\(0^\circ \le \theta \le 180^\circ\)）を解け。

解答を見る

有名角の表より \(\sin30^\circ=\dfrac12\)。基準角は \(30^\circ\)。 \(\sin\theta\) は正なので、\(180^\circ-\theta\) の公式より \(\theta=180^\circ-30^\circ=150^\circ\) も解になる（実際 \(\sin150^\circ=\sin30^\circ=\dfrac12\)）。どちらも \(0^\circ \le \theta \le 180^\circ\) に入っている。 \(\theta=30^\circ,\ 150^\circ\)

例題5　\(\cos\theta=-\dfrac12\)（\(0^\circ \le \theta \le 180^\circ\)）を解け。

解答を見る

\(\cos\theta\) が負なので \(\theta\) は鈍角（\(90^\circ<\theta<180^\circ\)）のはず。有名角の表より \(\cos120^\circ=-\dfrac12\)。 \(\cos\theta\) は \(0^\circ\) から \(180^\circ\) まで単調に減少するので、同じ値になる \(\theta\) は他にない。 \(\theta=120^\circ\)

例題6　\(\tan\theta=-\sqrt3\)（\(0^\circ \le \theta \le 180^\circ,\ \theta\neq90^\circ\)）を解け。

解答を見る

\(\tan\theta\) が負になるのは \(90^\circ<\theta<180^\circ\) の範囲だけ（\(0^\circ\le\theta<90^\circ\) では \(\tan\theta\ge0\)）。有名角の表より \(\tan120^\circ=-\sqrt3\)（\(120^\circ=180^\circ-60^\circ\)、\(\tan60^\circ=\sqrt3\) に公式 \(\tan(180^\circ-\theta)=-\tan\theta\) を使うと確認できる）。 \(\tan\theta\) は \(90^\circ<\theta<180^\circ\) の中で単調に増加する（\(-\infty\) から \(0\) に向かって増える）ので、同じ値になる角は他にない。 \(\theta=120^\circ\)

練習問題（全18問）

答えを入力して「採点」を押すと○×が出るぞ。分数は「1/2」、負の分数は「-1/2」、根号は「√3/2」または「sqrt3/2」のように入力しよう。方程式の答えが2つあるときは「30,150」のように小さい順にコンマ区切りで、1つのときは「90」のように単独で入力しよう。

基本（1〜7）

有名角の値

\(\sin120^\circ\) の値を求めよ。

値

解説を見る

\(120^\circ=180^\circ-60^\circ\)。公式 \(\sin(180^\circ-\theta)=\sin\theta\) より \(\sin120^\circ=\sin60^\circ\)。 \(\sin120^\circ=\dfrac{\sqrt3}{2}\)

有名角の値

\(\cos135^\circ\) の値を求めよ。

値

解説を見る

\(135^\circ=180^\circ-45^\circ\)。公式 \(\cos(180^\circ-\theta)=-\cos\theta\) より \(\cos135^\circ=-\cos45^\circ\)。 \(\cos135^\circ=-\dfrac{\sqrt2}{2}\)

有名角の値

\(\tan150^\circ\) の値を求めよ。

値

解説を見る

\(150^\circ=180^\circ-30^\circ\)。公式 \(\tan(180^\circ-\theta)=-\tan\theta\) より \(\tan150^\circ=-\tan30^\circ\)。 \(\tan150^\circ=-\dfrac{\sqrt3}{3}\)

有名角の値

\(\sin90^\circ\) の値を求めよ。

値

解説を見る

\(\theta=90^\circ\) では \(P(0,\ r)\) なので \(\sin90^\circ=\dfrac{r}{r}=1\)。 \(\sin90^\circ=1\)

有名角の値

\(\cos180^\circ\) の値を求めよ。

値

解説を見る

\(\theta=180^\circ\) では \(P(-r,\ 0)\) なので \(\cos180^\circ=\dfrac{-r}{r}=-1\)。 \(\cos180^\circ=-1\)

有名角の値

\(\tan0^\circ\) の値を求めよ。

値

解説を見る

\(\theta=0^\circ\) では \(P(r,\ 0)\) なので \(\tan0^\circ=\dfrac{0}{r}=0\)。 \(\tan0^\circ=0\)

有名角の値

\(\cos150^\circ\) の値を求めよ。

値

解説を見る

\(150^\circ=180^\circ-30^\circ\)。公式 \(\cos(180^\circ-\theta)=-\cos\theta\) より \(\cos150^\circ=-\cos30^\circ\)。 \(\cos150^\circ=-\dfrac{\sqrt3}{2}\)

標準（8〜14）　※どの公式を使うか自分で考えよう

\(\cos\theta=\dfrac13\) のとき、\(\cos(180^\circ-\theta)\) の値を求めよ。

値

解説を見る

公式 \(\cos(180^\circ-\theta)=-\cos\theta\) に \(\cos\theta=\dfrac13\) を代入する。 \(\cos(180^\circ-\theta)=-\dfrac13\)

\(\sin\theta=\dfrac25\) のとき、\(\sin(180^\circ-\theta)\) の値を求めよ。

値

解説を見る

公式 \(\sin(180^\circ-\theta)=\sin\theta\) より、そのまま同じ値になる。 \(\sin(180^\circ-\theta)=\dfrac25\)

\(\sin\theta=\dfrac34\) のとき、\(\cos(90^\circ-\theta)\) の値を求めよ。

値

解説を見る

公式 \(\cos(90^\circ-\theta)=\sin\theta\) より、そのまま同じ値になる。 \(\cos(90^\circ-\theta)=\dfrac34\)

\(\tan\theta=2\) のとき、\(\tan(90^\circ-\theta)\) の値を求めよ。

値

解説を見る

公式 \(\tan(90^\circ-\theta)=\dfrac{1}{\tan\theta}\) に \(\tan\theta=2\) を代入する。 \(\tan(90^\circ-\theta)=\dfrac12\)

\(\sin\theta=\dfrac{\sqrt3}{2}\)（\(0^\circ \le \theta \le 180^\circ\)）を満たす \(\theta\) をすべて求めよ。（コンマ区切りで小さい順に入力）

\(\theta=\)

解説を見る

有名角の表より \(\sin60^\circ=\dfrac{\sqrt3}{2}\)。基準角は \(60^\circ\)。 \(\sin\theta\) は正なので \(180^\circ-60^\circ=120^\circ\) も解になる（\(\sin120^\circ=\sin60^\circ=\dfrac{\sqrt3}{2}\)）。 \(\theta=60^\circ,\ 120^\circ\)

\(\cos\theta=-\dfrac{\sqrt2}{2}\)（\(0^\circ \le \theta \le 180^\circ\)）を満たす \(\theta\) を求めよ。

\(\theta=\)

解説を見る

\(\cos\theta\) が負なので \(\theta\) は鈍角。有名角の表より \(\cos135^\circ=-\dfrac{\sqrt2}{2}\)。 \(\cos\theta\) は単調に減少するので、他に解はない。 \(\theta=135^\circ\)

\(\tan\theta=\sqrt3\)（\(0^\circ \le \theta \le 180^\circ,\ \theta\neq90^\circ\)）を満たす \(\theta\) を求めよ。

\(\theta=\)

解説を見る

\(\tan\theta\) が正なので \(\theta\) は鋭角（\(0^\circ\le\theta<90^\circ\)、鈍角側では \(\tan\theta<0\) になるため）。有名角の表より \(\tan60^\circ=\sqrt3\)。この範囲で他に解はない。 \(\theta=60^\circ\)

挑戦（15〜18）

一般的に成り立つ関係

\(\cos\theta=-\dfrac13\) のとき、\(\cos(180^\circ-\theta)+\cos\theta\) の値を求めよ。

値

解説を見る

公式 \(\cos(180^\circ-\theta)=-\cos\theta\) より、 \(\cos(180^\circ-\theta)+\cos\theta = -\cos\theta+\cos\theta = 0\) これは \(\cos\theta\) の値によらず、\(\theta\) がどんな角でも常に成り立つ関係になっている。だから \(\cos\theta=-\dfrac13\) という具体的な値は実は使わなくても答えが出せる。 \(\cos(180^\circ-\theta)+\cos\theta=0\)

符号の変化に注目

\(\tan\theta=-2\)（\(90^\circ<\theta<180^\circ\)）のとき、\(\tan(180^\circ-\theta)\) の値を求めよ。

値

解説を見る

公式 \(\tan(180^\circ-\theta)=-\tan\theta\) に \(\tan\theta=-2\) を代入する。 \(\tan(180^\circ-\theta) = -(-2) = 2\) \(\tan(180^\circ-\theta)=2\)

2つの候補から1つに絞る

\(\sin\theta=\dfrac12\) かつ \(\cos\theta<0\)（\(0^\circ \le \theta \le 180^\circ\)）を満たす \(\theta\) を求めよ。

\(\theta=\)

解説を見る

\(\sin\theta=\dfrac12\) を満たす \(\theta\) は \(30^\circ\) と \(150^\circ\) の2つ（例題4と同じ）。条件 \(\cos\theta<0\) を確認すると、\(\cos30^\circ=\dfrac{\sqrt3}{2}>0\) なので \(30^\circ\) は不適。 \(\cos150^\circ=-\dfrac{\sqrt3}{2}<0\) なので \(150^\circ\) は条件に合う。 \(\theta=150^\circ\)

方程式を解いてから別の値を求める

\(\sin\theta=\dfrac{\sqrt3}{2}\) かつ \(90^\circ<\theta<180^\circ\) を満たすとき、\(\cos\theta\) の値を求めよ。

値

解説を見る

\(\sin\theta=\dfrac{\sqrt3}{2}\) を満たす \(\theta\) は \(0^\circ \le \theta \le 180^\circ\) の範囲で \(60^\circ\) と \(120^\circ\) の2つ。条件 \(90^\circ<\theta<180^\circ\) を満たすのは \(120^\circ\) だけなので、\(\theta=120^\circ\) に決まる。有名角の表より \(\cos120^\circ=-\dfrac12\)。 \(\theta=120^\circ\)、\(\cos\theta=-\dfrac12\)

応用問題（プリント限定）

ここから先はPDF限定の腕試し。方程式が少し複雑になったり、複数の公式を組み合わせたりする問題に挑戦しよう。

応1

sinθ=cosθ型

\(\sin\theta=\cos\theta\)（\(0^\circ \le \theta \le 180^\circ\)）を満たす \(\theta\) を求めよ。

\(\theta=\)

解説を見る

\(\theta=90^\circ\) では \(\cos\theta=0,\ \sin\theta=1\) で等しくないので、\(\cos\theta\neq0\) として両辺を \(\cos\theta\) で割ってよい。 \(\dfrac{\sin\theta}{\cos\theta}=1\)、つまり \(\tan\theta=1\)。 \(\tan\theta\) が正になるのは \(0^\circ\le\theta<90^\circ\) の範囲だけ（\(90^\circ<\theta<180^\circ\) では \(\tan\theta<0\) になるため、そちらに解はない）。有名角の表より \(\tan45^\circ=1\)。 \(\theta=45^\circ\)

応2

tanθの方程式（2乗）

\(\tan^2\theta=3\)（\(0^\circ \le \theta \le 180^\circ,\ \theta\neq90^\circ\)）を満たす \(\theta\) をすべて求めよ。（コンマ区切りで小さい順に入力）

\(\theta=\)

解説を見る

\(\tan^2\theta=3\) より \(\tan\theta=\sqrt3\) または \(\tan\theta=-\sqrt3\)。 \(\tan\theta=\sqrt3\)（正）となるのは鋭角側。有名角の表より \(\tan60^\circ=\sqrt3\)。 \(\tan\theta=-\sqrt3\)（負）となるのは鈍角側。有名角の表より \(\tan120^\circ=-\sqrt3\)。どちらも \(0^\circ \le \theta \le 180^\circ\) の範囲に入っている。 \(\theta=60^\circ,\ 120^\circ\)

応3

簡単な三角不等式（範囲で入力）

\(0^\circ \le \theta \le 180^\circ\) の範囲で、\(\sin\theta \ge \dfrac12\) を満たす \(\theta\) の範囲を求めよ。（不等号の両端の値を入力）

\(^\circ \le \theta \le\) \(^\circ\)

解説を見る

有名角の表より \(\sin30^\circ=\dfrac12\)、\(\sin150^\circ=\dfrac12\)。 \(\sin\theta\) は \(\theta=0^\circ\) から \(90^\circ\) まで増加して \(1\) になり、そこから \(180^\circ\) まで減少して \(0\) に戻る（山型）。 \(30^\circ\) と \(150^\circ\) の間（山の頂上を含む部分）ではつねに \(\sin\theta\ge\dfrac12\)、その外側では \(\sin\theta<\dfrac12\) になる。 \(30^\circ \le \theta \le 150^\circ\)

応4

90°−θと180°−θの混合式

\(\sin\theta=\dfrac35,\ \cos\theta=\dfrac45\) のとき、\(\sin(90^\circ-\theta)\times\cos(180^\circ-\theta)\) の値を求めよ。

値

解説を見る

公式 \(\sin(90^\circ-\theta)=\cos\theta=\dfrac45\)。公式 \(\cos(180^\circ-\theta)=-\cos\theta=-\dfrac45\)。 \(\sin(90^\circ-\theta)\times\cos(180^\circ-\theta) = \dfrac45\times\left(-\dfrac45\right) = -\dfrac{16}{25}\) \(-\dfrac{16}{25}\)

応5

三角形の内角への応用

三角形 \(ABC\) の内角 \(A,\ B,\ C\) について \(A+B+C=180^\circ\) が成り立つ。\(B+C=150^\circ\) のとき、\(\sin A\) の値を求めよ。（\(A=180^\circ-(B+C)\) であることを利用せよ）

値

解説を見る

\(A=180^\circ-(B+C)=180^\circ-150^\circ=30^\circ\)。公式 \(\sin(180^\circ-\theta)=\sin\theta\) を \(\theta=B+C\) として使うと \(\sin A=\sin(180^\circ-(B+C))=\sin(B+C)=\sin150^\circ\) となることも確認できる。有名角の表より \(\sin30^\circ=\dfrac12\)。 \(\sin A=\dfrac12\)