直角三角形とsin・cos・tanの定義
直角三角形の1つの鋭角に注目すると、3辺の長さの比がいつも決まった値になる。この比のことを「三角比」と呼び、\(\sin\theta\)（サイン）・\(\cos\theta\)（コサイン）・\(\tan\theta\)（タンジェント）の3種類がある。ここでの \(\theta\) は直角三角形の鋭角なので、\(0^\circ < \theta < 90^\circ\) の範囲で考える。
直角三角形には、注目している角 \(\theta\) との位置関係で名前がついた3つの辺がある。
斜辺 直角の向かいにある、一番長い辺（\(\theta\) がどこにあっても変わらない）
隣辺 \(\theta\) を作っている2辺のうち、斜辺でない方の辺
対辺 \(\theta\) の向かい側にある辺
隣辺 \(\theta\) を作っている2辺のうち、斜辺でない方の辺
対辺 \(\theta\) の向かい側にある辺
三角比の定義
\(\sin\theta\) = 対辺 ÷ 斜辺 \(\cos\theta\) = 隣辺 ÷ 斜辺 \(\tan\theta\) = 対辺 ÷ 隣辺
上の図なら \(\sin\theta = \dfrac{3}{5}\) \(\cos\theta = \dfrac{4}{5}\) \(\tan\theta = \dfrac{3}{4}\)
\(\sin\theta\) = 対辺 ÷ 斜辺 \(\cos\theta\) = 隣辺 ÷ 斜辺 \(\tan\theta\) = 対辺 ÷ 隣辺
上の図なら \(\sin\theta = \dfrac{3}{5}\) \(\cos\theta = \dfrac{4}{5}\) \(\tan\theta = \dfrac{3}{4}\)
例題1 直角三角形で、隣辺12・対辺5・斜辺13のとき、\(\sin\theta,\ \cos\theta,\ \tan\theta\) を求めよ。
解答を見る
定義にそのまま当てはめる。
\(\sin\theta = \dfrac{\text{対辺}}{\text{斜辺}} = \dfrac{5}{13}\)
\(\cos\theta = \dfrac{\text{隣辺}}{\text{斜辺}} = \dfrac{12}{13}\)
\(\tan\theta = \dfrac{\text{対辺}}{\text{隣辺}} = \dfrac{5}{12}\)
\(\sin\theta = \dfrac{5}{13},\ \cos\theta = \dfrac{12}{13},\ \tan\theta = \dfrac{5}{12}\)
例題2 直角三角形で、対辺6・斜辺10のとき（隣辺の長さは書かれていない）、\(\sin\theta,\ \cos\theta,\ \tan\theta\) を求めよ。
解答を見る
隣辺がわからないので、先に三平方の定理で求める。
隣辺 \(= \sqrt{10^2 - 6^2} = \sqrt{100-36} = \sqrt{64} = 8\)
これで隣辺8・対辺6・斜辺10とわかったので、定義に当てはめる。
\(\sin\theta = \dfrac{6}{10} = \dfrac{3}{5}\)
\(\cos\theta = \dfrac{8}{10} = \dfrac{4}{5}\)
\(\tan\theta = \dfrac{6}{8} = \dfrac{3}{4}\)
\(\sin\theta = \dfrac{3}{5},\ \cos\theta = \dfrac{4}{5},\ \tan\theta = \dfrac{3}{4}\)
有名角 \(30^\circ\)・\(45^\circ\)・\(60^\circ\) の値
直角三角形の中でも、\(30^\circ\)・\(45^\circ\)・\(60^\circ\) の三角比は特によく使うので暗記しておきたい。2種類の特別な直角三角形の辺の比を覚えておけば、自分で導くこともできる。
\(45^\circ\) の三角形（\(1:1:\sqrt{2}\)）
\(30^\circ\)・\(60^\circ\) の三角形（\(1:2:\sqrt{3}\)）
この2つの三角形から、次の値が読み取れる。
| \(\theta\) | \(\sin\theta\) | \(\cos\theta\) | \(\tan\theta\) |
| \(30^\circ\) | \(\dfrac{1}{2}\) | \(\dfrac{\sqrt3}{2}\) | \(\dfrac{\sqrt3}{3}\) |
| \(45^\circ\) | \(\dfrac{\sqrt2}{2}\) | \(\dfrac{\sqrt2}{2}\) | \(1\) |
| \(60^\circ\) | \(\dfrac{\sqrt3}{2}\) | \(\dfrac{1}{2}\) | \(\sqrt3\) |
覚え方のコツ \(30^\circ\) と \(60^\circ\) は互いに sin と cos の値が入れ替わっているだけ。これは同じ三角形を反対側の角から見ているから（対辺と隣辺が入れ替わる）。
例題3 1辺の長さが8の正三角形の高さを求めよ。
解答を見る
正三角形を頂点から底辺へ垂直に2等分すると、底角\(60^\circ\)の直角三角形ができる。斜辺（正三角形の辺）が8、高さは\(60^\circ\)の対辺にあたる。
\(\sin60^\circ = \dfrac{\text{高さ}}{8}\) より 高さ \(= 8\sin60^\circ = 8\times\dfrac{\sqrt3}{2} = 4\sqrt3\)
高さ \(4\sqrt3\)
例題4 1辺の長さが5の正方形の対角線の長さを求めよ。
解答を見る
対角線で正方形を2つに割ると、直角二等辺三角形（\(45^\circ,45^\circ,90^\circ\)）ができる。もとの辺5は隣辺、対角線は斜辺にあたる。
\(\cos45^\circ = \dfrac{5}{\text{対角線}}\) より 対角線 \(= \dfrac{5}{\cos45^\circ} = \dfrac{5}{\frac{\sqrt2}{2}} = \dfrac{10}{\sqrt2} = 5\sqrt2\)
対角線の長さ \(5\sqrt2\)
三角比の利用――高さを測る
直接はかれない木やビルの高さも、地面にいる人から見た角度（仰角）と、そこまでの水平距離がわかれば、\(\tan\) を使って計算できる。
観測者の目の位置と対象物の先端を結ぶ直角三角形を考える。水平距離が隣辺、目の高さから先端までの高さが対辺、見上げる角度（仰角）が \(\theta\) にあたるので、
\(\tan\theta = \dfrac{\text{高さ}}{\text{距離}}\) より 高さ \(=\) 距離 \(\times \tan\theta\)
例題5 目の位置から木の先端を見上げる角度（仰角）が\(45^\circ\)、木までの水平距離が10mのとき、目の高さから先端までの高さを求めよ。
解答を見る
\(\tan45^\circ = \dfrac{h}{10}\)、\(\tan45^\circ = 1\) だから
\(h = 10 \times 1 = 10\)
目の高さからの高さ 10m（地面からの木の高さを知りたいときは、これに観測者の目の高さを加える）
例題6 ビルから20m離れた地点で先端を見上げる角度（仰角）が\(60^\circ\)のとき、目の高さから先端までの高さを求めよ。
解答を見る
\(\tan60^\circ = \dfrac{h}{20}\)、\(\tan60^\circ = \sqrt3\) だから
\(h = 20\sqrt3\)
目の高さからの高さ \(20\sqrt3\)m
迷ったときの見分け方（まとめ）
手順1 まず直角を見つける。直角の向かいにある一番長い辺が「斜辺」
↓
手順2 注目している角\(\theta\)の位置（頂点）を確認する
↓
手順3 \(\theta\)の頂点に接していて斜辺でない方の辺が「隣辺」。残る\(\theta\)の向かい側の辺が「対辺」
↓
手順4 \(\sin\theta = \dfrac{\text{対辺}}{\text{斜辺}}\)、\(\cos\theta = \dfrac{\text{隣辺}}{\text{斜辺}}\)、\(\tan\theta = \dfrac{\text{対辺}}{\text{隣辺}}\) に当てはめる
注意 斜辺は角度に関係なく、いつも直角の向かいの一番長い辺で変わらない。しかし対辺と隣辺は、同じ三角形でも注目する角（頂点）が変われば入れ替わる。「対辺」「隣辺」は角ごとに決まる相対的な呼び方であることを忘れずに。図を見たらまず直角とθの位置を確認する癖をつけよう。
練習問題（全20問）
答えを入力して「採点」を押すと○×が出るぞ。分数は「3/5」、根号は「√3/2」または「sqrt3/2」のように入力。
わからないときは「解説を見る」で解き方を確認しよう。
基本（1〜8）
1
斜辺・対辺・隣辺を読み取る
図の直角三角形について、\(\sin\theta,\ \cos\theta,\ \tan\theta\) を求めよ。
\(\sin\theta=\) \(\cos\theta=\) \(\tan\theta=\)
解説を見る
\(\theta\)から見て、隣辺4・対辺3・斜辺5。
\(\sin\theta = \dfrac{3}{5}\)、\(\cos\theta = \dfrac{4}{5}\)、\(\tan\theta = \dfrac{3}{4}\)
\(\sin\theta=\dfrac{3}{5},\ \cos\theta=\dfrac{4}{5},\ \tan\theta=\dfrac{3}{4}\)
2
対辺と隣辺を図から確認
図の直角三角形について、\(\sin\theta,\ \cos\theta,\ \tan\theta\) を求めよ。
\(\sin\theta=\) \(\cos\theta=\) \(\tan\theta=\)
解説を見る
\(\theta\)から見て、隣辺12・対辺5・斜辺13。
\(\sin\theta = \dfrac{5}{13}\)、\(\cos\theta = \dfrac{12}{13}\)、\(\tan\theta = \dfrac{5}{12}\)
\(\sin\theta=\dfrac{5}{13},\ \cos\theta=\dfrac{12}{13},\ \tan\theta=\dfrac{5}{12}\)
3
斜辺は一番長い辺
図の直角三角形について、\(\sin\theta,\ \cos\theta,\ \tan\theta\) を求めよ。
\(\sin\theta=\) \(\cos\theta=\) \(\tan\theta=\)
解説を見る
\(\theta\)から見て、隣辺15・対辺8・斜辺17。
\(\sin\theta = \dfrac{8}{17}\)、\(\cos\theta = \dfrac{15}{17}\)、\(\tan\theta = \dfrac{8}{15}\)
\(\sin\theta=\dfrac{8}{17},\ \cos\theta=\dfrac{15}{17},\ \tan\theta=\dfrac{8}{15}\)
4
θの位置に注意（対辺と隣辺が入れ替わる）
図の直角三角形について、\(\sin\theta,\ \cos\theta,\ \tan\theta\) を求めよ。（\(\theta\)の位置に注意）
\(\sin\theta=\) \(\cos\theta=\) \(\tan\theta=\)
解説を見る
今回は\(\theta\)が図の右上の頂点にある。\(\theta\)から見ると、隣辺7（縦の辺）・対辺24（横の辺）・斜辺25。前の問題と対辺・隣辺が入れ替わっていることに注意。
\(\sin\theta = \dfrac{24}{25}\)、\(\cos\theta = \dfrac{7}{25}\)、\(\tan\theta = \dfrac{24}{7}\)
\(\sin\theta=\dfrac{24}{25},\ \cos\theta=\dfrac{7}{25},\ \tan\theta=\dfrac{24}{7}\)
5
有名角の値（暗記）
次の値を求めよ。\(\sin30^\circ\)、\(\cos30^\circ\)
\(\sin30^\circ=\) \(\cos30^\circ=\)
解説を見る
\(1:2:\sqrt3\)の三角形で、\(30^\circ\)の対辺は1・斜辺は2・隣辺は\(\sqrt3\)。
\(\sin30^\circ = \dfrac{1}{2}\)、\(\cos30^\circ = \dfrac{\sqrt3}{2}\)
\(\sin30^\circ=\dfrac{1}{2},\ \cos30^\circ=\dfrac{\sqrt3}{2}\)
6
有名角の値（暗記）
次の値を求めよ。\(\sin45^\circ\)、\(\cos45^\circ\)、\(\tan45^\circ\)
\(\sin45^\circ=\) \(\cos45^\circ=\) \(\tan45^\circ=\)
解説を見る
\(1:1:\sqrt2\)の直角二等辺三角形で、\(45^\circ\)の対辺は1・隣辺も1・斜辺は\(\sqrt2\)。
\(\sin45^\circ = \dfrac{1}{\sqrt2} = \dfrac{\sqrt2}{2}\)、\(\cos45^\circ = \dfrac{1}{\sqrt2} = \dfrac{\sqrt2}{2}\)、\(\tan45^\circ = \dfrac{1}{1} = 1\)
\(\sin45^\circ=\dfrac{\sqrt2}{2},\ \cos45^\circ=\dfrac{\sqrt2}{2},\ \tan45^\circ=1\)
7
有名角の値（暗記）
次の値を求めよ。\(\sin60^\circ\)、\(\cos60^\circ\)
\(\sin60^\circ=\) \(\cos60^\circ=\)
解説を見る
\(1:2:\sqrt3\)の三角形で、\(60^\circ\)の対辺は\(\sqrt3\)・斜辺は2・隣辺は1。
\(\sin60^\circ = \dfrac{\sqrt3}{2}\)、\(\cos60^\circ = \dfrac{1}{2}\)
\(\sin60^\circ=\dfrac{\sqrt3}{2},\ \cos60^\circ=\dfrac{1}{2}\)
8
tanを使った高さの計算
目の位置から見上げる角度（仰角）が\(45^\circ\)、水平距離が6mのとき、目の高さから先端までの高さを求めよ。
高さ m
解説を見る
\(\tan45^\circ = \dfrac{h}{6}\)、\(\tan45^\circ=1\)だから
\(h = 6\times1 = 6\)
高さ 6m
標準（9〜16）※比が約分できるときは約分してよい
9
図の直角三角形について、\(\sin\theta,\ \cos\theta,\ \tan\theta\) を求めよ。
\(\sin\theta=\) \(\cos\theta=\) \(\tan\theta=\)
解説を見る
\(\theta\)から見て、隣辺12・対辺9・斜辺15。これは3:4:5の三角形を3倍したもの。
\(\sin\theta = \dfrac{9}{15} = \dfrac{3}{5}\)、\(\cos\theta = \dfrac{12}{15} = \dfrac{4}{5}\)、\(\tan\theta = \dfrac{9}{12} = \dfrac{3}{4}\)
\(\sin\theta=\dfrac{3}{5},\ \cos\theta=\dfrac{4}{5},\ \tan\theta=\dfrac{3}{4}\)
10
図の直角三角形について、\(\sin\theta,\ \cos\theta,\ \tan\theta\) を求めよ。
\(\sin\theta=\) \(\cos\theta=\) \(\tan\theta=\)
解説を見る
\(\theta\)から見て、隣辺21・対辺20・斜辺29。
\(\sin\theta = \dfrac{20}{29}\)、\(\cos\theta = \dfrac{21}{29}\)、\(\tan\theta = \dfrac{20}{21}\)
\(\sin\theta=\dfrac{20}{29},\ \cos\theta=\dfrac{21}{29},\ \tan\theta=\dfrac{20}{21}\)
11
図の直角三角形について、\(\cos\theta,\ \tan\theta\) を求めよ。
\(\cos\theta=\) \(\tan\theta=\)
解説を見る
\(\theta\)から見て、隣辺40・対辺9・斜辺41。
\(\cos\theta = \dfrac{40}{41}\)、\(\tan\theta = \dfrac{9}{40}\)
\(\cos\theta=\dfrac{40}{41},\ \tan\theta=\dfrac{9}{40}\)
12
次の値を求めよ。\(\tan30^\circ\)、\(\tan60^\circ\)
\(\tan30^\circ=\) \(\tan60^\circ=\)
解説を見る
\(1:2:\sqrt3\)の三角形で、\(30^\circ\)は対辺1・隣辺\(\sqrt3\)、\(60^\circ\)は対辺\(\sqrt3\)・隣辺1。
\(\tan30^\circ = \dfrac{1}{\sqrt3} = \dfrac{\sqrt3}{3}\)
\(\tan60^\circ = \dfrac{\sqrt3}{1} = \sqrt3\)
\(\tan30^\circ=\dfrac{\sqrt3}{3},\ \tan60^\circ=\sqrt3\)
13
目の位置から見上げる角度（仰角）が\(30^\circ\)、水平距離が9mのとき、目の高さから先端までの高さを求めよ。
高さ m
解説を見る
\(\tan30^\circ = \dfrac{h}{9}\)、\(\tan30^\circ = \dfrac{\sqrt3}{3}\)だから
\(h = 9\times\dfrac{\sqrt3}{3} = 3\sqrt3\)
高さ \(3\sqrt3\)m
14
目の位置から見上げる角度（仰角）が\(60^\circ\)、水平距離が15mのとき、目の高さから先端までの高さを求めよ。
高さ m
解説を見る
\(\tan60^\circ = \dfrac{h}{15}\)、\(\tan60^\circ = \sqrt3\)だから
\(h = 15\times\sqrt3 = 15\sqrt3\)
高さ \(15\sqrt3\)m
15
図の直角三角形について、\(\tan\theta\) を求めよ。
\(\tan\theta=\)
解説を見る
\(\theta\)から見て、隣辺16・対辺12。これは3:4:5の三角形を4倍したもの。
\(\tan\theta = \dfrac{12}{16} = \dfrac{3}{4}\)
\(\tan\theta=\dfrac{3}{4}\)
16
図の直角三角形について、\(\sin\theta,\ \cos\theta,\ \tan\theta\) を求めよ。
\(\sin\theta=\) \(\cos\theta=\) \(\tan\theta=\)
解説を見る
\(\theta\)から見て、隣辺60・対辺11・斜辺61。
\(\sin\theta = \dfrac{11}{61}\)、\(\cos\theta = \dfrac{60}{61}\)、\(\tan\theta = \dfrac{11}{60}\)
\(\sin\theta=\dfrac{11}{61},\ \cos\theta=\dfrac{60}{61},\ \tan\theta=\dfrac{11}{60}\)
挑戦（17〜20）
17
tanθの値から比の三角形を作る
\(\theta\)は鋭角で、\(\tan\theta = \dfrac{3}{4}\)であるとき、\(\sin\theta,\ \cos\theta\) を求めよ。
\(\sin\theta=\) \(\cos\theta=\)
解説を見る
\(\tan\theta = \dfrac{\text{対辺}}{\text{隣辺}} = \dfrac{3}{4}\)なので、対辺3・隣辺4の直角三角形を考える。
斜辺 \(= \sqrt{3^2+4^2} = \sqrt{9+16} = \sqrt{25} = 5\)
これで対辺3・隣辺4・斜辺5とわかったので、
\(\sin\theta = \dfrac{3}{5}\)、\(\cos\theta = \dfrac{4}{5}\)
\(\sin\theta=\dfrac{3}{5},\ \cos\theta=\dfrac{4}{5}\)
18
特別な角の逆算
\(\theta\)は鋭角で、\(\tan\theta = 1\)であるとき、\(\sin\theta,\ \cos\theta\) を求めよ。
\(\sin\theta=\) \(\cos\theta=\)
解説を見る
\(\tan\theta = \dfrac{\text{対辺}}{\text{隣辺}} = 1\)なので、対辺と隣辺の長さが等しい（対辺1・隣辺1とおける）直角二等辺三角形になる。
斜辺 \(= \sqrt{1^2+1^2} = \sqrt2\)
これで対辺1・隣辺1・斜辺\(\sqrt2\)とわかったので、
\(\sin\theta = \dfrac{1}{\sqrt2} = \dfrac{\sqrt2}{2}\)、\(\cos\theta = \dfrac{1}{\sqrt2} = \dfrac{\sqrt2}{2}\)
（これは\(\theta=45^\circ\)であることに対応している）
\(\sin\theta=\dfrac{\sqrt2}{2},\ \cos\theta=\dfrac{\sqrt2}{2}\)
19
斜辺（視線の距離）も計算する
目の位置から塔の先端を見上げる角度（仰角）が\(60^\circ\)、水平距離が20mのとき、目の高さから先端までの高さ \(h\) と、目の位置から先端までの視線の距離（斜辺）\(\ell\) を求めよ。
高さ \(h=\) m 視線の距離 \(\ell=\) m
解説を見る
\(\tan60^\circ = \dfrac{h}{20}\)、\(\tan60^\circ=\sqrt3\)だから
\(h = 20\times\sqrt3 = 20\sqrt3\)
視線の距離\(\ell\)（斜辺）は、隣辺（距離20）とこの角\(60^\circ\)から\(\cos\)を使って求める。
\(\cos60^\circ = \dfrac{20}{\ell}\)、\(\cos60^\circ = \dfrac{1}{2}\)だから
\(\ell = \dfrac{20}{\frac{1}{2}} = 40\)
高さ \(h=20\sqrt3\)m、視線の距離 \(\ell=40\)m
20
はしごの問題（斜辺を求める）
はしごの根もとが壁から5m離れた地点にあり、はしごと地面のなす角が\(60^\circ\)であるとき、はしごの長さと、はしごが壁に届く高さを求めよ。
はしごの長さ m 届く高さ m
解説を見る
壁からの距離5m（隣辺）、地面との角\(60^\circ\)、はしごの長さ（斜辺）を求める。
\(\cos60^\circ = \dfrac{5}{\text{はしごの長さ}}\)、\(\cos60^\circ=\dfrac{1}{2}\)だから
はしごの長さ \(= \dfrac{5}{\frac{1}{2}} = 10\)
届く高さ（対辺）は\(\tan\)で求める。
\(\tan60^\circ = \dfrac{\text{高さ}}{5}\)、\(\tan60^\circ=\sqrt3\)だから
高さ \(= 5\times\sqrt3 = 5\sqrt3\)
はしごの長さ 10m、届く高さ \(5\sqrt3\)m
応用問題（プリント限定）
ここから先はPDF限定の腕試し。複合図形や測量の応用など、入試の基礎レベルに挑戦しよう。
応1
複合図形（2つの直角三角形）
ビルの上にアンテナが立っている。ビルから水平に10m離れた地点から見ると、ビルの先端（アンテナの根もと）を見上げる角度は\(45^\circ\)、アンテナの先端を見上げる角度は\(60^\circ\)であった。目の高さからのビルの高さと、目の高さからアンテナの先端までの高さを求めよ。
ビルの高さ m アンテナ先端までの高さ m
解説を見る
観測地点から水平距離10mの直角三角形を2つ重ねて考える。
ビルの先端まで（仰角\(45^\circ\)）：
\(\tan45^\circ = \dfrac{\text{ビルの高さ}}{10}\)、\(\tan45^\circ=1\)だから ビルの高さ \(=10\times1=10\)
アンテナの先端まで（仰角\(60^\circ\)）：
\(\tan60^\circ = \dfrac{\text{先端までの高さ}}{10}\)、\(\tan60^\circ=\sqrt3\)だから 先端までの高さ \(=10\times\sqrt3=10\sqrt3\)
ビルの高さ 10m、アンテナ先端までの高さ \(10\sqrt3\)m
応2
傾斜角
傾斜角\(30^\circ\)の坂道がある。この坂道を水平距離で9m進んだとき、実際に登った高さ（垂直方向）と、坂道に沿って進んだ距離（斜辺）を求めよ。
登った高さ m 坂道に沿った距離 m
解説を見る
水平距離9m（隣辺）、傾斜角\(30^\circ\)。登った高さ（対辺）は\(\tan\)で求める。
\(\tan30^\circ = \dfrac{\text{高さ}}{9}\)、\(\tan30^\circ=\dfrac{\sqrt3}{3}\)だから
高さ \(= 9\times\dfrac{\sqrt3}{3} = 3\sqrt3\)
坂道に沿った距離（斜辺）は\(\cos\)で求める。
\(\cos30^\circ = \dfrac{9}{\text{坂道の距離}}\)、\(\cos30^\circ=\dfrac{\sqrt3}{2}\)だから
坂道の距離 \(= \dfrac{9}{\frac{\sqrt3}{2}} = \dfrac{18}{\sqrt3} = \dfrac{18\sqrt3}{3} = 6\sqrt3\)
登った高さ \(3\sqrt3\)m、坂道に沿った距離 \(6\sqrt3\)m
応3
影の長さの変化
高さ6mの木がある。太陽の高度（仰角）が\(45^\circ\)のときと\(30^\circ\)のときで、木の影の長さはそれぞれ何mになるか求めよ。
仰角\(45^\circ\)のときの影 m 仰角\(30^\circ\)のときの影 m
解説を見る
木の根もと・木の先端・影の先端でできる直角三角形を考える。木の高さ6mが対辺、影の長さが隣辺、太陽の高度が\(\theta\)にあたる。
\(\tan\theta = \dfrac{\text{高さ}}{\text{影の長さ}}\) より 影の長さ \(= \dfrac{\text{高さ}}{\tan\theta}\)
仰角\(45^\circ\)のとき：影の長さ \(= \dfrac{6}{\tan45^\circ} = \dfrac{6}{1} = 6\)
仰角\(30^\circ\)のとき：影の長さ \(= \dfrac{6}{\tan30^\circ} = \dfrac{6}{\frac{\sqrt3}{3}} = \dfrac{18}{\sqrt3} = 6\sqrt3\)
太陽が低くなる（仰角が小さくなる）と、影が長くのびることがわかる。
仰角\(45^\circ\)のとき影6m、仰角\(30^\circ\)のとき影\(6\sqrt3\)m
応4
複合図形（二等辺三角形を2分割）
底辺の長さが14、底角がともに\(45^\circ\)の二等辺三角形がある。この三角形の高さと、等しい2辺の長さを求めよ。
高さ 等しい辺の長さ
解説を見る
頂点から底辺に垂線をおろすと、二等辺三角形は合同な2つの直角三角形に分かれる。底辺は\(14\div2=7\)ずつに分かれ、これが隣辺、底角\(45^\circ\)は分割後の三角形の底角のまま。
\(\tan45^\circ = \dfrac{\text{高さ}}{7}\)、\(\tan45^\circ=1\)だから 高さ \(= 7\times1=7\)
等しい辺の長さ（斜辺）は\(\cos\)で求める。
\(\cos45^\circ = \dfrac{7}{\text{等しい辺}}\)、\(\cos45^\circ=\dfrac{\sqrt2}{2}\)だから
等しい辺 \(= \dfrac{7}{\frac{\sqrt2}{2}} = \dfrac{14}{\sqrt2} = 7\sqrt2\)
高さ7、等しい辺の長さ \(7\sqrt2\)
応5
2地点からの測量
ビルの真下から一直線上にある2地点A、Bから先端を見上げる角度を測ったところ、ビルに近いA地点では\(60^\circ\)、A地点よりビルから20m遠いB地点では\(30^\circ\)であった。A地点からビルまでの水平距離と、ビルの高さを求めよ。
A地点からの距離 m ビルの高さ m
解説を見る
A地点からビルまでの水平距離を \(x\) とすると、B地点からの距離は \(x+20\)。ビルの高さを \(h\) として、それぞれの直角三角形で\(\tan\)を立てる。
A地点（仰角\(60^\circ\)）：\(\tan60^\circ = \dfrac{h}{x}\) より \(h = \sqrt3\,x\)
B地点（仰角\(30^\circ\)）：\(\tan30^\circ = \dfrac{h}{x+20}\) より \(h = \dfrac{\sqrt3}{3}(x+20)\)
2つの式は同じ\(h\)を表すので
\(\sqrt3\,x = \dfrac{\sqrt3}{3}(x+20)\)
両辺を\(\sqrt3\)で割ると \(x = \dfrac{1}{3}(x+20)\)、両辺3倍して \(3x = x+20\)、\(2x=20\)、\(x=10\)
\(h = \sqrt3\times10 = 10\sqrt3\)
A地点からの距離10m、ビルの高さ \(10\sqrt3\)m