三角比の相互関係

解説＋ドリル全18問・自動採点つき

問題プリントPDF 解答つきPDF
STEP 1

3つの相互関係を定義から導く

\(\sin\theta\)・\(\cos\theta\)・\(\tan\theta\) は、どれも直角三角形の「辺の比」として定義されていた。だから、この3つの値の間には三平方の定理から導かれる決まった関係式がいつも成り立つ。まずは定義に立ち返って、その関係式を1つずつ確認しよう。

直角三角形ABC（角Bが直角）で、角Aを \(\theta\) とすると、定義は次の通りだった。

\(\sin\theta = \dfrac{a}{c}\)（対辺／斜辺）　\(\cos\theta = \dfrac{b}{c}\)（隣辺／斜辺）　\(\tan\theta = \dfrac{a}{b}\)（対辺／隣辺）

相互関係1：\(\sin^2\theta + \cos^2\theta = 1\)

\(\sin^2\theta + \cos^2\theta = 1\)

定義を代入して計算してみよう。

\(\sin^2\theta + \cos^2\theta = \left(\dfrac{a}{c}\right)^2 + \left(\dfrac{b}{c}\right)^2 = \dfrac{a^2}{c^2} + \dfrac{b^2}{c^2} = \dfrac{a^2+b^2}{c^2}\)

ここで三平方の定理より \(a^2+b^2=c^2\) だから、

\(\dfrac{a^2+b^2}{c^2} = \dfrac{c^2}{c^2} = 1\)

よって \(\sin^2\theta + \cos^2\theta = 1\) が成り立つ。これは三角比でいちばんよく使う関係式なので、必ず覚えておこう。

相互関係2：\(\tan\theta = \dfrac{\sin\theta}{\cos\theta}\)

\(\tan\theta = \dfrac{\sin\theta}{\cos\theta}\)

こちらも定義を代入するだけで導ける。

\(\dfrac{\sin\theta}{\cos\theta} = \dfrac{a/c}{b/c} = \dfrac{a}{c} \times \dfrac{c}{b} = \dfrac{a}{b} = \tan\theta\)

よって \(\tan\theta = \dfrac{\sin\theta}{\cos\theta}\) が成り立つ。\(\theta\) が鋭角（\(0^\circ < \theta < 90^\circ\)）のときは \(\cos\theta\) が \(0\) になることはないので、この割り算はいつでも計算できる。

相互関係3：\(1 + \tan^2\theta = \dfrac{1}{\cos^2\theta}\)

\(1 + \tan^2\theta = \dfrac{1}{\cos^2\theta}\)

これは相互関係1を \(\cos^2\theta\) で割ることで導ける。相互関係1「\(\sin^2\theta + \cos^2\theta = 1\)」の両辺を \(\cos^2\theta\)（\(\ne 0\)）で割ると、

\(\dfrac{\sin^2\theta}{\cos^2\theta} + \dfrac{\cos^2\theta}{\cos^2\theta} = \dfrac{1}{\cos^2\theta}\)

左辺の第1項は \(\dfrac{\sin^2\theta}{\cos^2\theta} = \left(\dfrac{\sin\theta}{\cos\theta}\right)^2 = \tan^2\theta\)（相互関係2を使った）、第2項は \(1\) になるので、

\(\tan^2\theta + 1 = \dfrac{1}{\cos^2\theta}\)

よって \(1 + \tan^2\theta = \dfrac{1}{\cos^2\theta}\) が成り立つ。この式は、\(\tan\theta\) の値から \(\cos\theta\) を求めたいときに活躍する（STEP 3で使う）。

STEP 2

\(\sin\theta\) から \(\cos\theta\)・\(\tan\theta\) を求める

鋭角 \(\theta\)（\(0^\circ < \theta < 90^\circ\)）の \(\sin\theta\) の値だけが分かっているとき、相互関係1「\(\sin^2\theta + \cos^2\theta = 1\)」を使えば \(\cos\theta\) が求まる。鋭角では \(\cos\theta\) は必ず正なので、ルートの符号で迷う必要はない。

例題1　\(\theta\) は鋭角とする。\(\sin\theta = \dfrac{3}{5}\) のとき、\(\cos\theta\)、\(\tan\theta\) を求めよ。

解答を見る
相互関係1「\(\sin^2\theta + \cos^2\theta = 1\)」より \(\cos^2\theta = 1 - \sin^2\theta = 1 - \left(\dfrac{3}{5}\right)^2 = 1 - \dfrac{9}{25} = \dfrac{16}{25}\) \(\theta\) は鋭角なので \(\cos\theta > 0\)。よって \(\cos\theta = \sqrt{\dfrac{16}{25}} = \dfrac{4}{5}\) 相互関係2「\(\tan\theta = \dfrac{\sin\theta}{\cos\theta}\)」より \(\tan\theta = \dfrac{3/5}{4/5} = \dfrac{3}{5} \times \dfrac{5}{4} = \dfrac{3}{4}\) \(\cos\theta = \dfrac{4}{5}\)、\(\tan\theta = \dfrac{3}{4}\)

例題2　\(\theta\) は鋭角とする。\(\sin\theta = \dfrac{1}{3}\) のとき、\(\cos\theta\)、\(\tan\theta\) を求めよ。

解答を見る
\(\cos^2\theta = 1 - \left(\dfrac{1}{3}\right)^2 = 1 - \dfrac{1}{9} = \dfrac{8}{9}\) \(\theta\) は鋭角なので \(\cos\theta > 0\)。よって \(\cos\theta = \sqrt{\dfrac{8}{9}} = \dfrac{\sqrt{8}}{3} = \dfrac{2\sqrt{2}}{3}\)（\(\sqrt{8}=2\sqrt{2}\) に整理した） \(\tan\theta = \dfrac{\sin\theta}{\cos\theta} = \dfrac{1/3}{2\sqrt{2}/3} = \dfrac{1}{3} \times \dfrac{3}{2\sqrt{2}} = \dfrac{1}{2\sqrt{2}} = \dfrac{\sqrt{2}}{4}\)（分母を有理化した） \(\cos\theta = \dfrac{2\sqrt{2}}{3}\)、\(\tan\theta = \dfrac{\sqrt{2}}{4}\)
STEP 3

\(\tan\theta\) から \(\cos\theta\)・\(\sin\theta\) を求める

\(\tan\theta\) の値だけが分かっているときは、相互関係3「\(1 + \tan^2\theta = \dfrac{1}{\cos^2\theta}\)」を使って先に \(\cos\theta\) を求め、そのあと \(\sin\theta = \tan\theta \times \cos\theta\) で仕上げるのがコツ。

例題1　\(\theta\) は鋭角とする。\(\tan\theta = 2\) のとき、\(\cos\theta\)、\(\sin\theta\) を求めよ。

解答を見る
相互関係3「\(1 + \tan^2\theta = \dfrac{1}{\cos^2\theta}\)」より \(\dfrac{1}{\cos^2\theta} = 1 + \tan^2\theta = 1 + 2^2 = 1 + 4 = 5\) よって \(\cos^2\theta = \dfrac{1}{5}\)。\(\theta\) は鋭角なので \(\cos\theta > 0\)。 \(\cos\theta = \sqrt{\dfrac{1}{5}} = \dfrac{1}{\sqrt{5}} = \dfrac{\sqrt{5}}{5}\)（分母を有理化した） \(\sin\theta = \tan\theta \times \cos\theta = 2 \times \dfrac{\sqrt{5}}{5} = \dfrac{2\sqrt{5}}{5}\) 検算：\(\sin^2\theta + \cos^2\theta = \dfrac{4 \times 5}{25} + \dfrac{5}{25} = \dfrac{20}{25} + \dfrac{5}{25} = \dfrac{25}{25} = 1\) となり、相互関係1が成り立つことも確認できる。 \(\cos\theta = \dfrac{\sqrt{5}}{5}\)、\(\sin\theta = \dfrac{2\sqrt{5}}{5}\)

例題2　\(\theta\) は鋭角とする。\(\tan\theta = \dfrac{3}{4}\) のとき、\(\cos\theta\)、\(\sin\theta\) を求めよ。

解答を見る
\(\dfrac{1}{\cos^2\theta} = 1 + \left(\dfrac{3}{4}\right)^2 = 1 + \dfrac{9}{16} = \dfrac{25}{16}\) よって \(\cos^2\theta = \dfrac{16}{25}\)。\(\theta\) は鋭角なので \(\cos\theta > 0\)。 \(\cos\theta = \sqrt{\dfrac{16}{25}} = \dfrac{4}{5}\) \(\sin\theta = \tan\theta \times \cos\theta = \dfrac{3}{4} \times \dfrac{4}{5} = \dfrac{3}{5}\) この3:4:5の直角三角形は、STEP 1でも登場した図形と同じもの。同じ三角形でも、どの値が与えられるかによって、使う相互関係が変わることが分かる。 \(\cos\theta = \dfrac{4}{5}\)、\(\sin\theta = \dfrac{3}{5}\)
STEP 4

どの関係式から入るか（まとめ）

3つの相互関係は似ているので、「今どれを使えばいいか」を整理しておくと迷わなくなる。ポイントは「何が与えられているか」を最初に確認すること。

手順1　何が与えられているかを確認する（\(\sin\theta\)・\(\cos\theta\)・\(\tan\theta\) のどれか）
↓
\(\sin\theta\) が与えられた
相互関係1で \(\cos\theta\) を求める
→ 相互関係2で \(\tan\theta\)
\(\cos\theta\) が与えられた
相互関係1で \(\sin\theta\) を求める
→ 相互関係2で \(\tan\theta\)
\(\tan\theta\) が与えられた
相互関係3で \(\cos\theta\) を求める
→ \(\sin\theta=\tan\theta\times\cos\theta\)
↓
手順2　\(\theta\) は鋭角なので、\(\sin\theta\)・\(\cos\theta\) はどちらも正。ルートの符号は迷わず \(+\) を選ぶ
注意　この「ルートはいつも \(+\)」というルールが使えるのは \(\theta\) が鋭角のときだけ。\(\theta\) が \(90^\circ\) より大きい鈍角になると \(\cos\theta\) が負になることもある。この扱いは次のページ「3. 鈍角への拡張」で学ぶ。
練習問題（全18問）

答えを入力して「採点」を押すと○×が出るぞ。分数は「3/4」、根号は「2√5/5」のように入力しよう。
わからないときは「解説を見る」で解き方を確認しよう。

基本（1〜8）
1
\(\sin\theta\)→\(\cos\theta\)・\(\tan\theta\)

\(\theta\) は鋭角とする。\(\sin\theta = \dfrac{4}{5}\) のとき、\(\cos\theta\)、\(\tan\theta\) を求めよ。

\(\cos\theta=\) 　\(\tan\theta=\)
解説を見る
\(\cos^2\theta = 1 - \left(\dfrac{4}{5}\right)^2 = 1 - \dfrac{16}{25} = \dfrac{9}{25}\) \(\theta\) は鋭角なので \(\cos\theta > 0\)、\(\cos\theta = \dfrac{3}{5}\) \(\tan\theta = \dfrac{\sin\theta}{\cos\theta} = \dfrac{4/5}{3/5} = \dfrac{4}{3}\) \(\cos\theta = \dfrac{3}{5}\)、\(\tan\theta = \dfrac{4}{3}\)
2
\(\sin\theta\)→\(\cos\theta\)・\(\tan\theta\)

\(\theta\) は鋭角とする。\(\sin\theta = \dfrac{1}{2}\) のとき、\(\cos\theta\)、\(\tan\theta\) を求めよ。

\(\cos\theta=\) 　\(\tan\theta=\)
解説を見る
\(\cos^2\theta = 1 - \left(\dfrac{1}{2}\right)^2 = 1 - \dfrac{1}{4} = \dfrac{3}{4}\) \(\theta\) は鋭角なので \(\cos\theta > 0\)、\(\cos\theta = \sqrt{\dfrac{3}{4}} = \dfrac{\sqrt{3}}{2}\) \(\tan\theta = \dfrac{1/2}{\sqrt{3}/2} = \dfrac{1}{\sqrt{3}} = \dfrac{\sqrt{3}}{3}\)（分母を有理化した） \(\cos\theta = \dfrac{\sqrt{3}}{2}\)、\(\tan\theta = \dfrac{\sqrt{3}}{3}\)
3
\(\sin\theta\)→\(\cos\theta\)・\(\tan\theta\)

\(\theta\) は鋭角とする。\(\sin\theta = \dfrac{\sqrt{3}}{2}\) のとき、\(\cos\theta\)、\(\tan\theta\) を求めよ。

\(\cos\theta=\) 　\(\tan\theta=\)
解説を見る
\(\cos^2\theta = 1 - \left(\dfrac{\sqrt{3}}{2}\right)^2 = 1 - \dfrac{3}{4} = \dfrac{1}{4}\) \(\theta\) は鋭角なので \(\cos\theta > 0\)、\(\cos\theta = \dfrac{1}{2}\) \(\tan\theta = \dfrac{\sqrt{3}/2}{1/2} = \sqrt{3}\) \(\cos\theta = \dfrac{1}{2}\)、\(\tan\theta = \sqrt{3}\)
4
\(\cos\theta\)→\(\sin\theta\)・\(\tan\theta\)

\(\theta\) は鋭角とする。\(\cos\theta = \dfrac{4}{5}\) のとき、\(\sin\theta\)、\(\tan\theta\) を求めよ。

\(\sin\theta=\) 　\(\tan\theta=\)
解説を見る
\(\sin^2\theta = 1 - \left(\dfrac{4}{5}\right)^2 = 1 - \dfrac{16}{25} = \dfrac{9}{25}\) \(\theta\) は鋭角なので \(\sin\theta > 0\)、\(\sin\theta = \dfrac{3}{5}\) \(\tan\theta = \dfrac{\sin\theta}{\cos\theta} = \dfrac{3/5}{4/5} = \dfrac{3}{4}\) \(\sin\theta = \dfrac{3}{5}\)、\(\tan\theta = \dfrac{3}{4}\)
5
\(\cos\theta\)→\(\sin\theta\)・\(\tan\theta\)

\(\theta\) は鋭角とする。\(\cos\theta = \dfrac{\sqrt{2}}{2}\) のとき、\(\sin\theta\)、\(\tan\theta\) を求めよ。

\(\sin\theta=\) 　\(\tan\theta=\)
解説を見る
\(\sin^2\theta = 1 - \left(\dfrac{\sqrt{2}}{2}\right)^2 = 1 - \dfrac{2}{4} = \dfrac{1}{2}\) \(\theta\) は鋭角なので \(\sin\theta > 0\)、\(\sin\theta = \sqrt{\dfrac{1}{2}} = \dfrac{\sqrt{2}}{2}\) \(\tan\theta = \dfrac{\sqrt{2}/2}{\sqrt{2}/2} = 1\) \(\sin\theta = \dfrac{\sqrt{2}}{2}\)、\(\tan\theta = 1\)
6
\(\cos\theta\)→\(\sin\theta\)・\(\tan\theta\)

\(\theta\) は鋭角とする。\(\cos\theta = \dfrac{2}{3}\) のとき、\(\sin\theta\)、\(\tan\theta\) を求めよ。

\(\sin\theta=\) 　\(\tan\theta=\)
解説を見る
\(\sin^2\theta = 1 - \left(\dfrac{2}{3}\right)^2 = 1 - \dfrac{4}{9} = \dfrac{5}{9}\) \(\theta\) は鋭角なので \(\sin\theta > 0\)、\(\sin\theta = \sqrt{\dfrac{5}{9}} = \dfrac{\sqrt{5}}{3}\) \(\tan\theta = \dfrac{\sqrt{5}/3}{2/3} = \dfrac{\sqrt{5}}{2}\) \(\sin\theta = \dfrac{\sqrt{5}}{3}\)、\(\tan\theta = \dfrac{\sqrt{5}}{2}\)
7
\(\tan\theta\)→\(\cos\theta\)・\(\sin\theta\)

\(\theta\) は鋭角とする。\(\tan\theta = 1\) のとき、\(\cos\theta\)、\(\sin\theta\) を求めよ。

\(\cos\theta=\) 　\(\sin\theta=\)
解説を見る
\(\dfrac{1}{\cos^2\theta} = 1 + \tan^2\theta = 1 + 1^2 = 2\)、よって \(\cos^2\theta = \dfrac{1}{2}\) \(\theta\) は鋭角なので \(\cos\theta > 0\)、\(\cos\theta = \sqrt{\dfrac{1}{2}} = \dfrac{\sqrt{2}}{2}\) \(\sin\theta = \tan\theta \times \cos\theta = 1 \times \dfrac{\sqrt{2}}{2} = \dfrac{\sqrt{2}}{2}\) \(\cos\theta = \dfrac{\sqrt{2}}{2}\)、\(\sin\theta = \dfrac{\sqrt{2}}{2}\)
8
\(\tan\theta\)→\(\cos\theta\)・\(\sin\theta\)

\(\theta\) は鋭角とする。\(\tan\theta = \sqrt{3}\) のとき、\(\cos\theta\)、\(\sin\theta\) を求めよ。

\(\cos\theta=\) 　\(\sin\theta=\)
解説を見る
\(\dfrac{1}{\cos^2\theta} = 1 + (\sqrt{3})^2 = 1 + 3 = 4\)、よって \(\cos^2\theta = \dfrac{1}{4}\) \(\theta\) は鋭角なので \(\cos\theta > 0\)、\(\cos\theta = \dfrac{1}{2}\) \(\sin\theta = \tan\theta \times \cos\theta = \sqrt{3} \times \dfrac{1}{2} = \dfrac{\sqrt{3}}{2}\) \(\cos\theta = \dfrac{1}{2}\)、\(\sin\theta = \dfrac{\sqrt{3}}{2}\)
標準（9〜14）　※パターンは自分で判定
9

\(\theta\) は鋭角とする。\(\sin\theta = \dfrac{2}{3}\) のとき、\(\cos\theta\)、\(\tan\theta\) を求めよ。

\(\cos\theta=\) 　\(\tan\theta=\)
解説を見る
\(\cos^2\theta = 1 - \left(\dfrac{2}{3}\right)^2 = 1 - \dfrac{4}{9} = \dfrac{5}{9}\) \(\theta\) は鋭角なので \(\cos\theta > 0\)、\(\cos\theta = \dfrac{\sqrt{5}}{3}\) \(\tan\theta = \dfrac{2/3}{\sqrt{5}/3} = \dfrac{2}{\sqrt{5}} = \dfrac{2\sqrt{5}}{5}\)（分母を有理化した） \(\cos\theta = \dfrac{\sqrt{5}}{3}\)、\(\tan\theta = \dfrac{2\sqrt{5}}{5}\)
10

\(\theta\) は鋭角とする。\(\cos\theta = \dfrac{1}{4}\) のとき、\(\sin\theta\)、\(\tan\theta\) を求めよ。

\(\sin\theta=\) 　\(\tan\theta=\)
解説を見る
\(\sin^2\theta = 1 - \left(\dfrac{1}{4}\right)^2 = 1 - \dfrac{1}{16} = \dfrac{15}{16}\) \(\theta\) は鋭角なので \(\sin\theta > 0\)、\(\sin\theta = \dfrac{\sqrt{15}}{4}\) \(\tan\theta = \dfrac{\sqrt{15}/4}{1/4} = \sqrt{15}\) \(\sin\theta = \dfrac{\sqrt{15}}{4}\)、\(\tan\theta = \sqrt{15}\)
11

\(\theta\) は鋭角とする。\(\tan\theta = 3\) のとき、\(\cos\theta\)、\(\sin\theta\) を求めよ。

\(\cos\theta=\) 　\(\sin\theta=\)
解説を見る
\(\dfrac{1}{\cos^2\theta} = 1 + 3^2 = 1 + 9 = 10\)、よって \(\cos^2\theta = \dfrac{1}{10}\) \(\theta\) は鋭角なので \(\cos\theta > 0\)、\(\cos\theta = \dfrac{1}{\sqrt{10}} = \dfrac{\sqrt{10}}{10}\)（分母を有理化した） \(\sin\theta = \tan\theta \times \cos\theta = 3 \times \dfrac{\sqrt{10}}{10} = \dfrac{3\sqrt{10}}{10}\) \(\cos\theta = \dfrac{\sqrt{10}}{10}\)、\(\sin\theta = \dfrac{3\sqrt{10}}{10}\)
12

\(\theta\) は鋭角とする。\(\tan\theta = \dfrac{1}{2}\) のとき、\(\cos\theta\)、\(\sin\theta\) を求めよ。

\(\cos\theta=\) 　\(\sin\theta=\)
解説を見る
\(\dfrac{1}{\cos^2\theta} = 1 + \left(\dfrac{1}{2}\right)^2 = 1 + \dfrac{1}{4} = \dfrac{5}{4}\)、よって \(\cos^2\theta = \dfrac{4}{5}\) \(\theta\) は鋭角なので \(\cos\theta > 0\)、\(\cos\theta = \dfrac{2}{\sqrt{5}} = \dfrac{2\sqrt{5}}{5}\)（分母を有理化した） \(\sin\theta = \tan\theta \times \cos\theta = \dfrac{1}{2} \times \dfrac{2\sqrt{5}}{5} = \dfrac{\sqrt{5}}{5}\) \(\cos\theta = \dfrac{2\sqrt{5}}{5}\)、\(\sin\theta = \dfrac{\sqrt{5}}{5}\)
13

\(\theta\) は鋭角とする。\(\sin\theta = \dfrac{5}{13}\) のとき、\(\cos\theta\)、\(\tan\theta\) を求めよ。

\(\cos\theta=\) 　\(\tan\theta=\)
解説を見る
\(\cos^2\theta = 1 - \left(\dfrac{5}{13}\right)^2 = 1 - \dfrac{25}{169} = \dfrac{144}{169}\) \(\theta\) は鋭角なので \(\cos\theta > 0\)、\(\cos\theta = \sqrt{\dfrac{144}{169}} = \dfrac{12}{13}\) \(\tan\theta = \dfrac{5/13}{12/13} = \dfrac{5}{12}\) \(\cos\theta = \dfrac{12}{13}\)、\(\tan\theta = \dfrac{5}{12}\)
14

\(\theta\) は鋭角とする。\(\cos\theta = \dfrac{7}{25}\) のとき、\(\sin\theta\)、\(\tan\theta\) を求めよ。

\(\sin\theta=\) 　\(\tan\theta=\)
解説を見る
\(\sin^2\theta = 1 - \left(\dfrac{7}{25}\right)^2 = 1 - \dfrac{49}{625} = \dfrac{576}{625}\) \(\theta\) は鋭角なので \(\sin\theta > 0\)、\(\sin\theta = \sqrt{\dfrac{576}{625}} = \dfrac{24}{25}\) \(\tan\theta = \dfrac{24/25}{7/25} = \dfrac{24}{7}\) \(\sin\theta = \dfrac{24}{25}\)、\(\tan\theta = \dfrac{24}{7}\)
挑戦（15〜18）
15
\(\tan\theta\)が根号を含む

\(\theta\) は鋭角とする。\(\tan\theta = 2\sqrt{2}\) のとき、\(\cos\theta\)、\(\sin\theta\) を求めよ。

\(\cos\theta=\) 　\(\sin\theta=\)
解説を見る
\(\dfrac{1}{\cos^2\theta} = 1 + (2\sqrt{2})^2 = 1 + 8 = 9\)、よって \(\cos^2\theta = \dfrac{1}{9}\) \(\theta\) は鋭角なので \(\cos\theta > 0\)、\(\cos\theta = \dfrac{1}{3}\) \(\sin\theta = \tan\theta \times \cos\theta = 2\sqrt{2} \times \dfrac{1}{3} = \dfrac{2\sqrt{2}}{3}\) 検算：\(\sin^2\theta+\cos^2\theta = \dfrac{8}{9}+\dfrac{1}{9}=1\) となり正しい。 \(\cos\theta = \dfrac{1}{3}\)、\(\sin\theta = \dfrac{2\sqrt{2}}{3}\)
16
\(\cos\theta\)が与えられた形

\(\theta\) は鋭角とする。\(\cos\theta = \dfrac{\sqrt{5}}{5}\) のとき、\(\sin\theta\)、\(\tan\theta\) を求めよ。

\(\sin\theta=\) 　\(\tan\theta=\)
解説を見る
\(\sin^2\theta = 1 - \left(\dfrac{\sqrt{5}}{5}\right)^2 = 1 - \dfrac{5}{25} = 1 - \dfrac{1}{5} = \dfrac{4}{5}\) \(\theta\) は鋭角なので \(\sin\theta > 0\)、\(\sin\theta = \sqrt{\dfrac{4}{5}} = \dfrac{2}{\sqrt{5}} = \dfrac{2\sqrt{5}}{5}\)（分母を有理化した） \(\tan\theta = \dfrac{2\sqrt{5}/5}{\sqrt{5}/5} = 2\) この三角形はSTEP 3の例題1（\(\tan\theta=2\)）と同じ直角三角形。\(\cos\theta\) を先に与えるか \(\tan\theta\) を先に与えるかが違うだけだと分かる。 \(\sin\theta = \dfrac{2\sqrt{5}}{5}\)、\(\tan\theta = 2\)
17
積の値を求める（\(\sin\theta\cos\theta\)）

\(\theta\) は鋭角とする。\(\tan\theta = \dfrac{1}{3}\) のとき、\(\sin\theta\cos\theta\) の値を求めよ。

\(\sin\theta\cos\theta=\)
解説を見る
\(\dfrac{1}{\cos^2\theta} = 1 + \left(\dfrac{1}{3}\right)^2 = 1 + \dfrac{1}{9} = \dfrac{10}{9}\)、よって \(\cos^2\theta = \dfrac{9}{10}\) \(\theta\) は鋭角なので \(\cos\theta > 0\)、\(\cos\theta = \dfrac{3}{\sqrt{10}} = \dfrac{3\sqrt{10}}{10}\)（分母を有理化した） \(\sin\theta = \tan\theta \times \cos\theta = \dfrac{1}{3} \times \dfrac{3\sqrt{10}}{10} = \dfrac{\sqrt{10}}{10}\) \(\sin\theta\cos\theta = \dfrac{\sqrt{10}}{10} \times \dfrac{3\sqrt{10}}{10} = \dfrac{3 \times 10}{100} = \dfrac{30}{100} = \dfrac{3}{10}\) \(\sin\theta\cos\theta = \dfrac{3}{10}\)
18
関係式の応用（式の値）

\(\theta\) は鋭角とする。\(\cos\theta = \dfrac{3}{5}\) のとき、\(1 - 2\sin^2\theta\) の値を求めよ。

\(1-2\sin^2\theta=\)
解説を見る
相互関係1より \(\sin^2\theta = 1 - \cos^2\theta = 1 - \left(\dfrac{3}{5}\right)^2 = 1 - \dfrac{9}{25} = \dfrac{16}{25}\) （\(\sin\theta\) 自体を求める必要はなく、\(\sin^2\theta\) の値が分かれば十分） \(1 - 2\sin^2\theta = 1 - 2 \times \dfrac{16}{25} = 1 - \dfrac{32}{25} = \dfrac{25}{25} - \dfrac{32}{25} = -\dfrac{7}{25}\) \(1 - 2\sin^2\theta = -\dfrac{7}{25}\)
応用問題（プリント限定）

ここから先はPDF限定の腕試し。sinθ・cosθの和や積を使いこなす対称式の扱いに挑戦しよう。

応1
和から積を求める（対称式）

\(\theta\) は鋭角とする。\(\sin\theta + \cos\theta = \dfrac{\sqrt{6}}{2}\) のとき、\(\sin\theta\cos\theta\) の値を求めよ。

\(\sin\theta\cos\theta=\)
解説を見る
\(\sin\theta+\cos\theta=\dfrac{\sqrt{6}}{2}\) の両辺を2乗する。 \((\sin\theta+\cos\theta)^2 = \sin^2\theta + 2\sin\theta\cos\theta + \cos^2\theta = \left(\dfrac{\sqrt{6}}{2}\right)^2 = \dfrac{6}{4} = \dfrac{3}{2}\) 左辺の \(\sin^2\theta+\cos^2\theta\) は相互関係1より \(1\) なので、 \(1 + 2\sin\theta\cos\theta = \dfrac{3}{2}\) \(2\sin\theta\cos\theta = \dfrac{3}{2} - 1 = \dfrac{1}{2}\) \(\sin\theta\cos\theta = \dfrac{1}{4}\) \(\sin\theta\cos\theta = \dfrac{1}{4}\)
応2
3乗の対称式（展開の利用）

\(\theta\) は鋭角とする。\(\sin\theta + \cos\theta = \dfrac{\sqrt{6}}{2}\) のとき、\(\sin^3\theta + \cos^3\theta\) の値を求めよ。（前問の \(\sin\theta\cos\theta = \dfrac{1}{4}\) を利用してよい）

\(\sin^3\theta+\cos^3\theta=\)
解説を見る
\((\sin\theta+\cos\theta)^3\) を展開してみる（\((a+b)^3=a^3+3a^2b+3ab^2+b^3\) の要領で計算する）。 \((\sin\theta+\cos\theta)^3 = \sin^3\theta + 3\sin^2\theta\cos\theta + 3\sin\theta\cos^2\theta + \cos^3\theta\) \(= \sin^3\theta+\cos^3\theta + 3\sin\theta\cos\theta(\sin\theta+\cos\theta)\) （中央の2項を \(3\sin\theta\cos\theta(\sin\theta+\cos\theta)\) の形にまとめた） よって \(\sin^3\theta+\cos^3\theta = (\sin\theta+\cos\theta)^3 - 3\sin\theta\cos\theta(\sin\theta+\cos\theta)\) 前問より \(\sin\theta+\cos\theta=\dfrac{\sqrt{6}}{2}\)、\(\sin\theta\cos\theta=\dfrac{1}{4}\) なので、代入すると \(\sin^3\theta+\cos^3\theta = \left(\dfrac{\sqrt{6}}{2}\right)^3 - 3\times\dfrac{1}{4}\times\dfrac{\sqrt{6}}{2}\) \(\left(\dfrac{\sqrt{6}}{2}\right)^3 = \dfrac{6\sqrt{6}}{8} = \dfrac{3\sqrt{6}}{4}\)、\(3\times\dfrac{1}{4}\times\dfrac{\sqrt{6}}{2} = \dfrac{3\sqrt{6}}{8}\) \(\sin^3\theta+\cos^3\theta = \dfrac{3\sqrt{6}}{4} - \dfrac{3\sqrt{6}}{8} = \dfrac{6\sqrt{6}}{8} - \dfrac{3\sqrt{6}}{8} = \dfrac{3\sqrt{6}}{8}\) \(\sin^3\theta+\cos^3\theta = \dfrac{3\sqrt{6}}{8}\)
応3
差から積を求める（対称式）

\(\theta\) は鋭角とする。\(\sin\theta - \cos\theta = \dfrac{1}{3}\) のとき、\(\sin\theta\cos\theta\) の値を求めよ。

\(\sin\theta\cos\theta=\)
解説を見る
\(\sin\theta-\cos\theta=\dfrac{1}{3}\) の両辺を2乗する。 \((\sin\theta-\cos\theta)^2 = \sin^2\theta - 2\sin\theta\cos\theta + \cos^2\theta = \left(\dfrac{1}{3}\right)^2 = \dfrac{1}{9}\) 左辺の \(\sin^2\theta+\cos^2\theta\) は相互関係1より \(1\) なので、 \(1 - 2\sin\theta\cos\theta = \dfrac{1}{9}\) \(2\sin\theta\cos\theta = 1 - \dfrac{1}{9} = \dfrac{8}{9}\) \(\sin\theta\cos\theta = \dfrac{4}{9}\) （\(\sin\theta-\cos\theta>0\) なので \(\sin\theta>\cos\theta\)、つまり \(\theta\) は \(45^\circ\) より大きい鋭角だと分かるが、積の値を求めるだけならここまでの計算で十分） \(\sin\theta\cos\theta = \dfrac{4}{9}\)
応4
積から逆数の和を求める

\(\theta\) は鋭角とする。\(\sin\theta\cos\theta = \dfrac{1}{3}\) のとき、\(\tan\theta + \dfrac{1}{\tan\theta}\) の値を求めよ。

\(\tan\theta+\dfrac{1}{\tan\theta}=\)
解説を見る
\(\tan\theta = \dfrac{\sin\theta}{\cos\theta}\)、\(\dfrac{1}{\tan\theta} = \dfrac{\cos\theta}{\sin\theta}\) なので、通分してまとめる。 \(\tan\theta + \dfrac{1}{\tan\theta} = \dfrac{\sin\theta}{\cos\theta} + \dfrac{\cos\theta}{\sin\theta} = \dfrac{\sin^2\theta+\cos^2\theta}{\sin\theta\cos\theta}\) 分子の \(\sin^2\theta+\cos^2\theta\) は相互関係1より \(1\) なので、 \(\tan\theta + \dfrac{1}{\tan\theta} = \dfrac{1}{\sin\theta\cos\theta}\) \(\sin\theta\cos\theta=\dfrac{1}{3}\) を代入すると、 \(\tan\theta + \dfrac{1}{\tan\theta} = \dfrac{1}{1/3} = 3\) \(\tan\theta + \dfrac{1}{\tan\theta} = 3\)
応5
文章題：坂道の傾斜角

ある坂道の傾斜角を \(\theta\) とする。この坂道に沿って \(100\)m 進むと、水平方向には \(80\)m 進んだ。このとき、\(\cos\theta\)、\(\sin\theta\)、\(\tan\theta\) をそれぞれ求めよ。

\(\cos\theta=\) 　\(\sin\theta=\) 　\(\tan\theta=\)
解説を見る
坂道に沿った距離が斜辺、水平方向の距離が隣辺にあたる直角三角形ができる。斜辺 \(100\)m、隣辺 \(80\)m なので、三平方の定理から対辺（高さ）を求める。 高さを \(h\) とすると \(h^2 = 100^2 - 80^2 = 10000 - 6400 = 3600\)、\(h > 0\) より \(h = 60\)m 定義通りに比を作る。 \(\cos\theta = \dfrac{隣辺}{斜辺} = \dfrac{80}{100} = \dfrac{4}{5}\) \(\sin\theta = \dfrac{対辺}{斜辺} = \dfrac{60}{100} = \dfrac{3}{5}\) \(\tan\theta = \dfrac{対辺}{隣辺} = \dfrac{60}{80} = \dfrac{3}{4}\) 検算：\(\sin^2\theta+\cos^2\theta = \dfrac{9}{25}+\dfrac{16}{25}=1\) となり正しい。 \(\cos\theta = \dfrac{4}{5}\)、\(\sin\theta = \dfrac{3}{5}\)、\(\tan\theta = \dfrac{3}{4}\)