三角形の面積と計量

正四面体の頂点から底面（1辺6の正三角形）へ垂線をおろすと、その足は底面の重心（正三角形の中心）に一致する。まず重心から頂点までの距離を求める。 正三角形の1本の中線（頂点から対辺の中点までの線）の長さは \(\dfrac{\sqrt{3}}{2}\times6=3\sqrt{3}\)。重心は中線を頂点側から\(2:1\)に内分するので、重心から頂点までの距離は \(\dfrac{2}{3}\times3\sqrt{3}=2\sqrt{3}\) 底面の重心・頂点・正四面体の頂点でできる直角三角形（重心の真上に正四面体の頂点がある）に三平方の定理を使う。 \(h = \sqrt{6^2-(2\sqrt{3})^2} = \sqrt{36-12} = \sqrt{24} = 2\sqrt{6}\) 次に底面積を求める。1辺6の正三角形の面積は \(\dfrac{\sqrt{3}}{4}\times6^2=9\sqrt{3}\)。 体積は「底面積×高さ÷3」なので \(V = \dfrac{1}{3}\times9\sqrt{3}\times2\sqrt{6} = \dfrac{1}{3}\times18\sqrt{18} = \dfrac{1}{3}\times18\times3\sqrt{2} = 18\sqrt{2}\)（\(\sqrt{18}=3\sqrt{2}\)） 高さ \(h=2\sqrt{6}\)、体積 \(V=18\sqrt{2}\)

四角形ABCDは円に内接するので、向かい合う角の和は\(180^\circ\)。よって \(\angle ADC = 180^\circ-\angle ABC = 180^\circ-60^\circ=120^\circ\)。 対角線ACによって四角形は三角形ABCと三角形ACDに分かれる。それぞれで余弦定理を使い、同じ対角線ACを2通りに表す。 三角形ABCで：\(AC^2 = AB^2+BC^2-2\times AB\times BC\times\cos60^\circ = 8^2+5^2-2\times8\times5\times\dfrac{1}{2} = 64+25-40 = 49\) 三角形ACDで（確かめ）：\(AC^2 = CD^2+DA^2-2\times CD\times DA\times\cos120^\circ = 3^2+5^2-2\times3\times5\times\left(-\dfrac{1}{2}\right) = 9+25+15 = 49\) 両方から同じ \(AC^2=49\) が出て一致した。\(AC>0\) より \(AC=7\)。 次に面積。三角形ABCの面積： \(S_1 = \dfrac{1}{2}\times AB\times BC\times\sin60^\circ = \dfrac{1}{2}\times8\times5\times\dfrac{\sqrt{3}}{2} = 20\times\dfrac{\sqrt{3}}{2} = 10\sqrt{3}\) 三角形ACDの面積： \(S_2 = \dfrac{1}{2}\times CD\times DA\times\sin120^\circ = \dfrac{1}{2}\times3\times5\times\dfrac{\sqrt{3}}{2} = \dfrac{15}{2}\times\dfrac{\sqrt{3}}{2} = \dfrac{15\sqrt{3}}{4}\) 四角形の面積は対角線で分けた2つの三角形の和なので \(S_1+S_2 = 10\sqrt{3}+\dfrac{15\sqrt{3}}{4} = \dfrac{40\sqrt{3}}{4}+\dfrac{15\sqrt{3}}{4} = \dfrac{55\sqrt{3}}{4}\) \(AC=7\)、四角形ABCDの面積\(=\dfrac{55\sqrt{3}}{4}\)

ADは\(\angle A=120^\circ\)を二等分するので、\(\angle BAD=\angle CAD=60^\circ\)。 三角形ABDと三角形ACDは、どちらもADを1辺に共有し、ADとのはさむ角がともに\(60^\circ\)で等しい。面積公式を使うと \(三角形ABDの面積 = \dfrac{1}{2}\times AB\times AD\times\sin60^\circ = \dfrac{1}{2}\times6\times AD\times\sin60^\circ\) \(三角形ACDの面積 = \dfrac{1}{2}\times AC\times AD\times\sin60^\circ = \dfrac{1}{2}\times10\times AD\times\sin60^\circ\) \(AD\)と\(\sin60^\circ\)の部分は共通なので、面積の比はそのまま\(AB:AC=6:10=3:5\)になる。 三角形ABC全体の面積を求めると \(S_{ABC} = \dfrac{1}{2}\times AB\times AC\times\sin120^\circ = \dfrac{1}{2}\times6\times10\times\dfrac{\sqrt{3}}{2} = 30\times\dfrac{\sqrt{3}}{2} = 15\sqrt{3}\) 比が\(3:5\)（全体を8等分）なので 三角形ABDの面積\(=\dfrac{3}{8}\times15\sqrt{3}=\dfrac{45\sqrt{3}}{8}\) 三角形ACDの面積\(=\dfrac{5}{8}\times15\sqrt{3}=\dfrac{75\sqrt{3}}{8}\) （確かめ：\(\dfrac{45\sqrt{3}}{8}+\dfrac{75\sqrt{3}}{8}=\dfrac{120\sqrt{3}}{8}=15\sqrt{3}\)で一致） 面積比 \(3:5\)、ABDの面積\(=\dfrac{45\sqrt{3}}{8}\)、ACDの面積\(=\dfrac{75\sqrt{3}}{8}\)

辺7と辺8にはさまれる角（辺9の対角）を\(C\)とすると \(\cos C = \dfrac{7^2+8^2-9^2}{2\times7\times8} = \dfrac{49+64-81}{112} = \dfrac{32}{112} = \dfrac{2}{7}\) \(\sin C = \sqrt{1-\dfrac{4}{49}} = \sqrt{\dfrac{45}{49}} = \dfrac{3\sqrt{5}}{7}\) \(S = \dfrac{1}{2}\times7\times8\times\dfrac{3\sqrt{5}}{7} = 28\times\dfrac{3\sqrt{5}}{7} = 12\sqrt{5}\) 周の長さは\(7+8+9=24\)なので、内接円の半径は \(r = \dfrac{2S}{a+b+c} = \dfrac{2\times12\sqrt{5}}{24} = \dfrac{24\sqrt{5}}{24} = \sqrt{5}\) 外接円の半径は正弦定理を使う。辺7の対角を\(A\)とすると \(\cos A = \dfrac{8^2+9^2-7^2}{2\times8\times9} = \dfrac{64+81-49}{144} = \dfrac{96}{144} = \dfrac{2}{3}\) \(\sin A = \sqrt{1-\dfrac{4}{9}} = \sqrt{\dfrac{5}{9}} = \dfrac{\sqrt{5}}{3}\) \(2R = \dfrac{a}{\sin A} = \dfrac{7}{\frac{\sqrt{5}}{3}} = \dfrac{21}{\sqrt{5}} = \dfrac{21\sqrt{5}}{5}\) \(R = \dfrac{21\sqrt{5}}{10}\) \(S=12\sqrt{5}\)、\(r=\sqrt{5}\)、\(R=\dfrac{21\sqrt{5}}{10}\)

まず面積を求める。\(\angle A\)を挟む2辺はAB、ACなので \(S = \dfrac{1}{2}\times AB\times AC\times\sin60^\circ = \dfrac{1}{2}\times80\times30\times\dfrac{\sqrt{3}}{2} = 1200\times\dfrac{\sqrt{3}}{2} = 600\sqrt{3}\) 内接円の半径には、残りの1辺BCの長さも必要。余弦定理より \(BC^2 = AB^2+AC^2-2\times AB\times AC\times\cos60^\circ = 80^2+30^2-2\times80\times30\times\dfrac{1}{2} = 6400+900-2400 = 4900\) \(BC>0\)より\(BC=\sqrt{4900}=70\)m。 周の長さは\(80+30+70=180\)mなので \(r = \dfrac{2S}{AB+AC+BC} = \dfrac{2\times600\sqrt{3}}{180} = \dfrac{1200\sqrt{3}}{180} = \dfrac{20\sqrt{3}}{3}\) 面積 \(S=600\sqrt{3}\)m\(^2\)、内接円の半径 \(r=\dfrac{20\sqrt{3}}{3}\)m