この範囲の全体像
数I・Aのまとめ、数II・Bのまとめは、それぞれ単独の学年の総復習として別ページにある。このページはその2つを並べただけの寄せ集めではない。数I・Aで手に入れた道具が、数II・Bでどう姿を変えて伸びていくかを、実際の問題を解きながら体感するためのページである。各問題は、数I・Aで下ごしらえをする問題と、数II・Bでその続きを仕上げる問題が、1番と21番、3番と23番のように番号のペアで結びつく構成になっている。
いちばんわかりやすい伸び方は、2次関数の「平方完成」である。数Iでは\(y=(x-p)^2+q\)の形に整理して頂点を見れば最大値・最小値が求まった。数IIの微分法は、この考え方を一般の関数に広げたもので、\(f'(x)=0\)となる\(x\)を境目に増減表をつくれば、2次関数だけでなく3次関数以上でも同じことができる。実際、2次関数のときは平方完成でも微分でも同じ答えにたどり着く（1番・21番・46番で実際に2通りの解き方を比べる）。図1は\(f(x)=x^3-3x+2\)のグラフで、平方完成という道具が通用しない世界で、微分の増減表が代わりの役目を果たす様子を示している。
2つ目の伸び方は「測る」道具の広がりである。数Iの図形と計量では、三角比は\(0°\)から\(180°\)の角度でしか定義されなかった。数IIの三角関数は、この定義を一般角・ラジアンにまで拡張し、さらに\(\sin,\cos\)を波として扱えるようにする。角度をラジアンで扱えるようになると、三角比の値を組み合わせた\(a\sin\theta+b\cos\theta\)という式を「合成」して1つの波にまとめ、最大値・最小値を一瞬で求められるようになる（2番・22番・47番）。同じ「角度と辺の比で図形を測る」という数Iの発想は、数IIでは「座標平面に置いて式で測る」という発想（8番・28番・52番の図形と方程式）にも枝分かれしていく。
3つ目の伸び方は「数える」道具である。数Aの場合の数・確率で身につけた順列・組合せ・反復試行の確率は、数Bでは「確率変数」「二項分布」という言葉で言い換えられる。反復試行の確率の公式\({}_n\mathrm C_r\,p^r(1-p)^{n-r}\)は、実は二項分布\(B(n,p)\)の確率そのものであり、期待値の公式\(E(X)=np\)は、数Aで1つずつ数えていた計算を一言でまとめたものにすぎない（4番・24番・49番）。同じ「数える」道具は数列にもつながり、確率が毎回移り変わる場面を数列の漸化式で表す「確率と漸化式」という融合分野が生まれる（3番・23番・48番）。
4つ目の伸び方は「論証する」姿勢である。数Iの集合と命題で学ぶ対偶・必要十分条件と、数IIの式と証明で学ぶ「差をとって0以上（または0以下）であることを示す」という不等式証明の型は、対偶で示すべき形に言い換えたあと、その先を差の不等式で片づける、という連携ができる（5番・25番・41番）。数Aの整数の性質で扱う倍数の判定も、数Bの数学的帰納法を使えば「すべての自然数について」という一般の主張として証明できるようになる（6番・26番・50番）。
バラバラに見える数I・Aと数II・Bが、実は「式を整理する」「測る」「数える」「論証する」という少数の考え方の上に積み重なってできていることを意識しながら、高校数学の総仕上げに取り組もう。
科目まとめへのリンク
この総復習で手が止まった単元があれば、まず該当する科目のまとめページに戻って確認しよう。
- 数I まとめ ― 数と式・集合と命題・2次関数・図形と計量・データの分析の5章を1科目として総復習する。
- 数A まとめ ― 場合の数と確率・図形の性質・整数の性質（数学と人間の活動）の3章を総復習する。
- 数II まとめ ― 式と証明・複素数と方程式・図形と方程式・三角関数・指数関数と対数関数・微分法と積分法の6章を総復習する。
- 数B まとめ ― 数列・統計的な推測の2章を総復習する。
- 数I・A まとめテスト ― 数Iと数Aをあわせた学年総合の実戦テスト（全60問＋共通テスト形式チャレンジ）。
- 数II・B まとめテスト ― 数IIと数Bをあわせた学年総合の実戦テスト（全60問＋共通テスト形式チャレンジ）。
このページはさらにその先――数I・Aと数II・Bを1つにつなげた視点で、高校数学全体を仕上げる。
要点の総整理 同じ問題が2通りで解ける場面
数I・Aで習った方法と、数II・Bで習った方法の、両方が使える場面がいくつもある。同じ答えにたどり着くことを確かめながら、どちらが速いか・どちらが一般的かを意識しよう。
数I：平方完成で頂点を見る。
数II：微分して\(f'(x)=0\)を解く。
2次関数ではどちらも同じ答え。3次以上では微分だけが使える。
数I：余弦定理・正弦定理を直接使う。
数II：座標平面に頂点を置き、2点間の距離の公式で計算する。
角度が使えるかどうかで使い分ける。
数A：小さい\(n\)で実際に計算して確かめる。
数B：数学的帰納法で、すべての自然数\(n\)について一気に証明する。
「確かめる」から「証明する」への発展。
要点の総整理 数I・Aの言葉が数II・Bでどう言い換わるか
同じ内容なのに、科目が変わると呼び方が変わる場面が多い。表で対応関係を整理しておこう。
| 数I・Aで習った形 | 数II・Bでの言い換え |
|---|---|
| 判別式\(D\)で「実数解の個数」を数える | \(D\)が負でも複素数の範囲まで含めれば必ず2つの解がある（29番） |
| 反復試行の確率\({}_n\mathrm C_r\,p^r(1-p)^{n-r}\) | 確率変数\(X\)が従う二項分布\(B(n,p)\)の確率（24番） |
| データの平均値・分散 | 確率変数の期待値\(E(X)\)・分散\(V(X)\)（27番） |
| 対偶・背理法を使った証明 | 差をとって0以上（以下）を示す不等式証明の型（25番） |
| 三角比（\(0°\)〜\(180°\)） | 一般角・ラジアンに拡張した三角関数（34番） |
| 2次関数を平方完成して頂点から最小値を読む | 微分して増減表をつくり、3次以上の関数でも最小値を求める（1番・21番・46番） |
要点の総整理 「差をとって比べる」という証明の型
数Iの対偶・背理法も、数IIの不等式証明も、いきなり結論を目指さず、仮定から出発してすでにわかっている事実に結びつける、という進め方が共通している。それは「示したいことの否定や差をつくり、それが矛盾する（あるいは0以上・0以下になる）ことを、すでにわかっている事実から示す」という進め方である。
数I・A全8章と数II・B全8章をつなぐ融合演習、全60問。目標時間は90分。基本20問（数I・A側）と、それに対応する標準〜発展の問題（1番と21番、3番と23番のように番号のペアになっている）を解き比べながら進めよう。答えを入力して「採点」を押すと○×が出るぞ。分数は「-1/2」のように入力。
わからないときは「解説を見る」で解き方を確認しよう。
2次関数\(f(x)=x^2-6x+11\)について、(a)数Iの平方完成、(b)数IIの微分法、それぞれの方法で最小値を求めよ。
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\(0\lt\theta\lt\dfrac{\pi}{2}\)の範囲で、縦の長さ\(6\sin\theta\)、横の長さ\(6\cos\theta\)の長方形を考える。\(\theta=\dfrac{\pi}{6}\)のとき、この長方形の周の長さ\(L\)を求めよ。
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数直線上の点\(\mathrm P\)は、はじめ座標\(0\)にある。1回の操作で、座標\(0\)にある点は確率\(\dfrac23\)で座標\(1\)に移動し、確率\(\dfrac13\)でその場にとどまる。座標\(1\)にある点は、確率\(\dfrac23\)で座標\(0\)に戻り、確率\(\dfrac13\)でその場にとどまる。\(n\)回の操作の後に点\(\mathrm P\)が座標\(0\)にある確率を\(p_n\)とする。\(p_1,\ p_2\)を、場合を数えて直接求めよ。
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1個のさいころを5回投げるとき、1の目がちょうど2回出る確率を、数Aの反復試行の確率の公式\({}_n\mathrm C_r\,p^r(1-p)^{n-r}\)を使って求めよ。
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命題「実数\(x,y\)について、\(x+y\gt2\)ならば、\(x\gt1\)または\(y\gt1\)である」の対偶は「\(x\le1\)かつ\(y\le1\)ならば、\(x+y\le\boxed{?}\)である」となる。空欄に入る数を求めよ。
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\(n\)が自然数のとき、\(4^n-1\)は3の倍数になる。\(n=1\)のときと\(n=3\)のときの\(4^n-1\)の値をそれぞれ求め、実際に3の倍数になっていることを確認せよ。
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5人の小テストの得点が\(4,\ 6,\ 7,\ 8,\ 10\)（点）のとき、数Iの定義\(\displaystyle s^2=\frac1n\sum(x_i-\bar x)^2\)を使って、平均値\(\bar x\)と分散\(s^2\)を求めよ。
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\(\triangle\mathrm{ABC}\)で\(\mathrm{AB}=5,\ \mathrm{AC}=7,\ \angle\mathrm A=60°\)のとき、余弦定理を使って\(\mathrm{BC}\)を求めよ。
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2次方程式\(x^2-4x+7=0\)の判別式\(D\)を求め、実数解をもつかどうかを判定せよ。
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\(x\gt0\)のとき、\(f(x)=x+\dfrac4x\)の最小値を、数IIの相加平均・相乗平均の関係を使って求めよ。
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円\(x^2+y^2=25\)の外部の点\(\mathrm P(7,0)\)を通り、円と2点\(\mathrm A(-5,0),\ \mathrm B(5,0)\)で交わる直線を考える。\(\mathrm{PA},\ \mathrm{PB}\)の長さと、方べきの定理で使う\(\mathrm{PA}\times\mathrm{PB}\)の値を求めよ。
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\((x+1)^4\)を実際に展開したときの\(x^2\)の係数と、数Aの組合せ\({}_4\mathrm C_2\)の値を、それぞれ求めて比較せよ。
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\(x^3-8\)を因数分解すると\((x-2)(x^2+\boxed{\text{ア}}\,x+\boxed{\text{イ}})\)となる。ア、イに入る数を求めよ。
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\(150°\)をラジアンで表し、数Iの三角比の値として\(\sin150°\)を求めよ。
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\(2^{10}\)の値を実際に計算し、その値が何桁の数か答えよ。
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変量\(x,y\)のデータが\((2,3),(4,7),(6,11)\)の3組ある。この3点はすべて同じ直線上にあることを確かめ、その直線を\(y=ax+b\)の形で求めよ。
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2点\(\mathrm A(0,0),\ \mathrm B(6,0)\)から等しい距離にある点\((x,y)\)が満たす条件を求めると、\(x=\boxed{?}\)（\(y\)は任意）となる。空欄に入る数を求めよ。
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1個のさいころを1回投げるとき出る目の期待値を、数Aの定義（それぞれの値×確率の総和）で求めよ。
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円に内接する四角形\(\mathrm{ABCD}\)で\(\angle\mathrm A=30°\)のとき、\(\angle\mathrm C\)の大きさを求めよ。
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直線\(3x+2y=12\)上にあり、\(x,y\)がともに正の整数である点\((x,y)\)をすべて求めよ。
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\(g(x)=-x^2+4x+1\)の、区間\(0\le x\le3\)における最大値と最小値を求めよ。
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縦の長さ\(6\sin\theta\)、横の長さ\(6\cos\theta\)の長方形（\(0\lt\theta\lt\dfrac{\pi}{2}\)）の周の長さ\(L(\theta)\)を三角関数の合成を使って最大にし、そのときの\(\theta\)と最大値を求めよ。
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3番の設定で、\(p_{n+1}\)を\(p_n\)の式で表すと\(p_{n+1}=-\dfrac13p_n+\dfrac23\)となる。この漸化式から\(p_n=\dfrac12+\dfrac12\left(-\dfrac13\right)^n\)が求まる（\(p_0=1\)として）。公比、\(p_3\)の値、\(p_4\)の値をそれぞれ求めよ。
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4番のさいころを5回投げる試行で、1の目が出た回数を確率変数\(X\)とすると、\(X\)は二項分布\(B\left(5,\ \dfrac16\right)\)に従う。公式\(E(X)=np,\ V(X)=np(1-p)\)を使って期待値\(E(X)\)と分散\(V(X)\)を求めよ。
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5番の対偶「\(x\le1\)かつ\(y\le1\)ならば\(x+y\le2\)」を、数IIの不等式証明の型（差をとって0以下を示す）で証明する。\(x\le1,\ y\le1\)のとき、\((x-1)\le0\)かつ\((y-1)\le0\)なので、和\((x-1)+(y-1)=x+y-2\le\boxed{?}\)となる。空欄に入る数を求めよ。
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すべての自然数\(n\)について\(4^n-1\)が3の倍数であることを数学的帰納法で証明する。\(n=k\)のとき\(4^k-1=3m\)（\(m\)は整数）と仮定すると \(4^{k+1}-1=4(4^k-1)+\boxed{\text{ア}}=4\times3m+\boxed{\text{ア}}=3(4m+\boxed{\text{イ}})\) ア、イに入る数を求めよ。
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7番の5つの得点\(4,6,7,8,10\)が、それぞれ確率\(\dfrac15\)ずつで出る確率変数\(X\)の値だとみなす。数Bの定義\(E(X)=\sum x_ip_i,\ V(X)=\sum(x_i-E(X))^2p_i\)を使って期待値\(E(X)\)と分散\(V(X)\)を求め、7番の結果と比較せよ。
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8番の三角形で、\(\mathrm A\)を原点、\(\mathrm B\)を\((5,0)\)に置く。\(\angle\mathrm{BAC}=60°,\ \mathrm{AC}=7\)より点\(\mathrm C\)の座標を求め、2点間の距離の公式で\(\mathrm{BC}\)を計算し、8番の答えと一致することを確認せよ。
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9番の方程式\(x^2-4x+7=0\)を、数IIの解の公式を使って複素数の範囲で解け。
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\(x\gt0\)のとき、\(h(x)=x^2-6x+9\)（数Iの2次関数）の最小値を平方完成で求めよ。さらに、\(x^2\)と\(9\)の積\(x^2\times9\)が\(x=1\)のときと\(x=2\)のときでどう変わるかを調べ、この2項に相加相乗平均が使えるかを確認せよ。
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11番の点\(\mathrm P(7,0)\)を通る直線\(y=x-7\)と円\(x^2+y^2=25\)の交点の\(x\)座標を求めよ。さらに、それぞれの交点までの距離の積\(\mathrm{PA'}\times\mathrm{PB'}\)を計算し、11番の値と一致することを確認せよ。
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\((2x-1)^5\)の展開における\(x^3\)の係数を、二項定理の一般項\({}_5\mathrm C_r(2x)^{5-r}(-1)^r\)を使って求めよ。
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\(x^3-8\)を\(x-2\)で割った商と余りを、実際に割り算を実行して求めよ。
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\(330°\)（数Iの範囲外の角）について、単位円を用いて\(\sin330°,\ \cos330°\)を求めよ。
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\(\log_{10}2=0.3010\)として、\(2^{10}\)の桁数を数IIの常用対数を使って求め、15番で実際に計算した桁数と一致することを確認せよ。
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16番の3組のデータ\((2,3),(4,7),(6,11)\)について、数Iの共分散の定義\(\displaystyle s_{xy}=\frac1n\sum(x_i-\bar x)(y_i-\bar y)\)を使って共分散\(s_{xy}\)を求めよ。
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17番で求めた\(x=3\)上の点\((3,t)\)が、実際に\(\mathrm A(0,0)\)と\(\mathrm B(6,0)\)から等しい距離にあることを確かめる。\(t=4\)のとき、\(\mathrm{PA},\ \mathrm{PB}\)の値をそれぞれ求めよ。
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18番の計算で使った\(1+2+3+4+5+6\)の値を、数Bの公式\(\displaystyle\sum_{k=1}^nk=\frac12n(n+1)\)に\(n=6\)を代入して求め、直接足し算した値と一致することを確認せよ。
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19番の四角形で\(\angle\mathrm A=30°,\ \angle\mathrm C=150°\)について、\(\sin\mathrm A\)と\(\sin\mathrm C\)の値をそれぞれ求め、両者が等しいことを確認せよ。
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20番の直線\(3x+2y=12\)の傾きと、\(x\)切片・\(y\)切片を求めよ。
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命題「実数\(x,y,z\)について、\(x+y+z\gt3\)ならば、\(x,y,z\)の少なくとも1つは\(1\)より大きい」の対偶は「\(x\le1\)かつ\(y\le1\)かつ\(z\le1\)ならば\(x+y+z\le\boxed{?}\)である」となる。空欄に入る数を求めよ。
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\(x\gt0\)のとき、\(k(x)=2x+\dfrac8x\)の最小値を(a)相加平均・相乗平均の関係、(b)平方の非負性を使った変形、それぞれで求めよ。
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\(x^3-8\)を\(x-3\)で割った余りを、実際に割り算をせず、数IIの剰余の定理を使って求めよ。
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1個のさいころを1回投げるとき出る目の2乗の期待値\(E(X^2)\)を、数Bの公式\(\displaystyle\sum_{k=1}^nk^2=\frac16n(n+1)(2n+1)\)（\(n=6\)）を使って求めよ。
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直線\(3x+2y=12\)上にあり\(x,y\)が整数である点のうち、原点にいちばん近いものを調べたい。まず数IIの点と直線の距離の公式で、原点からこの直線までの距離を求めよ。さらに、直線上の整数点\((0,6),(2,3),(4,0)\)のうち、原点からの距離がいちばん小さいものを選べ。
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\(h(x)=x^2-2tx+t^2+3\)（\(t\)は定数）は\((x-t)^2+3\)と平方完成でき、区間\(0\le x\le2\)における最小値は\(t\)の値によって場合分けが必要になる。\(t=-1,\ 1,\ 3\)のときの最小値を、それぞれ求めよ。
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22番の長方形の面積\(S(\theta)=6\sin\theta\times6\cos\theta\)を、2倍角の公式を使って\(S(\theta)=18\sin2\theta\)の形に整理し、面積が最大になる\(\theta\)と最大値を求めよ。さらに、それが22番で周の長さが最大になった\(\theta\)と一致するかを確認せよ。
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3番・23番の\(p_n=\dfrac12+\dfrac12\left(-\dfrac13\right)^n\)を使って、\(\displaystyle\sum_{k=1}^3p_k=p_1+p_2+p_3\)の値を求めよ。
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24番で求めた\(E(X)=\dfrac56,\ V(X)=\dfrac{25}{36}\)を使って、公式\(V(X)=E(X^2)-\{E(X)\}^2\)から\(E(X^2)\)の値を求めよ。
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すべての自然数\(n\)について\(5^n-4n-1\)が\(16\)の倍数であることを、数学的帰納法で証明する。\(n=k\)のとき\(5^k-4k-1=16m\)と仮定すると \(5^{k+1}-4(k+1)-1=5(5^k-4k-1)+\boxed{\text{ア}}\,k\) の形に変形できる。アに入る数と、\(n=4\)のときの\(5^n-4n-1\)の値を求めよ。
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7番・27番のデータの標準偏差\(s\)を求めよ。さらに、5人のうち得点が平均から標準偏差1つ分以上離れている（\(|x_i-7|\ge s\)を満たす）人数を求めよ。
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8番・28番の三角形\(\mathrm{ABC}\)の面積を、(a)数Iの公式\(S=\dfrac12\,\mathrm{AB}\cdot\mathrm{AC}\sin\mathrm A\)、(b)頂点の座標を使った数IIの公式\(S=\dfrac12|x_{\mathrm B}y_{\mathrm C}-x_{\mathrm C}y_{\mathrm B}|\)（\(\mathrm A\)が原点のとき）、それぞれで求めて一致することを確認せよ。
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9番・29番の方程式\(x^2-4x+7=0\)の2つの解\(2+\sqrt3\,i,\ 2-\sqrt3\,i\)について、解の和と積を求め、数IIの解と係数の関係（\(x^2-4x+7=0\)の係数から直接分かる値）と一致することを確認せよ。
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11番・31番で求めた方べきの値\(24\)を使って、点\(\mathrm P(7,0)\)から円\(x^2+y^2=25\)に引いた接線の長さ\(\mathrm{PT}\)を求めよ（接線の長さの公式\(\mathrm{PT}^2=\mathrm{PO}^2-r^2\)を、方べきの値と結びつけて使う）。
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二項定理で\(a=b=1\)を代入すると\(\displaystyle\sum_{r=0}^n{}_n\mathrm C_r=2^n\)が成り立つ。これは数Aで学ぶ「\(n\)個の要素をもつ集合の部分集合の総数は\(2^n\)個」という事実と同じものである。\(n=6\)のとき、\(\displaystyle\sum_{r=0}^6{}_6\mathrm C_r\)の値を求めよ。
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数Iでは\(\sin\theta=\dfrac12\)を満たす角は\(0°\)〜\(180°\)の範囲で\(30°,150°\)の2つしかなかった。数IIの一般角では、\(0\le\theta\lt2\pi\)の範囲でこの方程式を満たす\(\theta\)をすべて求めよ。
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\(\log_{10}2=0.3010\)として\(2^{20}\)の桁数を求めよ。さらに、数Aの整数の性質を使って\(2^{20}\)の正の約数の個数を求めよ。
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16番・36番のデータについて、\(x\)の分散、\(y\)の分散をそれぞれ求め、相関係数の公式\(r=\dfrac{s_{xy}}{s_xs_y}\)を使って相関係数\(r\)を求めよ。
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「点\((x,y)\)が円\(x^2+y^2=25\)上にあり、かつ直線\(x=3\)上にある」を満たす点をすべて求めよ。
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19番・39番の四角形\(\mathrm{ABCD}\)の一部である\(\triangle\mathrm{ABD}\)において、\(\mathrm{BD}=5,\ \angle\mathrm A=30°\)のとき、正弦定理を使って外接円の半径\(R\)を求めよ（この外接円は四角形\(\mathrm{ABCD}\)の外接円と同じ円である）。
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実際の共通テストにならい、大問1・2は数学I・Aの範囲、大問3〜5は数学II・Bの範囲から出題する。全5大問・目標70分・配点100点。
太郎「値上げしすぎても、しなさすぎても売上は下がりそうだね。」
花子「じゃあ、売上がいちばん高くなる値上げ額を計算してみよう。」
売上\(y\)を平方完成すると\(y=-0.2(x-\boxed{\text{アイ}})^2+\boxed{\text{ウエオカキ}}\)となる。売上が最大になる値上げ額は\(\boxed{\text{アイ}}\)円、そのときの売上は\(\boxed{\text{ウエオカキ}}\)円である。
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花子「(1)で求めた、値上げ額\(50\)円のとき売上が最大になった日を『特別営業日』にしよう。値上げ額\(10\)円につき1人ずつ声をかけたら、ちょうど\(50\div10=5\)人にお願いできそうだね。」太郎「じゃあ、その5人の部員から3人を選んで担当してもらおう。選んだ3人には受付・呼び込み・会計の3つの異なる役割を割り振るよ。」5人から3人を選ぶ選び方は\(\boxed{\text{クケ}}\)通り、選んだ3人に3つの異なる役割を割り振る方法は全部で\(\boxed{\text{コサ}}\)通りである。
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太郎「(1)で求めた値上げ額\(50\)円（1皿\(350\)円）のとき、1日に売れる皿数は\(80-0.2\times50=70\)皿と計算できるね。その値段で売り始めてから、実際の来場者数を1週間分記録してみたよ。」値上げ後7日間の来場者数（人）は\(45,52,48,60,55,50,58\)であった。このデータの中央値は\(\boxed{\text{シス}}\)人、四分位範囲（第3四分位数と第1四分位数の差）は\(\boxed{\text{セソ}}\)人である。
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花子「まず、残りの辺\(\mathrm{BC}\)の長さを求めよう。」
余弦定理より\(\mathrm{BC}=\boxed{\text{ア}}\,\mathrm m\)である。さらに正弦定理より、この三角形の外接円の半径は\(R=\dfrac{\boxed{\text{イ}}\sqrt{\boxed{\text{ウ}}}}{\boxed{\text{エ}}}\,\mathrm m\)である。
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花子「レンガは正方形で、3辺すべてにちょうど敷き詰めたいな。」太郎「じゃあ、3辺の長さの最大公約数を考えればいいね。」\(\mathrm{AB}=5\,\mathrm m=500\,\mathrm{cm},\ \mathrm{AC}=8\,\mathrm m=800\,\mathrm{cm},\ \mathrm{BC}=7\,\mathrm m=700\,\mathrm{cm}\)とするとき、3辺すべてを割り切る最大の正方形の1辺の長さは\(\boxed{\text{オカキ}}\,\mathrm{cm}\)である。
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1辺\(100\,\mathrm{cm}\)のレンガを敷き詰めるとき、\(\mathrm{AB},\mathrm{AC},\mathrm{BC}\)の各辺に並ぶレンガの個数はそれぞれ\(\boxed{\text{ク}}\)個、\(\boxed{\text{ケ}}\)個、\(\boxed{\text{コ}}\)個で、周に並ぶレンガの総数は\(\boxed{\text{サシ}}\)個である。
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花子「\(t=0\)のとき\(h(0)=5\)。まずはほかの時刻での高さも計算してみよう。」
\(t=3\)のときの海面の高さは\(h(3)=\boxed{\text{ア}}\,\mathrm m\)である。
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太郎「この港に船が入るには、海面の高さが\(6.5\,\mathrm m\)以上必要なんだ。」花子「(1)で求めた\(h(3)=8\,\mathrm m\)は\(6.5\,\mathrm m\)以上だから、\(t=3\)の前後は入港できそうだね。ちょうど何時から何時まで入港できるか、範囲を求めてみよう。」\(0\le t\lt12\)の範囲で\(h(t)\ge6.5\)となる\(t\)の範囲を求めると、\(\boxed{\text{イ}}\le t\le\boxed{\text{ウ}}\)である。
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花子「1日（24時間）のうち、海面が\(6.5\,\mathrm m\)以上である時間の合計は何時間かな。」周期は12時間なので、24時間の間に同じパターンが2回くり返される。海面が\(6.5\,\mathrm m\)以上である時間の合計は\(\boxed{\text{エ}}\)時間である。
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太郎「微分して増減表をつくれば、最大値が求まりそうだね。」
\(P'(x)\)を求めると\(P'(x)=-3x(x-\boxed{\text{アイ}})\)となる。増減表をつくると、利益が最大になるのは\(x=\boxed{\text{ウエ}}\)のときで、そのときの利益は\(\boxed{\text{オカキク}}\)万円である。
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花子「来月は、1日目の生産量を5個にして、そこから毎日1個ずつ増やしていく予定なんだ。」これは初項\(5\)、公差\(1\)の等差数列である。30日間の生産量の合計は\(\boxed{\text{ケコサ}}\)個である。
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太郎「日々の生産量が、(1)で求めた最大利益を出す生産量\(20\)個を初めて超えるのは何日目かな。」\(n\)日目の生産量は\(a_n=5+(n-1)\)個である。これが\(20\)個を初めて超える日は\(\boxed{\text{シス}}\)日目である。
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花子「重さを標準化して、標準正規分布の表を使おう。」
クッキー1枚の重さが\(52\,\mathrm g\)以上\(54\,\mathrm g\)未満である確率を求めると\(0.\boxed{\text{アイウエ}}\)である。
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太郎「(1)で調べたのは1枚ごとの重さのばらつきだったね。今度は1箱に36枚入りのクッキーを詰めるとき、1箱の重さの合計の期待値と分散を求めよう。」1枚の重さの期待値\(50\,\mathrm g\)、分散\(4\)（標準偏差2の2乗）を使うと、独立な36枚の重さの合計の期待値は\(\boxed{\text{オカキク}}\,\mathrm g\)、分散は\(\boxed{\text{ケコサ}}\)である。
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花子「合計の重さについて、標準偏差を求めて、平均から標準偏差1つ分の範囲を求めてみよう。」標準偏差は\(\boxed{\text{シス}}\,\mathrm g\)で、平均から標準偏差1つ分の範囲は\(\boxed{\text{セソタチ}}\,\mathrm g\)以上\(\boxed{\text{ツテトナ}}\,\mathrm g\)以下である。
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答えだけでなく「なぜそうなるか」を文章と式で書く練習。2科目にまたがる論証に挑戦しよう。
2次方程式\(x^2-2ax+a+2=0\)（\(a\)は実数の定数）が異なる2つの実数解をもつような\(a\)の値の範囲を、数Iの判別式を用いて求めよ。さらに、その範囲に含まれない\(a=0\)の場合について、方程式を数IIの複素数の範囲で解き、実数解をもたない理由を判別式の符号と関連づけて説明せよ。
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1個のさいころを4回投げて、5以上の目（5または6）が出る回数を確率変数\(X\)とする。(a)数Aの反復試行の確率の公式を使って、\(X=2\)である確率を求めよ。(b)数Bの二項分布の考え方を使って、\(X\)の期待値\(E(X)\)と分散\(V(X)\)を、公式\(E(X)=np,\ V(X)=np(1-p)\)で求めよ。(c) (a)と(b)の結果をふまえ、「反復試行の確率の公式」と「二項分布」がどのような関係にあるかを説明せよ。