この範囲の全体像
数Iは「数と式」「集合と命題」「2次関数」「図形と計量（三角比）」「データの分析」の5章からなるが、これらは独立した5つの単元というより、2種類の"道具"が形を変えながら全体を貫いている。
1つ目の道具は式を変形する技術である。第1章「数と式」で身につけた展開・因数分解は、第3章「2次関数」の平方完成にそのまま使われ、頂点・最大最小・方程式・不等式のすべての出発点になる。同じ「2乗の形にまとめる」という操作は、第5章「データの分析」の分散の公式\(V=\overline{x^2}-(\bar x)^2\)の成り立ちにも姿を変えて現れるし、第4章「図形と計量」で三角比の相互関係\(\sin^2\theta+\cos^2\theta=1\)を使って値を求める計算も、根号の計算や式の整理という同じ土台の上に立っている。
2つ目の道具は論理の道具である。第2章「集合と命題」で学ぶ必要条件・十分条件、対偶、背理法は、それ自体が入試で問われるだけでなく、他の章の"なぜそれでよいのか"を支える根拠になっている。2次方程式の判別式\(D\)の符号で場合分けする根拠は「実数解をもつ\(\iff D\ge0\)」という必要十分条件そのものであるし、第5章の仮説検定は「仮説が正しいと仮定すると、めったに起こらないことが起きた→だから仮説を疑う」という、背理法とよく似た論理の型で判断を下している。
さらに、第3章「2次関数」で身につけた「グラフで考える」という視点は、第4章の三角比の面積の最大値を求める問題（2辺の和が一定のとき面積を2次関数として最大化する）にそのままつながり、第5章の散布図・ヒストグラム・箱ひげ図もまた、数値の集まりを1枚の図として捉えるという同じ姿勢の延長線上にある。逆に第4章と第5章は、どちらも「複数の値をひとつの指標にまとめる」という共通点をもつ――三角比の面積公式がふたつの辺と角をひとつの面積の値にまとめるように、代表値や分散はたくさんのデータをひとつの数値にまとめている。バラバラに見える5章が、実はこの2種類の道具の組み合わせでできていることを意識しながら、総仕上げに取り組もう。
章まとめへのリンク一覧
まず各章のまとめページで、章ごとの要点とまとめテストを確認しておこう。このページはその先の総仕上げにあたる。
要点の総整理 最大値・最小値を求める場面のつながり
数Iの範囲で「最大値・最小値を求めよ」と言われたとき、実際に使う手段はほぼ1つに集約される：式を2次式の形に整理し、平方完成する。これは2次関数の章の中だけの技術ではなく、条件が絡んだ量を最大化・最小化したいときに繰り返し登場する。
要点の総整理 論理の道具（対偶・必要十分条件・背理法）はどこで使われているか
「集合と命題」の章で学ぶ道具は、その章の中だけで使うものではない。他の章で「なぜその場合分けでよいのか」「なぜその判定でよいのか」を支える根拠として、姿を変えて何度も登場している。
「実数解をもつ\(\iff D\ge0\)」は必要十分条件の一例。\(D\)の符号を調べる作業は、この条件の真偽を確認しているにすぎない。
不等式\(f(x)\le0\)の解集合を\(A\)、別の条件の範囲を\(B\)とすると、「\(x\in A\Rightarrow x\in B\)」は\(A\subset B\)と同じ意味になる。
「仮説を仮定→そのもとでは今回の結果はめったに起きないはずと分かる→仮説を疑って棄却する」という手順は、背理法の「否定を仮定→矛盾を導く→仮定を退ける」という論理の型とよく似ている（ただし仮説検定は「確率的にめったに起きない」ことを根拠にする点で、数学的な矛盾を必ず導く背理法とは厳密さが異なることも覚えておこう）。
要点の総整理 図・グラフから量を読み取る技術の一覧
数Iでは章によって全く違う種類の図が登場するが、どれも「数値の集まりや関係を、目で見て判断できる形に変える」という同じ役割を果たしている。テスト前にこの一覧で頭を整理しておこう。
1つの式\(y=ax^2+bx+c\)がもつ性質（頂点・軸・x軸との交点）を、放物線という1枚の図にまとめる。
辺の長さと角の大きさという2種類の情報を、1つの図の上に同時に表す。
データの分析：箱ひげ図・ヒストグラム・散布図 箱ひげ図は分布の中心と散らばりを、ヒストグラムは度数の分布の形を、散布図は2つの数量の関係を、それぞれ1枚の図で見せる。
要点の総整理 不等式・絶対値・場合分けの共通パターン
「数と式」の1次不等式・絶対値と、「2次関数」の2次不等式は、扱う式の次数が違うだけで、解き方の骨組みは同じ。テスト前は、この骨組みをもう一度確認しておこう。
移項して整理するだけ。負の数で割るときだけ不等号の向きが反転する。
まず\(=0\)とおいて因数分解し、交点を求める。あとはグラフの上下（外側型／内側型）で解の範囲が決まる。
\(|x-a|\)を「点\(a\)からの距離」と読み、\(|x-a|<b\)なら\(a-b<x<a+b\)という範囲に直接読み替える。
数I全5章を横断する総合演習、全40問。目標時間は60分。答えを入力して「採点」を押すと○×が出るぞ。分数は「-1/2」、根号は「√3」でも「sqrt3」でもOK。
証明問題は入力欄なし。自分で書いてから「解答例を見る」で確認しよう。わからないときは「解説を見る」で解き方を確認しよう。
\((x+7)(x-5)\) を展開せよ。
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\(x^2+2x-15\) を因数分解せよ（ア≦イで入力）。
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\(\sqrt{48}-\sqrt{27}\) を計算せよ。
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\(|x+4|=6\) を解け。
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\(n(A)=15,\ n(B)=10,\ n(A\cap B)=4\) のとき、\(n(A\cup B)\) を求めよ。
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要素が5個の集合の部分集合は何個あるか求めよ。
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条件\(p\)：「\(x=3\)」、条件\(q\)：「\(x^2=9\)」とする。\(p\)は\(q\)であるための何条件か答えよ。
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条件「\(x\ge2\)かつ\(y\le5\)」の否定を求めよ。否定は「\(x<\text{ア}\) または \(y>\text{イ}\)」の形になる。
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\(y=x^2-8x+10\) を平方完成し、頂点の座標を求めよ。
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\(x^2-5x+6=0\) を解け。
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\(x^2-9<0\) を解け。
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\(y=2x^2-4x+5\) の最小値を求めよ。
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直角三角形で、隣辺\(5\)・対辺\(12\)・斜辺\(13\)のとき、\(\sin\theta,\ \cos\theta,\ \tan\theta\) を求めよ。
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\(\theta\)は鋭角で\(\sin\theta=\dfrac{3}{5}\)のとき、\(\cos\theta,\ \tan\theta\) を求めよ。
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三角形ABCの外接円の半径が\(R=5\)、辺\(a=6\)のとき、\(\sin A\) の値を求めよ。
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\(a=6,\ b=8,\ C=30^\circ\) の三角形の面積\(S\)を求めよ。
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データ\(4,\ 7,\ 7,\ 9,\ 13\)の平均値と中央値を求めよ。
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データ\(2,\ 3,\ 5,\ 7,\ 8,\ 10,\ 12,\ 15\)（すでに小さい順）の第1四分位数\(Q_1\)と第3四分位数\(Q_3\)を求めよ。
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データ\(1,\ 2,\ 3,\ 4,\ 5\)の分散\(V\)を求めよ。
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平均\(50\)、分散\(16\)のデータについて、全員の値を3倍したときの新しい平均・分散・標準偏差を求めよ。
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\(\dfrac{1}{3-\sqrt7}\) を有理化せよ。
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\(|x-3|\ge5\) を解け。解は \(x\le\text{ア}\) または \(x\ge\text{イ}\) の形になる。
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整数\(n\)について、「\(n^2\)が偶数ならば\(n\)は偶数である」ことを、対偶を利用して証明せよ。
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全体集合\(U\)を1以上30以下の自然数とする。\(A\)を2の倍数の集合、\(B\)を5の倍数の集合とするとき、\(\overline{A}\cap\overline{B}\)（どちらの倍数でもない数の集合）の要素の個数を求めよ。
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\(y=x^2-2ax+3\)（\(0\le x\le4\)）について、\(a=6\)のときの最小値を求めよ。
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物体を投げ上げたときの\(t\)秒後の高さが\(h=-5t^2+30t\)（m）で表される。高さが\(40\)m以上になる時間\(t\)の範囲を求めよ。
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三角形の3辺の長さが\(7,\ 8,\ 13\)のとき、最大辺\(13\)の対角\(\theta\)の余弦の値を求め、この三角形が鋭角三角形・直角三角形・鈍角三角形のどれになるか答えよ。
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三角形ABCで\(a=5,\ b=8,\ C=60^\circ\)のとき、辺\(c\)の長さと面積\(S\)を求めよ。
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データ\(5,\ 6,\ 7,\ 9,\ 13\)の分散\(V\)と標準偏差\(s\)を、近道公式\(V=\overline{x^2}-(\bar x)^2\)を用いて求めよ。
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相関係数\(r\)について、次の(1)〜(4)のうち正しいものをすべて選べ。
(1) \(-1\le r\le1\)が必ず成り立つ
(2) \(r=0\)ならば\(x\)と\(y\)の間に関係は全くない
(3) 外れ値が1つ混ざるだけで\(r\)の値が大きく変わることがある
(4) 相関があれば必ず因果関係がある
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2辺の長さの和が\(10\)、その間の角が\(60^\circ\)の三角形がある。一方の辺の長さを\(x\)（\(0<x<10\)）として、面積\(S\)が最大になる\(x\)の値と、そのときの最大値を求めよ。
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\(0^\circ\le\theta\le180^\circ\)で\(\sin\theta+\cos\theta=\dfrac12\)のとき、\(\sin\theta\cos\theta\)の値を求めよ。
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2次方程式\(x^2+ax+1=0\)が実数解を持たないための必要十分条件を、定数\(a\)の範囲で求めよ。
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あるデータの平均は\(50\)、標準偏差は\(4\)である。「平均から標準偏差の2倍以上離れた値」を外れ値の目安とするとき、その範囲を絶対値を用いた不等式で表し、解け。
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三角形ABCにおいて\(BC=a=6\)、\(\angle A=60^\circ\)とする。まず外接円の半径\(R\)を求めよ。次に、\(AB=c,\ AC=b\)とし\(b+c=8\)のとき、この三角形の面積\(S\)を求めよ。
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\(n\)個のデータ\(x_1,\ x_2,\ \ldots,\ x_n\)の分散を\(V\)とする。定数\(c,\ d\)を用いて新しいデータ\(y_1,\ y_2,\ \ldots,\ y_n\)を\(y_i=cx_i+d\)（\(i=1,\ldots,n\)）で作るとき、\(y\)の分散が\(c^2V\)になることを、分散の定義式\(V=\dfrac1n\{(x_1-\bar x)^2+(x_2-\bar x)^2+\cdots+(x_n-\bar x)^2\}\)を用いて証明せよ。
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三角形の3辺の長さが\(x,\ x+1,\ x+2\)（\(x>0\)）であり、この三角形が鈍角三角形であるとき、\(x\)の値の範囲を求めよ。
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命題「\(x^2-4x+3\le0\)ならば\(x^2-(a+1)x+a\le0\)」がつねに真となるように、定数\(a\)の値の範囲を求めよ。
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2つのデータ群A、Bの分散をそれぞれ\(V_A,\ V_B\)、標準偏差をそれぞれ\(s_A,\ s_B\)とする。「\(s_A<s_B\)」が成り立つことは、「\(V_A<V_B\)」が成り立つための何条件か答えよ。
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命題「実数\(x\)について、\(x^2-5x+6=0\)ならば\(|x-2|\cdot|x-3|=0\)である」の真偽をアで答えよ。また、この命題の逆の真偽をイで答えよ（「真」または「偽」で入力）。
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先生「まず面積を1つの文字の式で表してみよう。」
太郎「一方の辺の長さを\(x\)mとおくと、もう一方は\((8-x)\)mになりますね。」
面積を\(S\)（m\(^2\)）とすると、\(S=\dfrac12x(8-x)\sin60^\circ\)である。これを整理すると \[ S=\dfrac{\sqrt3}{4}(-x^2+\boxed{\text{ア}}x) \] となる。さらに平方完成すると \[ S=-\dfrac{\sqrt3}{4}(x-\boxed{\text{イ}})^2+\boxed{\text{ウ}}\sqrt3 \] となる。ア、イ、ウの値を求めよ。
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花子「2辺の長さの和が8である以上、\(x\)のとりうる範囲にも注意しないといけないね。」\(x\)と\(8-x\)がともに正の実数となる\(x\)の範囲は\(\boxed{\text{エ}}<x<\boxed{\text{オ}}\)である。エ、オの値を求めよ。さらに、(1)で求めた頂点の\(x\)座標\(\boxed{\text{イ}}\)がこの範囲に含まれることを確かめると、面積の最大値は\(\boxed{\text{カ}}\sqrt3\)（m\(^2\)）であるとわかる。カの値を求めよ。
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花子「同じ考え方を使えば、2辺の和が10、挟角が\(90^\circ\)の三角形でも、最大の面積が求められるはずだね。」(1)を振り返ると、和が\(8\)のときは\(x=4=8\div2\)（和の半分）で面積が最大になっていた。この結果を使うと、2辺の和が10、挟角が\(90^\circ\)の場合の面積の最大値は\(\boxed{\text{キク}}/\boxed{\text{ケ}}\)（m\(^2\)）の形になる。キク、ケの値を求めよ。
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先生「どちらの部活動にも参加していない生徒の中から何人か抽出して、別の調査をしてみよう。」
\(A\)に参加している生徒の集合を\(A\)、\(B\)に参加している生徒の集合を\(B\)とする。少なくとも一方に参加している人数\(n(A\cup B)=\boxed{\text{アイ}}\)人であり、どちらにも参加していない人数は\(\boxed{\text{ウエ}}\)人である。
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どちらの部活動にも参加していない生徒の中から6人を抽出し、別の小テストを実施したところ、得点は\(69,\ 72,\ 75,\ 75,\ 78,\ 81\)であった。この6人の得点の平均値は\(\boxed{\text{オカ}}\)、分散は\(\boxed{\text{キク}}\)である。オカ、キクの値を求めよ。また、(1)で求めた\(\boxed{\text{ウエ}}\)人のうち、今回抽出された6人はおよそ\(\boxed{\text{ケ}}\)割（小数第1位を四捨五入）にあたる。ケの値を求めよ。
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(2)の分散\(15\)より、標準偏差は\(\sqrt{15}\)（およそ\(3.87\)）である。この6人の得点のうち、平均\(75\)から最も離れている得点は、平均との差が\(\boxed{\text{コ}}\)点である。また、その差は標準偏差の2倍\(2\sqrt{15}\)（およそ\(7.75\)）と比べてどうか。\(\boxed{\text{サ}}\)に当てはまるものを、次の0・1のうちから一つ選べ。
0：小さいといえる 1：小さいとはいえない
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花子「先生、これって集合や条件の考え方でも整理できそうですね。」
先生「そうだね。合格の条件を、必要条件・十分条件の言葉で考えてみよう。」
不等式\(x^2-6x+8\le0\)を解け。解は\(\boxed{\text{ア}}\le x\le\boxed{\text{イ}}\)の形になる。
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別の条件として「\(3\le x\le5\)」を条件\(r\)とする。「\(r\)が成り立つならば合格である」という命題の真偽は\(\boxed{\text{ウ}}\)、逆に「合格ならば\(r\)が成り立つ」という命題の真偽は\(\boxed{\text{エ}}\)である。\(\boxed{\text{ウ}}\)、\(\boxed{\text{エ}}\)に当てはまるものを、それぞれ次の0・1のうちから一つ選べ。
0：真 1：偽
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条件を「\(2\le x\le c\)」（\(c\)は\(c\ge2\)を満たす定数）とする。これが「合格」であるための必要十分条件になるように、\(c\)の値を求めよ。\(c=\boxed{\text{オ}}\)の形で答えよ。
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答えだけでなく「なぜそうなるか」を文章と式で書く練習。模範解答と見比べて、書き方の型を身につけよう。
数Iの5つの章は、一見すると別々のテーマに見えるが、共通する考え方でつながっている部分がある。次の(a)(b)の2点を通して、そのつながりを説明せよ。
(a) 2次方程式の判別式\(D\)の符号による場合分けと、「集合と命題」で学んだ必要十分条件の考え方の関係。
(b) 「データの分析」の仮説検定の考え方と、「集合と命題」で学んだ背理法の論理の型がどう対応しているか。
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2次関数\(y=2(x-3)^2-4\)のグラフ上で、\(x\)座標が\(1,\ 2,\ 3,\ 4,\ 5\)である5つの点の\(y\)座標をすべて求めよ。さらに、この5つの\(y\)座標の平均値を、（1）5つの値をすべて計算してから平均する方法と、（2）グラフの対称性を利用して一部の計算を省く方法の、両方で求め、一致することを確かめよ。