この範囲の全体像
数Aは「場合の数と確率」「図形の性質」「数学と人間の活動（整数）」という、一見バラバラな3つの分野からなる科目である。しかしこの3章は独立した知識の寄せ集めではなく、根底に流れる考え方でつながっている。
第1章「場合の数と確率」で身につける「もれなく重複なく数える」技術（積の法則・順列・組合せ）は、単独の分野にとどまらない。たとえば第3章「整数の性質」で学ぶ「約数の個数の公式」——\(N=p^a\times q^b\times\cdots\)の約数の個数が\((a+1)(b+1)\cdots\)個になるという結果——は、実は「各素因数について指数を\(0\)から\(a\)までの中から独立に1つ選ぶ」という積の法則そのものの応用である。数える技術を先に固めておくからこそ、整数の構造を式の丸暗記ではなく「選び方」として理解できるようになる。
第2章「図形の性質」で身につける「定義から根拠を積み重ねて論証する」姿勢も、他の2章と地続きである。円に内接する正多角形の頂点から三角形を作る場面では、「何個の三角形ができるか」を求めるには第1章の組合せ\({}_{n}\mathrm{C}_{3}\)が必要になり、「そのうち直角三角形が何個か」を求めるには円周角の定理（直径に対する円周角はつねに\(90^\circ\)）という図形の性質が必要になる。1つの問題の中で2つの章の技術が同時に要求される場面は、共通テストのような融合問題でしばしば出題される。
第3章「整数の性質」は、図形の性質で鍛えた論証の姿勢をもっとも直接的に引き継ぐ章でもある。ユークリッドの互除法が「なぜ\(\gcd(a,b)=\gcd(b,r)\)が成り立つのか」を根拠から示すように、n進法の桁数の条件や不定方程式の一般解の公式も、思いつきではなく「なぜそう言えるのか」を一歩ずつ積み上げて導かれている。
まとめると、数Aの3章は「数える（場合の数）」「論証する（図形の性質）」「構造を調べる（整数の性質）」という異なる切り口を持ちながら、どれも「具体例で確かめてから一般化し、なぜそうなるかを説明できるようにする」という同じ学び方で身につく。この総復習では、章をまたいだ融合問題（まとめテストの33・34・35・39・40番）を通して、そのつながりを実際に確認していこう。
章まとめへのリンク一覧
まず各章の要点整理・まとめテストで、章ごとの土台を仕上げておこう。下のリンクから各章のまとめページに移動できる。
- 場合の数と確率 まとめ ― 積の法則・順列・組合せから、確率の基本・独立な試行と反復試行・条件付き確率までの全6ページを総復習する。
- 図形の性質 まとめ ― 三角形の心（重心・内心・外心）、チェバの定理・メネラウスの定理、円の性質、作図と空間図形の全4ページを総復習する。
- 数学と人間の活動（整数） まとめ ― 素因数分解、最大公約数・最小公倍数とユークリッドの互除法、不定方程式、n進法の全4ページを総復習する。
要点整理 「積の法則」は数A全体を貫くエンジン
場合の数のいちばん最初に学ぶ「積の法則」は、この範囲の中でもっとも姿を変えて登場する道具である。同じ1つの原理が、整数の性質の中では「約数を数える」形に、n進法の中では「桁を1つずつ独立に決める」形に姿を変えて働いている。
「シャツを選ぶ→ズボンを選ぶ→靴を選ぶ」のように、続けて何かを決める場面でそのまま使う。順列\({}_{n}\mathrm{P}_{r}\)や重複順列\(n^r\)の式も、この積の法則を1列に並べる場面に当てはめた結果である。
\(N=p^a\times q^b\times\cdots\)の約数を1つ作るには、「\(p\)の指数を\(0\)〜\(a\)の中から選ぶ」「\(q\)の指数を\(0\)〜\(b\)の中から選ぶ」…という決め方が独立に存在する。それぞれ\((a+1)\)通り、\((b+1)\)通り…あるので、積の法則よりその個数は\((a+1)(b+1)\cdots\)通りになる。
n進法では、最上位の桁だけ\(1\)〜\(n-1\)、それ以外の桁は\(0\)〜\(n-1\)の中から、他の桁の値に関係なく独立に決まる（最上位が\(0\)だと桁数そのものが減ってしまうため）。この独立な決め方こそが、「\(k\)桁で表せる数は何個あるか」を積の法則で数えられる根拠であり、桁数の条件の公式\(n^{k-1}\le N\le n^k-1\)もここから導かれている。
要点整理 場合の数×図形の融合公式集
図形の性質の中には、「まず何通りあるか数えてから、その中で条件を満たすものを絞り込む」という、場合の数の技術がそのまま使われる場面がある。
要点整理 この範囲の考え方の使い分け早見表
問題文を読んだとき、まずどの章の技術を使うべきかを見極めることが、融合問題を解く第一歩になる。
場合の数と確率（第1章）を疑う。積の法則・順列・組合せ・余事象・独立な試行・条件付き確率のどれに当てはまるかを判断する。
図形の性質（第2章）を疑う。三角形の心・チェバとメネラウス・円周角と方べき・空間図形のどれに当てはまるかを判断する。
整数の性質（第3章）を疑う。素因数分解・互除法・不定方程式・n進法のどれに当てはまるかを判断する。
この範囲全体を横断する総合演習、全40問。目標時間は60分。答えを入力して「採点」を押すと○×が出るぞ。分数は「3/4」、根号は「√5」または「sqrt5」のように入力。
わからないときは「解説を見る」で解き方を確認しよう。
ある店ではケーキが6種類、飲み物が4種類ある。ケーキと飲み物を1つずつ選ぶ組み合わせは何通りあるか。
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\({}_{8}\mathrm{P}_{3}\) を求めよ。
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\({}_{10}\mathrm{C}_{4}\) の値を求めよ。
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7人を円形の机に並べる方法は何通りか。
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1から50までの整数から1つ選ぶとき、4の倍数でない数である確率を求めよ。
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1等500円が1本、2等100円が4本、はずれ0円が5本、合計10本のくじが入った箱から1本引くとき、もらえる金額の期待値を求めよ。
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コインを4回投げるとき、ちょうど3回表が出る確率を求めよ。
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三角形ABCで \(AB=8,\ AC=12,\ BC=15\)。∠Aの二等分線がBCと交わる点をDとするとき、BD, DCの長さを求めよ。
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三角形ABCの重心をGとする。中線AM（頂点Aから辺BCの中点Mまで）の長さが\(21\)のとき、AG, GMの長さを求めよ。
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3辺が\(6,\ 8,\ 10\)の直角三角形の外接円の半径\(R\)を求めよ。
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三角形ABCで、3直線AD, BE, CFが1点で交わっている。\(BD:DC=3:2\)、\(CE:EA=4:1\)のとき、\(AF:FB\)を求めよ。
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円Oにおいて、弧ABに対する中心角が\(96^\circ\)であるとき、弧ABに対する円周角∠APBを求めよ。
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円に内接する四角形ABCDにおいて、\(\angle B=95^\circ\)である。\(\angle D\)を求めよ。
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円の内部の点Pで2本の弦AB, CDが交わっている。\(PA=6,\ PB=10,\ PC=5\)のとき、\(PD\)を求めよ。
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\(360 = 2^{\text{ア}} \times 3^{\text{イ}} \times 5^{\text{ウ}}\) となるように、ア・イ・ウに当てはまる指数を求めよ。
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\(180\) の正の約数の個数を求めよ。
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\(54\) と \(90\) の最大公約数・最小公倍数を求めよ。
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\(154\) と \(42\) の最大公約数を互除法で求めよ。
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\(101101_{(2)}\) を\(10\)進法で表せ。
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\(10\)進法の整数\(N\)を\(4\)進法で表すと、ちょうど\(4\)桁になるという。\(N\)の範囲を求めよ。
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男子6人、女子5人の合計11人から4人を選んで委員会を作るとき、女子がちょうど2人選ばれる場合の数を求めよ。
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男子3人、女子4人の合計7人が1列に並ぶとき、男子3人が隣り合う並び方は何通りあるか。
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さいころを1回、コインを4回投げる。さいころは偶数の目が出て、かつコイン4回のうちちょうど3回表が出る確率を求めよ。
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赤玉4個、白玉3個の合計7個が入った袋から、続けて2個を順に取り出す（戻さない）。1個目が白玉だったとき、2個目が赤玉である確率を求めよ。
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三角形ABCで、∠Aの二等分線が辺BCと交わる点をDとする。\(AB=10,\ AC=14\)とする。辺CA上の点E（\(CE:EA=3:2\)）、辺AB上の点Fがあり、3直線AD, BE, CFが1点で交わっているとき、\(AF:FB\)を求めよ。
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円Oの外部の点Pから接線PT（Tは接点）と割線を引く。割線は円とA（近い方）, B（遠い方）で交わり、\(AB=9,\ PT=6\)である。\(PA(=x)\)の値を求めよ（\(x\)は正の実数とする）。
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三角形ABCで\(AB=12,\ AC=18,\ BC=20\)。∠Aの外角の二等分線が、辺BCの延長と交わる点をEとする（Eは辺BCの外側、B側の延長上にある）。BE, CEの長さを求めよ。
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立方体ABCD-EFGH（前面ABCD、後面EFGH、AE・BF・CG・DHが奥行きの辺）において、辺ABとねじれの位置にある辺は何本あるか。
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1本80円のペンと1本60円のノートを、あわせて何本か買って代金の合計をちょうど1200円にしたい。買い方は何通りあるか。ただし、どちらも1本以上買うものとする。
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2つの自然数 \(a, b\)（\(a \lt b\)）の最大公約数が \(15\)、最小公倍数が \(450\) であり、\(a+b=165\) であるという。\(a\)、\(b\) を求めよ。
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\(0\)でない1桁の整数\(a,\ b\)（\(a \ne b\)）について、\(7\)進法で\(ab_{(7)}\)と表される数の桁を入れ替えて\(5\)進法で\(ba_{(5)}\)と表すと、同じ値になるという。\(a,\ b\)を求めよ。
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\(72\) の正の約数の総和を求めよ。また、その中で奇数である約数だけの総和を求めよ。
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円周上に7個の点があり、そのうち2点A, Bは直径の両端になっている（線分ABは円の直径である）。ただし、A, B以外に直径の両端となる2点の組はないものとする。この7点から異なる3点を選んで三角形を作るとき、直角三角形は何個できるか。
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1個のさいころを2回投げるとき、1回目に出た目と2回目に出た目の最大公約数が\(1\)（互いに素）である確率を求めよ。
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正十二角形の12個の頂点から異なる3点を選んで三角形を作るとき、直角三角形は何個できるか。
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\(10\)進法の整数\(N\)を\(3\)進法で表すとちょうど\(3\)桁になり、\(5\)進法で表すとちょうど\(2\)桁になるという。このような\(N\)のうち、\(7\)で割ると\(2\)余るものをすべて、小さい順にコンマ区切りで求めよ。
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ある正多面体の1つの面は正五角形であり、1つの頂点にはちょうど3つの面が集まっている。この正多面体の頂点の数\(V\)、辺の数\(E\)、面の数\(F\)を求めよ（これは正十二面体である）。
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赤玉3個、白玉2個、青玉1個の合計6個の玉を円形に並べる方法は何通りあるか（同じ色の玉どうしは区別しない）。
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1から9までの数字が1つずつ書かれた9枚のカードから異なる3枚を選んで3桁の整数をつくるとき、3の倍数は何個できるか。
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正五角形の対角線の本数を求めよ。また、その本数を2進法で表すと何桁になるか、桁数の条件の公式を用いて求めよ。
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答えだけでなく「なぜそうなるか」を文章と式で書く練習。模範解答と見比べて、書き方の型を身につけよう。
数Aは「場合の数と確率」「図形の性質」「数学と人間の活動（整数）」の3章から成るが、扱う対象も方法も一見バラバラに見える。しかし、この3章に共通する「数学的に考える」ときの姿勢がある。具体例を1つ挙げながら、その共通点を説明せよ。
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整数の性質の章で学んだ「約数の個数の公式」（\(N=p^a\times q^b\times\cdots\)のときの約数の個数\((a+1)(b+1)\cdots\)）は、場合の数の章で学んだどの考え方を使って導かれているかを、具体例\(N=60\)を用いて説明せよ。
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先生「まず、2本ともくじが当たる確率を計算してみよう。」
花子「はい、乗法定理を使えばいいですね。」
1本目に当たりくじを引く確率は \(\dfrac{\boxed{\text{ア}}}{\boxed{\text{イウ}}}\)、1本目が当たりだったとき2本目も当たりくじを引く条件付き確率は \(\dfrac{\boxed{\text{エ}}}{\boxed{\text{オ}}}\)である。これらを用いると、2本とも当たりくじである確率は \(\dfrac{\boxed{\text{カ}}}{\boxed{\text{キク}}}\)である。ア〜クの値を求めよ。
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先生「今度は、ちょうど1本だけ当たりくじを引く確率を求めてみよう。1本目が当たりで2本目がはずれる場合と、1本目がはずれで2本目が当たる場合の2通りがあるね。」
1本目が当たり・2本目がはずれる確率は\(\dfrac{3}{10}\times\dfrac{7}{9}=\dfrac{7}{30}\)、1本目がはずれ・2本目が当たる確率も同じく\(\dfrac{7}{30}\)なので、ちょうど1本だけ当たる確率は \(\dfrac{\boxed{\text{ケ}}}{\boxed{\text{コサ}}}\)である。(1)で求めた「2本とも当たり」の確率\(\dfrac{1}{15}\)とこれを合わせると、少なくとも1本が当たりくじである確率は \(\dfrac{\boxed{\text{シ}}}{\boxed{\text{スセ}}}\)である。
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太郎「じゃあ、当たりくじを2本とも引いた人には、追加でもう1回だけさいころを振ってもらって、6の目が出たら特別賞にしよう。」
ある来場者について、「2本とも当たりくじを引き、かつさいころで6の目が出る」確率は \(\dfrac{\boxed{\text{ソ}}}{\boxed{\text{タチ}}}\)である。
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先生「1本目の道はPから池に入る点をA、出る点をBとし、\(PA=5\)m、\(AB=15\)mとする。2本目の道はPから入る点をC、出る点をDとし、\(PC=5\)mとする。」
太郎「方べきの定理を使えば、道の長さから池の中の距離もわかりそうですね。」
まず\(PB\)の長さを求めよ。\(PB = PA+AB = \boxed{\text{アイ}}\)mである。次に方べきの定理\(PA\times PB=PC\times PD\)を用いて、\(PD\)の長さを求めよ。\(PD = \boxed{\text{ウエ}}\)mである。
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花子「池にはもう1本、点Pから接するように引ける道があるはずです。」 点Pから池に引いた接線をPT（Tは接点）とする。\(PT^2 = PA\times PB = \boxed{\text{オカキ}}\)なので、\(PT = \boxed{\text{クケ}}\)mである。
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花子「PA=5m、(2)で求めたPT=10mですね。三角形PTAと三角形PBTは、角Pを共有していて\(PT^2=PA\times PB\)の関係もあるので、相似になりそうです。」
先生「そのとおり。\(PA:PT=PT:PB\)という2辺の比が等しく、その間の角（∠P）も等しいから、\(\triangle\text{PTA} \sim \triangle\text{PBT}\)が言えるんだ。」
この相似比\(PA:PT\)を、もっとも簡単な整数の比で求めよ。\(PA:PT = \boxed{\text{コ}} : \boxed{\text{サ}}\)である。この相似より対応する辺の比\(TA:BT\)も同じ比になる。弦\(TA=6\)mであるとき、\(BT=\boxed{\text{シス}}\)mである。
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先生「たこ焼きの個数を\(x\)個、ラムネの個数を\(y\)個としよう。まず代金の式を立ててごらん。」
花子「はい、\(130x+80y=2450\)ですね。」
先生「その式の両辺を同じ数で割って、係数を小さくしてから考えると計算しやすいよ。」
\(130x+80y=2450\) の両辺を\(10\)で割ると \(13x+8y=\boxed{\text{アイウ}}\) となる。この式について、\(0 \le x_0 \lt 8\) の範囲で特殊解 \((x_0,y_0)\) を求めると \(x_0=\boxed{\text{エ}}\)、\(y_0=\boxed{\text{オカ}}\) である。
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(1)の結果を用いると、一般解は \(x=x_0+\boxed{\text{キ}}k,\ y=y_0-\boxed{\text{クケ}}k\)（\(k\) は整数）と表される。たこ焼き・ラムネともに1個以上仕入れるとき、買い方は全部で \(\boxed{\text{コ}}\) 通りある。
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花子「実際には、たこ焼きの方がよく売れそうだから、たこ焼きの個数をできるだけ多くする仕入れ方にしよう。」
(2)で求めた買い方のうち、たこ焼きの個数が最も多くなる組み合わせは、たこ焼き \(\boxed{\text{サシ}}\) 個、ラムネ \(\boxed{\text{ス}}\) 個である。