漸化式｜数B 数列

STEP 1

漸化式ってなに？

数列の「隣り合う2つの項の関係」を表す式を漸化式という。\(a_1\) のような最初の項（初項）と、\(a_{n+1}\) を \(a_n\) を使って表す式がセットになっていれば、そこから \(a_2,\ a_3,\ a_4,\ldots\) が芋づる式にすべて決まる。実は、これまで学んできた等差数列・等比数列も漸化式の一種だった。

基本の3タイプ（隣接2項間の漸化式）
等差型　\(a_{n+1}=a_n+d\) → 一般項 \(a_n=a_1+(n-1)d\)（第1ページで学習ずみ）
等比型　\(a_{n+1}=r\,a_n\) → 一般項 \(a_n=a_1\,r^{\,n-1}\)（第2ページで学習ずみ）
階差型　\(a_{n+1}=a_n+f(n)\) → 一般項 \(a_n=a_1+\displaystyle\sum_{k=1}^{n-1}f(k)\)（\(n\ge2\)、第3ページのΣ計算を使う）

階差型は、隣の項との「差」が一定でも一定の比でもなく、\(n\) によって変わっていくタイプ。差の計算に前回のΣの技術がそのまま使える。たとえば \(a_1=1,\ a_{n+1}=a_n+2n\) なら、差が \(2,4,6,8,\ldots\) と増えていくので、グラフは直線でも一定の曲がり方でもなく、だんだん反り返るように増えていく。

この3タイプに当てはまらない漸化式（\(a_{n+1}=pa_n+q\) のような形）も、実は「工夫すれば等比数列に帰着できる」という共通の考え方で解ける。STEP 2以降でその工夫を見ていこう。

STEP 2

\(a_{n+1}=pa_n+q\) 型 — 特性方程式で等比数列に帰着する

この形の漸化式は、両辺が同じ値 \(\alpha\) だけずれていると考えて、そのずれを消す \(\alpha\) を見つけるのがコツ。\(\alpha\) さえ見つかれば、あとは等比数列の公式がそのまま使える。

\(a_{n+1}=pa_n+q\)（\(p\ne1\)）を解く手順は次のとおり。

手順1　\(\alpha=p\alpha+q\)（特性方程式）を解いて \(\alpha\) を求める

↓

手順2　もとの式から特性方程式を辺々引く：\(a_{n+1}-\alpha=p(a_n-\alpha)\)

↓

手順3　数列 \(\{a_n-\alpha\}\) は公比 \(p\) の等比数列。初項 \(a_1-\alpha\) から一般項を求める

↓

手順4　\(a_n-\alpha=(a_1-\alpha)p^{\,n-1}\) より \(a_n=\alpha+(a_1-\alpha)p^{\,n-1}\)

なぜこれで解けるのか
\(a_{n+1}=pa_n+q\) と \(\alpha=p\alpha+q\) を辺々引くと \(a_{n+1}-\alpha=p(a_n-\alpha)\) になる。これは「\(b_n=a_n-\alpha\)」という新しい数列が \(b_{n+1}=pb_n\)、つまり公比 \(p\) の等比数列そのものだ、ということ。\(a_n\) 自体は等比数列ではなくても、\(\alpha\) だけずらした \(a_n-\alpha\) は等比数列になる。

例題　\(a_1=1,\ a_{n+1}=2a_n+1\) の一般項を求めよ。

解答を見る

特性方程式 \(\alpha=2\alpha+1\) を解く：\(-\alpha=1\) より \(\alpha=-1\)。辺々引くと \(a_{n+1}-(-1)=2(a_n-(-1))\)、すなわち \(a_{n+1}+1=2(a_n+1)\)。数列 \(\{a_n+1\}\) は初項 \(a_1+1=2\)、公比 \(2\) の等比数列だから \(a_n+1=2\cdot2^{\,n-1}=2^n\)。 \(a_n=2^n-1\)

実際に \(a_1=1,\ a_2=3,\ a_3=7,\ a_4=15,\ a_5=31\) と計算していくと、公式どおり \(2^n-1\) に一致する。差だけ見ると一定ではないが、\(a_n+1\) は \(2,4,8,16,32\) ときれいな等比数列になっている。

STEP 3

おきかえを使う型 — \(a_{n+1}=pa_n+q^n\)

右辺に \(a_n\) の何倍かに加えて \(q^n\)（\(n\) 乗の形）がくっついていると、STEP 2の特性方程式だけでは解けない。このときは両辺を \(q^{n+1}\) で割って新しい数列に置き換えるのが決め手になる。

例題　\(a_1=1,\ a_{n+1}=2a_n+3^n\) の一般項を求めよ。

解答を見る

右辺の \(3^n\) が邪魔なので、両辺を \(3^{n+1}\) で割る。 \(\dfrac{a_{n+1}}{3^{n+1}}=\dfrac{2a_n}{3^{n+1}}+\dfrac{3^n}{3^{n+1}}=\dfrac{2}{3}\cdot\dfrac{a_n}{3^n}+\dfrac{1}{3}\) そこで \(b_n=\dfrac{a_n}{3^n}\) とおくと、上の式は \(b_{n+1}=\dfrac{2}{3}b_n+\dfrac{1}{3}\) となり、STEP 2と同じ \(pb_n+q\) の形に帰着した。特性方程式 \(\beta=\dfrac{2}{3}\beta+\dfrac{1}{3}\) を解く：\(\dfrac{1}{3}\beta=\dfrac{1}{3}\) より \(\beta=1\)。辺々引くと \(b_{n+1}-1=\dfrac{2}{3}(b_n-1)\)。\(b_1=\dfrac{a_1}{3}=\dfrac{1}{3}\) だから \(b_n-1=\left(\dfrac{1}{3}-1\right)\left(\dfrac{2}{3}\right)^{n-1}=-\dfrac{2}{3}\left(\dfrac{2}{3}\right)^{n-1}=-\left(\dfrac{2}{3}\right)^{n}\) よって \(b_n=1-\left(\dfrac{2}{3}\right)^{n}\)。\(a_n=3^n\,b_n\) に戻すと \(a_n=3^n-3^n\left(\dfrac{2}{3}\right)^{n}=3^n-2^n\) \(a_n=3^n-2^n\)

検算してみよう。\(a_1=3-2=1\)、\(a_2=2\cdot1+3=5\) で公式も \(9-4=5\)、\(a_3=2\cdot5+9=19\) で公式も \(27-8=19\) と、ぴったり一致する。

コツ　「割る数」は右辺の \(q^n\) の \(q\) に合わせる（\(q^{n+1}\) で割る）。置き換えたあとに出てくる \(b_{n+1}=(\text{何か})b_n+(\text{定数})\) は、STEP 2の特性方程式の手順がそのまま使える。最後に \(b_n\) から \(a_n\) に戻すのを忘れないこと。

STEP 4

漸化式の文章題 — 図形の分割数

漸化式は「1つ増やしたときに何が増えるか」を式にする文章題と相性がいい。定番の題材である図形の分割数で練習しよう。

例題　平面上に \(n\) 本の直線があり、どの2本も平行でなく、どの3本も1点で交わらないとする。この \(n\) 本の直線によって平面が分けられる部分の数を \(a_n\) とするとき、\(a_n\) を求めよ。

解答を見る

直線が1本もないとき平面は1つの部分。直線を1本引くと2つの部分に分かれるので \(a_1=2\)。 \(n\) 本の直線がある状態から \((n+1)\) 本目を引くことを考える。条件（どの2本も平行でない）より、新しい直線は既存の \(n\) 本すべてと異なる点で交わるので、交点は \(n\) 個できる。この \(n\) 個の交点によって、新しい直線自身は \((n+1)\) 個の線分・半直線に区切られる。区切られた1つ1つが、それが通り抜ける既存の領域をちょうど2つに分ける（＝1つ領域が増える）ので、新しく増える領域の数は \((n+1)\)。 \(a_{n+1}=a_n+(n+1)\)（階差型）これはSTEP 1の階差型なので、\(n\ge2\) で \(a_n=a_1+\displaystyle\sum_{k=1}^{n-1}(k+1)=2+\sum_{k=1}^{n-1}k+\sum_{k=1}^{n-1}1=2+\dfrac{(n-1)n}{2}+(n-1)\) \(=2+\dfrac{(n-1)n+2(n-1)}{2}=2+\dfrac{(n-1)(n+2)}{2}=\dfrac{4+(n-1)(n+2)}{2}=\dfrac{n^2+n+2}{2}\) \(n=1\) を代入すると \(\dfrac{1+1+2}{2}=2\) となり \(a_1\) とも一致するので、この式は \(n=1\) でも成り立つ。 \(a_n=\dfrac{n^2+n+2}{2}\)

検算：\(n=2\)（交わる2本の直線）は \(\dfrac{4+2+2}{2}=4\)、\(n=3\)（三角形を作る3本の直線）は \(\dfrac{9+3+2}{2}=7\)。実際に図を描いて数えても一致することを確かめておこう。

文章題を漸化式にする流れ
手順1　「1つ増えたら何が増えるか」を \(a_{n+1}-a_n\) の形で言葉にする
手順2　その式が等差型・等比型・階差型のどれに当てはまるか判定する
手順3　該当する公式（STEP 1の3タイプ、または STEP 2・3の帰着テクニック）で一般項を求める

練習問題（全16問）

答えを入力して「採点」を押すと○×が出るぞ。分数は「-1/2」のように入力。
わからないときは「解説を見る」で解き方を確認しよう。

基本（1〜5）

等差型

\(a_1=5,\ a_{n+1}=a_n+3\) の一般項を \(a_n=pn+q\) の形で表すとき、\(p,\ q\) を求めよ。

\(p=\) 　\(q=\)

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等差型なので \(a_n=a_1+(n-1)d=5+3(n-1)=3n+2\)。 \(p=3,\ q=2\)

等比型

\(a_1=2,\ a_{n+1}=3a_n\) の一般項を \(a_n=A\cdot r^{\,n-1}\) の形で表すとき、\(A,\ r\) を求めよ。

\(A=\) 　\(r=\)

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等比型なので \(a_n=a_1\,r^{\,n-1}=2\cdot3^{\,n-1}\)。 \(A=2,\ r=3\)

等比型・分数

\(a_1=4,\ a_{n+1}=\dfrac{1}{2}a_n\) のとき、\(a_5\) を求めよ。

\(a_5=\)

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\(a_n=4\left(\dfrac{1}{2}\right)^{n-1}\) より \(a_5=4\left(\dfrac{1}{2}\right)^{4}=\dfrac{4}{16}=\dfrac{1}{4}\)。 \(a_5=\dfrac{1}{4}\)

階差型・項をたどる

\(a_1=1,\ a_{n+1}=a_n+2n\) のとき、\(a_4,\ a_5\) を求めよ。

\(a_4=\) 　\(a_5=\)

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\(a_2=a_1+2\cdot1=3\)、\(a_3=a_2+2\cdot2=7\)、\(a_4=a_3+2\cdot3=13\)、\(a_5=a_4+2\cdot4=21\)。 \(a_4=13,\ a_5=21\)

\(a_{n+1}=pa_n+q\) 型・基本

\(a_1=1,\ a_{n+1}=2a_n+1\) について、特性方程式の解 \(\alpha\) と \(a_4\) を求めよ。

\(\alpha=\) 　\(a_4=\)

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\(\alpha=2\alpha+1\) より \(\alpha=-1\)。\(a_n+1=(a_1+1)2^{\,n-1}=2^n\) より \(a_n=2^n-1\)。\(a_4=2^4-1=15\)。 \(\alpha=-1,\ a_4=15\)

標準（6〜12）　※パターンは自分で判定

\(a_1=5,\ a_{n+1}=3a_n-4\) について、特性方程式の解 \(\alpha\) と \(a_4\) を求めよ。

\(\alpha=\) 　\(a_4=\)

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\(\alpha=3\alpha-4\) より \(-2\alpha=-4,\ \alpha=2\)。\(a_n-2=(a_1-2)3^{\,n-1}=3\cdot3^{\,n-1}=3^n\) より \(a_n=3^n+2\)。\(a_4=3^4+2=83\)。 \(\alpha=2,\ a_4=83\)

\(a_1=0,\ a_{n+1}=4a_n+3\) について、特性方程式の解 \(\alpha\) と \(a_5\) を求めよ。

\(\alpha=\) 　\(a_5=\)

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\(\alpha=4\alpha+3\) より \(-3\alpha=3,\ \alpha=-1\)。\(a_n+1=(a_1+1)4^{\,n-1}=4^{\,n-1}\) より \(a_n=4^{\,n-1}-1\)。\(a_5=4^4-1=255\)。 \(\alpha=-1,\ a_5=255\)

おきかえ型

\(a_1=5,\ a_{n+1}=2a_n+3^n\) の一般項を \(a_n=A\cdot2^n+B\cdot3^n\) の形で表すとき、\(A,\ B\) を求めよ。

\(A=\) 　\(B=\)

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両辺を \(3^{n+1}\) で割り \(b_n=\dfrac{a_n}{3^n}\) とおくと \(b_{n+1}=\dfrac{2}{3}b_n+\dfrac{1}{3}\)。特性方程式 \(\beta=\dfrac{2}{3}\beta+\dfrac{1}{3}\) より \(\beta=1\)。 \(b_1=\dfrac{5}{3}\) より \(b_n-1=\left(\dfrac{5}{3}-1\right)\left(\dfrac{2}{3}\right)^{n-1}=\dfrac{2}{3}\left(\dfrac{2}{3}\right)^{n-1}=\left(\dfrac{2}{3}\right)^{n}\)。 \(b_n=1+\left(\dfrac{2}{3}\right)^{n}\)、\(a_n=3^n\,b_n=3^n+2^n\)。 \(A=1,\ B=1\)（\(a_n=2^n+3^n\)）

おきかえ型

\(a_1=1,\ a_{n+1}=3a_n+4^n\) の一般項を \(a_n=A\cdot4^n+B\cdot3^n\) の形で表すとき、\(A,\ B\) と \(a_4\) を求めよ。

\(A=\) 　\(B=\) 　\(a_4=\)

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両辺を \(4^{n+1}\) で割り \(b_n=\dfrac{a_n}{4^n}\) とおくと \(b_{n+1}=\dfrac{3}{4}b_n+\dfrac{1}{4}\)。特性方程式より \(\beta=1\)。 \(b_1=\dfrac{1}{4}\) より \(b_n-1=\left(\dfrac{1}{4}-1\right)\left(\dfrac{3}{4}\right)^{n-1}=-\dfrac{3}{4}\left(\dfrac{3}{4}\right)^{n-1}=-\left(\dfrac{3}{4}\right)^{n}\)。 \(b_n=1-\left(\dfrac{3}{4}\right)^{n}\)、\(a_n=4^n\,b_n=4^n-3^n\)。\(a_4=4^4-3^4=256-81=175\)。 \(A=1,\ B=-1,\ a_4=175\)（\(a_n=4^n-3^n\)）

階差型・Σの技術を使う

\(a_1=3,\ a_{n+1}=a_n+3n-1\) のとき、\(a_6\) を求めよ。

\(a_6=\)

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\(a_2=3+(3\cdot1-1)=5\)、\(a_3=5+(3\cdot2-1)=10\)、\(a_4=10+(3\cdot3-1)=18\)、\(a_5=18+(3\cdot4-1)=29\)、\(a_6=29+(3\cdot5-1)=43\)。（一般項も \(a_n=a_1+\displaystyle\sum_{k=1}^{n-1}(3k-1)\) から求められ、\(a_n=\dfrac{3n^2-5n+8}{2}\) になる。\(n=6\) を代入すると \(\dfrac{108-30+8}{2}=43\) と一致する。） \(a_6=43\)

\(a_1=7,\ a_{n+1}=5a_n-8\) について、特性方程式の解 \(\alpha\) と \(a_4\) を求めよ。

\(\alpha=\) 　\(a_4=\)

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\(\alpha=5\alpha-8\) より \(-4\alpha=-8,\ \alpha=2\)。\(a_n-2=(a_1-2)5^{\,n-1}=5\cdot5^{\,n-1}=5^n\) より \(a_n=5^n+2\)。\(a_4=5^4+2=627\)。 \(\alpha=2,\ a_4=627\)

おきかえ型

\(a_1=1,\ a_{n+1}=2a_n+3^n\) のとき、\(a_5\) を求めよ。

\(a_5=\)

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STEP 3の例題より \(a_n=3^n-2^n\)。\(a_5=3^5-2^5=243-32=211\)。（直接たどっても \(a_2=5,\ a_3=19,\ a_4=65,\ a_5=2\cdot65+3^4=130+81=211\) と一致する。） \(a_5=211\)

挑戦（13〜16）

特性方程式の解が負の型

\(a_1=2,\ a_{n+1}=-2a_n+3\) について、特性方程式の解 \(\alpha\) と \(a_5\) を求めよ。

\(\alpha=\) 　\(a_5=\)

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\(\alpha=-2\alpha+3\) より \(3\alpha=3,\ \alpha=1\)。\(a_n-1=(a_1-1)(-2)^{\,n-1}=(-2)^{\,n-1}\) より \(a_n=(-2)^{\,n-1}+1\)。 \(a_5=(-2)^4+1=16+1=17\)。公比が負なので符号が交互に入れ替わることに注意。 \(\alpha=1,\ a_5=17\)

特性方程式の解と初項が一致する特殊ケース

\(a_1=3,\ a_{n+1}=2a_n-3\) のとき、\(a_{10}\) を求めよ。

\(a_{10}=\)

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特性方程式 \(\alpha=2\alpha-3\) より \(\alpha=3\)。ところが初項がすでに \(a_1=3=\alpha\)。 \(a_n-3=(a_1-3)2^{\,n-1}=0\cdot2^{\,n-1}=0\) なので、\(a_n=3\) がすべての \(n\) で成り立つ（定数列）。実際に \(a_2=2\cdot3-3=3\)、\(a_3=2\cdot3-3=3,\ldots\) と、ずっと \(3\) のまま変わらない。 \(a_{10}=3\)

おきかえ型・係数つき

\(a_1=7,\ a_{n+1}=5a_n+2\cdot3^n\) の一般項を \(a_n=A\cdot5^n+B\cdot3^n\) の形で表すとき、\(A,\ B\) と \(a_4\) を求めよ。

\(A=\) 　\(B=\) 　\(a_4=\)

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両辺を \(3^{n+1}\) で割り \(b_n=\dfrac{a_n}{3^n}\) とおくと \(b_{n+1}=\dfrac{5}{3}b_n+\dfrac{2}{3}\)。特性方程式 \(\beta=\dfrac{5}{3}\beta+\dfrac{2}{3}\) より \(-\dfrac{2}{3}\beta=\dfrac{2}{3},\ \beta=-1\)。 \(b_1=\dfrac{7}{3}\) より \(b_n-(-1)=\left(\dfrac{7}{3}+1\right)\left(\dfrac{5}{3}\right)^{n-1}=\dfrac{10}{3}\left(\dfrac{5}{3}\right)^{n-1}=2\left(\dfrac{5}{3}\right)^{n}\)。 \(b_n=2\left(\dfrac{5}{3}\right)^{n}-1\)、\(a_n=3^n\,b_n=2\cdot5^n-3^n\)。 \(a_4=2\cdot5^4-3^4=2\cdot625-81=1250-81=1169\)。 \(A=2,\ B=-1,\ a_4=1169\)（\(a_n=2\cdot5^n-3^n\)）

階差型・一般項を最後まで求める

\(a_1=2,\ a_{n+1}=a_n+4n-1\) の一般項を \(a_n=An^2+Bn+C\) の形で表すとき、\(A,\ B,\ C\) を求めよ。

\(A=\) 　\(B=\) 　\(C=\)

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\(n\ge2\) で \(a_n=a_1+\displaystyle\sum_{k=1}^{n-1}(4k-1)=2+4\cdot\dfrac{(n-1)n}{2}-(n-1)=2+(n-1)(2n-1)\) \((n-1)(2n-1)=2n^2-3n+1\) より \(a_n=2+2n^2-3n+1=2n^2-3n+3\)。 \(n=1\) を代入すると \(2-3+3=2=a_1\) となり成り立つ。検算：\(a_2=2+3=5\)、公式も \(8-6+3=5\)。 \(A=2,\ B=-3,\ C=3\)（\(a_n=2n^2-3n+3\)）

応用問題（プリント限定）

ここから先はPDF限定の腕試し。隣接3項間の漸化式と確率漸化式の入り口を紹介する。

応1

隣接3項間漸化式（入り口）

\(a_1=2,\ a_2=5,\ a_{n+2}=5a_{n+1}-6a_n\) の一般項を求め、\(a_5\) を求めよ。

\(a_5=\)

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3つの項が並ぶ漸化式（隣接3項間）は、\(x^2=5x-6\)（特性方程式）を作って解くのが基本方針。 \(x^2-5x+6=0\) を解くと \((x-2)(x-3)=0\) より \(x=2,\ 3\)。この2つの解 \(2,\ 3\) を使って、一般項は \(a_n=A\cdot2^{\,n-1}+B\cdot3^{\,n-1}\) の形で書けることが知られている（詳しい理由は数列をさらに深く学ぶ機会に扱う。ここでは「2つの特性方程式の解を使って一般項を組み立てる」という考え方だけつかんでおこう）。 \(n=1,2\) を代入して \(A,\ B\) を決める。 \(a_1=A+B=2\) \(a_2=2A+3B=5\) 1つ目の式より \(A=2-B\)。2つ目に代入すると \(2(2-B)+3B=5\) より \(4+B=5,\ B=1\)。よって \(A=1\)。 \(a_n=1\cdot2^{\,n-1}+1\cdot3^{\,n-1}=2^{\,n-1}+3^{\,n-1}\) 検算：\(a_3=5a_2-6a_1=25-12=13\)。公式も \(2^2+3^2=4+9=13\) で一致。 \(a_4=5\cdot13-6\cdot5=65-30=35\)。公式も \(2^3+3^3=8+27=35\) で一致。 \(a_5=5\cdot35-6\cdot13=175-78=97\)。公式も \(2^4+3^4=16+81=97\)。 \(a_n=2^{\,n-1}+3^{\,n-1}\)、\(a_5=97\)

応2

確率漸化式（入り口）

正三角形ABCの頂点上を動く点Pがある。点Pは最初、頂点Aにいる。1回の操作で、今いる頂点から他の2頂点のどちらかへ、それぞれ確率 \(\dfrac{1}{2}\) で移動する。\(n\) 回の操作のあとに点PがAにいる確率を \(p_n\) とするとき、\(p_1\) を求めよ。また \(p_{n+1}\) を \(p_n\) の式（\(p_{n+1}=Ap_n+B\) の形）で表せ。

\(p_1=\) 　\(A=\) 　\(B=\)

解説を見る

1回操作すると、最初Aにいた点Pは必ずBかCへ移動するので、1回後にAにいる確率は \(p_1=0\)。 \((n+1)\) 回後にAにいる場合を、「\(n\) 回後にどこにいたか」で場合分けする。・\(n\) 回後にAにいた（確率 \(p_n\)）→ 次はB・Cのどちらかへ移動するので、Aには戻れない。この場合からの寄与は \(0\)。・\(n\) 回後にAにいなかった（確率 \(1-p_n\)）→ 今いる頂点から見て、他の2頂点のうち1つがAなので、確率 \(\dfrac{1}{2}\) でAに移動する。したがって \(p_{n+1}=0\cdot p_n+\dfrac{1}{2}(1-p_n)=-\dfrac{1}{2}p_n+\dfrac{1}{2}\)。（発展：この式もSTEP 2の特性方程式で解ける。\(\alpha=-\dfrac{1}{2}\alpha+\dfrac{1}{2}\) より \(\alpha=\dfrac{1}{3}\)。\(p_1=0\) から出発して \(p_n=\dfrac{1}{3}-\dfrac{1}{3}\left(-\dfrac{1}{2}\right)^{n-1}\) が得られ、\(n\) が大きくなるほど \(p_n\) は \(\dfrac{1}{3}\) に近づいていく。） \(p_1=0,\ \ p_{n+1}=-\dfrac{1}{2}p_n+\dfrac{1}{2}\)

応3

文章題：円による平面の分割数

平面上に \(n\) 個の円があり、どの2つの円も異なる2点で交わり、どの3つの円も1点で交わらないとする。この \(n\) 個の円によって平面が分けられる部分の数を \(a_n\) とする。一般項を \(a_n=An^2+Bn+C\) の形で求め、\(a_6\) を求めよ。

\(A=\) 　\(B=\) 　\(C=\) 　\(a_6=\)

解説を見る

円が1個もないとき平面は1つの部分。円を1個かくと内側・外側の2つに分かれるので \(a_1=2\)。 \(n\) 個の円がある状態から \((n+1)\) 個目の円を加えると、条件より新しい円は既存の \(n\) 個の円それぞれと2点で交わるので、交点は \(2n\) 個できる。この \(2n\) 個の交点によって、新しい円自身は \(2n\) 個の弧に分けられる。1つの弧が既存の領域を1つ2つに分けるので、増える領域の数は \(2n\)。 \(a_{n+1}=a_n+2n\)（階差型） \(n\ge2\) で \(a_n=a_1+\displaystyle\sum_{k=1}^{n-1}2k=2+2\cdot\dfrac{(n-1)n}{2}=2+n(n-1)=n^2-n+2\)。 \(n=1\) でも \(1-1+2=2\) となり一致する。検算：\(a_2=4-2+2=4\)（2つの円が重なるベン図と同じ形）。\(a_3=9-3+2=8\)。 \(a_6=36-6+2=32\)。 \(A=1,\ B=-1,\ C=2\)（\(a_n=n^2-n+2\)）、\(a_6=32\)

応4

文章題：培養液の中の細菌

ある培養液の中の細菌の数は、1時間ごとに2倍に増えるが、同時に薬剤の投与により毎回3匹ずつ減らされる。1時間後の細菌の数が5匹であるとき、\(n\) 時間後の細菌の数を \(a_n\)（匹）とする。一般項を \(a_n=2^n+c\) の形で求め、10時間後の細菌の数を求めよ。

\(c=\) 　10時間後匹

解説を見る

条件を式にすると \(a_1=5,\ a_{n+1}=2a_n-3\)。特性方程式 \(\alpha=2\alpha-3\) より \(\alpha=3\)。\(a_n-3=(a_1-3)2^{\,n-1}=2\cdot2^{\,n-1}=2^n\) より \(a_n=2^n+3\)。検算：\(a_1=2+3=5\)（条件と一致）、\(a_2=2\cdot5-3=7\)、公式も \(4+3=7\)。 \(a_{10}=2^{10}+3=1024+3=1027\)。 \(c=3\)（\(a_n=2^n+3\)）、10時間後は\(1027\)匹

応5

初項・公比・定数がすべて負を含む型

\(a_1=-2,\ a_{n+1}=-3a_n+8\) について、特性方程式の解 \(\alpha\) と \(a_4\) を求めよ。

\(\alpha=\) 　\(a_4=\)

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特性方程式 \(\alpha=-3\alpha+8\) より \(4\alpha=8,\ \alpha=2\)。 \(a_n-2=(a_1-2)(-3)^{\,n-1}=(-2-2)(-3)^{\,n-1}=-4(-3)^{\,n-1}\) より \(a_n=2-4(-3)^{\,n-1}\)。検算：\(a_1=2-4=-2\)（条件と一致）、\(a_2=-3\cdot(-2)+8=6+8=14\)、公式も \(2-4(-3)=2+12=14\)。 \(a_3=-3\cdot14+8=-34\)、公式も \(2-4\cdot9=2-36=-34\)。 \(a_4=-3\cdot(-34)+8=102+8=110\)、公式も \(2-4(-27)=2+108=110\)。 \(\alpha=2,\ a_4=110\)