Σ記号の意味と基本公式
\(\displaystyle\sum_{k=1}^{n} a_k\) は「\(a_k\) に \(k=1,2,\ldots,n\) を順に代入して、全部足す」という意味。\(k\) は足し合わせるための文字（どの文字でもよい）で、答えには残らない。まずは3つの基本公式を覚えよう。これさえあれば、どんな多項式の和も計算できる。
\(\displaystyle\sum_{k=1}^{n} k = \dfrac{1}{2}n(n+1)\)
\(\displaystyle\sum_{k=1}^{n} k^2 = \dfrac{1}{6}n(n+1)(2n+1)\)
\(\displaystyle\sum_{k=1}^{n} k^3 = \left\{\dfrac{1}{2}n(n+1)\right\}^2\)
\(\displaystyle\sum_{k=1}^{n} c = nc\)（\(c\) は \(k\) に関係ない定数）
実は \(\sum_{k=1}^{n} k = \dfrac{1}{2}n(n+1)\) は、\(n\) を変数と見れば \(n\) の2次関数になっている。下の図は \(S_n = \dfrac{1}{2}n(n+1)\) を \(n=1,2,\ldots,6\) についてプロットしたもの。放物線の一部に沿って、和がどんどん増えていく様子がわかる。
例題1 \(\displaystyle\sum_{k=1}^{5} k\)、\(\displaystyle\sum_{k=1}^{4} k^2\)、\(\displaystyle\sum_{k=1}^{3} k^3\) をそれぞれ求めよ。
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Σの計算（多項式の和）
Σには「和を分けてよい」「定数倍は前に出せる」という性質がある。
\(\displaystyle\sum_{k=1}^{n}(a_k+b_k) = \sum_{k=1}^{n}a_k+\sum_{k=1}^{n}b_k\)、 \(\displaystyle\sum_{k=1}^{n} c\,a_k = c\sum_{k=1}^{n}a_k\)
この2つを使って、多項式の形をした \(k\) の式をバラバラの基本公式に分解してから、まとめて計算する。
例題2 \(\displaystyle\sum_{k=1}^{n}(3k^2-2k+1)\) を計算せよ。
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例題3 \(\displaystyle\sum_{k=1}^{n} k(k+1)\) を計算せよ。
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階差数列
数列 \(\{a_n\}\) の隣り合う項の差 \(b_n = a_{n+1}-a_n\) を並べた数列 \(\{b_n\}\) を、\(\{a_n\}\) の階差数列という。階差数列がわかれば、もとの数列の一般項をΣで組み立てられる。
\(n\ge2\) のとき \(\displaystyle a_n = a_1+\sum_{k=1}^{n-1} b_k\)
※この式は \(n\ge2\) 用に作った式なので、\(n=1\) のときにも成り立つかは必ず別に確認する（\(n=1\) を代入するとΣの上端が0になり中身が空になる、という約束で計算することが多いが、入試では実際に \(a_1\) の値と照らして確認するのが安全）。
下の図は、階差が \(b_n=2^{n-1}\)（つまり階差自身が等比数列）になっている数列 \(2,\ 3,\ 5,\ 9,\ 17,\ldots\) を \(n\) と \(a_n\) の点でプロットしたもの。差がどんどん開いていく（＝グラフの傾きがどんどん急になる）様子が見える。
例題4 数列 \(2,\ 3,\ 5,\ 9,\ 17,\ldots\) の階差数列は \(b_n=2^{n-1}\) である。この数列の一般項 \(a_n\) を求めよ。
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部分分数分解による和（telescoping）
\(\dfrac{1}{k(k+1)}\) のような分数の和は、そのままではΣの公式が使えない。そこで部分分数分解して \(\dfrac{1}{k}-\dfrac{1}{k+1}\) の形にすると、和を書き並べたときに真ん中の項がどんどん打ち消し合って消える（このしくみをtelescoping「望遠鏡式」という）。
\(\dfrac{1}{k(k+1)} = \dfrac{1}{k}-\dfrac{1}{k+1}\)
例題5 \(\displaystyle\sum_{k=1}^{n} \dfrac{1}{k(k+1)}\) を計算せよ。
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下の図は \(S_n=\dfrac{n}{n+1}\) を \(n=1,\ldots,6\) でプロットしたもの。赤い破線 \(y=1\) にどんどん近づいていく（\(n\) を大きくすると和は \(1\) に限りなく近づく）様子がわかる。
例題6 \(\dfrac{1}{(2k-1)(2k+1)} = \dfrac{1}{2}\left(\dfrac{1}{2k-1}-\dfrac{1}{2k+1}\right)\) を用いて \(\displaystyle\sum_{k=1}^{n} \dfrac{1}{(2k-1)(2k+1)}\) を計算せよ。
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答えを入力して「採点」を押すと○×が出るぞ。分数は「6/7」のように入力しよう。
わからないときは「解説を見る」で解き方を確認しよう。
\(\displaystyle\sum_{k=1}^{5} k\) の値を求めよ。
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\(\displaystyle\sum_{k=1}^{7} k\) の値を求めよ。
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\(\displaystyle\sum_{k=1}^{4} k^2\) の値を求めよ。
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\(\displaystyle\sum_{k=1}^{5} k^2\) の値を求めよ。
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\(\displaystyle\sum_{k=1}^{3} k^3\) の値を求めよ。
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\(\displaystyle\sum_{k=1}^{5} 4\) の値を求めよ。
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\(\displaystyle\sum_{k=1}^{6} k^2\) の値を求めよ。
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\(\displaystyle\sum_{k=1}^{4} k^3\) の値を求めよ。
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\(\displaystyle\sum_{k=1}^{4} (2k+1)\) の値を求めよ。
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\(\displaystyle\sum_{k=1}^{5} (3k-2)\) の値を求めよ。
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\(\displaystyle\sum_{k=1}^{4} k(k+1)\) の値を求めよ。
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\(\displaystyle\sum_{k=1}^{5} (k^2-k)\) の値を求めよ。
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\(\displaystyle\sum_{k=1}^{3} (2k^2+1)\) の値を求めよ。
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\(\displaystyle\sum_{k=1}^{4} (k^3-k)\) の値を求めよ。
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\(\displaystyle\sum_{k=1}^{n} (4k-1)\) を計算すると \(an^2+bn+c\) の形になる。係数 \(a,\ b,\ c\) を求めよ。
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\(\displaystyle\sum_{k=1}^{n} (6k^2-2k+3)\) を計算すると \(an^3+bn^2+cn+d\) の形になる。係数 \(a,\ b,\ c,\ d\) を求めよ。
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数列 \(\{a_n\}\) は \(a_1=1\)、階差数列 \(b_n=3n-1\)（\(b_n=a_{n+1}-a_n\)）を満たす。\(a_5\) の値を求めよ。
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\(\displaystyle\sum_{k=1}^{6} \dfrac{1}{k(k+1)}\) の値を求めよ。
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ここから先はPDF限定の腕試し。等差×等比の和や群数列の入り口など、入試の基礎レベルに挑戦しよう。
\(S=\displaystyle\sum_{k=1}^{5} k\cdot2^k\) の値を求めよ。（\(S-2S\) を作る方法を使うこと）
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自然数を次のように群に分ける（第 \(n\) 群には \(n\) 個の数が入る）。
第1群 \(\{1\}\) 第2群 \(\{2,3\}\) 第3群 \(\{4,5,6\}\) 第4群 \(\{7,8,9,10\}\) ……
\(20\) はどの群の何番目に入るか求めよ。
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\(\dfrac{1}{k(k+2)}=\dfrac{1}{2}\left(\dfrac{1}{k}-\dfrac{1}{k+2}\right)\) を用いて \(\displaystyle\sum_{k=1}^{5} \dfrac{1}{k(k+2)}\) の値を求めよ。
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\(\displaystyle\sum_{k=1}^{6} (2k-1)^2\)（奇数 \(1^2,3^2,5^2,\ldots\) の和）の値を求めよ。
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数列 \(\{a_n\}\) は \(a_1=3\)、階差数列 \(b_n=n^2\)（\(b_n=a_{n+1}-a_n\)）を満たす。\(a_5\) の値を求めよ。