等比数列

解説＋ドリル全18問・自動採点つき

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STEP 1

等比数列の一般項

隣り合う項の比が常に一定である数列を等比数列といい、その一定の比を公比という。前回の等差数列が「足していく」数列だったのに対し、等比数列は「かけていく」数列だ。

初項を \(a\)、公比を \(r\) とすると、各項は前の項に \(r\) をかけて作られる。

\(a,\ \ ar,\ \ ar^2,\ \ ar^3,\ \ \ldots\)

等比数列の一般項
初項 \(a\)、公比 \(r\) の等比数列の第 \(n\) 項 \(a_n\) は \(a_n = a\,r^{\,n-1}\)

公比 \(r\) の大きさによって、数列の増え方はまったく違う顔を見せる。まずは2つのグラフで見比べてみよう。

公比が負のときは、項の符号がプラス・マイナスと交互に入れ替わる（この場合はグラフより数式で追ったほうがわかりやすい）。

例題1　初項2、公比3の等比数列の第5項を求めよ。

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一般項は \(a_n = 2 \cdot 3^{\,n-1}\)。 \(n=5\) を代入して \(a_5 = 2\cdot3^4 = 2\times81 = 162\)。 第5項は \(162\)

例題2　数列 \(-4,\ 8,\ -16,\ 32,\ \ldots\) の公比と第6項を求めよ。

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公比は \(r = 8 \div (-4) = -2\)（隣り合う項の比を計算する）。 一般項は \(a_n = -4\cdot(-2)^{\,n-1}\)。 \(n=6\) を代入して \(a_6 = -4\cdot(-2)^5 = -4\times(-32) = 128\)。 公比 \(-2\)、第6項は \(128\)
STEP 2

等比数列の和（\(r \neq 1\) の公式）

等比数列の初項から第 \(n\) 項までの和 \(S_n\) を求める公式を、実際に導いてみよう。導き方そのものが入試でもよく問われる大事な考え方だ。

公式の導出

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初項 \(a\)、公比 \(r\) の等比数列の初項から第 \(n\) 項までの和を \(S_n\) とすると \(S_n = a + ar + ar^2 + \cdots + ar^{\,n-1}\)　……(1) (1)の両辺に \(r\) をかけると \(rS_n = ar + ar^2 + ar^3 + \cdots + ar^{\,n}\)　……(2) (1)－(2)（ずらして引くと、途中の項がすべて消える） \(S_n - rS_n = a - ar^{\,n}\) \((1-r)S_n = a(1-r^{\,n})\) \(r \neq 1\) のとき、両辺を \(1-r\) で割って \(S_n = \dfrac{a(1-r^{\,n})}{1-r} = \dfrac{a(r^{\,n}-1)}{r-1}\)
注意（\(r=1\) のとき）　公比が \(1\) だと分母 \(r-1\) が \(0\) になり公式が使えない。この場合はすべての項が \(a\) なので、単純に \(S_n = na\)。

例題3　初項3、公比2の等比数列の初項から第5項までの和 \(S_5\) を求めよ。

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\(S_5 = \dfrac{3(2^5-1)}{2-1} = 3(32-1) = 3\times31 = 93\) 検算：\(3+6+12+24+48 = 93\)（STEP1の数列と一致） \(S_5 = 93\)

例題4　初項16、公比 \(\dfrac{1}{2}\) の等比数列の初項から第5項までの和 \(S_5\) を求めよ。

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\(S_5 = \dfrac{16\left(1-\left(\frac{1}{2}\right)^5\right)}{1-\frac{1}{2}} = \dfrac{16\left(1-\frac{1}{32}\right)}{\frac{1}{2}} = 16\times\dfrac{31}{32}\times2 = 31\) 検算：\(16+8+4+2+1 = 31\) \(S_5 = 31\)
STEP 3

3つの数が等比数列をなす条件（等比中項）

3つの数 \(a,\ b,\ c\) がこの順に等比数列をなすとき、隣り合う項の比が等しいので \(\dfrac{b}{a} = \dfrac{c}{b}\) が成り立つ。これを整理すると次の関係が得られる。

等比中項
3つの数 \(a,\ b,\ c\) がこの順に等比数列をなす \(\iff\) \(b^2 = ac\)（このとき \(b\) を等比中項という）

注意　等差中項（\(2b=a+c\)）と違って、\(b^2=ac\) は\(b\)の符号を決めない。\(b=\pm\sqrt{ac}\) の両方が解になりうるので、求めたあとに実際に数列として成り立つか確認しよう。

例題5　\(2,\ x,\ 18\) がこの順に等比数列をなすとき、\(x\) の値を求めよ。

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等比中項の関係より \(x^2 = 2\times18 = 36\)。 よって \(x = \pm6\)。 \(x=6\) のとき：\(2,\ 6,\ 18\)（公比 \(3\)）で成立。 \(x=-6\) のとき：\(2,\ -6,\ 18\)（公比 \(-3\)）で成立。 どちらも実際に等比数列になっているので、両方とも解。 \(x = \pm6\)
STEP 4

複利計算への応用

等比数列は数学の中だけの話ではない。銀行預金の複利計算は、まさに等比数列そのものだ。

元金 \(a_0\) 円を年利率 \(r\)（小数、例えば年利5%なら \(r=0.05\)）で複利運用すると、\(n\) 年後の残高 \(a_n\) は

複利計算の式
元金 \(a_0\)、年利率 \(r\) のとき、\(n\) 年後の残高 \(a_n = a_0(1+r)^{\,n}\)（初項 \(a_0\)、公比 \(1+r\) の等比数列）

「毎年、残高に \((1+r)\) をかけたものが翌年の残高」になるので、これは公比 \(1+r\) の等比数列の一般項そのものだ（ただし \(n=0\) が初項にあたる点だけ、これまでの一般項の添字と少しずれることに注意）。

例題6　元金200000円を年利5%の複利で3年間運用したときの残高を求めよ。

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\(a_0=200000\)、\(r=0.05\) なので \(1+r=1.05\)。 \(n=3\) 年後の残高は \(a_3 = 200000\times1.05^3 = 200000\times1.157625 = 231525\) 3年後の残高は \(231525\)円
練習問題（全18問）

答えを入力して「採点」を押すと○×が出るぞ。分数は「-1/2」のように入力。
わからないときは「解説を見る」で解き方を確認しよう。

基本（1〜8）
1
第n項を求める

初項5、公比3の等比数列の第4項を求めよ。

第4項
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一般項は \(a_n = 5\cdot3^{\,n-1}\)。 \(a_4 = 5\times3^3 = 5\times27 = 135\) 第4項は \(135\)
2
第n項を求める・公比が負

初項2、公比 \(-2\) の等比数列の第5項を求めよ。

第5項
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\(a_5 = 2\times(-2)^4 = 2\times16 = 32\) 第5項は \(32\)
3
第n項を求める・公比が分数

初項81、公比 \(\dfrac{1}{3}\) の等比数列の第4項を求めよ。

第4項
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\(a_4 = 81\times\left(\dfrac{1}{3}\right)^3 = \dfrac{81}{27} = 3\) 第4項は \(3\)
4
数列から読み取る

数列 \(4,\ 8,\ 16,\ 32,\ \ldots\) の第6項を求めよ。

第6項
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初項 \(4\)、公比 \(2\) と読み取れる。 \(a_6 = 4\times2^5 = 4\times32 = 128\) 第6項は \(128\)
5
公比を求める

数列 \(100,\ -50,\ 25,\ -\dfrac{25}{2},\ \ldots\) の公比を求めよ。

公比
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隣り合う項の比を計算する。 \(-50 \div 100 = -\dfrac{1}{2}\)、\(25 \div(-50) = -\dfrac{1}{2}\)（どこで確認しても同じ値になる） 公比は \(-\dfrac{1}{2}\)
6
和を求める

初項3、公比2の等比数列の初項から第4項までの和 \(S_4\) を求めよ。

\(S_4=\)
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\(S_4 = \dfrac{3(2^4-1)}{2-1} = 3\times15 = 45\) 検算：\(3+6+12+24=45\) \(S_4 = 45\)
7
和を求める・公比が負

初項6、公比 \(-2\) の等比数列の初項から第4項までの和 \(S_4\) を求めよ。

\(S_4=\)
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\(S_4 = \dfrac{6\left((-2)^4-1\right)}{-2-1} = \dfrac{6\times15}{-3} = \dfrac{90}{-3} = -30\) 検算：\(6-12+24-48=-30\) \(S_4 = -30\)
8
公比が1のとき

すべての項が5である数列（公比1の等比数列）の初項から第10項までの和を求めよ。

和
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公比が \(1\) のときは公式 \(\dfrac{a(r^n-1)}{r-1}\) が使えない（分母が\(0\)）。すべての項が \(5\) なので、単純に \(S_{10} = 10\times5 = 50\) 和は \(50\)
標準（9〜14）
9

初項から第5項が48である等比数列（公比2）の初項を求めよ。

初項
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\(a_5 = a\times2^4 = 16a = 48\) より \(a=3\) 初項は \(3\)
10

第2項が6、第4項が24である等比数列の初項と公比を求めよ。ただし公比は正とする。

初項 　公比
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\(a_2 = ar = 6\)、\(a_4 = ar^3 = 24\)。 \(a_4 \div a_2 = r^2 = 4\)、公比は正なので \(r=2\)。 \(a = 6\div2 = 3\) 初項 \(3\)、公比 \(2\)
11

第3項が \(-12\)、公比 \(-2\) である等比数列の初項を求めよ。

初項
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\(a_3 = a\times(-2)^2 = 4a = -12\) より \(a=-3\) 初項は \(-3\)
12
和からnを求める

初項2、公比3の等比数列で、初項から第 \(n\) 項までの和が242になるときの \(n\) を求めよ。

\(n=\)
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\(S_n = \dfrac{2(3^n-1)}{3-1} = 3^n-1 = 242\) \(3^n = 243 = 3^5\) \(n=5\)
13
和からnを求める

初項1、公比2の等比数列で、初項から第 \(n\) 項までの和が127になるときの \(n\) を求めよ。

\(n=\)
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\(S_n = \dfrac{1\times(2^n-1)}{2-1} = 2^n-1 = 127\) \(2^n = 128 = 2^7\) \(n=7\)
14

公比2の等比数列で、初項から第3項までの和が21であるとき、初項を求めよ。

初項
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\(S_3 = \dfrac{a(2^3-1)}{2-1} = 7a = 21\) より \(a=3\) 初項は \(3\)
挑戦（15〜18）
15
2項から初項・公比を決定

第2項が \(-6\)、第5項が162である等比数列の初項と公比を求めよ。ただし公比は実数とする。

初項 　公比
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\(a_2 = ar = -6\)、\(a_5 = ar^4 = 162\)。 \(a_5 \div a_2 = r^3 = 162\div(-6) = -27\) より \(r=-3\)（実数の3乗根はただ1つ）。 \(a = -6\div(-3) = 2\) 初項 \(2\)、公比 \(-3\)
16
条件から和を求める

初項1の等比数列で、第3項が9、公比は正の実数であるとき、初項から第4項までの和 \(S_4\) を求めよ。

\(S_4=\)
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\(a_3 = 1\times r^2 = 9\) より \(r^2=9\)、公比は正なので \(r=3\)。 \(S_4 = \dfrac{1\times(3^4-1)}{3-1} = \dfrac{80}{2} = 40\) \(S_4 = 40\)
17
2項から初項・公比を決定

第2項が4、第5項が \(-32\) である等比数列の初項と公比を求めよ。

初項 　公比
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\(a_2 = ar = 4\)、\(a_5 = ar^4 = -32\)。 \(a_5 \div a_2 = r^3 = -32\div4 = -8\) より \(r=-2\)。 \(a = 4\div(-2) = -2\) 初項 \(-2\)、公比 \(-2\)
18
S3とS6の関係

ある等比数列で、初項から第3項までの和が9、初項から第6項までの和が \(-63\) であるとき、公比 \(r\) を求めよ（\(r\) は実数とする）。

公比
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\(S_6\) は「最初の3項の和」と「後の3項の和」に分けて考えられ、後の3項は最初の3項をちょうど \(r^3\) 倍したものになっている。 つまり \(S_6 = S_3 + r^3 S_3 = S_3(1+r^3)\)。 \(-63 = 9(1+r^3)\) より \(1+r^3 = -7\)、\(r^3=-8\) より \(r=-2\)。 公比は \(-2\)
応用問題（プリント限定）

ここから先はPDF限定の腕試し。入試の基礎レベルに挑戦しよう。

応1
等差かつ等比

3つの数 \(2,\ x,\ y\) がこの順に等差数列であり、同時にこの順に等比数列でもあるとき、\(x,\ y\) の値を求めよ。

\(x=\) 　\(y=\)
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等差数列の条件（等差中項）：\(2x = 2+y\)　……(1) 等比数列の条件（等比中項）：\(x^2 = 2y\)　……(2) (1)より \(y = 2x-2\)。これを(2)に代入すると \(x^2 = 2(2x-2) = 4x-4\) \(x^2-4x+4=0\) \((x-2)^2=0\) よって \(x=2\)。(1)に代入して \(y=2\times2-2=2\)。 検算：\(2,\ 2,\ 2\) は公差\(0\)の等差数列であり、公比\(1\)の等比数列でもある（両方の条件をどちらも満たす）。 一般に、等差数列と等比数列を両方満たす数列は、すべての項が等しい数列に限られる。 \(x=2,\ y=2\)
応2
S3とS6から初項・公比を決定

等比数列 \(\{a_n\}\) において、初項から第3項までの和が7、初項から第6項までの和が63であるとき、初項 \(a\) と公比 \(r\) を求めよ。

初項 　公比
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\(S_6 = S_3(1+r^3)\) の関係（練習問題18と同じ考え方）を使う。 \(63 = 7(1+r^3)\) より \(1+r^3=9\)、\(r^3=8\)、よって \(r=2\)。 初項は \(S_3 = \dfrac{a(r^3-1)}{r-1} = \dfrac{a\times7}{1} = 7a = 7\) より \(a=1\)。 検算：初項1、公比2の数列は \(1,2,4,8,16,32\)。 \(S_3=1+2+4=7\)、\(S_6=7+8+16+32=63\)。両方一致する。 初項 \(1\)、公比 \(2\)
応3
複利計算

元金500000円を年利4%の複利で3年間運用したときの残高を求めよ。

残高 円
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\(a_0=500000\)、年利率 \(r=0.04\) より \(1+r=1.04\)。 3年後の残高は \(a_3 = a_0(1+r)^3\)。 \(1.04^2 = 1.0816\) \(1.04^3 = 1.0816\times1.04 = 1.124864\) \(a_3 = 500000\times1.124864 = 562432\) 3年後の残高は \(562432\)円
応4
性質の証明（記述式）

初項 \(a\)（\(a\neq0\)）、公比 \(r\)（\(r\neq0\)）の等比数列 \(\{a_n\}\) において、\(a_2,\ a_4,\ a_6\) もこの順に等比数列をなすことを示し、その公比を \(r\) で表せ。

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\(a_2 = ar\)、\(a_4 = ar^3\)、\(a_6 = ar^5\) である。 隣り合う項の比を計算すると \(\dfrac{a_4}{a_2} = \dfrac{ar^3}{ar} = r^2\) \(\dfrac{a_6}{a_4} = \dfrac{ar^5}{ar^3} = r^2\) どちらの比も同じ値 \(r^2\) になるので、\(a_2,\ a_4,\ a_6\) はこの順に等比数列をなす。 \(a_2,\ a_4,\ a_6\) は公比 \(r^2\) の等比数列になる（もとの数列から1項おきに取り出すと、公比が2乗された等比数列ができる）
応5
2次方程式に帰着・公比が2通り

初項2の等比数列で、初項から第3項までの和が26であるとき、公比 \(r\) を求めよ。ただし \(r\) は整数とする。

公比
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\(S_3 = \dfrac{2(r^3-1)}{r-1} = 2(r^2+r+1)\)（\(r\neq1\) のときの因数分解 \(r^3-1=(r-1)(r^2+r+1)\) を利用） \(2(r^2+r+1) = 26\) \(r^2+r+1=13\) \(r^2+r-12=0\) \((r+4)(r-3)=0\) よって \(r=3\) または \(r=-4\)。どちらも整数なので、両方とも解になる。 検算（\(r=3\)）：\(2,6,18\)、\(S_3=2+6+18=26\) 検算（\(r=-4\)）：\(2,-8,32\)、\(S_3=2-8+32=26\)　どちらも成立。 公比は \(r=3\) または \(r=-4\)