円の性質（円周角・接弦定理・方べき）

STEP 1

円周角の定理 — 中心角の半分

円周上に弧ABがあるとき、中心Oから見た角∠AOB（中心角）と、弧の反対側の円周上の点Pから見た角∠APB（円周角）の間には、いつも決まった関係がある。それが円周角の定理：円周角は中心角のちょうど半分になる。

円周角の定理（3つのポイント）
1. 円周角は中心角の半分：\(\angle APB = \dfrac{1}{2}\angle AOB\)
2. 同じ弧に対する円周角はどこで見ても等しい
3. 直径に対する円周角はつねに \(90^\circ\)（タレスの定理）

上の2番目のポイントを図で確認しよう。弧AB（Pを含まない側）が同じなら、円周のどこから見ても円周角は同じ大きさになる。

3番目のポイントは実は1番目の特別な場合。ABが直径のとき、中心角∠AOBは \(180^\circ\)（一直線）なので、円周角はその半分の \(90^\circ\) になる。

例題1　円Oにおいて、弧ABに対する中心角が \(124^\circ\) であるとき、弧ABに対する円周角∠APBを求めよ。

解答を見る

円周角は中心角の半分なので \(\angle APB = 124^\circ \div 2 = 62^\circ\) ∠APB = \(62^\circ\)

例題2　円Oの直径をACとし、円周上の点Bについて \(\angle ABC=90^\circ\)（直径に対する円周角）である。\(\angle BAC=35^\circ\) のとき、\(\angle BCA\) を求めよ。

解答を見る

三角形ABCの内角の和は \(180^\circ\)。直径に対する円周角なので \(\angle ABC=90^\circ\)。 \(\angle BCA = 180^\circ - 90^\circ - 35^\circ = 55^\circ\) ∠BCA = \(55^\circ\)

STEP 2

円に内接する四角形

四角形の4つの頂点がすべて同じ円周上にあるとき、この四角形は「円に内接する」という。円に内接する四角形には、円周角の定理から導かれる2つの性質がある。

円に内接する四角形の性質
1. 向かい合う角（対角）の和は \(180^\circ\)：\(\angle A + \angle C = 180^\circ,\ \angle B + \angle D = 180^\circ\)
2. 1つの内角の外角は、それと向かい合う（隣接しない）内角に等しい

2番目の性質は1番目からすぐに出てくる。辺ABを延長した先の点をEとすると、∠CBEと∠ABCは一直線上の角（合わせて\(180^\circ\)）。一方∠ABC+∠ADC=\(180^\circ\)（性質1）。だから\(\angle CBE=\angle ADC\)、つまり外角＝向かい合う内角になる。

例題1　円に内接する四角形ABCDにおいて、\(\angle A=100^\circ\) である。\(\angle C\) を求めよ。

解答を見る

対角の和は \(180^\circ\) なので \(\angle C = 180^\circ - 100^\circ = 80^\circ\) ∠C = \(80^\circ\)

例題2　四角形ABCDが円に内接している。辺ABを延長した先の点をEとする。\(\angle CBE=95^\circ\) のとき、(1) \(\angle ADC\)、(2) \(\angle ABC\) をそれぞれ求めよ。

解答を見る

(1) 外角＝向かい合う内角なので \(\angle ADC = \angle CBE = 95^\circ\) ∠ADC = \(95^\circ\) (2) ∠ABCと∠CBEは一直線上（合わせて\(180^\circ\)）の角なので \(\angle ABC = 180^\circ - 95^\circ = 85^\circ\) ∠ABC = \(85^\circ\)（確かめ：∠ABC+∠ADC=85°+95°=180°で対角の和と一致）

STEP 3

接線と接弦定理

円の外部の点から円に引ける接線は、ちょうど2本ある。この2本の接線には長さに関する性質があり、さらに接線と弦がつくる角にも「接弦定理」と呼ばれる性質がある。

接線の長さの性質　円外の点Pから引いた2本の接線の長さは等しい（\(PT_1 = PT_2\)）。また、接点における半径は接線と垂直に交わる（\(OT_1 \perp PT_1\)）。

接線と、接点を通る弦がつくる角にも性質がある。これが接弦定理。

接弦定理　円の接線と、接点を通る弦がつくる角は、その角の内側にある弧に対する円周角（接線と反対側＝反対側の弧（あるいは「弧を含む側」の逆側）にある弧に対する円周角）に等しい。

例題1　三角形PABに内接円がある。頂点Pから接点までの距離が\(5\)、頂点Aから接点までの距離が\(3\)、頂点Bから接点までの距離が\(4\)であるとき、三角形PABの周の長さを求めよ。

解答を見る

内接円と各頂点との間には2本ずつ接線が引けて、その長さは等しい（頂点Pからの2本はどちらも\(5\)、頂点Aからの2本はどちらも\(3\)、頂点Bからの2本はどちらも\(4\)）。三角形の各辺は、その両端の頂点からの接線の長さの和になる：辺PA \(=5+3=8\)、辺PB \(=5+4=9\)、辺AB \(=3+4=7\) 周の長さ \(=8+9+7=24\)（つまり \(2\times(5+3+4)\) でも求まる）周の長さ = \(24\)

例題2　点Aにおける接線と弦ABがつくる2つの角のうち、一方が\(70^\circ\)であるとき、もう一方の角を求めよ。

解答を見る

接線は点Aを通る一直線。弦ABと接線がつくる2つの角は、この直線上でとなり合う角（合わせて\(180^\circ\)）になる。 \(180^\circ - 70^\circ = 110^\circ\) もう一方の角 = \(110^\circ\)（それぞれ弧ABの両側の弧に対する円周角と等しくなる）

STEP 4

方べきの定理

円の内部・外部を問わず、1つの点Pを通る2本の直線が円と交わるとき、それぞれの交点までの距離の積はいつも同じ値になる。これが方べきの定理。点Pが円の内部にあるか外部にあるかで見た目は変わるが、式の形はどれも同じ。

型1：2弦の交わり（点Pは円の内部）
弦ABと弦CDが円の内部の点Pで交わるとき
\(PA \times PB = PC \times PD\)

型2：2割線の交わり（点Pは円の外部）
円の外部の点Pから2本の割線を引き、それぞれ近い交点・遠い交点までの距離を測るとき
\(PA \times PB = PC \times PD\)

型3：接線と割線（点Pは円の外部）
円の外部の点Pから接線PT（Tは接点）と割線PAB（Aが近い交点）を引くとき
\(PT^2 = PA \times PB\)

覚え方　どの型でも「Pから測った2つの距離の積」が主役。型3はPT自身が2つの交点（TとT自身）にそろって一致した特別な場合と考えると、型2と同じ形になる理由が見えてくる。

例題1　円の内部の点Pで2本の弦が交わっている。\(PA=6,\ PB=10,\ PC=5\) のとき、\(PD\) を求めよ。

解答を見る

方べきの定理より \(PA \times PB = PC \times PD\) \(6 \times 10 = 5 \times PD\) \(60 = 5\,PD\) \(PD = 12\) PD = \(12\)

例題2　円の外部の点Pから割線を引き、円との交点をA（近い方）、B（遠い方）とする。\(PA=2,\ PB=8\) のとき、この点Pから引いた接線の長さ\(PT\)を求めよ。

解答を見る

方べきの定理（型3）より \(PT^2 = PA \times PB\) \(PT^2 = 2 \times 8 = 16\) \(PT = \sqrt{16} = 4\) PT = \(4\)

STEP 5

2円の位置関係

2つの円の位置関係は、半径 \(r_1,\ r_2\)（\(r_1 > r_2\)とする。2円は一致しないものとする）と中心間の距離 \(d\) の大小関係だけで、次の5パターンに分類できる。共通接線の本数もこの分類と対応している。

位置関係	\(d\) と \(r_1+r_2,\ \|r_1-r_2\|\) の関係	共通接線の本数
互いに外部にある（離れている）	\(d > r_1+r_2\)	4本
外接する	\(d = r_1+r_2\)	3本
2点で交わる	\(\|r_1-r_2\| < d < r_1+r_2\)	2本
内接する	\(d = \|r_1-r_2\|\)	1本
一方が他方の内部にある	\(d < \|r_1-r_2\|\)	0本

覚え方　\(d\) を小さい方から大きい方へ動かしていくと、共通接線は \(0\to1\to2\to3\to4\) 本と1本ずつ増えていく。境界（等号が成り立つとき）が「外接」「内接」の2つ、その間が「2点で交わる」。

例題　円Oの半径を8、円O'の半径を3とし、中心間の距離を\(d=7\)とする。2円の位置関係を答えよ。

解答を見る

\(r_1+r_2 = 8+3 = 11\)、\(|r_1-r_2| = |8-3| = 5\) \(d=7\)なので\(|r_1-r_2|=5 < d=7 < r_1+r_2=11\)が成り立つ。 2点で交わる（共通接線は2本）

練習問題（全21問）

答えを入力して「採点」を押すと○×が出るぞ。角度は数値だけ（「35」のように）入力しよう。
わからないときは「解説を見る」で解き方を確認しよう。

基本（1〜7）

中心角→円周角

円Oにおいて、弧ABに対する中心角が\(100^\circ\)であるとき、弧ABに対する円周角∠APBを求めよ。

∠APB= 度

解説を見る

円周角は中心角の半分。 \(\angle APB = 100^\circ \div 2 = 50^\circ\) ∠APB = \(50^\circ\)

同じ弧なら円周角は等しい

円周上の点Pから弦ABを見た角\(\angle APB=48^\circ\)である。PとQはどちらも弧AB（Pを含まない方の弧を除いた、同じ側の弧）上の点であるとき、同じ弦ABを見た角\(\angle AQB\)を求めよ。

∠AQB= 度

解説を見る

P, Qは同じ弧（弦ABの同じ側）にあるので、同じ弦ABに対する円周角として等しい。 ∠AQB = \(48^\circ\)

直径に対する円周角は90°

円Oの直径をABとし、円周上に点Cをとる。\(\angle BAC=25^\circ\)のとき、\(\angle ABC\)を求めよ。

∠ABC= 度

解説を見る

直径ABに対する円周角なので\(\angle ACB=90^\circ\)。三角形ABCの内角の和は\(180^\circ\)。 \(\angle ABC = 180^\circ - 90^\circ - 25^\circ = 65^\circ\) ∠ABC = \(65^\circ\)

内接四角形・対角の和

円に内接する四角形ABCDにおいて、\(\angle A=95^\circ\)である。\(\angle C\)を求めよ。

∠C= 度

解説を見る

円に内接する四角形の対角の和は\(180^\circ\)。 \(\angle C = 180^\circ - 95^\circ = 85^\circ\) ∠C = \(85^\circ\)

内接四角形・外角

四角形ABCDが円に内接している。辺ABを延長した先の点をEとする。\(\angle ADC=75^\circ\)のとき、外角\(\angle CBE\)を求めよ。

∠CBE= 度

解説を見る

内接四角形の外角は、それと向かい合う内角に等しい。 \(\angle CBE = \angle ADC = 75^\circ\) ∠CBE = \(75^\circ\)

接線の長さは等しい

円Oの外部の点Pから円に2本の接線を引き、接点をそれぞれA, Bとする。\(PA=7\)のとき、\(PB\)を求めよ。

PB=

解説を見る

円外の1点から引いた2本の接線の長さは等しい。 PB = \(7\)

接弦定理・基本

円の接線と弦がつくる角（接弦定理の角）が\(42^\circ\)であるとき、それに等しい円周角（弧の反対側から見た角）の大きさを求めよ。

円周角= 度

解説を見る

接弦定理より、接線と弦がつくる角は、反対側の弧に対する円周角に等しい。円周角 = \(42^\circ\)

標準（8〜14）

内接四角形・文字式

円に内接する四角形ABCDにおいて、\(\angle A=(2x+10)^\circ\)、\(\angle C=(3x+15)^\circ\)と表される。\(x\)の値と\(\angle A\)の大きさを求めよ。

\(x=\) 　∠A= 度

解説を見る

対角の和は\(180^\circ\)なので \((2x+10)+(3x+15)=180\) \(5x+25=180\) \(5x=155\) \(x=31\) \(\angle A = 2\times31+10 = 72^\circ\) \(x=31\)、∠A = \(72^\circ\)

接線の垂直性・四角形の角の和

円Oの外部の点Pから円に2本の接線を引き、接点をそれぞれA, Bとする。\(\angle APB=50^\circ\)のとき、四角形OAPBにおける\(\angle AOB\)を求めよ。

∠AOB= 度

解説を見る

接線は接点における半径と垂直なので\(\angle OAP=\angle OBP=90^\circ\)。四角形OAPBの内角の和は\(360^\circ\)なので \(\angle AOB = 360^\circ - 90^\circ - 90^\circ - 50^\circ = 130^\circ\) ∠AOB = \(130^\circ\)

方べき・2弦（内部の点）

円の内部の点Pで2本の弦AB, CDが交わっている。\(PA=4,\ PB=9,\ PC=6\)のとき、\(PD\)を求めよ。

PD=

解説を見る

方べきの定理より \(PA\times PB = PC\times PD\) \(4\times9 = 6\times PD\) \(36 = 6\,PD\) \(PD=6\) PD = \(6\)

方べき・2割線（外部の点）

円の外部の点Pから2本の割線を引く。1本目はPと近い方の交点Aとの距離が\(PA=3\)、遠い方の交点Bまでの弦\(AB=5\)である。2本目は近い方の交点Cとの距離が\(PC=4\)である。もう一方の遠い方の交点をDとするとき、\(PD\)を求めよ。

PD=

解説を見る

\(PB = PA+AB = 3+5=8\) 方べきの定理より \(PA\times PB = PC\times PD\) \(3\times8 = 4\times PD\) \(24 = 4\,PD\) \(PD=6\) PD = \(6\)

方べき・接線と割線（外部の点）

円Oの外部の点Pから接線PT（Tは接点）と割線を引く。割線は円とA（近い方）, B（遠い方）で交わり、\(PA=4,\ AB=5\)である。\(PT\)を求めよ。

PT=

解説を見る

\(PB = PA+AB = 4+5=9\) 方べきの定理より \(PT^2 = PA\times PB\) \(PT^2 = 4\times9 = 36\) \(PT = \sqrt{36} = 6\) PT = \(6\)

弧の比→円周角

円周上の3点A, B, Cによって円周が3つの弧に分けられ、弧AB：弧BC：弧CA\(=2:3:4\)であるとき、\(\angle BAC\)（頂点Aにおける角）を求めよ。

∠BAC= 度

解説を見る

弧全体\(360^\circ\)を比\(2:3:4\)（和9）で分けるので、1つ分は\(360^\circ\div9=40^\circ\)。弧BC \(=3\times40^\circ=120^\circ\) \(\angle BAC\)は弧BC（Aを含まない側）に対する円周角なので、その半分。 \(\angle BAC = 120^\circ\div2 = 60^\circ\) ∠BAC = \(60^\circ\)

接線の長さが等しい・二等辺三角形

円Oの外部の点Pから2本の接線を引き、接点をA, Bとする。\(\angle APB=44^\circ\)のとき、\(\angle PAB\)の大きさを求めよ。

∠PAB= 度

解説を見る

接線の長さは等しいので\(PA=PB\)、三角形PABは二等辺三角形。底角\(\angle PAB=\angle PBA\)は等しいので \(\angle PAB = (180^\circ - 44^\circ)\div2 = 136^\circ\div2 = 68^\circ\) ∠PAB = \(68^\circ\)

挑戦（15〜25）

方べき・2次方程式（2弦）

円の内部の点Pを通る2本の弦があり、一方は\(PA=x,\ PB=x+2\)、他方は\(PC=4,\ PD=6\)である。方べきの定理を用いて\(x\)の値を求めよ（\(x\)は正の実数とする）。

\(x=\)

解説を見る

方べきの定理より \(PA\times PB = PC\times PD\) \(x(x+2) = 4\times6\) \(x^2+2x = 24\) \(x^2+2x-24=0\) \((x+6)(x-4)=0\) \(x=4,\ -6\) \(x\)は正の実数なので\(x=-6\)は不適。 \(x=4\)

方べき・2次方程式（接線と割線）

円Oの外部の点Pから接線PT（Tは接点）と割線を引く。割線は円とA（近い方）, B（遠い方）で交わり、\(AB=7,\ PT=12\)である。\(PA(=x)\)の値を求めよ（\(x\)は正の実数とする）。

\(x=\)

解説を見る

\(PB = PA+AB = x+7\)。方べきの定理より \(PT^2 = PA\times PB\) \(12^2 = x(x+7)\) \(144 = x^2+7x\) \(x^2+7x-144=0\) \((x-9)(x+16)=0\) \(x=9,\ -16\) \(x\)は正の実数なので\(x=-16\)は不適。 \(x=9\)

接弦定理＋内接四角形の総合

円に内接する四角形ABCDで対角線ACを引く。点Aにおける接線と辺ABのなす角（弧ABをはさむ側の角）が\(40^\circ\)、\(\angle BCD=100^\circ\)のとき、\(\angle ACD\)の大きさを求めよ。

∠ACD= 度

解説を見る

接弦定理より、点Aでの接線と辺ABのなす角は、反対側の弧（C, Dを含む側）に対する円周角に等しい。Cはその弧の上にあるので \(\angle ACB = 40^\circ\)（接線と弦ABのなす角に等しい）対角線ACは\(\angle BCD\)を\(\angle ACB\)と\(\angle ACD\)に分けるので \(\angle ACD = \angle BCD - \angle ACB = 100^\circ - 40^\circ = 60^\circ\) ∠ACD = \(60^\circ\)

方べき・比＋2次方程式（接線と割線）

円の外部の点Pから接線PTを引き、Tを接点とする。また、Pを通る割線が円とA, B（Aが近い方）で交わり、\(PA:AB=1:2\)である。\(PT=6\)のとき、\(PA\)の長さを求めよ（\(PA=x\)とおき、\(x\)は正の実数とする）。

PA=

解説を見る

\(PA:AB=1:2\)なので\(AB=2x\)、\(PB=PA+AB=x+2x=3x\)。方べきの定理より \(PT^2 = PA\times PB\) \(6^2 = x\times3x\) \(36=3x^2\) \(x^2=12\) \(x=\sqrt{12}=2\sqrt3\)（\(x\)は正の実数なので\(-2\sqrt3\)は不適） PA = \(2\sqrt3\)

2円の位置関係の判定

円Oの半径\(r_1=6\)、円O'の半径\(r_2=4\)、中心間の距離\(d=11\)であるとき、2円の共通接線の本数を求めよ。

共通接線= 本

解説を見る

\(r_1+r_2 = 6+4 = 10\) \(d=11 > r_1+r_2=10\)なので、2円は互いに外部にある（離れている）。共通接線 = \(4\)本

内接する2円・逆算

円Oの半径\(r_1=9\)、円O'の半径\(r_2=3\)があり、この2円は内接している（一方が他方の内部にあり、1点で接している）。中心間の距離\(d\)を求めよ。

解説を見る

内接するとき\(d = |r_1-r_2|\)が成り立つ。 \(d = |9-3| = 6\) d = \(6\)

2円が2点で交わる条件（範囲）

座標平面上に、円O（中心\((0,\ 0)\)、半径\(5\)）と、円O'（中心\((12,\ 0)\)、半径\(r\)）がある。この2円が異なる2点で交わるような\(r\)の値の範囲を求めよ（\(r > 0\)とする。境界の値を「\(t_1 < r < t_2\)」の\(t_1,\ t_2\)として入力せよ）。

\(< r <\)

解説を見る

中心間の距離は\(d = 12-0 = 12\)（2点\((0,0)\)、\((12,0)\)の距離）。 2点で交わる条件は\(|r_1-r_2| < d < r_1+r_2\)、つまり\(|5-r| < 12 < 5+r\)。まず\(12 < 5+r\)より\(r > 7\)。次に\(|5-r| < 12\)より\(-12 < 5-r < 12\)、整理すると\(-7 < r < 17\)。 2つの条件をあわせると、\(r > 7\)の方が\(r > -7\)より厳しいので \(7 < r < 17\)

円周角の定理の逆・共円の証明

線分ABに対して同じ側に2点P, Qがあり、\(\angle APB = \angle AQB\)が成り立っているとする。このとき、4点A, B, P, Qは同一円周上にあることを証明せよ。

解説を見る

3点A, B, Pは一直線上にないから、この3点を通る円がただ1つ定まる。この円をkとする。点Qがこの円k上にあることを示せばよい。まず、半直線AQが円kと再び交わることを確認する。点Aにおける円kの接線をtとする。接弦定理より、接線tと弦ABがなす角のうち、弧AB(P側)と反対側にとった角は、その角の内部にある弧AB(P側)に対する円周角、すなわちPを頂点とする\(\angle APB\)に等しい。tは点Aを通る直線だから、この角と隣り合う角(P, Qと同じ側にとった角)は\(180^\circ\)からこれを引いた大きさ、すなわち\(180^\circ - \angle APB\)に等しい……(*) 一方、\(\angle APB = \angle AQB\)かつP, Qは直線ABに関して同じ側にあるという仮定から、三角形ABQの内角の和が\(180^\circ\)であることより、\(\angle QAB \lt 180^\circ - \angle AQB = 180^\circ - \angle APB\)が成り立つ。 (*)と合わせると、\(\angle QAB\)は接線tと弦ABがなす角(P, Qと同じ側にとった角)より小さいことになる。これは、半直線AQが接線tよりも弦AB側(円の内部側)に入っていることを意味するから、半直線AQは円kの内部を通り、円kと(Aとは別の点で)再び交わる。この交点をRとする(半直線と円は高々2点で交わり、Aは円k上の点だから、半直線AQ上にもう一方の交点Rがちょうど1つ存在する)。半直線AQは直線ABに関してPと同じ側にあるから、Rも弧ABのうちPと同じ側の弧上にある。 RはA, B, Pとともに円k上にあるから、円周角の定理より、弧ABに対する円周角として\(\angle ARB = \angle APB\)が成り立つ(RとPは弧ABに対して同じ側にある)。一方、仮定より\(\angle APB = \angle AQB\)なので、これらを合わせると\(\angle ARB = \angle AQB\) （式1）ここでもしR≠Qだとすると、R, Qはともに半直線AQ上の異なる点だから、3点B, Q, Rで三角形ができる。 (i) RがAとQの間にあるとき、\(\angle ARB\)は三角形BQRの頂点Rにおける外角であり、\(\angle AQB\)はそれと隣り合わない内角にあたる。三角形の外角は、それと隣り合わない2つの内角の和に等しい(中学校既習)から、外角はそれと隣り合わない一方の内角より大きく、\(\angle ARB > \angle AQB\)となる。 (ii) QがAとRの間にあるとき、同様に\(\angle AQB\)が三角形BQRの頂点Qにおける外角、\(\angle ARB\)がそれと隣り合わない内角となり、\(\angle AQB > \angle ARB\)となる。いずれの場合も\(\angle ARB \neq \angle AQB\)となり、これは（式1）に矛盾する。したがってR=Qでなければならず、点Qは円k上にある。ゆえに4点A, B, P, Qはすべて円k上にあり、同一円周上にある。 4点A, B, P, Qは同一円周上にある(証明終)

内接四角形であることの証明（対角の和）

四角形ABCDにおいて、\(\angle B + \angle D = 180^\circ\)が成り立っているとする。このとき、四角形ABCDは1つの円に内接することを証明せよ。

解説を見る

3点A, B, Cは一直線上にないから、この3点を通る円がただ1つ定まる。この円をkとする。四角形ABCDは凸だから、頂点Dは対角線ACに関して頂点Bと反対側にある。まず、半直線CD(点Cから点Dの向きにのびる半直線)が円kと(Cとは別の点で)再び交わることを確認する。点Cにおける円kの接線をtとする。接弦定理より、接線tと弦CAがなす角のうち、Bと反対側にとった角は、その角の内部にある弧CA(B側)に対する円周角、すなわちBを頂点とする\(\angle ABC\)に等しい。すなわち、tと弦CAがなす角(Bと反対側)は\(\angle B\)に等しい（式1）一方、四角形は退化していない(Dは直線AC上にない)から\(\angle DAC > 0\)であり、三角形ACDの内角の和が\(180^\circ\)であることと合わせて\(\angle ACD = 180^\circ - \angle ADC - \angle DAC \lt 180^\circ - \angle ADC = 180^\circ - \angle D\)が成り立つ。仮定\(\angle B + \angle D = 180^\circ\)より\(180^\circ - \angle D = \angle B\)だから、\(\angle ACD \lt \angle B\) （式2）（式1）、（式2）より、\(\angle ACD\)は接線tと弦CAがなす角(Bと反対側)より小さい。Dは対角線ACに関してBと反対側にあるから、この比較は同じ側(D側)で行われている。したがって、半直線CDは接線tよりも弦CA側(円の内部側)に入っていることになり、半直線CDは円kの内部を通り、円kと(Cとは別の点で)再び交わる。半直線と円は高々2点で交わり、Cは円k上の点だから、半直線CD上にもう一方の交点がちょうど1つ存在する。これをD'とする。半直線CD(Cより先の部分)は対角線ACに関してBと反対側の半平面に含まれるから、D'もその半平面内、すなわちD'は直線ACに関してBと反対側の弧AC上にある。 D'が直線ACに関してBと反対側の弧AC上にあることから、四角形ABCD'はこの順に円kに内接する四角形になっている。円に内接する四角形の対角の和は\(180^\circ\)であるという性質より、\(\angle B + \angle AD'C = 180^\circ\) （式3）一方、仮定より\(\angle B + \angle D = 180^\circ\) （式4）（式3）、（式4）より\(\angle AD'C = 180^\circ - \angle B = \angle D\)、すなわち\(\angle AD'C = \angle ADC\) （式5） D'は半直線CD上でCから見てDと同じ向きにある点だから、線分ACに対してDと同じ側にある。（式5）と合わせて、円周角の定理の逆(線分ACに対して同じ側にある2点D, D'について\(\angle ADC = \angle AD'C\)が成り立てば、4点A, D, C, D'は同一円周上にあるという性質)より、4点A, D, C, D'は同一円周上にある。 D'はもともと円k上の点だから、この「A, D, C, D'を通る円」は円kに一致する。したがって点Dも円k上にある。ゆえに4点A, B, C, Dはすべて円k上にあり、四角形ABCDは円kに内接する。四角形ABCDは1つの円に内接する(証明終)

接弦定理の逆

円Oの周上に2点A, Bがあり、点Aを通る直線\(\ell\)がある。直線\(\ell\)と弦ABのなす角のうち一方を\(\angle x\)とし、弧ABのうち\(\angle x\)の内部に含まれない側の弧上に点Cをとる。\(\angle x = \angle ACB\)が成り立つとき、直線\(\ell\)は点Aにおいて円Oに接することを証明せよ。

解説を見る

点Aは円O上の点だから、点Aにおける円Oの接線がただ1本定まる。これを直線mとする。接弦定理(直接の定理)より、接線mと弦ABのなす角のうち\(\angle x\)と同じ側にとった角は、その角の内部にある弧ABに対する円周角に等しい。角の内部にある弧に対する円周角とは、その弧上にはない、角の内部に含まれない側の弧上の点を頂点とする角のことだから、これは点Cを頂点とする\(\angle ACB\)に等しい。すなわち、mと弦ABのなす角(\(\angle x\)と同じ側)は\(\angle ACB\)に等しい（式1）一方、仮定より\(\angle x = \angle ACB\) （式2）（式1）、（式2）より、直線mと弦ABのなす角(\(\angle x\)と同じ側の角)は、直線\(\ell\)と弦ABのなす角\(\angle x\)に等しい。点Aを通り、弦ABに対して指定した側で弦ABとの間になす角の大きさを指定すると、その角をつくる半直線はただ1本しか引けない(角の大きさと側を決めれば、回転の向きが1通りに定まるため)。したがって、直線\(\ell\)と直線mは、点Aを通り弦ABと同じ大きさ・同じ側の角をつくる同一の半直線を含むから、\(\ell\)とmは一致する。 mは点Aにおける円Oの接線だったから、\(\ell\)も点Aにおいて円Oに接する。直線\(\ell\)は点Aにおいて円Oに接する(証明終)

方べきの定理の逆・共円の証明

2直線が点Pで交わっている。一方の直線上に、Pに関して同じ側に2点A, B(\(PA \lt PB\))があり、他方の直線上に、Pに関して同じ側に2点C, D(\(PC \lt PD\))がある。\(PA \cdot PB = PC \cdot PD\)が成り立つとき、4点A, B, C, Dは同一円周上にあることを証明せよ。

解説を見る

A, Bは点Pを通る直線上にあり、Cはこれとは別の直線上の点だから、A, B, Cは一直線上にない。したがって、この3点を通る円がただ1つ定まる。この円をkとする。まず、AとBはPに関して同じ側にあるので、Pは線分ABの外部の点、すなわち円kの外部の点である(円との交点A, Bがともに1つの半直線上にあるのは、Pが円の外部にあるときに限られるため)。次に、直線PC(直線CD)が円kと接するかどうかを確認する。もし直線PCが点Cで円kに接するなら、Pは円kの外部の点だから、方べきの定理(接線の場合)より\(PC^2 = PA \cdot PB\)が成り立つ。仮定\(PA \cdot PB = PC \cdot PD\)と合わせると\(PC^2 = PC \cdot PD\)となり、\(PC \neq 0\)だから両辺を\(PC\)で割ると\(PC = PD\)となるが、これは\(PC \lt PD\)に反する。したがって直線PCは円kに接することはなく、円kと2点で交わる。直線PC(直線CD)と円kとの交点のうち、Cでない方をD'とする(上で確認した通り、この第2交点D'がちょうど1つ存在する)。Pは円kの外部の点であり、外部の点を通る直線と円の2交点は同一の半直線上にあるから、D'はPから見てCと同じ側(半直線PC上)にある。円の外部の点Pから引いた2直線が円kとそれぞれ2点で交わるとき、方べきの定理(直接の定理)より、\(PA \cdot PB = PC \cdot PD'\)が成り立つ（式1）一方、仮定より\(PA \cdot PB = PC \cdot PD\) （式2）（式1）、（式2）より\(PC \cdot PD' = PC \cdot PD\)となり、\(PC \neq 0\)だから両辺を\(PC\)で割って\(PD' = PD\) （式3） D, D'はともに、点Pから見て点Cと同じ側にある半直線PC上の点であり、（式3）よりPからの距離が等しいから、半直線上でPからの距離を指定すると点はただ1つに定まることより、D'とDは一致する。 D'はもともと円k上の点だったから、点Dも円k上にある。ゆえに4点A, B, C, Dはすべて円k上にあり、同一円周上にある。 4点A, B, C, Dは同一円周上にある(証明終)

応用問題（プリント限定）

ここから先はPDF限定の腕試し。2円の共通接線や方べき×相似の融合など、入試の基礎レベルに挑戦しよう。

応1

2円の共通接線の長さ

半径\(7\)の円Oと半径\(1\)の円O'があり、中心間の距離\(OO'=10\)である。 (1) この2円の共通外接線の長さを求めよ。 (2) この2円の共通内接線の長さを求めよ。

(1) 外接線= 　(2) 内接線=

解説を見る

(1) 共通外接線は、半径の差を使った直角三角形で求まる。接線の長さを\(L\)とすると \[ L^2 = OO'^2 - (7-1)^2 = 10^2-6^2=100-36=64 \] \(L=\sqrt{64}=8\) 共通外接線の長さ = \(8\) (2) 共通内接線は、半径の和を使った直角三角形で求まる（2円の間を横切るため）。 \[ L^2 = OO'^2-(7+1)^2 = 10^2-8^2=100-64=36 \] \(L=\sqrt{36}=6\) 共通内接線の長さ = \(6\)

応2

方べきと相似の融合

円の内部の点Pで2本の弦AB, CDが交わっている。\(PA=6,\ PB=8,\ PC=4\)である。 (1) \(PD\)を求めよ。 (2) 三角形PACと三角形PDBが相似であることを利用して、\(AC:DB\)を求めよ。

(1) PD= 　(2) \(AC:DB = 1 :\)

解説を見る

(1) 方べきの定理より \(PA\times PB=PC\times PD\) \(6\times8=4\times PD\) \(48=4\,PD\) \(PD=12\) PD = \(12\) (2) 三角形PACと三角形PDBにおいて、\(\angle APC=\angle DPB\)（対頂角）、また弧BCに対する円周角として\(\angle PAC=\angle CAB=\angle CDB=\angle PDB\)（同じ弧BCに対する円周角は等しい）。よって2組の角がそれぞれ等しいので \[ \triangle PAC \sim \triangle PDB \] 対応する辺の比より \(AC:DB = PA:PD = 6:12 = 1:2\)（\(PC:PB=4:8=1:2\)とも一致する） \(AC:DB = 1:2\)

応3

内接四角形と円周角の総合

円に内接する四角形ABCDで対角線ACを引く。\(\angle ABC=95^\circ\)、\(\angle BAC=40^\circ\)のとき、 (1) \(\angle BCA\)を求めよ。 (2) \(\angle ADC\)を求めよ。

(1) ∠BCA= 度　(2) ∠ADC= 度

解説を見る

(1) 三角形ABCの内角の和は\(180^\circ\)。 \(\angle BCA = 180^\circ - \angle ABC - \angle BAC = 180^\circ-95^\circ-40^\circ=45^\circ\) ∠BCA = \(45^\circ\) (2) 円に内接する四角形の対角の和は\(180^\circ\)。\(\angle ADC\)と\(\angle ABC\)は対角なので \(\angle ADC = 180^\circ - \angle ABC = 180^\circ-95^\circ=85^\circ\) ∠ADC = \(85^\circ\)

応4

方べきと相似の融合（接線と割線）

円Oの外部の点Pから接線PT（Tは接点）と割線を引く。割線は円とA（近い方）, B（遠い方）で交わり、\(PT=6,\ PA=4\)である。 (1) \(PB\)を求めよ。 (2) 三角形PTAと三角形PBTが相似であることを利用して、\(TA:TB\)を求めよ。さらに\(TA=3\)のとき\(TB\)を求めよ。

(1) PB= 　(2) \(TA:TB = 2 :\) 、TB=

解説を見る

(1) 方べきの定理より \(PT^2=PA\times PB\) \(36=4\times PB\) \(PB=9\) PB = \(9\) (2) 三角形PTAと三角形PBTにおいて、\(\angle P\)は共通。また接弦定理より、接線PTと弦TAのなす角\(\angle PTA\)は、反対側の弧に対する円周角\(\angle TBA=\angle TBP\)に等しい。よって2組の角がそれぞれ等しいので \[ \triangle PTA \sim \triangle PBT \] 対応する辺の比より \(TA:TB = PA:PT = 4:6 = 2:3\) \(TA=3\)のとき、比\(2:3\)を使うと \(TB = 3\times\dfrac{3}{2}=4.5\) \(TA:TB=2:3\)、TB = \(4.5\)

応5

接弦定理と方べきの総合

円Oの外部の点Pから接線PT（Tは接点）を引く。また、Pを通る割線が円とC（近い方）, D（遠い方）で交わる。接線と弦TCのなす角\(\angle PTC=50^\circ\)のとき、 (1) \(\angle TDC\)を求めよ。また\(PT=9,\ PC=3\)のとき、 (2) \(PD\)を求めよ。

(1) ∠TDC= 度　(2) PD=

解説を見る

(1) 接弦定理より、接線PTと弦TCのなす角は、反対側の弧に対する円周角に等しい。Dはその弧上にあるので \(\angle TDC = \angle PTC = 50^\circ\) ∠TDC = \(50^\circ\) (2) 方べきの定理より \(PT^2=PC\times PD\) \(9^2=3\times PD\) \(81=3\,PD\) \(PD=27\) PD = \(27\)

記述チャレンジ

答えだけでなく「なぜそうなるか」を文章と式で書く練習。模範解答と見比べて、書き方の型を身につけよう。

記1

円に内接する四角形ABCDについて、なぜ対角の和\(\angle A+\angle C\)がつねに\(180^\circ\)になるのか、円周角の定理を用いて説明せよ。

模範解答を見る

円周角の定理より、円周角は同じ弧に対する中心角の半分になる。四角形ABCDにおいて、\(\angle A(=\angle DAB)\)は、頂点Aを含まない弧BCD（頂点Bから頂点Dまで、頂点Cを通る側の弧）に対する円周角である。同じように、\(\angle C(=\angle BCD)\)は、頂点Cを含まない弧BAD（頂点Bから頂点Dまで、頂点Aを通る側の弧）に対する円周角である。弧BCDと弧BADは、円周をちょうど2つに分けたものなので、2つの弧の大きさの和は円周全体、つまり\(360^\circ\)になる。円周角は対応する弧の半分なので \(\angle A=\dfrac{1}{2}\times\)（弧BCDの大きさ） \(\angle C=\dfrac{1}{2}\times\)（弧BADの大きさ）したがって \(\angle A+\angle C=\dfrac{1}{2}\times(\text{弧BCD}+\text{弧BAD})=\dfrac{1}{2}\times360^\circ=180^\circ\) 対角に立つ2つの円周角が指す弧を合わせるとちょうど円周全体（\(360^\circ\)）になるため、その半分の和である\(\angle A+\angle C\)はつねに\(180^\circ\)になる。

記2

円Oの外部の点Pから、接線PT（Tは接点）を1本、割線PABを1本引く（Aが近い方の交点、Bが遠い方の交点）。\(PA=5,\ AB=11\)のとき、\(PT\)を、方べきの定理の使い方の根拠を示しながら求めよ。

模範解答を見る

Pから引いた割線は、円との交点をA（近い方）、B（遠い方）とするので、まずPBの長さを求める。PからBまでの距離は、PからAまでの距離とAからBまでの距離の和になるので \(PB=PA+AB=5+11=16\) 円の外部の点Pから接線PT（Tは接点）と割線PABを引くとき、方べきの定理より \[ PT^2=PA\times PB \] が成り立つ（接線は割線の「2つの交点が接点1点に重なった特別な場合」とみなせるので、割線どうしの関係と同じ形の式になる）。数値を代入すると \(PT^2=5\times16=80\) \(PT>0\)より \(PT=\sqrt{80}=\sqrt{16\times5}=4\sqrt5\) \(PT=4\sqrt5\)