円の性質（円周角・接弦定理・方べき）

STEP 1

円周角の定理 — 中心角の半分

円周上に弧ABがあるとき、中心Oから見た角∠AOB（中心角）と、弧の反対側の円周上の点Pから見た角∠APB（円周角）の間には、いつも決まった関係がある。それが円周角の定理：円周角は中心角のちょうど半分になる。

円周角の定理（3つのポイント）
1. 円周角は中心角の半分：\(\angle APB = \dfrac{1}{2}\angle AOB\)
2. 同じ弧に対する円周角はどこで見ても等しい
3. 直径に対する円周角はつねに \(90^\circ\)（タレスの定理）

上の2番目のポイントを図で確認しよう。弧AB（Pを含まない側）が同じなら、円周のどこから見ても円周角は同じ大きさになる。

3番目のポイントは実は1番目の特別な場合。ABが直径のとき、中心角∠AOBは \(180^\circ\)（一直線）なので、円周角はその半分の \(90^\circ\) になる。

例題1　円Oにおいて、弧ABに対する中心角が \(124^\circ\) であるとき、弧ABに対する円周角∠APBを求めよ。

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円周角は中心角の半分なので \(\angle APB = 124^\circ \div 2 = 62^\circ\) ∠APB = \(62^\circ\)

例題2　円Oの直径をACとし、円周上の点Bについて \(\angle ABC=90^\circ\)（直径に対する円周角）である。\(\angle BAC=35^\circ\) のとき、\(\angle BCA\) を求めよ。

解答を見る

三角形ABCの内角の和は \(180^\circ\)。直径に対する円周角なので \(\angle ABC=90^\circ\)。 \(\angle BCA = 180^\circ - 90^\circ - 35^\circ = 55^\circ\) ∠BCA = \(55^\circ\)

STEP 2

円に内接する四角形

四角形の4つの頂点がすべて同じ円周上にあるとき、この四角形は「円に内接する」という。円に内接する四角形には、円周角の定理から導かれる2つの性質がある。

円に内接する四角形の性質
1. 向かい合う角（対角）の和は \(180^\circ\)：\(\angle A + \angle C = 180^\circ,\ \angle B + \angle D = 180^\circ\)
2. 1つの内角の外角は、それと向かい合う（隣接しない）内角に等しい

2番目の性質は1番目からすぐに出てくる。辺ABを延長した先の点をEとすると、∠CBEと∠ABCは一直線上の角（合わせて\(180^\circ\)）。一方∠ABC+∠ADC=\(180^\circ\)（性質1）。だから\(\angle CBE=\angle ADC\)、つまり外角＝向かい合う内角になる。

例題1　円に内接する四角形ABCDにおいて、\(\angle A=100^\circ\) である。\(\angle C\) を求めよ。

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対角の和は \(180^\circ\) なので \(\angle C = 180^\circ - 100^\circ = 80^\circ\) ∠C = \(80^\circ\)

例題2　四角形ABCDが円に内接している。辺ABを延長した先の点をEとする。\(\angle CBE=95^\circ\) のとき、(1) \(\angle ADC\)、(2) \(\angle ABC\) をそれぞれ求めよ。

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(1) 外角＝向かい合う内角なので \(\angle ADC = \angle CBE = 95^\circ\) ∠ADC = \(95^\circ\) (2) ∠ABCと∠CBEは一直線上（合わせて\(180^\circ\)）の角なので \(\angle ABC = 180^\circ - 95^\circ = 85^\circ\) ∠ABC = \(85^\circ\)（確かめ：∠ABC+∠ADC=85°+95°=180°で対角の和と一致）

STEP 3

接線と接弦定理

円の外部の点から円に引ける接線は、ちょうど2本ある。この2本の接線には長さに関する性質があり、さらに接線と弦がつくる角にも「接弦定理」と呼ばれる性質がある。

接線の長さの性質　円外の点Pから引いた2本の接線の長さは等しい（\(PT_1 = PT_2\)）。また、接点における半径は接線と垂直に交わる（\(OT_1 \perp PT_1\)）。

接線と、接点を通る弦がつくる角にも性質がある。これが接弦定理。

接弦定理　円の接線と、接点を通る弦がつくる角は、その角の内側にある弧に対する円周角（接線と反対側＝反対側の弧（あるいは「弧を含む側」の逆側）にある弧に対する円周角）に等しい。

例題1　三角形PABに内接円がある。頂点Pから接点までの距離が\(5\)、頂点Aから接点までの距離が\(3\)、頂点Bから接点までの距離が\(4\)であるとき、三角形PABの周の長さを求めよ。

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内接円と各頂点との間には2本ずつ接線が引けて、その長さは等しい（頂点Pからの2本はどちらも\(5\)、頂点Aからの2本はどちらも\(3\)、頂点Bからの2本はどちらも\(4\)）。三角形の各辺は、その両端の頂点からの接線の長さの和になる：辺PA \(=5+3=8\)、辺PB \(=5+4=9\)、辺AB \(=3+4=7\) 周の長さ \(=8+9+7=24\)（つまり \(2\times(5+3+4)\) でも求まる）周の長さ = \(24\)

例題2　点Aにおける接線と弦ABがつくる2つの角のうち、一方が\(70^\circ\)であるとき、もう一方の角を求めよ。

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接線は点Aを通る一直線。弦ABと接線がつくる2つの角は、この直線上でとなり合う角（合わせて\(180^\circ\)）になる。 \(180^\circ - 70^\circ = 110^\circ\) もう一方の角 = \(110^\circ\)（それぞれ弧ABの両側の弧に対する円周角と等しくなる）

STEP 4

方べきの定理

円の内部・外部を問わず、1つの点Pを通る2本の直線が円と交わるとき、それぞれの交点までの距離の積はいつも同じ値になる。これが方べきの定理。点Pが円の内部にあるか外部にあるかで見た目は変わるが、式の形はどれも同じ。

型1：2弦の交わり（点Pは円の内部）
弦ABと弦CDが円の内部の点Pで交わるとき
\(PA \times PB = PC \times PD\)

型2：2割線の交わり（点Pは円の外部）
円の外部の点Pから2本の割線を引き、それぞれ近い交点・遠い交点までの距離を測るとき
\(PA \times PB = PC \times PD\)

型3：接線と割線（点Pは円の外部）
円の外部の点Pから接線PT（Tは接点）と割線PAB（Aが近い交点）を引くとき
\(PT^2 = PA \times PB\)

覚え方　どの型でも「Pから測った2つの距離の積」が主役。型3はPT自身が2つの交点（TとT自身）にそろって一致した特別な場合と考えると、型2と同じ形になる理由が見えてくる。

例題1　円の内部の点Pで2本の弦が交わっている。\(PA=6,\ PB=10,\ PC=5\) のとき、\(PD\) を求めよ。

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方べきの定理より \(PA \times PB = PC \times PD\) \(6 \times 10 = 5 \times PD\) \(60 = 5\,PD\) \(PD = 12\) PD = \(12\)

例題2　円の外部の点Pから割線を引き、円との交点をA（近い方）、B（遠い方）とする。\(PA=2,\ PB=8\) のとき、この点Pから引いた接線の長さ\(PT\)を求めよ。

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方べきの定理（型3）より \(PT^2 = PA \times PB\) \(PT^2 = 2 \times 8 = 16\) \(PT = \sqrt{16} = 4\) PT = \(4\)

練習問題（全18問）

答えを入力して「採点」を押すと○×が出るぞ。角度は数値だけ（「35」のように）入力しよう。
わからないときは「解説を見る」で解き方を確認しよう。

基本（1〜7）

中心角→円周角

円Oにおいて、弧ABに対する中心角が\(100^\circ\)であるとき、弧ABに対する円周角∠APBを求めよ。

∠APB= 度

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円周角は中心角の半分。 \(\angle APB = 100^\circ \div 2 = 50^\circ\) ∠APB = \(50^\circ\)

同じ弧なら円周角は等しい

円周上の点Pから弦ABを見た角\(\angle APB=48^\circ\)である。PとQはどちらも弧AB（Pを含まない方の弧を除いた、同じ側の弧）上の点であるとき、同じ弦ABを見た角\(\angle AQB\)を求めよ。

∠AQB= 度

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P, Qは同じ弧（弦ABの同じ側）にあるので、同じ弦ABに対する円周角として等しい。 ∠AQB = \(48^\circ\)

直径に対する円周角は90°

円Oの直径をABとし、円周上に点Cをとる。\(\angle BAC=25^\circ\)のとき、\(\angle ABC\)を求めよ。

∠ABC= 度

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直径ABに対する円周角なので\(\angle ACB=90^\circ\)。三角形ABCの内角の和は\(180^\circ\)。 \(\angle ABC = 180^\circ - 90^\circ - 25^\circ = 65^\circ\) ∠ABC = \(65^\circ\)

内接四角形・対角の和

円に内接する四角形ABCDにおいて、\(\angle A=95^\circ\)である。\(\angle C\)を求めよ。

∠C= 度

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円に内接する四角形の対角の和は\(180^\circ\)。 \(\angle C = 180^\circ - 95^\circ = 85^\circ\) ∠C = \(85^\circ\)

内接四角形・外角

四角形ABCDが円に内接している。辺ABを延長した先の点をEとする。\(\angle ADC=75^\circ\)のとき、外角\(\angle CBE\)を求めよ。

∠CBE= 度

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内接四角形の外角は、それと向かい合う内角に等しい。 \(\angle CBE = \angle ADC = 75^\circ\) ∠CBE = \(75^\circ\)

接線の長さは等しい

円Oの外部の点Pから円に2本の接線を引き、接点をそれぞれA, Bとする。\(PA=7\)のとき、\(PB\)を求めよ。

PB=

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円外の1点から引いた2本の接線の長さは等しい。 PB = \(7\)

接弦定理・基本

円の接線と弦がつくる角（接弦定理の角）が\(42^\circ\)であるとき、それに等しい円周角（弧の反対側から見た角）の大きさを求めよ。

円周角= 度

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接弦定理より、接線と弦がつくる角は、反対側の弧に対する円周角に等しい。円周角 = \(42^\circ\)

標準（8〜14）

内接四角形・文字式

円に内接する四角形ABCDにおいて、\(\angle A=(2x+10)^\circ\)、\(\angle C=(3x+15)^\circ\)と表される。\(x\)の値と\(\angle A\)の大きさを求めよ。

\(x=\) 　∠A= 度

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対角の和は\(180^\circ\)なので \((2x+10)+(3x+15)=180\) \(5x+25=180\) \(5x=155\) \(x=31\) \(\angle A = 2\times31+10 = 72^\circ\) \(x=31\)、∠A = \(72^\circ\)

接線の垂直性・四角形の角の和

円Oの外部の点Pから円に2本の接線を引き、接点をそれぞれA, Bとする。\(\angle APB=50^\circ\)のとき、四角形OAPBにおける\(\angle AOB\)を求めよ。

∠AOB= 度

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接線は接点における半径と垂直なので\(\angle OAP=\angle OBP=90^\circ\)。四角形OAPBの内角の和は\(360^\circ\)なので \(\angle AOB = 360^\circ - 90^\circ - 90^\circ - 50^\circ = 130^\circ\) ∠AOB = \(130^\circ\)

方べき・2弦（内部の点）

円の内部の点Pで2本の弦AB, CDが交わっている。\(PA=4,\ PB=9,\ PC=6\)のとき、\(PD\)を求めよ。

PD=

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方べきの定理より \(PA\times PB = PC\times PD\) \(4\times9 = 6\times PD\) \(36 = 6\,PD\) \(PD=6\) PD = \(6\)

方べき・2割線（外部の点）

円の外部の点Pから2本の割線を引く。1本目はPと近い方の交点Aとの距離が\(PA=3\)、遠い方の交点Bまでの弦\(AB=5\)である。2本目は近い方の交点Cとの距離が\(PC=4\)である。もう一方の遠い方の交点をDとするとき、\(PD\)を求めよ。

PD=

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\(PB = PA+AB = 3+5=8\) 方べきの定理より \(PA\times PB = PC\times PD\) \(3\times8 = 4\times PD\) \(24 = 4\,PD\) \(PD=6\) PD = \(6\)

方べき・接線と割線（外部の点）

円Oの外部の点Pから接線PT（Tは接点）と割線を引く。割線は円とA（近い方）, B（遠い方）で交わり、\(PA=4,\ AB=5\)である。\(PT\)を求めよ。

PT=

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\(PB = PA+AB = 4+5=9\) 方べきの定理より \(PT^2 = PA\times PB\) \(PT^2 = 4\times9 = 36\) \(PT = \sqrt{36} = 6\) PT = \(6\)

弧の比→円周角

円周上の3点A, B, Cによって円周が3つの弧に分けられ、弧AB：弧BC：弧CA\(=2:3:4\)であるとき、\(\angle BAC\)（頂点Aにおける角）を求めよ。

∠BAC= 度

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弧全体\(360^\circ\)を比\(2:3:4\)（和9）で分けるので、1つ分は\(360^\circ\div9=40^\circ\)。弧BC \(=3\times40^\circ=120^\circ\) \(\angle BAC\)は弧BC（Aを含まない側）に対する円周角なので、その半分。 \(\angle BAC = 120^\circ\div2 = 60^\circ\) ∠BAC = \(60^\circ\)

接線の長さが等しい・二等辺三角形

円Oの外部の点Pから2本の接線を引き、接点をA, Bとする。\(\angle APB=44^\circ\)のとき、\(\angle PAB\)の大きさを求めよ。

∠PAB= 度

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接線の長さは等しいので\(PA=PB\)、三角形PABは二等辺三角形。底角\(\angle PAB=\angle PBA\)は等しいので \(\angle PAB = (180^\circ - 44^\circ)\div2 = 136^\circ\div2 = 68^\circ\) ∠PAB = \(68^\circ\)

挑戦（15〜18）

方べき・2次方程式（2弦）

円の内部の点Pを通る2本の弦があり、一方は\(PA=x,\ PB=x+2\)、他方は\(PC=4,\ PD=6\)である。方べきの定理を用いて\(x\)の値を求めよ（\(x\)は正の実数とする）。

\(x=\)

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方べきの定理より \(PA\times PB = PC\times PD\) \(x(x+2) = 4\times6\) \(x^2+2x = 24\) \(x^2+2x-24=0\) \((x+6)(x-4)=0\) \(x=4,\ -6\) \(x\)は正の実数なので\(x=-6\)は不適。 \(x=4\)

方べき・2次方程式（接線と割線）

円Oの外部の点Pから接線PT（Tは接点）と割線を引く。割線は円とA（近い方）, B（遠い方）で交わり、\(AB=7,\ PT=12\)である。\(PA(=x)\)の値を求めよ（\(x\)は正の実数とする）。

\(x=\)

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\(PB = PA+AB = x+7\)。方べきの定理より \(PT^2 = PA\times PB\) \(12^2 = x(x+7)\) \(144 = x^2+7x\) \(x^2+7x-144=0\) \((x-9)(x+16)=0\) \(x=9,\ -16\) \(x\)は正の実数なので\(x=-16\)は不適。 \(x=9\)

接弦定理＋内接四角形の総合

円に内接する四角形ABCDで対角線ACを引く。点Aにおける接線と辺ABのなす角（弧ABをはさむ側の角）が\(40^\circ\)、\(\angle BCD=100^\circ\)のとき、\(\angle ACD\)の大きさを求めよ。

∠ACD= 度

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接弦定理より、点Aでの接線と辺ABのなす角は、反対側の弧（C, Dを含む側）に対する円周角に等しい。Cはその弧の上にあるので \(\angle ACB = 40^\circ\)（接線と弦ABのなす角に等しい）対角線ACは\(\angle BCD\)を\(\angle ACB\)と\(\angle ACD\)に分けるので \(\angle ACD = \angle BCD - \angle ACB = 100^\circ - 40^\circ = 60^\circ\) ∠ACD = \(60^\circ\)

方べき・比＋2次方程式（接線と割線）

円の外部の点Pから接線PTを引き、Tを接点とする。また、Pを通る割線が円とA, B（Aが近い方）で交わり、\(PA:AB=1:2\)である。\(PT=6\)のとき、\(PA\)の長さを求めよ（\(PA=x\)とおき、\(x\)は正の実数とする）。

PA=

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\(PA:AB=1:2\)なので\(AB=2x\)、\(PB=PA+AB=x+2x=3x\)。方べきの定理より \(PT^2 = PA\times PB\) \(6^2 = x\times3x\) \(36=3x^2\) \(x^2=12\) \(x=\sqrt{12}=2\sqrt3\)（\(x\)は正の実数なので\(-2\sqrt3\)は不適） PA = \(2\sqrt3\)

応用問題（プリント限定）

ここから先はPDF限定の腕試し。2円の共通接線や方べき×相似の融合など、入試の基礎レベルに挑戦しよう。

応1

2円の共通接線の長さ

半径\(7\)の円Oと半径\(1\)の円O'があり、中心間の距離\(OO'=10\)である。 (1) この2円の共通外接線の長さを求めよ。 (2) この2円の共通内接線の長さを求めよ。

(1) 外接線= 　(2) 内接線=

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(1) 共通外接線は、半径の差を使った直角三角形で求まる。接線の長さを\(L\)とすると \[ L^2 = OO'^2 - (7-1)^2 = 10^2-6^2=100-36=64 \] \(L=\sqrt{64}=8\) 共通外接線の長さ = \(8\) (2) 共通内接線は、半径の和を使った直角三角形で求まる（2円の間を横切るため）。 \[ L^2 = OO'^2-(7+1)^2 = 10^2-8^2=100-64=36 \] \(L=\sqrt{36}=6\) 共通内接線の長さ = \(6\)

応2

方べきと相似の融合

円の内部の点Pで2本の弦AB, CDが交わっている。\(PA=6,\ PB=8,\ PC=4\)である。 (1) \(PD\)を求めよ。 (2) 三角形PACと三角形PDBが相似であることを利用して、\(AC:DB\)を求めよ。

(1) PD= 　(2) \(AC:DB = 1 :\)

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(1) 方べきの定理より \(PA\times PB=PC\times PD\) \(6\times8=4\times PD\) \(48=4\,PD\) \(PD=12\) PD = \(12\) (2) 三角形PACと三角形PDBにおいて、\(\angle APC=\angle DPB\)（対頂角）、また弧BCに対する円周角として\(\angle PAC=\angle CAB=\angle CDB=\angle PDB\)（同じ弧BCに対する円周角は等しい）。よって2組の角がそれぞれ等しいので \[ \triangle PAC \sim \triangle PDB \] 対応する辺の比より \(AC:DB = PA:PD = 6:12 = 1:2\)（\(PC:PB=4:8=1:2\)とも一致する） \(AC:DB = 1:2\)

応3

内接四角形と円周角の総合

円に内接する四角形ABCDで対角線ACを引く。\(\angle ABC=95^\circ\)、\(\angle BAC=40^\circ\)のとき、 (1) \(\angle BCA\)を求めよ。 (2) \(\angle ADC\)を求めよ。

(1) ∠BCA= 度　(2) ∠ADC= 度

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(1) 三角形ABCの内角の和は\(180^\circ\)。 \(\angle BCA = 180^\circ - \angle ABC - \angle BAC = 180^\circ-95^\circ-40^\circ=45^\circ\) ∠BCA = \(45^\circ\) (2) 円に内接する四角形の対角の和は\(180^\circ\)。\(\angle ADC\)と\(\angle ABC\)は対角なので \(\angle ADC = 180^\circ - \angle ABC = 180^\circ-95^\circ=85^\circ\) ∠ADC = \(85^\circ\)

応4

方べきと相似の融合（接線と割線）

円Oの外部の点Pから接線PT（Tは接点）と割線を引く。割線は円とA（近い方）, B（遠い方）で交わり、\(PT=6,\ PA=4\)である。 (1) \(PB\)を求めよ。 (2) 三角形PTAと三角形PBTが相似であることを利用して、\(TA:TB\)を求めよ。さらに\(TA=3\)のとき\(TB\)を求めよ。

(1) PB= 　(2) \(TA:TB = 2 :\) 、TB=

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(1) 方べきの定理より \(PT^2=PA\times PB\) \(36=4\times PB\) \(PB=9\) PB = \(9\) (2) 三角形PTAと三角形PBTにおいて、\(\angle P\)は共通。また接弦定理より、接線PTと弦TAのなす角\(\angle PTA\)は、反対側の弧に対する円周角\(\angle TBA=\angle TBP\)に等しい。よって2組の角がそれぞれ等しいので \[ \triangle PTA \sim \triangle PBT \] 対応する辺の比より \(TA:TB = PA:PT = 4:6 = 2:3\) \(TA=3\)のとき、比\(2:3\)を使うと \(TB = 3\times\dfrac{3}{2}=4.5\) \(TA:TB=2:3\)、TB = \(4.5\)

応5

接弦定理と方べきの総合

円Oの外部の点Pから接線PT（Tは接点）を引く。また、Pを通る割線が円とC（近い方）, D（遠い方）で交わる。接線と弦TCのなす角\(\angle PTC=50^\circ\)のとき、 (1) \(\angle TDC\)を求めよ。また\(PT=9,\ PC=3\)のとき、 (2) \(PD\)を求めよ。

(1) ∠TDC= 度　(2) PD=

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(1) 接弦定理より、接線PTと弦TCのなす角は、反対側の弧に対する円周角に等しい。Dはその弧上にあるので \(\angle TDC = \angle PTC = 50^\circ\) ∠TDC = \(50^\circ\) (2) 方べきの定理より \(PT^2=PC\times PD\) \(9^2=3\times PD\) \(81=3\,PD\) \(PD=27\) PD = \(27\)