チェバの定理 — 3本の線が1点に集まる
三角形の各頂点から対辺（またはその延長）へ引いた3本の線分が、ちょうど1点で交わることがある。そのとき、辺の分点の比の間には決まった関係が成り立つ。これがチェバの定理。
三角形ABCの辺BC, CA, AB上（またはその延長上）にそれぞれ点D, E, Fがあり、3直線AD, BE, CFが1点で交わるとき、 \[ \dfrac{BD}{DC} \times \dfrac{CE}{EA} \times \dfrac{AF}{FB} = 1 \]
覚え方は「一周」。頂点B → 分点D → 頂点C → 分点E → 頂点A → 分点F →（頂点Bに戻る）の順にぐるっと一周たどりながら、隣り合う2点の比を分数にして並べ、全部かけると1になる。どこから出発しても、どちら回りにたどってもよい——一周する順番さえ守れば、式はいつも同じ形になる。
例題 上の図で、\(BD:DC=2:1\)、\(CE:EA=1:2\) のとき、\(AF:FB\) を求めよ。
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メネラウスの定理 — 1本の直線が3辺を切る
今度は「3本の線が1点に集まる」のではなく、1本の直線が三角形の3辺（またはその延長）を横切る場面を考える。この直線が3辺を切り取る比にも、チェバの定理と同じ形の関係が成り立つ。これがメネラウスの定理。
三角形ABCの辺BC, CA, ABの直線上（辺そのものか、その延長上）にそれぞれ点D, E, Fがあり、この3点D, E, Fが一直線上にあるとき、 \[ \dfrac{BD}{DC} \times \dfrac{CE}{EA} \times \dfrac{AF}{FB} = 1 \] ただし、D, E, Fのうち1個または3個は必ず辺の延長上にある（1本の直線が三角形の内部を通り抜ける以上、3辺すべてを「内側」で切ることはできない）。
覚え方はチェバの定理と同じ「一周」。頂点→分点→頂点→分点→頂点→分点とぐるっとたどって比をかければ1になる。たどる形が狐の顔に似ていることから「キツネ形」と呼ぶ先生もいる。式の形はチェバの定理とまったく同じなので、「3本の線が1点に集まる（チェバ）」か「1本の直線が3辺を切る（メネラウス）」かを図から見極めるのが大事（STEP3で詳しく比べる）。
例題 上の図で、\(BD:DC=3:1\)、\(AF:FB=3:1\)（Fは辺ABの延長上でBの外側）のとき、\(CE:EA\) を求めよ。
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チェバとメネラウスの使い分け
2つの定理は式の形がまったく同じだからこそ混同しやすい。判断のポイントは、図の中にあるのが「1つの点」か「1本の直線」か。
3頂点から引いた3本の線分（またはその延長）が1つの点に集まっている。
「3直線が1点で交わる」「点Pで交わる」という設定。
1本の直線が三角形の3辺（の延長を含む）を切る。
「1本の直線が辺と交わる／延長と交わる」という設定。
面積比への応用
チェバの定理で使った分点の比は、そのまま面積比の計算にも使える。使う原理は「共通の角を持つ三角形の面積比は、それをはさむ2辺の比の積に等しい」という基本ルール（三角形の面積 \(=\dfrac{1}{2}\times\)2辺\(\times\sin(\)はさむ角\()\) から導ける。角が共通ならsinの値も共通なので、面積比は2辺の比の積だけで決まる）。
頂点Cを共有し、辺CX, CYがそれぞれ辺CB, CAの一部である三角形CXYについて、 \[ \dfrac{S_{CXY}}{S_{CBA}} = \dfrac{CX}{CB} \times \dfrac{CY}{CA} \]
例題 STEP1の図（\(BD:DC=2:1\)、\(CE:EA=1:2\)）で、三角形DCEの面積は三角形ABCの面積の何倍か。
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比の値を入力して「採点」を押すと○×が出るぞ。「AF:FB=3:[ ]」の形なら、空欄の数だけを入力しよう。
辺BC上の点D、辺CA上の点E、辺AB上の点Fについて、3直線AD, BE, CFが1点で交わっている。\(BD:DC=2:3\)、\(CE:EA=4:1\) のとき、\(AF:FB\) を求めよ。
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同じように3直線が1点で交わるとき、\(CE:EA=1:2\)、\(AF:FB=3:2\) ならば \(BD:DC\) を求めよ。
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点Dが辺BCの中点、点Fが辺ABの中点であるとき（3本の中線は1点＝重心で交わる）、\(CE:EA\) を求めよ。
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\(BD:DC=1:1\)（Dは辺BCの中点）、\(AF:FB=2:3\) のとき、\(CE:EA\) を求めよ。
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1本の直線が、辺BC上の点D、辺ABの内部の点F、そして辺CAの延長上（Aの外側）の点Eを通っている。\(BD:DC=1:3\)、\(CE:EA=5:1\) のとき、\(AF:FB\) を求めよ。
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3直線AD, BE, CFが1点で交わっている。\(AF:FB=5:3\)、\(CE:EA=4:5\) のとき、\(BD:DC\) を求めよ。
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3直線AD, BE, CFが1点で交わっている。\(BD:DC=3:1\)、\(AF:FB=2:5\) のとき、\(CE:EA\) を求めよ。
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3直線AD, BE, CFが1点で交わっている。\(BD:DC=5:4\)、\(CE:EA=2:3\) のとき、\(AF:FB\) を求めよ。
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3直線AD, BE, CFが1点で交わっている。\(AF:FB=1:4\)、\(BD:DC=3:2\) のとき、\(CE:EA\) を求めよ。
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1本の直線が、辺CA上の点E、辺AB上の点F、そして辺BCの延長上（Cの外側）の点Dを通っている。\(BD:DC=5:2\)、\(CE:EA=1:4\) のとき、\(AF:FB\) を求めよ。
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3直線AD, BE, CFが1点で交わっている。\(BD:DC=1:3\)、\(AF:FB=1:2\) のとき、\(CE:EA\) を求めよ。
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1本の直線が、辺BC上の点D、辺AB上の点F、そして辺CAの延長上（Aの外側）の点Eを通っている。\(BD:DC=1:2\)、\(AF:FB=3:4\) のとき、\(CE:EA\) を求めよ。
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1本の直線が、辺BC上の点D、辺CA上の点Eを通っている。\(BD:DC=2:1\)、\(CE:EA=3:1\) のとき、\(AF:FB\) を求めよ。ただし、Fが辺ABの内部にあるか延長上にあるかは自分で判断すること。
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1本の直線が、辺CA上の点E、辺AB上の点Fを通り、辺BCの延長上（Bの外側）の点Dを通っている。\(BD:DC=3:8\)、\(CE:EA=1:2\) のとき、\(AF:FB\) を求めよ。
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三角形ABCのどの辺とも交わらず、3辺すべての延長と交わる直線がある。\(BD:DC=3:1\)（Cの外側）、\(CE:EA=3:1\)（Aの外側）のとき、\(AF:FB\) を求めよ（Fも辺ABの延長上にある）。
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3直線AD, BE, CFが1点で交わっている。\(BD:DC=7:3\)、\(CE:EA=2:7\) のとき、\(AF:FB\) を求めよ。
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ここから先はPDF限定の腕試し。チェバとメネラウスを組み合わせる問題、面積比の本格問題に挑戦しよう。
三角形ABCの辺BC上に点D（\(BD:DC=3:2\)）、辺CA上に点E（\(CE:EA=1:3\)）を取り、直線AD, BE, CFが1点Pで交わるように辺AB上に点Fを取る。 (1) \(AF:FB\) を求めよ。 (2) 三角形ABDに、直線CPF（Fは辺AB上、Pは辺AD上、Cは辺BDの延長上）についてメネラウスの定理を用いて、\(AP:PD\) を求めよ。
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三角形ABCの辺BC上に点D（\(BD:DC=2:3\)）、辺CA上に点E（\(CE:EA=1:4\)）を取り、直線AD, BE, CFが1点Pで交わるように辺AB上に点Fを取る。三角形ABP, BCP, CAPの面積比 \(S_{ABP}:S_{BCP}:S_{CAP}\) を求めよ（最も簡単な整数比で）。
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三角形ABCの辺ABを \(1:2\) に内分する点P、辺ACを \(2:3\) に内分する点Qを取る。線分BQと線分CPの交点をRとするとき、\(S_{PQR}:S_{ABC}\) を求めよ。
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三角形ABCの辺BC上の点D、辺CA上の点E、辺AB上の点Fがあり、\(BD:DC=3:4\)、\(CE:EA=2:1\)、\(AF:FB=2:3\) である。 (1) チェバの定理の逆を用いて、3直線AD, BE, CFが1点Pで交わることを確かめよ（\(\dfrac{BD}{DC}\times\dfrac{CE}{EA}\times\dfrac{AF}{FB}\) の値を答えよ）。 (2) 三角形BCEに、直線APD（Aは辺CEの延長上、Pは辺BEの延長上ではなく辺BE上、Dは辺BCの延長上ではなく辺BC上）についてメネラウスの定理を用いて、\(BP:PE\) を求めよ。
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三角形ABCの辺ABを \(1:2\) に内分する点P、辺ACを \(3:1\) に内分する点Qを取る。線分BQと線分CPの交点をRとする。 (1) \(BR:RQ\) を求めよ。 (2) \(S_{RBC}:S_{ABC}\) を求めよ。