三角形の性質（二等分線・重心・内心・外心）

STEP 1

角の二等分線と比

三角形ABCで、頂点Aから∠Aを2等分する半直線がBCと交わる点をDとすると、BDとDCの比は、AB と AC の比にぴったり一致する。これが「角の二等分線と比の定理」。

内角の二等分線と比　\(BD:DC = AB:AC\)
覚え方：二等分線を引いた頂点からの「隣り合う2辺の比」が、そのままBC上の分点の比になる。

例題　\(AB = 10,\ AC = 6,\ BC = 12\) の三角形で、∠Aの二等分線がBCと交わる点をDとする。BD, DCの長さを求めよ。

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\(BD:DC = AB:AC = 10:6 = 5:3\) \(BC = 12\) をこの比 \(5:3\)（和8）で分けるので \(BD = 12 \times \dfrac{5}{8} = 7.5\)、\(DC = 12 \times \dfrac{3}{8} = 4.5\) \(BD = 7.5,\ DC = 4.5\)

外角の二等分線と比（発展）　頂点Aにおける∠Aの外角の二等分線がBCの延長と交わる点をEとすると、比は同じ形だが外分になる：\(BE:CE = AB:AC\)（ただしEは線分BCの外側にある）。\(AB \ne AC\) のときだけEが（有限の位置に）存在する。この形は挑戦問題で確認しよう。

STEP 2

重心 ─ 中線を2:1に内分する点

三角形の各頂点から、向かい合う辺の中点に引いた線分を「中線」という。3本の中線は必ず1点で交わり、その点を重心Gと呼ぶ。重心は、どの中線も頂点側から2:1に内分する。

重心の性質　\(AG:GM = BG:GN = CG:GL = 2:1\)（Mは辺BCの中点、以下同様）
重心の座標は、3頂点の座標の平均：\(G = \left(\dfrac{x_A+x_B+x_C}{3},\ \dfrac{y_A+y_B+y_C}{3}\right)\)

例題　三角形ABCの重心をGとする。頂点Aから辺BCの中点Mに引いた中線ADの長さが\(18\)のとき、AG, GMの長さを求めよ。

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\(AG:GM = 2:1\) なので、中線全体を3等分した2つ分がAG、1つ分がGM。 \(18 \div 3 = 6\)（1等分の長さ） \(AG = 12,\ GM = 6\)

STEP 3

内心 ─ 3辺までの距離が等しい点

三角形の3つの内角の二等分線は、必ず1点で交わる。その点を内心Iと呼び、内心は3辺すべてから等しい距離にある。だから内心を中心にして、3辺にちょうど接する円（内接円）が描ける。

内接円の半径　三角形の面積を\(S\)、周の長さの半分（半周長）を\(s = \dfrac{a+b+c}{2}\) とすると \[ r = \dfrac{S}{s} \]

例題　3辺が \(3,\ 4,\ 5\) の直角三角形の内接円の半径\(r\)を求めよ。

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直角三角形なので面積は簡単に出せる：\(S = \dfrac{1}{2} \times 3 \times 4 = 6\) 半周長：\(s = \dfrac{3+4+5}{2} = 6\) \(r = \dfrac{S}{s} = \dfrac{6}{6} = 1\)

STEP 4

外心 ─ 3頂点までの距離が等しい点

三角形の3辺それぞれの垂直二等分線は、必ず1点で交わる。その点を外心Oと呼び、外心は3頂点すべてから等しい距離にある。だから外心を中心にして、3頂点をすべて通る円（外接円）が描ける。

直角三角形の外心　直角三角形では、外心はいつも斜辺の中点にあり、外接円の半径は \(R = \dfrac{\text{斜辺}}{2}\)。これは数Iの正弦定理 \(\dfrac{a}{\sin A} = 2R\) とも自然につながる（∠A=90°なら\(\sin A=1\)なので \(2R=a\)、つまり\(a\)は斜辺）。

例題　3辺が \(3,\ 4,\ 5\) の直角三角形の外接円の半径\(R\)を求めよ。

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斜辺は最も長い辺の\(5\)。直角三角形の外心は斜辺の中点なので \(R = \dfrac{5}{2} = 2.5\)

3つの「心」の整理

重心 G
3本の中線の交点
各中線を2:1に内分
必ず三角形の内部

内心 I
3つの内角の二等分線の交点
3辺までの距離が等しい（内接円の中心）
必ず三角形の内部

外心 O
3辺の垂直二等分線の交点
3頂点までの距離が等しい（外接円の中心）
鋭角三角形なら内部、直角三角形なら斜辺の中点、鈍角三角形なら外部

ちなみに、各頂点から向かい合う辺（またはその延長）へ引いた3本の垂線も1点で交わることが知られていて、その点を垂心と呼ぶ。実は外心・重心・垂心の3点は必ず一直線上に並ぶ（この直線を「オイラー線」と呼ぶ）。詳しい証明は高校の範囲を超えるので、「へえ、そうなんだ」くらいに覚えておけば十分。

練習問題（全18問）

答えを入力して「採点」を押すと○×が出るぞ。分数は「3/4」、根号は「√5」または「sqrt5」のように入力。
わからないときは「解説を見る」で解き方を確認しよう。

基本（1〜7）

二等分線と比（内分）

三角形ABCで \(AB=6,\ AC=9,\ BC=10\)。∠Aの二等分線がBCと交わる点をDとするとき、BD, DCの長さを求めよ。

BD= 　DC=

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\(BD:DC = AB:AC = 6:9 = 2:3\) \(BC=10\) を比\(2:3\)（和5）で分けると \(BD = 10 \times \dfrac{2}{5} = 4\)、\(DC = 10 \times \dfrac{3}{5} = 6\) \(BD=4,\ DC=6\)

二等分線と比（内分）

三角形ABCで \(AB=9,\ AC=3,\ BC=8\)。∠Aの二等分線がBCと交わる点をDとするとき、BD, DCの長さを求めよ。

BD= 　DC=

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\(BD:DC = AB:AC = 9:3 = 3:1\) \(BC=8\) を比\(3:1\)（和4）で分けると \(BD = 8 \times \dfrac{3}{4} = 6\)、\(DC = 8 \times \dfrac{1}{4} = 2\) \(BD=6,\ DC=2\)

二等分線と比（比3:2）

三角形ABCで \(AB=12,\ AC=8,\ BC=15\)。∠Aの二等分線がBCと交わる点をDとするとき、BD, DCの長さを求めよ。

BD= 　DC=

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\(BD:DC = AB:AC = 12:8 = 3:2\) \(BC=15\) を比\(3:2\)（和5）で分けると \(BD = 15 \times \dfrac{3}{5} = 9\)、\(DC = 15 \times \dfrac{2}{5} = 6\) \(BD=9,\ DC=6\)

重心の性質（2:1）

三角形ABCの重心をGとする。中線AMについて \(AG=6\) のとき、GMの長さを求めよ。

GM=

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\(AG:GM=2:1\) なので \(GM = AG \div 2\) \(GM = 3\)

重心の性質（2:1）

三角形ABCの重心をGとする。中線BNについて \(GN=7\) のとき、BGの長さを求めよ。

BG=

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\(BG:GN=2:1\) なので \(BG = GN \times 2\) \(BG = 14\)

重心の性質・中線全体から求める

三角形ABCの重心をGとする。中線AM（頂点Aから辺BCの中点Mまで）の長さが \(21\) のとき、AG, GMの長さを求めよ。

AG= 　GM=

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\(AG:GM=2:1\) なので、中線全体を3等分すると1等分は \(21 \div 3 = 7\)。 \(AG=14,\ GM=7\)

二等分線と比（分数になる場合）

三角形ABCで \(AB=7,\ AC=5,\ BC=9\)。∠Aの二等分線がBCと交わる点をDとするとき、BD, DCの長さを求めよ。

BD= 　DC=

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\(BD:DC = AB:AC = 7:5\)（和12） \(BD = 9 \times \dfrac{7}{12} = \dfrac{63}{12} = \dfrac{21}{4}\)、\(DC = 9 \times \dfrac{5}{12} = \dfrac{45}{12} = \dfrac{15}{4}\) \(BD = \dfrac{21}{4}(=5.25),\ DC = \dfrac{15}{4}(=3.75)\)

標準（8〜14）

二等分線と比の逆算

三角形ABCで、∠Aの二等分線がBCと交わる点をDとする。\(BD=6,\ DC=4,\ AB=9\) のとき、ACの長さを求めよ。

AC=

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\(BD:DC = AB:AC\) より \(6:4 = 9:AC\) 比を使って \(AC = 4 \times \dfrac{9}{6} = 6\) \(AC = 6\)

座標平面上に \(A(3,\ 9),\ B(0,\ 0),\ C(6,\ 0)\) をとる。三角形ABCの重心Gの座標を求めよ。

\(x=\) 　\(y=\)

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重心の座標は3頂点の座標の平均。 \(x = \dfrac{3+0+6}{3} = 3\)、\(y = \dfrac{9+0+0}{3} = 3\) \(G(3,\ 3)\)

3辺が \(6,\ 8,\ 10\) の直角三角形の内接円の半径\(r\)を求めよ。

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直角三角形なので面積は \(S = \dfrac{1}{2}\times6\times8=24\) 半周長 \(s = \dfrac{6+8+10}{2}=12\) \(r = \dfrac{S}{s} = \dfrac{24}{12} = 2\)

3辺が \(5,\ 12,\ 13\) の直角三角形の内接円の半径\(r\)を求めよ。

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\(S = \dfrac{1}{2}\times5\times12=30\) \(s = \dfrac{5+12+13}{2}=15\) \(r = \dfrac{S}{s} = \dfrac{30}{15} = 2\)

3辺が \(9,\ 12,\ 15\) の直角三角形の外接円の半径\(R\)を求めよ。

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直角三角形の外心は斜辺（最長辺）の中点。斜辺は\(15\)なので \(R = \dfrac{15}{2} = 7.5\)

3辺が \(5,\ 12,\ 13\) の直角三角形の外接円の半径\(R\)を求めよ。

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斜辺は\(13\)なので \(R = \dfrac{13}{2} = 6.5\)

三角形ABCの重心をGとする。中線BN（頂点Bから辺CAの中点Nまで）の長さが \(24\) のとき、BG, GNの長さを求めよ。

BG= 　GN=

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\(BG:GN=2:1\)なので、\(24\)を3等分すると1等分は\(24 \div 3=8\)。 \(BG=16,\ GN=8\)

挑戦（15〜18）

外角の二等分線（外分）

三角形ABCで \(AB=8,\ AC=4,\ BC=10\)。∠Aの外角の二等分線が、辺BCの延長と交わる点をEとする（Eは辺BCの外側、C側の延長上にある）。CE, BEの長さを求めよ。

CE= 　BE=

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外角の二等分線でも比の形は同じ：\(BE:CE = AB:AC = 8:4 = 2:1\)（ただし外分）。 Eは線分BCの外側（C側の延長上）にあるので、\(BE = BC + CE\) の関係が成り立つ。比\(2:1\)より \(BE = 2\,CE\)。これを \(BE = BC + CE = 10 + CE\) に代入すると \(2\,CE = 10 + CE\ \Rightarrow\ CE = 10\) \(CE = 10,\ BE = 20\)（確認：\(BE - CE = 20-10=10=BC\)、比も\(20:10=2:1\)で一致）

外接円の半径と正弦定理（数I既習）

三角形ABCで \(BC=6,\ \angle A = 30^\circ\)。この三角形の外接円の半径\(R\)を求めよ。

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数Iの正弦定理：\(\dfrac{BC}{\sin A} = 2R\) \(2R = \dfrac{6}{\sin 30^\circ} = \dfrac{6}{1/2} = 12\) \(R = 6\)

正三角形の外心・内心（R=2r）

1辺の長さが\(6\)の正三角形について、外接円の半径\(R\)と内接円の半径\(r\)をそれぞれ求めよ。

R= 　r=

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正三角形では、重心・内心・外心はすべて同じ点に重なる。1辺\(a\)の正三角形の高さは \(h = \dfrac{\sqrt3}{2}a\)。この三角形は高さ\(h\)を頂点から重心が2:1に内分するので、外心（頂点からの距離）は \(R=\dfrac{2}{3}h\)、内心（底辺からの距離）は \(r=\dfrac{1}{3}h\)。 \(a=6\)のとき \(h = \dfrac{\sqrt3}{2}\times6 = 3\sqrt3\) \(R = \dfrac{2}{3}\times3\sqrt3 = 2\sqrt3\)、\(r = \dfrac{1}{3}\times3\sqrt3=\sqrt3\) \(R=2\sqrt3,\ r=\sqrt3\)（つまり\(R=2r\)。実はどんな三角形でも\(R \ge 2r\)が成り立ち、正三角形は等号が成り立つ特別な場合）

内心と角度（∠BIC=90°+A/2）

三角形ABCで \(\angle B = 80^\circ,\ \angle C = 40^\circ\)。内心をIとするとき、\(\angle BIC\)の大きさを求めよ。

∠BIC= 度

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BI, CIはそれぞれ∠B, ∠Cの二等分線なので、\(\angle IBC = \dfrac{B}{2},\ \angle ICB = \dfrac{C}{2}\)。三角形BICの内角の和より \(\angle BIC = 180^\circ - \dfrac{B}{2} - \dfrac{C}{2} = 180^\circ - \dfrac{B+C}{2}\) \(\angle A = 180^\circ - 80^\circ - 40^\circ = 60^\circ\) なので \(B+C = 120^\circ\) \(\angle BIC = 180^\circ - 60^\circ = 120^\circ\) （一般に \(\angle BIC = 90^\circ + \dfrac{A}{2}\) という公式が成り立つ：\(90^\circ+\dfrac{60^\circ}{2}=120^\circ\)で一致） \(\angle BIC = 120^\circ\)

応用問題（プリント限定）

ここから先はPDF限定の腕試し。二等分線の長さや複数の「心」を組み合わせた、入試の基礎レベルに挑戦しよう。

応1

角の二等分線の長さ

三角形ABCで \(AB=6,\ AC=9,\ BC=10\)。∠Aの二等分線がBCと交わる点をDとするとき、ADの長さを求めよ。

AD=

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まず角の二等分線と比の定理からBD, DCを求める（練習問題1と同じ三角形）。 \(BD:DC=AB:AC=6:9=2:3\)、\(BD=10\times\dfrac{2}{5}=4,\ DC=10\times\dfrac{3}{5}=6\) 二等分線の長さについては、次の公式が成り立つ（スチュワートの定理の特別な場合として証明できる）。 \[ AD^2 = AB \cdot AC - BD \cdot DC \] これに数値を代入すると \(AD^2 = 6\times9 - 4\times6 = 54-24=30\) \(AD = \sqrt{30}\)

応2

内心・重心の混合

座標平面上で、\(\angle B=90^\circ\)、\(AB=6,\ BC=8,\ CA=10\) の直角三角形ABCを、\(B(0,\ 0),\ A(0,\ 6),\ C(8,\ 0)\) となるように置く。このとき、重心Gと内心Iの間の距離GIを求めよ。

GI=

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重心は3頂点の座標の平均：\(G = \left(\dfrac{0+0+8}{3},\ \dfrac{6+0+0}{3}\right) = \left(\dfrac{8}{3},\ 2\right)\) 内心は、直角三角形で直角の頂点Bが原点・2辺が座標軸に沿っているとき、内接円の半径\(r\)を使って \(I=(r,\ r)\) と表せる（2辺の軸からの距離がどちらも\(r\)だから）。 \(r = \dfrac{AB+BC-CA}{2} = \dfrac{6+8-10}{2}=2\)、よって \(I=(2,\ 2)\) GとIはどちらも\(y=2\)上にあるので、距離は\(x\)座標の差だけで求まる。 \(GI = \left|\dfrac{8}{3}-2\right| = \dfrac{2}{3}\) \(GI = \dfrac{2}{3}\)

応3

外接円の半径と正弦定理（数I）

三角形ABCで \(BC=8,\ \angle A=45^\circ,\ \angle B=60^\circ\)。この三角形の外接円の半径\(R\)と、辺CAの長さを求めよ。

R= 　CA=

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数Iの正弦定理：\(\dfrac{BC}{\sin A}=2R\) \(2R = \dfrac{8}{\sin45^\circ} = \dfrac{8}{\frac{\sqrt2}{2}} = \dfrac{16}{\sqrt2} = 8\sqrt2\)、よって \(R=4\sqrt2\) 同じ\(2R\)の値を使って、CA（=辺b、∠Bの対辺）を求める。 \(\dfrac{CA}{\sin B} = 2R = 8\sqrt2\) \(CA = 8\sqrt2 \times \sin60^\circ = 8\sqrt2\times\dfrac{\sqrt3}{2} = 4\sqrt6\) \(R=4\sqrt2,\ CA=4\sqrt6\)

応4

外心・重心・垂心の関係（オイラー線）

座標平面上で、\(\angle B=90^\circ\)、\(AB=9,\ BC=12,\ CA=15\) の直角三角形ABCを、\(B(0,\ 0),\ A(0,\ 9),\ C(12,\ 0)\) となるように置く。外心O、重心G、垂心Hをそれぞれ求め、OGとGHの長さを求めよ。

OG= 　GH=

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外心Oは、直角三角形では斜辺CAの中点：\(O = \left(\dfrac{0+12}{2},\dfrac{9+0}{2}\right)=(6,\ 4.5)\) 重心Gは3頂点の座標の平均：\(G=\left(\dfrac{0+0+12}{3},\dfrac{9+0+0}{3}\right)=(4,\ 3)\) 垂心Hは、直角三角形では直角の頂点そのものになる（∠Bの2辺がすでに互いに垂線の役目を果たしているため）：\(H=B=(0,\ 0)\) \(OG\)：\(O(6,4.5)\)から\(G(4,3)\)まで、\(\sqrt{(-2)^2+(-1.5)^2}=\sqrt{4+2.25}=\sqrt{6.25}=2.5\) \(GH\)：\(G(4,3)\)から\(H(0,0)\)まで、\(\sqrt{(-4)^2+(-3)^2}=\sqrt{16+9}=\sqrt{25}=5\) \(OG=2.5,\ GH=5\)（比は\(OG:GH=1:2\)。O, G, Hがオイラー線上に並んでいることが数値でも確認できる）

応5

内心・外心の混合（R:rの比）

三角形ABCの3辺が \(7,\ 8,\ 9\) であるとき、内接円の半径\(r\)、外接円の半径\(R\)、およびその比の値\(\dfrac{R}{r}\)を求めよ。

r= 　R= 　\(\dfrac{R}{r}=\)

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半周長：\(s=\dfrac{7+8+9}{2}=12\) ヘロンの公式で面積：\(S=\sqrt{s(s-a)(s-b)(s-c)}=\sqrt{12\times5\times4\times3}=\sqrt{720}=12\sqrt5\) 内接円の半径：\(r=\dfrac{S}{s}=\dfrac{12\sqrt5}{12}=\sqrt5\) 外接円の半径は \(R=\dfrac{abc}{4S}\)（正弦定理と面積公式を組み合わせて導ける関係式）を使う。 \(R=\dfrac{7\times8\times9}{4\times12\sqrt5}=\dfrac{504}{48\sqrt5}=\dfrac{10.5}{\sqrt5}=\dfrac{10.5\sqrt5}{5}=2.1\sqrt5=\dfrac{21\sqrt5}{10}\) 比は根号部分が約分されて消える： \(\dfrac{R}{r}=\dfrac{2.1\sqrt5}{\sqrt5}=2.1=\dfrac{21}{10}\) \(r=\sqrt5,\ R=\dfrac{21\sqrt5}{10},\ \dfrac{R}{r}=\dfrac{21}{10}\)（\(R\ge2r\)は常に成り立ち、等号は正三角形のときだけ）