接線・増減・グラフ｜数III 微分法

STEP 1

接線・法線の方程式

曲線 \(y=f(x)\) 上の点 \((a,\ f(a))\) における接線の傾きは、微分係数 \(f'(a)\) そのもの。この事実さえ押さえれば、指数関数・対数関数が混ざっても接線の求め方は数IIまでと同じ手順でいける。

接線の方程式
\[ y = f'(a)(x-a) + f(a) \]

例題1　曲線 \(y=e^x\) 上の点 \((1,\ e)\) における接線の方程式を求めよ。

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\(f(x)=e^x\)、\(f'(x)=e^x\) より \(f'(1)=e\)。\(f(1)=e\)。接線の公式に代入する。 \[ y = e(x-1) + e = ex - e + e \] \(y = ex\)（原点を通る直線になる）

例題2　曲線 \(y=\ln x\) 上の点 \((e,\ 1)\) における接線の方程式を求めよ。

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\(f(x)=\ln x\)、\(f'(x)=\dfrac1x\) より \(f'(e)=\dfrac1e\)。\(f(e)=\ln e=1\)。接線の公式に代入する。 \[ y = \frac1e(x-e) + 1 = \frac{x}{e} - 1 + 1 \] \(y = \dfrac{x}{e}\)（こちらも原点を通る）

接線と直角に交わる直線を法線という。接線の傾きが \(f'(a)\)（かつ \(f'(a)\neq0\)）のとき、法線の傾きはその逆数の符号違い \(-\dfrac{1}{f'(a)}\) になる（2直線が直交する条件：傾きの積が \(-1\)）。

法線の方程式（\(f'(a)\neq0\) のとき）
\[ y = -\frac{1}{f'(a)}(x-a) + f(a) \] \(f'(a)=0\) のときは、法線は \(x=a\)（\(y\)軸に平行な縦線）になる。

例題3　曲線 \(y=e^x\) 上の点 \((0,\ 1)\) における法線の方程式を求めよ。

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\(f'(x)=e^x\) より \(f'(0)=e^0=1\)。接線の傾きは1なので、法線の傾きは \(-\dfrac11=-1\)。法線の公式（または直接 \(y=-1(x-0)+1\)）に代入する。 \(y = -x+1\)

注意　接線・法線どちらも「まず \(f'(a)\) を求める」がスタート地点。指数・対数関数では \(f'(a)\) の値そのものに \(e\) が残ることが多いので、無理に小数にせず \(e\) や \(\dfrac1e\) のまま扱ってよい。

STEP 2

増減と極値：\(f'(x)\) の符号を追う

\(f'(x) > 0\) の区間では \(f(x)\) は増加、\(f'(x) < 0\) の区間では減少。この符号がプラスからマイナスに変わる点で極大値、マイナスからプラスに変わる点で極小値をとる（あわせて極値）。数IIの3次関数と同じ考え方が、指数・対数関数にもそのまま拡張できる。

手順1　\(f'(x)\) を求める

↓

手順2　\(f'(x)=0\) となる \(x\)（候補点）を求める

↓

手順3　候補点の前後で \(f'(x)\) の符号を調べ、増減表にまとめる

↓

手順4　符号が \(+\to-\) なら極大、\(-\to+\) なら極小

例題4　\(f(x) = -x^3+3x^2\) の増減を調べ、極値を求めよ。

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\[ f'(x) = -3x^2+6x = -3x(x-2) \] \(f'(x)=0\) より \(x=0,\ 2\)。増減表は次のようになる。

\(x\)	\(\cdots\)	0	\(\cdots\)	2	\(\cdots\)
\(f'(x)\)	−	0	＋	0	−
\(f(x)\)	↘	極小	↗	極大	↘

\(f(0)=0\)、\(f(2)=-8+12=4\)。 \(x=0\) で極小値 \(0\)、\(x=2\) で極大値 \(4\)

もう1つ、定義域が \(x\neq0\) に限られる例も見ておこう。分母がある関数は定義域の確認が最初の一歩。

例題5　\(f(x) = x + \dfrac1x\)（\(x\neq0\)）の増減を調べ、極値を求めよ。

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\[ f'(x) = 1 - \frac{1}{x^2} = \frac{x^2-1}{x^2} \] 分母 \(x^2\) は常に正なので、符号は分子 \(x^2-1=(x-1)(x+1)\) だけで決まる。定義域 \(x\neq0\) に注意して増減表をつくる。

\(x\)	\(\cdots\)	−1	\(\cdots\)	0	\(\cdots\)	1	\(\cdots\)
\(f'(x)\)	＋	0	−	定義域外	−	0	＋
\(f(x)\)	↗	極大	↘	/	↘	極小	↗

\(f(-1)=-1-1=-2\)、\(f(1)=1+1=2\)。 \(x=-1\) で極大値 \(-2\)、\(x=1\) で極小値 \(2\)

注意　\(x=0\) は定義域に入らないので、増減表の\(x=0\)の欄は「候補」ではなく「通行止め」。極値の候補は必ず定義域の中にある \(f'(x)=0\) の解だけを拾う。

STEP 3

凹凸と変曲点：\(f''(x)\) の符号を追う

\(f''(x) > 0\) の区間ではグラフは下に凸（お椀型、谷になびく）、\(f''(x) < 0\) の区間では上に凸（山型）。凹凸が入れ替わる境目の点を変曲点という。増減表に \(f''(x)\) の行を1本足すだけで「増減・凹凸表」になり、グラフの概形がぐっと正確になる。

凹凸の判定
\(f''(x) > 0\) → 下に凸（\(\cup\)型）　\(f''(x) < 0\) → 上に凸（\(\cap\)型）　\(f''(x)=0\) が境目なら変曲点の候補

例題6　例題4の \(f(x) = -x^3+3x^2\) の凹凸を調べ、変曲点を求めよ。

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\[ f'(x) = -3x^2+6x, \qquad f''(x) = -6x+6 = -6(x-1) \] \(f''(x)=0\) より \(x=1\)。\(x<1\) で \(f''(x)>0\)（下に凸）、\(x>1\) で \(f''(x)<0\)（上に凸）。 \(f(1) = -1+3 = 2\)。変曲点 \((1,\ 2)\)（極小 \((0,0)\) と極大 \((2,4)\) のちょうど真ん中になっている）

上のグラフ（例題4の図）を見返すと、赤い破線 \(x=1\) の左側は谷になびく形（下に凸）、右側は山になびく形（上に凸）になっている様子が確認できる。次は指数関数がからむ例で、増減・凹凸表を一気に作ってみよう。

例題7　\(f(x) = xe^{-x}\) の増減・凹凸を調べ、極値と変曲点を求めよ。

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積の微分で \(f'(x)\) を求める。 \[ f'(x) = e^{-x} + x\cdot(-e^{-x}) = e^{-x}(1-x) \] もう一度積の微分で \(f''(x)\) を求める。 \[ f''(x) = -e^{-x}(1-x) + e^{-x}\cdot(-1) = e^{-x}\{-(1-x)-1\} = e^{-x}(x-2) \] \(e^{-x}\) は常に正なので、符号は \((1-x)\)・\((x-2)\) だけで決まる。\(f'(x)=0\) は \(x=1\)、\(f''(x)=0\) は \(x=2\)。

\(x\)	\(\cdots\)	1	\(\cdots\)	2	\(\cdots\)
\(f'(x)\)	＋	0	−	−	−
\(f''(x)\)	−	−	−	0	＋
\(f(x)\)	↗	極大	↘	変曲点	↘

\(f(1)=1\cdot e^{-1}=\dfrac1e\)、\(f(2)=2e^{-2}=\dfrac{2}{e^2}\)。 \(x=1\) で極大値 \(\dfrac1e\)（極小値はなし）、変曲点 \(\left(2,\ \dfrac{2}{e^2}\right)\)

注意　極値は「\(f'(x)=0\) かつ符号が変わる」点だけ。変曲点は「\(f''(x)=0\) かつ凹凸が入れ替わる」点だけ。どちらも「\(=0\) になった」だけで即断せず、必ず前後の符号を確認しよう。

STEP 4

グラフの概形（漸近線を含む本格的な曲線のスケッチ）

増減表・凹凸表・漸近線の3つがそろえば、複雑な関数のグラフでも手順どおりに概形が描ける。ここでは \(y=x+\dfrac1x\) と \(y=xe^{-x}\) の2本を、最初から最後まで通しでスケッチしてみよう。

手順1　定義域・対称性（偶関数・奇関数）を確認する

↓

手順2　\(f'(x)\) から増減表、\(f''(x)\) から凹凸をつくる（STEP2・STEP3の作業）

↓

手順3　漸近線（縦・横・斜め）を調べる

↓

手順4　増減表の矢印どおりに、漸近線に寄り添わせながら点をなめらかにつなぐ

\(y = x + \dfrac1x\) の概形

例題8　\(y=x+\dfrac1x\) の漸近線を求め、グラフの概形をまとめよ。

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定義域・対称性：\(x\neq0\)。\(f(-x)=-x-\dfrac1x=-f(x)\) なので奇関数（原点対称）。 漸近線：\(x\to0^+\) のとき \(\dfrac1x\to+\infty\) なので \(y\to+\infty\)、\(x\to0^-\) のとき \(y\to-\infty\)。よって縦の漸近線 \(x=0\)。また \(x\to\pm\infty\) のとき \(\dfrac1x\to0\) なので \(y\) は直線 \(y=x\) にかぎりなく近づく。よって斜めの漸近線 \(y=x\)。 増減・凹凸（STEP2例題5・STEP3の考え方より）：\(x<-1\) で増加、\(-1<x<0\) と \(0<x<1\) で減少、\(x>1\) で増加。極大 \((-1,-2)\)・極小 \((1,2)\)。 \(f''(x)=\dfrac{2}{x^3}\) より \(x>0\) で下に凸、\(x<0\) で上に凸（\(x=0\)は定義域外なので変曲点にはならない）。概形：原点対称の2本の枝。右側の枝は \(x\to0^+\) で上に飛び出し、いったん下がって \(x=1\) で極小 \(2\) をとり、そこから直線 \(y=x\) に沿うように右上へ増えていく。左側の枝はこれを原点対称にひっくり返した形。縦の漸近線 \(x=0\)、斜めの漸近線 \(y=x\)。極大 \((-1,-2)\)、極小 \((1,2)\) をもつ、原点対称な2本の曲線

\(y = xe^{-x}\) の概形

例題9　\(y=xe^{-x}\) の漸近線を求め、グラフの概形をまとめよ。

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定義域・対称性：実数全体。偶関数でも奇関数でもない。 漸近線：\(x\to+\infty\) のとき、\(e^{-x}\) が \(0\) に近づく勢いが \(x\) の増える勢いに勝るので \(xe^{-x}\to0\)。よって横の漸近線 \(y=0\)（\(x\to+\infty\) 側のみ）。 \(x\to-\infty\) のときは \(x\to-\infty\)、\(e^{-x}\to+\infty\) がどちらも効いて \(xe^{-x}\to-\infty\)（漸近線なし、そのまま下に落ちていく）。 増減・凹凸（STEP3例題7より）：\(x<1\) で増加、\(x>1\) で減少。極大 \(\left(1,\dfrac1e\right)\)（極小値なし）。 \(x<2\) で上に凸、\(x>2\) で下に凸。変曲点 \(\left(2,\dfrac{2}{e^2}\right)\)。概形：\(x\to-\infty\) から急激に下がってきた曲線が原点を通り、\(x=1\) で極大 \(\dfrac1e\) をとったあと、\(x=2\)（変曲点）を境に凹凸を変えながら、\(x\)軸（\(y=0\)）に貼りつくようにゆっくり近づいていく。横の漸近線 \(y=0\)（\(x\to+\infty\)側）。極大 \(\left(1,\dfrac1e\right)\)、変曲点 \(\left(2,\dfrac{2}{e^2}\right)\) をもつ曲線

注意　漸近線には3種類ある。分母が0になる「縦」、\(x\to\pm\infty\) で一定値に近づく「横」、\(y\)からある1次式を引いた差が0に近づく「斜め」。どれになるかは \(x\to\pm\infty\) や定義域の端での挙動を実際に調べて判断する（丸暗記でなく毎回確認する癖をつけよう）。

練習問題（全18問）

答えを入力して「採点」を押すと○×が出るぞ。分数は「1/2」のように入力。
わからないときは「解説を見る」で解き方を確認しよう。

基本（1〜7）

接線・べき関数

曲線 \(y=x^3\) 上の点 \((1,\ 1)\) における接線の傾きと\(y\)切片を求めよ。

傾き　\(y\)切片

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\(f'(x)=3x^2\) より \(f'(1)=3\)。接線は \(y=3(x-1)+1=3x-2\)。傾き \(3\)、\(y\)切片 \(-2\)

接線・指数関数

曲線 \(y=e^x\) 上の点 \((0,\ 1)\) における接線の傾きと\(y\)切片を求めよ。

傾き　\(y\)切片

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\(f'(x)=e^x\) より \(f'(0)=1\)。接線は \(y=1(x-0)+1=x+1\)。傾き \(1\)、\(y\)切片 \(1\)

接線・対数関数

曲線 \(y=\ln x\) 上の点 \((1,\ 0)\) における接線の傾きと\(y\)切片を求めよ。

傾き　\(y\)切片

解説を見る

\(f'(x)=\dfrac1x\) より \(f'(1)=1\)。接線は \(y=1(x-1)+0=x-1\)。傾き \(1\)、\(y\)切片 \(-1\)

極値・基本の3次関数

\(y=x^3-3x\) の極値を求めよ。

極大値（\(x=\) ）　極小値（\(x=\) ）

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\(f'(x)=3x^2-3=3(x-1)(x+1)\)。\(x<-1\)で増加、\(-1<x<1\)で減少、\(x>1\)で増加。 \(f(-1)=-1+3=2\)、\(f(1)=1-3=-2\)。 \(x=-1\) で極大値 \(2\)、\(x=1\) で極小値 \(-2\)

極値・3次関数（別パターン）

\(y=x^3-12x\) の極値を求めよ。

極大値（\(x=\) ）　極小値（\(x=\) ）

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\(f'(x)=3x^2-12=3(x-2)(x+2)\)。\(x<-2\)で増加、\(-2<x<2\)で減少、\(x>2\)で増加。 \(f(-2)=-8+24=16\)、\(f(2)=8-24=-16\)。 \(x=-2\) で極大値 \(16\)、\(x=2\) で極小値 \(-16\)

変曲点・基本

\(y=x^3-3x^2+2\) の変曲点の座標を求めよ。

変曲点 \((\) \(,\) \()\)

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\(f'(x)=3x^2-6x\)、\(f''(x)=6x-6=6(x-1)\)。\(f''(x)=0\) より \(x=1\)。 \(x<1\)で下に凸、\(x>1\)で上に凸なので符号が変わり、確かに変曲点。 \(f(1)=1-3+2=0\)。変曲点 \((1,\ 0)\)

f''(x)=0でも変曲点にならない例

\(y=x^4\) について、\(f''(0)=0\) となることを確認したうえで、\(x=0\) が変曲点であるかどうかを、\(f''(x)\) の符号の変化を調べて判定せよ。

\(f''(0)=\) 　\(x=0\)は変曲点か：

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\(f(x)=x^4\) より \(f'(x)=4x^3\)、\(f''(x)=12x^2\)。 \(f''(0)=12\cdot 0^2=0\) だから、確かに \(f''(0)=0\) は成り立つ。しかし変曲点であるためには、\(f''(x)\) の符号がその点の前後で変化することが必要である。 \(f''(x)=12x^2\) は \(x\) が正でも負でも \(12x^2\geq 0\) となり、\(x=0\) の前後どちらでも符号は変わらず（グラフは常に下に凸のまま）である。よって \(f''(0)=0\) であっても、\(x=0\) は変曲点ではない。 \(f''(0)=0\) だが、\(x=0\) は変曲点でない

標準（8〜15）

曲線 \(y=xe^x\) 上の点 \((0,\ 0)\) における接線の傾きと\(y\)切片を求めよ。

傾き　\(y\)切片

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積の微分より \(f'(x)=e^x+xe^x=e^x(1+x)\)。\(f'(0)=1\cdot1=1\)。接線は \(y=1(x-0)+0=x\)。傾き \(1\)、\(y\)切片 \(0\)

曲線 \(y=\dfrac{\ln x}{x}\) 上の点 \((e,\ \frac1e)\) における接線の傾きと\(y\)切片を求めよ。

傾き　\(y\)切片

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商の微分より \[ f'(x) = \frac{\frac1x\cdot x - \ln x\cdot1}{x^2} = \frac{1-\ln x}{x^2} \] \(f'(e) = \dfrac{1-\ln e}{e^2} = \dfrac{1-1}{e^2}=0\)。傾きが\(0\)なので接線は水平な直線 \(y=\dfrac1e\)。傾き \(0\)、\(y\)切片 \(\dfrac1e\)

\(y=(x-1)e^x\) の極値を求めよ。

極小値（\(x=\) ）

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積の微分より \(f'(x)=e^x+(x-1)e^x=e^x\cdot x\)。\(e^x>0\)なので符号は\(x\)だけで決まる。 \(x<0\)で減少、\(x>0\)で増加（極大値は存在しない）。 \(f(0)=(0-1)\cdot1=-1\)。 \(x=0\) で極小値 \(-1\)（極大値なし）

\(y=x-\ln x\)（\(x>0\)）の極値を求めよ。

極小値（\(x=\) ）

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\(f'(x)=1-\dfrac1x=\dfrac{x-1}{x}\)（\(x>0\)なので分母は常に正）。 \(0<x<1\)で減少、\(x>1\)で増加。 \(f(1)=1-\ln1=1-0=1\)。 \(x=1\) で極小値 \(1\)

\(y=(x-2)e^x\) の変曲点の座標を求めよ。

変曲点 \((\) \(,\) \()\)

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\(f'(x)=e^x+(x-2)e^x=e^x(x-1)\)。もう一度微分すると \[ f''(x) = e^x(x-1)+e^x\cdot1 = e^x\cdot x \] \(f''(x)=0\) より \(x=0\)（\(e^x>0\)なので符号は\(x\)だけで決まり、確かに符号が変わる）。 \(f(0)=(0-2)\cdot1=-2\)。変曲点 \((0,\ -2)\)

\(y=x^3-6x^2+9x\) の変曲点の座標を求めよ。

変曲点 \((\) \(,\) \()\)

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\(f'(x)=3x^2-12x+9\)、\(f''(x)=6x-12=6(x-2)\)。\(f''(x)=0\) より \(x=2\)。 \(x<2\)で上に凸、\(x>2\)で下に凸なので符号が変わり、確かに変曲点。 \(f(2)=8-24+18=2\)。変曲点 \((2,\ 2)\)

接線・指数関数（傾きの条件から係数決定）

\(y=e^{ax}\) のグラフ上の点 \((0,\ 1)\) における接線の傾きが \(2\) であるとき、定数 \(a\) の値を求めよ。

\(a=\)

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\(f(x)=e^{ax}\) とおく。指数部分 \(ax\) を \(x\) で微分すると \(a\) になるので、合成関数の微分により \(f'(x)=a e^{ax}\) となる。接線の傾きは \(f'(0)\) だから、\(f'(0)=a e^{0}=a\cdot 1=a\)。これが \(2\) に等しいから、\(a=2\)。 \(a=2\)

極値の条件から係数を決定

\(f(x)=x^3+ax^2+bx\) が \(x=1\) で極大値 \(2\) をとるように、定数 \(a,\ b\) の値を求めよ。

\(a=\) 　\(b=\)

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極値をとる点では \(f'(x)=0\) が成り立つので、まず \(f'(x)\) を求める。\(f'(x)=3x^2+2ax+b\)。 \(x=1\) で極値をとるから \(f'(1)=0\)：\(3+2a+b=0\) （式1）また \(x=1\) での関数の値が \(2\) であることから \(f(1)=2\)：\(1+a+b=2\) すなわち \(a+b=1\) （式2）（式1）より \(2a+b=-3\)、これと（式2）の \(a+b=1\) を辺々引くと \(a=-4\)。（式2）に代入して \(b=1-(-4)=5\)。検算：\(a=-4,\ b=5\) のとき \(f'(x)=3x^2-8x+5=(3x-5)(x-1)\) となり、\(x=1\) の前後で \(f'(x)\) の符号は正から負に変わるので、確かに \(x=1\) で極大値をとる（\(f(1)=1-4+5=2\)）。 \(a=-4,\ b=5\)

挑戦（16〜22）

極値・積の微分＋e⁻ˣ

\(y=x^2e^{-x}\) の極値を求めよ。極大値は \(\dfrac{k}{e^2}\) の形で表せるとして、\(k\) の値とそのときの \(x\)、また極小値とそのときの \(x\) を求めよ。

極大値の\(k=\) （\(x=\) ）　極小値（\(x=\) ）

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積の微分より \[ f'(x) = 2xe^{-x}-x^2e^{-x} = e^{-x}(2x-x^2) = e^{-x}x(2-x) \] \(e^{-x}>0\)なので符号は \(x(2-x)\)（上に凸な放物線型、\(0\)と\(2\)の間だけ正）で決まる。 \(x<0\)で減少、\(0<x<2\)で増加、\(x>2\)で減少。 \(f(0)=0\)（極小）、\(f(2)=4e^{-2}=\dfrac{4}{e^2}\)（極大）。極大値 \(\dfrac{4}{e^2}\)（\(x=2\)、つまり\(k=4\)）、極小値 \(0\)（\(x=0\)）

変曲点が2つある・根号を含む解

\(y=x^2e^{-x}\) の変曲点の\(x\)座標をすべて求めよ（2つある）。

\(x=\)

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問題13より \(f'(x)=e^{-x}(2x-x^2)\)。もう一度微分する。 \[ f''(x) = -e^{-x}(2x-x^2) + e^{-x}(2-2x) = e^{-x}\{-(2x-x^2)+(2-2x)\} = e^{-x}(x^2-4x+2) \] \(e^{-x}>0\)なので \(x^2-4x+2=0\) を解けばよい。解の公式より \[ x = \frac{4\pm\sqrt{16-8}}{2} = \frac{4\pm2\sqrt2}{2} = 2\pm\sqrt2 \] この2次式は上に凸ではなく下に凸な放物線（\(x^2\)の係数が正）なので、2つの解のそれぞれで符号がちゃんと変わり、両方とも変曲点になる。 \(x=2-\sqrt2,\ 2+\sqrt2\)

変曲点と接線の複合

\(y=x^3-3x^2+4\) の変曲点における接線の方程式を求めよ。変曲点の\(x\)座標、接線の傾き、\(y\)切片を答えよ。

変曲点 \(x=\) 　傾き　\(y\)切片

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\(f'(x)=3x^2-6x\)、\(f''(x)=6x-6=6(x-1)\)。\(f''(x)=0\) より \(x=1\)、符号も変わるので変曲点。 \(f(1)=1-3+4=2\)。変曲点における接線の傾きは \(f'(1)=3-6=-3\)。接線の方程式は \(y=-3(x-1)+2=-3x+3+2=-3x+5\)。変曲点 \(x=1\)、接線の傾き \(-3\)、\(y\)切片 \(5\)

STEP4の例題9の続き（総仕上げ）

STEP4で調べた \(y=xe^{-x}\) について、極値をとる \(x\) の値、変曲点の \(x\) 座標、そして変曲点における接線の傾きを求めよ。

極値の\(x=\) 　変曲点の\(x=\) 　接線の傾き

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STEP4例題9より \(f'(x)=e^{-x}(1-x)\)、\(f''(x)=e^{-x}(x-2)\)。極値は \(f'(x)=0\) より \(x=1\)（極大）。変曲点は \(f''(x)=0\) より \(x=2\)。変曲点における接線の傾きは \(f'(2)=e^{-2}(1-2)=-e^{-2}=-\dfrac{1}{e^2}\)。極値の\(x=1\)、変曲点の\(x=2\)、変曲点での接線の傾き \(-\dfrac{1}{e^2}\)

曲線外の点から引く接線・接点をtとおく

点 \((0,0)\) から曲線 \(y=e^{2x}\) へ引いた接線の方程式を求めよ。接点の\(x\)座標と、接線の傾きを答えよ。

接点の\(x\)座標　傾き

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点 \((0,0)\) は曲線 \(y=e^{2x}\) 上にない（\(x=0\)のとき \(y=e^0=1\neq0\)）ので、まず接点を文字でおく。接点を \((t,\ e^{2t})\) とすると、\(y'=2e^{2x}\) より接線の傾きは \(2e^{2t}\)。接線の方程式は \[ y = 2e^{2t}(x-t) + e^{2t} = e^{2t}(2x-2t+1) \] この直線が \((0,0)\) を通るという条件を立てる。 \[ 0 = e^{2t}(0-2t+1) = e^{2t}(1-2t) \] \(e^{2t}\neq0\) だから \[ 1-2t=0 \quad\Rightarrow\quad t=\frac12 \] このとき接線の傾きは \(2e^{2\cdot\frac12}=2e\)。接線の方程式に代入すると \[ y = e^{2\cdot\frac12}\left(2x-2\cdot\frac12+1\right) = e(2x) = 2ex \] 接点の\(x\)座標 \(t=\dfrac12\)、接線は \(y=2ex\)（傾き\(2e\)）

曲線外の点から引く接線・対数関数

点 \((0,-1)\) から曲線 \(y=\ln x\) へ引いた接線の方程式を求めよ。接点の\(x\)座標と、接線の傾きを答えよ。

接点の\(x\)座標　傾き

解説を見る

点 \((0,-1)\) は曲線 \(y=\ln x\) の定義域 \(x>0\) の外にあるので、まず接点を文字でおく。接点を \((t,\ \ln t)\)（\(t>0\)）とすると、\(y'=\dfrac1x\) より接線の傾きは \(\dfrac1t\)。接線の方程式は \[ y = \frac1t(x-t)+\ln t = \frac{x}{t}-1+\ln t \] この直線が \((0,-1)\) を通るという条件を立てる。 \[ -1 = \frac{0}{t}-1+\ln t = -1+\ln t \] \[ \ln t = 0 \quad\Rightarrow\quad t=1 \] このとき接線の傾きは \(\dfrac11=1\)。接線の方程式に代入すると \[ y = \frac{x}{1}-1+\ln1 = x-1 \] 接点の\(x\)座標 \(t=1\)、接線は \(y=x-1\)（傾き\(1\)）

常に増加する条件（判別式）

\(f(x)=x^3+ax^2+ax+1\) がすべての実数 \(x\) で常に増加するように、定数 \(a\) の値の範囲を求めよ。

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関数が常に増加するとは、\(f'(x)\geq 0\) がすべての \(x\) で成り立つことと言い換えられる（\(f'(x)=0\) となる \(x\) が孤立した点であっても、その前後で \(f'(x)>0\) のままなら全体として単調に増加するため、等号を含めて考える）。 \(f'(x)=3x^2+2ax+a\)。 \(x^2\) の係数 \(3\) は正だから、このグラフ（放物線）は下に凸。すべての \(x\) で \(f'(x)\geq 0\) となるのは、この放物線が \(x\) 軸と共有点をもたないか、接するときである。すなわち判別式を \(D\) とすると \(D\leq 0\)。 \(\dfrac{D}{4}=a^2-3a=a(a-3)\)。 \(a(a-3)\leq 0\) を解くと \(0\leq a\leq 3\)。 \(0\leq a\leq 3\)

応用問題（プリント限定）

ここから先はPDF限定の腕試し。パラメータ条件・漸近線・区間内の最大最小の融合問題に挑戦しよう。

応1

極値をもつ条件（判別式）

\(f(x)=x^3+ax+1\) が極大値・極小値をともにもつような \(a\) の値の範囲を求めよ。範囲は \(a < K\) の形で表せるとして、\(K\) の値を求めよ。

\(K=\)

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\(f'(x)=3x^2+a\)。極大値・極小値をともにもつのは、\(f'(x)=0\) が異なる2つの実数解をもち、かつそこで符号が変わるとき。 \(f'(x)=3x^2+0\cdot x+a\) を\(x\)の2次方程式とみて、判別式 \(D\) を考える。 \[ D = 0^2-4\cdot3\cdot a = -12a \] 異なる2つの実数解をもつ条件は \(D>0\)。 \[ -12a > 0 \ \Leftrightarrow\ a < 0 \] （\(a\ge0\)のときは \(f'(x)=3x^2+a\ge0\)が常に成り立ち、\(f(x)\)は単調増加で極値をもたない。） \(a < 0\)（\(K=0\)）

応2

漸近線を求める（斜め＋縦）

\(y=\dfrac{x^2-x+1}{x-1}\) の漸近線をすべて求めよ。斜めの漸近線は \(y=mx+n\) の形、縦の漸近線は \(x=p\) の形で答えよ。

斜め：\(m=\) 　\(n=\) 　縦：\(p=\)

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分子を分母で割り算する。\(x^2-x+1\) を \(x-1\) で割ると、商 \(x\)、余り \(1\)（\((x-1)\cdot x=x^2-x\)、余り \((x^2-x+1)-(x^2-x)=1\)）。 \[ y = \frac{x^2-x+1}{x-1} = x + \frac{1}{x-1} \] \(x\to\pm\infty\) のとき \(\dfrac{1}{x-1}\to0\) なので \(y\) は直線 \(y=x\) に近づく（斜めの漸近線 \(m=1,\ n=0\)）。 \(x\to1\) のとき分母が \(0\) に近づき（分子は \(x=1\)で\(1\neq0\)なので約分されない）、縦の漸近線 \(x=1\) をもつ。斜めの漸近線 \(y=x\)、縦の漸近線 \(x=1\)

応3

最大最小の融合（端点と極値の比較・タイ）

\(f(x)=x^3-3x\)（\(-2\le x\le3\)）の最大値・最小値を求めよ。最小値をとる\(x\)が2つある場合はコンマ区切りで入力せよ。

最大値（\(x=\) ）　最小値（\(x=\) ）

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\(f'(x)=3x^2-3=3(x-1)(x+1)\)。区間内の候補点は \(x=-1,\ 1\)。極値の候補と区間の両端をすべて比較する。 \[ f(-2)=-8+6=-2, \quad f(-1)=-1+3=2, \quad f(1)=1-3=-2, \quad f(3)=27-9=18 \] 4つの値 \(-2,\ 2,\ -2,\ 18\) を比べると、最大は \(18\)（\(x=3\)、区間の右端）。最小は \(-2\) だが、これは \(x=-2\)（区間の左端）と \(x=1\)（極小点）の両方で同じ値になっている（見落としやすい落とし穴）。 \(x=3\) で最大値 \(18\)、\(x=-2,\ 1\) で最小値 \(-2\)

応4

極値をもつ条件（判別式・係数が複雑）

\(f(x)=x^3+3x^2+ax+1\) が極大値・極小値をともにもつような \(a\) の値の範囲を求めよ。範囲は \(a < K\) の形で表せるとして、\(K\) の値を求めよ。

\(K=\)

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\(f'(x)=3x^2+6x+a\)。極大値・極小値をともにもつのは、\(f'(x)=0\)（\(x\)の2次方程式）が異なる2つの実数解をもつとき。判別式は \[ D = 6^2-4\cdot3\cdot a = 36-12a \] \(D>0\) を解く。 \[ 36-12a>0 \ \Leftrightarrow\ 36>12a \ \Leftrightarrow\ a<3 \] \(a < 3\)（\(K=3\)）

応5

最大最小の融合（STEP4の関数の区間内最大最小）

\(f(x)=xe^{-x}\)（\(0\le x\le3\)）の最大値・最小値を求めよ。

最大値（\(x=\) ）　最小値（\(x=\) ）

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STEP4例題9より \(f'(x)=e^{-x}(1-x)\)。区間内の候補点は \(x=1\)（極大）。区間の両端も含めて比較する。 \[ f(0)=0, \qquad f(1)=\frac1e\approx0.368, \qquad f(3)=3e^{-3}=\frac{3}{e^3}\approx0.149 \] 3つの値を比べると、最大は \(x=1\) の \(\dfrac1e\)（極大値がそのまま区間内の最大値になる）。最小は \(x=0\) の \(0\)（区間の左端。右端\(x=3\)の値\(\dfrac{3}{e^3}\)より小さい）。 \(x=1\) で最大値 \(\dfrac1e\)、\(x=0\) で最小値 \(0\)

応6

共通接線・接点を2つ文字でおく

2つの曲線 \(y=x^2\) と \(y=x^2-4x\) の両方に接する直線（共通接線）を求めよ。傾きと\(y\)切片を答えよ。

傾き　\(y\)切片

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2つの曲線それぞれに接点を文字でおく。 \(y=x^2\) 上の点 \(x=a\) における接線：\(y'=2x\) より傾きは \(2a\)。 \[ y = 2a(x-a)+a^2 = 2ax-a^2 \] \(y=x^2-4x\) 上の点 \(x=b\) における接線：\(y'=2x-4\) より傾きは \(2b-4\)。 \[ y = (2b-4)(x-b)+(b^2-4b) = (2b-4)x -2b^2+4b+b^2-4b = (2b-4)x-b^2 \] この2直線が同じ直線になる（傾き・\(y\)切片がともに一致する）条件を立てる。傾きの一致：\(2a=2b-4\ \Rightarrow\ a=b-2\) …（式1） \(y\)切片の一致：\(-a^2=-b^2\ \Rightarrow\ a^2=b^2\ \Rightarrow\ a=b\) または \(a=-b\) …（式2）・\(a=b\) のとき、（式1）より \(b=b-2\) となり成り立たない（解なし）。・\(a=-b\) のとき、（式1）より \(-b=b-2\ \Rightarrow\ 2b=2\ \Rightarrow\ b=1\)。よって \(a=-1\)。 \(a=-1\) を接線の式に代入すると、傾きは \(2a=-2\)、 \[ y = 2(-1)x-(-1)^2 = -2x-1 \] （\(b=1\)を使っても \(y=(2\cdot1-4)x-1^2=-2x-1\) となり一致する。）共通接線は \(y=-2x-1\)（傾き\(-2\)、\(y\)切片\(-1\)）

記述チャレンジ

答えだけでなく「なぜそうなるか」を文章と式で書く練習。模範解答と見比べて、書き方の型を身につけよう。

記1

極値や変曲点を求めるとき、なぜ \(f'(x)=0\) や \(f''(x)=0\) を解くだけでは不十分で、その前後で符号が実際に変わることまで確認する必要があるのか。具体例を挙げながら説明せよ。

模範解答を見る

具体的な関数で確かめてみよう。\(f(x)=x^3\) とすると \(f'(x)=3x^2\) なので \(f'(0)=0\) となる。しかし \(x=0\) の前後で \(f'(x)\) の符号を調べると、\(x<0\) でも \(x>0\) でも \(f'(x)=3x^2>0\) のままで、符号はどちらもプラスのまま変化しない。実際に \(y=x^3\) のグラフを見ても、\(x=0\) の左右でずっと増加し続けていて、山や谷の形にはなっていない。つまり \(f'(x)=0\) になったからといって、それだけでは極値だと決めつけることはできない。同じことが \(f''(x)=0\) についても言える。今度は \(f(x)=x^4\) で確かめてみよう。\(f''(x)=12x^2\) なので \(f''(0)=0\) となる。しかし \(x=0\) の前後で \(f''(x)\) の符号を調べると、\(x<0\) でも \(x>0\) でも \(f''(x)=12x^2>0\)（下に凸）のままで、符号はどちらもプラスのまま変化しない。つまり \(x=0\) の前後で凹凸は入れ替わっておらず、\(x=0\) は変曲点ではない。このように \(f''(x)=0\) が成り立っても、それだけでは変曲点だと決めつけることはできない。このように、「\(=0\) になる点」はあくまで極値・変曲点の候補にすぎない。極値は \(f'(x)\) の符号がその点の前後で本当にプラスからマイナス、またはマイナスからプラスへ入れ替わったときにだけ確定し、変曲点も \(f''(x)\) の符号が本当に入れ替わったときにだけ確定する。前後の符号を実際に確認する手順を省略すると、極値でも変曲点でもない点を誤って答えにしてしまう。 \(f'(x)=0\)・\(f''(x)=0\)はあくまで候補にすぎず、極値・変曲点と確定させるには前後で符号が実際に反転することの確認が必須である（例: \(f(x)=x^3\)は\(f'(0)=0\)でも極値ではなく、\(f(x)=x^4\)は\(f''(0)=0\)でも変曲点ではない）。

記2

\(f(x)=x^3-3x^2+2\) について、増減・凹凸を調べ、極値と変曲点を求めよ。

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\[ f'(x) = 3x^2-6x = 3x(x-2), \qquad f''(x) = 6x-6 = 6(x-1) \] \(f'(x)=0\) より \(x=0,\ 2\)。\(f''(x)=0\) より \(x=1\)。増減・凹凸表をつくる。

\(x\)	\(\cdots\)	0	\(\cdots\)	1	\(\cdots\)	2	\(\cdots\)
\(f'(x)\)	＋	0	−	−	−	0	＋
\(f''(x)\)	−	−	−	0	＋	＋	＋
\(f(x)\)	↗	極大	↘	変曲点	↘	極小	↗

\(f'(x)\) の符号は \(x=0\) で \(+\to-\)（極大）、\(x=2\) で \(-\to+\)（極小）と実際に変化しているので、どちらも極値として確定する。\(f''(x)\) の符号は \(x=1\) で \(-\to+\) と実際に変化しているので、変曲点として確定する。 \(f(0)=2\)、\(f(2)=8-12+2=-2\)、\(f(1)=1-3+2=0\)。 \(x=0\)で極大値\(2\)、\(x=2\)で極小値\(-2\)、変曲点\((1,\ 0)\)