接線・増減・グラフ

解説＋ドリル全16問・自動採点つき

問題プリントPDF 解答つきPDF
STEP 1

接線・法線の方程式

曲線 \(y=f(x)\) 上の点 \((a,\ f(a))\) における接線の傾きは、微分係数 \(f'(a)\) そのもの。この事実さえ押さえれば、指数関数・対数関数が混ざっても接線の求め方は数IIまでと同じ手順でいける。

接線の方程式
\[ y = f'(a)(x-a) + f(a) \]

例題1　曲線 \(y=e^x\) 上の点 \((1,\ e)\) における接線の方程式を求めよ。

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\(f(x)=e^x\)、\(f'(x)=e^x\) より \(f'(1)=e\)。\(f(1)=e\)。 接線の公式に代入する。 \[ y = e(x-1) + e = ex - e + e \] \(y = ex\)（原点を通る直線になる）

例題2　曲線 \(y=\ln x\) 上の点 \((e,\ 1)\) における接線の方程式を求めよ。

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\(f(x)=\ln x\)、\(f'(x)=\dfrac1x\) より \(f'(e)=\dfrac1e\)。\(f(e)=\ln e=1\)。 接線の公式に代入する。 \[ y = \frac1e(x-e) + 1 = \frac{x}{e} - 1 + 1 \] \(y = \dfrac{x}{e}\)（こちらも原点を通る）

接線と直角に交わる直線を法線という。接線の傾きが \(f'(a)\)（かつ \(f'(a)\neq0\)）のとき、法線の傾きはその逆数の符号違い \(-\dfrac{1}{f'(a)}\) になる（2直線が直交する条件：傾きの積が \(-1\)）。

法線の方程式（\(f'(a)\neq0\) のとき）
\[ y = -\frac{1}{f'(a)}(x-a) + f(a) \] \(f'(a)=0\) のときは、法線は \(x=a\)（\(y\)軸に平行な縦線）になる。

例題3　曲線 \(y=e^x\) 上の点 \((0,\ 1)\) における法線の方程式を求めよ。

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\(f'(x)=e^x\) より \(f'(0)=e^0=1\)。接線の傾きは1なので、法線の傾きは \(-\dfrac11=-1\)。 法線の公式（または直接 \(y=-1(x-0)+1\)）に代入する。 \(y = -x+1\)
注意　接線・法線どちらも「まず \(f'(a)\) を求める」がスタート地点。指数・対数関数では \(f'(a)\) の値そのものに \(e\) が残ることが多いので、無理に小数にせず \(e\) や \(\dfrac1e\) のまま扱ってよい。
STEP 2

増減と極値：\(f'(x)\) の符号を追う

\(f'(x) > 0\) の区間では \(f(x)\) は増加、\(f'(x) < 0\) の区間では減少。この符号がプラスからマイナスに変わる点で極大値、マイナスからプラスに変わる点で極小値をとる（あわせて極値）。数IIの3次関数と同じ考え方が、指数・対数関数にもそのまま拡張できる。

手順1　\(f'(x)\) を求める
↓
手順2　\(f'(x)=0\) となる \(x\)（候補点）を求める
↓
手順3　候補点の前後で \(f'(x)\) の符号を調べ、増減表にまとめる
↓
手順4　符号が \(+\to-\) なら極大、\(-\to+\) なら極小

例題4　\(f(x) = -x^3+3x^2\) の増減を調べ、極値を求めよ。

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\[ f'(x) = -3x^2+6x = -3x(x-2) \] \(f'(x)=0\) より \(x=0,\ 2\)。増減表は次のようになる。
\(x\)\(\cdots\)0\(\cdots\)2\(\cdots\)
\(f'(x)\)−0＋0−
\(f(x)\)↘極小↗極大↘
\(f(0)=0\)、\(f(2)=-8+12=4\)。 \(x=0\) で極小値 \(0\)、\(x=2\) で極大値 \(4\)

もう1つ、定義域が \(x\neq0\) に限られる例も見ておこう。分母がある関数は定義域の確認が最初の一歩。

例題5　\(f(x) = x + \dfrac1x\)（\(x\neq0\)）の増減を調べ、極値を求めよ。

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\[ f'(x) = 1 - \frac{1}{x^2} = \frac{x^2-1}{x^2} \] 分母 \(x^2\) は常に正なので、符号は分子 \(x^2-1=(x-1)(x+1)\) だけで決まる。定義域 \(x\neq0\) に注意して増減表をつくる。
\(x\)\(\cdots\)−1\(\cdots\)0\(\cdots\)1\(\cdots\)
\(f'(x)\)＋0−定義域外−0＋
\(f(x)\)↗極大↘/↘極小↗
\(f(-1)=-1-1=-2\)、\(f(1)=1+1=2\)。 \(x=-1\) で極大値 \(-2\)、\(x=1\) で極小値 \(2\)
注意　\(x=0\) は定義域に入らないので、増減表の\(x=0\)の欄は「候補」ではなく「通行止め」。極値の候補は必ず定義域の中にある \(f'(x)=0\) の解だけを拾う。
STEP 3

凹凸と変曲点：\(f''(x)\) の符号を追う

\(f''(x) > 0\) の区間ではグラフは下に凸（お椀型、谷になびく）、\(f''(x) < 0\) の区間では上に凸（山型）。凹凸が入れ替わる境目の点を変曲点という。増減表に \(f''(x)\) の行を1本足すだけで「増減・凹凸表」になり、グラフの概形がぐっと正確になる。

凹凸の判定
\(f''(x) > 0\) → 下に凸（\(\cup\)型）　\(f''(x) < 0\) → 上に凸（\(\cap\)型）　\(f''(x)=0\) が境目なら変曲点の候補

例題6　例題4の \(f(x) = -x^3+3x^2\) の凹凸を調べ、変曲点を求めよ。

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\[ f'(x) = -3x^2+6x, \qquad f''(x) = -6x+6 = -6(x-1) \] \(f''(x)=0\) より \(x=1\)。\(x<1\) で \(f''(x)>0\)（下に凸）、\(x>1\) で \(f''(x)<0\)（上に凸）。 \(f(1) = -1+3 = 2\)。 変曲点 \((1,\ 2)\)（極小 \((0,0)\) と極大 \((2,4)\) のちょうど真ん中になっている）

上のグラフ（例題4の図）を見返すと、赤い破線 \(x=1\) の左側は谷になびく形（下に凸）、右側は山になびく形（上に凸）になっている様子が確認できる。次は指数関数がからむ例で、増減・凹凸表を一気に作ってみよう。

例題7　\(f(x) = xe^{-x}\) の増減・凹凸を調べ、極値と変曲点を求めよ。

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積の微分で \(f'(x)\) を求める。 \[ f'(x) = e^{-x} + x\cdot(-e^{-x}) = e^{-x}(1-x) \] もう一度積の微分で \(f''(x)\) を求める。 \[ f''(x) = -e^{-x}(1-x) + e^{-x}\cdot(-1) = e^{-x}\{-(1-x)-1\} = e^{-x}(x-2) \] \(e^{-x}\) は常に正なので、符号は \((1-x)\)・\((x-2)\) だけで決まる。\(f'(x)=0\) は \(x=1\)、\(f''(x)=0\) は \(x=2\)。
\(x\)\(\cdots\)1\(\cdots\)2\(\cdots\)
\(f'(x)\)＋0−−−
\(f''(x)\)−−−0＋
\(f(x)\)↗極大↘変曲点↘
\(f(1)=1\cdot e^{-1}=\dfrac1e\)、\(f(2)=2e^{-2}=\dfrac{2}{e^2}\)。 \(x=1\) で極大値 \(\dfrac1e\)（極小値はなし）、変曲点 \(\left(2,\ \dfrac{2}{e^2}\right)\)
注意　極値は「\(f'(x)=0\) かつ符号が変わる」点だけ。変曲点は「\(f''(x)=0\) かつ凹凸が入れ替わる」点だけ。どちらも「\(=0\) になった」だけで即断せず、必ず前後の符号を確認しよう。
STEP 4

グラフの概形（漸近線を含む本格的な曲線のスケッチ）

増減表・凹凸表・漸近線の3つがそろえば、複雑な関数のグラフでも手順どおりに概形が描ける。ここでは \(y=x+\dfrac1x\) と \(y=xe^{-x}\) の2本を、最初から最後まで通しでスケッチしてみよう。

手順1　定義域・対称性（偶関数・奇関数）を確認する
↓
手順2　\(f'(x)\) から増減表、\(f''(x)\) から凹凸をつくる（STEP2・STEP3の作業）
↓
手順3　漸近線（縦・横・斜め）を調べる
↓
手順4　増減表の矢印どおりに、漸近線に寄り添わせながら点をなめらかにつなぐ

\(y = x + \dfrac1x\) の概形

例題8　\(y=x+\dfrac1x\) の漸近線を求め、グラフの概形をまとめよ。

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定義域・対称性：\(x\neq0\)。\(f(-x)=-x-\dfrac1x=-f(x)\) なので奇関数（原点対称）。 漸近線：\(x\to0^+\) のとき \(\dfrac1x\to+\infty\) なので \(y\to+\infty\)、\(x\to0^-\) のとき \(y\to-\infty\)。よって縦の漸近線 \(x=0\)。 また \(x\to\pm\infty\) のとき \(\dfrac1x\to0\) なので \(y\) は直線 \(y=x\) にかぎりなく近づく。よって斜めの漸近線 \(y=x\)。 増減・凹凸（STEP2例題5・STEP3の考え方より）：\(x<-1\) で増加、\(-1<x<0\) と \(0<x<1\) で減少、\(x>1\) で増加。極大 \((-1,-2)\)・極小 \((1,2)\)。 \(f''(x)=\dfrac{2}{x^3}\) より \(x>0\) で下に凸、\(x<0\) で上に凸（\(x=0\)は定義域外なので変曲点にはならない）。 概形：原点対称の2本の枝。右側の枝は \(x\to0^+\) で上に飛び出し、いったん下がって \(x=1\) で極小 \(2\) をとり、そこから直線 \(y=x\) に沿うように右上へ増えていく。左側の枝はこれを原点対称にひっくり返した形。 縦の漸近線 \(x=0\)、斜めの漸近線 \(y=x\)。極大 \((-1,-2)\)、極小 \((1,2)\) をもつ、原点対称な2本の曲線

\(y = xe^{-x}\) の概形

例題9　\(y=xe^{-x}\) の漸近線を求め、グラフの概形をまとめよ。

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定義域・対称性：実数全体。偶関数でも奇関数でもない。 漸近線：\(x\to+\infty\) のとき、\(e^{-x}\) が \(0\) に近づく勢いが \(x\) の増える勢いに勝るので \(xe^{-x}\to0\)。よって横の漸近線 \(y=0\)（\(x\to+\infty\) 側のみ）。 \(x\to-\infty\) のときは \(x\to-\infty\)、\(e^{-x}\to+\infty\) がどちらも効いて \(xe^{-x}\to-\infty\)（漸近線なし、そのまま下に落ちていく）。 増減・凹凸（STEP3例題7より）：\(x<1\) で増加、\(x>1\) で減少。極大 \(\left(1,\dfrac1e\right)\)（極小値なし）。 \(x<2\) で上に凸、\(x>2\) で下に凸。変曲点 \(\left(2,\dfrac{2}{e^2}\right)\)。 概形：\(x\to-\infty\) から急激に下がってきた曲線が原点を通り、\(x=1\) で極大 \(\dfrac1e\) をとったあと、\(x=2\)（変曲点）を境に凹凸を変えながら、\(x\)軸（\(y=0\)）に貼りつくようにゆっくり近づいていく。 横の漸近線 \(y=0\)（\(x\to+\infty\)側）。極大 \(\left(1,\dfrac1e\right)\)、変曲点 \(\left(2,\dfrac{2}{e^2}\right)\) をもつ曲線
注意　漸近線には3種類ある。分母が0になる「縦」、\(x\to\pm\infty\) で一定値に近づく「横」、\(y\)からある1次式を引いた差が0に近づく「斜め」。どれになるかは \(x\to\pm\infty\) や定義域の端での挙動を実際に調べて判断する（丸暗記でなく毎回確認する癖をつけよう）。
練習問題（全16問）

答えを入力して「採点」を押すと○×が出るぞ。分数は「1/2」のように入力。
わからないときは「解説を見る」で解き方を確認しよう。

基本（1〜6）
1
接線・べき関数

曲線 \(y=x^3\) 上の点 \((1,\ 1)\) における接線の傾きと\(y\)切片を求めよ。

傾き 　\(y\)切片
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\(f'(x)=3x^2\) より \(f'(1)=3\)。接線は \(y=3(x-1)+1=3x-2\)。 傾き \(3\)、\(y\)切片 \(-2\)
2
接線・指数関数

曲線 \(y=e^x\) 上の点 \((0,\ 1)\) における接線の傾きと\(y\)切片を求めよ。

傾き 　\(y\)切片
解説を見る
\(f'(x)=e^x\) より \(f'(0)=1\)。接線は \(y=1(x-0)+1=x+1\)。 傾き \(1\)、\(y\)切片 \(1\)
3
接線・対数関数

曲線 \(y=\ln x\) 上の点 \((1,\ 0)\) における接線の傾きと\(y\)切片を求めよ。

傾き 　\(y\)切片
解説を見る
\(f'(x)=\dfrac1x\) より \(f'(1)=1\)。接線は \(y=1(x-1)+0=x-1\)。 傾き \(1\)、\(y\)切片 \(-1\)
4
極値・基本の3次関数

\(y=x^3-3x\) の極値を求めよ。

極大値 （\(x=\) ）　極小値 （\(x=\) ）
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\(f'(x)=3x^2-3=3(x-1)(x+1)\)。\(x<-1\)で増加、\(-1<x<1\)で減少、\(x>1\)で増加。 \(f(-1)=-1+3=2\)、\(f(1)=1-3=-2\)。 \(x=-1\) で極大値 \(2\)、\(x=1\) で極小値 \(-2\)
5
極値・3次関数（別パターン）

\(y=x^3-12x\) の極値を求めよ。

極大値 （\(x=\) ）　極小値 （\(x=\) ）
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\(f'(x)=3x^2-12=3(x-2)(x+2)\)。\(x<-2\)で増加、\(-2<x<2\)で減少、\(x>2\)で増加。 \(f(-2)=-8+24=16\)、\(f(2)=8-24=-16\)。 \(x=-2\) で極大値 \(16\)、\(x=2\) で極小値 \(-16\)
6
変曲点・基本

\(y=x^3-3x^2+2\) の変曲点の座標を求めよ。

変曲点 \((\) \(,\) \()\)
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\(f'(x)=3x^2-6x\)、\(f''(x)=6x-6=6(x-1)\)。\(f''(x)=0\) より \(x=1\)。 \(x<1\)で下に凸、\(x>1\)で上に凸なので符号が変わり、確かに変曲点。 \(f(1)=1-3+2=0\)。 変曲点 \((1,\ 0)\)
標準（7〜12）　※公式は自分で判定
7

曲線 \(y=xe^x\) 上の点 \((0,\ 0)\) における接線の傾きと\(y\)切片を求めよ。

傾き 　\(y\)切片
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積の微分より \(f'(x)=e^x+xe^x=e^x(1+x)\)。\(f'(0)=1\cdot1=1\)。接線は \(y=1(x-0)+0=x\)。 傾き \(1\)、\(y\)切片 \(0\)
8

曲線 \(y=\dfrac{\ln x}{x}\) 上の点 \((e,\ \frac1e)\) における接線の傾きと\(y\)切片を求めよ。

傾き 　\(y\)切片
解説を見る
商の微分より \[ f'(x) = \frac{\frac1x\cdot x - \ln x\cdot1}{x^2} = \frac{1-\ln x}{x^2} \] \(f'(e) = \dfrac{1-\ln e}{e^2} = \dfrac{1-1}{e^2}=0\)。傾きが\(0\)なので接線は水平な直線 \(y=\dfrac1e\)。 傾き \(0\)、\(y\)切片 \(\dfrac1e\)
9

\(y=(x-1)e^x\) の極値を求めよ。

極小値 （\(x=\) ）
解説を見る
積の微分より \(f'(x)=e^x+(x-1)e^x=e^x\cdot x\)。\(e^x>0\)なので符号は\(x\)だけで決まる。 \(x<0\)で減少、\(x>0\)で増加（極大値は存在しない）。 \(f(0)=(0-1)\cdot1=-1\)。 \(x=0\) で極小値 \(-1\)（極大値なし）
10

\(y=x-\ln x\)（\(x>0\)）の極値を求めよ。

極小値 （\(x=\) ）
解説を見る
\(f'(x)=1-\dfrac1x=\dfrac{x-1}{x}\)（\(x>0\)なので分母は常に正）。 \(0<x<1\)で減少、\(x>1\)で増加。 \(f(1)=1-\ln1=1-0=1\)。 \(x=1\) で極小値 \(1\)
11

\(y=(x-2)e^x\) の変曲点の座標を求めよ。

変曲点 \((\) \(,\) \()\)
解説を見る
\(f'(x)=e^x+(x-2)e^x=e^x(x-1)\)。もう一度微分すると \[ f''(x) = e^x(x-1)+e^x\cdot1 = e^x\cdot x \] \(f''(x)=0\) より \(x=0\)（\(e^x>0\)なので符号は\(x\)だけで決まり、確かに符号が変わる）。 \(f(0)=(0-2)\cdot1=-2\)。 変曲点 \((0,\ -2)\)
12

\(y=x^3-6x^2+9x\) の変曲点の座標を求めよ。

変曲点 \((\) \(,\) \()\)
解説を見る
\(f'(x)=3x^2-12x+9\)、\(f''(x)=6x-12=6(x-2)\)。\(f''(x)=0\) より \(x=2\)。 \(x<2\)で上に凸、\(x>2\)で下に凸なので符号が変わり、確かに変曲点。 \(f(2)=8-24+18=2\)。 変曲点 \((2,\ 2)\)
挑戦（13〜16）
13
極値・積の微分＋e⁻ˣ

\(y=x^2e^{-x}\) の極値を求めよ。極大値は \(\dfrac{k}{e^2}\) の形で表せるとして、\(k\) の値とそのときの \(x\)、また極小値とそのときの \(x\) を求めよ。

極大値の\(k=\) （\(x=\) ）　極小値 （\(x=\) ）
解説を見る
積の微分より \[ f'(x) = 2xe^{-x}-x^2e^{-x} = e^{-x}(2x-x^2) = e^{-x}x(2-x) \] \(e^{-x}>0\)なので符号は \(x(2-x)\)（上に凸な放物線型、\(0\)と\(2\)の間だけ正）で決まる。 \(x<0\)で減少、\(0<x<2\)で増加、\(x>2\)で減少。 \(f(0)=0\)（極小）、\(f(2)=4e^{-2}=\dfrac{4}{e^2}\)（極大）。 極大値 \(\dfrac{4}{e^2}\)（\(x=2\)、つまり\(k=4\)）、極小値 \(0\)（\(x=0\)）
14
変曲点が2つある・根号を含む解

\(y=x^2e^{-x}\) の変曲点の\(x\)座標をすべて求めよ（2つある）。

\(x=\)
解説を見る
問題13より \(f'(x)=e^{-x}(2x-x^2)\)。もう一度微分する。 \[ f''(x) = -e^{-x}(2x-x^2) + e^{-x}(2-2x) = e^{-x}\{-(2x-x^2)+(2-2x)\} = e^{-x}(x^2-4x+2) \] \(e^{-x}>0\)なので \(x^2-4x+2=0\) を解けばよい。解の公式より \[ x = \frac{4\pm\sqrt{16-8}}{2} = \frac{4\pm2\sqrt2}{2} = 2\pm\sqrt2 \] この2次式は上に凸ではなく下に凸な放物線（\(x^2\)の係数が正）なので、2つの解のそれぞれで符号がちゃんと変わり、両方とも変曲点になる。 \(x=2-\sqrt2,\ 2+\sqrt2\)
15
変曲点と接線の複合

\(y=x^3-3x^2+4\) の変曲点における接線の方程式を求めよ。変曲点の\(x\)座標、接線の傾き、\(y\)切片を答えよ。

変曲点 \(x=\) 　傾き 　\(y\)切片
解説を見る
\(f'(x)=3x^2-6x\)、\(f''(x)=6x-6=6(x-1)\)。\(f''(x)=0\) より \(x=1\)、符号も変わるので変曲点。 \(f(1)=1-3+4=2\)。変曲点における接線の傾きは \(f'(1)=3-6=-3\)。 接線の方程式は \(y=-3(x-1)+2=-3x+3+2=-3x+5\)。 変曲点 \(x=1\)、接線の傾き \(-3\)、\(y\)切片 \(5\)
16
STEP4の例題9の続き（総仕上げ）

STEP4で調べた \(y=xe^{-x}\) について、極値をとる \(x\) の値、変曲点の \(x\) 座標、そして変曲点における接線の傾きを求めよ。

極値の\(x=\) 　変曲点の\(x=\) 　接線の傾き
解説を見る
STEP4例題9より \(f'(x)=e^{-x}(1-x)\)、\(f''(x)=e^{-x}(x-2)\)。 極値は \(f'(x)=0\) より \(x=1\)（極大）。変曲点は \(f''(x)=0\) より \(x=2\)。 変曲点における接線の傾きは \(f'(2)=e^{-2}(1-2)=-e^{-2}=-\dfrac{1}{e^2}\)。 極値の\(x=1\)、変曲点の\(x=2\)、変曲点での接線の傾き \(-\dfrac{1}{e^2}\)
応用問題（プリント限定）

ここから先はPDF限定の腕試し。パラメータ条件・漸近線・区間内の最大最小の融合問題に挑戦しよう。

応1
極値をもつ条件（判別式）

\(f(x)=x^3+ax+1\) が極大値・極小値をともにもつような \(a\) の値の範囲を求めよ。範囲は \(a < K\) の形で表せるとして、\(K\) の値を求めよ。

\(K=\)
解説を見る
\(f'(x)=3x^2+a\)。極大値・極小値をともにもつのは、\(f'(x)=0\) が異なる2つの実数解をもち、かつそこで符号が変わるとき。 \(f'(x)=3x^2+0\cdot x+a\) を\(x\)の2次方程式とみて、判別式 \(D\) を考える。 \[ D = 0^2-4\cdot3\cdot a = -12a \] 異なる2つの実数解をもつ条件は \(D>0\)。 \[ -12a > 0 \ \Leftrightarrow\ a < 0 \] （\(a\ge0\)のときは \(f'(x)=3x^2+a\ge0\)が常に成り立ち、\(f(x)\)は単調増加で極値をもたない。） \(a < 0\)（\(K=0\)）
応2
漸近線を求める（斜め＋縦）

\(y=\dfrac{x^2-x+1}{x-1}\) の漸近線をすべて求めよ。斜めの漸近線は \(y=mx+n\) の形、縦の漸近線は \(x=p\) の形で答えよ。

斜め：\(m=\) 　\(n=\) 　縦：\(p=\)
解説を見る
分子を分母で割り算する。\(x^2-x+1\) を \(x-1\) で割ると、商 \(x\)、余り \(1\)（\((x-1)\cdot x=x^2-x\)、余り \((x^2-x+1)-(x^2-x)=1\)）。 \[ y = \frac{x^2-x+1}{x-1} = x + \frac{1}{x-1} \] \(x\to\pm\infty\) のとき \(\dfrac{1}{x-1}\to0\) なので \(y\) は直線 \(y=x\) に近づく（斜めの漸近線 \(m=1,\ n=0\)）。 \(x\to1\) のとき分母が \(0\) に近づき（分子は \(x=1\)で\(1\neq0\)なので約分されない）、縦の漸近線 \(x=1\) をもつ。 斜めの漸近線 \(y=x\)、縦の漸近線 \(x=1\)
応3
最大最小の融合（端点と極値の比較・タイ）

\(f(x)=x^3-3x\)（\(-2\le x\le3\)）の最大値・最小値を求めよ。最小値をとる\(x\)が2つある場合はコンマ区切りで入力せよ。

最大値 （\(x=\) ）　最小値 （\(x=\) ）
解説を見る
\(f'(x)=3x^2-3=3(x-1)(x+1)\)。区間内の候補点は \(x=-1,\ 1\)。極値の候補と区間の両端をすべて比較する。 \[ f(-2)=-8+6=-2, \quad f(-1)=-1+3=2, \quad f(1)=1-3=-2, \quad f(3)=27-9=18 \] 4つの値 \(-2,\ 2,\ -2,\ 18\) を比べると、最大は \(18\)（\(x=3\)、区間の右端）。 最小は \(-2\) だが、これは \(x=-2\)（区間の左端）と \(x=1\)（極小点）の両方で同じ値になっている（見落としやすい落とし穴）。 \(x=3\) で最大値 \(18\)、\(x=-2,\ 1\) で最小値 \(-2\)
応4
極値をもつ条件（判別式・係数が複雑）

\(f(x)=x^3+3x^2+ax+1\) が極大値・極小値をともにもつような \(a\) の値の範囲を求めよ。範囲は \(a < K\) の形で表せるとして、\(K\) の値を求めよ。

\(K=\)
解説を見る
\(f'(x)=3x^2+6x+a\)。極大値・極小値をともにもつのは、\(f'(x)=0\)（\(x\)の2次方程式）が異なる2つの実数解をもつとき。 判別式は \[ D = 6^2-4\cdot3\cdot a = 36-12a \] \(D>0\) を解く。 \[ 36-12a>0 \ \Leftrightarrow\ 36>12a \ \Leftrightarrow\ a<3 \] \(a < 3\)（\(K=3\)）
応5
最大最小の融合（STEP4の関数の区間内最大最小）

\(f(x)=xe^{-x}\)（\(0\le x\le3\)）の最大値・最小値を求めよ。

最大値 （\(x=\) ）　最小値 （\(x=\) ）
解説を見る
STEP4例題9より \(f'(x)=e^{-x}(1-x)\)。区間内の候補点は \(x=1\)（極大）。区間の両端も含めて比較する。 \[ f(0)=0, \qquad f(1)=\frac1e\approx0.368, \qquad f(3)=3e^{-3}=\frac{3}{e^3}\approx0.149 \] 3つの値を比べると、最大は \(x=1\) の \(\dfrac1e\)（極大値がそのまま区間内の最大値になる）。 最小は \(x=0\) の \(0\)（区間の左端。右端\(x=3\)の値\(\dfrac{3}{e^3}\)より小さい）。 \(x=1\) で最大値 \(\dfrac1e\)、\(x=0\) で最小値 \(0\)