STEP 1
三角関数の導関数：\( (\sin x)' = \cos x \)
前ページまでは多項式や分数式の微分を扱ってきたが、ここからは三角関数・対数関数・指数関数といった「いろいろな関数」の微分に進む。まずは三角関数から。カギになるのは数III「関数の極限」で学んだ \(\displaystyle\lim_{x\to0}\frac{\sin x}{x}=1\) という公式だ。
三角関数の導関数公式
\[ (\sin x)' = \cos x, \qquad (\cos x)' = -\sin x, \qquad (\tan x)' = \frac{1}{\cos^2 x} \]
\((\sin x)'=\cos x\) は微分の定義（極限）と和積公式、そして \(\displaystyle\lim_{x\to0}\frac{\sin x}{x}=1\) から導ける。導出の流れを確認しておこう。
公式の導出を見る
微分の定義より
\[ (\sin x)' = \lim_{h \to 0} \frac{\sin(x+h) - \sin x}{h} \]
和積公式 \(\sin A - \sin B = 2\cos\dfrac{A+B}{2}\sin\dfrac{A-B}{2}\) を使うと（\(A=x+h,\ B=x\)）
\[ \sin(x+h) - \sin x = 2\cos\!\left(x+\frac{h}{2}\right)\sin\frac{h}{2} \]
これを代入すると
\[ (\sin x)' = \lim_{h \to 0} \frac{2\cos\left(x+\frac{h}{2}\right)\sin\frac{h}{2}}{h} = \lim_{h \to 0} \cos\!\left(x+\frac{h}{2}\right)\cdot\frac{\sin\frac{h}{2}}{\frac{h}{2}} \]
\(h\to0\) のとき \(\cos\left(x+\frac{h}{2}\right)\to\cos x\)（\(\cos\) は連続関数）、また \(\dfrac{h}{2}\to0\) なので \(\dfrac{\sin\frac{h}{2}}{\frac{h}{2}}\to1\)（既習の極限公式）。
\( (\sin x)' = \cos x \cdot 1 = \cos x \)
\(\cos x = \sin\left(\dfrac{\pi}{2}-x\right)\) という関係とチェーンルールを使えば \((\cos x)'=-\sin x\) も同様に導ける。\((\tan x)'\) は \(\tan x=\dfrac{\sin x}{\cos x}\) に商の微分公式を使えば得られる（\(\cos^2x+\sin^2x=1\) を使って整理する）。
例題1 \(y=\sin x\) の \(x=\dfrac{\pi}{3}\) における微分係数（接線の傾き）を求めよ。
解答を見る
\(y'=\cos x\) なので \(x=\dfrac{\pi}{3}\) を代入する。
\[ y'\!\left(\frac{\pi}{3}\right) = \cos\frac{\pi}{3} \]
\(y'\!\left(\dfrac{\pi}{3}\right) = \dfrac{1}{2}\)
例題2 \(y=\cos(2x)\) を微分せよ。（チェーンルールとの組み合わせ）
解答を見る
\(u=2x\) とおくと \(y=\cos u\)。
\[ \frac{dy}{du} = -\sin u, \qquad \frac{du}{dx} = 2 \]
チェーンルールより
\[ y' = -\sin u \cdot 2 = -2\sin(2x) \]
\(y' = -2\sin(2x)\)
STEP 2
対数関数の導関数と対数微分法
自然対数 \(\ln x\)（\(\log_e x\) のこと）の導関数はとてもシンプルな形になる。さらに、この性質を利用した「対数微分法」というテクニックを使うと、複雑な積・商・累乗が混ざった関数も一気に微分できる。
対数関数の導関数公式
\[ (\ln x)' = \frac{1}{x} \quad (x>0) \]
この公式は「逆関数の微分」の考え方で導ける。\(y=\ln x\) とおくと \(x=e^y\)。両辺を \(x\) で微分する（右辺は \(y\) が \(x\) の関数なのでチェーンルール）と \(1 = e^y\cdot y'\)。よって \(y'=\dfrac{1}{e^y}=\dfrac{1}{x}\)。この「両辺を \(x\) で微分する」考え方は、この後の STEP 4（陰関数の微分）でも中心的に使う。
例題3 \(y=\ln x\) の \(x=2\) における微分係数を求めよ。
解答を見る
\(y'=\dfrac{1}{x}\) なので \(x=2\) を代入する。
\(y'(2) = \dfrac{1}{2}\)
ここからは「対数微分法」。\(y=f(x)^{g(x)}\) の形や、たくさんの因数の積・商でできた関数は、両辺の対数をとってから微分すると計算がぐっと楽になる。
手順1 両辺の自然対数をとる（\(\ln y = \ldots\)）。積は和・商は差・累乗は係数に変わる
↓
手順2 両辺を \(x\) で微分する（左辺は \((\ln y)'=\dfrac{y'}{y}\) とチェーンルールで扱う）
↓
手順3 \(y'=y\times(\text{右辺})\) の形にし、\(y\) を元の式にもどす
例題4 \(y=(x+2)^3(x-1)^2\) を対数微分法で微分せよ。
解答を見る
両辺の自然対数をとる。
\[ \ln y = 3\ln(x+2) + 2\ln(x-1) \]
両辺を \(x\) で微分する（左辺は \(\dfrac{y'}{y}\)）。
\[ \frac{y'}{y} = \frac{3}{x+2} + \frac{2}{x-1} \]
\(y'\) について解いて \(y\) をもとの式にもどす。
\[ y' = y\left(\frac{3}{x+2}+\frac{2}{x-1}\right) = (x+2)^3(x-1)^2\left(\frac{3}{x+2}+\frac{2}{x-1}\right) \]
分母をそろえて \((x+2)^2(x-1)\) でくくると
\[ y' = (x+2)^2(x-1)\bigl\{3(x-1)+2(x+2)\bigr\} = (x+2)^2(x-1)(5x+1) \]
\(y' = (x+2)^2(x-1)(5x+1)\)
STEP 3
指数関数の導関数：\(e^x\) の特別さ
指数関数 \(a^x\)（\(a>0,\ a\neq1\)）の導関数は \(a^x = e^{x\ln a}\) と書きかえてチェーンルールを使えば求まる。ところが底が \(e\) のときだけ、とても特別なことが起こる。
指数関数の導関数公式
\[ (a^x)' = a^x\ln a \qquad \text{特に} \qquad (e^x)' = e^x \]
公式の導出を見る
\(a^x = e^{x\ln a}\)（両辺の自然対数をとれば \(\ln(a^x)=x\ln a\) となり一致することから確認できる）と書きかえる。
\(u=x\ln a\) とおくと \(y=e^u\)。チェーンルールより
\[ y' = e^u \cdot \frac{du}{dx} = e^{x\ln a}\cdot\ln a = a^x\ln a \]
特に \(a=e\) のときは \(\ln e=1\) なので
\((e^x)' = e^x\cdot 1 = e^x\)（微分しても形が変わらない、唯一の関数）
この公式の見方を変えると、\(y=a^x\) の \(x=0\) における接線の傾きはちょうど \(\ln a\) になる。\(\ln a=1\) となる \(a\) はただ1つ、\(a=e\)（\(\approx 2.71828\)）だけ。だから「\(x=0\) で傾きがぴったり1になる指数関数」を基準に選んだのが自然対数の底 \(e\) というわけだ。
例題5 \(y=e^x\) の \(x=2\) における微分係数を求めよ。
解答を見る
\(y'=e^x\) なので、\(x\) にそのまま2を代入すればよい（形が変わらないのが \(e^x\) の特別な点）。
\(y'(2) = e^2\)
注意 \(y=2^x\) のような \(e\) 以外の底の指数関数を微分すると \(\ln2\) のような余計な係数がつく。「微分しても形が変わらない」のは \(e^x\) だけの特権であることを覚えておこう。
STEP 4
高次導関数・陰関数と媒介変数の微分
最後に、これまでとは少し違う「微分のしかた」を3つ紹介する。1つ目は同じ関数を何度も微分する高次導関数、2つ目は \(y\) が \(x\) の式で表されていない陰関数の微分、3つ目は \(x,y\) がどちらも別の文字（パラメータ）で表される媒介変数表示の微分だ。
高次導関数
\(y'\) をもう一度微分したものを \(y''\)（第2次導関数、\(\dfrac{d^2y}{dx^2}\) とも書く）、さらに微分すると \(y'''\)（第3次導関数）という。
例題6 \(y=\sin x\) の \(y'',\ y''',\ y''''\) を求めよ。
解答を見る
\(y=\sin x\) から順に微分していく。
\[ y'=\cos x,\qquad y''=-\sin x,\qquad y'''=-\cos x,\qquad y''''=\sin x \]
4回微分すると元の \(\sin x\) にもどる（4回周期で循環する）。
\(y''=-\sin x,\ y'''=-\cos x,\ y''''=\sin x\)
陰関数の微分
\(y=x^2-3\) のように \(y=\)（\(x\)の式）の形を「陽関数」というのに対し、\(x^2+y^2=25\) のように \(x\) と \(y\) が入り混じった形を「陰関数」という。陰関数のままでも、\(y\) を \(x\) の関数だと思って両辺を \(x\) で微分すれば \(y'\) が求まる（\(y\) を含む項はチェーンルールで \(y'\) がついてくる）。
例題7 \(x^2+y^2=25\) について、\(\dfrac{dy}{dx}\) を \(x,\ y\) の式で表し、点 \((3,4)\) における値を求めよ。
解答を見る
両辺を \(x\) で微分する。\(x^2\) の微分は \(2x\)、\(y^2\) は \(y\) が \(x\) の関数なのでチェーンルールで \(2y\cdot y'\)、右辺の25の微分は0。
\[ 2x + 2y\cdot y' = 0 \]
\(y'\) について解く。
\[ y' = -\frac{x}{y} \]
\((3,4)\) を代入すると
\(y' = -\dfrac{x}{y}\)、\((3,4)\)では \(y'=-\dfrac{3}{4}\)
媒介変数表示の微分
\(x=f(t),\ y=g(t)\) のように \(x,y\) がどちらも文字 \(t\)（媒介変数）で表されているとき、\(\dfrac{dy}{dx}\) は次の公式で求める。
媒介変数表示の微分公式
\[ \frac{dy}{dx} = \frac{\dfrac{dy}{dt}}{\dfrac{dx}{dt}} \quad \left(\dfrac{dx}{dt}\neq0\right) \]
これはチェーンルール \(\dfrac{dy}{dt}=\dfrac{dy}{dx}\cdot\dfrac{dx}{dt}\) の両辺を \(\dfrac{dx}{dt}\) で割ったものだと考えれば納得できる。
例題8 \(x=2\cos t,\ y=3\sin t\) のとき、\(\dfrac{dy}{dx}\) を \(t\) の式で表せ。
解答を見る
それぞれ \(t\) で微分する。
\[ \frac{dx}{dt} = -2\sin t, \qquad \frac{dy}{dt} = 3\cos t \]
公式にあてはめる。
\[ \frac{dy}{dx} = \frac{\dfrac{dy}{dt}}{\dfrac{dx}{dt}} = \frac{3\cos t}{-2\sin t} \]
\(\dfrac{dy}{dx} = -\dfrac{3\cos t}{2\sin t}\)
注意 陰関数・媒介変数の微分はどちらも「\(y\) が \(x\) の関数である」という前提でチェーンルールを使う点が共通のコツ。次ページでは、ここで求めた導関数を使って接線を求めたり、増減表からグラフの概形をかいたりする。
練習問題（全18問）
答えを入力して「採点」を押すと○×が出るぞ。分数は「3/4」、\(e\) を含む答えは「e^2」のように入力。
わからないときは「解説を見る」で解き方を確認しよう。
基本（1〜8）
1
sinxの微分係数
\(y=\sin x\) の \(x=\dfrac{\pi}{3}\) における微分係数を求めよ。
\(y'\!\left(\dfrac{\pi}{3}\right)=\)
解説を見る
\(y'=\cos x\) なので \(y'\left(\dfrac{\pi}{3}\right)=\cos\dfrac{\pi}{3}\)。
\(y'\!\left(\dfrac{\pi}{3}\right) = \dfrac{1}{2}\)
2
cosxの微分係数
\(y=\cos x\) の \(x=\dfrac{\pi}{6}\) における微分係数を求めよ。
\(y'\!\left(\dfrac{\pi}{6}\right)=\)
解説を見る
\(y'=-\sin x\) なので \(y'\left(\dfrac{\pi}{6}\right)=-\sin\dfrac{\pi}{6}\)。
\(y'\!\left(\dfrac{\pi}{6}\right) = -\dfrac{1}{2}\)
3
tanxの微分係数
\(y=\tan x\) の \(x=\dfrac{\pi}{4}\) における微分係数を求めよ。
\(y'\!\left(\dfrac{\pi}{4}\right)=\)
解説を見る
\(y'=\dfrac{1}{\cos^2x}\)。\(\cos\dfrac{\pi}{4}=\dfrac{\sqrt2}{2}\) より \(\cos^2\dfrac{\pi}{4}=\dfrac12\)。
\[ y'\!\left(\frac{\pi}{4}\right) = \frac{1}{1/2} \]
\(y'\!\left(\dfrac{\pi}{4}\right) = 2\)
4
lnxの微分係数
\(y=\ln x\) の \(x=4\) における微分係数を求めよ。
\(y'(4)=\)
解説を見る
\(y'=\dfrac{1}{x}\) なので \(x=4\) を代入する。
\(y'(4) = \dfrac{1}{4}\)
5
e^xの微分係数
\(y=e^x\) の \(x=2\) における微分係数を求めよ。
\(y'(2)=\)
解説を見る
\(y'=e^x\)（微分しても形が変わらない）なので、そのまま \(x=2\) を代入する。
\(y'(2) = e^2\)
6
ln(kx)の微分・チェーンルール
\(y=\ln(3x)\) の \(x=5\) における微分係数を求めよ。
\(y'(5)=\)
解説を見る
\(u=3x\) とおくと \(y=\ln u\)。チェーンルールより
\[ y' = \frac{1}{u}\cdot\frac{du}{dx} = \frac{1}{3x}\cdot3 = \frac{1}{x} \]
（係数の3が約分で消える点に注意）\(x=5\) を代入する。
\(y'(5) = \dfrac{1}{5}\)
7
sin(kx)の微分・チェーンルール
\(y=\sin(3x)\) の \(x=0\) における微分係数を求めよ。
\(y'(0)=\)
解説を見る
\(u=3x\) とおくと \(y=\sin u\)。
\[ y' = \cos u\cdot\frac{du}{dx} = 3\cos(3x) \]
\(x=0\) を代入すると \(\cos0=1\)。
\(y'(0) = 3\)
8
e^(kx)の微分・チェーンルール
\(y=e^{-2x}\) の \(x=0\) における微分係数を求めよ。
\(y'(0)=\)
解説を見る
\(u=-2x\) とおくと \(y=e^u\)。
\[ y' = e^u\cdot\frac{du}{dx} = -2e^{-2x} \]
\(x=0\) を代入すると \(e^0=1\)。
\(y'(0) = -2\)
標準（9〜14） ※積・商・チェーンルールとの組み合わせ
9
\(y=x\sin x\) の \(x=\dfrac{\pi}{2}\) における微分係数を求めよ。
\(y'\!\left(\dfrac{\pi}{2}\right)=\)
解説を見る
積の微分公式より
\[ y' = 1\cdot\sin x + x\cdot\cos x = \sin x + x\cos x \]
\(x=\dfrac{\pi}{2}\) を代入すると \(\sin\dfrac{\pi}{2}=1,\ \cos\dfrac{\pi}{2}=0\) なので \(y'=1+\dfrac{\pi}{2}\cdot0\)。
\(y'\!\left(\dfrac{\pi}{2}\right) = 1\)
10
\(y=e^{2x}\cos x\) の \(x=0\) における微分係数を求めよ。
\(y'(0)=\)
解説を見る
積の微分公式（\(e^{2x}\) の微分はチェーンルールで \(2e^{2x}\)）より
\[ y' = 2e^{2x}\cos x + e^{2x}(-\sin x) = e^{2x}(2\cos x-\sin x) \]
\(x=0\) を代入すると \(e^0=1,\ \cos0=1,\ \sin0=0\) なので \(y'=1\cdot(2-0)\)。
\(y'(0) = 2\)
11
\(y=\dfrac{\ln x}{x}\) の \(x=e\) における微分係数を求めよ。
\(y'(e)=\)
解説を見る
商の微分公式より
\[ y' = \frac{\dfrac1x\cdot x - \ln x\cdot1}{x^2} = \frac{1-\ln x}{x^2} \]
\(x=e\) を代入すると \(\ln e=1\) なので分子は \(1-1=0\)。
\(y'(e) = 0\)
12
\(y=x\ln x\) の \(x=e\) における微分係数を求めよ。
\(y'(e)=\)
解説を見る
積の微分公式より
\[ y' = 1\cdot\ln x + x\cdot\frac1x = \ln x + 1 \]
\(x=e\) を代入すると \(\ln e=1\) なので \(y'=1+1\)。
\(y'(e) = 2\)
13
\(y=\cos(2x)\) の \(x=\dfrac{\pi}{4}\) における微分係数を求めよ。
\(y'\!\left(\dfrac{\pi}{4}\right)=\)
解説を見る
チェーンルールより \(y'=-2\sin(2x)\)。
\(x=\dfrac{\pi}{4}\) を代入すると \(2x=\dfrac{\pi}{2}\)、\(\sin\dfrac{\pi}{2}=1\) なので \(y'=-2\cdot1\)。
\(y'\!\left(\dfrac{\pi}{4}\right) = -2\)
14
\(y=\ln(x^2+1)\) の \(x=3\) における微分係数を求めよ。
\(y'(3)=\)
解説を見る
\(u=x^2+1\) とおくと \(y=\ln u\)。チェーンルールより
\[ y' = \frac{1}{u}\cdot\frac{du}{dx} = \frac{2x}{x^2+1} \]
\(x=3\) を代入すると \(x^2+1=10,\ 2x=6\) なので \(y'=\dfrac{6}{10}\)。
\(y'(3) = \dfrac{3}{5}\)
挑戦（15〜18）
15
高次導関数
\(y=\sin x\) の第2次導関数 \(y''\) を求め、\(y''(\pi)\) の値を求めよ。
\(y''(\pi)=\)
解説を見る
\(y'=\cos x\) をもう一度微分すると \(y''=-\sin x\)。
\(x=\pi\) を代入すると \(\sin\pi=0\) なので \(y''=-0\)。
\(y''(\pi) = 0\)
16
高次導関数
\(y=e^{2x}\) の第3次導関数 \(y'''\) を求め、\(y'''(0)\) の値を求めよ。
\(y'''(0)=\)
解説を見る
1回微分するたびに係数2がかかっていく。
\[ y'=2e^{2x},\qquad y''=4e^{2x},\qquad y'''=8e^{2x} \]
\(x=0\) を代入すると \(e^0=1\) なので \(y'''=8\cdot1\)。
\(y'''(0) = 8\)
17
陰関数の微分
\(x^2+y^2=25\) について、点 \((3,4)\) における \(\dfrac{dy}{dx}\) の値を求めよ。
\(y'=\)
解説を見る
両辺を \(x\) で微分すると（\(y^2\) の微分はチェーンルールで \(2y\cdot y'\)）
\[ 2x+2y\cdot y'=0 \quad\Rightarrow\quad y'=-\frac{x}{y} \]
\((3,4)\) を代入する。
\(y' = -\dfrac{3}{4}\)
18
媒介変数表示の微分
\(x=t^2,\ y=t^3\) について、\(t=2\) における \(\dfrac{dy}{dx}\) の値を求めよ。
\(\dfrac{dy}{dx}=\)
解説を見る
それぞれ \(t\) で微分すると \(\dfrac{dx}{dt}=2t,\ \dfrac{dy}{dt}=3t^2\)。
\[ \frac{dy}{dx} = \frac{3t^2}{2t} = \frac{3t}{2} \quad (t\neq0) \]
\(t=2\) を代入すると \(\dfrac{dy}{dx}=\dfrac{3\cdot2}{2}\)。
\(\dfrac{dy}{dx} = 3\)