いろいろな関数の導関数

STEP 1

三角関数の導関数：\( (\sin x)' = \cos x \)

前ページまでは多項式や分数式の微分を扱ってきたが、ここからは三角関数・対数関数・指数関数といった「いろいろな関数」の微分に進む。まずは三角関数から。カギになるのは数III「関数の極限」で学んだ \(\displaystyle\lim_{x\to0}\frac{\sin x}{x}=1\) という公式だ。

三角関数の導関数公式
\[ (\sin x)' = \cos x, \qquad (\cos x)' = -\sin x, \qquad (\tan x)' = \frac{1}{\cos^2 x} \]

\((\sin x)'=\cos x\) は微分の定義（極限）と和積公式、そして \(\displaystyle\lim_{x\to0}\frac{\sin x}{x}=1\) から導ける。導出の流れを確認しておこう。

公式の導出を見る

微分の定義より \[ (\sin x)' = \lim_{h \to 0} \frac{\sin(x+h) - \sin x}{h} \] 和積公式 \(\sin A - \sin B = 2\cos\dfrac{A+B}{2}\sin\dfrac{A-B}{2}\) を使うと（\(A=x+h,\ B=x\)） \[ \sin(x+h) - \sin x = 2\cos\!\left(x+\frac{h}{2}\right)\sin\frac{h}{2} \] これを代入すると \[ (\sin x)' = \lim_{h \to 0} \frac{2\cos\left(x+\frac{h}{2}\right)\sin\frac{h}{2}}{h} = \lim_{h \to 0} \cos\!\left(x+\frac{h}{2}\right)\cdot\frac{\sin\frac{h}{2}}{\frac{h}{2}} \] \(h\to0\) のとき \(\cos\left(x+\frac{h}{2}\right)\to\cos x\)（\(\cos\) は連続関数）、また \(\dfrac{h}{2}\to0\) なので \(\dfrac{\sin\frac{h}{2}}{\frac{h}{2}}\to1\)（既習の極限公式）。 \( (\sin x)' = \cos x \cdot 1 = \cos x \)

\(\cos x = \sin\left(\dfrac{\pi}{2}-x\right)\) という関係とチェーンルールを使えば \((\cos x)'=-\sin x\) も同様に導ける。\((\tan x)'\) は \(\tan x=\dfrac{\sin x}{\cos x}\) に商の微分公式を使えば得られる（\(\cos^2x+\sin^2x=1\) を使って整理する）。

例題1　\(y=\sin x\) の \(x=\dfrac{\pi}{3}\) における微分係数（接線の傾き）を求めよ。

解答を見る

\(y'=\cos x\) なので \(x=\dfrac{\pi}{3}\) を代入する。 \[ y'\!\left(\frac{\pi}{3}\right) = \cos\frac{\pi}{3} \] \(y'\!\left(\dfrac{\pi}{3}\right) = \dfrac{1}{2}\)

例題2　\(y=\cos(2x)\) を微分せよ。（チェーンルールとの組み合わせ）

解答を見る

\(u=2x\) とおくと \(y=\cos u\)。 \[ \frac{dy}{du} = -\sin u, \qquad \frac{du}{dx} = 2 \] チェーンルールより \[ y' = -\sin u \cdot 2 = -2\sin(2x) \] \(y' = -2\sin(2x)\)

STEP 2

対数関数の導関数と対数微分法

自然対数 \(\ln x\)（\(\log_e x\) のこと）の導関数はとてもシンプルな形になる。さらに、この性質を利用した「対数微分法」というテクニックを使うと、複雑な積・商・累乗が混ざった関数も一気に微分できる。

対数関数の導関数公式
\[ (\ln x)' = \frac{1}{x} \quad (x>0) \]

この公式は「逆関数の微分」の考え方で導ける。\(y=\ln x\) とおくと \(x=e^y\)。両辺を \(x\) で微分する（右辺は \(y\) が \(x\) の関数なのでチェーンルール）と \(1 = e^y\cdot y'\)。よって \(y'=\dfrac{1}{e^y}=\dfrac{1}{x}\)。この「両辺を \(x\) で微分する」考え方は、この後の STEP 4（陰関数の微分）でも中心的に使う。

例題3　\(y=\ln x\) の \(x=2\) における微分係数を求めよ。

解答を見る

\(y'=\dfrac{1}{x}\) なので \(x=2\) を代入する。 \(y'(2) = \dfrac{1}{2}\)

ここからは「対数微分法」。\(y=f(x)^{g(x)}\) の形や、たくさんの因数の積・商でできた関数は、両辺の対数をとってから微分すると計算がぐっと楽になる。

手順1　両辺の自然対数をとる（\(\ln y = \ldots\)）。積は和・商は差・累乗は係数に変わる

↓

手順2　両辺を \(x\) で微分する（左辺は \((\ln y)'=\dfrac{y'}{y}\) とチェーンルールで扱う）

↓

手順3　\(y'=y\times(\text{右辺})\) の形にし、\(y\) を元の式にもどす

例題4　\(y=(x+2)^3(x-1)^2\) を対数微分法で微分せよ。

解答を見る

両辺の自然対数をとる。 \[ \ln y = 3\ln(x+2) + 2\ln(x-1) \] 両辺を \(x\) で微分する（左辺は \(\dfrac{y'}{y}\)）。 \[ \frac{y'}{y} = \frac{3}{x+2} + \frac{2}{x-1} \] \(y'\) について解いて \(y\) をもとの式にもどす。 \[ y' = y\left(\frac{3}{x+2}+\frac{2}{x-1}\right) = (x+2)^3(x-1)^2\left(\frac{3}{x+2}+\frac{2}{x-1}\right) \] 分母をそろえて \((x+2)^2(x-1)\) でくくると \[ y' = (x+2)^2(x-1)\bigl\{3(x-1)+2(x+2)\bigr\} = (x+2)^2(x-1)(5x+1) \] \(y' = (x+2)^2(x-1)(5x+1)\)

STEP 3

指数関数の導関数：\(e^x\) の特別さ

指数関数 \(a^x\)（\(a>0,\ a\neq1\)）の導関数は \(a^x = e^{x\ln a}\) と書きかえてチェーンルールを使えば求まる。ところが底が \(e\) のときだけ、とても特別なことが起こる。

指数関数の導関数公式
\[ (a^x)' = a^x\ln a \qquad \text{特に} \qquad (e^x)' = e^x \]

公式の導出を見る

\(a^x = e^{x\ln a}\)（両辺の自然対数をとれば \(\ln(a^x)=x\ln a\) となり一致することから確認できる）と書きかえる。 \(u=x\ln a\) とおくと \(y=e^u\)。チェーンルールより \[ y' = e^u \cdot \frac{du}{dx} = e^{x\ln a}\cdot\ln a = a^x\ln a \] 特に \(a=e\) のときは \(\ln e=1\) なので \((e^x)' = e^x\cdot 1 = e^x\)（微分しても形が変わらない、唯一の関数）

この公式の見方を変えると、\(y=a^x\) の \(x=0\) における接線の傾きはちょうど \(\ln a\) になる。\(\ln a=1\) となる \(a\) はただ1つ、\(a=e\)（\(\approx 2.71828\)）だけ。だから「\(x=0\) で傾きがぴったり1になる指数関数」を基準に選んだのが自然対数の底 \(e\) というわけだ。

例題5　\(y=e^x\) の \(x=2\) における微分係数を求めよ。

解答を見る

\(y'=e^x\) なので、\(x\) にそのまま2を代入すればよい（形が変わらないのが \(e^x\) の特別な点）。 \(y'(2) = e^2\)

注意　\(y=2^x\) のような \(e\) 以外の底の指数関数を微分すると \(\ln2\) のような余計な係数がつく。「微分しても形が変わらない」のは \(e^x\) だけの特権であることを覚えておこう。

STEP 4

高次導関数・陰関数と媒介変数の微分

最後に、これまでとは少し違う「微分のしかた」を3つ紹介する。1つ目は同じ関数を何度も微分する高次導関数、2つ目は \(y\) が \(x\) の式で表されていない陰関数の微分、3つ目は \(x,y\) がどちらも別の文字（パラメータ）で表される媒介変数表示の微分だ。

高次導関数

\(y'\) をもう一度微分したものを \(y''\)（第2次導関数、\(\dfrac{d^2y}{dx^2}\) とも書く）、さらに微分すると \(y'''\)（第3次導関数）という。

例題6　\(y=\sin x\) の \(y'',\ y''',\ y''''\) を求めよ。

解答を見る

\(y=\sin x\) から順に微分していく。 \[ y'=\cos x,\qquad y''=-\sin x,\qquad y'''=-\cos x,\qquad y''''=\sin x \] 4回微分すると元の \(\sin x\) にもどる（4回周期で循環する）。 \(y''=-\sin x,\ y'''=-\cos x,\ y''''=\sin x\)

陰関数の微分

\(y=x^2-3\) のように \(y=\)（\(x\)の式）の形を「陽関数」というのに対し、\(x^2+y^2=25\) のように \(x\) と \(y\) が入り混じった形を「陰関数」という。陰関数のままでも、\(y\) を \(x\) の関数だと思って両辺を \(x\) で微分すれば \(y'\) が求まる（\(y\) を含む項はチェーンルールで \(y'\) がついてくる）。

例題7　\(x^2+y^2=25\) について、\(\dfrac{dy}{dx}\) を \(x,\ y\) の式で表し、点 \((3,4)\) における値を求めよ。

解答を見る

両辺を \(x\) で微分する。\(x^2\) の微分は \(2x\)、\(y^2\) は \(y\) が \(x\) の関数なのでチェーンルールで \(2y\cdot y'\)、右辺の25の微分は0。 \[ 2x + 2y\cdot y' = 0 \] \(y'\) について解く。 \[ y' = -\frac{x}{y} \] \((3,4)\) を代入すると \(y' = -\dfrac{x}{y}\)、\((3,4)\)では \(y'=-\dfrac{3}{4}\)

媒介変数表示の微分

\(x=f(t),\ y=g(t)\) のように \(x,y\) がどちらも文字 \(t\)（媒介変数）で表されているとき、\(\dfrac{dy}{dx}\) は次の公式で求める。

媒介変数表示の微分公式
\[ \frac{dy}{dx} = \frac{\dfrac{dy}{dt}}{\dfrac{dx}{dt}} \quad \left(\dfrac{dx}{dt}\neq0\right) \]

これはチェーンルール \(\dfrac{dy}{dt}=\dfrac{dy}{dx}\cdot\dfrac{dx}{dt}\) の両辺を \(\dfrac{dx}{dt}\) で割ったものだと考えれば納得できる。

例題8　\(x=2\cos t,\ y=3\sin t\) のとき、\(\dfrac{dy}{dx}\) を \(t\) の式で表せ。

解答を見る

それぞれ \(t\) で微分する。 \[ \frac{dx}{dt} = -2\sin t, \qquad \frac{dy}{dt} = 3\cos t \] 公式にあてはめる。 \[ \frac{dy}{dx} = \frac{\dfrac{dy}{dt}}{\dfrac{dx}{dt}} = \frac{3\cos t}{-2\sin t} \] \(\dfrac{dy}{dx} = -\dfrac{3\cos t}{2\sin t}\)

注意　陰関数・媒介変数の微分はどちらも「\(y\) が \(x\) の関数である」という前提でチェーンルールを使う点が共通のコツ。次ページでは、ここで求めた導関数を使って接線を求めたり、増減表からグラフの概形をかいたりする。

練習問題（全18問）

答えを入力して「採点」を押すと○×が出るぞ。分数は「3/4」、\(e\) を含む答えは「e^2」のように入力。
わからないときは「解説を見る」で解き方を確認しよう。

基本（1〜9）

sinxの微分係数

\(y=\sin x\) の \(x=\dfrac{\pi}{3}\) における微分係数を求めよ。

\(y'\!\left(\dfrac{\pi}{3}\right)=\)

解説を見る

\(y'=\cos x\) なので \(y'\left(\dfrac{\pi}{3}\right)=\cos\dfrac{\pi}{3}\)。 \(y'\!\left(\dfrac{\pi}{3}\right) = \dfrac{1}{2}\)

cosxの微分係数

\(y=\cos x\) の \(x=\dfrac{\pi}{6}\) における微分係数を求めよ。

\(y'\!\left(\dfrac{\pi}{6}\right)=\)

解説を見る

\(y'=-\sin x\) なので \(y'\left(\dfrac{\pi}{6}\right)=-\sin\dfrac{\pi}{6}\)。 \(y'\!\left(\dfrac{\pi}{6}\right) = -\dfrac{1}{2}\)

tanxの微分係数

\(y=\tan x\) の \(x=\dfrac{\pi}{4}\) における微分係数を求めよ。

\(y'\!\left(\dfrac{\pi}{4}\right)=\)

解説を見る

\(y'=\dfrac{1}{\cos^2x}\)。\(\cos\dfrac{\pi}{4}=\dfrac{\sqrt2}{2}\) より \(\cos^2\dfrac{\pi}{4}=\dfrac12\)。 \[ y'\!\left(\frac{\pi}{4}\right) = \frac{1}{1/2} \] \(y'\!\left(\dfrac{\pi}{4}\right) = 2\)

lnxの微分係数

\(y=\ln x\) の \(x=4\) における微分係数を求めよ。

\(y'(4)=\)

解説を見る

\(y'=\dfrac{1}{x}\) なので \(x=4\) を代入する。 \(y'(4) = \dfrac{1}{4}\)

e^xの微分係数

\(y=e^x\) の \(x=2\) における微分係数を求めよ。

\(y'(2)=\)

解説を見る

\(y'=e^x\)（微分しても形が変わらない）なので、そのまま \(x=2\) を代入する。 \(y'(2) = e^2\)

ln(kx)の微分・チェーンルール

\(y=\ln(3x)\) の \(x=5\) における微分係数を求めよ。

\(y'(5)=\)

解説を見る

\(u=3x\) とおくと \(y=\ln u\)。チェーンルールより \[ y' = \frac{1}{u}\cdot\frac{du}{dx} = \frac{1}{3x}\cdot3 = \frac{1}{x} \] （係数の3が約分で消える点に注意）\(x=5\) を代入する。 \(y'(5) = \dfrac{1}{5}\)

sin(kx)の微分・チェーンルール

\(y=\sin(3x)\) の \(x=0\) における微分係数を求めよ。

\(y'(0)=\)

解説を見る

\(u=3x\) とおくと \(y=\sin u\)。 \[ y' = \cos u\cdot\frac{du}{dx} = 3\cos(3x) \] \(x=0\) を代入すると \(\cos0=1\)。 \(y'(0) = 3\)

e^(kx)の微分・チェーンルール

\(y=e^{-2x}\) の \(x=0\) における微分係数を求めよ。

\(y'(0)=\)

解説を見る

\(u=-2x\) とおくと \(y=e^u\)。 \[ y' = e^u\cdot\frac{du}{dx} = -2e^{-2x} \] \(x=0\) を代入すると \(e^0=1\)。 \(y'(0) = -2\)

log_a xの微分係数

\(y=\log_2 x\) の \(x=8\) における微分係数を求めよ。

\(y'(8)=\)

解説を見る

底の変換公式より \(\log_2 x = \dfrac{\ln x}{\ln 2}\) と書き直せる。\(\ln 2\) は定数なので、 \[ y' = \frac{1}{\ln 2}\cdot(\ln x)' = \frac{1}{\ln 2}\cdot\frac{1}{x} = \frac{1}{x\ln 2} \] これが \(\log_a x\) の導関数の公式 \(\left(\log_a x\right)'=\dfrac{1}{x\ln a}\) である。\(x=8\) を代入すると \[ y'(8) = \frac{1}{8\ln 2} \] \(y'(8) = \dfrac{1}{8\ln 2}\)

標準（10〜16）

\(y=x\sin x\) の \(x=\dfrac{\pi}{2}\) における微分係数を求めよ。

\(y'\!\left(\dfrac{\pi}{2}\right)=\)

解説を見る

積の微分公式より \[ y' = 1\cdot\sin x + x\cdot\cos x = \sin x + x\cos x \] \(x=\dfrac{\pi}{2}\) を代入すると \(\sin\dfrac{\pi}{2}=1,\ \cos\dfrac{\pi}{2}=0\) なので \(y'=1+\dfrac{\pi}{2}\cdot0\)。 \(y'\!\left(\dfrac{\pi}{2}\right) = 1\)

\(y=e^{2x}\cos x\) の \(x=0\) における微分係数を求めよ。

\(y'(0)=\)

解説を見る

積の微分公式（\(e^{2x}\) の微分はチェーンルールで \(2e^{2x}\)）より \[ y' = 2e^{2x}\cos x + e^{2x}(-\sin x) = e^{2x}(2\cos x-\sin x) \] \(x=0\) を代入すると \(e^0=1,\ \cos0=1,\ \sin0=0\) なので \(y'=1\cdot(2-0)\)。 \(y'(0) = 2\)

\(y=\dfrac{\ln x}{x}\) の \(x=e\) における微分係数を求めよ。

\(y'(e)=\)

解説を見る

商の微分公式より \[ y' = \frac{\dfrac1x\cdot x - \ln x\cdot1}{x^2} = \frac{1-\ln x}{x^2} \] \(x=e\) を代入すると \(\ln e=1\) なので分子は \(1-1=0\)。 \(y'(e) = 0\)

\(y=x\ln x\) の \(x=e\) における微分係数を求めよ。

\(y'(e)=\)

解説を見る

積の微分公式より \[ y' = 1\cdot\ln x + x\cdot\frac1x = \ln x + 1 \] \(x=e\) を代入すると \(\ln e=1\) なので \(y'=1+1\)。 \(y'(e) = 2\)

\(y=\cos(2x)\) の \(x=\dfrac{\pi}{4}\) における微分係数を求めよ。

\(y'\!\left(\dfrac{\pi}{4}\right)=\)

解説を見る

チェーンルールより \(y'=-2\sin(2x)\)。 \(x=\dfrac{\pi}{4}\) を代入すると \(2x=\dfrac{\pi}{2}\)、\(\sin\dfrac{\pi}{2}=1\) なので \(y'=-2\cdot1\)。 \(y'\!\left(\dfrac{\pi}{4}\right) = -2\)

\(y=\ln(x^2+1)\) の \(x=3\) における微分係数を求めよ。

\(y'(3)=\)

解説を見る

\(u=x^2+1\) とおくと \(y=\ln u\)。チェーンルールより \[ y' = \frac{1}{u}\cdot\frac{du}{dx} = \frac{2x}{x^2+1} \] \(x=3\) を代入すると \(x^2+1=10,\ 2x=6\) なので \(y'=\dfrac{6}{10}\)。 \(y'(3) = \dfrac{3}{5}\)

媒介変数表示の接線の方程式

媒介変数表示 \(x=2\cos t,\ y=3\sin t\) で表される曲線上の \(t=\dfrac{\pi}{6}\) に対応する点における接線の方程式を求めよ。

接線: \(y=\)

解説を見る

まず \(t=\dfrac{\pi}{6}\) における通過点を求める。\(\cos\dfrac{\pi}{6}=\dfrac{\sqrt3}{2},\ \sin\dfrac{\pi}{6}=\dfrac12\) より \[ x=2\cdot\frac{\sqrt3}{2}=\sqrt3,\qquad y=3\cdot\frac12=\frac32 \] 次に接線の傾きを求める。媒介変数表示の導関数は \(\dfrac{dy}{dx}=\dfrac{dy/dt}{dx/dt}\) で計算できるので、 \[ \frac{dx}{dt}=-2\sin t,\qquad \frac{dy}{dt}=3\cos t \] \[ \frac{dy}{dx}=\frac{3\cos t}{-2\sin t} \] \(t=\dfrac{\pi}{6}\) を代入すると \[ \frac{dy}{dx}=\frac{3\cdot\frac{\sqrt3}{2}}{-2\cdot\frac12}=\frac{\frac{3\sqrt3}{2}}{-1}=-\frac{3\sqrt3}{2} \] 点 \(\left(\sqrt3,\ \dfrac32\right)\) を通り傾き \(-\dfrac{3\sqrt3}{2}\) の直線なので、点と傾きの形（\(y-y_1=m(x-x_1)\)）に代入すると \[ y-\frac32=-\frac{3\sqrt3}{2}\left(x-\sqrt3\right) \] 右辺を展開すると \(-\dfrac{3\sqrt3}{2}\cdot(-\sqrt3)=\dfrac{3\sqrt3\cdot\sqrt3}{2}=\dfrac{9}{2}\) なので、 \[ y=-\frac{3\sqrt3}{2}x+\frac{9}{2}+\frac32=-\frac{3\sqrt3}{2}x+6 \] \(y=-\dfrac{3\sqrt3}{2}x+6\)

挑戦（17〜20）

高次導関数

\(y=\sin x\) の第2次導関数 \(y''\) を求め、\(y''(\pi)\) の値を求めよ。

\(y''(\pi)=\)

解説を見る

\(y'=\cos x\) をもう一度微分すると \(y''=-\sin x\)。 \(x=\pi\) を代入すると \(\sin\pi=0\) なので \(y''=-0\)。 \(y''(\pi) = 0\)

高次導関数

\(y=e^{2x}\) の第3次導関数 \(y'''\) を求め、\(y'''(0)\) の値を求めよ。

\(y'''(0)=\)

解説を見る

1回微分するたびに係数2がかかっていく。 \[ y'=2e^{2x},\qquad y''=4e^{2x},\qquad y'''=8e^{2x} \] \(x=0\) を代入すると \(e^0=1\) なので \(y'''=8\cdot1\)。 \(y'''(0) = 8\)

陰関数の微分

\(x^2+y^2=25\) について、点 \((3,4)\) における \(\dfrac{dy}{dx}\) の値を求めよ。

\(y'=\)

解説を見る

両辺を \(x\) で微分すると（\(y^2\) の微分はチェーンルールで \(2y\cdot y'\)） \[ 2x+2y\cdot y'=0 \quad\Rightarrow\quad y'=-\frac{x}{y} \] \((3,4)\) を代入する。 \(y' = -\dfrac{3}{4}\)

媒介変数表示の微分

\(x=t^2,\ y=t^3\) について、\(t=2\) における \(\dfrac{dy}{dx}\) の値を求めよ。

\(\dfrac{dy}{dx}=\)

解説を見る

それぞれ \(t\) で微分すると \(\dfrac{dx}{dt}=2t,\ \dfrac{dy}{dt}=3t^2\)。 \[ \frac{dy}{dx} = \frac{3t^2}{2t} = \frac{3t}{2} \quad (t\neq0) \] \(t=2\) を代入すると \(\dfrac{dy}{dx}=\dfrac{3\cdot2}{2}\)。 \(\dfrac{dy}{dx} = 3\)

応用問題（プリント限定）

ここから先はPDF限定の腕試し。対数微分法の本格的な使い方や、媒介変数・陰関数の応用に挑戦しよう。

応1

対数微分法の本格問題

\(y=\dfrac{(x+1)^2(x-2)}{\sqrt{x+3}}\) を対数微分法で微分し、\(y'(1)\) の値を求めよ。

\(y'(1)=\)

解説を見る

\(x=1\) では \(x-2=-1<0\) となり \(y\) 自体が負の値をとりうるので、両辺の絶対値の対数をとる（\((\ln|u|)'=\dfrac{u'}{u}\) は \(u\) の符号によらず成り立つので、この後の計算は \(\ln y\) のときと同じ形で進めてよい）。 \[ \ln|y| = 2\ln|x+1| + \ln|x-2| - \frac12\ln|x+3| \] 両辺を \(x\) で微分する。 \[ \frac{y'}{y} = \frac{2}{x+1} + \frac{1}{x-2} - \frac{1}{2(x+3)} \] まず \(x=1\) での \(y\) の値を求める。 \[ y(1) = \frac{(1+1)^2(1-2)}{\sqrt{1+3}} = \frac{4\cdot(-1)}{2} = -2 \] 次に \(x=1\) での \(\dfrac{y'}{y}\) の値を求める。 \[ \frac{y'}{y}\bigg|_{x=1} = \frac{2}{2}+\frac{1}{-1}-\frac{1}{2\cdot4} = 1-1-\frac18 = -\frac18 \] \(y'=y\times\dfrac{y'}{y}\) より \[ y'(1) = (-2)\times\left(-\frac18\right) = \frac14 \] \(y'(1) = \dfrac{1}{4}\)

応2

x^xの微分（対数微分法）

\(y=x^x\)（\(x>0\)）を微分し、\(y'(1)\) の値を求めよ。

\(y'(1)=\)

解説を見る

\(x\) が指数の位置にもあるので、指数関数の微分公式がそのままは使えない。両辺の自然対数をとる。 \[ \ln y = \ln(x^x) = x\ln x \] 両辺を \(x\) で微分する（右辺は積の微分公式）。 \[ \frac{y'}{y} = 1\cdot\ln x + x\cdot\frac1x = \ln x+1 \] \(y'\) について解いて \(y=x^x\) をもとにもどす。 \[ y' = y(\ln x+1) = x^x(\ln x+1) \] \(x=1\) を代入すると \(1^1=1,\ \ln1=0\) なので \(y'(1)=1\times(0+1)\)。 \(y' = x^x(\ln x+1)\)、\(y'(1) = 1\)

応3

媒介変数（楕円）の微分

\(x=2\cos t,\ y=3\sin t\) について、\(t=\dfrac{\pi}{6}\) における \(\dfrac{dy}{dx}\) の値を求めよ。

\(\dfrac{dy}{dx}=\)

解説を見る

それぞれ \(t\) で微分すると \(\dfrac{dx}{dt}=-2\sin t,\ \dfrac{dy}{dt}=3\cos t\)。 \[ \frac{dy}{dx} = \frac{3\cos t}{-2\sin t} = -\frac{3\cos t}{2\sin t} \] \(t=\dfrac{\pi}{6}\) を代入する。\(\cos\dfrac{\pi}{6}=\dfrac{\sqrt3}{2},\ \sin\dfrac{\pi}{6}=\dfrac12\) より \[ \frac{dy}{dx} = -\frac{3\cdot\frac{\sqrt3}{2}}{2\cdot\frac12} = -\frac{\frac{3\sqrt3}{2}}{1} \] \(\dfrac{dy}{dx} = -\dfrac{3\sqrt3}{2}\)

応4

指数を含む陰関数の微分

\(xy=e^{x-y}\) について、点 \((1,1)\) における \(\dfrac{dy}{dx}\) の値を求めよ。

\(y'=\)

解説を見る

点 \((1,1)\) が曲線上にあることをまず確認する。左辺 \(xy=1\cdot1=1\)、右辺 \(e^{x-y}=e^{0}=1\) で一致する。両辺を \(x\) で微分する。左辺は積の微分公式、右辺は指数関数のチェーンルール（\((x-y)'=1-y'\)）を使う。 \[ y+xy' = e^{x-y}(1-y') \] \((1,1)\) を代入すると \(e^{x-y}=e^0=1\) なので \[ 1+1\cdot y' = 1\cdot(1-y') \] \[ 1+y' = 1-y' \quad\Rightarrow\quad 2y'=0 \] \(y' = 0\)

応5

高次導関数の総合問題

\(y=e^x\sin x\) の第2次導関数 \(y''\) を求め、\(y''(0)\) の値を求めよ。

\(y''(0)=\)

解説を見る

まず1回微分する（積の微分公式）。 \[ y' = e^x\sin x + e^x\cos x = e^x(\sin x+\cos x) \] もう一度、積の微分公式で微分する。 \[ y'' = e^x(\sin x+\cos x) + e^x(\cos x-\sin x) = e^x\bigl\{(\sin x+\cos x)+(\cos x-\sin x)\bigr\} = 2e^x\cos x \] \(x=0\) を代入すると \(e^0=1,\ \cos0=1\) なので \(y''(0)=2\cdot1\cdot1\)。 \(y'' = 2e^x\cos x\)、\(y''(0) = 2\)

応6

第n次導関数の推測と数学的帰納法

\(y=e^{2x}\) の第 \(n\) 次導関数 \(y^{(n)}\) を \(n\) の式で推測し、数学的帰納法で証明せよ。また、\(y^{(5)}(0)\) の値を求めよ。

\(y^{(5)}(0)=\)

解説を見る

まず何回か微分して規則性を推測する。 \[ y'=2e^{2x},\qquad y''=2^2e^{2x}=4e^{2x},\qquad y'''=2^3e^{2x}=8e^{2x} \] 微分するたびに係数2がひとつ増えていくので、次のように推測できる。 \[ y^{(n)} = 2^n e^{2x} \quad (n=1,2,3,\ldots) \] これを数学的帰納法で証明する。（1）\(n=1\) のとき　\(y'=2e^{2x}=2^1e^{2x}\) なので成り立つ。（2）\(n=k\) のとき \(y^{(k)}=2^ke^{2x}\) が成り立つと仮定する。両辺を \(x\) で微分すると（右辺は \(e^{2x}\) のチェーンルールで微分するたびに2がかかる） \[ y^{(k+1)} = \left(2^ke^{2x}\right)' = 2^k\cdot2e^{2x} = 2^{k+1}e^{2x} \] よって \(n=k+1\) のときも成り立つ。（1）（2）より、数学的帰納法によりすべての自然数 \(n\) について \(y^{(n)}=2^ne^{2x}\) が成り立つ。最後に \(n=5,\ x=0\) を代入する。\(e^0=1\) より \[ y^{(5)}(0) = 2^5\cdot e^0 = 32\cdot1 \] \(y^{(n)} = 2^ne^{2x}\)、\(y^{(5)}(0) = 32\)

記述チャレンジ

答えだけでなく「なぜそうなるか」を文章と式で書く練習。模範解答と見比べて、書き方の型を身につけよう。

記1

対数微分法を使うと、なぜ複雑な積・商・累乗が混ざった関数の微分が簡単になるのか、対数の性質と関連づけて説明せよ。また、両辺を微分するとき左辺 \(\ln y\) の微分がなぜ単に \(\dfrac1y\) ではなく \(\dfrac{y'}{y}\) になるのかもあわせて説明せよ。

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対数には「積は和に」「商は差に」「累乗は係数に」変える性質がある。 \[ \ln(AB)=\ln A+\ln B,\qquad \ln\frac{A}{B}=\ln A-\ln B,\qquad \ln(A^p)=p\ln A \] 複数の因数の積や累乗が混ざった関数をそのまま微分しようとすると、積の微分公式を何度も繰り返し使う必要があり、計算が複雑になっていく。ところが両辺の自然対数をとると、右辺は上の性質によって単純な和や差だけの式に置きかわる。和や差の微分は各項をそのまま微分して足し引きするだけでよいので、対数をとる前よりずっと計算量が少なくてすむ。これが対数微分法が「簡単になる」理由である。次に、左辺 \(\ln y\) の微分について考える。\(y\) は \(x\) の関数であり、\(\ln y\) は「\(\ln\)」という関数の中に、さらに「\(y(x)\)」という関数が入った合成関数になっている。合成関数の微分（チェーンルール）を使うと、外側の \(\ln\) を微分して得られる \(\dfrac1y\) に、内側の \(y\) を \(x\) で微分した \(y'\) を掛けなければならない。 \[ (\ln y)' = \frac{1}{y}\cdot y' = \frac{y'}{y} \] もし単に \(\dfrac1y\) だけだと考えてしまうと、\(y\) 自身が \(x\) の変化にともなって変化していく効果を見落としてしまうことになる。対数の性質（積→和・商→差・累乗→係数）により右辺の微分が単純な和・差になるため計算が楽になる。また\(y\)は\(x\)の関数なので、\(\ln y\)の微分は必ずチェーンルールで\(\dfrac{y'}{y}\)になる。

記2

曲線 \(x^2+xy+y^2=7\) 上の点 \((1,\ 2)\) における接線の傾き \(\dfrac{dy}{dx}\) を求めよ。

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両辺を \(x\) で微分する。\(x^2\) の微分は \(2x\)。\(xy\) の微分は積の微分公式で \(1\cdot y+x\cdot y'=y+xy'\)。\(y^2\) の微分はチェーンルールで \(2y\cdot y'\)。右辺 \(7\) の微分は \(0\)。 \[ 2x+(y+xy')+2y\cdot y' = 0 \] \(y'\) を含む項をくくり出してまとめる。 \[ 2x+y+y'(x+2y) = 0 \] \(y'\) について解くと \[ y' = -\frac{2x+y}{x+2y} \] ここで点 \((1,2)\) を代入する。分子は \(2\cdot1+2=4\)、分母は \(1+2\cdot2=5\)。 \(y' = -\dfrac{2x+y}{x+2y}\)、点\((1,2)\)における接線の傾きは \(y'=-\dfrac{4}{5}\)