剰余の定理・因数定理｜数II 複素数と方程式

STEP 1

剰余の定理

整式 \(P(x)\) を1次式 \(x-a\) で割ったときの余りは、実際に割り算をしなくても \(P(a)\)（\(x\) に \(a\) を代入した値）を計算するだけでわかる。これが「剰余の定理」。

剰余の定理
整式 \(P(x)\) を \(x-a\) で割ったときの余りは \(P(a)\) に等しい。

なぜこうなるのか、割り算の仕組みから証明しておこう。

証明　\(P(x)\) を \(x-a\) で割ったときの商を \(Q(x)\)、余りを \(R\) とする。

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割り算の関係を等式で書くと \[P(x) = (x-a)Q(x) + R\] ここで割る式 \(x-a\) は1次式なので、余り \(R\) の次数は割る式より低くなければならない。つまり \(R\) は \(x\) を含まない定数。この等式は \(x\) がどんな値でも成り立つ恒等式なので、\(x=a\) を代入してよい。 \[P(a) = (a-a)Q(a) + R = 0 \times Q(a) + R = R\] よって \(R = P(a)\)。すなわち、\(P(x)\) を \(x-a\) で割った余りは \(P(a)\) である。

例題1　\(P(x) = x^3 - 2x^2 + 3x - 4\) を \(x-2\) で割った余りを求めよ。

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剰余の定理より、余りは \(P(2)\) を計算すればよい。 \[P(2) = 2^3 - 2\times2^2 + 3\times2 - 4 = 8 - 8 + 6 - 4 = 2\] 余りは \(2\)

係数が1でない1次式で割るとき　\(ax+b\)（\(a \ne 0\)）で割った余りは、\(ax+b=0\) を解いた \(x=-\dfrac{b}{a}\) を代入した \(P\!\left(-\dfrac{b}{a}\right)\) になる。「係数を1にそろえてから代入する」と覚えておこう。

例題2　\(P(x) = 3x^3 + 2x^2 - x + 5\) を \(3x-1\) で割った余りを求めよ。

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\(3x-1=0\) を解くと \(x=\dfrac{1}{3}\)。余りは \(P\!\left(\dfrac{1}{3}\right)\)。 \[P\!\left(\dfrac{1}{3}\right) = 3\times\dfrac{1}{27} + 2\times\dfrac{1}{9} - \dfrac{1}{3} + 5 = \dfrac{1}{9} + \dfrac{2}{9} - \dfrac{3}{9} + 5 = 0 + 5 = 5\] 余りは \(5\)

STEP 2

因数定理

剰余の定理で「余りが \(0\)」になる特別な場合を考えると、\(P(x)\) が \(x-a\) でちょうど割り切れる（\(x-a\) が \(P(x)\) の因数である）条件がわかる。これが「因数定理」。

因数定理
\(P(a) = 0 \iff x-a\) は \(P(x)\) の因数である（\(P(x)\) は \(x-a\) で割り切れる）。

これは剰余の定理から直接わかる。剰余の定理より余り \(R = P(a)\) なので、「割り切れる（余りが \(0\)）」と「\(P(a)=0\)」はまったく同じことを言っている。

因数定理の使い方（因数分解の第一歩）　\(P(x)\) を因数分解したいときは、定数項の約数（\(\pm1,\pm2,\pm3,\ldots\)）の中から \(P(a)=0\) となる \(a\) を探す。見つかれば \(x-a\) が因数だとわかる。実際の商を求める計算は STEP 4 の組立除法で行う。

例題3　\(P(x) = x^3 - 6x^2 + 11x - 6\) が \(x-1\) を因数にもつことを確かめよ。

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定数項 \(-6\) の約数 \(\pm1,\pm2,\pm3,\pm6\) の中から、まず \(a=1\) を試す。 \[P(1) = 1 - 6 + 11 - 6 = 0\] \(P(1)=0\) なので、因数定理より \(x-1\) は \(P(x)\) の因数である

STEP 3

1次式・2次式で割った余り

1次式で割った余りは剰余の定理そのまま（定数1つ）。2次式で割った余りは、次数が割る式より低くなければならないので1次式 \(ax+b\) の形になる。この \(a,b\) を求める問題は数IIの定番パターンだ。

割る式の次数と余りの次数の関係
1次式 \(x-a\) で割った余り → 定数 \(R\)（\(R=P(a)\)）
2次式 \(D(x)\) で割った余り → 高々1次式 \(ax+b\)（\(D(x)=0\) の解を代入して連立方程式を作る）

例題4　整式 \(P(x)\) を \(x-1\) で割ると余りが \(4\)、\(x+2\) で割ると余りが \(-11\) となる。\(P(x)\) を \((x-1)(x+2)\) で割った余りを求めよ。

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割る式 \((x-1)(x+2)\) は2次式なので、余りは高々1次式。余りを \(ax+b\) とおくと、商を \(Q(x)\) として \[P(x) = (x-1)(x+2)Q(x) + ax+b\] この式で \(x=1\) とすると、\((x-1)\) の部分が \(0\) になって右辺は \(a+b\) だけが残る。これは \(P(1)\) に等しいので \(a+b=4\)。同様に \(x=-2\) とすると \(-2a+b=P(-2)=-11\)。連立方程式 \[a+b=4,\quad -2a+b=-11\] を解く。上の式から下の式を引くと \(3a=15\) より \(a=5\)。\(a+b=4\) に代入して \(b=-1\)。余りは \(5x-1\)

注意　2次式で割った余りを「定数だけ」と勘違いする間違いが多い。割る式の次数より余りの次数が低いだけで、2次式で割るなら余りは1次式（またはそれより低次）になることを忘れずに、必ず \(ax+b\) とおいてから計算を始めよう。

STEP 4

組立除法

\(P(x)\) を \(x-a\) で割ったときの商と余りを、筆算より速く求める表計算の方法が「組立除法」。係数だけを並べて、掛けて足すことを繰り返す。

手順1　\(P(x)\) の係数を次数の高い順に横一列に並べる（次数が抜けている項は \(0\) として入れる）

↓

手順2　最初の係数をそのまま下段に降ろす

↓

手順3　下段の数に \(a\) を掛けた値を、次の係数の下に書いて足す。これを右端まで繰り返す

↓

手順4　下段に並んだ数のうち、最後の1つが余り、それ以外が商の係数（1次数低い整式）

例題5　\(P(x) = x^3 - 2x^2 + 3x - 4\) を組立除法で \(x-2\) で割り、商と余りを求めよ。（例題1と同じ式）

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\(a=2\)、係数は \(1,\ -2,\ 3,\ -4\)。次の表を作る。

2	1	−2	3	−4
		2	0	6
	1	0	3	2

最初の \(1\) をそのまま降ろす。\(1\times2=2\) を次の係数 \(-2\) に足して \(0\)。\(0\times2=0\) を次の係数 \(3\) に足して \(3\)。\(3\times2=6\) を最後の係数 \(-4\) に足して \(2\)。下段の \(1,\ 0,\ 3\) が商の係数（\(x^2+0x+3\)）、最後の \(2\) が余り。例題1で剰余の定理から求めた余り \(2\) と一致する。商は \(x^2+3\)、余りは \(2\)

例題6　例題3の続き。\(P(x)=x^3-6x^2+11x-6\) は \(x-1\) を因数にもつ。組立除法で商を求め、\(P(x)\) を1次式の積に完全に因数分解せよ。

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\(a=1\)、係数は \(1,\ -6,\ 11,\ -6\)。

1	1	−6	11	−6
		1	−5	6
	1	−5	6	0

余りは \(0\)（\(x-1\) で割り切れる）、商は \(x^2-5x+6\)。これはさらに \(x^2-5x+6=(x-2)(x-3)\) と因数分解できる。 \(P(x)=(x-1)(x-2)(x-3)\)

練習問題（全18問）

答えを入力して「採点」を押すと○×が出るぞ。分数は「-1/2」、根号は「2√3」または「2sqrt3」のように入力。複数の値はコンマ区切り。
わからないときは「解説を見る」で解き方を確認しよう。

基本（1〜7）

剰余の定理・基本

\(P(x) = x^3 - 2x^2 + 3x - 5\) を \(x-2\) で割った余りを求めよ。

余り

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剰余の定理より、余りは \(P(2)\)。 \[P(2) = 8 - 8 + 6 - 5 = 1\] 余りは \(1\)

x+aで割る

\(P(x) = x^3 + 3x^2 - x + 2\) を \(x+1\) で割った余りを求めよ。

余り

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\(x+1=x-(-1)\) なので、余りは \(P(-1)\)。 \[P(-1) = -1 + 3 + 1 + 2 = 5\] 余りは \(5\)

剰余の定理・基本

\(P(x) = 2x^3 - x^2 + 4x - 3\) を \(x-1\) で割った余りを求めよ。

余り

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\[P(1) = 2 - 1 + 4 - 3 = 2\] 余りは \(2\)

4次式でも同じ

\(P(x) = x^4 - 3x^3 + 2x - 1\) を \(x-1\) で割った余りを求めよ。

余り

解説を見る

何次式であっても、剰余の定理は同じように使える。 \[P(1) = 1 - 3 + 2 - 1 = -1\] 余りは \(-1\)

割り切れる場合

\(P(x) = x^3 - 4x^2 + 5x - 2\) を \(x-2\) で割った余りを求めよ。

余り

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\[P(2) = 8 - 16 + 10 - 2 = 0\] 余りが \(0\) なので、\(x-2\) は \(P(x)\) の因数である（因数定理）。余りは \(0\)

係数が1でない1次式

\(P(x) = x^3 + 2x^2 - x + 4\) を \(2x-1\) で割った余りを求めよ。

余り

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\(2x-1=0\) より \(x=\dfrac{1}{2}\)。余りは \(P\!\left(\dfrac{1}{2}\right)\)。 \[P\!\left(\dfrac{1}{2}\right) = \dfrac{1}{8} + 2\times\dfrac{1}{4} - \dfrac{1}{2} + 4 = \dfrac{1}{8} + \dfrac{1}{2} - \dfrac{1}{2} + 4 = \dfrac{33}{8}\] 余りは \(\dfrac{33}{8}\)（\(=4.125\)）

因数定理の逆算・係数決定

\(P(x) = x^3 + kx^2 - 5x + 6\) が \(x-1\) で割り切れるとき、定数 \(k\) の値を求めよ。

\(k=\)

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割り切れる条件は、因数定理より \(P(1)=0\)。 \[P(1) = 1 + k - 5 + 6 = k+2 = 0\] \(k=-2\)

標準（8〜14）

因数定理→組立除法で因数分解

\(P(x) = x^3 - 3x^2 - 6x + 8\) は \(x=1\) が \(P(x)=0\) の解である。これを因数分解すると \((x-1)(x-a)(x-b)\)（\(a < b\)）の形になる。\(a,\ b\) の値を求めよ。

\(a=\) 　\(b=\)

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\(P(1)=1-3-6+8=0\) を確認済み。組立除法（\(a=1\)、係数 \(1,-3,-6,8\)）で割ると、商は \(x^2-2x-8\)。 \[x^2-2x-8=(x-4)(x+2)\] \(P(x)=(x-1)(x+2)(x-4)\)、すなわち \(a=-2,\ b=4\)

組立除法で商と余り

\(P(x) = x^3 + 2x^2 - 3x + 7\) を組立除法で \(x-2\) で割り、商を \(x^2+px+q\)、余りを \(r\) とするとき、\(p,\ q,\ r\) の値を求めよ。

\(p=\) 　\(q=\) 　\(r=\)

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\(a=2\)、係数 \(1,2,-3,7\) で組立除法。 \(1\) を降ろす。\(1\times2+2=4\)。\(4\times2+(-3)=5\)。\(5\times2+7=17\)。商は \(x^2+4x+5\)（\(p=4,\ q=5\)）、余りは \(r=17\)

2次式で割った余り

整式 \(P(x)\) を \(x-1\) で割ると余りが \(4\)、\(x+1\) で割ると余りが \(-2\) となる。\(P(x)\) を \((x-1)(x+1)\) で割った余り \(ax+b\) の \(a,\ b\) を求めよ。

\(a=\) 　\(b=\)

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余りを \(ax+b\) とおく。\(x=1\) を代入して \(a+b=4\)。\(x=-1\) を代入して \(-a+b=-2\)。 2式を足すと \(2b=2\) より \(b=1\)。\(a+b=4\) に代入して \(a=3\)。余りは \(3x+1\)（\(a=3,\ b=1\)）

2次式で割った余り

整式 \(P(x)\) を \(x-2\) で割ると余りが \(5\)、\(x-3\) で割ると余りが \(9\) となる。\(P(x)\) を \((x-2)(x-3)\) で割った余り \(ax+b\) の \(a,\ b\) を求めよ。

\(a=\) 　\(b=\)

解説を見る

余りを \(ax+b\) とおく。\(x=2\) で \(2a+b=5\)、\(x=3\) で \(3a+b=9\)。下の式から上の式を引くと \(a=4\)。\(2a+b=5\) に代入して \(b=-3\)。余りは \(4x-3\)（\(a=4,\ b=-3\)）

組立除法を2回使う

\(P(x) = x^4 - 5x^3 + 5x^2 + 5x - 6\) は \(x=1\) と \(x=-1\) がともに \(P(x)=0\) の解である。\(P(x)\) を \((x-1)(x+1)\) で割った商を \(x^2+px+q\) とするとき、\(p,\ q\) を求めよ。

\(p=\) 　\(q=\)

解説を見る

まず \(x-1\) で組立除法（係数 \(1,-5,5,5,-6\)、\(a=1\)）：商は \(x^3-4x^2+x+6\)、余り \(0\)。続けてこの商を \(x+1\) で組立除法（係数 \(1,-4,1,6\)、\(a=-1\)）：商は \(x^2-5x+6\)、余り \(0\)。 \(p=-5,\ q=6\)（商は \(x^2-5x+6\)）

組立除法+因数分解

方程式 \(x^3-13x+12=0\) を因数定理と組立除法で解いたとき、最も大きい解を求めよ。

最大の解

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\(P(1)=1-13+12=0\) より \(x-1\) が因数。組立除法（係数 \(1,0,-13,12\)、\(a=1\)）で商は \(x^2+x-12=(x+4)(x-3)\)。よって \((x-1)(x+4)(x-3)=0\) より解は \(x=1,-4,3\)。最も大きい解は \(3\)

係数決定→他の解

\(P(x) = x^3 - 2x^2 + bx + 6\) が \(x-3\) で割り切れるとき、定数 \(b\) の値を求めよ。また、そのときの方程式 \(P(x)=0\) の他の解をすべて求めよ（コンマ区切りで入力）。

\(b=\) 　他の解

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因数定理より \(P(3)=0\)。 \[P(3) = 27 - 18 + 3b + 6 = 15+3b = 0 \implies b=-5\] このとき \(P(x)=x^3-2x^2-5x+6\)。組立除法（係数 \(1,-2,-5,6\)、\(a=3\)）で商は \(x^2+x-2=(x+2)(x-1)\)。 \(b=-5\)、他の解は \(x=-2,\ 1\)

挑戦（15〜18）

2次式の余り→1次式の余り

整式 \(P(x)\) を \(x^2-1\) で割ると余りが \(3x+2\) である。このとき \(P(x)\) を \(x-1\) で割った余りと、\(x+1\) で割った余りをそれぞれ求めよ。

\(x-1\)で割った余り　\(x+1\)で割った余り

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\(x^2-1=(x-1)(x+1)\) なので、商を \(Q(x)\) として \[P(x)=(x-1)(x+1)Q(x)+3x+2\] \(x=1\) を代入すると \((x-1)\) の部分が消えて \(P(1)=3\times1+2=5\)。これがそのまま \(x-1\) で割った余り。 \(x=-1\) を代入すると \((x+1)\) の部分が消えて \(P(-1)=3\times(-1)+2=-1\)。これが \(x+1\) で割った余り。 \(x-1\)で割った余りは \(5\)、\(x+1\)で割った余りは \(-1\)

2条件から係数決定（4次式）

\(P(x) = x^4 + 2x^3 - 3x^2 + ax + b\) が \(x-1\) と \(x+2\) の両方で割り切れるとき、定数 \(a,\ b\) の値を求めよ。

\(a=\) 　\(b=\)

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因数定理より \(P(1)=0\) かつ \(P(-2)=0\)。 \[P(1)=1+2-3+a+b=a+b=0\] \[P(-2)=16-16-12-2a+b=-12-2a+b=0 \implies -2a+b=12\] \(a+b=0\) より \(b=-a\)。\(-2a+(-a)=12\) より \(-3a=12\)、\(a=-4\)、\(b=4\)。 \(a=-4,\ b=4\)

2つの余り条件から係数決定

\(P(x) = x^3 + ax^2 + bx - 6\) を \(x-1\) で割ると余りが \(-2\)、\(x-2\) で割ると余りが \(0\) となる。定数 \(a,\ b\) の値を求めよ。

\(a=\) 　\(b=\)

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\[P(1)=1+a+b-6=a+b-5=-2 \implies a+b=3\] \[P(2)=8+4a+2b-6=4a+2b+2=0 \implies 2a+b=-1\] 下の式から上の式を引くと \(a=-4\)。\(a+b=3\) に代入して \(b=7\)。 \(a=-4,\ b=7\)

余りの関係から総合的に求める

整式 \(P(x)\) を \(x^2+x-2\) で割ると余りが \(4x+1\) である。\(P(x)\) を \(x-1\) で割った余りと \(x+2\) で割った余りの和を求めよ。

和

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\(x^2+x-2=(x-1)(x+2)\) なので、\(x=1,\ x=-2\) を余りの式 \(4x+1\) にそれぞれ代入すれば、\(x-1\) で割った余り・\(x+2\) で割った余りが直接わかる。 \(x-1\) で割った余り：\(P(1)=4\times1+1=5\) \(x+2\) で割った余り：\(P(-2)=4\times(-2)+1=-7\) 和は \(5+(-7)=-2\)。和は \(-2\)

応用問題（プリント限定）

ここから先はPDF限定の腕試し。入試の基礎レベルに挑戦しよう。

応1

(x-1)²で割った余り・二項定理の利用

\(P(x) = x^{10}\) を \((x-1)^2\) で割った余りを \(ax+b\) とするとき、\(a,\ b\) の値を求めよ。（\(t=x-1\) と置き換えて \((t+1)^{10}\) を二項定理で展開し、\(t^2\) 以上の項を無視すればよい）

\(a=\) 　\(b=\)

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\(t=x-1\) とおくと \(x=t+1\)。二項定理で展開すると \[x^{10}=(t+1)^{10}=t^{10}+{}_{10}C_9t^9+\cdots+{}_{10}C_1t+{}_{10}C_0\] \((x-1)^2=t^2\) で割った余りを考えるので、\(t^2\) 以上の項はすべて \((x-1)^2\) で割り切れて消える。残るのは \(t\) の1次以下の項だけ。 \[{}_{10}C_1t+{}_{10}C_0=10t+1\] これを \(t=x-1\) に戻すと \[10(x-1)+1=10x-9\] 余りは \(10x-9\)（\(a=10,\ b=-9\)）

応2

2条件から2次式で割った余り

整式 \(P(x)\) を \(x-1\) で割ると余りが \(3\)、\(x-2\) で割ると余りが \(5\) であるとき、\(P(x)\) を \((x-1)(x-2)\) で割った余り \(ax+b\) の \(a,\ b\) を求めよ。

\(a=\) 　\(b=\)

解説を見る

余りを \(ax+b\) とおく。 \[x=1: a+b=3\] \[x=2: 2a+b=5\] 下の式から上の式を引くと \(a=2\)。\(a+b=3\) に代入して \(b=1\)。余りは \(2x+1\)（\(a=2,\ b=1\)）

応3

組立除法を2回・4次式を完全に因数分解

方程式 \(x^4-x^3-7x^2+x+6=0\) を、因数定理と組立除法を使ってすべて解け。解を小さい順にコンマ区切りで入力せよ。

解（小さい順）

解説を見る

\(P(x)=x^4-x^3-7x^2+x+6\) とする。定数項 \(6\) の約数から試すと \[P(1)=1-1-7+1+6=0,\qquad P(-1)=1+1-7-1+6=0\] なので \(x-1\) と \(x+1\) がともに因数。組立除法で \(x-1\) で割る（係数 \(1,-1,-7,1,6\)、\(a=1\)）：商は \(x^3-7x-6\)、余り \(0\)。続けてこの商を \(x+1\) で割る（係数 \(1,0,-7,-6\)、\(a=-1\)）：商は \(x^2-x-6=(x-3)(x+2)\)、余り \(0\)。よって \(P(x)=(x-1)(x+1)(x-3)(x+2)\)、解は \(x=1,-1,3,-2\)。解を小さい順に並べると \(x=-2,-1,1,3\)

応4

3次式で割った余り（発展）

整式 \(P(x)\) を \((x-2)^2\) で割ると余りが \(5x-3\)、\(x+1\) で割ると余りが \(10\) である。\(P(x)\) を \((x-2)^2(x+1)\) で割った余りを \(ax^2+bx+c\) とするとき、\(a,\ b,\ c\) の値を求めよ。

\(a=\) 　\(b=\) 　\(c=\)

解説を見る

求める余りを \(R(x)=ax^2+bx+c\) とおく（割る式が3次式なので余りは高々2次式）。商を \(Q(x)\) として \[P(x)=(x-2)^2(x+1)Q(x)+ax^2+bx+c\] この式は \((x-2)^2\) でも割り切れる部分（左の項）と余り \(R(x)\) に分かれているので、\(R(x)\) を \((x-2)^2\) で割った余りは、\(P(x)\) を \((x-2)^2\) で割った余りと一致し \(5x-3\) になる。また \(R(x)\) を \(x+1\) で割った余り（\(R(-1)\)）は、\(P(x)\) を \(x+1\) で割った余りと一致し \(10\) になる。 \(R(x)-(5x-3)\) は \((x-2)^2\) で割り切れる2次式なので、定数 \(k\) を使って \(R(x)=5x-3+k(x-2)^2\) と書ける。これを展開すると \(R(x)=kx^2+(5-4k)x+(4k-3)\)。 \(R(-1)=10\) を使って \(k\) を求める。 \[R(-1)=k-(5-4k)+(4k-3)=9k-8=10 \implies k=2\] したがって \(R(x)=2x^2+(5-8)x+(8-3)=2x^2-3x+5\)。 \(a=2,\ b=-3,\ c=5\)

応5

三次方程式の解の積

三次方程式 \(x^3-7x+6=0\) の解のうち、最大の解と最小の解の積を求めよ。（因数定理と組立除法を使うこと）

積

解説を見る

\(P(x)=x^3-7x+6\) とする。\(P(1)=1-7+6=0\) より \(x-1\) が因数。組立除法（係数 \(1,0,-7,6\)、\(a=1\)）で商は \(x^2+x-6=(x+3)(x-2)\)。よって \((x-1)(x+3)(x-2)=0\) より解は \(x=1,-3,2\)。最大の解は \(2\)、最小の解は \(-3\)。積は \(2\times(-3)=-6\)