高次方程式

解説＋ドリル全16問・自動採点つき

問題プリントPDF 解答つきPDF
STEP 1

因数定理で3次方程式を解く

3次以上の方程式は、見ただけではパッと解けない。そこで使うのが因数定理：\(P(k)=0\) となる \(k\) が1つ見つかれば、\(P(x)\) は \(x-k\) を因数にもつ。3次式なら「1次×2次」に分解でき、あとは2次方程式の解の公式で仕上げられる。

候補の見つけ方　整式 \(P(x)=ax^n+\cdots+d\)（\(a\)は最高次の係数、\(d\)は定数項）について、\(P(k)=0\) となる有理数 \(k\) の候補は \(\dfrac{d\text{の約数}}{a\text{の約数}}\) の形にかぎられる。最高次の係数が \(1\)（モニック）なら、候補は単に「定数項の約数（プラスマイナス）」だけでよい。

例題1　\(x^3-4x^2+x+6=0\) を解け。

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定数項 \(6\) の約数 \(\pm1,\pm2,\pm3,\pm6\) を順に代入して調べる。 \(P(-1)=(-1)^3-4(-1)^2+(-1)+6=-1-4-1+6=0\) → \(x=-1\) が解。 組立除法（または筆算）で \(P(x)\) を \(x+1\) で割ると \(P(x)=(x+1)(x^2-5x+6)=(x+1)(x-2)(x-3)\) \(x=-1,\ 2,\ 3\)

例題2　\(2x^3+x^2-5x+2=0\) を解け。（最高次の係数が1でない場合）

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最高次の係数 \(2\) の約数は \(\pm1,\pm2\)、定数項 \(2\) の約数も \(\pm1,\pm2\)。候補は \(\pm1,\pm2,\pm\dfrac{1}{2}\)。 \(P(1)=2+1-5+2=0\) → \(x=1\) が解。 組立除法で \(2x^3+x^2-5x+2\) を \(x-1\) で割ると、商は \(2x^2+3x-2\)。 \(2x^2+3x-2=(2x-1)(x+2)\) \(x=1,\ \dfrac{1}{2},\ -2\)
STEP 2

虚数解をもつ高次方程式

因数定理で1つの解を見つけて1次式をくくり出したあと、残った2次式の判別式が負なら、そこから虚数解が出てくる。実数係数の3次方程式では「実数解が1個、残り2個は共役な虚数解」というパターンがとてもよく出る。

例題　\(x^3-x^2+4x-4=0\) を解け。

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定数項 \(4\) の約数 \(\pm1,\pm2,\pm4\) を調べる。 \(P(1)=1-1+4-4=0\) → \(x=1\) が解。 組立除法で \(x-1\) で割ると、商は \(x^2+4\)。 \(x^2+4=0\) より \(x^2=-4\)、よって \(x=\pm2i\) \(x=1,\ \pm2i\)（実数解は \(1\) のみ、残り2つは虚数解）
実数係数の3次方程式は、x軸との交わり方で見分けられる。3点で交わる＝実数解3個、1点だけで交わる＝実数解1個＋虚数解2個。交わる点が2個ということは起こらない（重解を除く）。
STEP 3

1の3乗根とω（オメガ）

\(x^3=1\) の解を考えよう。実数の中では \(x=1\) しかなさそうに見えるが、複素数の範囲まで広げると、他に2つの虚数解がある。この虚数解の1つを \(\omega\)（オメガ）と名づけると、入試でもよく使う便利な性質が手に入る。

\(x^3=1\)、すなわち \(x^3-1=0\) を解け。

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\(x^3-1=(x-1)(x^2+x+1)\)（因数分解の公式） \(x=1\) または \(x^2+x+1=0\) 2次方程式の解の公式より \(x=\dfrac{-1\pm\sqrt{3}i}{2}\) \(x=1,\ \dfrac{-1+\sqrt{3}i}{2},\ \dfrac{-1-\sqrt{3}i}{2}\)

この2つの虚数解のうち、どちらか一方を \(\omega\) とする（ふつうは \(\omega=\dfrac{-1+\sqrt{3}i}{2}\) の方を選ぶ）。すると、もう一方の解は自動的に \(\omega^2\) になっている（実際に2乗して確かめられる）。この \(\omega\) について、次の2つの性質がセットで使える。

ωの性質
\(\omega^2+\omega+1=0\)（\(x^2+x+1=0\) の解だから）
\(\omega^3=1\)（\(x^3=1\) の解だから）

例題　\(\omega\) を \(x^3=1\) の虚数解の1つとするとき、\(\omega^5+\omega^4+1\) の値を求めよ。

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\(\omega^3=1\) を使って、指数を3で割った余りまで落とす。 \(\omega^4=\omega^{3+1}=\omega^3\cdot\omega=1\cdot\omega=\omega\) \(\omega^5=\omega^{3+2}=\omega^3\cdot\omega^2=1\cdot\omega^2=\omega^2\) よって \(\omega^5+\omega^4+1=\omega^2+\omega+1\) これはωの性質そのもの。 \(\omega^5+\omega^4+1=0\)
STEP 4

実数係数の方程式と共役解

STEP2の例題で、虚数解が \(2i\) と \(-2i\)（＝共役な複素数のペア）でセットになって出てきたことに気づいただろうか。これは偶然ではなく、係数がすべて実数の方程式にかぎって成り立つ性質だ。

実数係数方程式の共役解の性質　整式 \(P(x)\) の係数がすべて実数のとき、\(P(x)=0\) が \(a+bi\)（\(b\neq0\)）を解にもてば、その共役複素数 \(a-bi\) も必ず解になる。つまり虚数解は共役なペアで登場する。

この性質を使うと、複素数の解を1つ教えてもらうだけで、実数係数の方程式の残りの解をすべて決めることができる。

例題　\(x^3-5x^2+11x-15=0\) の解の1つが \(1+2i\) であるとき、他の解をすべて求めよ。

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係数はすべて実数なので、共役複素数 \(1-2i\) も解。 この2つを解にもつ2次式は \((x-(1+2i))(x-(1-2i))=(x-1)^2-(2i)^2=(x-1)^2+4=x^2-2x+5\) もとの3次式をこの2次式で割ると（筆算または係数比較） \(x^3-5x^2+11x-15=(x^2-2x+5)(x-3)\) 商が \(x-3\) なので、残る解は \(x=3\) \(x=1+2i,\ 1-2i,\ 3\)
練習問題（全16問）

答えを入力して「採点」を押すと○×が出るぞ。解が複数あるときは小さい順にコンマ区切りで入力しよう（例：-2,1,3）。実数解と虚数解の両方があるときは実数解だけを入力し、虚数解は「解説を見る」で確認しよう。

基本（1〜6）
1
モニック・全て整数解

\(x^3-6x^2+11x-6=0\) を解け。

解 \(x=\)
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定数項 \(6\) の約数を調べる。\(P(1)=1-6+11-6=0\) より \(x=1\) が解。 \(x^3-6x^2+11x-6=(x-1)(x^2-5x+6)=(x-1)(x-2)(x-3)\) \(x=1,\ 2,\ 3\)
2
モニック・全て整数解

\(x^3-2x^2-5x+6=0\) を解け。

解 \(x=\)
解説を見る
\(P(1)=1-2-5+6=0\) より \(x=1\) が解。 \(x^3-2x^2-5x+6=(x-1)(x^2-x-6)=(x-1)(x-3)(x+2)\) \(x=-2,\ 1,\ 3\)
3
負の解を含む

\(x^3+x^2-4x-4=0\) を解け。

解 \(x=\)
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\(P(-1)=-1+1+4-4=0\) より \(x=-1\) が解。 \(x^3+x^2-4x-4=(x+1)(x^2-4)=(x+1)(x-2)(x+2)\) \(x=-2,\ -1,\ 2\)
4
候補を複数試す

\(x^3-3x^2-4x+12=0\) を解け。

解 \(x=\)
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\(P(1)=1-3-4+12=6\neq0\)。\(P(2)=8-12-8+12=0\) より \(x=2\) が解。 \(x^3-3x^2-4x+12=(x-2)(x^2-x-6)=(x-2)(x-3)(x+2)\) \(x=-2,\ 2,\ 3\)
5
x²の項がない

\(x^3-7x+6=0\) を解け。

解 \(x=\)
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\(P(1)=1-7+6=0\) より \(x=1\) が解。 \(x^3-7x+6=(x-1)(x^2+x-6)=(x-1)(x+3)(x-2)\) \(x=-3,\ 1,\ 2\)
6
最高次の係数が1でない

\(2x^3-x^2-5x-2=0\) を解け。

解 \(x=\)
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候補は \(\pm1,\pm2,\pm\dfrac{1}{2}\)。\(P(2)=16-4-10-2=0\) より \(x=2\) が解。 組立除法で商は \(2x^2+3x+1=(2x+1)(x+1)\) \(x=-1,\ -\dfrac{1}{2},\ 2\)
標準（7〜12）
7
実数解1個＋虚数解2個

\(x^3+1=0\) を解け。

実数解 \(x=\) 　（虚数解は解説で確認）
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\(x^3+1=(x+1)(x^2-x+1)\) \(x=-1\) または \(x^2-x+1=0\) 判別式 \(=1-4=-3<0\) なので、解の公式より \(x=\dfrac{1\pm\sqrt{3}i}{2}\) \(x=-1,\ \dfrac{1+\sqrt{3}i}{2},\ \dfrac{1-\sqrt{3}i}{2}\)
8
実数解1個＋虚数解2個

\(x^3-x^2+x-1=0\) を解け。

実数解 \(x=\) 　（虚数解は解説で確認）
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\(P(1)=1-1+1-1=0\) より \(x=1\) が解。 組立除法で商は \(x^2+1\)。\(x^2+1=0\) より \(x=\pm i\) \(x=1,\ \pm i\)
9
実数解1個＋虚数解2個

\(x^3+2x^2+x+2=0\) を解け。

実数解 \(x=\) 　（虚数解は解説で確認）
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\(P(-2)=-8+8-2+2=0\) より \(x=-2\) が解。 組立除法で商は \(x^2+1\)。\(x^2+1=0\) より \(x=\pm i\) \(x=-2,\ \pm i\)
10
4次方程式・置き換え型

\(x^4-13x^2+36=0\) を解け。（\(y=x^2\) と置き換えるとよい）

解 \(x=\)
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\(y=x^2\) とおくと \(y^2-13y+36=0\)、\((y-4)(y-9)=0\) より \(y=4,\ 9\)。 \(x^2=4\) より \(x=\pm2\)、\(x^2=9\) より \(x=\pm3\) \(x=-3,\ -2,\ 2,\ 3\)
11
4次方程式・実数解と虚数解が混在

\(x^4-1=0\) を解け。

実数解 \(x=\) 　（虚数解は解説で確認）
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\(x^4-1=(x^2-1)(x^2+1)=(x-1)(x+1)(x^2+1)\) \(x^2-1=0\) より \(x=\pm1\)、\(x^2+1=0\) より \(x=\pm i\) \(x=-1,\ 1,\ \pm i\)
12
最高次の係数が1でない・虚数解あり

\(3x^3-2x^2+3x-2=0\) を解け。

実数解 \(x=\) 　（虚数解は解説で確認）
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候補は \(\pm1,\pm2,\pm\dfrac{1}{3},\pm\dfrac{2}{3}\)。\(P\left(\dfrac{2}{3}\right)=3\cdot\dfrac{8}{27}-2\cdot\dfrac{4}{9}+3\cdot\dfrac{2}{3}-2=\dfrac{8}{9}-\dfrac{8}{9}+2-2=0\) \(3x^3-2x^2+3x-2=(3x-2)(x^2+1)\)　\(x^2+1=0\) より \(x=\pm i\) \(x=\dfrac{2}{3},\ \pm i\)
挑戦（13〜16）
13
4次方程式・因数定理を2回使う

\(x^4-2x^3-7x^2+8x+12=0\) を解け。

解 \(x=\)
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\(P(-1)=1+2-7-8+12=0\) より \(x=-1\) が解。組立除法で商は \(x^3-3x^2-4x+12\)。 この3次式にもう一度因数定理を使う。\(Q(2)=8-12-8+12=0\) より \(x=2\) が解。 \(x^3-3x^2-4x+12=(x-2)(x^2-x-6)=(x-2)(x-3)(x+2)\) まとめると \(x^4-2x^3-7x^2+8x+12=(x+1)(x-2)(x-3)(x+2)\) \(x=-2,\ -1,\ 2,\ 3\)
14
実数解1個＋虚数解2個・最高次の係数チェック

\(x^3-4x^2+6x-4=0\) を解け。

実数解 \(x=\) 　（虚数解は解説で確認）
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\(P(2)=8-16+12-4=0\) より \(x=2\) が解。 組立除法で商は \(x^2-2x+2\)。判別式 \(=4-8=-4<0\) なので 解の公式より \(x=\dfrac{2\pm\sqrt{-4}}{2}=1\pm i\) \(x=2,\ 1\pm i\)
15
ωの性質の利用

\(\omega\) を \(x^3=1\) の虚数解の1つとするとき、\(\omega^{10}+\omega^5+1\) の値を求めよ。

値
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\(\omega^3=1\) を使って指数を3で割った余りまで落とす。 \(10=3\times3+1\) なので \(\omega^{10}=\omega^1=\omega\) \(5=3\times1+2\) なので \(\omega^5=\omega^2\) よって \(\omega^{10}+\omega^5+1=\omega^2+\omega+1\) \(\omega^{10}+\omega^5+1=0\)
16
4次方程式・因数定理2回＋虚数解

\(x^4-3x^3+3x^2+3x-4=0\) を解け。

実数解 \(x=\) 　（虚数解は解説で確認）
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\(P(1)=1-3+3+3-4=0\) より \(x=1\) が解。組立除法で商は \(x^3-2x^2+x+4\)。 この3次式に再び因数定理を使う。\(Q(-1)=-1-2-1+4=0\) より \(x=-1\) が解。 \(x^3-2x^2+x+4=(x+1)(x^2-3x+4)\) \(x^2-3x+4=0\) の判別式は \(9-16=-7<0\) なので、解の公式より \(x=\dfrac{3\pm\sqrt{7}i}{2}\) まとめると実数解は \(x=1,\ -1\)、虚数解は \(x=\dfrac{3\pm\sqrt{7}i}{2}\) \(x=1,\ -1,\ \dfrac{3+\sqrt{7}i}{2},\ \dfrac{3-\sqrt{7}i}{2}\)
応用問題（プリント限定）

ここから先はPDF限定の腕試し。ωの計算と、複素数の解から係数を決定する問題に挑戦しよう。

応1
ωの計算・指数を3で割る

\(\omega\) を \(x^3=1\) の虚数解の1つとするとき、\(\omega^{2024}+\omega^{1012}+1\) の値を求めよ。

値
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\(\omega^3=1\) より、指数を3で割った余りだけが結果を左右する。 \(2024=3\times674+2\) なので \(\omega^{2024}=\omega^2\) \(1012=3\times337+1\) なので \(\omega^{1012}=\omega^1=\omega\) よって \(\omega^{2024}+\omega^{1012}+1=\omega^2+\omega+1\) \(\omega^{2024}+\omega^{1012}+1=0\)
応2
ωの計算・式を展開してから性質を使う

\(\omega\) を \(x^3=1\) の虚数解の1つとするとき、\((1+\omega)(1+\omega^2)\) の値を求めよ。

値
解説を見る
展開すると \((1+\omega)(1+\omega^2)=1+\omega^2+\omega+\omega^3\) \(=(1+\omega+\omega^2)+\omega^3\) \(\omega^2+\omega+1=0\) と \(\omega^3=1\) を使うと \(=0+1=1\) \((1+\omega)(1+\omega^2)=1\)
応3
複素数の解から係数決定（モニック）

\(x^3+ax^2+bx+4=0\)（\(a,\ b\) は実数の定数）の解の1つが \(1+i\) であるとき、\(a,\ b\) の値と、他の実数解を求めよ。

\(a=\) 　\(b=\) 　実数解 \(x=\)
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係数がすべて実数なので、共役複素数 \(1-i\) も解。 この2つを解にもつ2次式は \((x-(1+i))(x-(1-i))=(x-1)^2+1=x^2-2x+2\) 残る実数解を \(r\) とすると、もとの3次式は \(x^3+ax^2+bx+4=(x^2-2x+2)(x-r)\) 右辺を展開すると \(x^3-(r+2)x^2+(2r+2)x-2r\) 定数項を比較して \(-2r=4\) より \(r=-2\) \(x^2\)の係数を比較して \(a=-(r+2)=-(-2+2)=0\) \(x\)の係数を比較して \(b=2r+2=2\times(-2)+2=-2\) \(a=0,\ b=-2\)、実数解 \(x=-2\)（他の解は \(1\pm i\)）
応4
複数の解から係数決定（解と係数の関係）

\(x^3+ax^2+bx+c=0\)（\(a,\ b,\ c\) は実数の定数）の解の1つが \(2-i\) であり、他の解の1つが \(3\) であるとき、\(a,\ b,\ c\) の値を求めよ。

\(a=\) 　\(b=\) 　\(c=\)
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係数がすべて実数なので、共役複素数 \(2+i\) も解。3つの解は \(2-i,\ 2+i,\ 3\)。 解と係数の関係（3次方程式 \(x^3+ax^2+bx+c=0\) について）を使う。 和：\((2-i)+(2+i)+3=7=-a\) より \(a=-7\) 積の和：\((2-i)(2+i)+(2-i)\cdot3+(2+i)\cdot3=(4+1)+(6-3i)+(6+3i)=5+12=17=b\) 積：\((2-i)(2+i)\times3=5\times3=15=-c\) より \(c=-15\) （検算：\(x=3\) を代入すると \(27-63+51-15=0\) となり成立） \(a=-7,\ b=17,\ c=-15\)
応5
複素数の解から係数決定（最高次の係数が1でない）

\(2x^3+ax^2+bx+10=0\)（\(a,\ b\) は実数の定数）の解の1つが \(1+2i\) であるとき、\(a,\ b\) の値と、他の実数解を求めよ。

\(a=\) 　\(b=\) 　実数解 \(x=\)
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係数がすべて実数なので、共役複素数 \(1-2i\) も解。 この2つを解にもつ2次式は \((x-(1+2i))(x-(1-2i))=(x-1)^2+4=x^2-2x+5\) 最高次の係数が \(2\) で、残る実数解を \(r\) とすると \(2x^3+ax^2+bx+10=2(x^2-2x+5)(x-r)\) 右辺を展開すると \(2x^3-2(r+2)x^2+2(2r+5)x-10r\) 定数項を比較して \(-10r=10\) より \(r=-1\) \(x^2\)の係数を比較して \(a=-2(r+2)=-2(-1+2)=-2\) \(x\)の係数を比較して \(b=2(2r+5)=2(2\times(-1)+5)=6\) \(a=-2,\ b=6\)、実数解 \(x=-1\)（他の解は \(1\pm2i\)）