解と係数の関係

解説＋ドリル全18問・自動採点つき

問題プリントPDF 解答つきPDF
STEP 1

判別式Dと虚数解

2次方程式 \(ax^2+bx+c=0\)（\(a \ne 0\)）の解の個数・種類は、判別式 \(D=b^2-4ac\) の符号で決まる。\(D<0\) のときは実数解を持たず、代わりに共役な虚数解（実部が同じで虚部の符号だけ違う複素数）を2つ持つ。

\(D > 0\) → 異なる2つの実数解
\(D = 0\) → 重解（実数解1つ）
\(D < 0\) → 異なる2つの虚数解（互いに共役）

例題　\(x^2-2x+5=0\) を解け。

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\(D=(-2)^2-4\cdot1\cdot5=4-20=-16\)。\(D<0\) なので虚数解。 解の公式に代入すると \(x=\dfrac{2\pm\sqrt{-16}}{2}=\dfrac{2\pm4i}{2}\) \(x=1\pm2i\)（互いに共役な2つの虚数解）

大事なのはここから。\(D<0\) で実数解がなくても、解と係数の関係はそのまま成り立つ。次のSTEPで確認しよう。

STEP 2

解と係数の関係

2次方程式 \(ax^2+bx+c=0\)（\(a\ne0\)）の2つの解を \(\alpha,\ \beta\) とすると、次の関係がつねに成り立つ。

\(\alpha+\beta=-\dfrac{b}{a}\)　　\(\alpha\beta=\dfrac{c}{a}\)

これは実数解のときも虚数解のときも例外なく成り立つ、とても便利な公式。導いてみよう。

導出　解の公式 \(x=\dfrac{-b\pm\sqrt{D}}{2a}\) から確かめよ。

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\(\alpha=\dfrac{-b+\sqrt{D}}{2a}\)、\(\beta=\dfrac{-b-\sqrt{D}}{2a}\) とおく。 【和】\(\alpha+\beta=\dfrac{(-b+\sqrt{D})+(-b-\sqrt{D})}{2a}=\dfrac{-2b}{2a}=-\dfrac{b}{a}\) 【積】\(\alpha\beta=\dfrac{(-b+\sqrt{D})(-b-\sqrt{D})}{(2a)^2}=\dfrac{b^2-D}{4a^2}\) ここで \(D=b^2-4ac\) を代入すると \(b^2-D=b^2-(b^2-4ac)=4ac\) よって \(\alpha\beta=\dfrac{4ac}{4a^2}=\dfrac{c}{a}\) \(\alpha+\beta=-\dfrac{b}{a}\)、\(\alpha\beta=\dfrac{c}{a}\)（\(\sqrt{D}\) が消えるので実数解でも虚数解でも成り立つ）

例題1　\(2x^2-5x+1=0\) の2つの解を \(\alpha,\ \beta\) とするとき、\(\alpha+\beta\)、\(\alpha\beta\) を求めよ。

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\(a=2,\ b=-5,\ c=1\) なので \(\alpha+\beta=-\dfrac{b}{a}=-\dfrac{-5}{2}=\dfrac{5}{2}\) \(\alpha\beta=\dfrac{c}{a}=\dfrac{1}{2}\) \(\alpha+\beta=\dfrac{5}{2}\)、\(\alpha\beta=\dfrac{1}{2}\)

例題2　\(x^2-3x+5=0\) の2つの解を \(\alpha,\ \beta\) とするとき、\(\alpha+\beta\)、\(\alpha\beta\) を求めよ。

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\(D=(-3)^2-4\cdot1\cdot5=9-20=-11<0\) なので実は虚数解。でも解と係数の関係は関係なく使える。 \(a=1,\ b=-3,\ c=5\) より \(\alpha+\beta=-\dfrac{-3}{1}=3\) \(\alpha\beta=\dfrac{5}{1}=5\) \(\alpha+\beta=3\)、\(\alpha\beta=5\)（実際に解かなくても求められる）
STEP 3

対称式の値を求める

\(\alpha^2+\beta^2\) や \(\alpha^3+\beta^3\) のように、\(\alpha\) と \(\beta\) を入れ替えても形が変わらない式を「対称式」という。対称式は必ず \(\alpha+\beta\) と \(\alpha\beta\) だけを使って書き換えられるので、\(\alpha,\ \beta\) の値を求めなくても計算できる。

\(\alpha^2+\beta^2=(\alpha+\beta)^2-2\alpha\beta\)
\(\alpha^3+\beta^3=(\alpha+\beta)^3-3\alpha\beta(\alpha+\beta)\)

導出1　\(\alpha^2+\beta^2=(\alpha+\beta)^2-2\alpha\beta\) を確かめよ。

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\((\alpha+\beta)^2=\alpha^2+2\alpha\beta+\beta^2\) を展開する。 移項すると \(\alpha^2+\beta^2=(\alpha+\beta)^2-2\alpha\beta\) 2乗の和は「和の2乗」から「積の2倍」を引けば作れる

導出2　\(\alpha^3+\beta^3=(\alpha+\beta)^3-3\alpha\beta(\alpha+\beta)\) を確かめよ。

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\((\alpha+\beta)^3=\alpha^3+3\alpha^2\beta+3\alpha\beta^2+\beta^3=\alpha^3+\beta^3+3\alpha\beta(\alpha+\beta)\) を展開する。 移項すると \(\alpha^3+\beta^3=(\alpha+\beta)^3-3\alpha\beta(\alpha+\beta)\) なお \(\alpha^3+\beta^3=(\alpha+\beta)(\alpha^2-\alpha\beta+\beta^2)\) と因数分解した形で計算してもよい

例題　\(x^2-3x+5=0\) の2つの解を \(\alpha,\ \beta\) とするとき、\(\alpha^2+\beta^2\)、\(\alpha^3+\beta^3\) を求めよ。

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解と係数の関係より \(\alpha+\beta=3\)、\(\alpha\beta=5\)。 \(\alpha^2+\beta^2=(\alpha+\beta)^2-2\alpha\beta=3^2-2\cdot5=9-10=-1\) \(\alpha^3+\beta^3=(\alpha+\beta)^3-3\alpha\beta(\alpha+\beta)=3^3-3\cdot5\cdot3=27-45=-18\) \(\alpha^2+\beta^2=-1\)、\(\alpha^3+\beta^3=-18\)
おまけ　\((\alpha-\beta)^2=(\alpha+\beta)^2-4\alpha\beta\) も同じ考え方で作れる。上の例で計算すると \(3^2-4\cdot5=9-20=-11\)。これは \(a=1\) のときの判別式 \(D\) の値と一致する（一般には \((\alpha-\beta)^2=\dfrac{D}{a^2}\)）。
STEP 4

2数を解とする2次方程式を作る

解と係数の関係を逆向きに使うと、「和が \(p\)、積が \(q\) になる2数」を解とする2次方程式を作ることができる。

2数 \(\alpha,\ \beta\) の和が \(p\)、積が \(q\) のとき、\(\alpha,\ \beta\) は
\(x^2-px+q=0\) の解

導出　\((x-\alpha)(x-\beta)=0\) を展開して確かめよ。

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\(\alpha,\ \beta\) を解とする2次方程式の1つは \((x-\alpha)(x-\beta)=0\)。 展開すると \(x^2-(\alpha+\beta)x+\alpha\beta=0\) \(\alpha+\beta=p,\ \alpha\beta=q\) を代入すると \(x^2-px+q=0\)

例題1　和が \(3\)、積が \(5\) である2数を解とする2次方程式を、\(x^2+ax+b=0\) の形で求めよ。

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\(x^2-px+q=0\) に \(p=3,\ q=5\) を代入すると \(x^2-3x+5=0\) （これはSTEP2・STEP3で使った方程式そのもの。解と係数の関係は「方程式→和・積」だけでなく「和・積→方程式」の向きにも使える） \(x^2-3x+5=0\)（\(a=-3,\ b=5\)）

例題2　\(-2\) と \(5\) を解とする2次方程式を、\(x^2+ax+b=0\) の形で求めよ。

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和 \(p=-2+5=3\)、積 \(q=(-2)\times5=-10\) \(x^2-px+q=0\) に代入すると \(x^2-3x-10=0\) \(x^2-3x-10=0\)（\(a=-3,\ b=-10\)）
この章の流れ　方程式 → （解と係数の関係）→ 和・積 → （対称式の変形）→ いろいろな式の値、または → （逆向き）→ 新しい方程式。
\(\alpha,\ \beta\) の実際の値を求めなくても、和と積だけで答えにたどり着けるのがこの単元の強み。
練習問題（全18問）

答えを入力して「採点」を押すと○×が出るぞ。分数は「-1/2」のように入力。
わからないときは「解説を見る」で解き方を確認しよう。

基本（1〜7）
1
係数から直接

\(x^2-5x+6=0\) の2つの解を \(\alpha,\ \beta\) とするとき、\(\alpha+\beta\)、\(\alpha\beta\) を求めよ。

\(\alpha+\beta=\) 　\(\alpha\beta=\)
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\(a=1,\ b=-5,\ c=6\) より \(\alpha+\beta=-\dfrac{-5}{1}=5\)、\(\alpha\beta=\dfrac{6}{1}=6\) \(\alpha+\beta=5\)、\(\alpha\beta=6\)
2
aが1でない

\(2x^2-7x+3=0\) の2つの解を \(\alpha,\ \beta\) とするとき、\(\alpha+\beta\)、\(\alpha\beta\) を求めよ。

\(\alpha+\beta=\) 　\(\alpha\beta=\)
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\(a=2,\ b=-7,\ c=3\) より \(\alpha+\beta=-\dfrac{-7}{2}=\dfrac{7}{2}\)、\(\alpha\beta=\dfrac{3}{2}\) \(\alpha+\beta=\dfrac{7}{2}\)、\(\alpha\beta=\dfrac{3}{2}\)
3
負の項をふくむ

\(x^2+4x-1=0\) の2つの解を \(\alpha,\ \beta\) とするとき、\(\alpha+\beta\)、\(\alpha\beta\) を求めよ。

\(\alpha+\beta=\) 　\(\alpha\beta=\)
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\(a=1,\ b=4,\ c=-1\) より \(\alpha+\beta=-\dfrac{4}{1}=-4\)、\(\alpha\beta=\dfrac{-1}{1}=-1\) \(\alpha+\beta=-4\)、\(\alpha\beta=-1\)
4
aが1でない・負の項

\(3x^2+x-2=0\) の2つの解を \(\alpha,\ \beta\) とするとき、\(\alpha+\beta\)、\(\alpha\beta\) を求めよ。

\(\alpha+\beta=\) 　\(\alpha\beta=\)
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\(a=3,\ b=1,\ c=-2\) より \(\alpha+\beta=-\dfrac{1}{3}\)、\(\alpha\beta=\dfrac{-2}{3}=-\dfrac{2}{3}\) \(\alpha+\beta=-\dfrac{1}{3}\)、\(\alpha\beta=-\dfrac{2}{3}\)
5
D<0でも成り立つ

\(x^2-x+3=0\) の2つの解を \(\alpha,\ \beta\) とするとき、\(\alpha+\beta\)、\(\alpha\beta\) を求めよ。

\(\alpha+\beta=\) 　\(\alpha\beta=\)
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\(D=(-1)^2-4\cdot1\cdot3=1-12=-11<0\) なので虚数解だが、解と係数の関係は関係なく使える。 \(a=1,\ b=-1,\ c=3\) より \(\alpha+\beta=1\)、\(\alpha\beta=3\) \(\alpha+\beta=1\)、\(\alpha\beta=3\)
6
α²+β²の基本

\(\alpha+\beta=4\)、\(\alpha\beta=7\) のとき、\(\alpha^2+\beta^2\) の値を求めよ。

\(\alpha^2+\beta^2=\)
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\(\alpha^2+\beta^2=(\alpha+\beta)^2-2\alpha\beta=4^2-2\cdot7=16-14=2\) \(\alpha^2+\beta^2=2\)
7
1/α+1/βの基本

\(\alpha+\beta=-2\)、\(\alpha\beta=3\) のとき、\(\dfrac{1}{\alpha}+\dfrac{1}{\beta}\) の値を求めよ。

\(\dfrac{1}{\alpha}+\dfrac{1}{\beta}=\)
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通分すると \(\dfrac{1}{\alpha}+\dfrac{1}{\beta}=\dfrac{\beta+\alpha}{\alpha\beta}=\dfrac{\alpha+\beta}{\alpha\beta}=\dfrac{-2}{3}=-\dfrac{2}{3}\) \(\dfrac{1}{\alpha}+\dfrac{1}{\beta}=-\dfrac{2}{3}\)
標準（8〜14）　※どの公式を使うか自分で判定
8

\(x^2-4x+2=0\) の2つの解を \(\alpha,\ \beta\) とするとき、\(\alpha^2+\beta^2\) の値を求めよ。

\(\alpha^2+\beta^2=\)
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\(\alpha+\beta=4\)、\(\alpha\beta=2\) \(\alpha^2+\beta^2=(\alpha+\beta)^2-2\alpha\beta=16-4=12\) \(\alpha^2+\beta^2=12\)
9

\(x^2+2x-4=0\) の2つの解を \(\alpha,\ \beta\) とするとき、\(\alpha^3+\beta^3\) の値を求めよ。

\(\alpha^3+\beta^3=\)
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\(\alpha+\beta=-2\)、\(\alpha\beta=-4\) \(\alpha^3+\beta^3=(\alpha+\beta)^3-3\alpha\beta(\alpha+\beta)=(-2)^3-3\cdot(-4)\cdot(-2)=-8-24=-32\) \(\alpha^3+\beta^3=-32\)
10

\(x^2-3x+1=0\) の2つの解を \(\alpha,\ \beta\) とするとき、\((\alpha-\beta)^2\) の値を求めよ。

\((\alpha-\beta)^2=\)
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\(\alpha+\beta=3\)、\(\alpha\beta=1\) \((\alpha-\beta)^2=(\alpha+\beta)^2-4\alpha\beta=9-4=5\) \((\alpha-\beta)^2=5\)
11
2数から方程式を作る

\(4\) と \(-3\) を解とする2次方程式を、\(x^2+ax+b=0\) の形で求めよ。

\(a=\) 　\(b=\)
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和 \(p=4+(-3)=1\)、積 \(q=4\times(-3)=-12\) \(x^2-px+q=0\) に代入すると \(x^2-x-12=0\) \(a=-1,\ b=-12\)
12
和と積から方程式を作る

\(\alpha+\beta=5\)、\(\alpha\beta=-6\) であるとき、\(\alpha,\ \beta\) を解とする2次方程式を \(x^2+ax+b=0\) の形で求めよ。

\(a=\) 　\(b=\)
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\(x^2-px+q=0\) に \(p=5,\ q=-6\) を代入すると \(x^2-5x-6=0\) \(a=-5,\ b=-6\)
13

\(x^2+5x+8=0\) の2つの解を \(\alpha,\ \beta\) とするとき、\(\dfrac{1}{\alpha}+\dfrac{1}{\beta}\) の値を求めよ。

\(\dfrac{1}{\alpha}+\dfrac{1}{\beta}=\)
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\(\alpha+\beta=-5\)、\(\alpha\beta=8\) \(\dfrac{1}{\alpha}+\dfrac{1}{\beta}=\dfrac{\alpha+\beta}{\alpha\beta}=\dfrac{-5}{8}=-\dfrac{5}{8}\) \(\dfrac{1}{\alpha}+\dfrac{1}{\beta}=-\dfrac{5}{8}\)
14
α²β+αβ²の変形

\(x^2-2x+4=0\) の2つの解を \(\alpha,\ \beta\) とするとき、\(\alpha^2\beta+\alpha\beta^2\) の値を求めよ。

\(\alpha^2\beta+\alpha\beta^2=\)
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\(\alpha^2\beta+\alpha\beta^2=\alpha\beta(\alpha+\beta)\) と因数分解できる。 \(\alpha+\beta=2\)、\(\alpha\beta=4\) なので \(\alpha\beta(\alpha+\beta)=4\times2=8\) \(\alpha^2\beta+\alpha\beta^2=8\)
挑戦（15〜18）
15
解を平行移動した方程式

\(x^2-4x+6=0\) の2つの解を \(\alpha,\ \beta\) とするとき、\(\alpha+1,\ \beta+1\) を解とする2次方程式を \(x^2+ax+b=0\) の形で求めよ。

\(a=\) 　\(b=\)
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\(\alpha+\beta=4\)、\(\alpha\beta=6\)。新しい解の和・積を計算する。 和：\((\alpha+1)+(\beta+1)=\alpha+\beta+2=4+2=6\) 積：\((\alpha+1)(\beta+1)=\alpha\beta+\alpha+\beta+1=6+4+1=11\) 新しい方程式は \(x^2-6x+11=0\) \(a=-6,\ b=11\)
16
解の逆数を解とする方程式

\(x^2-3x+6=0\) の2つの解を \(\alpha,\ \beta\) とするとき、\(\dfrac{1}{\alpha},\ \dfrac{1}{\beta}\) を解とする2次方程式を \(x^2+ax+b=0\) の形で求めよ。

\(a=\) 　\(b=\)
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\(\alpha+\beta=3\)、\(\alpha\beta=6\)。新しい解の和・積を計算する。 和：\(\dfrac{1}{\alpha}+\dfrac{1}{\beta}=\dfrac{\alpha+\beta}{\alpha\beta}=\dfrac{3}{6}=\dfrac{1}{2}\) 積：\(\dfrac{1}{\alpha}\times\dfrac{1}{\beta}=\dfrac{1}{\alpha\beta}=\dfrac{1}{6}\) 新しい方程式は \(x^2-\dfrac{1}{2}x+\dfrac{1}{6}=0\) \(a=-\dfrac{1}{2},\ b=\dfrac{1}{6}\)
17
係数が分数になる対称式

\(2x^2-3x+4=0\) の2つの解を \(\alpha,\ \beta\) とするとき、\(\alpha^3+\beta^3\) の値を求めよ。

\(\alpha^3+\beta^3=\)
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\(a=2,\ b=-3,\ c=4\) より \(\alpha+\beta=\dfrac{3}{2}\)、\(\alpha\beta=2\) \(\alpha^3+\beta^3=(\alpha+\beta)^3-3\alpha\beta(\alpha+\beta)=\left(\dfrac{3}{2}\right)^3-3\cdot2\cdot\dfrac{3}{2}=\dfrac{27}{8}-9=\dfrac{27}{8}-\dfrac{72}{8}=-\dfrac{45}{8}\) \(\alpha^3+\beta^3=-\dfrac{45}{8}\)
18
α²+αβ+β²の変形

\(x^2+3x+5=0\) の2つの解を \(\alpha,\ \beta\) とするとき、\(\alpha^2+\alpha\beta+\beta^2\) の値を求めよ。

\(\alpha^2+\alpha\beta+\beta^2=\)
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\(\alpha^2+\alpha\beta+\beta^2=(\alpha^2+\beta^2)+\alpha\beta=\{(\alpha+\beta)^2-2\alpha\beta\}+\alpha\beta=(\alpha+\beta)^2-\alpha\beta\) と変形できる。 \(\alpha+\beta=-3\)、\(\alpha\beta=5\) なので \((\alpha+\beta)^2-\alpha\beta=9-5=4\) \(\alpha^2+\alpha\beta+\beta^2=4\)
応用問題（プリント限定）

ここから先はPDF限定の腕試し。解の条件から係数の範囲を求める問題など、入試の基礎レベルに挑戦しよう。

応1
解の条件（2解ともに正）から係数の範囲

\(x^2-2kx+(k+2)=0\) が異なる2つの正の実数解をもつとき、定数 \(k\) の値の範囲を求めよ。（\(k >\) の形で境界の値を入力）

\(k >\)
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「異なる2つの正の実数解」なので、次の3条件をすべて満たす必要がある。 【条件1：判別式】\(D=(-2k)^2-4(k+2)=4k^2-4k-8=4(k-2)(k+1)\) 異なる2つの実数解をもつので \(D>0\)。よって \((k-2)(k+1)>0\)、すなわち \(k<-1\) または \(k>2\) 【条件2：2解の和が正】解と係数の関係より和 \(=2k\)。2解ともに正なら和も正なので \(2k>0\)、すなわち \(k>0\) 【条件3：2解の積が正】解と係数の関係より積 \(=k+2\)。2解ともに正なら積も正なので \(k+2>0\)、すなわち \(k>-2\) 3つの条件をすべて満たす範囲を数直線上で重ねる。条件2（\(k>0\)）の中では条件1の「\(k<-1\)」は成り立たないので、条件1は実質「\(k>2\)」だけが残る。条件3（\(k>-2\)）は \(k>2\) の中でつねに満たされている。 \(k > 2\)
応2
対称式の応用

\(x^2-4x+2=0\) の2つの解を \(\alpha,\ \beta\) とするとき、\((\alpha+1)^2+(\beta+1)^2\) の値を求めよ。

\((\alpha+1)^2+(\beta+1)^2=\)
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まず展開して \(\alpha+\beta\)、\(\alpha\beta\) の式に直す。 \((\alpha+1)^2+(\beta+1)^2=(\alpha^2+2\alpha+1)+(\beta^2+2\beta+1)=(\alpha^2+\beta^2)+2(\alpha+\beta)+2\) \(\alpha+\beta=4\)、\(\alpha\beta=2\) より \(\alpha^2+\beta^2=(\alpha+\beta)^2-2\alpha\beta=16-4=12\) 代入すると \(12+2\times4+2=12+8+2=22\) \((\alpha+1)^2+(\beta+1)^2=22\)
応3
解の差の条件からkを求める（2つ答えあり）

2次方程式 \(x^2-(k+1)x+k=0\) の2つの解の差が \(3\) であるとき、定数 \(k\) の値を求めよ。（2つある場合はコンマ区切りで入力）

\(k=\)
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解と係数の関係より、和 \(\alpha+\beta=k+1\)、積 \(\alpha\beta=k\)。 2解の差 \(\alpha-\beta\) は \((\alpha-\beta)^2=(\alpha+\beta)^2-4\alpha\beta\) で求められる。 \((\alpha-\beta)^2=(k+1)^2-4k=k^2+2k+1-4k=k^2-2k+1=(k-1)^2\) 差が \(3\) なので \((\alpha-\beta)^2=3^2=9\)。よって \((k-1)^2=9\)、\(k-1=\pm3\)、\(k=4\) または \(k=-2\) 検算：\(k=4\) のとき \(x^2-5x+4=0\)（解 \(1,4\)、差 \(3\)）。\(k=-2\) のとき \(x^2+x-2=0\)（解 \(1,-2\)、差 \(3\)）。どちらも成立。 \(k=4\) または \(k=-2\)
応4
解を2乗した数を解とする方程式

\(x^2-2x-2=0\) の2つの解を \(\alpha,\ \beta\) とするとき、\(\alpha^2,\ \beta^2\) を解とする2次方程式を \(x^2+ax+b=0\) の形で求めよ。

\(a=\) 　\(b=\)
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\(\alpha+\beta=2\)、\(\alpha\beta=-2\)。新しい解 \(\alpha^2,\ \beta^2\) の和・積を計算する。 和：\(\alpha^2+\beta^2=(\alpha+\beta)^2-2\alpha\beta=4-2\times(-2)=4+4=8\) 積：\(\alpha^2\times\beta^2=(\alpha\beta)^2=(-2)^2=4\) 新しい方程式は \(x^2-8x+4=0\) \(a=-8,\ b=4\)
応5
虚数解と絶対値（複素数の単元らしい応用）

\(x^2-4x+13=0\) の2つの解を \(\alpha,\ \beta\)（互いに共役な複素数）とするとき、\(\alpha\overline{\alpha}\)（\(\alpha\) の絶対値の2乗）の値を求めよ。ただし \(\overline{\alpha}\) は \(\alpha\) と共役な複素数を表す。

\(\alpha\overline{\alpha}=\)
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\(D=(-4)^2-4\cdot1\cdot13=16-52=-36<0\) なので \(\alpha,\ \beta\) は互いに共役な虚数解であり、\(\beta=\overline{\alpha}\) が成り立つ。 したがって \(\alpha\overline{\alpha}=\alpha\beta\) であり、これは解と係数の関係の積そのもの。 \(\alpha\beta=\dfrac{c}{a}=\dfrac{13}{1}=13\) （検算：実際に解くと \(x=2\pm3i\) なので \(\alpha\overline{\alpha}=(2+3i)(2-3i)=4+9=13\) で一致する） \(\alpha\overline{\alpha}=13\)