最大・最小、方程式への応用

解説＋ドリル全16問・自動採点つき

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STEP 1

区間における最大値・最小値

3次関数などのグラフは、放物線と違って頂点が1つとは限らない。区間 \(a \le x \le b\) での最大値・最小値を求めるときは、増減表をかいて極大値・極小値の候補を出したうえで、区間の両端の値も必ず比べる。極値だけで判断すると、端の方が大きい（小さい）場合を見落として間違える。

手順1　\(f'(x)\) を求め、\(f'(x)=0\) となる \(x\) を求める（区間内にあるものだけ使う）。
手順2　区間内で増減表をかき、極大値・極小値を求める。
手順3　極大値・極小値と、区間の両端 \(x=a,\ x=b\) での値をすべて比べ、いちばん大きいものが最大値、いちばん小さいものが最小値。

例題1　\(y = x^3 - 3x\)（\(-2 \le x \le 3\)）の最大値・最小値を求めよ。

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\(f'(x) = 3x^2 - 3 = 3(x-1)(x+1)\)。\(f'(x)=0\) より \(x=-1,\ 1\)（どちらも区間 \([-2,3]\) の中）。 増減表（区間 \(-2 \le x \le 3\)）： \(x\)：\(-2 \to -1 \to 1 \to 3\) \(f'(x)\)：\(+\ \ 0\ \ -\ \ 0\ \ +\) \(f(x)\)：\(-2 \to 2\)（極大）\(\to -2\)（極小）\(\to 18\) 極大値は \(2\)、極小値は \(-2\)。ここで区間の両端も確認すると \(f(-2)=-2\)、\(f(3)=18\)。 4つの値 \(-2,\ 2,\ -2,\ 18\) を比べると、いちばん大きいのは端点 \(x=3\) の \(18\)（極大値2より大きい！）、いちばん小さいのは \(-2\)（\(x=-2\) と \(x=1\) の両方でとる）。 \(x=3\) のとき最大値 \(18\)、\(x=-2,\ 1\) のとき最小値 \(-2\)

例題2　\(y = x^3 - 3x^2 - 9x - 1\)（\(5 \le x \le 7\)）の最大値・最小値を求めよ。

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\(f'(x) = 3x^2 - 6x - 9 = 3(x-3)(x+1)\)。\(f'(x)=0\) より \(x=-1,\ 3\)。どちらも区間 \([5,7]\) の外（\(5\) より左）。 区間 \([5,7]\) の中で符号を確認：\(x=6\) を代入すると \(f'(6)=3(6-3)(6+1)=3\cdot3\cdot7=63>0\)。区間内はずっと増加。 極値点が区間の外にあるときは、区間内は単調増加（または単調減少）になるので、両端の値だけ比べればよい。 \(f(5) = 125 - 75 - 45 - 1 = 4\) \(f(7) = 343 - 147 - 63 - 1 = 132\) \(x=7\) で最大値 \(132\)、\(x=5\) で最小値 \(4\)
注意　極値の候補が区間の外にあるときは、区間内で \(f'(x)\) の符号を1回チェックするだけで「ずっと増加」か「ずっと減少」かがわかる。この場合は端点2つの値を比べるだけで最大・最小が決まる。
STEP 2

最大・最小の文章題（体積の最大）

「容器の体積を最大にしたい」といった文章題では、まず求めたい量を1つの文字 \(x\) の式で表し、その式の増減を調べて最大値・最小値を求める。変数のとりうる範囲（定義域）を書き忘れないのが最重要ポイント。

例題　1辺が \(12\)cm の正方形の厚紙がある。この厚紙の四隅から1辺 \(x\)cm の正方形を切り取り、残りを折り曲げてふたのない直方体の箱を作る。箱の体積 \(V\) を最大にする \(x\) の値と、そのときの \(V\) を求めよ。

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底面は1辺 \((12-2x)\)cm の正方形、高さは \(x\)cm なので \(V = x(12-2x)^2\)（定義域は \(0 < x < 6\)。\(x\) が \(0\) や \(6\) だと箱にならない） 展開すると \(V = x(144-48x+4x^2) = 4x^3 - 48x^2 + 144x\) \(V'(x) = 12x^2 - 96x + 144 = 12(x^2-8x+12) = 12(x-2)(x-6)\) \(V'(x)=0\) より \(x=2,\ 6\)。定義域 \(0<x<6\) の中にあるのは \(x=2\) のみ。 増減表： \(x\)：\((0) \to 2 \to (6)\) \(V'(x)\)：\(+\ \ 0\ \ -\) \(V(x)\)：\((0) \to 128 \to (0)\) \(x=2\) の前後で増加から減少に変わるので、\(x=2\) で極大かつ最大（定義域の端は \(V=0\) に近づくだけで実現しない）。 \(V(2) = 2 \times (12-4)^2 = 2 \times 64 = 128\) \(x=2\) のとき体積は最大値 \(128\)cm³
STEP 3

方程式への応用（実数解の個数）

方程式 \(f(x) = a\) の実数解の個数は、グラフ \(y=f(x)\) と直線 \(y=a\) の交点の個数と一致する。極大値・極小値をもつ3次関数では、\(a\) の値によって交点が1個・2個・3個と変化する。極大値と極小値を求めれば、境目の値がわかる。

例題　方程式 \(x^3 - 3x = a\) の異なる実数解の個数は、定数 \(a\) の値によってどう変わるか調べよ。

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\(f(x)=x^3-3x\) とおく。\(f'(x)=3x^2-3=3(x-1)(x+1)\)。\(f'(x)=0\) より \(x=-1,\ 1\)。 増減表より \(x=-1\) で極大値 \(f(-1)=2\)、\(x=1\) で極小値 \(f(1)=-2\)。 \(y=f(x)\) のグラフと直線 \(y=a\) の交点の個数を考える。 グラフは \(x\to-\infty\) で \(-\infty\)、いったん \(x=-1\) で極大値2まで上がり、\(x=1\) まで下がって極小値\(-2\)、そこから \(x\to\infty\) で \(+\infty\) まで増加する形。 - \(a > 2\) または \(a < -2\) のとき：交点は\(1\)個（極大値と極小値の外側は1回しか横切らない） - \(a = 2\) または \(a = -2\) のとき：交点は\(2\)個（極値の点でグラフが直線に接する） - \(-2 < a < 2\) のとき：交点は\(3\)個（極大値と極小値の間はグラフが3回横切る） 実数解の個数は、\(a > 2,\ a < -2\) で1個／\(a = \pm2\) で2個／\(-2 < a < 2\) で3個
STEP 4

不等式への応用

「\(x > 0\) のとき \(f(x) > 0\) を示せ」のような問題は、\(f(x)\) の最小値が正であることを示せばよい。増減表をかいて最小値を求め、その値が \(0\) より大きいと言えれば証明完了。

例題　\(x > 0\) のとき、\(x^3 - 3x + 3 > 0\) が成り立つことを証明せよ。

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\(f(x) = x^3 - 3x + 3\) とおく。\(f'(x) = 3x^2 - 3 = 3(x-1)(x+1)\)。 \(x > 0\) の範囲で \(f'(x)=0\) となるのは \(x=1\) のみ（\(x=-1\) は範囲外）。 増減表（\(x > 0\)）： \(x\)：\((0) \to 1 \to\) \(f'(x)\)：\(-\ \ 0\ \ +\) \(f(x)\)：\((3) \to 1\)（最小）\(\to\) \(x > 0\) の範囲で \(f(x)\) は \(x=1\) で最小値 \(f(1) = 1-3+3 = 1\) をとる。 最小値が \(1 > 0\) なので、\(x > 0\) のすべての \(x\) について \(f(x) \ge 1 > 0\) が成り立つ。 \(x > 0\) のとき \(x^3-3x+3 \ge 1 > 0\)。よって題意は示された。
練習問題（全16問）

答えを入力して「採点」を押すと○×が出るぞ。増減表を自分の手でかいてから解こう。

基本（1〜8）
1
極小のみが区間内

\(y = x^3 - 3x + 1\)（\(0 \le x \le 2\)）の最大値・最小値を求めよ。

最大値 （\(x=\) ）　最小値 （\(x=\) ）
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\(f'(x)=3x^2-3=3(x-1)(x+1)\)。区間内の解は \(x=1\) のみ。 \(f(0)=1\)　\(f(1)=-1\)（極小）　\(f(2)=3\) \(x=2\) で最大値 \(3\)、\(x=1\) で最小値 \(-1\)
2
極小のみが区間内

\(y = -x^3 + 3x - 1\)（\(-2 \le x \le 0\)）の最大値・最小値を求めよ。

最大値 （\(x=\) ）　最小値 （\(x=\) ）
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\(f'(x)=-3x^2+3=-3(x-1)(x+1)\)。区間内の解は \(x=-1\) のみ。 \(f(-2)=1\)　\(f(-1)=-3\)（極小）　\(f(0)=-1\) \(x=-2\) で最大値 \(1\)、\(x=-1\) で最小値 \(-3\)
3
極大のみが区間内

\(y = x^3 - 6x^2 + 9x\)（\(0 \le x \le 2\)）の最大値・最小値を求めよ。

最大値 （\(x=\) ）　最小値 （\(x=\) ）
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\(f'(x)=3x^2-12x+9=3(x-1)(x-3)\)。区間内の解は \(x=1\) のみ（\(x=3\) は範囲外）。 \(f(0)=0\)　\(f(1)=4\)（極大）　\(f(2)=2\) \(x=1\) で最大値 \(4\)、\(x=0\) で最小値 \(0\)
4
両端が最大・最小

\(y = 2x^3 - 3x^2\)（\(-1 \le x \le 2\)）の最大値・最小値を求めよ。

最大値 （\(x=\) ）　最小値 （\(x=\) ）
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\(f'(x)=6x^2-6x=6x(x-1)\)。区間内の解は \(x=0,\ 1\)。 \(f(-1)=-5\)　\(f(0)=0\)（極大）　\(f(1)=-1\)（極小）　\(f(2)=4\) 極値より端点の方が大きい・小さいので、最大・最小は両方とも端点でとる。 \(x=2\) で最大値 \(4\)、\(x=-1\) で最小値 \(-5\)
5
片方が端点

\(y = -x^3 + 3x^2\)（\(-1 \le x \le 1\)）の最大値・最小値を求めよ。

最大値 （\(x=\) ）　最小値 （\(x=\) ）
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\(f'(x)=-3x^2+6x=-3x(x-2)\)。区間内の解は \(x=0\) のみ。 \(f(-1)=4\)　\(f(0)=0\)（極小）　\(f(1)=2\) \(x=-1\) で最大値 \(4\)、\(x=0\) で最小値 \(0\)
6
極大のみが区間内

\(y = x^3 - 3x + 2\)（\(-3 \le x \le 0\)）の最大値・最小値を求めよ。

最大値 （\(x=\) ）　最小値 （\(x=\) ）
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\(f'(x)=3x^2-3=3(x-1)(x+1)\)。区間内の解は \(x=-1\) のみ（\(x=1\) は範囲外）。 \(f(-3)=-16\)　\(f(-1)=4\)（極大）　\(f(0)=2\) \(x=-1\) で最大値 \(4\)、\(x=-3\) で最小値 \(-16\)
7
極大・極小とも区間内

\(y = x^3 - 3x^2 - 9x + 5\)（\(-2 \le x \le 4\)）の最大値・最小値を求めよ。

最大値 （\(x=\) ）　最小値 （\(x=\) ）
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\(f'(x)=3x^2-6x-9=3(x-3)(x+1)\)。区間内の解は \(x=-1,\ 3\)。 \(f(-2)=3\)　\(f(-1)=10\)（極大）　\(f(3)=-22\)（極小）　\(f(4)=-15\) 極大・極小がそれぞれ端点より大きい・小さいので、最大・最小は両方とも極値でとる。 \(x=-1\) で最大値 \(10\)、\(x=3\) で最小値 \(-22\)
8
極値が区間の外→単調

\(y = 2x^3 - 3x^2 - 1\)（\(2 \le x \le 3\)）の最大値・最小値を求めよ。

最大値 （\(x=\) ）　最小値 （\(x=\) ）
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\(f'(x)=6x^2-6x=6x(x-1)\)。\(f'(x)=0\) の解は \(x=0,\ 1\) で、どちらも区間 \([2,3]\) の外。 \(x=2.5\) で符号を確認すると \(f'(2.5)=6(2.5)(1.5)=22.5>0\) なので区間内はずっと増加。 \(f(2)=16-12-1=3\)　\(f(3)=54-27-1=26\) \(x=3\) で最大値 \(26\)、\(x=2\) で最小値 \(3\)
標準（9〜12）
9
方程式への応用：解の個数

\(y = x^3 - 3x^2\) の極大値は \(0\)（\(x=0\)）、極小値は \(-4\)（\(x=2\)）である。方程式 \(x^3-3x^2 = 1\) の異なる実数解の個数を求めよ。

実数解の個数 個
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\(a=1\) は極大値 \(0\) より大きい（\(a > 0\)）。極大値より大きい範囲では、直線 \(y=1\) はグラフと1回しか交わらない。 実数解の個数は \(1\) 個
10
方程式への応用：解の個数

\(y = x^3 - 3x^2\)（極大値 \(0\)、極小値 \(-4\)）について、方程式 \(x^3-3x^2 = -2\) の異なる実数解の個数を求めよ。

実数解の個数 個
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\(a=-2\) は極小値 \(-4\) より大きく、極大値 \(0\) より小さい（\(-4 < a < 0\)）。この範囲では直線はグラフと3回交わる。 実数解の個数は \(3\) 個
11
方程式への応用：境目の値

\(y = x^3 - 3x^2\)（極大値 \(0\)、極小値 \(-4\)）について、方程式 \(x^3-3x^2 = -4\) の異なる実数解の個数を求めよ。

実数解の個数 個
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\(a=-4\) はちょうど極小値と一致する。この場合、グラフは極小点で直線に接するので、交点は「極小点（重解）」と「もう1か所」の合計2個になる。 実際に \(x^3-3x^2+4=0\) を解くと \((x+1)(x-2)^2=0\) となり、\(x=-1\) と \(x=2\)（重解）の2つの実数解。 実数解の個数は \(2\) 個
12
文章題：箱の体積

1辺が \(18\)cm の正方形の厚紙の四隅から1辺 \(x\)cm の正方形を切り取り、ふたのない箱を作る。体積 \(V\) を最大にする \(x\) の値と、そのときの \(V\) を求めよ。

\(x=\) 　最大値 \(V=\)
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\(V = x(18-2x)^2\)（\(0 < x < 9\)） 展開して \(V = 4x^3-72x^2+324x\) \(V'(x)=12x^2-144x+324=12(x^2-12x+27)=12(x-3)(x-9)\) \(V'(x)=0\) より \(x=3,\ 9\)。定義域内は \(x=3\) のみ。 \(x=3\) の前後で \(V'\) は正から負に変わるので極大かつ最大。 \(V(3)=3\times(18-6)^2=3\times144=432\) \(x=3\) のとき体積は最大値 \(432\)cm³
挑戦（13〜16）
13
最大・最小が2か所ずつでとれる

\(y = x^3 - 3x\)（\(-2 \le x \le 2\)）の最大値・最小値を求めよ。（最大・最小となる \(x\) が2つあるときは「-2,1」のようにコンマ区切りで入力）

最大値 （\(x=\) ）　最小値 （\(x=\) ）
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\(f'(x)=3x^2-3=3(x-1)(x+1)\)。区間内の解は \(x=-1,\ 1\)。 \(f(-2)=-2\)　\(f(-1)=2\)（極大）　\(f(1)=-2\)（極小）　\(f(2)=2\) 極大値2は端点 \(x=2\) の値2と等しく、極小値-2は端点 \(x=-2\) の値-2と等しい。つまり最大値・最小値はどちらも2か所でとる。 \(x=-1,\ 2\) で最大値 \(2\)、\(x=-2,\ 1\) で最小値 \(-2\)
14
極値を求めてから解の個数へ

\(y = x^3 - 12x + 7\) の極大値・極小値を求めよ。また、方程式 \(x^3-12x+7=0\) の異なる実数解の個数を求めよ。

極大値 （\(x=\) ）　極小値 （\(x=\) ）
実数解の個数 個
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\(f'(x)=3x^2-12=3(x-2)(x+2)\)。\(f'(x)=0\) より \(x=-2,\ 2\)。 \(f(-2)=-8+24+7=23\)（極大）　\(f(2)=8-24+7=-9\)（極小） 極大値 \(23>0\)、極小値 \(-9<0\)。極大値が正・極小値が負なので、\(y=f(x)\) のグラフは \(x\) 軸と3回交わる（極大値の手前で1回、極大値と極小値の間で1回、極小値の後で1回）。 極大値 \(23\)（\(x=-2\)）、極小値 \(-9\)（\(x=2\)）、実数解の個数は \(3\) 個
15
文章題：長方形の厚紙

たて \(10\)cm、よこ \(16\)cm の長方形の厚紙の四隅から1辺 \(x\)cm の正方形を切り取り、ふたのない箱を作る。体積 \(V\) を最大にする \(x\) の値と、そのときの \(V\) を求めよ。

\(x=\) 　最大値 \(V=\)
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\(V = x(16-2x)(10-2x)\)（\(0 < x < 5\)） 展開すると \(V = 4x^3-52x^2+160x\) \(V'(x)=12x^2-104x+160=4(3x^2-26x+40)=4(3x-20)(x-2)\) \(V'(x)=0\) より \(x=2,\ \dfrac{20}{3}\)。定義域 \(0<x<5\) の中にあるのは \(x=2\) のみ（\(\dfrac{20}{3}\approx6.7\) は範囲外）。 \(x=2\) の前後で \(V'\) は正から負に変わるので極大かつ最大。 \(V(2)=2\times(16-4)\times(10-4)=2\times12\times6=144\) \(x=2\) のとき体積は最大値 \(144\)cm³
16
不等式の証明（等号が成り立つ場合あり）

\(x \ge 0\) のとき、\(x^3 - 3x^2 + 4 \ge 0\) が成り立つことを証明せよ。

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\(g(x) = x^3-3x^2+4\) とおく。\(g'(x)=3x^2-6x=3x(x-2)\)。 \(x \ge 0\) の範囲で \(g'(x)=0\) となるのは \(x=0,\ 2\)。 増減表（\(x \ge 0\)）： \(x\)：\(0 \to 2 \to\) \(g'(x)\)：\(0\ \ -\ \ 0\ \ +\) \(g(x)\)：\(4 \to 0\)（最小）\(\to\) \(x \ge 0\) の範囲で \(g(x)\) は \(x=2\) で最小値 \(g(2)=8-12+4=0\) をとる。 最小値が \(0\) 以上（ちょうど \(0\)）なので、\(x \ge 0\) のすべての \(x\) について \(g(x) \ge 0\) が成り立つ（等号は \(x=2\) のときのみ成立）。 \(x \ge 0\) のとき \(x^3-3x^2+4 \ge 0\)（等号は \(x=2\) のとき）。よって題意は示された。
応用問題（プリント限定）

ここから先はPDF限定の腕試し。入試の基礎レベルに挑戦しよう。

応1
解の個数から定数の範囲を求める（逆問題）

方程式 \(x^3-3x=a\) が異なる3つの実数解をもつような、定数 \(a\) の値の範囲を求めよ。（境界の値を「\(t_1 < a < t_2\)」の \(t_1,\ t_2\) として入力せよ）

\( < a < \)
解説を見る
\(f(x)=x^3-3x\) とおく。\(f'(x)=3x^2-3=3(x-1)(x+1)\)。\(x=-1\) で極大値 \(f(-1)=2\)、\(x=1\) で極小値 \(f(1)=-2\)。 方程式 \(f(x)=a\) が異なる3つの実数解をもつのは、直線 \(y=a\) がグラフと3回交わるとき、つまり \(a\) が極小値と極大値の間（両端を含まない）にあるとき。 \(-2 < a < 2\)
応2
文章題の本格版：区間制限つき体積最大

1辺が \(12\)cm の正方形の厚紙の四隅から1辺 \(x\)cm の正方形を切り取り、ふたのない箱を作る。ただし部品の強度の関係で \(3 \le x \le 5\) の範囲でしか作れないとする。体積 \(V\) を最大にする \(x\) の値と、そのときの \(V\) を求めよ。

\(x=\) 　最大値 \(V=\)
解説を見る
\(V = x(12-2x)^2 = 4x^3-48x^2+144x\) \(V'(x)=12x^2-96x+144=12(x^2-8x+12)=12(x-2)(x-6)\) \(V'(x)=0\) の解は \(x=2,\ 6\)。どちらも定義域 \([3,5]\) の外側（\(2\) は左外、\(6\) は右外）。 \(x=4\) で符号を確認：\(V'(4)=12(4-2)(4-6)=12\times2\times(-2)=-48<0\)。よって区間 \([3,5]\) 内は \(V\) がずっと減少する。 したがって最大値は区間の左端 \(x=3\) でとる（\(x=2\) が定義域の外にあるため、無条件に頂点を答えにするのは誤り）。 \(V(3)=3\times(12-6)^2=3\times36=108\) （参考：\(V(5)=5\times(12-10)^2=5\times4=20\) が最小値） \(x=3\) のとき体積は最大値 \(108\)cm³（区間が \(3\le x\le5\) に制限されているため、頂点の \(x=2\) ではなく端点 \(x=3\) が答えになる）
応3
解の個数がちょうど2個になる定数の値

方程式 \(x^3-3x^2=a\) が異なる2つの実数解をもつような、定数 \(a\) の値をすべて求めよ。（2つある場合は「0,-4」のようにコンマ区切りで入力）

\(a=\)
解説を見る
\(f(x)=x^3-3x^2\) とおく。\(f'(x)=3x^2-6x=3x(x-2)\)。\(x=0\) で極大値 \(f(0)=0\)、\(x=2\) で極小値 \(f(2)=-4\)。 異なる2つの実数解をもつのは、直線 \(y=a\) がグラフに接する（極値の点で重なる）とき、つまり \(a\) が極大値または極小値とちょうど一致するとき。 \(a=0\) または \(a=-4\)
応4
不等式の証明（最小値を自分で求める）

\(x \ge 1\) のとき、\(2x^3-3x^2-12x+21 \ge 0\) が成り立つことを証明せよ。まず \(f(x)=2x^3-3x^2-12x+21\) の（\(x\ge1\) における）最小値を求めよ。

最小値
解説を見る
\(f'(x)=6x^2-6x-12=6(x^2-x-2)=6(x-2)(x+1)\)。\(x\ge1\) の範囲で \(f'(x)=0\) となるのは \(x=2\) のみ（\(x=-1\) は範囲外）。 増減表（\(x\ge1\)）： \(x\)：\(1 \to 2 \to\) \(f'(x)\)：\(-\ \ 0\ \ +\) \(f(x)\)：\(8 \to 1\)（最小）\(\to\) \(x\ge1\) の範囲で \(f(x)\) は \(x=2\) で最小値 \(f(2)=16-12-24+21=1\) をとる。 最小値が \(1>0\) なので、\(x\ge1\) のすべての \(x\) について \(f(x) \ge 1 > 0\)、よって \(f(x)\ge0\) も成り立つ。 \(x\ge1\) における最小値は \(1\)（\(x=2\)）。最小値が正なので \(x\ge1\) のとき \(2x^3-3x^2-12x+21\ge0\) が成り立つ。
応5
条件つき最大：表面積一定の直方体

底面が1辺 \(x\)cm の正方形、高さが \(y\)cm の直方体があり、表面積が \(150\)cm² で一定であるとき、体積 \(V\) の最大値を求めよ。

最大値 \(V=\) 　そのとき \(x=\) 　\(y=\)
解説を見る
表面積の条件は（底面2つ＋側面4つ）\(2x^2+4xy=150\)。これを \(y\) について解く（\(x>0\)）と \(y = \dfrac{150-2x^2}{4x} = \dfrac{75-x^2}{2x}\)。 体積は \(V = x^2 y = x^2 \cdot \dfrac{75-x^2}{2x} = \dfrac{x(75-x^2)}{2} = \dfrac{75x-x^3}{2}\)（\(0 < x < \sqrt{75}\)、\(y>0\) の条件から） \(V'(x) = \dfrac{75-3x^2}{2}\)。\(V'(x)=0\) より \(x^2=25\)、\(x>0\) なので \(x=5\)。 \(x<5\) で \(V'(x)>0\)（増加）、\(x>5\) で \(V'(x)<0\)（減少）なので \(x=5\) で極大かつ最大。 \(x=5\) のとき \(y = \dfrac{75-25}{10} = \dfrac{50}{10} = 5\)。 \(V = 5^2 \times 5 = 125\) \(x=5,\ y=5\)（立方体）のとき体積は最大値 \(125\)cm³