接線・関数の増減と極値

解説＋ドリル全18問・自動採点つき

問題プリントPDF 解答つきPDF
STEP 1

接線の方程式

微分係数 \(f'(a)\) は、曲線 \(y=f(x)\) 上の点 \((a,\ f(a))\) における接線の傾きだった。傾きと通る点が分かれば、接線の式はすぐに書ける。

接線の公式
曲線 \(y=f(x)\) 上の点 \((a,\ f(a))\) における接線の方程式は \[ y - f(a) = f'(a)(x - a) \]

例題1　曲線 \(y = x^3 - 3x\) 上の点 \((2,\ 2)\) における接線の方程式を求めよ。

解答を見る
\(f(x)=x^3-3x\) とすると \(f(2)=8-6=2\)（確かに点\((2,2)\)は曲線上）。 \(f'(x)=3x^2-3\)、\(f'(2)=12-3=9\)。 公式にあてはめると \(y - 2 = 9(x - 2)\) \(y = 9x - 16\)

では、接線が通る点は分かっているが、その点が接点かどうか分からないときはどうするか。このときは接点を文字 \(t\) とおいて、まず「\(t\) を使った接線の一般式」を作るのがコツだ。

例題2　点 \(\mathrm{A}(1,\ -2)\) は曲線 \(C: y = x^3 - 3x\) 上の点である（\(f(1)=1-3=-2\) より確認できる）。点Aを通る接線をすべて求めよ。

解答を見る
Aは曲線上の点だが、Aで接するとは限らないので、接点は別の文字 \(t\) でおく。接点を \((t,\ t^3-3t)\) とする。 \(f'(t) = 3t^2-3\) より、接線の式は \(y - (t^3-3t) = (3t^2-3)(x-t)\) 整理すると \(y = (3t^2-3)x - 2t^3\) …(A)（\(t\) を使った接線の一般式） この接線が点 \(\mathrm{A}(1,\ -2)\) を通るので、(A)に \(x=1,\ y=-2\) を代入する。 \(-2 = (3t^2-3)\cdot 1 - 2t^3\) \(-2 = 3t^2 - 3 - 2t^3\) \(2t^3 - 3t^2 + 1 = 0\) \(t=1\) を代入すると \(2-3+1=0\) で解になっている。左辺を \((t-1)\) で割ると \(2t^3-3t^2+1 = (t-1)^2(2t+1)\) よって \(t=1\)（重解）、\(t=-\dfrac{1}{2}\)。 \(t=1\) のとき：傾き \(3(1)-3=0\)、接線は \(y=-2\)（これはAそのものにおける接線） \(t=-\dfrac{1}{2}\) のとき：傾き \(3\cdot\dfrac{1}{4}-3=-\dfrac{9}{4}\)、接線は \(y=-\dfrac{9}{4}x+\dfrac{1}{4}\) \(y=-2\) と \(y=-\dfrac{9}{4}x+\dfrac{1}{4}\) の2本
接線を求める2つのパターン
1. 接する点のx座標が分かっている → その値をそのまま\(a\)として公式に代入するだけ（例題1）。
2. 通る点は分かっているが、それが接点かどうか不明（あるいは接点ではない） → 接点を \(t\) とおいて式を立て、通る点の座標を代入して\(t\)の方程式を解く（例題2）。曲線の外にある点から接線を引く場合も、まったく同じ手順で処理できる。
STEP 2

関数の増減とf′の符号

グラフが右上がりに進んでいれば「増加」、右下がりに進んでいれば「減少」。これは接線の傾き、つまり \(f'(x)\) の符号で判定できる。

増減の判定
ある区間で \(f'(x) > 0\) ならば、その区間で \(f(x)\) は増加する。
ある区間で \(f'(x) < 0\) ならば、その区間で \(f(x)\) は減少する。

これを使えば、整式で表された関数（2次・3次関数など）のグラフの上がり下がりが式の計算だけで分かる。手順は次の3つ。

手順1　\(f'(x)=0\) となる \(x\) を求める（増減が切り替わる境目の候補）
↓
手順2　手順1で求めた値の前後で代表的な \(x\) を選び、\(f'(x)\) の符号を調べる
↓
手順3　結果を「増減表」にまとめる（1段目 \(x\)、2段目 \(f'(x)\) の符号、3段目 \(f(x)\) の増減を矢印↗↘で表す）

例題　\(f(x) = x^3 - 3x^2\) の増減を調べ、増減表をつくれ。

解答を見る
\(f'(x) = 3x^2 - 6x = 3x(x-2)\) \(f'(x)=0\) となるのは \(x=0,\ 2\)。 この2つの値の前後で代表値を代入して符号を調べる。 \(x=-1\) のとき \(f'(-1)=3(-1)(-1-2)=3(-1)(-3)=9>0\) \(x=1\) のとき \(f'(1)=3(1)(1-2)=3(1)(-1)=-3<0\) \(x=3\) のとき \(f'(3)=3(3)(3-2)=3(3)(1)=9>0\)
\(x\) … 0 … 2 …
\(f'(x)\) + 0 − 0 +
\(f(x)\) ↗ 0 ↘ −4 ↗
\(x<0\) と \(2<x\) で増加、\(0<x<2\) で減少
STEP 3

極大・極小（極値）

増減表で「↗から↘」に切り替わる山のてっぺんの値を極大値、「↘から↗」に切り替わる谷底の値を極小値という。まとめて極値と呼ぶ。

極値をとる条件
\(x=a\) で極値をとる \(\iff\) \(f'(a)=0\) かつ、\(x=a\) の前後で \(f'(x)\) の符号が変わる。

STEP2の増減表をもう一度見てみよう。\(x=0\) の前後で符号は \(+\to0\to-\)（山型）、\(x=2\) の前後で符号は \(-\to0\to+\)（谷型）に変わっている。だから \(f(x)=x^3-3x^2\) は

\(x=0\) で極大値 \(0\)、\(x=2\) で極小値 \(-4\)
注意（重要）　\(f'(a)=0\) は極値をとるための必要条件だが、それだけでは十分ではない。前後で符号が変わらなければ極値ではない。
例：\(f(x)=x^3\) のとき \(f'(x)=3x^2\)。\(f'(0)=0\) だが、\(x=0\) の前後どちらでも \(f'(x)\ge0\)（符号が変わらない）ので、\(x=0\) は極値ではない。
STEP 4

3次関数のグラフ（増減表→グラフの流れ）

増減表さえ完成すれば、グラフの概形は機械的に描ける。ポイントは「増減表の矢印の通りに、点をなめらかにつなぐ」だけ。

手順1　\(f'(x)=0\) を解き、極値の候補の \(x\) を求める
↓
手順2　増減表を作る（\(f'\)の符号 → \(f\)の矢印）
↓
手順3　極値の点や、必要ならx切片・y切片も座標平面に打つ
↓
手順4　増減表の矢印（↗↘）の通りに、点をなめらかな曲線でつなぐ

STEP2・3で調べた \(f(x)=x^3-3x^2\) をそのままグラフにしてみよう。\(f(x)=x^2(x-3)\) と因数分解できるので、\(x=0\)（重解）と \(x=3\) がx切片だと分かる。極大値が \(0\) だったので、ちょうど \(x=0\) でグラフはx軸に触れてから折り返す形になる。

3次関数の概形の分類（発展・応用問題で使う）
\(f(x)=ax^3+bx^2+cx+d\)（\(a\neq0\)）のとき、\(f'(x)=3ax^2+2bx+c\) は2次式。この判別式を \(D\) とすると：
\(D>0\)：異なる2つの実数解 → 極大・極小をともにもつ（山と谷がある）
\(D=0\)：重解 → \(f'(x)\)の符号は変わらない → 極値なし（単調増加または単調減少）
\(D<0\)：実数解なし → \(f'(x)\)は常に同符号 → 極値なし（単調増加または単調減少）
練習問題（全18問）

答えを入力して「採点」を押すと○×が出るぞ。分数は「-1/2」のように入力。
わからないときは「解説を見る」で解き方を確認しよう。

基本（1〜8）
1
接線の基本公式

\(y = x^2 - 4x + 1\) 上の \(x=3\) における接線の傾きと、その式の切片（\(y=(傾き)x+(切片)\)の切片）を求めよ。

傾き 　切片
解説を見る
\(f(x)=x^2-4x+1\)、\(f'(x)=2x-4\)、\(f'(3)=2\)。\(f(3)=9-12+1=-2\)。 接線: \(y-(-2)=2(x-3)\) \(y=2x-8\)（傾き\(2\)、切片\(-8\)）
2
傾き0の接線

\(y = x^2 + 2x - 3\) 上の \(x=-1\) における接線の傾きと切片を求めよ。

傾き 　切片
解説を見る
\(f'(x)=2x+2\)、\(f'(-1)=0\)。\(f(-1)=1-2-3=-4\)。 接線: \(y=-4\)（頂点での接線なので水平） 傾き\(0\)、切片\(-4\)
3
3次関数の基本

\(y = x^3\) 上の \(x=1\) における接線の傾きと切片を求めよ。

傾き 　切片
解説を見る
\(f'(x)=3x^2\)、\(f'(1)=3\)。\(f(1)=1\)。 接線: \(y-1=3(x-1)\) \(y=3x-2\)（傾き\(3\)、切片\(-2\)）
4
x=0での接線

\(y = x^3 - 2x\) 上の \(x=0\) における接線の傾きと切片を求めよ。

傾き 　切片
解説を見る
\(f'(x)=3x^2-2\)、\(f'(0)=-2\)。\(f(0)=0\)。 接線: \(y-0=-2(x-0)\) \(y=-2x\)（傾き\(-2\)、切片\(0\)）
5
3次関数・傾き0

\(y = x^3 - 3x + 1\) 上の \(x=1\) における接線の傾きと切片を求めよ。

傾き 　切片
解説を見る
\(f'(x)=3x^2-3\)、\(f'(1)=0\)。\(f(1)=1-3+1=-1\)。 接線: \(y=-1\) 傾き\(0\)、切片\(-1\)
6
極値の基本

\(y = x^3 - 12x\) の極値を求めよ。

極大値 （\(x=\) ）　極小値 （\(x=\) ）
解説を見る
\(f'(x)=3x^2-12=3(x-2)(x+2)\)。\(f'(x)=0\)となるのは\(x=-2,\ 2\)。 \(x<-2\)で増加、\(-2<x<2\)で減少、\(x>2\)で増加。 \(f(-2)=-8+24=16\)、\(f(2)=8-24=-16\)。 \(x=-2\)で極大値\(16\)、\(x=2\)で極小値\(-16\)
7
上に凸型の3次関数

\(y = -x^3 + 3x^2 + 1\) の極値を求めよ。

極大値 （\(x=\) ）　極小値 （\(x=\) ）
解説を見る
\(f'(x)=-3x^2+6x=-3x(x-2)\)。\(f'(x)=0\)となるのは\(x=0,\ 2\)。 \(x<0\)で減少、\(0<x<2\)で増加、\(x>2\)で減少。 \(f(0)=1\)、\(f(2)=-8+12+1=5\)。 \(x=2\)で極大値\(5\)、\(x=0\)で極小値\(1\)
8
分数が絡む接線

\(y = x^2 - x\) 上の \(x=\dfrac{1}{2}\) における接線の傾きと切片を求めよ。

傾き 　切片
解説を見る
\(f'(x)=2x-1\)、\(f'\left(\dfrac{1}{2}\right)=0\)。\(f\left(\dfrac{1}{2}\right)=\dfrac{1}{4}-\dfrac{1}{2}=-\dfrac{1}{4}\)。 接線: \(y=-\dfrac{1}{4}\) 傾き\(0\)、切片\(-\dfrac{1}{4}\)
標準（9〜14）
9

\(y = 2x^3 - 3x^2 + 1\) 上の \(x=2\) における接線の傾きと切片を求めよ。

傾き 　切片
解説を見る
\(f'(x)=6x^2-6x\)、\(f'(2)=24-12=12\)。\(f(2)=16-12+1=5\)。 接線: \(y-5=12(x-2)\) \(y=12x-19\)（傾き\(12\)、切片\(-19\)）
10

\(y = x^3 - 6x^2 + 9x\) の極値を求めよ。

極大値 （\(x=\) ）　極小値 （\(x=\) ）
解説を見る
\(f'(x)=3x^2-12x+9=3(x-1)(x-3)\)。\(f'(x)=0\)となるのは\(x=1,\ 3\)。 \(x<1\)で増加、\(1<x<3\)で減少、\(x>3\)で増加。 \(f(1)=1-6+9=4\)、\(f(3)=27-54+27=0\)。 \(x=1\)で極大値\(4\)、\(x=3\)で極小値\(0\)
11
傾きから点を逆算

\(y = x^2 - 2x\) 上で、接線の傾きが \(4\) となる点の座標を求めよ。

\(x=\) 　\(y=\)
解説を見る
\(f'(x)=2x-2\)。\(2x-2=4\) より \(x=3\)。 \(f(3)=9-6=3\)。 点\((3,\ 3)\)
12
傾きから点を逆算（3次関数）

\(y = x^3 - 4x\) 上で、接線の傾きが \(8\) となる点の \(x\) 座標をすべて求めよ。（コンマ区切りで入力）

\(x=\)
解説を見る
\(f'(x)=3x^2-4\)。\(3x^2-4=8\) より \(3x^2=12\)、\(x^2=4\)、\(x=\pm2\)。 \(x=2,\ -2\)
13

\(y = \dfrac{1}{3}x^3 - 2x\) 上の \(x=3\) における接線の傾きと切片を求めよ。

傾き 　切片
解説を見る
\(f'(x)=x^2-2\)、\(f'(3)=9-2=7\)。\(f(3)=9-6=3\)。 接線: \(y-3=7(x-3)\) \(y=7x-18\)（傾き\(7\)、切片\(-18\)）
14

\(y = x^3 - 3x^2 - 9x + 1\) の極値を求めよ。

極大値 （\(x=\) ）　極小値 （\(x=\) ）
解説を見る
\(f'(x)=3x^2-6x-9=3(x-3)(x+1)\)。\(f'(x)=0\)となるのは\(x=-1,\ 3\)。 \(x<-1\)で増加、\(-1<x<3\)で減少、\(x>3\)で増加。 \(f(-1)=-1-3+9+1=6\)、\(f(3)=27-27-27+1=-26\)。 \(x=-1\)で極大値\(6\)、\(x=3\)で極小値\(-26\)
挑戦（15〜18）
15
極大値と極小値の差

\(y = 2x^3 - 6x + 1\) について、極大値と極小値の差を求めよ。

差
解説を見る
\(f'(x)=6x^2-6=6(x-1)(x+1)\)。\(f'(x)=0\)となるのは\(x=-1,\ 1\)。 \(x<-1\)で増加、\(-1<x<1\)で減少、\(x>1\)で増加。 \(f(-1)=-2+6+1=5\)（極大値）、\(f(1)=2-6+1=-3\)（極小値）。 差は \(5-(-3)=8\)。 極大値\(5\)、極小値\(-3\)、差は\(8\)
16
接線とx軸の交点

\(y = x^2 - 2x - 3\) 上の \(x=0\) における接線が、x軸と交わる点の \(x\) 座標を求めよ。

\(x=\)
解説を見る
\(f'(x)=2x-2\)、\(f'(0)=-2\)。\(f(0)=-3\)。 接線: \(y-(-3)=-2(x-0)\) より \(y=-2x-3\)。 x軸との交点は \(y=0\) とおいて \(-2x-3=0\)、\(x=-\dfrac{3}{2}\)。 \(x=-\dfrac{3}{2}\)
17
f′=0でも極値でない例

\(y = x^3 + 3x^2 + 3x + 1\) について、\(f'(x)=0\) となる \(x\) の値を求めよ。（この \(x\) が極値かどうかも考えてみよう）

\(x=\)
解説を見る
\(f'(x)=3x^2+6x+3=3(x+1)^2\)。\(f'(x)=0\)となるのは\(x=-1\)（重解、1つだけ）。 \(f'(x)=3(x+1)^2\ge0\) は常に成り立つ（負にならない）ので、\(x=-1\)の前後どちらでも \(f'(x)\ge0\)。符号が変わらないので、\(x=-1\)は極値ではない（増加し続ける途中で一瞬傾きが\(0\)になるだけ）。 \(x=-1\)（ただし極値ではない）
18
負の3次の係数

\(y = -2x^3 + 6x^2 - 1\) の極値を求めよ。

極大値 （\(x=\) ）　極小値 （\(x=\) ）
解説を見る
\(f'(x)=-6x^2+12x=-6x(x-2)\)。\(f'(x)=0\)となるのは\(x=0,\ 2\)。 \(x<0\)で減少、\(0<x<2\)で増加、\(x>2\)で減少。 \(f(0)=-1\)、\(f(2)=-16+24-1=7\)。 \(x=2\)で極大値\(7\)、\(x=0\)で極小値\(-1\)
応用問題（プリント限定）

ここから先はPDF限定の腕試し。入試の基礎レベルに挑戦しよう。

応1
極値をもつ条件（aの範囲）

関数 \(f(x) = x^3 + 3ax^2 + 3ax + 1\) が極値をもつような定数 \(a\) の範囲について、その境界となる \(a\) の値を小さい順に求めよ。

境界のa： 　と　
解説を見る
\(f'(x)=3x^2+6ax+3a=3(x^2+2ax+a)\)。 極値をもつ \(\iff\) \(f'(x)=0\) が異なる2つの実数解をもつ \(\iff\) \(x^2+2ax+a=0\) の判別式が正。 判別式 \(\dfrac{D}{4}=a^2-a=a(a-1)\)。 \(a(a-1)>0\) を解くと \(a<0\) または \(a>1\)。 境界の値は \(a=0\) と \(a=1\)（このときは重解、または判別式が0になり極値をもたない）。 境界は \(a=0,\ 1\)（極値をもつのは \(a<0\) または \(a>1\)）
応2
極値をもたない条件（aの範囲）

関数 \(f(x) = x^3 + ax^2 + 12x - 1\) が常に単調増加（極値をもたない）となるような定数 \(a\) の範囲について、その境界となる \(a\) の値を小さい順に求めよ。

境界のa： 　と　
解説を見る
\(f'(x)=3x^2+2ax+12\)。 常に単調増加 \(\iff\) すべての \(x\) で \(f'(x)\ge0\) \(\iff\) 判別式 \(D\le0\)。 \(D=(2a)^2-4\cdot3\cdot12=4a^2-144\)。 \(4a^2-144\le0\) より \(a^2\le36\)、\(-6\le a\le6\)。 境界の値は \(a=-6\) と \(a=6\)（このときは重解になり、\(f'(x)\)は0以上のまま符号を変えないので単調増加は保たれる）。 境界は \(a=-6,\ 6\)（極値をもたないのは \(-6\le a\le6\)）
応3
曲線外の点から引ける接線の本数（発展）

点 \(\mathrm{P}(2,\ -2)\) から曲線 \(y=x^3-3x\) に引ける接線は何本あるか。

本数
解説を見る
接点を \((t,\ t^3-3t)\) とおくと、STEP1と同様に接線は \(y=(3t^2-3)x-2t^3\)。 これが点P\((2,-2)\)を通るので \(x=2,\ y=-2\) を代入する。 \(-2=(3t^2-3)\cdot2-2t^3\) \(-2=6t^2-6-2t^3\) \(2t^3-6t^2+4=0\) \(t^3-3t^2+2=0\) \(t=1\) が解（\(1-3+2=0\)）。\((t-1)\)で割ると \(t^3-3t^2+2=(t-1)(t^2-2t-2)\)。 \(t^2-2t-2=0\) を解くと \(t=1\pm\sqrt3\)。 よって \(t=1,\ 1+\sqrt3,\ 1-\sqrt3\) の3つの異なる実数解がある。接点の数だけ接線が引けるので、接線は3本。 （一般に、外部の点から3次関数の曲線に引ける接線の本数は、こうしてできる \(t\) の3次方程式の実数解の個数と一致する。実数解の個数を判別する一般条件はここでは紹介にとどめる。） 3本
応4
極小値からaを求める

\(a\) を正の定数とする。関数 \(f(x) = x^3 - 3ax\) の極小値が \(-16\) であるとき、\(a\) の値を求めよ。

\(a=\)
解説を見る
\(f'(x)=3x^2-3a=3(x^2-a)\)。\(a>0\)なので \(f'(x)=0\) となるのは \(x=\pm\sqrt{a}\)。 \(x<-\sqrt{a}\)で増加、\(-\sqrt{a}<x<\sqrt{a}\)で減少、\(x>\sqrt{a}\)で増加。よって \(x=\sqrt{a}\) で極小値をとる。 \(f(\sqrt{a})=(\sqrt{a})^3-3a\sqrt{a}=a\sqrt{a}-3a\sqrt{a}=-2a\sqrt{a}=-2a^{\frac{3}{2}}\) これが\(-16\)なので \(-2a^{\frac{3}{2}}=-16\)、\(a^{\frac{3}{2}}=8\)、\(a=8^{\frac{2}{3}}=(2^3)^{\frac{2}{3}}=2^2=4\)。 検算: \(a=4\)のとき\(\sqrt{a}=2\)、\(f(2)=8-3\cdot4\cdot2=8-24=-16\)。（一致） \(a=4\)
応5
接線と曲線の再交点

曲線 \(y = x^3 - x\) 上の点 \((1,\ 0)\) における接線を求め、この接線が曲線と再び交わる点の \(x\) 座標を求めよ。

\(x=\)
解説を見る
\(f(x)=x^3-x\)、\(f(1)=1-1=0\)（確かに点\((1,0)\)は曲線上）。 \(f'(x)=3x^2-1\)、\(f'(1)=2\)。 接線: \(y-0=2(x-1)\) より \(y=2x-2\)。 曲線と接線の交点を求めるため連立する。 \(x^3-x=2x-2\) \(x^3-3x+2=0\) 接点\(x=1\)は重解になるはずなので、\((x-1)^2\)で割れる。 \(x^3-3x+2=(x-1)^2(x+2)\)（展開して確認すると \(x^3-3x+2\) に一致する） よって \(x=1\)（重解、接点）または \(x=-2\)。 再び交わる点は \(x=-2\)