不定積分・定積分

解説＋ドリル全18問・自動採点つき

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STEP 1

不定積分ってなに？ ― 微分の逆算

微分は「関数を変化率の関数に変える」計算だった。不定積分はその逆をたどる計算。「微分すると \(f(x)\) になる関数」を \(f(x)\) の不定積分（原始関数）という。整式の不定積分では、次の公式を使う。

\(\displaystyle \int x^n\,dx = \dfrac{x^{n+1}}{n+1} + C\)　（\(n = 0, 1, 2, \dots\)、\(C\)は積分定数）
\(\displaystyle \int k\,dx = kx + C\)　（\(k\)は定数）
\(\displaystyle \int \{f(x) \pm g(x)\}\,dx = \int f(x)\,dx \pm \int g(x)\,dx\)、\(\displaystyle \int k f(x)\,dx = k\int f(x)\,dx\)
注意　不定積分では \(C\) を書き忘れると減点になる（原始関数はひとつに決まらないため）。ただし定積分（STEP 2）では \(C\) は引き算で消えるので書かなくてよい。

例題1　\(\displaystyle \int (3x^2 - 4x + 5)\,dx\) を求めよ。

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各項に公式を適用する。\(3x^2\) → \(x^3\)、\(-4x\) → \(-2x^2\)、\(5\) → \(5x\)。 \(\displaystyle \int (3x^2 - 4x + 5)\,dx = x^3 - 2x^2 + 5x + C\)

例題2　\(\displaystyle \int (x - 1)(x + 2)\,dx\) を求めよ。

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積分する前に展開して整式の和にする。\((x-1)(x+2) = x^2 + x - 2\) \(\displaystyle \int (x-1)(x+2)\,dx = \dfrac{1}{3}x^3 + \dfrac{1}{2}x^2 - 2x + C\)
STEP 2

定積分の計算 ― 手順を身につけよう

\(F(x)\) を \(f(x)\) の原始関数の1つとするとき、\(a\) から \(b\) までの定積分は次のように定義される。

\(\displaystyle \int_a^b f(x)\,dx = \Big[F(x)\Big]_a^b = F(b) - F(a)\)
手順1　原始関数 \(F(x)\) を求める（\(C\)は省略してよい）
↓
手順2　\(\big[F(x)\big]_a^b\) の形に書く
↓
手順3　\(F(b)\) と \(F(a)\) をそれぞれ数値として計算する
↓
手順4　\(F(b) - F(a)\) を計算して答えを出す

例題1　\(\displaystyle \int_1^3 (3x^2 - 2x + 1)\,dx\) を求めよ。

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手順1　原始関数は \(F(x) = x^3 - x^2 + x\) 手順2　\(\displaystyle \int_1^3 (3x^2-2x+1)\,dx = \Big[x^3 - x^2 + x\Big]_1^3\) 手順3　\(F(3) = 27 - 9 + 3 = 21\)、\(F(1) = 1 - 1 + 1 = 1\) 手順4　\(F(3) - F(1) = 21 - 1 = 20\) \(\displaystyle \int_1^3 (3x^2-2x+1)\,dx = 20\)

例題2　\(\displaystyle \int_{-1}^{2} (x^2 - 3)\,dx\) を求めよ。

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手順1　原始関数は \(F(x) = \dfrac{1}{3}x^3 - 3x\) 手順2　\(\displaystyle \int_{-1}^{2} (x^2-3)\,dx = \left[\dfrac{1}{3}x^3 - 3x\right]_{-1}^{2}\) 手順3　\(F(2) = \dfrac{8}{3} - 6 = -\dfrac{10}{3}\)、\(F(-1) = -\dfrac{1}{3} + 3 = \dfrac{8}{3}\) 手順4　\(F(2) - F(-1) = -\dfrac{10}{3} - \dfrac{8}{3} = -\dfrac{18}{3} = -6\) \(\displaystyle \int_{-1}^{2} (x^2-3)\,dx = -6\)
STEP 3

定積分の性質 ― 区間の分割と偶関数・奇関数

定積分にはいくつかの便利な性質がある。計算をラクにするために、まずは形を覚えておこう。

\(\displaystyle \int_a^a f(x)\,dx = 0\)（幅0の区間は面積0）
\(\displaystyle \int_a^b f(x)\,dx = -\int_b^a f(x)\,dx\)（上端と下端を入れ替えると符号が反転）
\(\displaystyle \int_a^c f(x)\,dx + \int_c^b f(x)\,dx = \int_a^b f(x)\,dx\)（区間の分割。\(c\)は\(a,b\)の間でなくても成り立つ）
\(f(x)\)が偶関数（\(f(-x)=f(x)\)、グラフがy軸対称）のとき\(\displaystyle \int_{-a}^{a} f(x)\,dx = 2\int_0^a f(x)\,dx\)
\(f(x)\)が奇関数（\(f(-x)=-f(x)\)、グラフが原点対称）のとき\(\displaystyle \int_{-a}^{a} f(x)\,dx = 0\)
整式 \(x^n\) は、\(n\)が偶数なら偶関数、\(n\)が奇数なら奇関数。複数の項の和でも、すべての項が奇数次数だけなら全体が奇関数（対称区間の積分は0になる）。

例題1　\(\displaystyle \int_{-3}^{3} (x^4 - x^2)\,dx\) を求めよ。

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\(x^4 - x^2\) はすべて偶数次数の項だけなので偶関数。\(2\displaystyle\int_0^3 (x^4-x^2)\,dx\) として計算できる。 \(\displaystyle \int_0^3 x^4\,dx = \left[\dfrac{x^5}{5}\right]_0^3 = \dfrac{243}{5}\)、\(\displaystyle \int_0^3 x^2\,dx = \left[\dfrac{x^3}{3}\right]_0^3 = 9 = \dfrac{45}{5}\) \(\displaystyle \int_0^3 (x^4-x^2)\,dx = \dfrac{243}{5} - \dfrac{45}{5} = \dfrac{198}{5}\) 2倍して \(\dfrac{396}{5}\) \(\displaystyle \int_{-3}^{3} (x^4-x^2)\,dx = \dfrac{396}{5}\)（\(=79.2\)）

例題2　\(\displaystyle \int_{-2}^{2} (x^3 - 4x)\,dx\) を求めよ。

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\(x^3\)、\(-4x\) はどちらも奇数次数の項だけなので、全体は奇関数。対称区間の積分なので、計算しなくても0と分かる。 （確認：原始関数は \(F(x)=\dfrac{1}{4}x^4-2x^2\)。\(F(2)=4-8=-4\)、\(F(-2)=4-8=-4\)。\(F(2)-F(-2)=-4-(-4)=0\)。一致する。）
STEP 4

微分と積分の関係 ― \(F'(x) = f(x)\)

定積分の上端を \(x\) という変数にすると、\(\displaystyle F(x) = \int_a^x f(t)\,dt\) は \(x\) の関数になる。これを微分すると、驚くほどシンプルな形に戻る。

\(\displaystyle \dfrac{d}{dx}\int_a^x f(t)\,dt = f(x)\)

これは「積分してからまた微分すると、元の \(f(x)\) に戻る」ということ。実際に積分計算をしなくても、この公式を使えば微分の結果がすぐ分かる。

例題1　\(\displaystyle F(x) = \int_1^x (3t^2 - 2t)\,dt\) について、\(F'(x)\) を求めよ。

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公式より、積分せずにそのまま \(t\) を \(x\) に置きかえるだけでよい。 \(F'(x) = 3x^2 - 2x\) （確認：実際に積分すると \(F(x) = \big[t^3-t^2\big]_1^x = (x^3-x^2)-(1-1) = x^3-x^2\)。これを微分すると \(F'(x)=3x^2-2x\) で一致する。）

例題2　\(\displaystyle \int_a^x f(t)\,dt = x^2 - 2x - 3\) が全ての \(x\) について成り立つとき、\(f(x)\) と定数 \(a\) を求めよ。

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両辺を \(x\) で微分すると、左辺は公式より \(f(x)\) になる。 \(f(x) = 2x - 2\) 次に \(x=a\) を代入すると、左辺は \(\displaystyle \int_a^a f(t)\,dt = 0\)（区間の幅が0）。右辺も \(x=a\) を代入して、 \(0 = a^2 - 2a - 3 = (a-3)(a+1)\) \(a = 3\) または \(a = -1\) \(f(x) = 2x-2\)、\(a = 3\) または \(a=-1\)
練習問題（全18問）

答えを入力して「採点」を押すと○×が出るぞ。分数は「-1/6」のように入力。
わからないときは「解説を見る」で解き方を確認しよう。

基本（1〜7）
1
基本公式

\(\displaystyle \int_0^2 3x^2\,dx\) を求めよ。

値
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原始関数は \(F(x)=x^3\)。\(F(2)-F(0)=8-0=8\) \(8\)
2
1次式

\(\displaystyle \int_1^3 (2x+1)\,dx\) を求めよ。

値
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原始関数は \(F(x)=x^2+x\)。\(F(3)-F(1)=(9+3)-(1+1)=12-2=10\) \(10\)
3
分数の答え

\(\displaystyle \int_0^1 (x^2-x)\,dx\) を求めよ。

値
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原始関数は \(F(x)=\dfrac{1}{3}x^3-\dfrac{1}{2}x^2\)。\(F(1)-F(0)=\left(\dfrac{1}{3}-\dfrac{1}{2}\right)-0=-\dfrac{1}{6}\) \(-\dfrac{1}{6}\)
4
奇関数（対称区間）

\(\displaystyle \int_{-1}^{1} 4x^3\,dx\) を求めよ。

値
解説を見る
\(4x^3\)は奇関数なので、対称区間\([-1,1]\)の積分は0（実際：原始関数\(F(x)=x^4\)、\(F(1)-F(-1)=1-1=0\)）。 \(0\)
5
整式の展開なし

\(\displaystyle \int_0^2 (x^2+2x+1)\,dx\) を求めよ。

値
解説を見る
原始関数は \(F(x)=\dfrac{1}{3}x^3+x^2+x\)。\(F(2)-F(0)=\left(\dfrac{8}{3}+4+2\right)-0=\dfrac{8}{3}+6=\dfrac{26}{3}\) \(\dfrac{26}{3}\)
6
上端＝下端

\(\displaystyle \int_2^2 (x^2-5x+3)\,dx\) を求めよ。

値
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上端と下端が同じ（区間の幅が0）なので、計算しなくても0。
7
上端と下端が逆

\(\displaystyle \int_1^0 6x\,dx\) を求めよ。

値
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原始関数は \(F(x)=3x^2\)。\(F(0)-F(1)=0-3=-3\)（上端0・下端1のまま順番通りに代入すればよい）。 \(-3\)
標準（8〜14）　※性質をうまく使おう
8

\(\displaystyle \int_{-2}^{2} x^4\,dx\) を求めよ。

値
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\(x^4\)は偶関数なので\(2\displaystyle\int_0^2 x^4\,dx\)で計算できる。 \(\displaystyle \int_0^2 x^4\,dx = \left[\dfrac{x^5}{5}\right]_0^2 = \dfrac{32}{5}\)。2倍して\(\dfrac{64}{5}\)。 \(\dfrac{64}{5}\)（\(=12.8\)）
9

\(\displaystyle \int_{-3}^{3} (2x^3-x)\,dx\) を求めよ。

値
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\(2x^3\)も\(-x\)も奇数次数の項なので、和\(2x^3-x\)は奇関数。対称区間の積分は0。
10
区間の分割の性質

ある関数 \(f(x)\) について、\(\displaystyle \int_0^3 f(x)\,dx = 10\)、\(\displaystyle \int_3^5 f(x)\,dx = 6\) が分かっている。このとき \(\displaystyle \int_0^5 f(x)\,dx\) を求めよ。

値
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区間の分割の性質より \(\displaystyle \int_0^3 f(x)\,dx + \int_3^5 f(x)\,dx = \int_0^5 f(x)\,dx\)。 \(10 + 6 = 16\)（\(f(x)\)の具体的な式が分からなくても、この性質だけで求まる）。 \(16\)
11

\(\displaystyle \int_1^4 (3x^2-2)\,dx\) を求めよ。

値
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原始関数は \(F(x)=x^3-2x\)。\(F(4)-F(1)=(64-8)-(1-2)=56-(-1)=57\) \(57\)
12

\(\displaystyle \int_0^1 (x-1)^2\,dx\) を求めよ。

値
解説を見る
先に展開する。\((x-1)^2=x^2-2x+1\) 原始関数は \(F(x)=\dfrac{1}{3}x^3-x^2+x\)。\(F(1)-F(0)=\left(\dfrac{1}{3}-1+1\right)-0=\dfrac{1}{3}\) \(\dfrac{1}{3}\)
13

\(\displaystyle \int_{-1}^{2} (3x^2+2x)\,dx\) を求めよ。

値
解説を見る
原始関数は \(F(x)=x^3+x^2\)。\(F(2)-F(-1)=(8+4)-(-1+1)=12-0=12\) \(12\)
14

\(\displaystyle \int_0^2 (x^3-3x^2+2x)\,dx\) を求めよ。

値
解説を見る
原始関数は \(F(x)=\dfrac{1}{4}x^4-x^3+x^2\)。\(F(2)-F(0)=\left(\dfrac{16}{4}-8+4\right)-0=(4-8+4)=0\) \(0\)
挑戦（15〜18）
15
微分と積分の関係

\(\displaystyle F(x) = \int_2^x (t^2-1)\,dt\) について、\(F'(3)\) を求めよ。

値
解説を見る
公式より \(F'(x)=x^2-1\)（積分計算をしなくてよい）。\(F'(3)=9-1=8\) \(8\)
16
区間で式が変わる関数（分割）

\(0 \le x \le 1\) では \(f(x)=x^2\)、\(1 \le x \le 3\) では \(f(x)=2x-1\) であるとき、\(\displaystyle \int_0^3 f(x)\,dx\) を求めよ。

値
解説を見る
式が変わる \(x=1\) で区間を分割し、それぞれ積分してから足す。 \(\displaystyle \int_0^1 x^2\,dx = \left[\dfrac{x^3}{3}\right]_0^1 = \dfrac{1}{3}\) \(\displaystyle \int_1^3 (2x-1)\,dx = \big[x^2-x\big]_1^3 = (9-3)-(1-1) = 6\) 合計：\(\dfrac{1}{3}+6=\dfrac{19}{3}\) \(\dfrac{19}{3}\)
17
偶関数・奇関数の組み合わせ

\(\displaystyle \int_{-2}^{2} (x^3+3x^2-2)\,dx\) を求めよ。

値
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奇関数の項\(x^3\)は対称区間の積分が0になるので無視できる。偶関数の部分\(3x^2-2\)だけ計算すればよい。 \(2\displaystyle\int_0^2(3x^2-2)\,dx = 2\big[x^3-2x\big]_0^2=2(8-4)=8\) （確認：原始関数\(F(x)=\dfrac{1}{4}x^4+x^3-2x\)。\(F(2)=4+8-4=8\)、\(F(-2)=4-8+4=0\)。\(F(2)-F(-2)=8\)。一致する。） \(8\)
18
定数aを求める

\(\displaystyle F(x) = \int_a^x (2t-4)\,dt\) について、\(F(1)=-3\) が成り立つとき、定数 \(a\) の値を求めよ。（2つあるときはコンマ区切りで入力）

\(a=\)
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\(F(x)=\big[t^2-4t\big]_a^x=(x^2-4x)-(a^2-4a)\) \(F(1)=-3\)を代入：\((1-4)-(a^2-4a)=-3\) \(-3-(a^2-4a)=-3\) より \(a^2-4a=0\) \(a(a-4)=0\) より \(a=0\) または \(a=4\) \(a=0\) または \(a=4\)
応用問題（プリント限定）

ここから先はPDF限定の腕試し。未知の関数と定数を求める問題・絶対値つきの定積分など、入試の基礎レベルに挑戦しよう。

応1
f(x)と定数aを求める（aが2つ）

\(\displaystyle \int_a^x f(t)\,dt = x^2+3x-4\) が全ての \(x\) について成り立つとき、\(f(x)\) と定数 \(a\) を求めよ。

\(f(0)=\) 　\(a=\)
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両辺を \(x\) で微分すると、左辺は公式より \(f(x)\) になる。 \(f(x) = 2x+3\)（このとき \(f(0)=3\)） 次に \(x=a\) を代入すると左辺は \(\displaystyle\int_a^a f(t)\,dt=0\)。右辺も \(x=a\) を代入して、 \(0 = a^2+3a-4 = (a+4)(a-1)\) \(a=-4\) または \(a=1\) \(f(x)=2x+3\)、\(a=-4\) または \(a=1\)
応2
f(x)と定数aを求める（aが1つに決まる）

\(\displaystyle \int_a^x f(t)\,dt = x^2-4x+4\) が全ての \(x\) について成り立つとき、\(f(x)\) と定数 \(a\) を求めよ。

\(f(1)=\) 　\(a=\)
解説を見る
両辺を \(x\) で微分すると \(f(x)=2x-4\)（このとき \(f(1)=2-4=-2\)）。 \(x=a\) を代入すると左辺は0になるので、 \(0 = a^2-4a+4 = (a-2)^2\) これは \((a-2)^2=0\) の形なので、解は \(a=2\) のただ1つに決まる（前問と違い重解になるのがポイント）。 \(f(x)=2x-4\)、\(a=2\)
応3
絶対値つき定積分

\(\displaystyle \int_0^3 |x^2-4|\,dx\) を求めよ。

値
解説を見る
絶対値は中身の符号で場合分けする。\(x^2-4=0\) となるのは \(x=2\)（区間\([0,3]\)の中にある）。 \(0 \le x \le 2\) では \(x^2 \le 4\) なので \(x^2-4 \le 0\)、よって \(|x^2-4|=4-x^2\) \(2 \le x \le 3\) では \(x^2 \ge 4\) なので \(x^2-4 \ge 0\)、よって \(|x^2-4|=x^2-4\) \(\displaystyle \int_0^2 (4-x^2)\,dx = \left[4x-\dfrac{x^3}{3}\right]_0^2 = 8-\dfrac{8}{3} = \dfrac{16}{3}\) \(\displaystyle \int_2^3 (x^2-4)\,dx = \left[\dfrac{x^3}{3}-4x\right]_2^3 = (9-12)-\left(\dfrac{8}{3}-8\right) = -3+\dfrac{16}{3} = \dfrac{7}{3}\) 合計：\(\dfrac{16}{3}+\dfrac{7}{3}=\dfrac{23}{3}\) \(\dfrac{23}{3}\)
応4
絶対値つき定積分（1次式）

\(\displaystyle \int_{-2}^{3} |x-1|\,dx\) を求めよ。

値
解説を見る
\(x-1=0\) となるのは \(x=1\)（区間\([-2,3]\)の中にある）。 \(-2 \le x \le 1\) では \(x-1 \le 0\) なので \(|x-1|=1-x\) \(1 \le x \le 3\) では \(x-1 \ge 0\) なので \(|x-1|=x-1\) \(\displaystyle \int_{-2}^{1} (1-x)\,dx = \left[x-\dfrac{x^2}{2}\right]_{-2}^{1} = \left(1-\dfrac{1}{2}\right)-(-2-2) = \dfrac{1}{2}+4=\dfrac{9}{2}\) \(\displaystyle \int_1^3 (x-1)\,dx = \left[\dfrac{x^2}{2}-x\right]_1^3 = \left(\dfrac{9}{2}-3\right)-\left(\dfrac{1}{2}-1\right) = \dfrac{3}{2}+\dfrac{1}{2}=2\) 合計：\(\dfrac{9}{2}+2=\dfrac{13}{2}\) \(\dfrac{13}{2}\)（\(=6.5\)）
応5
奇関数の性質＋定数決定

\(f(x)=x^3+ax\)（\(a\)は定数）とする。\(\displaystyle \int_{-2}^{2} f(x)\,dx\) は \(a\) の値に関係なく常に \(0\) になる。その理由を説明せよ。また、\(\displaystyle \int_0^2 f(x)\,dx = 10\) となるように \(a\) の値を求めよ。

\(a=\)
解説を見る
（理由）\(x^3\) も \(ax\) もどちらも奇数次数の項なので、\(a\)の値によらず\(f(x)=x^3+ax\)は常に奇関数。奇関数の対称区間\([-2,2]\)での積分は必ず0になる。 （\(a\)を求める） \(\displaystyle \int_0^2 (x^3+ax)\,dx = \left[\dfrac{x^4}{4}+\dfrac{a}{2}x^2\right]_0^2 = \left(\dfrac{16}{4}+\dfrac{a}{2}\cdot4\right)-0 = 4+2a\) これが \(10\) に等しいので、\(4+2a=10\)、\(2a=6\)、\(a=3\) \(a=3\)