微分係数と導関数

解説＋ドリル全18問・自動採点つき

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STEP 1

平均変化率と「限りなく近づける」考え方

2点を結ぶ直線（割線）の傾きを「平均変化率」という。この2点をどんどん近づけていくと、傾きがある値に落ち着いていく――この「近づいた先の値」を考えるのが微分の出発点。

関数 \(y = f(x)\) について、\(x\) が \(a\) から \(a+h\) まで変化するときの平均変化率は次の式で表す。

\[ \dfrac{f(a+h) - f(a)}{(a+h) - a} = \dfrac{f(a+h) - f(a)}{h} \] これは、2点 \((a,\ f(a))\)、\((a+h,\ f(a+h))\) を結ぶ割線の傾きそのもの。

ここで \(h\) をどんどん小さくしていくと（\(h \to 0\)、「\(h\) を限りなく \(0\) に近づける」の意味）、点Bは点Aにどんどん近づき、割線はある一直線に近づいていく。試しに \(f(x) = x^2\)、\(a = 1\) のときの平均変化率を計算してみよう。

\(\dfrac{f(1+h) - f(1)}{h} = \dfrac{(1+h)^2 - 1^2}{h} = \dfrac{1 + 2h + h^2 - 1}{h} = \dfrac{2h + h^2}{h} = 2 + h\)（\(h \ne 0\) のとき約分できる）

\(h = 1\) のとき \(2 + h = 3\)
\(h = 0.1\) のとき \(2 + h = 2.1\)
\(h = 0.01\) のとき \(2 + h = 2.01\)
→ \(h\) を \(0\) に近づけるほど、値は \(2\) に限りなく近づく。

この「近づいた先の値」を、\(\lim\)（リミット、極限の意味）という記号を使って \(\displaystyle\lim_{h \to 0}(2+h) = 2\) と書く。\(h=0\) を代入しているのではなく、\(h\) を \(0\) に近づけたときに式全体が近づく値を表す記号だと理解しておこう。

STEP 2

微分係数の定義

STEP1の「近づいた先の値」を、\(x = a\) における微分係数と呼び、\(f'(a)\) と書く。定義どおりに計算できるようにしておくことが最重要。

微分係数の定義
\[ f'(a) = \lim_{h \to 0} \dfrac{f(a+h) - f(a)}{h} \] \(f'(a)\) は「\(x=a\) における \(f(x)\) の微分係数」と読む。

定義から計算する手順はいつも同じ。

手順1　\(f(a+h)\) を展開し、\(f(a+h) - f(a)\) を計算する
↓
手順2　式を整理して \(h\) をくくり出し、分母の \(h\) と約分する（ここで初めて0除算を避けられる）
↓
手順3　約分した式で \(h \to 0\) とする（今度は普通に \(h=0\) を代入してよい）

例題1　\(f(x) = x^2\) について、定義に従って \(f'(1)\) を求めよ。

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\(f(1) = 1\)、\(f(1+h) = (1+h)^2 = 1 + 2h + h^2\) \(f(1+h) - f(1) = (1 + 2h + h^2) - 1 = 2h + h^2\) \(\dfrac{f(1+h) - f(1)}{h} = \dfrac{2h + h^2}{h} = 2 + h\)（\(h\) をくくり出して約分） \(h \to 0\) のとき \(2 + h \to 2\) \(f'(1) = 2\)

例題2　\(f(x) = x^2 - 3x\) について、定義に従って \(f'(2)\) を求めよ。

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\(f(2) = 2^2 - 3 \times 2 = 4 - 6 = -2\) \(f(2+h) = (2+h)^2 - 3(2+h) = 4 + 4h + h^2 - 6 - 3h = h^2 + h - 2\) \(f(2+h) - f(2) = (h^2 + h - 2) - (-2) = h^2 + h\) \(\dfrac{f(2+h) - f(2)}{h} = \dfrac{h^2 + h}{h} = h + 1\) \(h \to 0\) のとき \(h + 1 \to 1\) \(f'(2) = 1\)
STEP 3

導関数と公式

\(f'(a)\) は「\(x=a\) 1点」での値だったが、\(a\) の場所を固定せず \(x\) のまま定義を使うと、\(x\) の関数として微分係数が求まる。これを導関数といい \(f'(x)\) と書く。

\[ f'(x) = \lim_{h \to 0} \dfrac{f(x+h) - f(x)}{h} \] \(f(x)\) から \(f'(x)\) を求めることを「\(f(x)\) を微分する」という。

\(f(x) = x^2\) を例に、\(a\) を \(x\) に置き換えて同じ計算をしてみると

\(\dfrac{(x+h)^2 - x^2}{h} = \dfrac{2xh + h^2}{h} = 2x + h \ \to\ 2x\)（\(h \to 0\)）　つまり \((x^2)' = 2x\)

同様に \(x^3\)、\(x^4\)、…も定義から計算すると、次の規則性が見えてくる（\(n\) は正の整数）。

べき乗の微分公式　\((x^n)' = n x^{n-1}\)
定数倍　\(\{kf(x)\}' = k f'(x)\)（\(k\) は定数）
和・差　\(\{f(x) \pm g(x)\}' = f'(x) \pm g'(x)\)
定数の微分　\((c)' = 0\)（\(c\) は定数。傾き一定＝変化しないグラフだから）

例題　\(f(x) = 3x^3 - 2x^2 + 5x - 7\) を微分せよ。

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各項に公式をあてはめる。 \((3x^3)' = 3 \times 3x^2 = 9x^2\) \((-2x^2)' = -2 \times 2x = -4x\) \((5x)' = 5 \times 1 = 5\)（\(x = x^1\) なので \((x)' = 1 \cdot x^0 = 1\)） \((-7)' = 0\)（定数の微分は0） \(f'(x) = 9x^2 - 4x + 5\)
STEP 4

微分係数の図形的意味――接線の傾き

STEP1で見た「割線の傾きが近づいていく先」は、図形的にはグラフに接する直線（接線）の傾きにほかならない。つまり微分係数 \(f'(a)\) は「\(x=a\) における接線の傾き」を表す。

点 \((a,\ f(a))\) における接線の方程式： \[ y = f'(a)(x - a) + f(a) \]

例題1　\(f(x) = x^2 - 4x + 3\) の \(x=1\) における接線の方程式を求めよ。

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\(f(1) = 1 - 4 + 3 = 0\) \(f'(x) = 2x - 4\) なので \(f'(1) = 2 \times 1 - 4 = -2\) 接線は \(y = f'(1)(x - 1) + f(1) = -2(x - 1) + 0 = -2x + 2\) 接線の方程式は \(y = -2x + 2\)（傾き \(-2\)）

同じ曲線でも、接する点の位置が変われば接線の傾き――つまり微分係数の値も変わる。今度は \(x=4\) での接線を見てみよう。

例題2　同じ \(f(x) = x^2 - 4x + 3\) の \(x=4\) における接線の方程式を求めよ。

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\(f(4) = 16 - 16 + 3 = 3\) \(f'(4) = 2 \times 4 - 4 = 4\) 接線は \(y = 4(x - 4) + 3 = 4x - 16 + 3 = 4x - 13\) 接線の方程式は \(y = 4x - 13\)（傾き \(4\)）
まとめ　微分係数 \(f'(a)\) の意味は3つの見方でつながっている。
「\(x=a\) での平均変化率の極限」＝「導関数 \(f'(x)\) に \(x=a\) を代入した値」＝「\(x=a\) での接線の傾き」
練習問題（全18問）

答えを入力して「採点」を押すと○×が出るぞ。マイナスは「-」を使おう。
わからないときは「解説を見る」で解き方を確認しよう。

基本（1〜7）
1
べき乗の微分公式

\(f(x) = x^3\) の導関数 \(f'(x)\) を求めよ。

\(f'(x) = \) \(x^2\)
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\((x^n)' = nx^{n-1}\) より \(n=3\) を代入する。 \(f'(x) = 3x^2\)
2
べき乗の微分公式

\(f(x) = x^4\) の導関数 \(f'(x)\) を求めよ。

\(f'(x) = \) \(x^3\)
解説を見る
\((x^n)' = nx^{n-1}\) より \(n=4\) を代入する。 \(f'(x) = 4x^3\)
3
定数倍の微分

\(f(x) = 5x^2\) の導関数 \(f'(x)\) を求めよ。

\(f'(x) = \) \(x\)
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\((5x^2)' = 5 \times (x^2)' = 5 \times 2x = 10x\) \(f'(x) = 10x\)
4
定数の微分は0

\(f(x) = x^2 + 7\) の導関数 \(f'(x)\) を求めよ。

\(f'(x) = \) \(x\)
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\((x^2)' = 2x\)、\((7)' = 0\)（定数項は消える） \(f'(x) = 2x\)
5
和の微分

\(f(x) = x^2 + 3x\) の導関数 \(f'(x)\) について、\(x\) の係数と定数項を求めよ。

\(x\) の係数 　定数項
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\((x^2)' = 2x\)、\((3x)' = 3\) \(f'(x) = 2x + 3\)（\(x\)の係数\(2\)、定数項\(3\)）
6
和・差の微分

\(f(x) = x^3 - 4x\) の導関数 \(f'(x)\) について、\(x^2\) の係数と定数項を求めよ。

\(x^2\) の係数 　定数項
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\((x^3)' = 3x^2\)、\((-4x)' = -4\) \(f'(x) = 3x^2 - 4\)（\(x^2\)の係数\(3\)、定数項\(-4\)）
7
複数項の微分

\(f(x) = 2x^3 + x^2\) の導関数 \(f'(x)\) について、\(x^2\) の係数と \(x\) の係数を求めよ。

\(x^2\) の係数 　\(x\) の係数
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\((2x^3)' = 2 \times 3x^2 = 6x^2\)、\((x^2)' = 2x\) \(f'(x) = 6x^2 + 2x\)（\(x^2\)の係数\(6\)、\(x\)の係数\(2\)）
標準（8〜14）
8

\(f(x) = x^2 - 4x + 1\) について、\(f'(3)\) の値を求めよ。

\(f'(3) = \)
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\(f'(x) = 2x - 4\) \(f'(3) = 2 \times 3 - 4 = 2\) \(f'(3) = 2\)
9

\(f(x) = x^3 - 3x\) について、\(f'(-1)\) の値を求めよ。

\(f'(-1) = \)
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\(f'(x) = 3x^2 - 3\) \(f'(-1) = 3 \times (-1)^2 - 3 = 3 - 3 = 0\) \(f'(-1) = 0\)
10

\(f(x) = 2x^2 + 3x - 5\) について、\(f'(0)\) の値を求めよ。

\(f'(0) = \)
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\(f'(x) = 4x + 3\) \(f'(0) = 4 \times 0 + 3 = 3\) \(f'(0) = 3\)
11

\(f(x) = -x^3 + 2x^2\) について、\(f'(2)\) の値を求めよ。

\(f'(2) = \)
解説を見る
\(f'(x) = -3x^2 + 4x\) \(f'(2) = -3 \times 4 + 4 \times 2 = -12 + 8 = -4\) \(f'(2) = -4\)
12
4次式の微分

\(f(x) = x^4 - 2x^2\) の導関数 \(f'(x)\) について、\(x^3\) の係数と \(x\) の係数を求めよ。

\(x^3\) の係数 　\(x\) の係数
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\((x^4)' = 4x^3\)、\((-2x^2)' = -4x\) \(f'(x) = 4x^3 - 4x\)（\(x^3\)の係数\(4\)、\(x\)の係数\(-4\)）
13
展開してから微分

\(f(x) = (x+1)(x-2)\) の導関数 \(f'(x)\) について、\(x\) の係数と定数項を求めよ。

\(x\) の係数 　定数項
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先に展開する：\(f(x) = x^2 - x - 2\) \(f'(x) = 2x - 1\) \(f'(x) = 2x - 1\)（\(x\)の係数\(2\)、定数項\(-1\)）
14
f'(x)=一定の値になるxを求める

\(f(x) = 3x^2 - 2x + 7\) について、\(f'(x) = 4\) となる \(x\) の値を求めよ。

\(x = \)
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\(f'(x) = 6x - 2\) \(6x - 2 = 4\) より \(6x = 6\)、\(x = 1\) \(x = 1\)
挑戦（15〜18）
15
f'(x)=0を解く（コンマ区切りで入力）

\(f(x) = x^3 - 3x^2 + 2\) について、\(f'(x) = 0\) となる \(x\) の値をすべて求めよ。

\(x = \)
解説を見る
\(f'(x) = 3x^2 - 6x\) \(3x^2 - 6x = 0\) \(3x(x - 2) = 0\) \(x = 0,\ 2\) \(x = 0,\ 2\)
16
条件から係数決定

\(f(x) = ax^2 + 3x\) について、\(f'(2) = 11\) が成り立つとき、定数 \(a\) の値を求めよ。

\(a = \)
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\(f'(x) = 2ax + 3\) \(f'(2) = 4a + 3 = 11\) より \(4a = 8\)、\(a = 2\) \(a = 2\)
17
条件から係数決定

\(f(x) = x^3 + bx\) について、\(f'(1) = 5\) が成り立つとき、定数 \(b\) の値を求めよ。

\(b = \)
解説を見る
\(f'(x) = 3x^2 + b\) \(f'(1) = 3 + b = 5\) より \(b = 2\) \(b = 2\)
18
f'(x)=0を解く（コンマ区切りで入力）

\(f(x) = 2x^3 - 3x^2\) について、\(f'(x) = 0\) となる \(x\) の値をすべて求めよ。

\(x = \)
解説を見る
\(f'(x) = 6x^2 - 6x\) \(6x^2 - 6x = 0\) \(6x(x - 1) = 0\) \(x = 0,\ 1\) \(x = 0,\ 1\)
応用問題（プリント限定）

ここから先はPDF限定の腕試し。定義に立ち返る問題と、条件から係数を決める問題に挑戦しよう。

応1
定義に従って微分係数を求める

\(f(x) = x^2 + 3x\) について、微分係数の定義 \(\displaystyle f'(a) = \lim_{h \to 0} \dfrac{f(a+h) - f(a)}{h}\) に従って \(f'(2)\) の値を求めよ。

\(f'(2) = \)
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\(f(2) = 2^2 + 3 \times 2 = 4 + 6 = 10\) \(f(2+h) = (2+h)^2 + 3(2+h) = 4 + 4h + h^2 + 6 + 3h = h^2 + 7h + 10\) \(f(2+h) - f(2) = (h^2 + 7h + 10) - 10 = h^2 + 7h\) \(\dfrac{f(2+h) - f(2)}{h} = \dfrac{h^2 + 7h}{h} = h + 7\) \(h \to 0\) のとき \(h + 7 \to 7\) （公式 \(f'(x) = 2x+3\) を使っても \(f'(2) = 4+3=7\) となり一致する。） \(f'(2) = 7\)
応2
定義から導関数そのものを求める

\(f(x) = x^3\) について、微分係数の定義に従って導関数 \(f'(x)\) を求めよ。また、その結果を用いて \(f'(2)\) の値を求めよ。

\(f'(2) = \)
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\(f(x+h) - f(x) = (x+h)^3 - x^3\) \((x+h)^3 = x^3 + 3x^2h + 3xh^2 + h^3\)（3乗の展開公式）なので \(f(x+h) - f(x) = 3x^2h + 3xh^2 + h^3\) \(\dfrac{f(x+h) - f(x)}{h} = \dfrac{3x^2h + 3xh^2 + h^3}{h} = 3x^2 + 3xh + h^2\) \(h \to 0\) のとき \(3xh \to 0\)、\(h^2 \to 0\) なので、残るのは \(3x^2\)。 よって \(f'(x) = 3x^2\)（べき乗の微分公式 \((x^3)'=3x^2\) と一致）。 これに \(x=2\) を代入すると \(f'(2) = 3 \times 2^2 = 12\)。 \(f'(x) = 3x^2\)、\(f'(2) = 12\)
応3
2条件から係数を2つ決定

\(f(x) = x^3 + ax^2 + bx\) について、\(f'(1) = 2\) かつ \(f'(-1) = 6\) が成り立つとき、定数 \(a,\ b\) の値を求めよ。

\(a = \) 　\(b = \)
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\(f'(x) = 3x^2 + 2ax + b\) \(f'(1) = 3 + 2a + b = 2\) より \(2a + b = -1\) …(1) \(f'(-1) = 3 - 2a + b = 6\) より \(-2a + b = 3\) …(2) (1)＋(2)：\(2b = 2\)、\(b = 1\) (1)に代入：\(2a + 1 = -1\)、\(2a = -2\)、\(a = -1\) \(a = -1,\ b = 1\)
応4
接線が平行になる点を求める（答えは2つ・コンマ区切り）

\(f(x) = x^3 - 3x\) のグラフ上で、接線が直線 \(y = 6x - 1\) と平行になる点の \(x\) 座標をすべて求めよ。

\(x = \)
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接線が直線 \(y=6x-1\) と平行になるとは、接線の傾き（＝微分係数）が \(6\) に等しいということ。 \(f'(x) = 3x^2 - 3\) \(3x^2 - 3 = 6\) より \(3x^2 = 9\)、\(x^2 = 3\)、\(x = \pm\sqrt{3}\) \(x = \sqrt{3},\ -\sqrt{3}\)
応5
傾きと通る点の2条件から係数決定

\(f(x) = x^2 + ax + b\) のグラフ上の点 \((1,\ 2)\) における接線の傾きが \(-4\) であるとき、定数 \(a,\ b\) の値を求めよ。

\(a = \) 　\(b = \)
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接線の傾きの条件：\(f'(x) = 2x + a\) なので \(f'(1) = 2 + a = -4\)、よって \(a = -6\)。 点 \((1,2)\) を通る条件：\(f(1) = 1 + a + b = 2\) \(a=-6\) を代入：\(1 - 6 + b = 2\)、\(b - 5 = 2\)、\(b = 7\) \(a = -6,\ b = 7\)