逆・裏・対偶と証明｜数I 集合と命題

STEP 1

逆・裏・対偶の関係

命題「\(p \Rightarrow q\)」（\(p\)ならば\(q\)）が与えられたとき、仮定と結論の順番や否定を組み替えると、3つの新しい命題ができる。それぞれ呼び方が決まっているので、まず名前と作り方を整理しよう。

元の命題　\(p \Rightarrow q\)

↓

逆
\(q \Rightarrow p\)
（仮定と結論を入れ替える）

裏
\(\lnot p \Rightarrow \lnot q\)
（仮定も結論もそのまま否定する）

対偶
\(\lnot q \Rightarrow \lnot p\)
（入れ替えてから否定する）

最重要の性質　元の命題と対偶は、必ず真偽が一致する（片方が真なら他方も真、片方が偽なら他方も偽）。これは「\(p\)ならば\(q\)」であることと「\(q\)でなければ\(p\)でない」であることが、論理的にまったく同じ内容を言っているからだ。一方、逆・裏の真偽は、元の命題と一致するとは限らない（一致することもあれば、しないこともある）。ただし逆と裏は互いに対偶の関係になっている（逆の対偶をとると裏になる）ので、逆と裏どうしの真偽は必ず一致する。

具体例で確認してみよう。

例題　命題「\(x=2 \Rightarrow x^2=4\)」について、逆・裏・対偶を作り、それぞれの真偽を調べよ。

解答を見る

元の命題：\(x=2 \Rightarrow x^2=4\)　→　\(x=2\)を代入すれば確かに\(x^2=4\)。真逆：\(x^2=4 \Rightarrow x=2\)　→　\(x=-2\)のときも\(x^2=4\)になるが\(x=2\)ではない。偽（反例 \(x=-2\)）裏：\(x \ne 2 \Rightarrow x^2 \ne 4\)　→　\(x=-2\)は\(2\)ではないが、\(x^2=4\)になってしまう。偽（反例 \(x=-2\)）対偶：\(x^2 \ne 4 \Rightarrow x \ne 2\)　→　\(x^2\)が\(4\)でなければ、\(x\)は\(2\)にも\(-2\)にもなり得ないので、当然\(x\ne2\)。真対偶は元の命題と同じ「真」、逆と裏はどちらも同じ「偽」になっている。これがSTEP1の性質そのものだ。

STEP 2

対偶を利用した証明

「元の命題と対偶は真偽が一致する」という性質は、証明にそのまま使える。元の命題を直接証明するのが難しいときは、対偶を証明すればよい（対偶が真だと分かれば、元の命題も真だと言える）。とくに「〜は偶数」「〜は倍数」のような否定しにくい条件が結論にあるとき、対偶をとると扱いやすい形になることが多い。

例題　\(n\)を整数とする。「\(n^2\)が偶数ならば\(n\)は偶数である」を証明せよ。

解答を見る

元の命題を直接証明しようとすると、「\(n^2\)が偶数」という条件から\(n\)の偶奇を直接読み取るのは難しい。そこで対偶を考える。対偶：「\(n\)が奇数ならば\(n^2\)は奇数である」これなら\(n\)の形を具体的に書けるので証明しやすい。\(n\)が奇数のとき、ある整数\(k\)を使って\(n=2k+1\)と書ける。 \(n^2=(2k+1)^2=4k^2+4k+1=2(2k^2+2k)+1\) \(2k^2+2k\)は整数だから、\(n^2\)は「2×整数＋1」の形、すなわち奇数である。よって対偶「\(n\)が奇数ならば\(n^2\)は奇数である」は真。対偶が真であることと元の命題が真であることは同値だから、「\(n^2\)が偶数ならば\(n\)は偶数である」は真

対偶証明の手順は「手順1　結論を否定した文を作る　→　手順2　仮定を否定した文を作る　→　手順3　できた命題（対偶）を直接証明する」。対偶さえ証明できれば、元の命題を直接扱う必要はない。

STEP 3

背理法

結論が「〜は存在しない」「〜は無理数である」のように否定形の命題は、対偶を作っても結局否定形のままで扱いにくいことが多い。そこで使うのが背理法だ。「結論が成り立たないと仮定すると、矛盾が起きる。だから結論は成り立つ」という証明方法で、手順は次の3つ。

手順1　証明したい結論を否定して、それが成り立つと仮定する

↓

手順2　その仮定から式変形や論理を進め、矛盾（明らかにおかしいこと）を導く

↓

手順3　矛盾が生じた以上、手順1の仮定が誤り。よって、もとの結論が成り立つ

例題　\(\sqrt{2}\)は無理数であることを証明せよ。

解答を見る

結論「\(\sqrt{2}\)は無理数である」を否定して、\(\sqrt{2}\)が有理数であると仮定する。有理数であれば、これ以上約分できない（互いに素な）自然数\(p,\ q\)を使って \[\sqrt{2} = \dfrac{p}{q}\] と書ける。両辺を2乗すると \[2 = \dfrac{p^2}{q^2} \quad\Rightarrow\quad p^2 = 2q^2\] 右辺\(2q^2\)は偶数だから、\(p^2\)は偶数。STEP2で証明した「\(n^2\)が偶数ならば\(n\)は偶数」により、\(p\)は偶数である。そこで\(p=2k\)（\(k\)は自然数）とおいて代入すると \[(2k)^2 = 2q^2 \quad\Rightarrow\quad 4k^2 = 2q^2 \quad\Rightarrow\quad q^2 = 2k^2\] 右辺\(2k^2\)は偶数だから、\(q^2\)も偶数。同じ性質により、\(q\)も偶数である。ところが\(p\)も\(q\)も偶数だと、両方とも2で割り切れてしまい、「\(p,\ q\)は互いに素（これ以上約分できない）」という最初の設定に矛盾する。矛盾が生じたのは、最初に「\(\sqrt{2}\)が有理数である」と仮定したせいである。したがって、 \(\sqrt{2}\)は無理数である

背理法のコツは「仮定を否定した瞬間から、その仮定を使い切って矛盾を探しにいく」こと。この例題では「互いに素」という設定を使い切る（\(p,q\)ともに偶数＝2で割り切れる、という矛盾にたどり着く）のがゴールになっている。

STEP 4

直接証明・対偶・背理法の使い分け

3つの証明方法は、どれか1つが常に正解というわけではない。命題の形を見て、いちばん証明しやすい方法を選ぶのがコツだ。

直接証明
仮定から式変形や計算で、結論までまっすぐ導ける場合。いちばん自然な方法なので、まずはこれができないか考える。

対偶証明
結論（や仮定）に「〜でない」を作ると、具体的な形（\(n=2k+1\)など）に書きやすくなる場合。「偶数・奇数」「倍数」がからむ命題でよく使う。

背理法
結論がもともと「〜は存在しない」「〜は無理数」のように否定形・限定的な場合。対偶を作っても扱いにくいときの最終手段として使う。

迷ったら、まず直接証明を試す。仮定の否定・結論の否定が具体的に書けそうなら対偶。結論が「存在しない」「〜でない数である」のような形なら背理法――という順番で考えると選びやすい。

練習問題（全15問）

答えを入力して「採点」を押すと○×が出るぞ。真偽は「真」または「偽」と入力しよう。
証明問題（11〜15）は入力欄がないので、自分で証明を書いてから「解説を見る」で確認しよう。

基本（1〜5）

対偶の性質

命題\(p \Rightarrow q\)の逆・裏・対偶のうち、必ず元の命題と真偽が一致するものはどれか。

答え

解説を見る

元の命題「\(p\Rightarrow q\)」と対偶「\(\lnot q\Rightarrow \lnot p\)」は、言っている内容が論理的に同じなので、真偽が必ず一致する。逆・裏は一致するとは限らない。対偶

逆の真偽＋反例

命題「自然数\(n\)について、\(n\)が4の倍数ならば\(n\)は2の倍数である」の逆の真偽を答えよ。また、その反例を（自然数の中でいちばん小さいもの）1つ答えよ。

逆の真偽　反例 \(n=\)

解説を見る

逆：「\(n\)が2の倍数ならば\(n\)は4の倍数である」 \(n=2\)は2の倍数だが4の倍数ではない。偽（反例 \(n=2\)）

逆の真偽＋反例

命題「自然数\(n\)について、\(n\)が9の倍数ならば\(n\)は3の倍数である」の逆の真偽を答えよ。また、いちばん小さい反例を1つ答えよ。

逆の真偽　反例 \(n=\)

解説を見る

逆：「\(n\)が3の倍数ならば\(n\)は9の倍数である」 \(n=3\)は3の倍数だが9の倍数ではない。偽（反例 \(n=3\)）

逆の真偽＋反例（負の数）

命題「実数\(x\)について、\(x=3\)ならば\(x^2=9\)である」の逆の真偽を答えよ。また、負の数の反例を1つ答えよ。

逆の真偽　反例 \(x=\)

解説を見る

逆：「\(x^2=9\)ならば\(x=3\)である」 \(x=-3\)のときも\(x^2=9\)になるが、\(x=3\)ではない。偽（反例 \(x=-3\)）

逆が真になる例

命題「実数\(x\)について、\(x=0\)ならば\(x^2=0\)である」の逆の真偽を答えよ。

逆の真偽

解説を見る

逆：「\(x^2=0\)ならば\(x=0\)である」 \(x^2=0\)になる実数は\(x=0\)しかないので、逆も成り立つ。逆がつねに偽になるとは限らない、という例。真

標準（6〜10）　※逆だけでなく裏・対偶も出てくる

命題「整数\(n\)について、\(n\)が偶数ならば\(n^2\)は偶数である」の逆の真偽を答えよ。（STEP2の証明で確認した事実を思い出そう）

逆の真偽

解説を見る

逆：「\(n^2\)が偶数ならば\(n\)は偶数である」これはSTEP2の例題で対偶を使って証明した命題そのものであり、真であることが分かっている。真

命題「実数\(x\)について、\(x>3\)ならば\(x>0\)である」の逆の真偽を答えよ。また、1桁の自然数の中でいちばん小さい反例を1つ答えよ。

逆の真偽　反例 \(x=\)

解説を見る

逆：「\(x>0\)ならば\(x>3\)である」 \(x=1\)は\(0\)より大きいが\(3\)より大きくはない。偽（反例 \(x=1\)）

命題「四角形ABCDについて、ABCDが正方形ならばABCDは長方形である」の逆の真偽を答えよ。

逆の真偽

解説を見る

逆：「ABCDが長方形ならばABCDは正方形である」たとえば縦2、横3の長方形は正方形ではない。長方形は必ずしも正方形とは限らない。偽

対偶の真偽（性質の利用）

命題「実数\(x\)について、\(x^2=1\)ならば\(x=1\)である」の対偶の真偽を答えよ。（元の命題自体の真偽から考えよう）

対偶の真偽

解説を見る

まず元の命題を確認する：\(x=-1\)のときも\(x^2=1\)になるが\(x=1\)ではないので、元の命題は偽。対偶は元の命題と必ず真偽が一致するので、対偶も偽。偽

裏の真偽

命題「整数\(n\)について、\(n^2\)が奇数ならば\(n\)は奇数である」の裏（\(\lnot p \Rightarrow \lnot q\)の形）の真偽を答えよ。

裏の真偽

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裏：「\(n^2\)が偶数ならば\(n\)は偶数である」これはSTEP2の例題で証明した命題そのものであり、真である。（逆・裏は元の命題と必ず一致するわけではないが、この例ではたまたま真になっている）真

挑戦（11〜15）　※証明問題（入力欄なし、自分で書いてから確認しよう）

対偶証明

\(n\)を整数とする。「\(n^2\)が奇数ならば\(n\)は奇数である」を証明せよ。

解答を見る

対偶「\(n\)が偶数ならば\(n^2\)は偶数である」を証明する。 \(n\)が偶数のとき、ある整数\(k\)を使って\(n=2k\)と書ける。 \(n^2=(2k)^2=4k^2=2(2k^2)\) \(2k^2\)は整数だから、\(n^2\)は「2×整数」の形、すなわち偶数である。よって対偶は真。対偶が真であることと元の命題が真であることは同値だから、「\(n^2\)が奇数ならば\(n\)は奇数である」は真

対偶証明（場合分け）

\(n\)を整数とする。「\(n^2\)が3の倍数ならば\(n\)は3の倍数である」を証明せよ。

解答を見る

対偶「\(n\)が3の倍数でないならば\(n^2\)は3の倍数でない」を証明する。 \(n\)が3の倍数でないとき、ある整数\(k\)を使って\(n=3k+1\)または\(n=3k+2\)のいずれかの形で書ける。（1）\(n=3k+1\)のとき \(n^2=(3k+1)^2=9k^2+6k+1=3(3k^2+2k)+1\) \(3k^2+2k\)は整数だから、\(n^2\)は「3×整数＋1」の形、すなわち3の倍数ではない。（2）\(n=3k+2\)のとき \(n^2=(3k+2)^2=9k^2+12k+4=3(3k^2+4k+1)+1\) \(3k^2+4k+1\)は整数だから、この場合も\(n^2\)は「3×整数＋1」の形、すなわち3の倍数ではない。（1）（2）のどちらの場合も\(n^2\)は3の倍数にならないので、対偶は真。よって、「\(n^2\)が3の倍数ならば\(n\)は3の倍数である」は真

背理法（少なくとも一方）

実数\(a,\ b\)について、「\(a+b\)が無理数ならば、\(a\)と\(b\)の少なくとも一方は無理数である」を証明せよ。

解答を見る

結論を否定して、\(a\)も\(b\)もともに有理数であると仮定する。有理数どうしの和は有理数になるので、\(a+b\)は有理数となる。しかしこれは「\(a+b\)が無理数である」という仮定に矛盾する。矛盾が生じたのは、「\(a,\ b\)がともに有理数である」と仮定したせいである。したがって、「\(a+b\)が無理数ならば、\(a\)と\(b\)の少なくとも一方は無理数である」は真

背理法（存在しないことの証明）

自然数の中に、最大のものは存在しないことを証明せよ。

解答を見る

結論を否定して、最大の自然数\(N\)が存在すると仮定する。 \(N\)は自然数だから、\(N+1\)も自然数である。ところが\(N+1>N\)なので、\(N+1\)は\(N\)より大きい自然数ということになる。これは「\(N\)が最大の自然数である」という仮定に矛盾する。矛盾が生じたのは、「最大の自然数が存在する」と仮定したせいである。したがって、自然数の中に、最大のものは存在しない

直接証明

すべての実数\(x\)について、\(x^2-4x+5>0\)が成り立つことを証明せよ。

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背理法も対偶も使わず、式を平方完成するだけで直接示せる。 \(x^2-4x+5=(x-2)^2-4+5=(x-2)^2+1\) \((x-2)^2\)はどんな実数\(x\)についても\(0\)以上なので、 \((x-2)^2+1 \ge 0+1 = 1 > 0\) よってすべての実数\(x\)について、 \(x^2-4x+5>0\)が成り立つ

応用問題（プリント限定）

ここから先はPDF限定の腕試し。背理法を使いこなして、入試の基礎レベルに挑戦しよう。

応1

背理法の応用（√3）

\(\sqrt{3}\)は無理数であることを証明せよ。（練習問題12で証明した「\(n^2\)が3の倍数ならば\(n\)は3の倍数である」を使ってよい）

解答を見る

結論を否定して、\(\sqrt{3}\)が有理数であると仮定する。有理数であれば、これ以上約分できない（互いに素な）自然数\(p,\ q\)を使って \[\sqrt{3} = \dfrac{p}{q}\] と書ける。両辺を2乗すると \[3 = \dfrac{p^2}{q^2} \quad\Rightarrow\quad p^2 = 3q^2\] 右辺\(3q^2\)は3の倍数だから、\(p^2\)は3の倍数。練習問題12の結果により、\(p\)は3の倍数である。そこで\(p=3k\)（\(k\)は自然数）とおいて代入すると \[(3k)^2 = 3q^2 \quad\Rightarrow\quad 9k^2 = 3q^2 \quad\Rightarrow\quad q^2 = 3k^2\] 右辺\(3k^2\)は3の倍数だから、\(q^2\)も3の倍数。同じ結果により、\(q\)も3の倍数である。ところが\(p\)も\(q\)も3の倍数だと、両方とも3で割り切れてしまい、「\(p,\ q\)は互いに素」という最初の設定に矛盾する。矛盾が生じたのは、「\(\sqrt{3}\)が有理数である」と仮定したせいである。したがって、 \(\sqrt{3}\)は無理数である

応2

背理法の応用（有理数＋無理数）

\(a\)を有理数、\(b\)を無理数とするとき、\(a+b\)は無理数であることを証明せよ。

解答を見る

結論を否定して、\(a+b\)が有理数であると仮定する。このとき \[b = (a+b) - a\] と書ける。\(a+b\)も\(a\)も有理数だと仮定しているので、右辺は「有理数－有理数」であり、その結果は有理数になる。つまり\(b\)は有理数、ということになる。しかしこれは「\(b\)は無理数である」という最初の設定に矛盾する。矛盾が生じたのは、「\(a+b\)が有理数である」と仮定したせいである。したがって、 \(a+b\)は無理数である

応3

真偽判定（無理数どうしの和）

命題「実数\(x,\ y\)がともに無理数ならば、\(x+y\)は無理数である」の真偽を答えよ。また、真偽の判断に使える反例として、\(x+y\)の値を1つ答えよ。

真偽　反例における \(x+y=\)

解説を見る

\(x=\sqrt2\)、\(y=-\sqrt2\)はどちらも無理数だが、 \(x+y=\sqrt2+(-\sqrt2)=0\) となり、\(0\)は有理数である。よってこの命題は反例が存在し、成り立たない。偽（反例 \(x=\sqrt2,\ y=-\sqrt2\) のとき \(x+y=0\)）

応4

真偽判定（無理数×有理数）

命題「実数\(x\)が無理数、実数\(y\)が有理数ならば、\(xy\)は無理数である」の真偽を答えよ。また、反例として使える\(y\)の値を1つ答えよ。

真偽　反例における \(y=\)

解説を見る

\(x=\sqrt2\)（無理数）、\(y=0\)（有理数）とすると、 \(xy=\sqrt2\times0=0\) となり、\(0\)は有理数である。\(y=0\)という特別な場合があるため、この命題は成り立たない。偽（反例 \(y=0\) のとき \(xy=0\)）

応5

背理法の応用（√2＋√3・場合分け）

\(\sqrt{2}+\sqrt{3}\)は無理数であることを証明せよ。（\(\sqrt2\)が無理数であることは証明済みとしてよい）

解答を見る

結論を否定して、\(\sqrt2+\sqrt3=r\)（\(r\)は有理数）であると仮定する。 \(\sqrt3=r-\sqrt2\)として、両辺を2乗する。 \[3=(r-\sqrt2)^2=r^2-2r\sqrt2+2\] 整理すると \[2r\sqrt2=r^2-1\] （1）\(r\ne0\)のとき両辺を\(2r\)で割ると \[\sqrt2=\dfrac{r^2-1}{2r}\] 右辺は有理数どうしの計算結果なので有理数。つまり\(\sqrt2\)が有理数ということになるが、これは「\(\sqrt2\)は無理数である」ことに矛盾する。（2）\(r=0\)のとき \(\sqrt2+\sqrt3=0\)、すなわち\(\sqrt3=-\sqrt2\)となるが、\(\sqrt3>0\)、\(-\sqrt2<0\)なので、正の数と負の数が等しいことになり矛盾する。（1）（2）のどちらの場合も矛盾するので、「\(\sqrt2+\sqrt3\)が有理数である」という仮定が誤りである。したがって、 \(\sqrt2+\sqrt3\)は無理数である